2019.1.西城区.高三数学文科试题(终)

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北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上•在试卷上作答无效。

第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。

北京市西城区2018-2019学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)(解析版)

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x2≤5}，那么A∩B=（）A. 2，B. 0，C.D.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.3. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A. B. C. D.4. 设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A. B. C. 1 D. 25. 执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知数列{a n}是等比数列，则“a2＞a1”是“数列{a n}为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设，是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为（）A. 2B.C.D.8. 设双曲线：的左焦点为F，右顶点为A．若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得成立，则λ=（）A. B. C. D. 0二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 复数z满足方程1-i•z=i，则z=______．10. 以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为______．11. 能说明“设函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，则f（x）是奇函数”为假命题的一个函数是______．12. 在△ABC中，a=3，，B=2A，则cos A=______．13. 设函数，，＞则f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是______．14. 在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，求实数a的值．16. 在各项均为正数的等比数列{a n}中，，且a4+a5=6a3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{log2a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．17. 为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，a0（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．18. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是正方形，M，N分别是A1B1，AC的中点，AB⊥平面BCM．（Ⅰ）求证：平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求证：A1N∥平面BCM；（Ⅲ）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为10，求棱锥C1-BB1M的体积．19. 已知椭圆C：＞的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．20. 已知函数f（x）=ln x-x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a=ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．1.B解：∵集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x2≤5}={x|-}，∴A∩B={-2，0，2}．故选：B．先求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.C解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x为二次函数，其对称轴为x=-1，不是偶函数，不符合题意；对于B，y=x3，是奇函数，不符合题意；对于C，y=ln|x|=，是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y=cosx为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意，故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.C解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可知其最长棱长为PD==2．故选：C．由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．即可得出．本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，属于基础题．4.A解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，-1），化目标函数z=x+3y为y=-+，由图可知，当直线y=-+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-1．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.B解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.B解：设等比数列{a n}的公比为q，则“a2＞a1”⇔a1（q-1）＞0，⇔，或．由数列{a n}为递增数列，可得，或．∴“a2＞a1”是“数列{a n}为递增数列”的必要不充分条件．故选：B．设等比数列{a n}的公比为q，则“a2＞a1”⇔a1（q-1）＞0⇔，或．由数列{a n}为递增数列，可得，或．即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、等比数列的通项公式与单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.D解：∵是不共线的两个平面向量；∴；即；∵P，Q，R三点共线；∴与共线；∴存在λ，使；∴；∴根据平面向量基本定理得，；解得．故选：D．由题意可得出，而P，Q，R三点共线，从而得出与共线，从而存在实数λ，使得，从而得出，这便得出，解出k即可．考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．8.D解：双曲线的左焦点为F（-2，0），右顶点为A（1，0）．设P（m，n），可得：，推出n2=3m2-3，=（-2-m，-n），=（1-m，-n），，可得λ=（m+2）（m-1）+n2=4m2+m-5，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞），如图：当λ=0时，有且只有3个不同的点P使得成立，故选：D．设出P的坐标，求出双曲线的左焦点为F，右顶点为A．利用推出λ的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．9.-1-i解：由1-i•z=i，得iz=1-i，则z=．故答案为：-1-i．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.（x-2）2+y2=2解：依题意可知抛物线y2=8x的焦点为（2，0），到直线直线y=x的距离即圆的半径为=，故圆的标准方程为：（x-2）2+y2=2．故答案为：（x-2）2+y2=2．依题意可求得抛物线焦点即圆心的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可得．本题主要考查了抛物线的简单性质，圆的方程，点到直线的距离等问题．属基础题．11.f（x）=x2解：可取f（x）=x2，可得f（x）的定义域为R，且f（0）=0，但f（-x）=（-x）2=x2=f（x），可得f（x）为偶函数．可说明“设函数f（x）的定义域为R，若f（0）=0，则f（x）是奇函数”为假命题．故答案为：f（x）=x2．可取f（x）=x2，可得定义域为R，计算f（-x）与f（x）比较可得f（x）为偶函数．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查判断能力和运算能力、推理能力，属于基础题．12.解：∵a=3，，B=2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA===．故答案为：．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题．13.（，）解：函数则f[f（0）]=f（e0）=f（1）=．x≤0时，f（x）≤1，x＞0，f（x）=-x2+x+，对称轴为：x=，开口向下，函数的最大值为：f（）=-=，x→0时，f（0）→，方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：（，）．故答案为：；（，）．利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b的范围；本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用．14.D解：通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D，当甲乙两人中某人听报告D，则此人不能听报告B，C，E，F，故听报告D最不合适，故答案为：D．当甲乙两人中某人听报告D，通过数据比对与分析，则此人不能听报告B，C，E，F，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D，本题考查了对数据的分析能力及进行简单的合情推理，属简单题．15.解：（I）∵．=2cos x（sin x+cos x）=sin x cosx+==sin（2x+）∴T=π，（II）由（I）可知f（x+a）=sin（2x+2a+），∵直线x=π为函数f（x+a）图象的一条对称轴，∴f（π+a）为f（x+a）的最大或最新值，即f（π+α）=sin（）=sin（2a+）=±1，∴，k∈z∴a=，k∈z（I）利用和角正弦公式及二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合周期公式T=即可求解；（II）由（I）可求f（x+a），然后结合对称轴处函数取得最值可求a本题主要考查了三角函数的性质及三角公式中的和角公式，辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练应用基本公式．16.解：（Ⅰ）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，，且a4+a5=6a3，可得a1q=，a1q3+a1q4=6a1q2，解得q=2，a1=，则a n=a1q n-1=•2n-1=2n-4；（Ⅱ）设b n=log2a n=log22n-4=n-4，由1≤n≤4时，b n≤0，n≥5时，b n＞0，可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6．（Ⅰ）各项均为正数的等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式，解方程即可得到所求首项和公比，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n=log22n-4=n-4，求得数列{b n}的项的正负，即可得到所求最小值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的通项公式和求和问题，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5=1，解得a=0.008，∴甲企业的样本中次品的频率为（a+0.020）×5=0.14，故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14．（Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40，45]的产品”为事件M，记质量指标值在[15，20]内的2件产品的样本分别为A1，A2，质量指标值在[40，45]内的确件产品样本分别为B1，B2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，分别为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（B1，B2），而事件M包含的结果有4种，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），∴这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率P=．（3）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，∴认为乙企业产品的食品生产质量更高．（Ⅰ）由频率分布直方图求出a=0.008，从而甲企业的样本中次品的频率为0.14，由此能求出从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率．（Ⅱ）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[40，45]的产品”为事件M，记质量指标值在[15，20]内的2件产品的样本分别为A1，A2，质量指标值在[40，45]内的确件产品样本分别为B1，B2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，由此能求出这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率．（3）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，得到乙企业产品的食品生产质量更高．本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．18.证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCM，BC⊂平面BCM，∴AB⊥BC，∵正方形B1BCC1，∴BB1⊥BC，∵AB∩BB1=B，∴BC⊥平面A1ABB1，∵BC⊂平面B1BCC1，∴平面B1BCC1⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）设BC中点为Q，连结NQ，MQ，∵M，N分别是A1B1，AC的中点，∴NQ∥AB，且NQ=AB，∵AB∥A1B1，且AB=A1B1，∴NQ∥A1M，且NQ=A1M，∴四边形A1MQN是平行四边形，∴A1N∥MQ，∵MQ⊂平面BCM，A1N⊄∴A1N∥平面BCM．解：（Ⅲ）连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A1B1C1的体积==，∵M为A1B1的中点，∴棱锥C1-BB1M的体积===．（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BB1⊥BC，从而BC⊥平面A1ABB1，由此能证明平面B1BCC1⊥平面A1ABB1．（Ⅱ）设BC中点为Q，连结NQ，MQ，推导出四边形A1MQN是平行四边形，从而A1N∥MQ，由此能证明A1N∥平面BCM．（Ⅲ）连结A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，三棱锥B-A1B1C1的体积==，棱锥C1-BB1M的体积=，由此能求出结果．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，∵e==，∴a=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，又∵A（-2，0），∴直线AM的斜率k AM==∈（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴k AM∈（-，0），（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由∠PFQ=90°，可得•=0，∴（-，）•（-，y1）=0，即2+•y1=0，解得y1=-，∴Q（0，-），∵k BM=，k AQ=-，∴k BM-k AQ=+=0，故k BM=k AQ，即AQ∥BM（Ⅰ）根据题意可得得c2=a2-2，由e==，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM 的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，可得直线AM的方程y=（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出k BM-k AQ=0，问题得以证明本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.解：（I）求导．得f′（x）=-1=∵曲线y=f（x）与x轴相切，∴此切线的斜率为0．由f′（x）=0，解得x=1，又由曲线y=（x）与x轴相切，得f（1）=-1+a=0解得a=1．证明（II）由题意，f（x）=ln x-x+ln2e，令函数F（x）=f（x）-x=ln x-2x+ln2e求导，得F′（x）=-2=由F′（x）=0，得x=，∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，故当x=时，F（x）max=F（）=ln-1+ln2e=0，∴任给x∈（0，+∞），F（x）=f（x）-x≤0，即f（x）≤x，（Ⅲ）由题意可得，g（x）=，∴g′（x）=，当g′（x）≥0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递增，当g′（x）≤0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递减，∴x-2ln x+1-2a≥0在（1，e）上恒成立，或x-2ln x+1-2a≤0在（1，e）上恒成立，∴2a≤x-2ln x+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x-2ln x+1在（1，e）上恒成立，令h（x）=x-2ln x+1，∴h′（x）=1-=，由h′（x）=0，解得x=2，当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当x∈（2，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（1）=2，h（e）=e-2+1=e-1，∴h（x）max=h（1）=2∴h（x）min=h（2）=3-2ln2，∴2a≥2或2a≤3-2ln2，∴a≥1或a＜-ln2，∵函数在区间（1，e）上不是单调函数，∴-ln2＜a＜1，故a的取值范围为（-ln2，1）．（Ⅰ）先求导，再根据导数的几何意义即可求出，（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明（Ⅲ）先求出函数g（x）在（1，e）上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于难题．。

北京市西城区2016-2018--2019学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)

北京市西城区2019学年度第一学期期末试卷、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 •已知集合 A={x R |0 ：：：x ::: 1} , B ={x R |(2x —1)(x 1)0}，则 A“ B 二()1(A)(0,;)2— 1(C )(-・-1)U (0,2)5i2.复数()2 +i(A ) 1 2i (B ) -1 2i3 •执行如图所示的程序框图，则输出 S =((A) 2 (B) 6 (C) 15 (D) 314•函数f （x ）二丄-Inx 的零点个数为（)高三数学（文科）第I 卷（选择题共40分）2019.11(B)(打)2(D)(」：,-1)U (1,1)(C ) -1 -2i (D ) 1 -2i5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是()2x (A ) 0(B ) 1(C ) 2(D ) 3(A) 5\3 (B) 2.3=1的两条切线MA , MB (A ，B 为切点)，则MA MB =(7•设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n •则“ |q | — 2 ”是“ -7S 2 ”的()(B )必要而不充分条件(D )既不充分也不必要条件&已知函数f (x)的定义域为R .若常数c • 0 ,对一 x • R ，有f (x • c) • f (x -c)，则称函数f(x)具有性质P .给定下列三个函数：3① f (x) = | x |; ② f (x)二sin x ;③ f (x)二 x -x .其中，具有性质P 的函数的序号是( )(A ［①(B ［③(C )①② (D )②③(C )5,3 ~3~(D)2,. 3(A )(B )5(D )6•过点M (2,0)作圆x 2y 2(A )充分而不必要条件 (C )充分必要条件5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是( )2第H卷(非选择题共110 分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 .已知向量a= (1,3), b = (m,2m—1).若向量a与b共线，则实数m = __________ .10 •平行四边形ABCD中，E为CD的中点•若在平行四边形ABCD内部随机取一点M ,则点M取自△ ABE内部的概率为 _________ .x2y211•双曲线二=1的渐近线方程为；离心率为36 4512•若函数f(x)二log2x, x 0,是奇函数，则g(-8)= _______________ .l g(x), x"n n n13.已知函数f (x) =sin(x ___________________________ )，其中［,a］.当a 时，f (x)的值域是；若f (x)6 3 21的值域是［- —,1］，则a的取值范围是2214.设函数f (x^x2-6x 5，集合A ={( a,b) | f (a) f (b)空0,且f(a)- f(b) 一0}.在直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积为_________ .三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分)在厶ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，且cos2B ・cosB = 0 .(I)求角B 的值；(n)若b =凉7 , a ^5，求△ ABC 的面积.16. (本小题满分13分)为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重. 经统计，这批学生的体重数据位：千克)全部介于 45至70之间.将数据分成以下 5组：第1组［45 ,50)，第2组［50,55), 组［55,60)，第4组［60,65)，第5组［65,70］，得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从第3, 4, 5组中随机抽取6名学生做初检.(I)求每组抽取的学生人数；17. (本小题满分14分)如图，直三棱柱 ABC - ABG 中，AC — BC , AC =BC =C G =2 , M , N 分别为AC , B 1C 1的中点.(I)求线段MN 的长;(单第3(n)若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检,nn1(A)八 r") 、C j (A).i ±j =1(I)对如下数表 A S(4, 4)，求l(A)的值;%如%■« F ■V■叫1%(n)求证：MN /平面ABBA ;(川)线段CG 上是否存在点Q ，使AB 丄平面MNQ ?说明理由.18. (本小题满分13分)X已知函数f (x)二飞，其中b R .x ? +b(I)若X =「1是f(x)的一个极值点，求b 的值； (n)求f(x)的单调区间.19. (本小题满分14分)221 如图，A , B 是椭圆令•占=1 (a b 0)的两个顶点.|AB|— 5 ,直线AB 的斜率为-―.a b2(I)求椭圆的方程；(n)设直线l 平行于AB ，与x, y 轴分别交于点M,N ，与椭圆相交于C,D .证明：△ OCM 的面如图，设A 是由n n 个实数组成的n 行n 列的数表，其中a ij (i, j ^1,2,3^l, n)表示位于第i 行第j 列的实数，且a 「{1, -1} •记S(n, n)为所有这样的数表构成的集合.对于A S( n, n)，记r i (A)为A 的第i 行各数之积，C j (A)为A 的第j 列各数之积•令(n)证明：存在 A S(n, n)，使得 1(A) =2n _4k ，其中 k =0,1,2,川，n ; (川)给定n 为奇数，对于所有的 A 三S( n, n)，证明：丨(A) = 0 . 积等于△ ODN 的面积.20.(本小题满分13分)北京市西城区2019 —2019学年度第一学期期末高三数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.2019.11. B;2. A;3. C;4.B; 5. C;6.D ; 7. A; 8. B .二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. -1 ;10.1 ;—?11.y=上x , 3 , 2221兀12. -3 ；1[-，［—，二］; 14. 423注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分15.(本小题满分13分)(I)解：由已知得2cos2B • cosB -1 = 0 , ................. 2 分即(2cos B -1)(cos B 1)=0 .1解得cosB ，或cosB = T. ................. 4分2因为0 ::: B : n,故舍去cosB = -1 . .................. 5分n所以B . .................. 6分3(n)解：由余弦定理得b2 =a2■ c2 -2accosB . .................. 8分将B =n, b ».；7代入上式，整理得(a • c)2-3ac = 7. 3所以ac =6.所以△ ABC 的面积S =丄acsin B =3-^ .2 216.(本小题满分13分)(I)解：由频率分布直方图知，第3 ,4 , 5组的学生人数之比为 3: 2:1 . ..................... 2分所以，每组抽取的人数分别为：3 2 1第 3 组： 6=3 ；第 4 组： 6=2 ；第 5 组： 6"6 6 6所以从3 , 4 , 5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生. .................... 5分(n)解：记第3组的3位同学为A , A , A ；第4组的2位同学为B , B 2 ；第5组的1位同学为则从6位同学中随机抽取 2位同学所有可能的情形为:(人,人),(人,人),(人启)，3月2)，3,6，仏人),(人月1),(人2也),(人22),(人月1), (A, B 2),( A 3,C),( B 1, B 2),( B 1,C),(B 2,C)，共15种可能........... 10 分其中，(A,B 1),(A,B 2),(A,C),(A 2,B),(A 2,B 2),(A,C),(A,B 1),(A 3,B 2),(A,C),(B 1,C),(B 2,C)这11种情形符合2名学生不在同一组的要求.11分13分12分故所求概率为1513分17.(本小题满分14分)(I)证明：连接CN .因为ABC 1AB1G是直二棱柱，所以CG _ 平面ABC , (1)分所以AC _ CG .……2分因为AC _ BC , 所以AC _平面BCC I B-I.因为MC -1 , CN = ：、；CC12 GN2=5 ,（n）证明：取AB中点D，连接DM , DB1. .................. 5分1在厶ABC中，因为M为AC中点，所以DM//BC , DM=丄BC21 在矩形BBCG中，因为N为BQ中点，所以BN//BC, BC .2所以DM 〃B,N , DM 二B,N .所以四边形MDB,N为平行四边形，所以MN //DB,.因为MN学平面ABBA , DB, u平面ABBA ,所以MN //平面ABB,A .（川）解：线段CG上存在点Q，且Q为CC i中点时，有AB_平面MNQ . ..... 11分证明如下：连接BC1.在正方形BB1C1C中易证QN _ BC| .又AG _平面BBGC，所以AG _ QN，从而NQ _平面A1BC1. ................................................... 12分所以AB _QN . (13)分同理可得AB _ MQ，所以AB _平面MNQ .故线段CG上存在点Q，使得A B _平面MNQ .18.（本小题满分13分）依题意，令f （-1） =0，得b =1.经检验，b =1时符合题意.1 解：①当b =0时，f（x）：故f（x）的单调减区间为（-：：,0）, （0, •：：）;无单调增区间.14分(I)解: f（X）b-x2(x2b)25 分（n）x令 f (x) =0，得为=、、b , X2 = - \ b ........... 8 分f （x ）和f （x ）的情况如下:故f （x ）的单调减区间为（_：：,_』）,（」b, •：：）；单调增区间为............ 11分③当b <0时，f （x ）的定义域为D ={^ R =.设 C(X 1,yJ , D(X 2, y 2).②当b 0时,f (x)二b-x 2(x 2 b)2b —x 2 因为f(x) —:::0在D 上恒成立,故f （x ）的单调减区间为（-、、-6八兀）,（.弔：：）；无单调增区间. 13分19.（本小题满分14分）（I ）解：依题意，得a1 2， L ；a2 ■ b 2 = \5.解得所以 2椭圆的方程为-y 24（n ）证明: 由于丨// AB ，设直线l 的方程为y = -• m ，将其代入x22x 2y = 1,消去y ,4整理得2x 22-4mx 4m 一4 = 0.A =16m 2 _32(m 2 _1)A O,所以片• x 2 = 2m,................. 8分c2cX 1X 2 =2m -2.证法一:记△ OCM 的面积是0 , △ ODN 的面积是 S - 由 M(2m,0) , N(0,m),则 S = Sr 二-|2m| I 力 I =1 |m| | x 2 |= |2y , | = |x 2 I •.......... 10 分2 2因为 x 1 • x 2 = 2m ,1所以 12y 1 ^| 2 ( x 1m)^^x 12m^|x 2| , ................. 13 分2从而S=S 2 •.......... 14分证法二：记△ OCM 的面积是S , △ ODN 的面积是 S • 则0=5= | MC | =| ND |= 线段CD,MN 的中点重合. ........... 10分因为 x 1 x^ 2m ，所以x 1—m , 土归二2 21故线段CD 的中点为(口,丄口)•2因为 M(2m,0)，N(0,m)，20 •(本小题满分13分) ([)解：「1(A)汀3(Am ,「2(A)=-1； G (A) =C 2(A)二 C 4(A) — 1, Q (A)=1,4 4所以 l(A) =' r i (A) ' C j (A) =0 •.......... 3 分i =ij =i(n)证明：(i)对数表 A o : a ij = 1 (i, j =1,2,3, || 1, n)，显然 1 (A o ) = 2n .将数表 A 中的巧由1变为-1，得到数表Ai ，显然I (A) =2n-4 .将数表A 中的a 22由1变为-1，得到数表 A ，显然I (A ?) = 2n -8 .所以线段MN(m m)•从而S = S 2 •13分 14分依此类推，将数表人二中的a kk由1变为-1，得到数表A .即数表A k满足：an 二a?2 = HI 二a kk 二-1(1 空k 乞n)，其余a j = 1 .所以A(A) =r2(A)二川二R(A) - -1, G(A)=C2(A) = I"二C k(A) - -1.所以I (AJ =2[(-1) k (n - k)] =2 n - 4k，其中k =0,1,2,川，n . .............................. 7 分【注：数表A不唯一】(川)证明：用反证法.假设存在A S(n, n)，其中n为奇数，使得I(A)=0 .因为r(A) {1,, C j(A) {1, -1} (1 小n,1 j n),所以A(A), Q(A)，…，G(A) , G(A) , C2(A)，…,C n(A)这2n 个数中有n 个1, n 个-1 .令M 汀’A) “(A)川「.(A) q(A) C2(A) ||| q(A).一方面，由于这2n个数中有n个1 , n个-1，从而M=(-1)n=「1. ①另一方面，「1(A) r2(AMU r n(A)表示数表中所有元素之积(记这n2个实数之积为m )；q(A) q(A)川q(A) 也表示m , 从而M = m2 = 1 . ②①、②相互矛盾，从而不存在A S(n, n),使得I (A) =0 .即n为奇数时，必有I(A)=0 . .................. 13分。

北京西城区裕中中学 2019年高三数学文期末试题含解析

北京西城区裕中中学 2019年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题，命题的解集是，下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题其中正确的是（）A.②③ B①②④ C.①③④ D.①②③④参考答案：D2. （5分）（2015?钦州模拟）已知向量，，且，则的值为（）A．B．13 C．5 D．参考答案：A【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：首先由向量平行得到x，然后利用坐标运算解答．解：因为向量，，且，所以2×6=﹣3x，解得x=﹣4，所以=（﹣2，3），所以=；故选A．【点评】：本题考查了向量平行的性质以及向量加法、模的坐标运算；属于基础题．3. 已知的值是A．B．C．D．参考答案：B略4. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为(A) 1007[.C om] (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014参考答案：A略5. 设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3} C．{x|x＞2} D．{x|x≥2}参考答案：D6. 给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．B． C． D．参考答案：D7. 已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）参考答案：D【分析】根据并集的定义写出P∪Q即可．【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：D．【点评】本题考查了并集的运算问题，是基础题．8. 若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数的定义域是(A).(0,1) (B).[0,1) (C).[0,1)∪(1,4] (D).[0,1]参考答案：A9. 已知集合A={x|x2﹣x﹣6≥0}，B={x|﹣3≤x≤3}，则A∩B等于（）A．[﹣3，﹣2] B．[2，3] C．[﹣3，﹣2]∪{3} D．[2，3]∪{﹣3}参考答案：C【分析】根据题意，解不等式|x2﹣x﹣6≥0求出集合A，进而由交集的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，x2﹣x﹣6≥0?x≤﹣2或x≥3，即A={x|x2﹣x﹣6≥0}=（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），而B={x|﹣3≤x≤3}=[﹣3，3]；A∩B=[﹣3，﹣2]∪{3}；故选：C．【点评】本题考查集合的交集运算，关键是求出集合A．10. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数，,那么=_________。

北京市西城区2019届高三4月统一测试(一模)数学(文)试题word有答案

（ A） { 3, 1}
（ B） { 3, 1, 3}
（ C） {1,3}
（ D） { 1,1}
2．若复数 z 1 i ，则在复平面内 z 对应的点位于 2i
（ A）第一象限（ C）第三象限 [][
（ B）第二象限 [] （ D）第四象限
3．下列函数中，值域为 R 且在区间 (0, ) 上单调递增的是
（ A） 5 2 ， 7
[][][][]
y
（ B） 5 2 ， 5 2 （ C） 7 ， 5 2 （ D） 7 ， 7
O x
W
8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线
围成的平面区域的直径为
（ A） 2
（ B） 4
（ C） 2 2
（ D） 2 6
| y | 2 x2
2
（ A） y
2
x
2x
（ B） y
x1
2
[]
（ C） y
3
x1
（ D） y ( x 1) | x |
4. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ A） 4 （ B）5 （ C） 7 （ D） 9
k 值为
1
开始
k 1, S 2
1S S
1S
k k2
是
S2
否输出 k 结束
5. 在△ ABC中，已知 a
2 ， sin(A
B)
1 ， sin A
1 ，则 c
3
4
（ A） 4
（ B） 3
（ C） 8 3
4
（ D）
3
6. 设 a, b, m 均为正数，则“ b
a a ”是“
m
a ”的

(完整)2019届北京市西城区高三上学期期末考试数学(文)试卷(word版)

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1•已知集合八孩风・氷吐£｝，利，那么B-1（）A. |舐；曲| B•卜:讥汗C•隐:胡 D.卜*|【答案】B2•下列函数中，既是偶函数又在区间（0, +R）上单调递增的是（）A.卜=/斗心.B.』=討C. ；：■2|：〔D.卜7注【答案】C3•—个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）正（主靓图侧（左）视團俯视厨A. |制B. [.. ：]C.卜占：D.,【答案】Crx - y -F 3 > 04•设x, y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）I斗卜2丫王0A. B. |-.：；C. 1 D. 2【答案】A5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B6•设数列{备:是等比数列，则“屯I』”是“{%：为递增数列”的()A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B7设，是不共线的两个平面向量，已知忙一:十QR — f.若P,Q, R三点共线，贝y实数k的值为( )小] 1A. 2B. - 2C. -D. --2 2【答案】D8设双曲线1的左焦点为F,右顶点为A.若在双曲线C上，有且只有3个不同的点P使得p'p'/1 成立，则入=( )A. ;B.C.D. 0【答案】D二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)9•复数z满足方程I - i ■ I,则旷_____________ .【答案】-1-i10. 以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为___________ .【答案】(x-2) 2+y 2=211. 能说明“设函数f (X)的定义域为R,若f (0) =0，则f (x)是奇函数”为假命题的一个函数是________________ .【答案】f (x) =x212. 在厶 ABC 中，a =3 , b 瑯，B =2A ，则 cos A =【答案】实数b 的取值范围是=sin (2x+ )13•设函数 e , x<0 -x 2 + x+-, x>0则 f [f ( 0)]=；若方程f (x ) = b 有且仅有3个不同的实数根，则【答(1). (2).14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告(时间如下，转场时间忽略不计)，并某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为 ___________ • 【答案】D三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.已知函数(n)若直线x =n 为函数f (x +a )图象的一条对称轴，求实数a 的值.案】1 x (I)百：(n) a==2cosx兀v'3 孑 21 .匣、百 sinx+ —cosx)-—2 2 2=sin xcosx+ cos X -要求听报告者••• T= n,(II )由(I)可知 f (x+a ) =sin (2x+2a+ p),Pl•••直线x=n为函数f (x+a )图象的一条对称轴，••• f (n + a)为f (x+a )的最大或最新值，即 f (n +a) =sin (2耳+ =sin (2a+=±1，1 1,k € z3 2_ 1…a= , k€ zb i ?UGr I —16.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中，屯・寸，且a4+a5=6a3.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)设数列｛log2a n｝的前n项和为S n,求S n的最小值.【答案】(I) a n=2 n-4(n) -6解：(I)各项均为正数的等比数列｛a n｝的公比设为q , q > 0 ,，且a4+a 5=6a 3,可得a1q= , a1q3+a 1q4=6a 1q2,解得q=2 , a1= —,Snt1则a n=a1q n-1= ?2n-1=2 n-4;8(n)设b n =log 2a n=log 22n-4=n-4 ,由1< n W4 时，b n W 0, n》5 时，b n > 0,可得S n的最小值为S3=S4=-3-2-1=-6 .17•为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值[15 , 20) [20 , 25) [25 , 30) [30 , 35) [35 , 40) [40 , 45]等级次品二等品存口寺口仃二等品二纶口一寺口仃次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表(如下面表, 其中a>0).[15 , 20) 2[20 , 25) 18[25 , 30) 48[30 , 35) 14[35 , 40) 16[40 , 45]2合计100(I)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；(n)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动•已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于［40, 45］的产品的概率；(川)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.解：(I)由频率分布直方图得：(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080 )x 5=1,解得a=0.008 ,•••甲企业的样本中次品的频率为( a+0.020 )X 5=0.14 ,故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14 •(n)记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于［40 , 45］的产品”为事件M,记质量指标值在［15 , 20］内的2件产品的样本分别为A i, A，质量指标值在［40 , 45］内的确件产品样本分别为B1, B2,从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有（A i ，A 2）,（ A i ，B i ）,（ A i ，B 2），（ A 2，B i ）,（ A ，B 2），（ B i ，B 2），而事件M 包含的结果有4种，分别为：（A i ，B i ），（ A i ，B 2），（ A 2，B i ），（ A 2，B 2）, •••这两件次品中恰有一件指标值属于[40 , 45]的产品的概率 P — .6 3（川）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， •认为乙企业产品的食品生产质量更高.【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题.i8•如图，在三棱柱 ABC-A i B i C i 中，侧面B i BCG 是正方形，M, N 分别是A i B i, AC 的中点，AB 丄平面BCM.（I ）求证：平面 B i BCC 丄平面A i ABB i ;（H ）求证：A i N//平面 BCM;【答案】（I ）详见解析（H ）详见解析（川）6种，分别为:求棱锥C i -BB i M 的体积.BCM，BC?平面「. AB••• AB n BB i=B，• BC丄平面A i ABB i，••• BC?平面B i BCC i，...平面B i BCC i 丄平面A i ABB i;(H)设BC中点为Q,连结NQ, MQ,••• M , N 分别是A1B1, AC 的中点，••• NQ// AB ,且NQ= " AB, 2T AB // A1B1，且AB=A i B i,「. NQ / A i M，且NQ=A i M ,•四边形A i MQN是平行四边形，• A i N / MQ,■/ MQ?平面BCM，A1N?•- A i N //平面BCM.(川)连结A i B,根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥B-A i B i C i的体积*〜日尺=1.日小，5 =兰,••• M为A i B i的中点，•棱锥C i-BB i M的体积乞占严=.仝心说=i9.已知椭圆C：二+ 1=血〉Q啲离心率为土，左、右顶点分别为A, B,点M是椭圆C上异于A, B的苕2 2一点，直线AM与y轴交于点P.(I)若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；(H)设椭圆C的右焦点为F,点Q在y轴上，且/ PFQ=90°，求证:解：(I)由题意可得c2=a2-2,..e忑-e==,• a=2 , c=点，•••椭圆的方程为三+ =i ,设P (0 , m ),由点P在椭圆C的内部，得卫v m<J ,又T A (-2 , 0),又M为椭圆C上异于A , B的一点，<2…k AM €( — , 0), (0 ,(n)由题意F (|.J』，0),设Q ( 0 , y i) , M (X0 , y o),其中x o 工土2 ,y jQ直线AM的方程为y(x+2 ), AQ// BM.【答案】(I) (: , 0) ( 0,(n)详见解析•直线AM的斜率k AM= =0 + 2Xo + 22y I令x=0，得点P 的坐标为(0, ),h+q由/ PFQ=90。

北京市西城区2019-2019学年度第一学期期末教学统一检测_高三数学文科-11页精选文档

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2011.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B =I （A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A ）lg y x =（B ）cos y x = （C ）||y x = （D ）sin y x =3. 若a b >，则下列不等式正确的是（A ）11ab<（B ）33a b >（C ）22a b >（D ）a b >4. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是（A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤（D ）若1a b +<，则a b <5. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为（A ）12（B ）60（C ）75（D ）120 6. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是（A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（A ）A C BD '⊥（B ）90BA C o '∠=（C ）A DC '∆是正三角形（D ）四面体A BCD '-的体积为138. 设函数121()log ()2x f x x =-，2121()log ()2x f x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 为虚数单位，则22(1i)=+______.10. 已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______.11.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______.12.在ABC ∆中，若33a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 13. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______. 14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，90BAC ∠=o ，D 为BC 中点.（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ；（Ⅱ）求证：11C A B C ⊥. 17.（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务ABCDC 1 A 1B 112210 3次的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. 18.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的倍.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积.19.（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围. 20.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1. （Ⅰ）若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠.（ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（文科） 2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 60o 11. 412. 13. (2,0)±0y ±= 14. ①③④ 注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()6f π22sin 36ππ- ………………2分321241=-⨯=. ………………4分（Ⅱ）()f x cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-. ………………8分因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-. ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1A C ，设1A C 交1AC 于点O ，连结OD . ………………2分因为11ACC A 为正方形，所以O 为1A C 中点，又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，所以1//A B OD . ………………4分因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC . (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥，且90BAC ∠=o ，所以AB ⊥平面11ACC A . 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A . ………………9分又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥. ………………10分所以111C A A B C ⊥平面. ………………12分又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥. ………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M =. …………AB CDC 1A 1B 1O……2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分40.1040m p M ===. ………………4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b .则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,c a ==， ………………2分又221a b -=，所以21b =，22a =. ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=. ………………4分（Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k =-+，所以222412(,)1212k k B k k --++，2221(,)1212k P k k -++， ………………8分因为直线OP 的斜率为1-，所以112k-=-，解得12k =（满足（*）式判别式大于零）. ………………10分O到直线1:12l y x =+的距离为………………11分AB ==， ………………12分所以△OAB的面积为1223=. ………………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分(Ⅱ)11'()(0)ax f x a x xx+=+=>. ………………5分①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. (6)分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a-上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞.………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………9分max ()2g x = ………………10分由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意.(或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………13分所以21ln()a >---，解得31e a <-. ………………14分20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a a b =+=+=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥），所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. ………………5分又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，当21()n k k =+∈*N 时，123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=. ………………8分（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b，且这六个数的和为222b b++. 设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++ 所以，数列}{6i n a +均为以222b b ++为公差的等差数列. ………………10分因为b >时，2220b b++>，0b <时，22220b b++≤-<， ………………12分第 11 页所以{6n i a }为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。

北京市西城区2019届高三第一学期期末数学(文科)试题(解析版)

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合-■■■ : ■' ■'二仁「：，：：冲■/，那么.二门】-（）A. B.：」：C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A, B,由此能求出A H B.【详解】解：：•集合A ={x|x= 2k, k巳},B = {x|x2w 5》{xl-Wv；,••• A H B = { - 2, 0, 2}.故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+R）上单调递增的是（）A. = ■. : ■…■：■B.C. ;：■ lr.D. 》【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y= x2+2x为二次函数，其对称轴为x=- 1,不是偶函数，不符合题意；对于B，y= x3，是奇函数，不符合题意；对于C，y= ln|x| .，是偶函数又在区间（0, + R）上单调递增，符合题意；对于D, y= cosx为偶函数，在区间（0, + R）上不是单调函数，不符合题意，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题.3. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（正（主）视图侧｛左视图俯视團A. ..B. ..C. L迄D.示【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA丄底面ABCD, PA=2 ,底面是一个直角梯形，其中BC// AD, AB丄AD, BC=AB=1 , AD=2 .即可得出.【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA丄底面ABCD, PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC/ AD, AB丄AD, BC=AB=1 , AD=2 .可知其最长棱长为PD 打•二：2 .故选：C.【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，考查空间想象能力，属于基础题.■X - y十3三04•设x, y满足约束条件x - Y - 3冬0，则z= x+3 y的最小值为（A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.fX - y -I- 3 > 0【详解】解：由x , y 满足约束条件’ 作出可行域如图,I X 十 >0联立： .，解得A (2, - 1),化目标函数z = x+3y 为y ,3 3由图可知，当直线 y = - ■八过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为-1.故选：A .【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方5•执行如图所示的程序框图，若输入的 m =l ，则输出数据的总个数为(* 4 /法，是中档题.【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得： m=1此时，不满足条件 m €( 0, 100 ),退出循环，结束.可得输出数据的总个数为 6.故选：B .【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.6•设数列是等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的()n 的值，模拟程序的运行过程, 满足条件 m €(0, 100), 执行循环体,满足条件 m € (0, 100), 执行循环体, 满足条件 m €(0, 100), 执行循环体, 满足条件 m € (0, 100), 执行循环体,满足条件 m € (0, 100), 执行循环体,满足条件 m€(0, 100), 执行循环体, n=3，输出n 的值为3, m=3 n=7，输出n 的值为7, m=7n=15，输出n 的值为15, m=15n=31，输出n 的值为31 , m=31n=63，输出n 的值为63, m=63n=127，输出 n 的值为 127 , m=127A. 5B. 6C. 7D. 8A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当-•时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。

北京市西城区高三统一测试数学文科

2．若复数 z i ( a i) 满足 | z | 2 ，则实数 a
（A ） 3 （B）1
（C） 3 或 3
（D） 1 或 1
3．以点 A(1, 2) 为圆心，且与直线 x y 0 相切的圆的方程是
（ A ） ( x 1)2 ( y 2) 2
1
1
（C） ( x 1)2 ( y 2)2
2
2
（ B ） ( x 1)2 ( y 2) 2 9 2
北京市西城区高三统一测试数学文科）
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
2019.5
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合 A { x |1 x 3}， B { x | x 0 或 x 2} ，则 A I B= （ A ） { x | x 0 或 2 x 3}（B ） { x| 2 x 3} （ C） { x | x 0 或 x 1} （ D） { x | 0 x 1或 2 x 3}
15．（本小题满分 13 分）
在△ ABC 中，已知 a 2b, b 2c
（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）若 b 2，求△ ABC 的面积．
16．（本小题满分 13 分）
已知等比数列 an 的前 n项和 Sn p 23 n，其中 n N* .
（Ⅰ）求 p 的值及数列 { an } 的通项公式；
（Ⅱ）判断数列
（Ⅲ）经测算， W 型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系
3 4. 若
表中 W 型号手机销量的方差 s2 m (m 0) ，试给出表中 5 个手机店的 W 型号手
0
机销售成本的方差 s2 的值 .（用 m 表示，结论不要求证明）

北京市西城区2019-2019学年度第一学期期末教学统一检测_高三数学文科-8页精选文档

北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2019.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B =（A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A ）lg y x =（B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =3. 若a b >，则下列不等式正确的是（A ）11a b< （B ）33a b >（C ）22a b >（D ）a b >4. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是（A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤（D ）若1a b +<，则a b <5. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为（A ）12（B ）60（C ）75（D ）1206. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是（A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C '∠=（C ）A DC '∆是正三角形（D ）四面体A BCD '-的体积为138. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 为虚数单位，则22(1i)=+______. 10. 已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______. 11.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______.12.在ABC ∆中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 13. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值. 16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，90BAC ∠=，D 为BC 中点.（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ；（Ⅱ）求证：11C A B C ⊥. 17.（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. 18.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长倍.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积. 19.（本小题满分14分）ABCDC 1 A 1B 1已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ）若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠. （ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（文科） 2019.1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 60 11. 412.13. (2,0)±0y ±= 14. ①③④注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()6f π22sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=. ………………4分（Ⅱ）()f x cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-. ………………8分因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-. ………………13分 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1A C ，设1A C 交1AC 于点O ，连结OD . ………………2分因为11ACC A 为正方形，所以O 为1A C 中点，又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，所以1//A B OD . ………………4分因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC . ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥，且90BAC ∠=，所以AB ⊥平面11ACC A . 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A . ………………9分又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥. ………………10分所以111C A A B C ⊥平面. ………………12分又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥. ………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以40M =. ………………2分因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分40.1040m p M ===. ………………4分因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分AB CDC 1A 1B 1O（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………13分 18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,c a ==， ………………2分又221a b -=，所以21b =，22a =. ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=. ………………4分（Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k =-+，所以222412(,)1212k k B k k --++，2221(,)1212k P k k -++， ………………8分因为直线OP 的斜率为1-，所以112k-=-，解得12k =（满足（*）式判别式大于零）. ………………10分 O 到直线1:12l y x =+ ………………11分AB ==………………12分所以△OAB 的面积为1223=. ………………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分 (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………5分①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a -+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………9分max ()2g x = ………………10分由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………13分所以21ln()a >---，解得31ea <-. ………………14分 20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a a b =+=+=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥），所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. ………………5分又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，当21()n k k =+∈*N 时，123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=. ………………8分（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b ，且这六个数的和为222b b++. 设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++所以，数列}{6i n a +均为以222b b++为公差的等差数列. ………………10分因为0b >时，2220b b ++>，0b <时，22220b b++≤-<， ………………12分所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分。

北京市西城区2019—2019学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)

北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2019.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若AB B =，则实数a 的取值范围是（）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为真命题（C ）“p ⌝”为真命题（D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图 22 1 16. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题共110分）开始 4x >输出y 结束否是输入xy=12○1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____.11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5, 2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时. ○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．O x y 4-23O 时间(小时) 0.5 1.5 2.5 3.5 0.10.4a 频率组距15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.18．（本小题满分13分）F CADPMB E甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为32，点3(1,)2A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x=+，直线1l y kx =-：. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．1 13．7922 14．4 是注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列，所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩……………… 2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎨-=-⎩……………… 3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ……………… 7分（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==，所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos222x x=+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ……………… 11分所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分（Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略），由12PM MD =，得23MN PA =，又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，所以,x y 中至少有一个小于6， ……………… 4分又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ，所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种，它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，FC ADPMB E34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ……………… 2分又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ……………… 3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ……………… 5分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--.综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞ (0,1)1(1,)+∞()f x '+-0 +()f x↗↘↗所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分（Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-，所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ，所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分即2031x =-，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分（Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x+=-的根的个数”.由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ……………… 9分令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ……………… 11分而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有且仅有一个交点. ……………… 13分。