高中数学第一章1.1.2第2课时条件结构教学案新人教A版必修20.doc

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人教版数学高一教学设计第2课时条件结构

1.1.2 第2课时条件结构整体设计教学分析用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.程序框图用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确.为了更好地学好程序框图，我们需要掌握程序框的功能和作用，需要熟练掌握三种基本逻辑结构.三维目标1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.3．通过比较体会程序框图的直观性、准确性.导入新课思路1（情境导入）我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：你有牙齿是我们一伙的，鸟们喊道：你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法，今天我们开始学习新的逻辑结构——条件结构.思路2（直接导入）前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构.推进新课新知探究提出问题（1）举例说明什么是分类讨论思想？（2）什么是条件结构？（3）试用程序框图表示条件结构.（4）指出条件结构的两种形式的区别.讨论结果：（1）例如解不等式ax>8(a≠0),不等式两边需要同除a,需要明确知道a的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类讨论，这就是分类讨论思想.（2）在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.（3）用程序框图表示条件结构如下．条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过程如下：条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框．图1 图2注：无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图2.（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A，而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步骤.应用示例例1 任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图.算法分析：判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.算法步骤如下：第一步，输入3个正实数a，b，c.第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形.程序框图如图：点评：根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用到条件结构.变式训练设计一个求解一元二次方程ax 2+bx +c =0的算法，并画出程序框图表示.算法分析：我们知道，若判别式Δ=b 2-4ac >0，则原方程有两个不相等的实数根x 1=ab 2∆+-,x 2=a b 2∆--；若Δ=0，则原方程有两个相等的实数根x 1=x 2=ab 2-；若Δ<0，则原方程没有实数根.也就是说，在求解方程之前，可以先判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的步骤，这个过程可以用条件结构实现.又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算x 1和x 2之前，先计算p =ab 2-，q =a 2∆. 解：解决这一问题的算法步骤如下：第一步，输入3个系数a ，b ，c .第二步，计算Δ=b 2-4ac .第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则计算p =ab 2-，q =a 2∆；否则，输出“方程没有实数根”，结束算法.第四步，判断Δ=0是否成立.若是，则输出x1=x2=p；否则，计算x1=p+q，x2=p-q，并输出x1，x2.程序框图如下：例2设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根，并画出相应的程序框图.解：算法步骤如下：第一步，输入3个系数：a，b，c.第二步，计算Δ=b2－4ac.第三步，判断Δ≥0是否成立.若是，则输出“方程有实根”；否则，输出“方程无实根”.结束算法.相应的程序框图如图：点评：根据一元二次方程的意义，需要计算判别式Δ=b2－4ac的值.再分成两种情况处理：（1）当Δ≥0时，一元二次方程有实数根；（2）当Δ＜0时，一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题，根据一元二次方程系数的不同情况，最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时，必须先确定判别式的值，然后再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的，要对判别式的值进行判断，需要用到条件结构.例3设计算法，找出输入的三个不相等实数a、b、c中的最大值，并画出流程图.解：算法步骤：第一步，输入a，b，c的值.第二步，判断a>b是否成立，若成立，则执行第三步；否则执行第四步.第三步，判断a>c是否成立，若成立，则输出a，并结束；否则输出c，并结束.第四步，判断b>c是否成立，若成立，则输出b，并结束；否则输出c，并结束.程序框图如下：点评：条件结构嵌套与条件结构叠加的区别：（1）条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”“条件2”“条件3”……都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作.（2）条件结构的嵌套中，“条件2”是“条件1”的一个分支，“条件3”是“条件2”的一个分支……依此类推，这些条件中很多在算法执行过程中根据所处的分支位置不同可能不被执行. （3）条件结构嵌套所涉及的“条件2”“条件3”……是在前面的所有条件依次一个一个的满足“分支条件成立”的情况下才能执行的此操作，是多个条件同时成立的叠加和复合.变式训练设计算法，求ax+b=0的解，并画出流程图.解：对于方程ax+b=0来讲，应该分情况讨论方程的解.我们要对一次项系数a 和常数项b 的取值情况进行分类，分类如下：（1）当a ≠0时，方程有唯一的实数解是a b -；（2）当a =0，b =0时，全体实数都是方程的解；（3）当a =0，b ≠0时，方程无解.联想数学中的分类讨论的处理方式，可得如下算法步骤：第一步，判断a ≠0是否成立.若成立，输出结果“解为ab -”. 第二步，判断a =0，b =0是否同时成立.若成立，输出结果“解集为R ”.第三步，判断a =0，b ≠0是否同时成立.若成立，输出结果“方程无解”，结束算法.程序框图如下：点评：这是条件结构叠加问题，条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”“条件2”“条件3”……都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作.例 4 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f=⎩⎨⎧>⨯-+⨯≤).50(,85.0)50(53.050),50(,53.0ωωωω 其中f （单位：元）为托运费，ω为托运物品的重量（单位：千克）.试画出计算费用f 的程序框图.分析：这是一个实际问题，根据数学模型可知，求费用f 的计算公式随物品重量ω的变化而有所不同，因此计算时先看物品的重量，在不同的条件下，执行不同的指令，这是条件结构的运用，是二分支条件结构.其中，物品的重量通过输入的方式给出.解：算法程序框图如图：变式训练有一城市，市区为半径为15 km 的圆形区域，近郊区为距中心15—25 km 的范围内的环形地带，距中心25 km 以外的为远郊区，如右图所示．市区地价每公顷100万元，近郊区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x ,y )，求该点的地价．分析：由该点坐标(x ，y )，求其与市中心的距离r=22y x +，确定是市区、近郊区，还是远郊区，进而确定地价p ．由题意知，p =⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤<.25,20,2515,60,150,100r r r解：程序框图如下：课堂小结（1）理解两种条件结构的特点和区别.（2）能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题.设计感想本节采用引人入胜的方法引入正课，选用的例题难度适中，有的经典实用，有的新颖独特，每个例题都是很好的素材.条件结构是逻辑结构的核心，是培养学生逻辑推理的好素材，本节设计符合新课标精神，难度设计略高于教材.当堂检测1．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A．4 B．5C．6 D．7【解析】当k＝0时，S＝0S＝1k＝1，当S＝1时，S＝1＋21＝3k＝2，当S＝3时，S＝3＋23＝11<100k＝3，当S＝11时，k＝4，S＝11＋211>100，故k＝4.【答案】 A2．阅读下边的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()A．i<3? B．i<4?C．i<5? D．i<6?【解析】i＝1，s＝2；s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；s＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7.【答案】 D3．求边长为3,4,5的直角三角形的内切圆半径的算法为：第一步输入__________________；第二步计算r ＝a ＋b －c 2；第三步输出r .【答案】 a ＝3，b ＝4，c ＝54．已知点P 0(x 0，y 0)和直线l ：Bx ＋By ＋C ＝0，写出求点P 0到直线l 的距离d 的算法并画出程序框图．解：(1)用数学语言来描述算法：第一步，输入点的坐标x 0，y 0，输入直线方程的系数即常数B ，B ，C ；第二步，计算z 1＝Bx 0＋By 0＋C ；第三步，计算z 2＝B 2＋B 2；第四步，计算d ＝|z 1|z 2；第五步，输出d .(2)用程序框图来描述算法，如图：。

(统编版)2020学年高中数学第一章1.1.2第2课时条件结构教学案新人教A版必修20

第二课时条件结构预习课本P10～12，思考并完成以下问题(1)什么是条件结构？(2)条件结构有几种形式？[新知初探]1．条件结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理上述过程的结构就是条件结构．2．条件结构的程序框图的两种形式及特征名称形式一形式二结构形式特征两个步骤A，B根据条件选择一个执行根据条件是否成立选择是否执行步骤A[小试身手]1．下列关于条件结构的说法中正确的是( )A．条件结构的程序框图有一个入口和两个出口B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一C．条件结构中的两条路径可以同时执行D．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的解析：选B 条件结构只能执行判断框中的两条路径之一．2．下列问题的算法宜用条件结构表示的是( )A．求点P(－1,3)到直线3x－2y＋1＝0的距离B．由直角三角形的两条直角边求斜边C．解不等式ax＋b>0(a≠0)D．计算100个数的平均数解析：选C A、B、D只需顺序结构即可．3．根据如图所示的程序框图，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则( )A．框1中填“是”，框2中填“否”B．框1中填“否”，框2中填“是”C．框1中填“是”，框2中可填可不填D．框2中填“否”，框1中可填可不填解析：选A 成绩不低于60分时输出“及格”，即x≥60时满足条件，故框1填“是”，框2填“否”．4．如图所给的程序框图描述的算法的运行结果是( )A．－5 B．5C．－1 D．－2解析：选A ∵x＝－1<0，∴y＝3×(－1)－2＝－5.与条件结构有关的读图问题[典例] (1)如图所示的程序框图，其功能是( )A ．输入a ，b 的值，按从小到大的顺序输出它们的值B ．输入a ，b 的值，按从大到小的顺序输出它们的值C ．求a ，b 中的最大值D ．求a ，b 中的最小值(2)对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如程序框图所示，则3⊗2＝________.[解析] (1)取a ＝1，b ＝2知，该程序框图输出b ＝2，因此是求a ，b 中的最大值． (2)由于a ＝3，b ＝2，则a ≤b 不成立，则输出a ＋1b ＝3＋12＝2. [答案] (1)C (2)2条件结构读图的策略(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能． (2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值．[活学活用]1．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( ) A ．求a ，b ，c 三数中的最大数 B ．求a ，b ，c 三数中的最小数 C ．将a ，b ，c 按小到大排列 D ．将a ，b ，c 按从大到小排列解析：选B 经判断框中a >b 处理后a 是a ，b 中的较小者，经判断框a >c 处理后，a 是a ，c 中的较小者，结果输出a ，即a 是a ，b ，c 中的最小数．2．如图，函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2，若输入的x 值为3，则输出的h (x )的值为________．解析：由框图可知，当x ＝3时，f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9，∴f (3)＜g (3)，∴h (3)＝g (3)＝9，故输出的值为9.答案：9条件结构的算法与框图的设计[典例] 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，1x 2，x <0，设计一个算法的程序框图，计算输入x 的值，输出y 的值．[解] 根据题意，其自然语言算法如下：第一步，输入x .第二步，判断x >0是否成立，若是，则输出y ＝1x，结束算法；若不是，则判断x <0是否成立，若是，则输出y ＝1x2，结束算法；若不是，也结束算法．程序框图如图所示：设计条件结构框图的思路(1)先设计算法，再把算法步骤转化为框图的形式．(2)凡是先根据条件作出判断，再决定进行哪一个步骤的问题，在画算法框图时，都必须引入判断框，采用条件结构．(3)在画出条件结构的框图后，可通过检查各条件分支与已知描述情况是否对应来判断所画框图是否正确．[活学活用]设计程序框图，输入x 的值，求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0的值．解：算法如下：第一步，输入x 的值．第二步，判断x 的大小．若x ≥0，则y ＝x 2；否则，y ＝－x 2. 第三步，输出y 的值．程序框图如图：条件结构的实际应用[典例] 为了加强居民的节水意识，某市制定了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元，并加收每立方米0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收每立方米0.4元的城市污水处理费．设某户每月用水量为x 立方米，应缴纳水费y 元，请你设计一个输入用水量、输出应缴水费额的算法，画出程序框图．[解] y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x ，0≤x ≤7，1.9x －4.9，x >7.算法设计如下：第一步，输入每月用水量x (x ≥0)．第二步，判断输入的x 是否超过7，若x >7，则应缴纳水费y ＝1.9x －4.9；否则应缴纳水费y ＝1.2x .第三步，输出应缴水费y .程序框图如图所示：设计程序框图解决实际问题的步骤(1)读懂题意，分析已知与未知的关系； (2)概括题意写出表达式； (3)设计算法步骤；(4)根据算法步骤画出程序框图．[活学活用]某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．解：设费用用y (元)表示，人数用x 表示，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，x ≤3，5＋1.2x －3，x ＞3.算法如下：第一步，输入x .第二步，若x ≤3，则y ＝5；否则执行第三步．第三步，y ＝5＋1.2(x －3)．第四步，输出y . 程序框图如图所示：[层级一学业水平达标]1．如图是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．条件结构C ．判断结构D ．以上都不对解析：选B 此逻辑结构是条件结构． 2．给出以下四个问题：①输入一个数x ，输出它的相反数． ②求面积为6的正方形的周长． ③求三个数a ，b ，c 中的最大数．④求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x ＋2，x ＜0的函数值．其中不需要用条件结构来描述其算法的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 语句①不需要对x 进行判断，所以不需要用条件结构来描述算法；语句②不需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件结构；语句④为分段函数，需要判断x 的取值范围，所以需要用到条件结构来描述算法．3．一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为8时，输入的x 的值为________．解析：由y ＝x 2－1＝8，得x ＝±3<5，而由y ＝2x 2＋2＝8，得x ＝±3<5，不合题意，故输入的x 的值为3或－3.答案：±34．如图所示的程序框图，输入x ＝2，则输出的结果是________．解析：通过程序框图可知本题是求函数y ＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞1，x ＋1，x ≤1的函数值，根据x ＝2可知y ＝2＋2＝2.答案：2[层级二应试能力达标]1．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入x 的值与输出y 的值相等，则这样的x 的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ≤2时，y ＝x 2＝x ，解得x 1＝0，x 2＝1；当2<x ≤5时，y ＝2x －3＝x ，解得x 3＝3；当x >5时，y ＝1x＝x ，解得x ＝±1(舍去)，故x 的值可以为0,1,3.2．程序框图如图所示，若输出的y ＝0，那么输入的x 为( )A ．－3,0B ．－3，－5C ．0，－5D ．－3,0，－5解析：选A 由框图知，当x ＝－3,0时，输出的y 值均为0. 3.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝x 3＋x解析：选D 由框图可知，当输入的函数f (x )为奇函数且存在零点时，才可输出f (x )，由选项可知，仅f (x )＝x 3＋x 同时满足这两个条件，故选D.4．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，2－x ，x <2.图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图①处应为( )A ．x <2?B ．x >2?C ．x ≠2?D ．x ＝2?解析：选A 框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故①应为x <2？，故选A.5.已知函数f (x )＝|x －3|，以下程序框图表示的是给定x 值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．解析：由f (x )＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，3－x ，x <3及程序框图知，①处可填x <3？，②处应填y ＝x －3.答案：x <3？ y ＝x －36．如图所示的算法功能是________．解析：根据条件结构的定义，当a ≥b 时，输出a －b ；当a ＜b 时，输出b －a . 故输出|b －a |. 答案：计算|b －a |7．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω，ω≤50，50×0.53＋ω－50×0.85，ω>50，其中ω(单位：kg)为行李的质量．设计程序框图，输入行李质量，计算费用c (单位：元)．解：程序框图如下：8．用程序框图表示解方程ax ＋b ＝0(a ，b 为常数)的算法．解：算法设计如下：第一步，输入a ，b 的值．第二步，判断a ＝0是否成立，若成立，则执行第三步；若不成立，则令x ＝－ba，输出x ，结束算法．第三步，判断b ＝0是否成立，若成立，则输出“方程的解为R”，结束算法；若不成立，则输出“无解”，结束算法．程序框图为：。

(新人教版)新版高中数学第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时组合的综合应用学案新人教A版选修2-3【提

第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 A解析方法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 A解析可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案 B解析先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B 解析分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法．第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法．由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 A解析首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 D解析用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法．二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法．共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．精品试卷第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．欢迎下载。

高中数学第一章第2课教案

高中数学第一章第2课教案
教学内容：集合及其运算
教学目标：
1. 了解集合的定义和表示方式。

2. 掌握集合的基本运算：交集、并集、差集。

3. 能够运用集合的运算解决实际问题。

教学重点和难点：
重点：集合的定义、表示方式，集合的基本运算。

难点：理解集合运算的概念及运用。

教学准备：
1. 教材《数学》第一册。

2. 教学课件。

3. 练习题。

教学过程：
一、导入
教师引导学生回顾上节课所学内容，引出集合及其运算的主题。

二、讲解
1. 集合的定义和表示方式。

2. 集合的基本运算：交集、并集、差集。

三、讲解案例
教师通过案例演示集合的运算方法及应用，让学生深入理解集合运算的概念。

四、练习
教师布置练习题，让学生运用所学知识进行练习。

五、总结
教师对本节课所学内容进行总结，强调重要概念和运算方法。

六、作业
布置作业：完成《数学》第一册相关练习题。

七、课外拓展
学生可自行拓展集合运算的相关知识，加深对集合的理解。

教学反思：
教师应该结合学生实际情况，注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，引导学生自主学习和思考。

同时，注重实际运用，让学生掌握数学知识的应用技能。

新课标人教A版高一数学讲义 122条件语句教案

1、2、2条件语句一、【学习目标】1、条件语句的用法.2、利用条件语句编写算法语句.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第21页内容，回答问题（条件语句）<1>回忆程序框图中的两种条件结构.<2>指出条件语句的格式及功能.<3>指出两种条件语句的相同点与不同点.结论：<1>见教材.<2>①“IF—THEN—ELSE”语句.格式：如图.功能：在“IF—THEN—ELSE”语句中，条件表示判断的条件，语句体1表示满足条件时执行的操作内容.语句体2表示不满足条件时执行的操作内容.END IF表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的语句进行判断，如果符合条件，如果符合条件，则执行THEN后的语句体1，反之则执行ELSE后面的语句体2.②IF—THEN语句.格式：如图.功能：条件表示判断的条件，语句表示满足条件时执行的内容.条件不满足时，直接结束判断过程；END IF表示条件语句的结束.计算机在执行IF—THEN语句时，首先对IF后的语句进行判断，如果符合条件就执行THEN后面的语句，若不符合条件就直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.<3>相同点：首先对IF后的语句进行判断，如果符合条件就执行THEN后面的语句.不同点：对于“IF—THEN—ELSE”语句，若不符合条件，则执行ELSE后面的语句体2.对于IF—THEN语句，若不符合条件就直接结束该条件语句，转而执行其他后面的语句.【教学效果】：理解条件语句.三、【综合练习与思考探索】练习一：教材例5.理解教材例5，完成思考内容.练习二：教材例6.理解教材例6，能完成算法和程序框图的相互转换.练习三：教材例7.编写程序，使任意输入的三个整数按从大到小的顺序输出.算法分析：a,b,c表示输入的三个整数.为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a,b,c表示，并使a≥b≥c，具体操作步骤如下：第一步，输入三个整数a,b,c第二步，将a与b比较，把小者赋给b，大者赋给a.第三步，将a与c比较，把小者赋给b，大者赋给a.第四步，将b与c比较，把小者赋给c，大者赋给a.第五步，按顺序输出a,b,c.程序框图和程序如下：【教学效果】；通过学习，进一步巩固条件语句.四、【作业】1、必做题：习题1.2B组1.2、选做题：教材对应练习.五、【小结】本节课主要学习了条件语句.六、【教学反思】学生的自尊心，是每一个老师都要维护的.我们不仅要在课堂上维护学生的自尊心，在课下，也是要维护学生自尊心的.甚至老师们在私下讨论的时候，也是要维护的.。

高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题课时跟踪训练含解析新人教A版必修

学习资料测量高度、角度问题[A组学业达标]1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°答案:D2．如图，从地面上C，D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于(）A．100米B．50错误!米C．50错误!米D．50（错误!＋1）米解析:设AB＝x m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，在Rt△ABC中,BC＝AB＝x，在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，所以DB＝错误!AB，即100＋x＝3x，解得x＝50(错误!＋1）m.所以山AB的高度为50(3＋1)米．答案：D3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度,在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为()A．20 m B．20 2 mC．20错误!m D．40 m解析：设高OP＝h，则OA＝h tan 60°＝3h，OB＝h tan 45°＝h。

在△AOB中，由余弦定理得402＝（3h）2＋h2－2·错误!h·h·cos 30°，解得h＝40。

故选D.答案：D4．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为（）A。

错误!B．错误!C.错误!D.错误!π解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝错误!＝错误!＝错误!，又α∈错误!,∴α＝错误!。

答案：C5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物的高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m解析：如图,设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m,∴OD＝20 3 m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60 m，∴AB＝OA－OB＝40 m，故选C。

2020高中数学-第一章充分条件与必要条件-1.2.2-充要条件学案-新人教A版选修1-1

2020高中数学-第一章充分条件与必要条件-1.2.2-充要条件学案-新人教A版选修1-1-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[基础自测]1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．( )(3)若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A [由x 2－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .【导学号：97792015】(1)(3) [在(1)(3)中，p ⇔q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ⇒p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．][合作探究·攻重难]充分条件、必要条件、充要条件的判断指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件． [解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件．(2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件． [规律方法] 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． (3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若p ⇒q ，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；若p ⇒q ，且qp ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇔q ，则p 与q 互为充要条件；若pq ，且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．(1)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )【导学号：97792016】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b ”不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b ”，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确． ②若Δ＝b 2－4ac ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]充要条件的探求与证明A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B. [答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.[规律方法] 1.探求充要条件一般有两种方法：(1)探求A 成立的充要条件时，先将A 视为条件，并由A 推导结论(设为B )，再证明B 是A 的充分条件，这样就能说明A 成立的充要条件是B ，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．2．充要条件的证明(1)证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．[跟踪训练]2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )【导学号：97792017】A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)B[由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.充分条件、必要条件、充要条件的应用[1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则A B，若p是q的必要不充分条件，B A.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路探究][解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qp .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}． [答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞))母题探究：1.本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p q .则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10}所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．2．若本例题改为：已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]． [规律方法]利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围(1)化简p 、q 两命题，(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围．1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，y ＝－1，则|x |＝|y |，但x ≠y ；若x ＝y ，则|x |＝|y |，故选B.] 2．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，但x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立，故选B.]3．下列条件中，是x 2<4的必要不充分条件是( ) A ．－2≤x ≤2 B ．－2<x <0 C ．0<x ≤2D ．1<x <3A [由x 2<4得－2<x <2，必要不充分条件的x 的范围真包含{x |－2<x <2}，故选A.] 4．若“x ＜m ”是“(x －1)(x －2)＞0”的充分不必要条件，则m 的取值范围是________.【导学号：97792018】(－∞，1] [由(x －1)(x －2)＞0可得x ＞2或x ＜1，由已知条件，知{x |x ＜m }{x |x ＞2或x ＜1}， ∴m ≤1.]5．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2.[证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号．又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数．即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实J 根的充分必要条件．。

高中数学新人教版A版精品教案《1.2.2 条件语句》

《条件语句----第一课时》——教学设计报送单位：天津市宝坻区第四中学授课教师：刘红月：《条件语句----第一课时》教学设计一、指导思想：坚决贯彻党的教学工作方针政策，以提高教学质量为重点，提高学生学习能力为目的，不断开拓新的教学方式方法，活跃课堂气氛，灵活教学。

以培养学生的各种能力，及终生学习的能力为主导，认真钻研《新课程标准》，切实落实《新课标》。

结合上学期的工作总结及学生成绩，对自己的教学方法进行查缺补漏，对不同学生的学习采取针对性的教育。

二、教材分析：（一）教材地位：《条件语句》是人教版必修三的内容。

程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系，这种对应关系对于学生理解条件语句的结构，进一步理解算法中的条件结构都是很有帮助的我们可以给出条件语句的一般格式，让学生自己画出相应的程序框图，也可以给出程序框图，让学生写出算法语句（二）学习者特征分析：通过上一节的学习，学生学会了输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法，本节介绍条件语句的用法（三）教学目标：1了解条件语句的两种格式及其功能，明确条件语句与条件结构的对应关系。

2能用条件语句编写程序解决有关问题，进一步体会算法及其思想。

（四）教学重、难点：1理解条件语句并编写由条件语句组成的程序；2正确区分和使用条件语句的叠加结构和嵌套结构。

（五）教学准备：学案，课件，图形计算器。

三、教法、学法（教学策略选择与分析）根据本节内容逻辑性强，学生不易理解的特点，本节教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、练习法、讲解法。

采用这种方法的原因是学生的逻辑能力不是很强，只能通过对实例的认真领会及一定的练习才能掌握本节知识。

四、教学流程：ELSE＝－2END IFPRINTEND若输入＝5，输出__________．板书设计条件语句。

【高中数学教学设计】人教A版选修2-1第一章1.2.1“充分条件与必要条件”教学设计

“充分条件与必要条件”教学设计一、教学目标通过本节课学习，要达到以下四个目标：（1）知识目标：理解充分、必要、充要条件的定义及简单运用。

（2）能力目标深刻领会充分、必要、充要条件定义的本质。

能在日常生活和学习中自觉地运用逻辑推理的思想。

（3）德育渗透目标使学生认识对逻辑知识，特别是对“条件”的推断及推理这种思维方式在日常工作、学习中认识问题和分析问题的自觉运用。

（4）情感目标通过本节学习，使学生体会到教学的简洁美，感受到数学严谨的逻辑，同时认识到数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点。

二、教材分析1. 本节内容地位和作用“充分条件与必要条件”内容出现在高中数学第一册第一章第八节，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，具有如下特点：（1）逻辑性强，抽象度大，辐射面广。

（2）与旧教材比较，除将教学位置前移外，新教材在这部分内容上作了如下处理。

将相关联的知识体系作了相应扩充，在“充要条件”这节内容之前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这两节作知识铺垫。

这种处理充分说明“充要条件”这节内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。

从教材编写角度看，新旧教材最大差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上，旧教材对定义作了较为详尽但也枯燥、难懂的解释，而新教材的定义显得更为简洁精炼，同时新教材的例题、练习题、习题数量大增，是旧教材的两倍左右。

显然，新教材的编写者在处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学理念，但一次性给出定义，也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。

（3）充分、必要性的思想贯穿于数学命题，数学定理。

公理等的始终，同时，这种思维在日常生活中对分析问题和解决问题是大有裨益的。

2. 重、难点分析（1）重点分析对于学习充分、必要、充要条件其主要目的就是用于判别命题的条件与结论之间的逻辑关系，故充分、必要、充要条件的判定当之成为本节重点。

人教A版高一数学必修第一册课时安排

3.3
幂函数
3课时
10月21-23日
3.4
函数的应用（一）
3课时
10月26-28日
章末小结与测试
3课时
10月29-30日
第四章《指函数与对数函数》课时分配（16课时）
4.1
指数
2课时
11月2-3日
4.2
指数函数
3课时
11月4-6日
4.3
对数
2课时
11月9-10日
4.4
对数函数
3课时
11月11-13日
2.1
等式性质与不等式性质
3课时
9月18-22日
2.2
基本不等式
2课时
9月23-24日
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
4课时
9月25-30日
章末小结与测试
3课时
10月9-12日
第三章《函数概念与性质》课时分配（15课时）
3.1
函数的概念及其表示
3课时
10月13-15日
3.2
函数的基本性质
3课时
10月16-20日
第一章《集合与常用逻辑用语》课时分配（13课时）
1.1
集合的概念
2课时
9月1-2日
1.2
集合间的基本关系
2课时
9月3-4日
1.3
集合的基本运算
2课时
9月7-8日
1.4
充分条件与必要条件
2课时
9月9-10日
1.5
全称量词与存在量词
2课课时
9月15-17日
第二章《一元二次函数、方程和不等式》课时分配（12课时）
4.5
函数的应用（二）
3课时

2022版优化方案高一数学人教版必修三学案第一章算法初步 1.1.2第2课时循环结构

第2课时循环结构1．问题导航(1)什么是循环结构、循环体？(2)循环结构可细分为哪两类？它们有什么相同点和不同点？(3)什么状况下，可以使用循环结构？(4)循环结构与条件结构有什么关系？2．例题导读通过对例6的学习，学会当算法过程中包含重复存在的步骤时，可以用循环结构表示，同时学会循环结构的两类表示：一类是当型循环结构，另一类是直到型循环结构；通过对例7的学习，学会依据“确定循环体”“初始化变量”“设定循环把握条件”的挨次来构造循环结构．1．循环结构的概念及相关内容(1)循环结构：依据肯定的条件反复执行某些步骤的状况．(2)循环体：反复执行的步骤．2．循环结构的分类及特征名称直到型循环当型循环结构特征先执行循环体，后推断条件，若条件不满足，就连续执行循环体，直到条件满足时终止循环.先推断条件，若条件满足，则执行循环体，否则终止循环.1．推断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)程序框图中的循环可以是无尽的循环；()(2)循环结构是在一些算法中从某处开头依据肯定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中肯定包含条件结构；()(3)循环结构中不肯定包含条件结构．()解析：程序框图中的循环，必需是有限循环；循环结构肯定包含条件结构．答案：(1)×(2)√(3)×2．下面的框图是循环结构的是()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选C.由循环结构的特点知③④是循环结构，其中①是挨次结构，②是条件结构．3．运行如图所示的程序框图，输出的结果为________．解析：n＝1；S＝1＋0＝1，n＝2；S＝3，n＝3；S＝6，n＝4；S＝10，n＝5；S＝15，n＝6；S＝21，n＝7；S＝28，n＝8.答案：284．举例说明循环结构适用哪些常见的计算？解：循环结构主要用在一些有规律的重复计算中，如累加求和，累乘求积等问题．1．算法的基本规律结构有三种，即挨次结构、条件结构和循环结构．其中挨次结构是最简洁的结构，也是最基本的结构，循环结构必定包含条件结构，所以这三种基本规律结构是相互支撑的，它们共同构成了算法的基本结构，无论怎样简单的规律结构，都可以通过这三种结构来表达．2．两种循环结构的相同点：从两种不同形式的循环结构可以看出，循环结构中肯定包含条件结构，用于确定何时终止执行循环体．3．假如算法问题里涉及的运算进行了很多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用于循环结构．在循环结构中，要留意依据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量等，特殊要求条件的表述要恰当、精确．循环结构程序框图的设计设计一个算法，求13＋23＋…＋993＋1003的值，并画出程序框图．(链接教材P13例6)[解]算法如下：第一步，使S＝0.其次步，使I＝1.第三步，使S＝S＋I3.第四步，使I＝I＋1.第五步，若I≤100，则返回第三步；否则，输出S，算法结束．程序框图如图所示．方法归纳(1)假如算法问题中涉及的运算进行了多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的变化规律，就可以利用循环结构设计算法解决．(2)本题易错点是初始值与计数变量的取值；在循环结构中，要留意依据条件设计合理的计数变量、累加变量和累乘变量等，条件的表述肯定要恰当、精确，累加变量的初始值一般取0，而累乘变量的初始值一般取1.1．(1)如图所示程序框图输出的结果是() A．8 B．9C．10 D．11解析：选D.当i＝11时，不满足条件即输出．(2)设计求1×2×3×4×…×2 015的程序框图．解：程序框图如图所示：利用循环结构求满足条件的数值求满足1＋12＋13＋14＋…＋1n>2的最小正整数n，写出算法，并画出程序框图．[解]算法如下：第一步，S＝0；其次步，i＝1；第三步，S＝S＋1i；第四步，i＝i＋1；第五步，若S＞2，则输出i－1，否则返回第三步，循环结束．程序框图如图所示：[互动探究] 若将本例中的1n 改为1n 2，其他条件与结论都不变，那么，算法与程序框图需要怎样变化？解：算法与程序框图中，都将“S ＝S ＋1i ”改为“S ＝S ＋1i 2”．方法归纳求满足条件的最值问题的实质及留意事项：(1)实质：利用计算机的快速运算功能，对全部满足条件的变量逐一测试，直到产生第一个(不)满足条件的值时结束循环．(2)留意事项：①要明确数字的结构特征，打算循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．②要留意要统计的数消灭的次数与循环次数的区分．③要特殊留意推断框中循环变量的取值限制，是“>”“<”还是“≥”“≤”，它们的意义是不同的．2．(1)某程序框图如图所示，则该程序的算法功能是________．解析：由程序框图可知，输出的i 是满足1×3×5×7×…×n >50 000的最小正整数n .答案：求满足1×3×5×7×…×n >50 000的最小正整数n(2)已知1＋2＋3＋4＋…＋i ≤200，画出求i 的最大值的程序框图．解：程序框图如图所示．循环结构的实际应用某工厂2022年生产小轿车200万辆，技术革新后估计每年的生产力量比上一年增加5%，问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过300万辆？写出解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图．[解] 算法如下：第一步，令n ＝0，a ＝200，r ＝0.05；其次步，T ＝ar (计算年增量)；第三步，a ＝a ＋T (计算年产量)；第四步，假如a ≤300，那么n ＝n ＋1，返回其次步；否则执行第五步；第五步，N ＝2022＋n ；第六步，输出N . 程序框图如图所示：方法归纳(1)在解决实际问题时，关键是读懂题目，建立合适的模型，找到问题的计算公式．例如本题中T＝200(1＋5%)n.然后再去设计算法，画出程序框图．(2)设计一个程序框图算法的一般步骤：①用自然语言表述算法步骤；②确定每一个算法步骤所包含的规律结构，并用相应的程序框图表示，得到表示该步骤的程序框图；③将全部步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图．3．(1)小红今年12岁，她父亲比她大25岁，设计程序框图，计算出几年后她父亲比她的年龄大一倍，那时他们两人的年龄各是多少？解：程序框图如图所示．(2)某城市现有人口总数为100万人，假如年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：①写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；②用流程图表示如下算法：计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人．解：①y＝100(1＋1.2%)x；②程序框图如图：易错警示忽视初始值以及循环终止条件致误画出求S＝14＋24＋34＋…＋104的程序框图．[解]程序框图如图所示：[错因与防范](1)本题易消灭累加和S的初始值为1，循环终止条件为i<10的错误．(2)循环结构中对循环次数的把握格外关键，它直接影响着运算的结果．(3)把握循环次数要引入循环变量，其取值如何限制，要弄清两个问题：一是需要运算的次数；二是循环结构的形式，是“当型”还是“直到型”．扫一扫进入91导学网()循环结构4．(1)(2022·高考重庆卷)执行如图所示的程序框图，则输出s的值为()A．10 B．17C．19 D．36解析：选C.开头s＝0，k＝2；第一次循环s＝2，k＝3；其次次循环s＝5，k＝5；第三次循环s＝10，k＝9；第四次循环s＝19，k＝17，不满足条件，退出循环，输出s＝19.故选C.(2)给出30个数：1，2，4，7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，请在图中推断框①处和执行框②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能．解：该算法使用了当型循环结构．由于是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量．因此推断框内的条件应当用来限制计数变量i，故应填写i≤30？.算法中的变量p表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i－1，第i ＋1个数比其前一个数大i，故应有p＝p＋i.即：①处应填i≤30？；②处应填p＝p＋i.1.如图所示的程序框图中，语句“S＝S×n”将被执行的次数是()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由程序框图知：S＝1×2×3×…×n.又1×2×3×4×5＝120＜200，1×2×3×4×5×6＝720＞200.故语句“S＝S×n”被执行了5次．2．如图所示的程序框图表示的算法功能是()A．计算小于100的奇数的连乘积B．计算从1开头的连续奇数的连乘积C．从1开头的连续奇数的连乘积，当乘积大于或等于100时，计算奇数的个数D．计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值解析：选D.这是一个直到型循环结构，S＝1×3×5×…，推断条件是S≥100？，输出的是i，所以表示的是S＝1×3×5×…×n≥100时的最小的n值，故选D.3．如图所示的程序框图的输出结果为－18，那么在推断框中①表示的条件应当是()A．i≥9? B．i≥8?C．i≥7? D．i≥6?解析：选A.当S＝6，i＝1时，m＝－2×1＋6＝4，S＝6＋4＝10；当i＝2时，m＝－2×2＋6＝2，S＝10＋2＝12；当i＝3时，m＝－2×3＋6＝0，S＝0＋12＝12；当i＝4时，m＝－2×4＋6＝－2，S＝－2＋12＝10；当i＝5时，m＝－2×5＋6＝－4，S＝－4＋10＝6；当i＝6时，m＝－2×6＋6＝－6，S＝－6＋6＝0；当i＝7时，m＝－2×7＋6＝－8，S＝－8＋0＝－8；当i＝8时，m＝－2×8＋6＝－10，S＝－10－8＝－18.故推断条件为：i≥9？，故选A.4．(2022·高考江苏卷)如图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．解析：由算法流程图可知：第一次循环：n＝1，2n＝2<20，不满足要求，进入下一次循环；其次次循环：n＝2，2n＝4<20，不满足要求，进入下一次循环；第三次循环：n＝3，2n＝8<20，不满足要求，进入下一次循环；第四次循环：n＝4，2n＝16<20，不满足要求，进入下一次循环；第五次循环：n＝5，2n＝32>20，满足要求，输出n＝5.答案：5[A.基础达标]1.一个完整的程序框图至少包含()A．起止框和输入、输出框B．起止框和处理框C．起止框和推断框D．起止框、处理框和输入、输出框解析：选A.一个完整的程序框图至少包括起止框和输入、输出框，故选A. 2.(2021·安徽巢湖检测)如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是()A．①是循环变量初始化，循环就要开头B．②为循环体C．③是推断是否连续循环的终止条件D．①可以省略不写解析：选D.①为循环变量初始化，必需先赋值才能有效把握循环，不行省略．故选D.3.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选C.框图执行如下：k＝0，S＝1；S＝1，k＝1；S＝2，k＝2；S＝8，k＝3.所以输出S的值为8.4．(2022·高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．34 B．55C．78 D．89解析：选B.当输入x＝1，y＝1，执行z＝x＋y及z≤50，x＝y，y＝z后，x，y，z的值依次对应如下：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55.由于55≤50不成立，故输出55.故选B.5．执行如图所示的程序框图，若m＝5，则输出的结果为()A．4B．5C．6D．8解析：选B.由程序框图可知，k＝0，P＝1.第一次循环：由于k＝0＜5，所以P＝1×30＝1，k＝0＋1＝1.其次次循环：由于k＝1＜5，所以P＝1×31＝3，k＝1＋1＝2.第三次循环：由于k＝2＜5，所以P＝3×32＝33，k＝2＋1＝3.第四次循环：由于k＝3＜5，所以P＝33×33＝36，k＝3＋1＝4.第五次循环：由于k＝4＜5，所以P＝36×34＝310，k＝4＋1＝5.此时满足推断框内的条件，输出结果为z＝log9 310＝5.故选B.6．(2022·高考天津卷)阅读如图所示的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．解析：S＝0，n＝3，S＝0＋(－2)3＝－8，n＝3－1＝2≤1不成立；故S＝－8＋(－2)2＝－4，n＝2－1＝1≤1成立．故输出S的值为－4.答案：－47．(2021·临沂调研)假如执行如图所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i＝________．解析：第一次执行循环体时，i＝1，x＝3.5；其次次执行循环体时，i＝2，x＝2.5；第三次执行循环体时，i＝3，x＝1.5；第四次执行循环体时，i＝4，x＝0.5＜1.输出i＝4，结束．答案：48．执行如图所示的程序框图，若输出的a值大于2 015，那么推断框内的条件应为________．解析：第一次循环：k＝1，a＝1，满足条件，所以a＝4×1＋3＝7，k＝1＋1＝2.SGKS87其次次循环：a＝7＜2 015，故连续循环，所以a＝4×7＋3＝31，k＝2＋1＝3.第三次循环：a＝31＜2 015，故连续循环，所以a＝4×31＋3＝127，k＝3＋1＝4.第四次循环：a＝127＜2 015，故连续循环，所以a＝4×127＋3＝511，k＝4＋1＝5.第五次循环：k＝511＜2 015，故连续循环，所以a＝4×511＋3＝2 047，k＝5＋1＝6.由于a＝2 047＞2 015，故不符合条件，输出a值．所以推断框内的条件是“k≤5？”．答案：k≤5?9．设计一个算法，求表达式12＋22＋32＋…＋102的值，并画出程序框图．解：算法如下：第一步，令S＝0，i＝1.其次步，推断i是否小于或等于10，若是，则执行第三步；若否，则输出S.第三步，令S＝S＋i2，并令i＝i＋1，然后返回其次步．程序框图如图：10．有一列数1，1，2，3，5，8，…，其规律是从第3个数开头，后一个数等于前两个数的和，画出计算这列数前20个数的和的程序框图．解：程序框图如图所示：[B.力量提升]1．(2022·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．1 B．3C．7 D．15解析：选C.S＝20＋21＋22＝7.2．(2022·高考福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.当n＝1时，21>12满足条件，连续循环得n＝2，22>22不成立，不满足条件，所以输出n＝2.3．(2022·高考湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．解析：由题意，程序运行如下：k＝1＜9，S＝21＋1＝3，k＝2＜9；S＝3＋22＋2＝9，k＝3＜9；S＝9＋23＋3＝20，k＝4＜9；S＝20＋24＋4＝40，k＝5＜9；S＝40＋25＋5＝77，k＝6＜9；S＝77＋26＋6＝147，k＝7＜9；S＝147＋27＋7＝282，k＝8＜9；S＝282＋28＋8＝546，k＝9≤9；S＝546＋29＋9＝1 067，k＝10＞9，输出S＝1 067，程序结束．答案：1 0674．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为________．解析：i＝1，S＝0.第一次循环：S＝0＋lg 13＝－lg 3＞－1，连续循环，i ＝3；其次次循环：S＝－lg 3＋lg 35＝－lg 5＞－1，连续循环，i＝5；第三次循环：S＝－lg 5＋lg 57＝－lg 7＞－1，连续循环，i＝7；第四次循环：S＝－lg 7＋lg 79＝－lg 9＞－1，连续循环，i＝9；第五次循环：S＝－lg 9＋lg 911＝－lg 11＜－1，结束循环，输出i＝9.答案：95.画出计算1＋13＋15＋17＋…＋12 015的值的一个程序框图．解：相加各数的分子都是1，而分母是有规律递增的，每次增加2，引入变量S表示和，计数变量i，i的值每次增加2，则每次循环都有S＝S＋1i，i＝i＋2，这样反复进行．程序框图如图所示：6．(选做题)设计一个求满足10<x2<1 000的全部正整数x的值的程序框图．解：可以从最小的正整数1开头进行推断，推断是否满足10<x2<1 000.若满足，则输出x的值；若不满足，则对1进行累加后再进行推断，依次下去，直到x2≥1 000为止，结束程序．程序框图如图所示：。

1.1.2条件结构-高中数学人教A版必修3公开课教案

条件结构教学目标：1.掌握条件结构程序框图的画法2.能用条件结构框图描述实际问题教学过程1．预习教材，问题导入预习教材，回答下列问题：1.判断框是什么形状？什么条件下要用判断框？2.判断框的功能是什么？3.条件结构有哪些形式？提示：常见的条件结构有：一种是满足条件执行步骤A，否则执行步骤B；另一种是满足条件执行步骤A，否则执行步骤A下面的步骤．2．归纳总结，核心必记(1)条件结构的概念在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理这种过程的结构就是条件结构．(2)条件结构程序框图的两种形式及特征名称形式一形式二结构形式名称形式一形式二特征两个步骤A，B根据条件选择一个执行根据条件是否成立选择是否执行步骤A[问题思考](1)条件结构中的判断框有两个退出点，那么条件结构执行的结果是否唯一？提示：条件结构执行的结果是唯一的．(2)在什么样的算法中才使用条件结构？提示：凡是必须先根据条件判断，然后选择进行哪一个步骤的问题，在画程序框图时必须引入一个判断框应用条件结构．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)条件结构的概念：；(2)条件结构程序框图的形式及特征：.观察图中条件结构的两种形式：.[思考1]条件结构有何特点？提示：条件结构是程序框图的重要组成部分，其特点是：先判断后执行．[思考2]利用条件结构处理算法时应注意什么？在利用条件结构画程序框图时要注意两点：一是需要判断条件是什么，二是条件判断后分别对应着什么样的结果．[思考3] 顺序结构与条件结构有何区别与联系？顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构，所表达的逻辑关系是自上而下，连贯排列的．而条件结构用于逻辑判断，并根据判断的结果进行不同的处理．讲一讲例1.任意给定3个正实数,设计一个算法,判断以这3个正实数为三条边边长的三角形是否存在,并画出这个算法的程序框图.算法程序框图开始输入,,a b c a b c +>b c a+>c a b +>是否同时成立？存在这样的三角形结束不存在这样的三角形第一步：输入的值,,a b c 第二步：判断，，是否同时成立.若是,则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形.a b c +>b c a +>c a b +>否是.开始输入,,a b c结束?a b c +>?b c a +>是存在这样的三角形?c a b +>是是不存在这样的三角形否否否练习练习1. 程序框图要输出给定两个实数a,b 中较小的数，则判断框应填__________.输入a,b输出a否开始结束输出b是a≤b2．设计一个算法：输入一个实数，输出它的绝对值，并画出程序框图．[尝试解答] 设输入数为x ，绝对值为y.则y ＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x x≥0，－x x ＜0.算法如下：第一步，输入x.第二步，若x≥0，则y ＝x ，否则执行第三步．第三步，y ＝－x. 第四步，输出y. 程序框图如图：思考：设计一个求解方程20++=的算法，并画出程序框ax bx c图。

2017-2018学年高中数学人教A版三教学案：第一章第1节第2课时程序框图、顺序结构含答案

第2课时程序框图、顺序结构［核心必知］1．预习教材，问题导入根据以下提纲,预习教材P6～P9，回答下列问题．(1)常见的程序框有哪些？提示：终端框(起止框）,输入、输出框，处理框，判断框．(2)算法的基本逻辑结构有哪些？提示：顺序结构、条件结构和循环结构．2．归纳总结，核心必记(1)程序框图程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(2）常见的程序框、流程线及各自表示的功能图形符号名称功能终端框（起止框)表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框(执行框)赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否"或“N”流程线连接程序框○连接点连接程序框图的两部分(3)①算法的三种基本逻辑结构算法的三种基本逻辑结构为顺序结构、条件结构和循环结构,尽管算法千差万别，但都是由这三种基本逻辑结构构成的．②顺序结构顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构，用程序框图表示为:[问题思考]（1)一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又以起止框表示结束吗？提示：由程序框图的概念可知一个完整的程序框图一定是以起止框开始,同时又以起止框表示结束．(2)顺序结构是任何算法都离不开的基本结构吗？提示：根据算法基本逻辑结构可知顺序结构是任何算法都离不开的基本结构．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：（1)程序框图的概念：;（2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能：;（3)算法的三种基本逻辑结构：；(4）顺序结构的概念及其程序框图的表示：。

问题背景:计算1×2＋3×4＋5×6＋…＋99×100.[思考1］能否设计一个算法，计算这个式子的值．提示：能．[思考2］能否采用更简洁的方式表述上述算法过程．提示：能，利用程序框图．[思考3] 画程序框图时应遵循怎样的规则？名师指津:（1)使用标准的框图符号．(2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画．(3）除判断框外,其他程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一一个具有超过一个退出点的程序框．（4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．（5)流程线不要忘记画箭头，因为它是反映流程执行先后次序的，如果不画出箭头就难以判断各框的执行顺序．讲一讲1．下列关于程序框图中图形符号的理解正确的有（)①任何一个流程图必须有起止框;②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；③判断框是唯一的具有超过一个退出点的图形符号；④对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的．A．1个B．2个C．3个D．4个[尝试解答］任何一个程序必须有开始和结束，从而流程图必须有起止框,①正确．输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置，②错误．③正确．判断框内的条件不是唯一的，④错误．故选B.答案:B画程序框图时应注意的问题（1)画流程线不要忘记画箭头；(2)由于判断框的退出点在任何情况下都是根据条件去执行其中的一种结果,而另一个则不会被执行，故判断框后的流程线应根据情况注明“是”或“否”．练一练1．下列关于程序框图的说法中正确的个数是（）①用程序框图表示算法直观、形象、容易理解；②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的“一图胜万言"；③在程序框图中，起止框是任何程序框图中不可少的；④输入和输出框可以在算法中任何需要输入、输出的位置．A．1 B．2 C．3 D．4解析：选D 由程序框图的定义知,①②③④均正确,故选D。

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第二课时基本不等式的应用学案

第二课时基本不等式的应用课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.教材知识探究(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小问题，x＋y≥2xy＝210 000＝200，当且仅当x＝y＝100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.1.基本不等式与最大(小)值口诀：和定积最大，积定和最小两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(2)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.教材拓展补遗『微判断』1.对于实数a ，b ，若a ＋b 为定值，则ab 有最大值.(×) 提示 a ，b 为正实数.2.对于实数a ，b ，若ab 为定值，则a ＋b 有最小值.(×) 提示 a ，b 为正实数.3.若x >2，则x ＋1x 的最小值为2.(×)提示当且仅当x ＝1时才能取得最小值，但x >2. 『微训练』1.已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是________. 『解析』 a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立. 『答案』 2102.已知m ，n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是________.『解析』由m 2＋n 2≥2mn ，∴mn ≤m 2＋n 22＝50.当且仅当m ＝n ＝±52时等号成立.『答案』 50 『微思考』1.利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？提示利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.2.已知x，y为正数，且1x＋4y＝1，求x＋y的最小值.下面是某同学的解题过程：解：因为x>0，y>0，所以1＝1x＋4y≥2×2xy＝4xy，所以xy≥4.从而x＋y≥2xy≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.请分析上面解法是否正确，并说明理由.解这个同学的解法是错误的.理由如下：上述解法中连续使用两次基本不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x ＝4y＝12，即x＝2，y＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x＝y时，等号成立，因此x＋y不能等于8.正解∵x>0，y>0，1x＋4y＝1，∴x＋y＝(x＋y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋4y＝1＋yx＋4xy＋4＝yx＋4xy＋5≥2·yx·4xy＋5＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x＋4y＝1，yx＝4xy，即x＝3，y＝6时，等号成立.故x＋y的最小值为9.题型一利用基本不等式求最值注意基本不等式成立的条件，且等号能否取得『例1』(1)已知x>2，求x＋4x－2的最小值；(2)已知2x＋2y＝1，(x>0，y>0)，求x＋y的最小值.解(1)∵x>2，∴x－2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立. ∴x ＋4x －2的最小值为6. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·y x ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号，x ＋y 的最小值为8. 规律方法利用基本不等式求最值的策略『训练1』 (1)若x <0，求12x ＋3x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值. 解 (1)因为x <0，所以12x ＋3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ）＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以12x＋3x 的最大值为－12. (2)法一由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋（2x －16）＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2（x －8）×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.法二由2x ＋8y ＝xy 及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥28y x ·2xy ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.题型二利用基本不等式解决实际应用问题『例2』某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积y 关于x 的函数的『解析』式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x. 则y ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1).(2)8010⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米. 规律方法利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出『答案』.『训练2』某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×『6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1』＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x 『9x (x ＋1)＋900』＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 题型三基本不等式的综合应用基本不等式应用的关键是获得定值的条件，解题时需灵活的选择方法『探究1』已知x >0，y >0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 『解析』法一 (1的代换)：因为1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x >0，y >0，所以y x ＋9xy ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y＝1，② 解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x >0，y >0，所以y >9. 所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. 因为y >9，所以y －9>0，所以(y －9)＋9y －9≥2（y －9）·9y －9＝6.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4，所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以x >1，y >9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xyxy －9x －y ＋9－9＝0(x －1)(y －9)＝9(定值).所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16.当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 『答案』 16『探究2』已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 『解析』正数x ，y 满足x ＋y ＝1，即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14『(x ＋2)＋(y ＋1)』⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94，当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94. 『答案』 94『探究3』已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7『解析』因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以m ≤9. 『答案』 B规律方法利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值.『训练3』 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.2 2 B.3－2 2 C.3＋2 2D.3＋ 2(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( ) A.3＋2 2 B.3－2 2 C.6－4 2D.6＋4 2(3)求x (m －x )(0<x <m )的最大值.(1)『解析』 1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab ＝3＋2 2.当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立.∴1a ＋1b 的最小值是3＋2 2.『答案』 C(2)『解析』1a＋1b＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1c(a＋2b＋c)＝4＋2ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋2bc≥4＋22ba·ab＋2 ca·ac＋2 cb·2bc＝6＋42，当且仅当2ba＝ab，ca＝ac，cb＝2bc时，等号成立，即a2＝c2＝2b2时，等号成立.『答案』 D(3)解∵0<x<m，∴x>0，m－x>0.∴x(m－x)≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋m－x22＝m24.当且仅当x＝m－x时，即x＝m2时，x(m－x)(0<x<m)取最大值m24.一、素养落地1.通过运用基本不等式求解函数的最值，培养数学运算及逻辑推理素养，通过运用基本不等式解决实际应用问题，提升数学建模素养.2.利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋p x (p >0)的图象求得函数的最值.二、素养训练1.当x >0时，12x ＋4x 的最小值为( )A.4B.8C.8 3D.16『解析』 ∵x >0，∴12x >0，4x >0.∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3.『答案』 C2.已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( ) A.－12B.－1C.2D.0『解析』因为x >－2，∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时“＝”成立.『答案』 D3.已知4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.『解析』 4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a . 当且仅当4x ＝a x ，即4x 2＝a 时等号成立.由题意得a ＝4×32＝36.『答案』 364.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值的大小关系为________.『解析』由题意得(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，所以1＋x ＝（1＋a ）（1＋b ）≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2，所以x ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时等号成立.『答案』 x ≤a ＋b 25.已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，求x ＋2y 的最小值.解 ∵x >0，y >0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16y x ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，x ＋2y 的最小值为18.。

高中数学1.2.2充分条件和必要条件(2)教案新人教版选修1_1

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。