空间解析几何基础知识

一个分量为零: 点在坐标面上. 两个分量为零: 点在坐标轴上.
C ( x , o, z )

o
P ( x ,0,0)
M ( x, y, z )
Q(0, y ,0)
y
x
A( x , y ,0)
O ( 0, 0, 0 )
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2、简单的几何问题
1º 两点间的距离
设 M1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 )
即
M0 R M
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R ，
所求方程为 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2 .
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
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例3 方 程 x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0 表 示 怎 么样的曲面？ 解
当B 0时， Ax Cz D 0表示平行于y轴的平面； 当C 0时， Ax By D 0表示平行于z轴的平面；
1) 这是为什啊？
2) 平行xoy面的平面怎么写？
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下面是几种特殊的平面方程：
(3) y y 表示垂直于y轴的平面，即 //xoz面 0
x x0表示垂直于x轴的平面，即 //yoz面 z z0表示垂直于z轴的平面，即 //xoy面
亲们：从今天开始我们又要进 入新的一章了！
第七章
1
第七章 多元函数微分学
第一节 空间解析几何基础知识
空间直角坐标系 平面方程 曲面方程
一、空间直角坐标系
1、坐标系的建立
在空间中取定一点O， 过O点作三条相互垂直 的数轴Ox, Oy, Oz, 定点 o 横轴 x
z
竖轴
y 纵轴
各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成 了一个空间直角坐标系。 称由两 称数轴Ox, Oy, Oz为坐标轴， 称O为坐标原点，
y2 z2 x2 z2 2 2 1 2 2 1 . , a b c c y 0 x 0
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二次曲面
(2) 椭圆抛物面
x y 2z p q
z x
2 2
( p与q同号)
z o y
x
o
y
p0,q0
p0,q0
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(3) 双曲抛物面(马鞍面)
(4)平面的截距式方程：
z (0,0,c)
x yz 2
x y z 1, a b c
o
x (a,0,0)
y (0,b,0)
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例2 求平行于z轴且过 M1 (1,0,0)， M 2 (0,1,0) 两点的 平面方程. 解 因所求平面平行于z轴，故可设其方程为
Ax By D 0 又点 M1 (1,0,0), M 2 (0,1,0) 都在平面上
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制作团队：
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x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6z 2 ( x 1) ( y 2) ( z 3) 14 2 0 ,
2 2 2
即
( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 16 ,
因此，该方程表示球心为(1,-2,3)，半径为R = 4 的球面.
根据题意有 | MA || MB |,
( x 1) ( y 2) ( z 3)
2 2
2
2
2
( x 2) ( y 1) ( z 4) ,
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0 .
10
2
1.平面的一般方程
可以证明，空间任一个平面方程均可表示为
z R2 R1 P Q1 P1 P2 O R M1 M2 Q
N Q2
y
为空间两点, 两点间的距离公式：
2
x
2 2
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| M1 M 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
例1 在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点. 解 设该点为M(0, 0, z) ,
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3.柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线， 动直线L叫柱面的母线.
例如：
L
C
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例如: 考虑方程 x2 + y2 = R2 所表示的曲面.
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以 原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线 L 沿 xoy 面上的 圆 x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
代入方程得 即
A B D
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Dx Dy D 0
显然D≠0,消去D并整理可得所求的平面方程为
x y 1 0
2.球面方程
建立球心在点 M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 、 半径为 R 的球面方程.
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R ，
z
F (x, y, z) = 0 S o
x
y
那么, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
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下列是几种常见的空间曲面： 引例 已知 A(1,2,3) ，B( 2,1,4) ，求线段AB 的垂直 平分面的方程.
解
设 M ( x , y , z ) 是所求平面上任一点，
方程F (x, y) = 0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy 面上的曲线
F ( x , y ) 0 C : z 0
类似: 方程F (x, z) =0 表示:
z
母线平行于 y 轴的柱面, 准线 为xoz面上的曲线 C: F (x, z) x =0,y=0.
方程F (y, z) =0 表示:
x y 2 z ( p与q同号) p q
2 2
二次曲面
z o x
y
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(4) 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z
(5) 双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
o
x
y x
o
y
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例子
许多发电厂的冷却塔结构是单叶双曲面形状。由于单叶双曲面是一种 双重直纹曲面 (RULED SURFACE) ，它可以用直的钢梁建造。这样会 减少风的阻力．同时也可以用最少的材料来维持结构的完整。
所表示的曲面称为二次曲面， 其中 ai , bi 不全为零。 二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐 标系后，可以化成如下几种标准形式.
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二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
用坐标面z = 0 , x = 0和y = 0 去截割,分别得椭圆
x
O
y
x2 y2 2 2 1 a b z 0
由题设 |MA| = |MB| ,
即
( 4 0)2 (1 0)2 (7 z )2 ( 3 0 ) 2 ( 5 0 ) 2 ( 2 z ) 2
14 14 解得 z ，即所求点为 M (0, 0, ) . 9 9
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二、空间曲面及其方程
定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系: (1) S上任一点的坐标都满足 方程F (x, y, z)点都在S上;
o
y
母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 , x = 0 .
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4.几种常见的二次曲面
三元二次方程
a1 x 2 a2 y 2 a3 z 2 b1 xy b2 xz b3 yz c1 x c2 y c3 z d 0
坐标轴确定的平面为坐标平面，简称xoy, yoz, xoz 平 3 面.
一、空间直角坐标系
1、坐标系的建立
三个坐标轴的正方 向符合右手系.
定点 o 横轴 x
z
竖轴
y 纵轴
即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指 从 x 轴正向以

空间直角坐标系
2 大拇指的指向就是 z 轴的正向. 度转向 y 轴正向时，
z
l o o
y
x
同一个方程，在二维和三维下 表示的图形不一样噢！
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还有三种常见的柱面：
x2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
2 x 2 py ( p 0) 抛物柱面
双曲柱面
x2 y2 2 1 2 a b
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画出下列柱面的图形:
yx
z
2
y x
z
o
y
x
o
y
x
抛物柱面
平面
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4
角
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
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为什么叫做卦限呢？
1 1 有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
坐标面上的点 A, B , C ,
z
R(0,0, z )
B(0, y , z )
Ax By Cz D 0
其中 A,B,C 不全为零. 上式为平面的一般方程。 下面是几种特殊的平面方程： (1)当 D 0时，