沪科版九年级数学下册《【学案】 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系》
九年级下册数学沪科版24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系优秀教学案例
1.情感目标：培养学生对数学的兴趣，使学生能够积极主动地参与数学学习，提高学生的数学学习积极性。
在教学过程中，我会运用人性化的语言，生动有趣的例子，激发学生的学习兴趣，使学生能够积极主动地参与数学学习，提高学生的数学学习积极性。
2.价值观目标：培养学生严谨治学的态度，使学生能够认真对待数学学习，提高学生的数学学习效果。
九年级下册数学沪科版24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为九年级下册数学沪科版24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。在之前的学习中，学生已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。本节内容旨在引导学生探究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，帮助学生进一步理解圆的性质，提高解决问题的能力。
（三）小组合作
1.小组合作的目的是：通过小组合作，培养学生的团队合作精神，提高学生的数学学习效果。
在教学过程中，我会组织学生进行小组合作，让学生在合作中发现问题、解决问题，共同完成学习任务。例如，在讲解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系时，我可以让学生以小组为单位，进行探究和实践，发现和理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
根据课程标准，本节课的教学目标为：1.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；2.学会运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题；3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。
为了实现以上目标，我设计了以下教学活动：1.通过观察和操作，让学生发现圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；2.运用几何画板软件，动态展示圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，增强学生的直观感受；3.创设有趣的问题情境，让学生运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题。
1.反思与评价的目的：通过反思与评价，让学生总结经验，提高数学学习效果。
圆心角、弧、弦、弦心距的关系-沪科版九年级数学下册教案
圆心角、弧、弦、弦心距的关系-沪科版九年级数学下
册教案
教学目标
1.理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念。
2.掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，能够应用于解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学计算能力。
教学重点
1.圆心角、弧、弦、弦心距的概念。
2.掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
教学难点
能够应用圆心角、弧、弦、弦心距的关系解决实际问题。
教学过程
一、引入新知识
1.自学教材P72页内容。
2.学生自主发现圆心角、弧、弦、弦心距的关系。
3.教师指导学生加深理解。
二、探究圆心角、弧、弦、弦心距的关系
1.教师让学生自学教材P73页内容。
2.学生自主练习计算方法。
3.教师和学生共同探讨圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
三、应用题
1.教师出示相关应用题，学生独立完成计算。
2.师生共同探讨解题方法的正确性。
3.教师讲解解题方法的标准化和规范化。
教学反思
通过引入新知识，让学生自主探究圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并结合实际问题进行计算，培养了学生的逻辑思维能力和数学计算能力。
在教学过程中，我发现学生对于解题方法的理解还有疑惑，需要在后续的授课中进行强化和讲解。
在教学中，我还应该加强巩固学生的基本知识，为后续授课做好铺垫。
沪科版九年级数学下册_24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
知3－练
∴ AB+BC=2CD.
∵ AB+BC ＞ AC，∴ AC ＜ 2CD. 故 B 选项不正确 . ∵ A⌒B = B⌒C = C⌒D，∴∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD.
感悟新知
知3－练
∴∠ AOC= ∠ AOB+ ∠ BOC=2 ∠ COD. 故 C 选项正确 . ∵∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD， OA=OB=OC=OD， ∴ S 扇形 AOB=S 扇形 BOC=S 扇形 COD. ∴ S 扇形 AOC=S 扇形 AOB+S 扇形 BOC=2S 扇形 COD. 故 D 选项正确 .
答案： B
感悟新知
知3－练
解法提醒 在同一个圆中，弧、弦、圆心角和弦心距中只要有一
组量相等，就能推出其他几组量分别相等.线段有和差，弧 也有和差 .
感悟新知
知识点 4 弧的度数与该弧所对圆心角度数的关系
知4－讲
1. 1°的弧 把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份的 圆心角是 1°的角 . 因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等， 所以整个圆周也被等分成 360 份 . 我们把每一份这样的弧 叫做 1°的弧 .
知识点 1 圆的旋转不变性、圆心角
知1－讲
1. 圆的旋转不变性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称 中心 . 圆具有旋转不变性，即把圆绕圆心旋转任意一个角 度，所得的图形都与原图形重合 .
感悟新知
特别提醒 圆心角满足的条件： 1. 顶点在圆心； 2.两条边和圆相交. 其中“顶点在圆心” 是圆心角的必备条件.
指角与弧相等(角与弧是两种不同的图形)，所以不 能写成 “∠ AOB= AB”.
感悟新知
知4－练
例4 如图 24.2－29， C 是⊙ O 的直径 AB 上一点，过点 C作弦 DE，使 CD=CO，若A⌒D的度数为 40°，求B⌒E的 度数 .
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.2 (1)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 教案
27.2（1）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、教学目标：理解圆心角、弧、弦、弦心距、等弧、等圆等概念，知道圆是一个旋转对称图形，理解圆的旋转不变性；经历探索同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的过程，形成观察、归纳、总结数学问题的能力，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理；能运用定理进行简单的几何论证和计算。
二、教学重点：理解圆心角、弧、弦、弦心距、等圆等概念，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理。
三、教学难点：导出同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及该定理的简单应用。
四、教学过程：三、探索定理1．提出问题：刚才我们在圆中画了两个相等的圆心角，再分别画出了它们所的弧、弦、弦的弦心距，在这4组量中，如果已知圆心角这组量相等了，那么这两个圆心角分别所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距这3组量存在什么样的关系？为什么？2．学生4人一组进行讨论，写下结论并简要说明或证明。
3．学生交流，汇报结果；（教师视情况作相应的引导）4．归纳结论：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
5．把文字语言转化为几何符号语言：在⊙O中，∵∠AOB=∠COD，∴⌒AB =⌒CD，AB=CD在⊙O中，∵∠AOB=∠COD，OE与OF分别是弦AB、CD的弦心距∴OE=OF6．思考：如果两个相等的圆心角不在同一个圆中，那么以上结论还成立吗？学生交流汇报：不一定成立。
可能情况一：在两个大小不等的圆中不成立；可能情况二：在两个大小相等的圆中成立。
教师视情况作引导。
7．完善结论，得到定理：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. 直接抛出问题，让学生分组进行交流讨论，尽量让全体学生参与定理的产生过程。
复习回顾证明线段相等的方法。
锻炼学生综合归纳能力。
清楚定理应用的书写格式。
让学生对结论成立的前提产生思考，以加强记忆，同时加进等圆这个前提条件。
沪科版九年级数学下册24.2第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间关系
沪科版九年级数学下册24.2第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题中，正确的有( )A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是( )A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是( )A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对4．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对5．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．圆心到这两条弦的距离相等D．以上答案都不对6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠BAC=20°，AD=DC，则∠DAC的度数是( )A．30°B．35°C．45°D．70°二、填空题7．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．8．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，∠=______度.∠=∠=，OEC100,55AOB OBC9．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点、且∠D=130°，则∠BAC的度数是_____°．10．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D．已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为________cm.三、解答题11．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．12．如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E.求证：DE＝AE.参考答案1．D【分析】根据圆的有关基本概念，逐一判断．【详解】解：A，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条，错误；B，结合上一条分析可知，圆的对称轴有无限条，错误；C，对称轴为直线，直径是线段，错误；D，结合上述分析可知，此项正确．故选D．【点睛】本题考查了圆的对称性知识及对称的概念，正确理解其含义是解题的关键．2．B【解析】试题分析：弧与圆心角的关系。
沪教版初三下册圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解(基础)
沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（）A．25 B．40 C．50 D．55【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【答案】B【解析】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°，∠D=60°，∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，∵=150°，∴∠AOD=150°，∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，则=40°．故选B【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．举一反三：【变式】（2015秋•沛县期中）如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB=CD．求证：AC=BD．【答案】证明：∵AB=CD，∴，∴，即，∴AC=BD．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6-7】3.如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.【答案与解析】解法1：如图所示，∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°∴∠POB=180°-x°=(180-x)°又解法2：如图所示，连结AQ，则又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°【总结升华】考查圆周角定理的应用.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】连结AD，易证∠ADB=90°，即AD是等腰三角形△ABC的高．再由三线合一的性质得出BD与CD 的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．举一反三：【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4-5】【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系数学教案
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系数学教案标题：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距的定义，以及它们之间的关系。
2. 过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，让学生经历探索圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的过程，培养学生的空间观念和推理能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对几何学的兴趣，体验数学之美，提高学习数学的积极性。
二、教学重难点：重点：理解和掌握圆心角、弧、弦、弦心距的概念，以及它们之间的关系。
难点：运用所学知识解决实际问题，提升空间观念和推理能力。
三、教学过程：（一）引入新课首先，教师可以引导学生回顾上节课学习的圆的基本性质，然后提出问题：“在同一个圆中，如果两个扇形的圆心角相等，那么这两个扇形的面积会有什么关系呢？”以此引发学生的好奇心和求知欲，导入新课。
（二）新课讲解1. 圆心角、弧、弦、弦心距的定义（1）圆心角：从圆心出发，引两条射线所形成的角叫做圆心角。
（2）弧：圆上两点间的部分叫做弧。
（3）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（4）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。
（3）在同圆或等圆中，如果一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，那么这条弧所对的弦就平分这条弧所对的圆心角。
（三）课堂练习设计一些基础题和拓展题，让学生进行自我检测，检查他们是否真正掌握了这些概念和关系。
（四）课堂小结邀请几位学生分享他们的学习心得，教师再做总结，并强调本节课的重点和难点。
（五）课后作业布置一些相关习题，让学生在课后继续巩固所学知识。
四、教学反思在教学过程中，要时刻关注学生的反应，及时调整教学策略，确保每一位学生都能跟上教学进度。
【说课稿】 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系(3)
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系教材分析：本课是沪科版九年级下册第24章第二节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。
主要研究弧，弦，圆心角的关系。
教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。
在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。
同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。
重点：圆心角、弧、弦之间的相等关系难点：从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系。
目的分析：知识与技能目标：（1）让学生在实际操作中发现并理解圆的旋转不变性。
（2）结合图形让学生理解圆心角的概念，学会辨别圆心角。
（3）引导学生发现圆心角、弧、弦之间相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。
过程与方法目标：培养学生观察，分析，归纳的能力，渗透旋转变化的思想及有特殊到一般的变化规律。
情感与态度目标：进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时对学生渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。
教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生又有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。
由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练构建学生头脑中新的知识网络。
2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。
这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。
《27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第二学期
《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是使学生通过练习和实践，加深对圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的理解，并能够熟练运用这些知识解决实际问题。
同时，培养学生的空间想象能力和数学思维能力。
二、作业内容1. 基础知识巩固- 复习圆的基本概念，包括圆心、半径、弧、弦等。
- 掌握圆心角的概念及表示方法，熟悉弧与弦的定义及其对应关系。
- 练习并理解弦心距的概念，了解其与圆心角、弧的关系。
2. 理解关系式- 通过实例，让学生理解并熟记圆心角、弧、弦之间的关系公式。
- 练习通过给定的圆心角求对应的弧长或弦长。
- 探索不同情况下（如优弧、劣弧）的弧与弦的关系。
3. 实际应用练习- 设计一系列实际问题，如钟表指针与夹角的关系、圆的切线与弦的关系等。
- 要求学生运用所学知识，分析并解决这些问题。
- 通过实际问题的练习，培养学生的空间想象能力和应用能力。
4. 探究性任务- 提供一些具有挑战性的探究性问题，如圆的扇形面积与圆心角的关系等。
- 鼓励学生进行小组合作，共同探究问题，培养学生的合作能力和探究精神。
三、作业要求1. 基础题部分要求每个学生独立完成，并确保准确率。
2. 应用题部分要求学生能够结合所学知识，分析并解决问题，并鼓励一题多解。
3. 探究性任务部分要求学生小组合作完成，鼓励创新思维和批判性思维。
4. 作业需按时完成，并在下节课前上交。
四、作业评价1. 对学生的作业进行批改，重点评价学生对基础知识的掌握情况及对关系公式的运用能力。
2. 对学生的应用题解答进行评价，关注学生的问题分析能力和解题思路。
3. 对探究性任务的完成情况进行综合评价，鼓励创新和合作精神。
4. 将评价结果及时反馈给学生，指出不足之处并给予指导。
五、作业反馈1. 对学生的作业进行总结分析，找出共性问题及个别问题。
2. 在课堂上进行作业讲解，重点讲解共性问题及难点问题。
3. 针对学生的不足，布置相应的补充练习，帮助学生巩固提高。
沪科版数学九年级下册24圆心角、弧、弦、弦心距间关系教案与反思
24.2圆的基本性质祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。
《老子·五十八章》原创不容易，【关注】，不迷路！第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间关系1．结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质；2．能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题(重点，难点)．一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究探究点：圆心角定理及其推论 【类型一】圆心角与弧的关系如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】圆心角与弦、弦心距间的关系如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型三】圆心角定理及其推论的应用如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵. 解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB ，又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CMAB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ，∴∠1＝∠2，∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OA ＝OB ，OM ＝错误!未定义书签。
沪科版九年级下册 24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系 教案设计
【教学设计】
知识要点：
◆圆心角: 顶点在圆心角叫
作圆心角
找出下图中的圆心角：
判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
◆在同圆中探究
归纳：由圆的旋转对称性，我们发现：在☉O
AOB= ∠COD
AB CD
，AB=
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果
∠CO ′ D，你发现的等量关系是
归纳：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，弧AB
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可
练习：
例1已知，如图，等边三角形ABC 的三个顶点都在☉O上
求证：∠AOB=∠BOC=∠
COA=120°.
例2已知，如图，点
分线上的一点，☉
交∠A的两边于点
和点E，F.
当堂练习：
1．如果两个圆心角
（）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦
一、必做题：见《学霸》第二关练准确率
二、思考题：见《学霸》第三关练思维宽度。
【沪科版】九年级数学下册配套学案设计24.2第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间关系
24.2 圆的基本性质第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系［学习目标］1．理解圆心角的概念，掌握圆的旋转不变性（中心对称性）；2．掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系进行有关的计算和证明. ［学法指导］本节课的学习重点是理解并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理并利用其解决相关问题，学习难点是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明；学习中通过动手操作、观察、比较、猜想、推理、归纳等活动，发展推理能力以及概括问题的能力。
［学习流程］一、导学自习（教材P18-20） （一）知识链接1． 是中心对称图形. (自己叙述)2．要证明两条弧相等，到目前为止有哪两种方法？（1） （2） （二）自主学习1．顶角在 的角叫做圆心角.2. 圆既是轴对称图形，又是 对称图形，它的对称中心是 .实际上，圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，因此，圆还是 对称图形. 二、研习展评活动1：(1) 阅读教材，动手操作：（可以把重合的两个圆看成同圆）①在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下； ②在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角AOB ∠和'AOB ∠，如图1所示，圆心固定． 注意：在画AOB ∠与'AOB ∠时，要使OB 相对于OA 的方向与O B ''相对于O A ''的方向一致，否则当OA 与O A ''′重合时，OB 与O B ''不能重合．③将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA 与O A ''重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． (2)猜想等量关系： ， . （3）（利用圆的旋转不变性）验证：（4）归纳圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ：推论为 活动2：下面的说法正确吗？若不正确，指出错误原因.(1)如图2，小雨说：“因为¼''A B 和»AB 所对的圆心角都是O ∠，所以有¼»''A B AB =.” （图1）(2)如图3，小华说：“因为AB CD =,所以AB 所对的»AB 等于CD 所对的¼CAD .”活动3：如图4，在⊙O 中，»»AB AC =，60ACB ∠︒＝，求证:AOB AOC BOC ∠=∠=∠．（分析：根据圆心角、弧、弦之间关系定理，欲证AOB AOC BOC ∠=∠=∠，可先证什么？） 证明：［课堂小结］1. 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的 也相等.此结论是证明圆心角相等、弧相等、弦相等常用的依据.2.定理使用要注意“同圆或等圆”这个前提。
最新沪科版九年级数学下24.2.2弦、弧、圆心角、弦心距间的关系
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的 位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴ AB 与 A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
︵
B
AOE 180 3 35
75
在同圆或等圆中,如果①两个圆心，②两条弧,
③两条弦,④两条弦心距中。 有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量 都分别相等.
拓展练习
2.如图，点O在∠CAE的平分线上，以O为 圆心的圆分别交∠CAE的两边于点B、C和 D、E。则AB与AD有怎样的大小关系？试 证明。
︵
AB A ' B '.
︵
︵
AB A ' B '.
归纳小结
D B C
B O A O'
B' A'
O A
前提条件
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心B = CD
？！
O'
D 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等
（已知）
图 23.1.5
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴ AB=CD
∴ ∠1=∠2=45° （在同圆中，相等的弧所对的 圆心角相等）
例 3：
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
E D C A ∵
= DE
BC = CD
2020春沪科版九年级数学下册课件-第24章 圆-【学案】 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系一、课前自主学习：1、顶点在的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做；能够的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的_____ 性。
2、如图1，AB叫做∠AOB所对的____，AB叫做∠AOB所对的____，OE叫做∠AOB所对弦的_______。
在同一个圆中，根据弦心距2弦长一半2半径2可知，相等的弦对应的弦心距______,较长弦所对应的弦心距较____，较长弦心距所对A C 应的弦较_____(填“短”或“长”)。
O3、如图1，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于FE F⑴如果∠AOB=∠COD，那么，，_____________；B⑵如果= ，那么，，_____________；⑶如果AB=CD，那么，，_____________。
AB CD 图1D4、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦，所对弦的弦心距也。
5、在同圆或等圆中，两个，两条，两条，两条中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
二、师生探究圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：（学生准备两个透明等圆）合作小组讨论交流P82定理的探究过程：问题1、在同一个圆中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？问题2、在等圆中，能否也能得出类似的结论呢？问题3、定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦对应的弦心距也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？结合右图说明。
三、例题赏析⑴已知AD=BC求证：AB=CD。
⑵如果AD=BC，求证：AB=CD。
A BODC 四、当堂检测1、如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等。
B这两个圆心角所对的弧相等。
C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。
D 以上说法都不对2、下列说法正确的是（）A．等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等C. 等弧所对的圆心角相等D. 相等的圆心角所对的弧相等A3、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则与的关系是AB CD（）OA =2 B. ＞ C. ＜2 D. 不能确定⌒B C4、在同圆中，= ,则（）BCA AB+BC=ACB AB+BC＞AC C AB+BC＜AC D. 不能确定（变式）在⊙O中，AB=2CD,那么____2；如果=2，那么AB___2CD。
沪科版数学九年级下册24.圆心角、弧、弦、弦心距间的关系第3课时(共19张)
△AOB≌ △A/OB/（
M
α
∴
⌒
AB = A′B′,
（
圆的旋转不变性）
SAS）
OM= O′M′,
·
将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等量关系？
弦、弧、圆心角、弦心距间的关系定 理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
也相等，所对的弦的弦心距相等．
A’
A
M′
M
O
AOB= A’O’B’
过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M, OM为AB弦的弦心距。
A
O
任意给圆心角，对应出现四个量：
弧
圆心角
弦
弦心距
练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。
×
顶点不在圆心
×
×
O
O
①
②
O
O
顶点不在圆心
③
④
顶点不在圆心
√
探究
弧
圆心角
弦
∵∠AOB=∠A｀OB｀
弦心距
B
A
Oα
A′
M′
B′
⌒
AB = A′B′,
2
OA OC,OB OC
AOC与BOC是等边三角形
BC OC,OC OA
∴ OA = OB = BC = AC
四边形OACB是菱形
A
B
O
的
随堂练习3
3.如图，在同圆中，若AOB=2COD，则AB与2CD的大小关系是（ C
（A） AB ＞2CD
(B)AB ＜2CD
(C) AB＝2CD
A
B
(D) 不能确定
沪科版9数下24.2.4【教案】 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系［知识要点归纳］1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。
和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。
（4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。
5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB”之类的错误。
因为角与弧是两个不能比较变量的概念。
相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。
6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。
当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。
（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。
《27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第二学期
《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是帮助学生理解并掌握圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系，通过实际操作和练习，加深对相关概念的理解，并能够运用这些知识解决实际问题。
二、作业内容1. 理论学习：学生需认真阅读教材中关于圆心角、弧、弦及弦心距的相关理论，掌握各概念的定义和性质，并理解它们之间的相互关系。
2. 基础知识练习：完成一组基础选择题和填空题，题目围绕圆的基本性质和概念设计，旨在检验学生对基础知识的掌握情况。
3. 实践操作题：绘制几个不同大小的圆，在圆上标出指定的圆心角，并使用量角器或软件工具测量对应的弧长和弦长，记录下数据。
同时，计算并记录弦心距。
4. 探究性问题：设计一道或几道探究性问题，如“当圆心角变化时，对应的弧长和弦长如何变化？”“在不同大小的圆中，相同的圆心角对应的弧长和弦长是否相同？”等问题，引导学生进行思考和探索。
5. 小组合作：学生需分组进行讨论，就所画的圆及测量的数据展开交流，分享各自发现的规律和结论。
最后，每组成员需总结出本组对于圆心角、弧、弦及弦心距关系的理解，并提交小组报告。
三、作业要求1. 理论学习部分需认真阅读教材，理解并掌握相关概念。
2. 实践操作题需使用规范的工具进行测量，并准确记录数据。
3. 探究性问题需独立思考，结合实践操作数据进行分析和推理。
4. 小组合作时需积极参与讨论，尊重他人观点，最终形成小组统一意见并提交报告。
四、作业评价1. 对学生的理论知识掌握情况进行考核，检查是否能够准确解释相关概念。
2. 对学生的实践操作能力进行评价，看其是否能够正确使用工具进行测量并准确记录数据。
3. 对学生的探究能力进行评价，看其是否能够独立思考并分析问题。
4. 对小组合作的成果进行评价，看其是否能够积极参与讨论并形成统一意见。
五、作业反馈1. 教师需认真批改作业，对学生的错误进行指导并给出改进意见。
2. 对学生的优秀表现给予肯定和鼓励，激发学生的学习积极性。
沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.2圆心角-弧-弦-弦心距之间的关系(3)
27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）[学习目标]掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，能运用这些定理及其推论解决有关数学问题.一、课前预习1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的相等，所对的相等，所对的相等.2、在同圆或等圆中，如果两个、两条、两条、两条，这四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也相等.3、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OP⊥AB于P，OQ⊥CD于Q.（1）如果AB=CD，那么，， .（2）如果»»AB CD=，那么，， .（3）如果∠AOB=∠COD，那么，， .（4）如果OP=OQ，那么，， .4、如图，在⊙O中，点C是»AB的中点，∠A=40°，求∠BOC的度数.二、课堂学习例题1 已知：如图，点F在⊙O的半径OE上，AB和CD是过点F的弦，且∠AFO= ∠DF0.求证：（1）AB=CD;〔2)»»AC BD=.例题2 已知:如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC, ,,OM AB ON AC⊥⊥垂足分别是点M,N，且OM=ON.求证:(1) AE// BC; ( 2 ) AO AE⊥.课堂小结ED三、课堂练习1、已知：如图，AB 、CD 是⊙0的弦，且AB=CD. 求证: ACB DBC V V .2、已知：如图，AB 是⊙0的直径，AC 和AD 是分别位于AB 两侧的两条相等的弦. 求证：AB 平分∠CAD.3、已知：如图，⊙O 的弦AB 与CD 相交于点E ，AB=CD. 求证：AE=DE.四、课后作业1、如图，点B 是⊙0外的一点，以B 为顶点的角的两边分别交⊙0于点A 、D 和点C 、E ，BO 平分∠ABC.求证：AD=CE.2、如图，在⊙0中，弦AB 与弦CD 相交于点P ，»AC =»BD . 求证：PO 平分∠CPB.3、如图，AD 是⊙0的直径，AB 、AC 是⊙0的弦，»BD=»DC ，OE 、OF 分别表示AB 、AC 的弦心距. 求证：（1）AB=AC ； （2）OE=OF.4、如图，1O e 与2O e 是等圆，M 是12O O 的中点，过点M 的任一直线分别交1O e 于A 、B 两点，交2O e 于C 、D 两点.求证：»AB =»CD .ABADA。
九年级数学下册 24 圆 课题 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系学案 (新版)沪科版
课题：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系【学习目标】1．从圆具有旋转不变性的理解，深入领会在同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系．2．学会运用同圆或等圆中相等的圆心角、弧、弦、弦心距间对应关系解决问题．【学习重点】圆心角、弧、弦之间关系定理的证明和应用．【学习难点】“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．情景导入生成问题旧知回顾：什么是旋转对称图形？圆是旋转对称图形吗？答：在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ(0°<θ<360°)后能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形．圆是旋转对称图形，旋转中心是圆心．自学互研生成能力知识模块一圆心角的定义及圆心角、弧、弦、弦心距间的关系阅读教材P18，完成以下问题：1．什么是圆心角？答：顶点在圆心的角叫圆心角．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距有何关系？相关推论是什么？答：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等，简记为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．范例1：下列图形中是圆心角的是( A),A) ,B) ,C) ,D)仿例1：如图，AB ，CD 分别为⊙O 的两条弦，OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N ，且OM ＝ON ，则( D ) A ．AB ＝CD B ．∠AOB ＝∠CODC .AB ︵＝CD ︵D ．以上结论都对行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．仿例2：如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD＝120°．仿例3：如图所示，M ，N 分别是⊙O 的弦AB ，CD 的中点，AB ＝CD.求证：∠AMN＝∠CNM.证明：连接OM ，ON.∵M ，N 是AB ，CD 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，∴∠OMA ＝∠ONC＝90°，又∵AB＝CD ，∴OM ＝ON ，∴∠OMN ＝∠ONM，∴∠AMN ＝∠CNM.知识模块二 圆心角、弧、弦、弦心距间关系的应用范例2：如图，已知⊙O 与△ABC 三边均相交，在三边上截得的线段DE ＝FG ＝HK ，∠A ＝55°，则∠BOC 的度数为( C )A ．130°B ．120°C ．117.5°D ．105°,(范例2图)) ,(仿例1图)) ,(仿例2图))仿例1：(菏泽中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为50°．仿例2：(东营中考)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM的最小值是cm .交流展示生成新知1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一圆心角的定义及圆心角、弧、弦、弦心距间的关系知识模块二圆心角、弧、弦、弦心距间关系的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________________________。
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沪科版九年级数学下册精编学案
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
一、课前自主学习：
1、顶点在 的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做 ；能够 的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的 _____ 性。
2、如图1，AB 叫做∠AOB 所对的____， ⋂
AB 叫做∠AOB 所对的____， OE 叫做∠
AOB 所对弦的_______。
在同一个圆中，根据22
2半径弦长一半弦心距
=+可知，相等的弦对应的弦心距______,较长弦所对应的弦心距较____
应的弦较_____(填“短”或“长”)。
3、如图1，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于
F
⑴如果∠AOB=∠COD ，那么 ， ，⑵如果⋂AB =⋂
CD ，那么 ， ，_____________； ⑶如果AB=CD ，那么 ， ，_____________。
4、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ，所对弦的弦心距也 。
5、在同圆或等圆中，两个 ，两条 ，两条 ，两条 中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
二、师生探究圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：（学生准备两个透明等圆） 合作小组讨论交流P82定理的探究过程：
问题1、在同一个圆中，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
问题2、在等圆中，能否也能得出类似的结论呢？
问题3、定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦对应的弦心距也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？结合右图说明。
三、例题赏析
⑴已知⋂
AD =⋂
BC 求证：AB=CD 。
⑵如果AD=BC ，求证：
图1
C
AB
CD
四、当堂检测
1、如果两个圆心角相等，那么（ ）
A ．这两个圆心角所对的弦相等。
B 这两个圆心角所对的弧相等。
C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。
D 以上说法都不对 2、下列说法正确的是（ ）
A ．等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等
C. 等弧所对的圆心角相等
D. 相等的圆心角所对的弧相等 3、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，
则 与 A =2 B. ＞ C. ＜2 D. 不能确定 4、 在同圆中，=⌒BC ,则（ ）
A AB+BC=AC
B AB+B
C ＞AC C AB+BC ＜AC D. 不能确定
（变式）在⊙O 中，AB=2CD,那么____2；如果=2，那么AB___2CD 。
（填<或>或=） 5、如图，在⊙O 中，⋂AB =⋂
AC ，∠C=75°，则∠A=____。
6、如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长交⊙O 于点A 、B 。
（1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：⋂
AC =⋂
BD 。
五、课堂小结：
1、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理成立的条件是___________________。
2、此定理可以帮助我们证明几何图形中______相等，______相等，______相等.。