高二数学上：8.2《向量的数量积》教案(2)(沪教版)

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2012高二数学上册 8.2《向量的数量积》教案(1) 沪教版

８.２(1) 向量的数量积（1）教学目标设计1．通过物理学中力的做功，领会向量的数量积的定义及几何意义；理解向量数量积的性质及运算律；2．领略猜想、论证的数学思想，体会其中的数学思维过程； 3．感捂数学来自于生活实践，数学与其它自然科学密切相关，增强学习数学的兴趣．教学重点及难点重点：平面向量的数量积的定义、性质的及其初步应用难点：向量的数量积性质的应用教学用具准备直尺，投影仪教学过程设计一．情景引入我们学过功的概念：即一个物体在力f 的作用下产生位移s ，那么力f所做的功||||cos W f s θ= ，其中θ表示一个什么角度？s 的方向的夹角．我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量a b 、，来规定||||cos a b θ的含义. 二．学习新课s首先学习向量的夹角的概念．1．对于两个非零向量a b 、，如果以O 为起点，作,OA a OB b ==，那么射线,OA OB 的夹角θ叫做向量a 与向量b 的夹角，其中0θπ≤≤.① ② ③ ④ ① OA 的OB 夹角为0，向量a 与向量b 方向相同； ② OA 的OB 夹角为π，向量a 与向量b 方向相反；所以0,θπ=时，表示向量a 与向量b 平行, 记作//a b ； ③ OA 的OB 夹角为AOB ∠；其中当2πθ=时，表示向量a 与向量b 垂直,记作a b ⊥④ OA 的OB 夹角为θ规定：0与其它向量的夹角可根据需要确定.2．如果两个非零向量,a b 的夹角为θ（0θπ≤≤），那么我们把||||cos a b θ叫做向量a 与向量b 的数量积，记做a b ，即cos a b a b θ=.按数量积的定义，在力f 的作用下，物体产生位移s 所做的功W 可表示为：W f s =⋅.特别地,a a ⋅的数量积记作2a ,读作向量a 的数量平方,显然22a a=.规定：零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=，00a ⋅=．OABOOAABBB注意：① 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定．② 一种新的运算法则，以前所学的数的运算律、性质不一定适合．③ a b ⋅不能写成a b ab ⨯或，a b ⨯表示向量的另一种运算．例1 如图，已知ABC ∆是边长为6求AB AC ⋅和AB BC ⋅．（课本P64例1）解：因为60AB AC ︒与的夹角为，所以 AB AC ⋅＝1||||cos6066182AB AC ︒=⨯⨯= 因为120AB BC ︒与的夹角为，所以B ABC ⋅＝1|||B |cos12066182AB C ⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭3．数量积的几何意义定义：||cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．注意：①投影也是一个数量，不是向量． θ为锐角时投影为正值1OB 当θ为钝角时投影为负值1OB -；当θ为直角时投影为0；a a O O B 1Ob O O B 1O b θO O 1Oab B当0θ=︒时投影为b ；当180θ=︒时投影为b -．向量的数量积的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度与b 在a 方向上投影||cos b θ|的乘积．正如物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．思考: 向量b 在a 方向上的投影||cos b θ,能否由,a b 的运算表示? 答: 根据,a b 的数量积定义可知: ||cos a b b aθ⋅=由此可知向量b 在a 方向上的射影线段长短1a b OB a⋅=4．向量的数量积的运算性质对于R λ∈，有（1）2||0,a a a ⋅=≥当且仅当0a a ⋅=时，a ＝0 （2）ab b a⋅=⋅证明：设a b 、的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=，cos b a b a θ⋅= ∴a b b a⋅=⋅（3）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅证明：若 0λ>，()cos a b a b λλθ⋅=若 0λ<，（4）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅证明：（1）如果,,a b c 至少有一个是0，上述等式显然成立（2）如果,,a b c 都是非零向量abc 2θ1θθ在平面内取一点O ，作,,OA a OB b BC c ===，∵b c +（即OC ）在a 方向上的投影，等于,b c 在a 方向上的投影和，即：12cos cos cos b c b c θθθ+=+ ， ∴12cos cos cos a b c a b a c θθθ+=+，∴ ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅.三．巩固练习判断下列结论是否正确： 1．若a b⋅＝0，则a =或b =;（） 2．若a b a c⋅=⋅，则b c=;（）3．若,,a b c 为不共线向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅; （） 4.()()b c a c a b⋅-⋅不与c垂直.（）四．课堂小结（l ）向量的数量的物理模型是力的做功; （2）a b ⋅＝||||cos a b θ的几何意义; （3）a b ⋅的结果是实数（标量）; （4）向量的数量积的四条运算性质．O A'B 'C abc2θB 'B五．作业布置练习8.2(1), P67 1(1)(2)，习题8.2,P34 1(1)(2)(3)教学设计说明及反思本节课通过创设物理模型和简单实例等数学情景，使得抽象的数学概念变得具体、形象而又生动．具体的物理概念先给数学做了铺垫，但是在领悟数学概念的同时，也对物理概念有了更加深刻的理解，促进了对学科知识之间的融会贯通．探究新课的过程中，通过数与形的结合，深化了对向量的数量积的概念的理解，领悟了向量的数量积的几何意义，整个过程一气呵成．通过师生一起类比、联想、猜测、推导、归纳、总结向量数量积运算的性质，培养严谨的个性和良好的数学思维品质，训练思维能力，提高学习热情和研究兴趣．。

向量的数量积(沪教版高二上)课件

02
向量数量积的运算
向量数量积的运算律
01
02
03
交换律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
结合律
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
分配律
01
向量数量积表示两个向量在正交投影上的长度乘积。
02
当θ为锐角时，a·b>0；当θ为钝角时，a·b<0；当θ为直角时， a·b=0。
向量数量积的运算性质
01
交换律
a·b=b·a。
02
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c。
03
结合律
(a·b)·c=a·(b·c)。
04
负数性质
当θ为钝角或直角时，a·b=|a||b|。
04
向量数量积的拓展
向量数量积与向量模的关系
总结词
向量数量积与向量模之间存在密切关系，可以通过向量的数量积计算向量模的平方。
详细描述
向量的数量积等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。当两个向量的夹角为0度时，它们的数量积等于两个向量模的乘积，即|a||b|cos0=|a||b|。因此，可以通过向量的数量积计算向量模的平方。
向量数量积在数学中的应用
向量模的计算
向量的模可以通过向量的数量积来计算，这是向量数量积的一个
重要应用。
向量夹角的计算
通过向量的数量积可以计算两个向量的夹角，进而分析向量之间的关系。
向量投影的计算
向量的投影也可以通过向量的数量积来计算，这在解决与向量相关的数学问题时非常有用。

高中数学沪教版高二上册第8章《8.2 向量的数量积》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学沪教版高二上册第8章《8.2 向量的数量积》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教学目标1、知识与技能:阐明平面向量的数量积及其几何意义。

会算一个向量在另一个上投影的概念,运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。

2、过程与方法:以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究,通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3、情感态度与价值观:由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

2学情分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算,也是高中数学的一个重要概念,在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念;第二课时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上探究数量积的性质与运算律。

使学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象,又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中,既有长度又有角度,既有形又有数,是代数、几何与三角的最佳结合点。

不仅应用广泛,而且很好的体现了数形结合的数学思想。

学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算,具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念,然后再从概念出发,在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫,使学生倍感亲切。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解。

一方面,相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,两个有形有数的向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是很难接受的;另一方面,由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对性质和运算律的理解。

沪教版高二上册数学高二上册教案平面向量的数量积

第三节平面向量的数量积考纲解读1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

2、了解平面向量数量积的与向量投影的关系。

3、掌握数量积的坐标表达，会进行平面向量数量积的运算。

4、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

考点梳理1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为 . 向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影。

投影的绝对值称为射影；(2)几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)(λa )·b ＝＝．λ∈R ； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 3．平面向量数量积的性质a a a =a ba b 与a ba b a b ≤基础自测1、设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2－4|b |2中，是真命题的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④2、| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3、已知向量a 与b 的夹角为120o ，3,13,a a b =+=则b 等于（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．14.（11年辽宁)已知向量a=（2,1），b=（-1，k ），a ·（2a-b ）=0，则k=（）（A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）125.已知向量,a b 满足2b =，a 与b 的夹角为3π，则b 在a 上的投影为题型一：数量积的概念及运算例1．判断下列各命题正确与否：（1）00a ⋅=；（2）00a ⋅=；（3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =；（4）若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立；（5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立；（6）对任意向量a ，有22a a =。

2019-2020年高二数学上册 8.2《向量的数量积》教案(2) 沪教版

2019-2020年高二数学上册 8.2《向量的数量积》教案（2）沪教版教学目标设计1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．教学重点及难点重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；难点：向量的夹角公式的应用.教学用具准备直尺，投影仪教学过程设计一．情景引入：1．复习回顾(1)两个非零向量的夹角的概念：对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．(2)平面向量数量积（内积）的定义：如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与任何向量的数量积为0．(3) “投影”的概念：定义：叫做向量在方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为；当 = 180时投影为．(4)向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．(5)向量的数量积的运算性质：对于，有（1）当且仅当时，＝（2）（3）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅（4）２．分析思考：(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？学生通过讨论，回答：一般不成立(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为，则由知11cos 60212||||o W f s θθ===⇒=⨯二．学习新课: 1.向量的夹角公式:在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足因此,当时,,反之,当时, .考虑到可与任何向量垂直,所以可得：两个向量垂直的充要条件是．２.例题分析例1：化简:．(课本P66例2) 解:=()()()()a ab b a b a b a a b b ⋅++⋅+--⋅+-⋅ =2222a ab b a b a b a a b b +⋅+⋅+-+⋅+⋅- =例2:已知,且与的夹角为,求．(课本P66例3)解: ()()2323232a b a b a b -=-⋅-()()332232a a b b a b =⋅--⋅-9664a a a b b a b b =⋅-⋅-⋅+⋅22921223cos 433π=⨯-⨯⨯⨯+⨯所以例3：已知,垂直,求的值．(课本P66例4) 解：因为垂直，所以化简得即由已知，可得解得．所以，当时，垂直．例4：已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．解：由()()223750716150a ba b a a b b +-=⇒+⋅-= ① ()()22472073080a b a b a a b b --=⇒-⋅+= ②两式相减：代入①或②得：设、的夹角为，则221cos 22a b ba bbθ⋅=== ∴ = 60３.问题拓展例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．证明：设AB 是⊙O 直径，半径为r 设,则;,则则()()22220AC BC ca c a c a r r ⋅=+⋅-=-=-=，即∠ACB 是直角．三．巩固练习1已知,(1)若∥,求；(2)若与的夹角为60(3)若与垂直，求与的夹角．2已知,向量与的位置关系为（）A．平行 B C．夹角为 D．不平行也不垂直3已知,与之间的夹角为，则向量的模为（）A．2 B．2 C．6 D．124已知与是非零向量，则是与垂直的（）A．充分但不必要条件 BC．充要条件 D．既不充分也不必要条件四．课堂小结1．向量的数量积及其运算性质；２．两向量的夹角公式；３．两个向量垂直的充要条件；4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．五．作业布置练习8.2(1) P67 T2、T3、T4 ； P35 T3 、 T4思考题1已知向量与的夹角为，,则|+|·|-|= ．2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么= ．3已知⊥、与、的夹角均为60°，且则＝_____ _4对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角．5求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和教学设计说明及反思本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．2019-2020年高二数学上册 8.2《向量的数量积》教案（3）沪教版一、教学目标设计理解和掌握向量数量积的坐标表示；会根据坐标求两个向量的夹角；能把向量垂直关系转化为坐标关系，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件.通过学习，体会坐标化的过程和意义，发展数学思维能力.二、教学重点及难点向量数量积的坐标表示、垂直向量的坐标关系、利用坐标求两个向量的夹角.数形结合思想方法在解题中的运用.教学用具准备三角板，直尺(作图用,也可用多媒体作图).四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾引入问题已知、是基本单位向量,则（1）的坐标是________，的坐标是________.（2） ________；________.（3）若，，则与的位置关系是________，所以________.[说明]本题要求学生写出基本单位向量的坐标,并根据它们的位置关系,计算与的数量积.问题设计的目的,一是复习巩固向量的数量积和向量的坐标表示,二是加深学生对向量坐标的意义的理解,为进一步探究两个向量的数量积与它们坐标之间的关系作好准备.二、学习新课1.探究与、之间的关系已知两个向量，,试用和的坐标表示由向量坐标的意义可知:，根据数量积运算性质,得)()(2211j y i x j y i x b a+⋅+=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又，，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即例1 已知，，求⋅解：2)2(221-=-⨯+⨯=⋅b a.[说明]通过此例熟悉公式.[问题延伸]可否在上述条件下求出与的夹角呢?（课本p68例7）[说明]当向量的坐标给出后,向量的方向就惟一确定了(除零向量),那么它们的夹角也就确定了,所以我们能够求出夹角.我们可以联想到上节课利用向量的数量积求两个向量夹角的方法,当我们根据坐标计算出两个向量的数量积时,意味着只要能根据坐标求出向量的模,问题就迎刃而解了. 解: ,.1010cos -==θ,因为，所以[说明]注意两个向量夹角的取值范围.2.两个向量的夹角公式显然,对于任意两个非零向量，我们都可以根据它们的坐标求得它们的夹角.一般地,设两个非零向量,的夹角为,则222221212121cos yx yx y y x x b a +++==θ[说明]把向量的度量计算转化为坐标计算，这不仅揭示了向量身兼几何与代数双重身份的本质,又深刻体现了几何代数化的数学思想,这也是引入向量处理几何问题的根本所在.3.两个向量垂直的充要条件的坐标表示根据我们上节课学习的两个向量垂直的充要条件和上述坐标化的夹角公式，我们不难得到两个向量垂直的充要条件的坐标表示.已知，，那么的充要条件是.[说明]把之前学习的两个向量垂直的充要条件坐标化，渗透着数形结合的思想.简洁的形式,使之成为判断两个向量垂直最常用的方法.4. 应用与深化例2 已知，，，求：（1）；（2）（课本p67例5）解：（1）14542)3(=⨯+⨯-=⋅b a ，()()28,422,314)(-=-=⋅.（2）4)2(532-=-⨯+⨯=⋅c b ，()()()16,1244,3)(-=--=⋅.[说明]①此例可以帮助学生进一步熟悉两个向量数量积的坐标运算，让学生体会数量积和实数与向量乘积的坐标运算结果的区别;②引导学生观察思考,得出结论:在一般情况下, . 例3 在中,已知A 、B 、C 三点的坐标分别为、、，求证：是直角三角形. （课本p68例6）解：因为，，()04554=⨯+⨯-=⋅所以，即是直角三角形.[说明] 此题根据三角形的三个顶点坐标,通过坐标运算,将坐标关系转化为位置关系.本题解法多样,可用两个向量垂直的充要条件、勾股定理或解析几何相关知识解答.在教学中可充分调动学生的积极性,引导学生得出多种解法,在此基础上,启发学生比较各种解法的优劣,体会应用代数方法进行几何证明的优越性.[问题变式]以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标.解：设B 点坐标(x , y )，则= (x , y )，= (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0,即x 2+ y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2+ y 2= (x -5)2+ (y -2)2,即10x + 4y = 29由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴当点B 坐标为时,=当点B 坐标为时,=.[说明] 本题与例3对应,需将度量关系转化为坐标关系解决问题.要注意,仅有垂直关系,点B 不是唯一确定的,事实上点B 的轨迹是以OA 为直径的圆(除去O 、A 两点).实质上，该问题的几何意义是求以OA 为直径的圆(除去O 、A 两点)与线段OA 的中垂线的交点坐标,所以有两解. 例4已知，，求的值，使垂直于. （课本p68例8）解: ,因为垂直于,所以, 解得: .所以当时, 垂直于.[说明]根据垂直向量的坐标关系求解. [探究问题]已知四边形ABCD 中= (6,1), =(x ,y )，=(-2,-3), (1)若∥,试探究 x 与y(2)满足(1)问的同时又有⊥,试求x ,y 的值及四边形ABC D 的面积. 解:(1)因为,,∥,所以,可得: . (2)因为,,⊥,所以0)3)(1()2)(6(=-++-+y y x x ,即0152422=--++y x y x解⎩⎨⎧=--++=+015240222y x y x y x可得: 或所以1621=⋅=BD AC S ABCD 四边形. [说明] ①本题有一定的综合性,渗透着数形结合思想,要求位置关系、坐标关系和度量关系的灵活转化.解题时先将平行与垂直关系转化为坐标关系,再利用求得坐标计算长度和面积；②本题可视教学的实际情况采用.三、巩固练习1.已知，，，则， = .（课本p69练习8.2（2）第1题）2.已知,,则；；与的夹角. （课本p69练习8.2（2）第2题） 3.若=(-4,3),=(5,6),则3||２－４＝（ (补充题)A.23B.57C.63D.834.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，则△ABC 为（）(补充题) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形5.在中,已知三点A(-2,3)、B(0,-1)、C(1,k)，若是直角.求k 的值. （课本p69练习8.2（2）第3题）6.已知,，，且，求实数k 的值和向量. 参考答案：（课本p69练习8.2（2）第4题）1.8，-2 ；2.5，13，；3.D ；4. A5.0或26.1，.四、课堂小结1、向量的数量积的坐标表示;两个向量的夹角公式;向量垂直的充要条件的坐标表示.2、求两个向量的数量积时，注意数量积的结果是数，而实数与向量乘法的结果是向量,要加以区别.3、利用向量的双重身份(代数性和几何性),将向量的度量计算(两个向量的夹角、长度)和位置关系(平行与垂直)判断转化为坐标运算，使几何可能计算，问题更加简洁和形式化、机械化，体现了现代几何学的发展方向---几何代数化.五、作业布置一、练习册8.2 P35 T6、T7、T8.二、补充题(根据教学实际情况选用)1.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.2在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.3.已知，，求x ，y 的值，使且.解析:利用方程的思想求解由题:解得: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==75,352411y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=75,352422y x [说明] ①本题有两个待求量,可将两个条件坐标化，转化为二元方程组求解；②解二元二次方程组要准确.参考答案：1. 不能(理由略) 2. k =七、教学设计说明1本节课的主要内容是两个向量数量积的坐标运算，两个向量夹角的坐标计算公式以及垂直向量的坐标关系.向量坐标化的意义在于用代数方法刻画几何量，体现了数形结合的数学思想.本节课在学生学习向量的坐标、向量的数量积的定义和几何意义的基础上，进一步将数量积坐标化，将两个向量的度量计算(夹角、长度)转化为坐标计算.既是前述知识的延续，又为学生提供了数形结合的借鉴模型.在教学中,着力解决的问题有两个：第一个，怎样将两个向量的数量积、夹角计算以及位置关系坐标化；第二个，几何量坐标化以后体现了怎样的优越性，这可以通过解决数学问题的过程让学生体会.第一个问题是非常重要的，如果学生不能了解问题坐标化的过程和意义，也就失去了学习的主旨，使得本节课变成了一节课上轻松、课后糊涂的计算课，所以教师要在学生理解向量坐标意义的基础上揭示坐标化的过程,本节课的引例就是为此而设计的，要重视对向量坐标的意义的理解.2 在教学时注意区别实数与向量的乘法和两个向量的数量积的运算结果的区别，实数与向量的乘法的运算结果是向量，而两个向量的数量积的结果是数.在讲解例2时，建议先由学生尝试完成，然后师生共同讨论，观察、分析两者的区别.这样学生的理解比较深刻.。

高二数学上学期第14课时向量的数量积预习案沪教版-沪教版高二全册数学教案

向量的数量积【教学目标】1、理解向量夹角的定义，掌握向量数量积的概念；2、掌握向量数量积的坐标表示；3、能利用向量的数量积的有关知识求向量的模以及两个向量的夹角、向量的垂直和平行问题；【教学重点】向量的数量积【教学难点】会利用向量数量积的坐标表示求向量夹角、长度及垂直问题【教学方法】讲练结合【教学过程】一、主要知识：1．向量的夹角：对于两个非零向量,a b ，以O 为起点，作,OA a OB b ==，那么射线,OA OB 的夹角θ叫做向量a 和b 的夹角，θ的取值范围是。

当θ= 时，a 和b 同向；当θ= 时，a 和b 反向；当θ= 时，a 和b 垂直，记作a b ⊥。

注意：讨论两个向量的夹角一定要。

2.向量数量积：（1）cos a b a b θ⋅=注意：①a b ⋅中的运算符号“⋅”不能省略不写，也不能写成“⨯”②a b ⋅的结果是一个数量③特别地，a a ⋅记作2a④如果,a b 中有一个是0，那么规定它们的数量积为0。

（2）若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b ⋅= 。

即两个向量的数量积等于。

3.向量的运算律：（1）220a a a a ⋅==≥；（2）a b b a ⋅=⋅（3）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ （4）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅4.向量数量积的应用：（1）利用求向量的模；（2）利用求向量的夹角；（3）利用解决垂直问题；（4）利用处理平行问题.二、例题分析：考点一、计算向量的数量积例1、（1）已知1,2a b ==，a 与b 夹角为3π，则a b ⋅= ；（2）已知()()2,1,3,4a b =-=-，①求a b ⋅；②若1,9a c b c ⋅=-⋅=，求c 的坐标. 巩固练习：（1）等边三角形ABC ，边长为2.求①AB AC ⋅； ②AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅. （2）已知()()1,2,2,2a b ==-，求a 与b 夹角θ. 考点二、向量的数积——求长应用例2、已知2,3a b ==，a 与b 夹角为60，求2a b -. 巩固练习：已知3,1a b ==，a 与b 夹角为30，2,3OD a b OC a b =-=-+，求CD . 提高练习：已知6a b +=，8a b -=，求a b ⋅. 考点三、向量的数积——垂直和平行应用例3、已知2, 3.a b a b ==⊥，且()()32a b ka b +⊥-，求实数k 的值.巩固练习：已知3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 夹角θ的值.例4、若()()2,3,5,1a t t b t =-+=-，且a b ⊥，求实数t 的值.巩固练习：若34,a i j a b =-⊥，求b 的单位向量0b .迁移练习：已知()()3,1,1,2,OA OB OC OB ==-⊥，//BC OA ，又OD OA OC +=，求OD 的坐标.课堂测试：1．已知3,4a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则()()2________a b a b +⋅-=。

沪教版数学高二上册-8.2 向量的数量积(一) 课件

0
b
a
沪教版数学高二上册-8.2 向量的数量积（一）课件【精品】
数量积的运算性质：
(1)
2
a
aa
| a |2 0;
aa 0 a 0
(2) a b ba
(3) ( a ) b a ( b) (a b)， R
(4) a (b c) a b a c
向量的数量积（一）
一、向量的夹角：
对于两个非零向量 a和 ,b作 O ，A a ，O那B么射b 线
OA、OB的夹角叫做向量与a 向量的b夹角。 a
A
平行
Ob B
A
O
若 0， a 与b 同向
a
b
a
Bb O
A
B
问：的取值范围是垂什么直？
的取值范围是 0
若， a 与b 反向
B
沪教版数学高二上册-8.2 向量的数量积（一）课件【精品】
沪教版数学高二上册-8.2 向量的数量积（一）课件【精品】
数量积的运算性质：
(1)
2
a
aa
| a |2 0;
aa 0 a 0
(2) a b ba
(3) ( a ) b a ( b) (a b)， R
研究 | b | cos ？量积（一）课件【精品】
沪教版数学高二上册-8.2 向量的数量积（一）课件【精品】
研究 | b | cos
B
b
O
B1 a A
θ0为锐角时，
2
| b | cosθ＞0
B
b
B1 O

高二数学教案设计《平面向量的数量积》

高二数学教案《平面向量的数量积》【导语】直面高二的挑战，认清高二的自己，明确高二的目标，意义重大。

因为，高二的这个岔路口，分出的是渐行渐远的两条路，指向的是人生意义上的两个截然相反的阶段性终端。

高二频道为正在奋斗的你整理了《高二数学教案《平面向量的数量积》》希望你喜欢！教案【一】教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).并规定0向量与任何向量的数量积为0.×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.教案【二】教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。