14种布拉菲格子

14种布拉维格子和球体紧密堆积

实验一14种布拉维格子和球体紧密堆积一、实验目的加深对14种布拉维格子和球体紧密堆积原理的理解。

二、基本原理1、布拉维格子只在单位平行六面体的八个角顶上分布有结点的空间格子，称为原始格子（Primitive lattice，符号P），在单位平行六面体的体中心还有一个结点时，则构成体心格子（Body-centered lattice,，符号I）。

如果在某一对面的中心上各有一个结点时，称为单面心格子（One-face-centered lattice）（001）面上有心的格子为底心格子或称为C心格子（End-centered , Based-centered lattice or C-centered lattice，符号C）当（100）面或（010）面上有心是，分别称为A心格子（A-centered lattice，符号A）和B心格子（B-centered lattice，符号B）如果在所有的三对面的中心都有结点时，称为面心格子或全面心格子（Face-centered lattice or All-faced-centered lattice，符号F）。

符合对称特点和选择原则的格子共有7种类型，共计14种不同形式的空间格子，即通常所称的14种布拉维格子（The fourteen Bravais space lattices），如下图所示。

布拉维格子是空间格子的基本组成单位，只要知道了格子形式和单位平行六面体参数后，就能确定整个空间格子的一切特征。

2、球体紧密堆积原子核离子都具有一定的有效半径，可以看作是具有一定大小的球体。

金属晶体和离子晶体中的金属键和离子键没有方向性和饱和性，因此金属原子之间或离子之间相互结合，再形式上可以看作是球体间的相互堆积。

由于晶体具有最小的内能性，原子核离子相互结合时，彼此间的引力和斥力达到平衡状态，相当于要求球体间做紧密堆积。

最紧密堆积的方式有两种，一种是六方最紧密堆积（Cubic closest packing，缩写为CCP），最紧密排列层平行于{0001}，可以用ABABAB……顺序来表示，如下图所示：另一种是立方最紧密堆积（Hexagonal closest packing，缩写为HCP），最紧密排列层平行于{111}，可以用ABCABCABC……顺序表示，如下图所示：自然铜、自然金、自然铂等矿物的晶体结构属于立方最紧密堆积方式。

14种布拉维格子

14种布拉维格子之十：正交C心 oC(或 oA, oB）
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14种布拉维格子之十一：正交面心（oF)
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14种布拉维格子之十二：单斜简单（mP)
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14种布拉维格子之十三：单斜C心（mC)
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14种布拉维格子二：立方体心（cI）
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14种布拉维格子三：立方面心（cF）
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14种布拉维格子之四:
四方简单（tP）
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14种布拉维格子之五: 四方体心（tI）
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14种布拉维格子之六：六方简单（hP)
黑色与灰白色点都是点阵点.黑点与蓝线表示一个正当格子
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图
所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：请点击按钮观察动画
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14种布拉维格子之一：立பைடு நூலகம்简单（cP）
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14种布拉维格子之十四：三斜简单 (aP)
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晶系的六方简单 (hP)格子相同（即hR是两个晶系共用的）, 但真实的三方晶体中只
有三次对称轴而没有六次对称轴, 六方晶体才有六次对称轴.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
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14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
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空间点阵

-空间点阵空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。

这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。

空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。

当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。

在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如图1-8所示。

一般情况下单胞的选取有以图1-8 空间点阵及晶胞的不同取法图1-9面心立方阵胞中的固体物理原胞图1-10晶体学选取晶胞的原则下两种选取方式：1．固体物理选法在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。

如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征，如图1-9所示。

2．晶体学选法由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则（如图1-10所示）：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。

根据以上原则，所选出的14种布拉菲点阵的单胞（见图1-12）可以分为两大类。

一类为简单单胞，即只在平行六面体的 8个顶点上有结点，而每个顶点处的结点又分属于 8个相邻单胞，故一个简单单胞只含有一个结点。

另一类为复合单胞(或称复杂单胞)，除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、面心、底心等位置上存在结点，整个单胞含有一个以上的结点。

14种布拉菲点阵中包括7个简单单胞，7个复合单胞。

图1-11 单晶胞及晶格常数根据单胞所反映出的对称性，可以选定合适的坐标系，一般以单胞中某一顶点为坐标原点，相交于原点的三个棱边为X、Y、Z三个坐标轴，定义X、Y轴之间夹角为γ，Y、Z之间夹角为α，Z、X轴之间夹角为β，如图1-11所示。

十四种不拉维格子

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正交体心格子（P）
属于正交晶系，单位平行六面体为长、宽、高都不等的长方体，单位平行六面体参数为：a0 ≠ b0 ≠ c0 α=β=γ=90°
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正交底心格子（Q）
属于正交晶系，单位平行六面体为长、宽、高都不等的长方体，单位平行六面体参数为：a0 ≠ b0 ≠ c0 α=β=γ=90°
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正交面心格子（S）
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四方原始格子（T）
属于四方晶系，单位平行六面体为横截面为正方形的四方柱。规定柱面相交的棱c0，单位平行六面体参数为：a0 = b0 = c0 α=β=γ= 90°
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四方体心格子（U）
属于四方晶系单位平行六面体为横截面为正方形的四方柱。规定柱面相交的棱c0，单位平行六面体参数为：a0 = b0 = c0 α=β=γ= 90°
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三斜原是格子（Z）
单斜平行六面体是三条棱不相等，三对面互相间不垂直的斜平行六面体。单位平行六面体参数为：a0 ≠ b0 ≠ c0，α≠β≠γ≠900
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单斜原始格子（M）
单位平行六面体的三对面中有两对是矩形，另一对是非矩形。两对矩形平面都垂直于非矩形平面，而它们之间的夹角为β，但∠β≠90°。a0≠b0≠c0，α=γ=90°，β≠90°
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立方和三方原始格子(H)
对应于六方晶系的空间六方格子。单位平行六面体底面为菱形的柱体。菱形交角为60o和120 o，如果把三个单位平行六面体拼起来，底面就成六边形，柱面的交棱就是六次轴方向。单位平行六面体参数为：a0≠b0≠c0，α=β=90 o，γ=120 o
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三方菱面体格子（R）
属于三方晶系，单位平行六面体相当于立方体在4L3中的一个L3方向被拉长或压缩，使立方体变成菱面体。单位平行六面体参数为：a0 = b0 = c0 α=β=γ≠90°、60°、109°28′16″

布拉菲点阵

关于奥古斯特·布拉菲及布拉菲点阵浅析奥古斯特·布拉菲（August Bravais，1811—1863），法国物理学家，于1845年推导出了三维晶体原子排列的所有14种点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理学做出了重大贡献。

这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵。

除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。

图1 奥古斯特·布拉菲在几何学以及晶体学中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是为了纪念奥古斯特·布拉维在固态物理学的贡献命名的。

法国晶体学家布拉菲（A.Bravais）于1850年用数学群论的方法推导出空间点阵只能有十四种: 简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、简单六方、简单菱方、简单四方、体心四方、简单立方、体心立方、面心立方。

根据其对称特点，它们分别属于七个晶系。

空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。

这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。

空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。

当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。

在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如下图所示：其选取方式有，1．固体物理选法：在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。

如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征。

2．晶体学选法：由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。

布拉维格子

布拉维格子
只在单位平行六面体的八个角顶上分布有结点的空间格子，称为原始格子（Primitive lattice，符号P），在单位平行六面体的体中心还有一个结点时，则构成体心格子（Body-centered lattice，符号I）。

如果在某一对面的中心各有一个结点时，称为单面心格子（One-face-centered lattice），(001)面上有心的格子为底心格子或称C心格子（End-centered lattice, Base-centered lattice or C-centered lattice，符号C），当(100)面或(010)面上有心时，分别称为A心格子(A-centered lattice，符号A)和B心格子（B-centered lattice，符号B）。

如果在所有三对面的中心都有结点时，称为面心格子或全面心格子（Face-centered lattice or All-face-centered lattice，符号F）。

符合对称特点和选择原则的格子共有7种类型，共计14种不同型式的空间格子，即通常所称的十四种布拉维格子（the fourteen Bravais space lattices），如图5-1所示。

布拉维格子是空间格子的基本组成单位，只要知道了格子形式和单位平行六面体参数后，就能够确定整个空间格子的一切特征。

三斜原始格子(Z) 单斜原始格子(M) 单斜底心格子(N)
正交原始格子(O) 正交体心格子(P) 正交底心格子(Q) 正交面心格子(S)
四方原始格子(T) 四方体心格子(U) 六方和三方原始格子(H) 三方菱面体格子(R)
立方原始格子(C) 立方体心格子(B) 立方面心格子(F)。

!七大晶系十四种布喇菲格子

晶系
晶胞基矢的特性
布喇菲格子
所属点群
三斜晶系
简单三斜
单斜晶系
简单单斜底心单斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
正交晶系三角晶系
简单正交底心正交体心正交面心正交
三角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
四方晶系六角晶系立方晶系
简单四方体心四方
六角
简单立方体心立方面心立方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
9) 简单四方（四角） 10) 体心四方（四角）
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
11) 六角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
12) 简立方 13) 体心立方 14) 面心立方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
七大晶系的布喇菲格子、晶胞和所属点群
立方三角
四方
正交
三斜
按晶胞个点分布特点分为14种布喇菲原胞 1) 简单三斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
2) 简单单斜 3) 底心单斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
4) 简单正交 5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交
01_07_晶格的对称性 —— —— 晶体结构
底心立方？=简单四方
底心四方=简单四方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
体心四方与面心四方等价
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
§1.7 晶格的对称性
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布喇菲格子 —— 分为7个晶系
—— 晶胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系

第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ

材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。

整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。

点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。

晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。

十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。

立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数：四方（P ）四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。

十四种布拉菲格子

晶体的十四种Bravais Bravais格子简介 §1.2.6 晶体的十四种Bravais格子简介
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何就目前所知，晶体多达多种以上，多种以上外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不格子总共只有十四种不体微观结构周期性特征的格子总共只有十四种同的类型。同的类型。
Pearson记法 →
hR
7°立方(Cubic) 晶系立方(Cubic) Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：格子之惯用元胞的几何特征为
a = b = c，α = β = γ = 90 0
格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分布于六其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外， Bravais格子简单立方Bravais格子、个面心有三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子、 → 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 Bravais格子 Bravais cP、 cP Pearson记法 → 、
cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－中的（ cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（l）图、(m)图和（n） 1.2.6 (m)图图所示背景音乐：背景音乐：

布拉维晶格在三维平面上的七大晶系14种晶格

布拉维晶格在三维平面上有七大晶系，14种晶格分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、立方晶系、三方晶系、六角晶系。

依照简单、体心、面心及底心一、等轴晶系（立方晶系）等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。

这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。

如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。

此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。

请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直常见的等轴晶系的晶体模型图等轴晶系的各种宝石金刚石晶体翠榴石黄铁矿萤石八面体和立方体的聚形的方铅矿二、四方晶系四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。

通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。

再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。

请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状常见的一些四方晶系的晶体模型符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。

请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面这是短柱状锆石，柱体几乎不发育。

象个四方双锥体或假八面体三、三方晶系和六方晶系三方晶系和六方晶系有许多相似之处，一些矿物专著和科普书刊往往将二者合并在一起，或干脆就称晶体有六大晶系。

与前面讲的五个晶系最大的不同是三方/六方晶系的晶轴有四根，即一根竖直轴（z轴）三根水平横轴（x、y、u轴）。

竖轴与三根横轴的交角皆为90度垂直，三根横轴间的夹角为120度（六方晶系为60度，也可说成三横轴前端交角120度。

十四种布拉菲格子

a = b ≠ c，α = β = γ = 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
→ 两种Bravais格子，分别称其二，除顶点外，格子，其二，除顶点外，还分布于体心有两种格子
格子和为简单四方Bravais格子和体心四方简单四方格子体心四方Bravais格子 Pearson记法 → tP 格子中的（）和tI，惯用元胞分别如图，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（h）图和(i)图所示－中的图
背景音乐：背景音乐：
图1.2.6－1 －
十四种Bravais格子按点对称性分为七种点对称性类型，分格子按点对称性分为七种点对称性类型，十四种格子按点对称性分为七种点对称性类型七个晶系。别对应于七个晶系下面，将按晶系对这十四种Bravais格子格子别对应于七个晶系。下面，将按晶系对这十四种的主要特征逐一简介
研究晶体表面的对称分布晶体只有三十二种可能的点对称性类型1849年bravaisbravais格子只有七种可能的点对称性类型再考虑到平移对称性格子只有七种可能的点对称性类型再考虑到平移对称性bravais格子只有十四种不同的类型这十四种bravais格子的惯用元胞如图1261所示???发现??指出????进一步指出????首次导出背景音乐
背景音乐：背景音乐：
19th Cent.初，Weiss ：研究晶体表面的对称分布初晶体学坐标系：晶体学坐标系：晶体分为七个晶系 1830年， Hessel ：研究晶体表面的对称分布年三十二种可能的点对称性类型 1849年，Bravais 年
发现→ 七种
指出晶体只有 →

空间点阵型式[精华]

空间点阵型式：14种布拉维格子-兰州大学结构化学在七大晶系基础上, 如果进一步考虑到简单格子和带心格子, 就会产生14种空间点阵型式, 也叫做14种布拉维格子. 不过, 格子是否带心并不能从宏观上发现, 所以, 空间点阵型式属于微观对称性的范畴.为什么要考虑带心格子呢? 原因是: 有些点阵中的格子, 如果取成某种复格子就能充分表现出它固有的较高对称性，但若取成素格子, 某些对称性就可能被掩盖，表现为较低的对称性. 我们宁愿观察一个高对称性的复格子, 也不愿观察一个低对称性的素格子. 所以, 选取正当格子时, 首先照顾高对称性, 其次才考虑点阵点尽可能少.前面以NaCl型晶体的格子为例讲过, 若取素格子, 只能表现三方对称性（这是一种三方R，现已不用）; 若取作立方面心复格子，就表现出了立方对称性. 当然, 这并不是说格子的选取方式能够改变点阵本身的对称性, 只是说, 点阵固有的较高对称性, 在素格子上被掩盖而不易表现出来.图6-42 NaCl型晶体的立方面心复格子(正当格子)与素格子那么, 任何点阵都能通过取带心格子表现出更高的对称性吗? 否! 例如, 在三斜晶体的点阵中, 无论取多少点, 格子的对称性也仍是三斜. 我们当然不去徒劳无益地选择带心格子.下面给出在七大晶系基础上进一步考虑简单和带心格子所产生的14种空间点阵型式, 即14种布拉维格子:图6-43 14种空间点阵型式（布拉维格子）对于以上两种六方格子需要特别说明几点：（1）图中只有蓝色线条围成的部分才是六方格子，而灰白色部分只是为了便于观察其对称性才画出的，因为六方格子也必须是平行六面体而不能是六棱柱；（2）六方晶系的晶体按六方晶胞表达只能抽象出六方简单（hP）格子，而三方晶系的晶体按六方晶胞表达时则能抽象出六方简单（hP）和六方R 心（hR）两种格子，有时为了清楚起见，分别称之为“三方晶系的六方简单 (hP) 格子”和“三方晶系的六方R 心(hR) 格子”. 换言之，六方R心（hR）格子实际上只用于三方晶系，而六方简单 (hP)格子既用于六方晶系, 也用于三方晶系, 所以只算一种格子. （3）晶系是在实在的物理基础上划分的，所以，尽管三方晶系的两种格子——六方简单(hP)和六方R心(hR)的形状都与六方晶系的六方简单 (hP)格子相同（即hP是两个晶系共用的）, 但真实的三方晶体中只有三次对称轴而没有六次对称轴, 只有六方晶体才有六次对称轴.你能否发明更多的“布拉维格子”?例如：四方面心、四方底心?立方底心?或除去立方面心上相对的两个面心?……下图（a）表明：所谓的四方C心其实应当是四方简单；图(b)表明：所谓的四方面心其实其实应当是四方体心;图(c)表明:立方F被除去相对两个面心后，不仅沿体对角线的4条三重对称轴不复存在，而且沿图中箭头平移时再不能复原，所以，它不但丧失了作为立方格子的资格，而且丧失了作为点阵的资格!图6-44 （a）假想的四方C心 (b)假想的四方面心 (c)立方F失去相对两个面心6.4.6 32个晶体学点群分子的对称操作的集合构成分子点群. 同理，晶体的宏观对称操作也是点操作，所有宏观对称元素也会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶体学点群. 不过，既然晶体中的宏观对称元素只有8种，晶体学点群数目也必然受到限制. 可以证明晶体学点群只有32种.晶体学点群可以用所谓的熊夫利(Schonflies)符号表示，也可以用国际符号表示，还有一种称之为“极射赤面投影图”的图形表示法. Schonflies符号由德国结晶学家Schonflies创造，我们在分子点群中已经用过，不过，由于轴次定理的限制，晶体学点群的Schonflies符号不会出现C5v、D5h等符号. 国际符号是尚未见过的新符号，需要作一简要介绍.晶体学点群的国际符号一般由三个位构成，每个位代表与特征对称元素取向有一定联系的方向. 所以, 任何一位代表的方向随晶系不同而可能不同. 右表列出七种晶系中国际符号的三个位的方向.平行于某个方向的对称轴和/或垂直于该方向的对称面就标记在相应的位上. 表6-5 国际符号三个位的方向例如，立方晶系的三个位依次为a、a+b+c、a+b，由矢量加法可知, 它们分别是正方体的棱、体对角线、面对角线方向. 将各方向上的对称元素依次标记在相应的位上, 就是某个点群的国际符号.例如, 立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记为T, T h, O,T d , O h , 国际符号是：尽管立方晶系的国际符号规定了三个位, 但23和m3点群属于四面体群，a+b位上没有对称元素，故只列出前两个位的对称元素.晶体学点群命名示意: NaCl型晶体NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同, 为m3m（Schonflies符号为O h）. 不妨先观察一下正方体，可以看出: (1)垂直于a的方向有镜面; (2)平行于体对角线方向有3次对称轴;(3)垂直于面对角线方向有镜面. NaCl型晶体在相应的方向上也有这些对称性，所以，晶体点群的国际符号为m3m（Schonflies符号为Oh）. 可能有读者问：这些方向上还有别的对称元素，为什么只标记这样少数几个呢？这正是国际符号的奥妙之处, 它要尽可能紧凑，同一方向上不止一种对称元素时，按一定规则选取最必要者标出. 图6-45 NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同,为m3m（Oh）事实上，国际符号又分为简略符号与完全符号. 例如，m3m是简略符号，是完全符号，但这简略符号已经包含了所有最必要的对称元素,如果需要的话，由这些对称元素出发，根据群论的组合原理就能导出点群中所有的对称元素. 因此，很少使用完全符号. 而且，即使完全符号也并不列出点群中所有的对称元素.现在，读者一定也明白为什么分子点群只用Schonflies符号，而不用国际符号的原因了吧？分子中没有晶轴的概念，国际符号的“位”对于分子根本没有意义.应当特别注意：晶体的点群是针对真实的晶体而言, 而不能仅仅针对只具有抽象几何意义的空间点阵和布拉维格子来划分. 晶体只有七个晶系, 却有32个点群, 所以, 必然会有多个点群属于同一个晶系的现象. 例如, 属于立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记记为T, Th, O, Td , Oh , 国际符号分别是抽象的空间点阵和布拉维格子的格点上没有放上真实的结构基元. 所以, 如果仅从布拉维格子看, 任一种晶系的布拉维格子都有该晶系的最高对称性, 即属于该晶系的全点群, 立方晶系的全点群就是Oh; 但真实晶体却必须在格点上放上结构基元, 于是, 对称性就可能从全点群下降(至多保持不变), 这样一来, 任一种晶系的真实晶体的对称性就未必能继续保持在该晶系的全点群, 也许只能属于该晶系对称性较低的点群,称为偏点群. 任何晶系的偏点群都是其全点群的子群.许多初学者有这样一个常见问题: 为什么将立方晶系的特征对称元素规定为沿正方体四条体对角线的3, 而不是穿过正方体相对面心的三条4? 4的对称性不是更高吗? 难道属于立方晶系的晶体还不都具有三条4?事实是, 属于立方晶系的晶体确实不一定都具有三条4 !例如, NaCl 型晶体属于Oh点群, 它既有三条4 , 也有四条3 ; 而立方ZnS 型晶体则不然, 它属于Td点群, 具有四条3,却没有三条4 . 这两类晶体共有的对称元素是四条3, 也就是立方晶系的特征对称元素.晶体学点群还有一种图形表示法, 称为极射赤面投影图. 其基本思想是利用立体仪把球面上的点投影到赤道平面上, 化立体为平面.先模仿地球仪按如下步骤造一个立体仪：1. 取一个单位圆球作为投影球S;2.取赤道平面作为投影面Q, 与S交成投影圆;3. 以垂直于Q并通过球心O的极轴作为投影轴, 两端分别为北极N和南极S.表6-6 32个晶体学点群图6-46 NaCl型与立方ZnS型晶体图6-47 立体仪用极射赤面投影图描述晶体学点群时, 通常对每个点群画出两个投影图. 以 m3m为例, 下图(a)表示晶体对称元素的投影，图(b)表示球上一组点的投影图, 这组点是从某一个普通的点开始, 利用所有对称操作复制出来的,也反映点群对称性. 有的文献将这两种图合并在一起, 如图(c):我们以晶体对称元素为例, 简要介绍立体仪投影法.首先, 将晶体对称元素系的公共交点置于投影球心O, 从球心向各晶面引垂线(即晶面法线)并交于投影球, 在球面上形成一组点的分布. 由于这些晶面法线是晶体的各种对称轴, 所以, 这组点就构成了晶体对称轴的球面投影. 类似地, 晶体的对称面也可延伸至投影球, 与球面相交成圆. 所以, 除了对称中心处于球心, 不会在投影球面上形成点以外, 晶体的各种对称轴和对称面都可以在投影球上形成球面投影.图6-48 m3m的极射赤面投影图在此基础上, 利用立体仪投影法，把球面上的点进一步投影到赤道平面上: 设北半球球面上有一个点P，过P点向南极连线成PS，与赤道平面交于P’点, 就在P’处画一个点; 反之, 若南半球球面上有一点R，过R点向北极连线成RN，与赤道平面交于R’点, 就在R’处画一个空心圆圈, 以区别于北半球球面上点的投影(图中未画出):晶体对称面在投影球面上相交成圆, 而圆又可以被看作无数点的集合. 既然球面上每个点都能产生赤面投影, 对称面当然也能表示在极射赤面投影图上.关于极射赤面投影更详细的介绍, 可以参考晶体学的有关书籍.图6-49 极射赤面投影原理。

七大晶系十四种布喇菲格子

§1.7 晶格的对称性
—— 32种点群描述的晶体对称性
—— 对应的只有14种布喇菲格子
—— ——
分为7个晶系晶胞的三个基矢
a,
b,
c
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
(b, c)
三个晶轴之间的夹角
(c,a)
(a, b)
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
01 /13
按
晶
胞六角
基
矢
的
特
征
分为
单斜
七
大
晶
系
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
立方三角
四方
正交
三斜
按晶胞个点分布特点分为14种布喇菲原胞
1) 简单三斜 a1a2 a3
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
2) 简单单斜 a2 a1, a3 3) 底心单斜 a1 a2 a3
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
C6, C6h, D6, C3v D6h, C3h, D2h
立方晶系
简单立方
a1 a2 a3 体心立方 900 面心立方
T , Th , Td O, Oh
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
底心立方？=简单四方
底心四方=简单四方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
体心四方与面心四方等价
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
4) 简单正交 5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交
a1a2 a3 a1a2 a3
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
05 /13
8) 三角
a1 a2 a3

布拉伐格子

布拉伐格子来自维基百科，自由的百科全书跳转到：导航，搜索在几何学和结晶学中，布拉伐格子，由奥古斯特·布拉伐提出。

它是由一组晶格矢量表示的：N是任意整数，a1、a2、a3是三个不共面的矢量, 称为布拉伐格子的基矢。

Rn称为布拉伐格子的格矢在一种晶体中，一个或多个原子在网格中重复排列而组成晶体。

因此，晶体看起来一样，当从任何网格点。

两个格子复式格子往往被认为是等效的如果他们有同构的对称群的。

在这个意义上说，在三维空间中有14 种可能的布拉伐格子。

这14个对称的布拉伐格子隶属于230个空间群中二维中的布拉伐格子两维中，有五个格子。

他们是斜方，矩形，居中矩形，六方，和正方。

五个基本二维布拉伐格：1 斜方，2，六方，3 居中矩形、4矩形和5 的四方三维中的的布拉伐格子14 的布拉伐格子，在3 个维度是结合之一七格系统（或轴向系统）抵达格centerings 之一。

每个布拉伐格子引用不同的晶格类型。

格centerings：•简单格子(P)：格子上只有单元格角部的点•体心(I)：一个额外的格子点中心的单元格的•面心(F)：一个额外的格子点中心的每个单元格的脸•底心（A、B 或C）：一个额外的格子点中心的每个单元格面临的一对。

并非所有组合的晶体系统和格都需要描述可能的格子。

有总7 × 6 = 42 组合，但它可以显示几个其实是相当于对方。

例如，我晶格的单斜可以描述单斜C 点阵的水晶轴的不同选择。

同样，所有A 或B-本格可以都描述或者由C-或P-居中。

这将减少至14 常规的布拉伐格子下, 表中所示的组合数。

七大晶系14种布拉伐格三斜P单斜P C斜方（正交）P C I F四方P I三方P六方P立方P (pcc) I (bcc) F (fcc)晶系体积三斜单斜正交abc四方a2c三方六方立方a3。

布拉菲点阵

关于奥古斯特·布拉菲及布拉菲点阵浅析奥古斯特·布拉菲（August Bravais，1811—1863），法国物理学家，于1845年推导出了三维晶体原子排列的所有14种点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理学做出了重大贡献。

这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵。

除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。

图1 奥古斯特·布拉菲在以及中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是为了纪念在固态物理学的贡献命名的。

法国晶体学家（）于1850年用数学群论的方法推导出空间点阵只能有十四种: 简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、简单六方、简单菱方、简单四方、体心四方、简单立方、体心立方、面心立方。

根据其对称特点，它们分别属于。

空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。

这14种空间点阵以后就被称为。

空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。

当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。

在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如下图所示：其选取方式有，1．固体物理选法：在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。

如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征。

2．晶体学选法：由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。

结晶学第八讲—14种布拉菲格子共37页

011
111 110
100
一般点及其操作
110
101
111
001
011
010 y
z
111 101
110
y
x
100
x
3、4、2次轴
23 (3L24L3)
立方
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
X
z
晶
y
系
X
y
x
x
没有4次轴！
32 (L33L2)
y
x
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
4 (S43, Li4)
6 (S35, Li6)
旋转反演轴， n
对称条件
1(E)或1(i)
晶系
特点
三斜 a≠ b≠ c, ≠≠
2(C2)或2(m)
单斜 a≠b≠c, = = 90o≠
两个2(C2)或2(m) 正交 a≠b≠c, = = = 90o
4(C4)或4(S43)
全对称点群 1 2/m
mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
点群各符号的顺序
晶系
在国际符号中的位置
1
2
3
三斜只用一个符号
单斜第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
正交 2或2沿a
2或2沿b
2或2沿c
四方 4或4沿c 2或2沿a和b
2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
3m
(L33P)
m3
(3L24L33PC)
32 2/m mmm 4mm 6mm 32(L33L2) 43m

14种布拉维格子和球体紧密堆积

14种布拉维格子

空间点阵

十四种不拉维格子

布拉菲点阵

布拉维格子

!七大晶系十四种布喇菲格子

第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ

十四种布拉菲格子

布拉维晶格在三维平面上的七大晶系14种晶格

十四种布拉菲格子

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七大晶系十四种布喇菲格子

布拉伐格子

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布拉菲点阵

结晶学第八讲—14种布拉菲格子 共37页

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