一类分数阶微分方程初值问题解的存在性
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程在众多领域中有着广泛的应用，如物理学、工程学、金融学等。
近年来，分数阶微分方程的边值问题解的存在性成为了研究的热点问题。
本文将就分数阶微分方程边值问题解的存在性进行深入探讨，分析其解的存在条件以及相关性质。
二、问题描述与预备知识分数阶微分方程的边值问题通常描述为在一定的区间上，满足一定的边界条件的分数阶微分方程的解的存在性问题。
为了研究这个问题，我们需要了解分数阶微分方程的基本性质，如分数阶导数的定义、分数阶微分方程的解法等。
此外，还需要掌握边值问题的基本理论，如边值条件的设定、边值问题的分类等。
三、解的存在性分析对于分数阶微分方程的边值问题，解的存在性分析主要依赖于以下几个因素：方程的阶数、边界条件的设定、解的空间性质等。
首先，方程的阶数会影响解的存在性。
一般来说，阶数越高，解的存在性越难以保证。
其次，边界条件的设定也会对解的存在性产生影响。
不同的边界条件会导致不同的解的存在性。
最后，解的空间性质也是解的存在性的重要因素。
我们需要分析解的空间是否满足一定的性质，如连续性、可微性等。
在分析解的存在性时，我们通常采用不动点定理、Schauder 不动点定理等数学工具。
这些工具可以帮助我们判断解的存在性，并给出解的存在的一些条件。
此外，我们还需要分析解的唯一性。
如果存在多个解，我们需要进一步研究这些解的性质和关系。
四、具体例子与数值分析为了更好地说明分数阶微分方程边值问题解的存在性，我们可以给出一些具体的例子并进行数值分析。
例如，我们可以考虑一个二阶分数阶微分方程的边值问题，并设定一定的边界条件。
然后，我们可以利用数值方法求解这个边值问题，并分析解的存在性和性质。
通过具体的例子和数值分析，我们可以更深入地理解分数阶微分方程边值问题解的存在性。
五、结论通过对分数阶微分方程边值问题解的存在性的分析，我们可以得出以下结论：1. 分数阶微分方程的边值问题解的存在性取决于多个因素，包括方程的阶数、边界条件的设定以及解的空间性质等。
一类分数阶微分方程边值问题解的存在性
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第三章一阶微分方程的解的存在性定理
•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。
返回 § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Me前th进od
证明
因为 y(x) 是方程(3.1.1)的解，故有: d(x)f(x,(x)) 两边从x0 到 x 积分得到:
x
x0 f (,y0)dM(xx0)M hb
返回
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Me前th进od
1(x) 在 x0xx0h上有定义,连续
即命题2 当 n=1 时成立。
现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。
dx
x (x )(x 0 )x 0f(x ,(x )d ) x x 0 x x 0 h
把(3.1.2)代入上式,即有:
x (x ) y 0x 0f(x , (x )d )x x 0 x x 0 h
因此, y(x)是积分方程在 x0xx0h上的连续解.
返回
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Me前th进od
即命题２在 n=k＋１时也成立。
由数学归纳法得知命题２对于所有 n 均成立。 命题２证毕
命题３ 函数序列 n(x)在 x0xx0h上是一致收敛的。
考虑级数:
0(x )[k(x )k 1 (x )]x 0 x x 0 h k 1
定理1的证明需要证明五个命题：
命题 1 求解微分方程的初值问题等价于
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《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文致力于探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性。
首先，我们回顾了分数阶微分方程的基本理论及发展背景。
接着，通过构建适当的函数空间和利用不动点定理，我们证明了在特定条件下，该类边值问题存在解。
本文的研究不仅丰富了分数阶微分方程的理论体系，也为实际问题的解决提供了理论支持。
一、引言分数阶微分方程作为微分方程的一个重要分支，近年来在物理、工程、生物等领域得到了广泛的应用。
然而，由于分数阶微分方程的复杂性和非局部性，其边值问题的解的存在性尚未得到完全解决。
因此，研究分数阶微分方程边值问题解的存在性具有重要的理论意义和实际价值。
二、预备知识1. 分数阶微分方程的基本理论：介绍分数阶微分方程的定义、性质及其与其他类型微分方程的关系。
2. 不动点定理：介绍本文将使用的不动点定理及其应用条件。
三、问题描述与假设条件考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题：Dαu(x) + f(x, u(x)) = 0, x ∈ [a, b]，其中Dα 表示分数阶导数。
假设条件包括：函数 f(x, u) 的连续性和有界性等。
四、解的存在性证明1. 构建函数空间：定义一个合适的函数空间，使得方程的解在此空间中有定义。
2. 构造算子：根据微分方程的形式，构造一个算子T，使得T 的不动点即为原微分方程的解。
3. 利用不动点定理：根据假设条件和不动点定理，证明算子T 在定义的函数空间中有不动点，从而证明原边值问题解的存在性。
五、结论与展望本文通过构建适当的函数空间和利用不动点定理，证明了分数阶微分方程边值问题解的存在性。
这一结果不仅丰富了分数阶微分方程的理论体系，也为实际问题的解决提供了理论支持。
然而，对于更复杂的分数阶微分方程边值问题，如具有多个解或解的唯一性问题，仍需进一步研究。
此外，如何将本文的理论成果应用于实际问题中，也是未来研究的一个重要方向。
六、六、展望与建议在未来的研究中，我们可以进一步拓展本文的成果，例如研究更复杂的分数阶微分方程边值问题，特别是当存在多个解或者解的唯一性成为问题的时候。
一类分数阶微分方程解和正解的存在性与唯一性
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数次 导数 ， 函数 厂：０ ｌ ×［ ， 。） ［ ， 。） ［ ，】 ０ ＋ 。 一 ０ ＋ 。 连续 ．０４ ，பைடு நூலகம்２０ 年 陈学 华 利 用非 线性 ＬｒｙＳｈｕｅ择 一 ｅａ．ｃａｄｒ 性定 理 ， Ａ．ａａｈｎ 与 Ｖ ｒｈ ａａｄｒ ｅ ｉ 对 Ｂｂｋａｉ ａｓａＤ ｆ ｒａ－ ｊ 的结 论进 行 了扩 展和补 充 ． ｔ Ｇ ｊ
一
类分数阶微分方程解和正解 的存在性 与唯一性
胡 雷 ，王晓娟 ，张伟光
（． １山东交 通学院 数理系 ，山东 济南 ２ ０２ ； ． ５０３ ２ 山东力 明科 技职业学院 ，山东 济南 ２０ １ ； ５ １６
３ 济南 中学 ，山东 济南 ．
２０ ０ ） ５０ １
摘
要： 研究 了一类非线性分数次微分方程初值 问题的解 的存在性、 唯一性 以及 正解 的存在
第００ ２月 卷第 期 ２９ 年 １ １
淮阴师范学 院学报 （ 自然科学 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ Ｉ Ｉ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ （ ａｕａ Ｓｉ ｃ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＨ ＡＹＮ Ｔ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｎ ｔ ｌ ｃｅ ｅ ｒ ｎ
微分方程的解的存在性与唯一性
微分方程的解的存在性与唯一性微分方程的解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题之一。
它涉及到了微分方程的解是否存在以及是否唯一的问题。
在研究微分方程的过程中，我们常常需要确定方程的解的存在性和唯一性，以便得到准确的结果和合理的推论。
首先，我们来讨论微分方程解的存在性。
对于一阶微分方程dy/dx=f(x, y)来说，如果函数f(x, y)在某个区域内是连续的，那么根据连续函数的存在性定理，方程必有一个解存在。
这个解可能通过求不定积分得到，也可能是通过其他方法求得的特解。
如果方程涉及到一些特殊的函数，如分段定义的函数或含有非连续点的解，那么解的存在性的问题可能就会更加复杂。
其次，我们来探讨微分方程解的唯一性。
唯一性通常需要借助某些定理来证明。
在微分方程理论中，最常用的唯一性定理就是皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelof定理）。
该定理表明，如果函数f(x, y)在某个区域内是局部利普希茨连续的，即满足|f(x, y1)-f(x, y2)|≤K|y1-y2|，其中K是一个常数，那么方程的初值问题y(x0)=y0必有唯一解存在。
这里需要说明的是，皮卡-林德洛夫定理中的条件比较严格，f(x, y)需要满足利普希茨连续性，这并不是一个常见的条件。
对于一些非连续的函数，可能无法直接使用皮卡-林德洛夫定理来证明解的存在唯一性。
此时，我们可以尝试使用其他的方法来证明解的存在性和唯一性，如变量分离、恰当方程等。
此外，还有一种特殊情况需要考虑，即微分方程解的多解性。
有时候，微分方程的解可能存在多个，这取决于方程本身的特性和约束条件。
比如，对于一元二次方程dy/dx=ax²+bx+c，根据韦达定理，方程的解可能有两个或零个。
在这种情况下，我们需要根据问题的具体条件来确定解的个数，并选择出最符合问题要求的解。
总结起来，微分方程解的存在性与唯一性是微分方程理论中的重要问题。
通过合理选择条件和引入适当的定理，我们可以判断微分方程的解是否存在，以及是否唯一。
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《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文探讨了分数阶微分方程边值问题的解的存在性。
利用分数阶微分方程的理论、不动点定理以及一些新近发展的分析技巧，我们证明了在一定的条件下，该类问题存在至少一个解。
这不仅扩展了分数阶微分方程的理论应用范围，也为解决实际问题提供了理论支持。
一、引言分数阶微分方程作为数学领域中的一个重要分支，在物理学、工程学、生物学等多个领域有着广泛的应用。
近年来，随着分数阶微分方程理论的不断完善，其边值问题的研究也日益受到关注。
本文旨在研究分数阶微分方程边值问题解的存在性，为相关领域的实际应用提供理论支持。
二、问题描述与预备知识设我们的分数阶微分方程边值问题为：D^αu(x) = f(x,u(x))，其中x属于闭区间[a,b]，D^α表示某种形式的分数阶导数，f(x,u(x))是定义在相应区间上的函数。
边值条件根据问题的实际情况可能包括多种形式。
为了分析该问题的解的存在性，我们需要引入一些预备知识，如分数阶微分方程的基本理论、不动点定理以及一些分析技巧。
三、解的存在性证明为了证明该分数阶微分方程边值问题解的存在性，我们首先构造一个适当的算子L和一个相应的映射T。
算子L负责处理分数阶导数部分，而映射T则负责将非线性部分纳入考虑。
我们的目标是证明算子T是一个压缩映射或存在不动点，这样我们就可以利用不动点定理来证明问题的解的存在性。
具体地，我们定义算子L为解决与D^α无关的边值问题后的部分，然后构造映射T将f(x,u(x))代入L的解中。
接着，我们利用一系列的放缩、估计和转换技巧来证明T是一个压缩映射或存在不动点。
在这个过程中，我们还需要考虑函数的连续性、可微性等性质。
四、结论通过上述的证明过程，我们得出了该分数阶微分方程边值问题解的存在性。
我们的方法不仅适用于特定的边值条件和函数形式，而且具有一定的普遍性，可以推广到更广泛的分数阶微分方程边值问题中。
这不仅扩展了分数阶微分方程的理论应用范围，也为解决实际问题提供了理论支持。
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《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文致力于探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性。
首先，通过概述已有文献及研究成果，引出本文的研究目的和意义。
接着，通过构建适当的数学模型和理论框架，运用现代数学分析方法，如不动点定理、拓扑度理论等，对分数阶微分方程的边值问题进行研究，得出相关结论。
一、引言分数阶微分方程是微分方程理论中的重要组成部分，广泛应用于物理学、工程学、金融学等多个领域。
近年来，随着分数阶微分方程理论的不断发展，其边值问题逐渐成为研究的热点。
然而，由于分数阶微分方程的复杂性和非线性特性，其边值问题的解的存在性尚未得到完全解决。
因此，本文旨在研究分数阶微分方程边值问题解的存在性。
二、数学模型与问题描述考虑以下分数阶微分方程的边值问题：D^αu(x) = f(x,u(x)), 其中x属于闭区间[a,b]，α为分数阶次。
其中D^α表示Caputo型分数阶导数。
给定适当的初始条件或边值条件，我们希望找到满足上述方程的函数u(x)。
三、理论框架与数学工具（一）不动点定理不动点定理是解决非线性问题的重要工具。
通过将原问题转化为求算子不动点的问题，我们可以利用不动点定理来研究边值问题的解的存在性。
（二）拓扑度理论拓扑度理论为求解高阶或非线性微分方程提供了有力的工具。
我们可以通过构造适当的算子并计算其拓扑度来分析边值问题的解。
四、研究方法与过程（一）建立算子方程根据边值问题的描述和性质，我们建立相应的算子方程。
通过将原问题转化为算子方程的求解问题，我们可以利用数学分析方法进行研究。
（二）运用不动点定理和拓扑度理论利用不动点定理和拓扑度理论，我们分析算子方程的解的存在性。
通过构造适当的算子并证明其具有压缩映射性质或满足其他条件，我们可以得出解的存在性结论。
五、研究结果与结论（一）解的存在性结论经过深入研究和分析，我们得出分数阶微分方程边值问题解的存在性结论。
在适当的条件下，我们证明了该问题至少存在一个解。
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《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程在许多领域中有着广泛的应用，包括物理、工程、经济和社会科学等。
这些方程能更好地描述具有记忆效应和历史依赖性的过程。
因此，分数阶微分方程边值问题的解的存在性成为了近年来研究的热点。
本文将针对一类特定的分数阶微分方程边值问题，探讨其解的存在性。
二、问题描述考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题：Dαu(x) = f(x, u(x), Du(x), ..., Dn-1u(x)), 0 < x < 1, 其中Dα表示分数阶导数，f是已知的函数，u(x)是未知的函数。
在区间[0, 1]的端点处，给定边值条件u(0) = α, u(1) = β。
我们的目标是证明在满足一定条件下，该方程存在解。
三、解的存在性证明（一）定义与符号的介绍首先需要了解分数阶微分方程的基本概念和性质，如Caputo 导数、分数阶Sobolev空间等。
同时，需要引入一些重要的符号和定义，如Banach空间、压缩映射原理等。
（二）构造算子为了证明解的存在性，我们需要将原问题转化为一个算子方程。
我们定义一个算子L，使得L(u) = u - Kf(x, u, Du, ..., Dn-1u)，其中K是一个依赖于问题的常数。
这样，原问题就转化为寻找L 的不动点问题。
（三）不动点定理的应用我们可以使用Banach空间中的压缩映射原理或Schauder不动点定理来证明算子L在某个闭球上存在不动点。
首先需要证明L是一个压缩映射，然后根据不动点定理得出L存在不动点。
这等价于原问题存在解。
（四）证明解的唯一性除了证明解的存在性，我们还需要证明解的唯一性。
这通常需要利用更强的条件或额外的假设。
例如，我们可以假设f满足某种单调性或Lipschitz条件，从而保证解的唯一性。
四、结论通过上述证明过程，我们得出了该类分数阶微分方程边值问题解的存在性。
这为解决具有记忆效应和历史依赖性的实际问题提供了理论依据。
一类 Caputo 分数阶微分方程初值问题解的存在性
一类 Caputo 分数阶微分方程初值问题解的存在性杨帅;蔡宁宁【摘要】将一类Caputo分数阶微分方程初值问题转化为等价的Volterra积分方程，通过构造一个特殊的Banach空间，在此Banach空间上定义算子，将求解Volterra积分方程转化为求算子的不动点问题，应用Schauder 不动点定理证明了其解的存在性。
%The initial value problem of a class of Caputo fractional differential equations is trans‐formed into an equivalent Volterra integral equation .By defining a operator on a special Banach space ,the solvability of the Volterra integral equation is transformed to a fixed point problem . The existence of its solution is proved by employing S chauder′s fixed point theorem .【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】4页(P29-32)【关键词】Caputo分数阶微分方程;初值问题;Volterra积分方程【作者】杨帅;蔡宁宁【作者单位】中国矿业大学北京理学院，北京100083;中国矿业大学北京理学院，北京100083【正文语种】中文近年来，随着相关理论的不断拓展和完善，分数阶微分方程已广泛应用于分数物理学、粘弹性力学、自动控制、混沌与湍流、生物化学、非牛顿流体力学、随机过程等诸多科学领域[1]. 关于分数阶微分方程解的存在性及其求解也取得了丰硕的成果[2-5]. 分数阶微分方程初值问题是非线性微分方程的一个重要研究课题，许多学者都独立地探讨了各类分数阶微分方程初值问题[6-9].本文主要讨论如下一类Caputo分数阶微分方程边值问题式是Caputo分数阶导数，核心思想是将其转化为等价的Volterra积分方程，利用Schauder不动点定理证明其解的存在性.首先，介绍几个基本概念和一些Caputo分数阶导数的性质以及相关引理.定义1[1] 设是R中的有限区间，∀α∈R+，则连续函数f(x)的α阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为式中0≤x≤h，右端项在上有定义. α=0时，令=I为恒等算子.定义2[2] 设是R中的有限区间，n-1<α≤n，n≥2，则连续函数f(x)的α阶Caputo分数阶导数定义为式中0≤x≤h，右端项在上有定义.性质1 常数的Caputo分数阶导数为0，即性质2 设f1,f2是两个连续函数，∀几乎处处存在. 设几乎处处存在，且引理1 设α>0，f∈C[0,h]，则有几乎处处成立[2].引理2 设f∈L1[0,h]，∀α≥0，则几乎处处存在，且在L1[0,h]中有界[1].定理1 设f(x,y(x))在[0,1]×R上连续，则Caputo分数阶微分方程边值问题(1)等价于下面的第二类非线性Volterra积分方程证明设y(x)是Caputo分数阶微分方程边值问题(1)的解，则由Caputo分数阶导数的定义有第2个等号两边作用1-α阶的Caputo分数阶导数，由引理1可得即等式两边积分可得y(x)=y(0)+最后一个等号用到了则y(x)是Volterra积分方程(2)的解.另一方面，设y(x)是Volterra积分方程(2)的解，即等号两边作用α(0<α<1)阶的Caputo分数阶导数，则由性质1、2以及引理1可得且在(2)中令x=0可得y(0)=y0，则y(x)是Caputo分数阶微分方程边值问题(1)的解.综上两个方面，得到(1)与(2)等价.定理2 设在[0,1]×R上连续，f(x,0)不恒为零，并且存在非负函数p(x)∈L1[0,1]及q(y)∈C(R)使得，另有(α+1)，则Caputo分数阶微分方程边值问题(1)在C[0,1]中至少有一个非零解.证明由定理1知道，Caputo分数阶微分方程边值问题(1)与Volterra积分方程(2)等价，定义算子A:Ay(x)=y0+则方程的解转化为算子A的不动点问题.由(α+1)知，存在L>0以及0<K<Γ(α+1)，使得当时，有.另外，由于p(x)∈L1[0,1]，则由引理2知，存在N>0，使得N. 则对于(x,y)∈[0,1]×R有定义,其中‖·‖C是Bannach空间C[0,1]上的最大值范数，即，且容易得到U是Bannach空间C[0,1]的有界完备闭凸子集.接下来，分以下几步来证明：第1步，任取y∈U，可以得到即Ay(x)∈U，于是算子A:U→U.第2步，讨论算子A的连续性.∀y1,y2∈U，x∈[0,1]，对于∀ε>0，由f在‖y‖上的一致连续性知，∃δ0>0使得当时，有,∀x∈[0,1]那么则A:U→U连续.第3步，，对于∀z∈A(U)，有即A(U)中诸函数一致有界.第4步，讨论A(U)中诸函数的等度连续性.由U是Bannach空间C[0,1]的有界完备闭凸子集，且在[0,1]×U上连续，则可令∀y∈U,∀x1,x2∈(0,1]，不妨设0<x1≤x2≤1. 对∀ε>0，取，则当时，有由于0<α<1，则dt=于是ε.可知A(U)中诸函数等度连续.由Ascoli-Arzela定理知A(U)是B相对紧集. 因此A:U→U全连续. 根据Schauder 不动点定理知A在U中必有不动点.综上，证明了Caputo分数阶微分初值问题(1)解的存在性，即(1)必有连续解y∈C[0,1].【相关文献】[1] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and applications of fractional differential equations [M]. Amsterdam: Elsevier, 2006.[2]Diethelm K. The analysis of fractional differential equations[M]. Heidelberg: Springer, 2010.[3]Sabatier J, Agrawal O P, Tenreiro Machado J A. Advances in fractionalcalculus[M].Nether-Lands: Springer, 2007.[4]Miller K S, Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations [M]. New York: Wiley, 1993.[5] Podlubny I. Fractional differential equations [M]. London: Academic Press,1999.[6] Zhang S Q. Positive solutions to singular boundary value problem for nonlinear fractional differential equation[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,59 (3):1 300-1 309.[7] Zhang S Q. Positive solution of singular boundary value problem for nonlinear fractional differential equation with nonlinearity that changes sign[J]. Positivity,2012,16(1): 177-193.[8] Su X W. Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equations.[J]. Appl. Math. Lett.,2009,22: 64-69.[9] Su X W . Positive solutions to singular boundary value problems for fractional functional differential equations with changing sign nonlinearity[J]. Computers and Mathematics with Applications,2012, 64 (10):3 425-3 435.。
第三章 一阶微分方程的解的存在性定理
n
x
n
lim n ( x ) y0 lim =y0
x0 x x0
x
n x0 x
f ( x , n1 ( x ))
f ( x , ( x ))dx f ( , ( ))d .
即
( x ) y0
4. ( x ) 是积分方程(2)在 [ x0 h, x0 h] 上的连续解. 逐步逼近法
问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分是否
有意义?
命题2 对于所有的n,(3)中函数 n ( x ) 在 x0 x x0 h 上
有定义、连续且满足不等式
| n ( x ) y0 | b.
(4)
命题3 函数序列{ n ( x )} 在 x0 x x0 h上是一致收敛的. 现设
n
lim n ( x ) ( x ),
则 ( x ) 也在 x0 x x0 h 上连续,且 | ( x ) y0 | b. 命题4 ( x ) 是积分方程(2)的定义于 x0 x x0 h 上的
连续解. 命题5 设 ( x ) 是积分方程(2)的定义于 x0 x x0 h 上 的另一个连续解,则 ( x ) ( x )( x0 x x0 h).
证它是否关于y满足 Lipschitz条件一般比较困难,下面
给出在实际应用中容易判断的两个充分条件:
①如果 f ( x , y )在R上关于y的偏导数 f y ( x , y )存在且有界,
则 f ( x , y ) 在R上关于y满足Lipschitz条件.
②如果 f ( x , y )在R上关于y的偏导数 f y ( x , y )连续,则
一类分数阶微分方程初值问题的正解存在性
由于 厂：０ １ ｘＥ ， ） ［ ， ） ［ ，］ ｏ ∞ 一 ｏ ∞ 是连续 函数 ， 并将 初值代 入可 确定 Ｃ 一 １ １
．
（） ４ 两边进 行
运算 ：
Ｄｆ。 （ ）一 Ｄ『 Ｉｆ（ ， （） ｒ “ ￣ ｔ “ ｚ ）十 Ｃｌ ｔ － ｔ － ｚ ＋ Ｇ 矿 。 ３ ￡
０ 引 言
分数 阶微积 分在科 学 和工程 领域 中是 非常 有用 的工 具． 于分 数 阶微 积分 有多 种定 义格 式 ， 文所采 用 关 本 是 Ｒ ｅ ｎ — ｉｕ ｉｅ 简称 Ｒ Ｌ 意义 下 的分数 微积 分． ｉ ｍａ ｎＩ ｏ ｖｌ （ ｌ —） 近来 ， 分数 阶微分 方程 解 的存 在性 问题 受 到 了许 多学 者 的广 泛关 注． 由于 Ｒ Ｌ意 义下微 分方 程 的 初值 条 件 形 式上 较 Ｃ ｐｏ分 数 阶 微分 方 程 的 初值 条 件 复 杂 ， — ａｔ 故 这 方 面的研 究相对 少一 些． 文 主要是 探索 Ｒ Ｌ意义 下 的分 数 阶微分 方程 初值 问题 （） 本 — Ｉ的正解 性 ．
正 解 的 存 在 性 与 唯 一 性 ． 要 运 用 了 Ａｒ ｅ ａ Ａ ｓ ｏ ｉ 理 与 不 动 点 定 理 进 行 讨 论 与 研 究 ． 主 ｚ ｌ— ｃ ｌ 定
［ 键 词］ 关 分 数 阶 微 分 方 程 ； ｄｔ 题 ； 解 初 问 正
［ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） ４ ０ ２ — ５ ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ１ ５ ８ ［ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ ０ ０ － ０ ９０ 中 ７ ． 文
Ｄ㈤一 ＂ 而 （） ｕ 盖”
《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言近年来，分数阶微分方程作为一类具有重要物理、化学、工程及金融应用背景的数学问题，吸引了越来越多的研究者的关注。
在解决实际问题的过程中，人们发现许多复杂的物理现象和自然规律都可以通过分数阶微分方程进行描述。
而边值问题作为微分方程的重要部分，其解的存在性研究更是成为了数学研究的热点。
本文将主要探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性，为后续的研究和应用提供理论基础。
二、问题描述我们考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题：Dαu(x) = f(x,u(x)),其中 x ∈ [a,b]，满足特定的边值条件。
其中，Dα表示分数阶导数，f(x,u(x))是已知的函数，u(x)是未知的函数。
而边值条件可能包括多种形式，如端点处的值、导数值或混合边界条件等。
本文的目标是研究上述边值问题解的存在性。
三、研究现状自分数阶微分方程提出以来，其解的存在性及唯一性问题就成为了研究的热点。
早期的学者们主要通过传统的解析方法进行研究，如傅里叶级数展开、拉普拉斯变换等。
随着计算机技术的发展，数值方法也逐渐被引入到该领域的研究中。
近年来，一些新的研究方法如不动点定理、压缩映射原理等被广泛应用于分数阶微分方程边值问题的研究中，为解的存在性提供了有力的证明。
四、解的存在性证明本文将采用压缩映射原理来证明上述分数阶微分方程边值问题解的存在性。
首先，我们将问题转化为一个等价的积分方程形式，然后定义一个压缩映射并证明其存在唯一的不动点。
具体步骤如下：1. 将原问题转化为等价的积分方程形式；2. 定义一个压缩映射；3. 证明压缩映射存在唯一的不动点；4. 利用不动点的存在性证明原问题解的存在性。
在证明过程中，我们需要对函数空间进行适当的定义和性质分析，如完备性、连续性等。
同时，还需要对特定的边值条件进行分析和转化，使其适应于压缩映射原理的应用。
五、结论通过上述研究，我们证明了分数阶微分方程边值问题解的存在性。
一类分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性
本文 主要讨 论 如下分 数 阶微 分 方程边值 问题 ：
（ ） ＋ｆ （ ｔ ， “ （ ￡ ） ）一 ０ ， ０＜ ｔ ＜ ｌ
（ Ｏ ）＝ 甜 （ １ ）一 ０，
（ １ ）
（ ２ ）
其中 ｔ Ｅ Ｅ ｏ ， １ ］ ， ｆ： Ｅ ｏ ， １ ］ ×Ｒ — Ｒ 的连续 函数 ， 且 １ ＜ａ ≤２ ． 文［ ３ ］ 中， Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ和 Ｙ ｕ ａ ｎ用锥 不 动点 理 论研 究该 边 值 问题正 确 的存在性 ， 而我 们 利用 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ压缩 定 理讨 论 （ １ ） ， （ ２ ） 解 的唯 一性 ， 利用 Ｂ ｒ ｏ ｕ ｗｅ ｒ 定 理 讨论 其 解
ｒ Ｊ 广 。 １ （ １ 一 ｓ ） ｒ ｌ ￡ Ｉ “ ） 一 ｚ （ ｓ ） Ｉ ｄ ｓ ＋ Ｔ ｊ ｒ 。 （ ￡ 一 ｓ ） Ｉ （ ｓ ） 一 “ ｚ （ ｓ ） Ｉ ｄ ｓ ，
１ ， （ ， “ ｔ ） 一，（ ￡ 一“ ｚ ） ｌ ≤Ｌｌ 一“ 。 １ ， 如果
＜１ ， 则 边值 问题 （ １ ） ， （ ２ ） 有唯一 解・
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ ２ — １ １
作者简介： 安存 斌 （ １ ９ ７ ９ 一 ） ， 男， 山西 山 阴人 ， 硕士 ， 大 同 大学 数 计 学 院讲 师 ． 主要从事差分， 微 分 方 程 解 的 存在 性 研 究
的存 在性 ． 特别 地 ， 本文并 不要 求 函数 厂非负 ， 扩大 了 ＿ 厂的范 围．
１ 主 要 结 论
首先 我们 引入 一个 引理 ， 此引理 的证 明在 文献 ［ － ５ ３ 中可查 到．
引理 １ 如果边值 问题 （ １ ） ， （ ２ ） 的解存 在 ， 则 问题 （ １ ） ， （ ２ ） 的解 由下式给 出
《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文
《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要：本文探讨了分数阶微分方程边值问题的解的存在性。
利用不动点定理和分形算子理论，对特定类型的分数阶微分方程进行了解析研究，证明了在满足一定条件下，该类边值问题存在解。
本文的研究不仅为分数阶微分方程的求解提供了新的思路，也为相关领域的研究提供了理论依据。
一、引言分数阶微分方程作为数学领域的一个重要分支，在物理、工程、生物等多个领域有着广泛的应用。
近年来，随着分形理论和现代数学理论的不断发展，分数阶微分方程的研究越来越受到关注。
特别是对于一些复杂的物理和工程问题，其数学模型往往可以归结为分数阶微分方程的边值问题。
因此，研究这类问题的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。
二、问题描述与预备知识本文考虑的分数阶微分方程边值问题可以描述为：在给定的区间上，满足一定的初始条件和边界条件的分数阶微分方程的解的存在性问题。
为了解决这一问题，我们首先需要引入分数阶微分方程的基本概念和性质，包括分数阶导数的定义、分形算子的基本理论等。
此外，还需要介绍一些相关的数学工具，如不动点定理等。
三、解的存在性证明本部分是本文的核心内容，主要利用不动点定理和分形算子理论来证明分数阶微分方程边值问题解的存在性。
具体步骤如下：1. 定义分数阶微分方程的算子形式，并分析其性质。
2. 利用不动点定理的基本原理，构建一个合适的函数空间，使算子成为这个空间上的自映射。
3. 通过证明算子在该函数空间中具有压缩性质，进一步利用不动点定理的结论得出解的存在性。
4. 为了解决特殊类型的边值问题（如非线性边值问题），需要引入分形算子理论，通过构造适当的分形算子来处理问题的非线性部分。
5. 结合分数阶微分方程的特性和分形算子的性质，证明在满足一定条件下，该类边值问题存在解。
四、结论本文通过利用不动点定理和分形算子理论，证明了特定类型的分数阶微分方程边值问题解的存在性。
这为分数阶微分方程的求解提供了新的思路，也为其在物理、工程、生物等领域的实际应用提供了理论依据。
一类分数阶微分方程初值问题的正解存在性
( 太原师范学院 数学系, 山西 太原 030012)
摘要 文章主要讨论了一类分数阶微分方程 D u( t) = f ( t, u) , 0< t< 1, 2< ! 3 初值问题 正解的存在性与唯一性. 主要运用了 A rzela A s co li 定理与不动点定理进行讨论与研究.
定理 3 假设
( H 1) f : [ 0, 1] ∀ [ 0, # ) ∃[ 0, # ) 是连续函数, 对每一个 t & [ 0, 1] , f ( t, + ) 是不减的;
( H 2 ) v0 , w 0 是初值问题( I) 的下解和上解, 满足 v0 ( t) ! w 0 ( t) , t & [ 0, 1] .
整理得: D - 2 u( t ) = I 2 f ( t , u( t) ) + C1 ( ) t + C2 ( - 1) , 将初值代入可确定 C2 = 0. 同理可确定 C3 = 0.
因而积分方程( 4) 变为:
% u( t) = I f ( t, u( t) ) +
t- 1 ()
=
1 ()
t
( 2)
! 3, D 为标准的 Riem ann L iouville 分数阶微分, 且 f : [ 0, 1] ∀ [ 0, # ) ∃ [ 0, # ) 是连续函数.
1 基本概念
定义 1[ 1] 连续函数 u( t) : [ 0, # ) ∃R 的 ( > 0) 次分数次积分为:
% I u( t) =
第9卷 第4期 2010 年 12 月
太 原 师 范 学 院 学 报 ( 自然科学版) JO U RN A L O F T AI YU A N N ORM AL U N IV ERSIT Y ( N atural Science Edition)
一类分数阶微分方程的解的存在性
１
ｆｆ－（）三一１ ｌ， ｆ，Ｉ ｆ 厂 ｔ【 【 （） ≤
则 少 间ｌ ｒ ｈ 存 唯 的 足 值 件 （＝ 至 在区 １ Ｉ 上 在 一 满 初 条 ｆ ｆ １ —≤ ）
的解 ，
（ ） 而
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（ ） ’） （出
其 ｍ 寺ａ１ 】 ＝ａ （） 中 ＝ｉ （ ） ｝ ｍ ｛ ，。 ｎ ＋ ， ｘ ｝ “ Ｍ ｆ ｆ
证 明 ： 用 压 缩 影 像 原 理 利 Ｂ ｎ ａ ｈ 间 为全 体 连续 函数 空 间 ａｂｃ空
讨 论 当 ， … 为 有 理 数 时 方程 解 得 存 在 唯 一 性 。
续 ， 满 足 Ｌ条 件 即 ｊ ＜ ＜ 且 Ｌ０
其 中 ｌ ａ ＞… ＞口 ， 是 的 整 数 部 分 。 ＞ ２ 【】 定 义 １ 分 数阶 微 分 的ｃ ｐ ｏ 义 ： ： ａ ｔ定
１
（ 杀 ￡ ～ ） ） （ ）
其 中 ＝［ ＋ｌ 】
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２ ３
故 是 自映 射 。
Ｉ １（ （－ ，ｓ志ＩｓＩ ）（Ｉ ＝ ｆ ｘ ｆｓ （） （＿ ） ｆ ， （］ ｓ ｙｄ ） ） ｔ￣ ｌ 出 －－ ， ＇ ／
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志ｆ 广ＩＩ ｔｙ Ｉ．ｙ Ｉ （ Ｉ ｌｌ “Ｌ … Ｉ 凼 １ Ｌ ｌ ｃ Ｌ ． Ｉ １ （ｔ Ｉ ｘ ｘ 咖 － … －
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．
利 用以下转化 ：
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（ ，） 的 分数阶微 分方 程初 值问题 的存 在性 １２ 上
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ｍ 摘
要 ： 用 Ｓｈｕ ｅ 利 ｃ ａ ｄ ｒ不 动 点 定 理 ， 究 了 一 类 阶 数 在 （ ， ） 的 分 数 阶 微 分 方 程 初 值 问 题 研 １２ 上
滨 解 的 存 在 性 ， 到 该 问题 至 少存 在 一 个 解 的 充 分 条 件 ． 得
州
关 键 词 ： ｅ ｎ — ｉｕ ｉ ｅ分 数 阶 导 数 ； 数 阶 微 分 方 程 ； ｃ ａ ｄ ｒ不 动 定 理 ； 值 问题 Ｒｉｍａ ｎ Ｉ ｏ ｖｌ ｌ 分 Ｓｈ ｕ ｅ 初 学 院 中 学 ｕ 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ １５８ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ３ ６ ８ ２ １ ） ６ ０ ６—０ １ ７ —２ １ （０ ０ ０ —０ １ ３
使 得 Ｄ 一 （）一 “ ｆ ＋ ｃ ＋ ｆ 。 … ＋ ｆ ｆ ， 中 Ｎ 为 大 于 或 等 于 的最 小 整 数 ． “ （） ・ 。 。 ＋ 其 ～
引理 ２ Ｓｈ ｕｅ 不 动点 定理 ） 设 Ｕ是 Ｂ ｎｃ （ ｃａｄｒ ａ ａｈ空 间 Ｘ 的有 界 闭 凸 子 集 ， Ｕ — Ｌ 是 全 连 续 算 子 ， 丁： ， 则 Ｔ在 Ｕ 中有不 动点 ．
Ｂ
报 近 年来 ， 数 阶积分 理论 因其在 物理 、 化学 、 机械 、 工程 等领域 的广 泛应 用而 受到 国 内外 许多 学者 的关 垤 分 注 ． 数 阶 微 分 方 程 解 的 存 在 性 研 究 是 微 分 方 程 定 性 理 论 的 重 要 内 容 之 一 ， 是 进 一 步 研 究 分 数 阶 微 分 方 分 也
ｊ 。（ 一＝ ！ ｆｌ。二． “ ）， ＝～ ） ＝ｏ ２ 。 。 （
其 中 １ ａ＜ ２ ０＜ ｔ １ ＜ ， ≤ ， 为 标 准 的 Ｒｉ ｎ Ｉ ｏ ｖｌ 分 数 阶 导 数 ． ｅ ｍａ ｎ— ． ｕ ｉｅ ｉ ｌ
（ １ ）
１ 预备 知 识
本 文用 到如下 预备 知识 ， 自文献Ｅ ３ 来 ７．
第 ６期
李秋 萍 阶微分方 程初 值 问题 解 的存在性
１ ７
引理 １ 若 ａ ０ “∈ Ｃ（ ， ）ｎ Ｌ（ ， ） Ｄ ＋ （ ， ）ｎ Ｌ Ｏ １ ， ＞ ， Ｏ １ Ｏ １ ， “Ｅ Ｃ Ｏ １ （ ， ） 则存 在 （ ∈ Ｒ， ＝ １ ２ … ， ’ ｉ ， ， Ｎ，
程理 论及 其应用 的重要 基 础． 随着 分数 阶微 分方程 理论 的不 断发 展 ， 于分数 阶 微分方 程初 值问题 解 的在 关 存性 研究 有 比较 丰 富的结果 ， 中文献 ［ — ］ 究 了初 值 问题解 的存 在性 和唯 一性 ， 其 １ ２研 文献Ｅ Ｊ 究 了初 ３研
值 问题解 的存在 性 ， 文献 ［ ４—６ ］研究 了初值 问题 正解 的存在 性． 而 ， 有 的 文献 大多 研究 的是 阶数 Ｅ 然 现 －
ｒ 一 ｃ
其 中 ａ＞ ０ ，＝ ［ ］ １ ［ ］表示 ａ的整数 部分 ， ， ＋ ，ａ 右端在 Ｒ 上逐 点有 定义 ．
为 了 证 明 主 要 结 果 ， 到 下 面 的 引 理 ． 用
收 稿 日期 ： Ｏ ０～０ ２ｌ ６—０ ４
基金项 目： 山东 省 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ０ ８ ２ ） 济 南 大 学 博 士 基 金 资 助 项 目（ Ｂ ０ ４ ） 济 南 大 学 研 究 生 创 新 Ｙ２ ０ Ａ ８ ， Ｘ Ｓ８３ ， 基金 资 助 项 目（ Ｃ ９ ｔ ） ＹＸ ０ ０ ４ 第 一 作 者 简 介 ： 秋 萍 （ ９ ６ ） 女 ， 东广 饶 人 ， 士 ， 要 从 事 微 分 方 程 及 其 应 用 研 究 ． ｉ ｌ ｑ ８ ＠ 】 ３ Ｃ ｒ． 李 １８ ， 山 硕 主 Ｅ ｍａｌ ｉ ｐ ８ ６ ． Ｏ ： ｎ
定 义 １ 函 数 厂 Ｒ 一 Ｒ 的 ａ阶 Ｒ ｅ ａ ｎ— ｉｕ ｉｅ 数 阶 积 分 定 义 为 ： ｉｍ ｎ Ｌ ｏ ｖｌ 分 ｌ
，） （ 一高 Ｊ ）１， １ ｌ ｏｌ ）， （ － （ｄ ，
其 中 ａ＞ ０ ｒ 为 Ｇａ ， ｍｍａ函 数 ， 端 在 Ｒ 右 一上 逐 点 有 定 义 ． 定 义 ２ 连 续 函 数 ， Ｒ 一 Ｒ 的 ａ阶 Ｒｉ ｎ Ｉｏ ｖｌ 分 数 阶 导 数 定 义 为 一 ： ｅ ｍａ ｎ— ｕ ｉｅ ｉ ｌ
第 ２ ６卷 第 ６期
Ｖ ｏ ． ６。 Ｏ ６ １２ Ｎ ．
２１ ０ ０年 １ ２
Ｄｅ ．。 Ｏｌ ｃ ２ ０
【 分 方程 与 动 力 系统 研 究 】 微
一
类 分 数 阶 微 分 方 程 初 值 问题 解 的存 在 性
李 秋 萍 ， 书荣 ， 振 来 ， 以 阁 孙 韩 赵
（ 济南 大学 理学 院 ， 山东 济南 ２ ０ ２ ） ５ ０ ２
２ 主 要 结 果 与 证 明
定理 １ 假设 函数 ＿ ｔ“ ｔ） ［ ，］ 厂 ， （） 在 Ｏ １ ×Ｒ上 连续 ， 满 足 ｌ （， （） 一／ １ ｆ ）Ｉ ｇ ｔ Ｉ 一 Ｉ， （ 且 ＿ “ ｔ） ’ ， ） ≤ （， “ 厂 （ （ ） 其中 ｇ ｆ “ （，！ Ｉ 为关 于 Ｉ 一 Ｉ 减 的连 续非 负 函数 ， 且满 足 ｇ ｔＯ ） “ 非 并 （， ）＝ ０ 则初值 问题 （ ） ， １ 至少存