随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布§2.1 随机变量一、 概念对于随机试验：E: },,,{AB B A B A B A S =，X 表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。

定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X 。

二、 分类1、 离散型随机变量2、 非离散型随机变量§2.2离散型随机变量一.离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:,,,21 x x 取这些值的概率为P(X=i )= p i ,i=1,2,... (2.1) 称(2.1)式为离散型随机变量X 的分布律。

(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:上述表格称为离散型随机变量X 的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ i i p p p x x x 2121离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。

根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质（1）p i ≥0,i=1,2,...（2）1=∑iip常见的几种分布 1、 单点分布例: 若随机变量X 只取一个常数值C ，即P(X=C)=1，则称X 服从单点分布。

（也叫退化分布。

）2、0-1分布例:若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为0<p< 1,q=1-p，或记为P(kX=)=p k q1-k ,k=0,1 则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。

3、几何分布例:一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0<p<1),不中的概率为q=1-p.今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为或记为P(k X=)=pq k1-, k=1,2, ...则称X服从参数为p的几何分布。

4、超几何分布例:设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M 件。

今从中任取n(假定nN-M)件，则这n 件中所含的次品数X 是一个离散型随机变量，其分布为nNm n MN m M C C C m X P --==)(,m=0,1…,k ,k=min(M,n)则称X 服从超几何分布。

(二） 二项分布在n 重伯努利试验中，事件A 发生的次数X 是一个离散型随机变量，其分布为P( X= k )=kn kk nq p C -,k=0,1,2,⋯,n,称X 服从参数为n ，p 的二项分布。

记为),(~p n B X 。

例2:P39. 例3:P40.在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？泊松分布1． 定义若离散型随机变量X 的分布为λλ-==e k k X P k!)(，k=0,1,2,⋯其中常数λ>0，则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为)(~λπX 。

2． 泊松Poisson 定理P41,设有一列二项分布X ～B(n p n ,),n=1,2, ...,如果λ=∞>-nn np lim , λ为与n 无关的正常数，则对任意固定的非负整数k ，均有{}λλ--∞→∞→=-==e k p p C k X P k kn n kn k n n n n !)1(lim lim证略。

例5:P43.例6:P44,自学。

§2.3随机变量的分布函数一、概念定义2.1设X 是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数,令 )()(x X P x F ≤= (2.11) 则称F （）为X 的分布函数。

例1:（书上例2.8）设X 服从参数为p 的（0-1）分布，即：k q p k X P k-==1)(,k =0,1,其中0<p<1,q=1-p.求X 的分布函数F(). 例: 设R.V. X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=31318.0114.010)(x x x x x F 求X 的概率分布。

二、性质性质1 若1<2,则F(1)F(2).即F()是的单调不减函数。

性质2对任意的实数，均有0 F() 1 (2.15) 且0)(l i m =-∞→x F x (2.16) 1)(l i m=+∞→x F x (2.17)性质3对任意的实数0,有)()(0lim 0x F x F x x =+→ (2.18)即F()在轴上处处右连续。

证明见P-44.性质4若F()在X=0处连续，则P(X=0)=0 性质5P(a<X ≤b)=F(b)-F(a) 例: 设R.V.X 的分布为⎩⎨⎧<>-=-0,00,)(3x x e A x F x 确定A ,且求P(-1<≤2)§2.4连续型随机变量一、 定义2.2设随机变量X 的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数，均有 F()=⎰∞-x dt t f )( (2.20) 则称X 是连续型随机变量，称f()是X 的概率密度或密度函数，简称密度。

二、图形分布函数dte x F t x222)(21)(σμσπ--∞-⎰=图形：data normal;do x=-3to 5by 0.01;y=PROBNORM(x);output ; end ; run ;procgplot data =normal; plot y*x=1;symbol1v =none i =join r =1c =black; run;三、性质性质1f()0 (2.21)性质2⎰∞∞-=+∞=1)()(F dx x f (2.22) 性质3 P(a<Xb)=F(b)-F(a)= ⎰b adx x f )((2.23)性质4在f()的连续点处，有 )(x f =)(x F '(2.24)性质5在f()的连续点处，当x ∆>0,且很小时，有P(<X)=+x ∆⎰∆+∆≈xx x x x f dt t f )()( 几点说明：1． 由5可以看出f()值的大（小）反映R.V .X 在邻域概率的大（小）。

2． 连续型随机变量X 取任一点0的概率为零。

即：P(X=0)=0。

3． 连续型随机变量X 的密度函数为f(),则它取值于区间（a,b ）、（a,b]、[a,b ）、[a,b]上的例：(第一版)已知随机变量⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,210,21)(~x e B x e A x F X xx （1） 确定A 和B ；（2）求)(x f ；(3)求)21(≤<-X P 二、均匀分布例：设R.V.⎩⎨⎧≤≤=其它,0,)(~b x a k x f X ，称X 在[a ,b]上服从均匀分布。

（1）确定k 。

（2）求P(α<X α+s)(a<α<α+s<b)。

(3)写出X 的分布函数F()。

定义：若随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他01)(b x a ab x f 则称X 在[b a ,]上服从均匀分布，记为X ～U[a,b],相应的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤--<=x b bx a ab a x a x x F 10)( 一般地，设D 是轴上一些不相交的区间之和，若X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=D x D D x f 01)(的长度则称X 在D 上服从均匀分布。

如果],[~b a U X ，则对于满足b d c a ≤<≤的任意的d c ,,有dx ab d Xc P dc⎰-=≤≤1)(=)(1c d a b -- (2.32) 三、指数分布若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-00)(x x e x f xλλ（2.33）其中常数0>λ，则称X 服从参数为的指数分布，相应的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-001)(x x e x F xλ (2.34)例：（第一版书上例2.12）经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th 的条件下，在以后的th 内损坏的概率为)(0t t ∆+∆λ，其中是不依赖于t 的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。

略 四、正态分布1、定义：若随机变量X 的概率密度为222)(21)(σμσπ--=x ex f , +∞<<∞-x (2.35)其中σμ,都为常数且0>σ，则称X 服从参数为σμ,的正态分布，记为),(~2σμN X ，有时也简称X 为正态随机变量。

X 的分布函数为dte x F t x222)(21)(σμσπ--∞-⎰=（2.36）2、 验证dt e t x dx e F t x 22)(2222121)(-∞+∞---∞+∞-⎰⎰==-=+πσμσπασμ令 12212122=∙==⎰∞+∞--πππdt e t 3、 作出)(x f 的图形10)(21)('222)(3=--=--σμμσπx e x x f ，得驻点μ=x ， 0201)(21)(''222)(223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--σμσμσπx e x x f 得0≠=μx ， 03lim±∞→x 0)(=x f作图SAS 程序：data normal;do i=-3to 3by 0.01;z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926)); output ; end ; run ;procgplot data =normal; plot z0*i=1;symbol1v =none i =join r =1c =black;run;注意：一定要和由正态随机数区别开来。

如下面产生的是正态随机数。

data normal;retain _seed_ 0; do _i_ = 1to 1000;z = 0 + 1 * rannor(_seed_); output ; end ;drop _seed_ ; run ;procgplot data =normal; plot z*_i_=1 ;symbol1v =none i =join r =1c =black; run ;4、 性质：（1） f(x)的图形是关于直线x=μ对称的曲线 （2）σπμ21)(=f 为最大值，当x 远离μ时，f(x)→0（3） 当μ固定而变化时对图形的影响，↓小↑)(x f 大，分布曲线在μ=x 形成陡峭的高峰。

↑大↓)(x f 小，分布曲线在μ=x 变成缓峰。

μ=2, =0.5, 1, 2data normal;do i=-2to 6by 0.01;z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926))); z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926))); output ; end ;procgplot data =normal;plot z0*i=1z1*i=1z2*i=1/overlay ; symbol1v =none i =join r =1c =black; run;μ=2, =0.5, 1, 2, 5, 10图形：data normal;do i=-5to 9by 0.01;z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926))); z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926))); z3=exp(-(i-2)**2/(2*25))/(5*sqrt(2*(3.1415926))); z4=exp(-(i-2)**2/(2*100))/(10*sqrt(2*(3.1415926))); output ; end ; run ;procgplot data =normal;plot z0*i=1z1*i=1z2*i=1z3*i=1z4*i=1 /overlay ; symbol1v =none i =join r =1c =black; run;（4） 当固定而当μ变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。