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表面涂色的正方体规律

表面涂色的正方体规律学完立方体表面积这一课，有同学问我这个问题:把一个长3cm的立方体涂成黄色，然后把它剪成一个长1cm的小立方体。

请观察有多少个立方体两面都涂成黄色？有多少立方体的三面被涂成黄色？有多少立方体被涂成黄色？我觉得这个话题很有意思。

如果用得好，对学生的动手能力、思维发展能力、激发学生的学习兴趣都有很好的作用。

对于这个问题，我没有及时给同学们讲解方法，而是专门花了一节课的时间让全班同学一起讨论这类问题的解决方法。

在此之前，我安排同学回家自己做实验。

他们用胡萝卜和橡皮泥做成一个立方体，然后给它上色。

他们用刀切开，试着分成三等份、四等份、五等份，然后统计结果。

第二天，为了激发学生们的兴趣，上课我用电脑的模型来演示来这种规律，把一个涂色的棱长3厘米的正方体截成棱长1厘米的小正方体，得到结论：①三面涂色都有8个（8个顶点）；②一面涂色的原正方体每个面上有1个，共1×6＝6个；③二面涂色的原正方体每条棱上有1个，共1×12＝12个；④没有涂色就是最中间的1个。

以此类推，我们仍然得到边长为4cm，边长为5cm的特征。

由此我们得出结论：在小学数学课堂教学中，学生的潜力是无限的。

要充分利用点、线、面、体及其关系，提高学生的空间概念和解决实际问题的能力。

任何一个大正方体可以切成5³＝125块小正方体。

把一个涂色的大正方形切成125块小正方形后：涂不到色的有：（5-2）³＝27块（在大正方体的内部）一面涂色的有：（5-2）²×6＝54块（在六个面的中间）二面涂色的有：（5-2）×12＝36块（在12条棱上）三面涂色的有：8块（八个角）一共有：27+54+36+8＝125块。

表面涂色的正方体(教材第44页探索图形) 第二课时探索图形

第二课时探索图形
（4）学生自主探究，并填写表格。

（5）展示汇报，从而总结出没有涂色的小正方体的个数是（n-2）个。

【课堂作业】
完成教材第44页第(2)题：数正方体的个数
2层：1+(1+2)=4 或1×2+2×1=4
3层：1+(1+2)+(1+2+3)= 10或1×3+2×2+3×1=10
4层：1+(1+2)+(1+2+3)+ (1+2+3+4)=20或1×4+2×3+3×2+4×1=20
【课堂小结】
1.提问：通过今天的学习你有什么收获，还有什么疑问？
2.教师举例说明“分类计数探究规律”的数学思想和方法在生活中有着广泛的应用，让学生体会数学的应用价值。

【课后作业】
完成练习册中本课时练习。

板
书
设
计
综合与实践探索图形
2层:1+(1+2)=4 或1×2+2×1=4
3层:1+(1+2)+(1+2+3)= 10或1×3+2×2+3×1=10
4层: 1+(1+2)+(1+2+3)+ (1+2+3+4)=20或1×4+2×3+3×2+4×1=20
教学反思张彩霞：杨小妮：。

探索规律表面涂色的正方体

涂色技巧：在涂色时，可以采用“跳步涂色法”，即先涂一个面，再跳过一个面涂下一个面，以此类推，直至涂完所有的面。
涂色顺序：在涂色时，可以采用“从上到下”、“从左到右”、“从外到内”等顺序进行涂色，以保证每个面都有一个不同的颜色。
正方体的表面涂色问题实例解析
3面涂色：只在棱上出现，代表顶点
涂色规律在其他形状上的推广：可添加标题
添加标题
添加标题
涂色规律在不同维度上的推广：可以应用于三维、四维等更高维度的正方体表面涂色问题。
涂色规律在其他领域的应用：可以应用于计算机图形学、建筑学等领域。
正方体的表面涂色问题
正方体的表面涂色问题概述
感谢您的观看
汇报人：XX
计算机图形学：涂色规律可以应用于计算机图形学中，实现更逼真的三维模型渲染效果。
物理学模拟：涂色规律可以应用于物理模拟中，如量子力学和分子动力学的模拟。
游戏开发：涂色规律可以应用于游戏开发中，如角色皮肤和场景的渲染。
涂色规律的推广
涂色规律的应用范围：适用于所有正方体表面涂色问题，包括大、中、小正方体。
涂色方法：可以采用递归、数学归纳法等方法证明涂色规律，并给出具体的涂色方案。
应用领域：表面涂色问题在计算机图形学、组合数学等领域有广泛应用，可以用于设计图案、解决几何问题等。
对未来研究的展望
深入研究不同涂色方式对正方体表面涂色问题的影响探索更高效的算法和计算模型，以解决大规模正方体表面涂色问题结合其他领域的知识，如计算机图形学、统计学等，对正方体表面涂色问题进行多角度研究拓展正方体表面涂色问题的应用场景，将其应用于实际问题的解决中
2面涂色：在棱上出现，代表棱上非顶点

3-6 探索表面涂色的正方体的有关规律

大正方体的棱上小正方体的块数
三面涂色的块数
两面涂色的块数
一面涂色的没有涂色的
块数
块数
⑥
7
8
（7-2）×12=60 （7-2）2×6=150 （7-2）3=125
⑦
8
8
（8-2）×12=72 （8-2）2×6=216 （8-2）3=216
⑧
9
8
（9-2）×12=84 （9-2）2×6=294 （9-2）3=343
在大正方体
长上的小正方
n
顶点的位置 12的倍数
6的倍数体块数有关系
大正方体的棱上小正方体的块数
三面涂色的块数
两面涂色的
块数 a
一面涂色的没有涂色的
块数 b
块数 c
①
2
8
（2-2）×12=0 （2-2）2×6=0 （2-2）3=0
②
3
8
（3-2）×12=12 （3-2）2×6=6 （3-2）3=1
③
4
8
（4-2）×12=24 （4-2）2×6=24 （4-2）3=8
a=(n-2)×12 b=(n-2)²×6 c=(n-2)³
4.总结规律。
补充表格
大正方体的棱上小正方体的块数
三面涂色的块数
两面涂色的块数
一面涂色的没有涂色的
块数
块数
①
2
8
（2-2）×12=0 （2-2）2×6=0 （2-2）3=0
一面涂色的小正方体在拼成的大正方体每个面的中间位置，因为每个正方体有6个面，所以
共有6块。
2.把27块棱长1cm的小正方体拼成1个大正方体。
没有涂色的小正方体在原正方体的中心位置，所以

表面涂色的正方体

小正方体总数
3面涂色小正方体个数 2面涂色小正方体个数
3份
4份
33=27 8
12
43=64 8
24
1面涂色小正方体个数
没有涂色小正方体个数
6
1
24
8
每条棱5等份
探究记录表：
大正方体每条棱平均分成
小正方体总数
3面涂色小正方体个数 2面涂色小正方体个数 1面涂色小正方体个数没有涂色小正方体个数
你对正方体有哪些认识？
能切成多少个小正方体？ 33=27
探究记录表：
大正方体每条棱平均分成
分成的小正方体总数
3份
33=27
观察讨论： 3面涂白色、2面涂白色、
1面涂白色的小正方体分别在大正方体的什么位置？（填好记录）
3面涂白色的在8个顶点处，是8个。
2面涂白色的小正方体分别在大正方体的什么位置？
2面涂色：（n-2）×12
2 1面涂色：（n-2） ×6
3 没涂色的：（n-2）
探究记录表：
大正方体每条棱平均分成
小正方体总数
3面涂色小正方体个数 2面涂色小正方体个数 1面涂色小正方体个数没有涂色小正方体个数
3份
33=27 8 12 6 1
4份
5份
n份
n3
8
43=64 53=125 8 24 24 8 8 36 54 27
2面涂白色的在棱上，每条棱中间1个。
共1×12=12个。
1面涂白色的小正方体分别在大正方体的什么位置？
1面涂白色的在面上，每个面中间1个。
共1×6=6个
探究记录表：
大正方体每条棱平分成
小正方体总数
3面涂色小正方体个数 2面涂色小正方体个数

探索图形表面涂色的正方体课件

活动二：想一想，算一算，大正方体的棱长平均分成5份时，每类小正方体各有多少个？把算式和结果填入表格中。
棱平均分的份数 5 小正方体的个数 125 3面涂色的个数 2面涂色的个数 1面涂色的个数
棱平均分的份数 5
小正方体的个数 125
3面涂色的个数
8
2面涂色的个数
1面涂色的个数
棱平均分的份数 5
1面涂色的个数 1×6=6
2
4×6=24 9×6=54 (n－2)×6
1×1
2×2
39×个3
每个面有 (n－2)×(n－2) 个 1面涂色的小正方体。
每条棱被平均分成n份
每个面有 (n－2)2 个 1面涂色的小正方体。 6个面有 (n－2) 2×6 个 1面涂色的小正方体。
每条棱被平均分成n份
没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
8
88
2面涂色的个数 1×12=12 2×12=24 3×12=36
1面涂色的个数 1×6=6 4×6=24 9×6=54
棱平均分的份数 3 小正方体个数 27 3面涂色的个数 8
4
5n
64 125 n 3
8
88
2面涂色的个数 1×12=12 2×12=24 3×12=36（n－2）×12
1面涂色的个数 1×6=6 4×6=24 9×6=54
13
23
33
原正方体棱等分的份数现正方体棱等分的份数（列式）没涂色的正方体个数（列式）
3
3-2=1
1x1x1=1³
4
4-2=2
2x2x2=2³
5
5-2=3
3x3x3=3³
每条棱被平均分成n份
棱平均分的份数
3

表面涂色的正方体规律1

三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
棱长 4 厘米
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
棱长 5 厘米
三面涂红色的在顶点处，还是8个。
棱长厘米 10
三面涂红色仍然是8个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，共有12×1=12个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，每条有2个，共有12×2=24个
一面涂红色的：在每个面的中间位置处，每面有4个，共有6×4=24 。
一面涂红色的： 3×3=9 6×9=54
一面涂红色的：8×8=64 6×64=384
一面涂色的 (n-2) 的平方× 6
表面涂色的正方体
正方体有哪些特征？
棱长厘米 3
三面涂红色的在8个顶点处，是8个。
棱长 5 厘米
三面涂红色的在顶点处，还是8个。
棱长厘米 10
三面涂红色仍然是8个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，共有12×1=12个。
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
共有12×3=36个
两面涂红色的还是在每条棱的中间位置处，共有12×8=96个
两面涂色的 (n-2) ×12
合作要求
1. 看一看，想一想，说一说，一面涂色的小正方体都在原正方体的什么位置？有几个？怎样列式？
2.你们能得出怎样的规律？
一面涂红色的：在每个面的中间位置处，有6×1=6个。
两面涂红色的在每条棱的中间位置处，每条有2个，共有12×2=24个
两面涂红色的依然在每条棱的中间位置处，
共有12×3=36个
两面涂红色的还是在每条棱的中间位置处，共有12×8=96个
两面涂色的 (n-2) ×12

探索图形——正方体表面涂色问题PPT课件可编辑全文

每个面中间位置的正方体露出1个面，一面涂色的个数与面有关，一个
面上1面涂色的小正方体个数（有n-2）² 个，正方体有6个面，所以1 面涂色的小正方体个数为6：x（n-2）² 个。
2021
17
导入
思考：
（1）三面涂色的小正方体有多少块？
8个
（2）两面涂色的小正方体有多少块？
12 x（10-2）=96（个）
8
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
2021
9
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分的份数
3
2面涂色的位置
棱上
1条棱上有几个两面涂色的正方体
（列式）
3—2=1
2面涂色的个数（列式）
12x（3-2）=12
2021
10
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分的份数
4
2面涂色的位置
顶点处顶点处顶点处顶点处
三面涂色的个数
8 8 8 8
2021
7
探索规律1
棱等分的份数
2 3 4 5
n
三面涂色的位置
顶点处顶点处顶点处顶点处顶点处
三面涂色的个数
8 8 8 8
8
在顶点位置的正方体露出 3 个面，三面涂色的个数与顶点数相
同，无论是哪一种情况，三面涂色的个数都是8个。
2021
棱上
1条棱上有几个两面涂色的正方体
（列式）
4—2=2
2面涂色的个数（列式）
12x（4-2）=24
2021
11
探索规律2 2面涂色的小正方体有多少个？
棱等分的份数
5
2面涂色的位置

探索规律《表面涂色的正方体》教材分析

探索规律《表面涂色的正方体》教材分析一个较大的正方体的6个面上都涂了颜色。

如果把这个正方体切成若干个同样大的小正方体，这些小正方体的6个面上不会都涂了颜色。

切成的小正方体可能有多少面涂了颜色？其中有没有规律？会是什么规律？回答这些问题是这次活动的数学内容。

较大正方体切成的小正方体，分布在大正方体的各个位置上。

正是由于各个小正方体在大正方体上的位置不同，所以它们涂颜色面的个数不同。

研究小正方体涂色面的规律，要分类整理各种小正方体的原来位置，与刚刚教学的正方体知识有联系，对空间想象力提出了新的内容与要求，有益于学生空间观念的发展。

教材分三段安排学生开展探索规律的活动，依次是：提出问题与观察想象、揭示规律与写出关系式、回顾过程与反思体验。

（一）提出问题，呈现现象，数数想想，初步发现规律大正方体切成的小正方体个数越多，数出表面涂颜色的小正方体个数就越难。

教材由少到多，逐渐增加难度：先把大正方体的每条棱平均分成2份，图示一个表面涂了颜色的大正方体被平均分的情境，让学生看着实物图数数、想想、说说，“能切成多少个大小相等的小正方体？有几个面涂了颜色？”这是多数学生没有想过的、富有挑战性的问题。

教材希望学生围绕小正方体“有多少个面涂有颜色，哪些面涂了颜色”这些问题进行思考和讨论，发现切成的每个小正方体都有3个面涂了颜色，3个面没有涂颜色。

从切成的小正方体的面有些在大正方体的表面上、有些在大正方体的里面，找到小正方体有涂色的面，也有没涂色面的原因。

接着把大正方体的每条棱平均分成3份，并切出大小相等的小正方体。

这时的情况就比较复杂了，有些小正方体的3个面上涂了颜色，有些小正方体的2个面上涂了颜色，有些小正方体的1个面上涂了颜色，有些小正方体所有面上都没有涂颜色。

教学应引导学生研究，为什么小正方体涂颜色面的个数不同？引导他们认识到由于有些小正方体在大正方体的顶点位置、有些在大正方体棱的位置、有些在大正方体表面的中间位置、有些在大正方体的里面，所以有3面涂色的、2面涂色的、1面涂色的、没有面涂色的小正方体，并且理解小正方体最多有3面涂了颜色。

正方体表面涂色共27页

▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
27
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日有所长。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

大小正方体表面涂色规律

大小正方體表面塗色規律壹、摘要許多規律性數學問題，往往透過具體物的操作，例如小積木的操作。

生活中常見物體表面塗色問題，本研究結合此兩元件，探尋由小積木組成不同邊長正方體表面塗色時，6至0個面被塗色積木數的規律性。

研究結果發現：1.六面塗色正方體之排列：6面、5面、4面被塗色有0個積木(n＞1)，3面被塗色有8個積木(n＞1)，2面被塗色有12（n-2）個積木(n≧2)，1面被塗色有6(n-2)2個積木(n≧2)，0面被塗色有（n-2)個積木(n≧2)。

2.五面塗色正方體之排列(底部不塗色)：6面、5面、4面被塗色有0個積木(n＞1)，3面被塗色有4個(n＞1)，2面被塗色有【4(n-1)+4(n-2)】個積木(n ＞1)，1面被塗色有【4(n-1)(n-2)+(n-2)2】個積木(n≧2)，0面被塗色有【(n-2)2(n-1)】個積木(n≧2)。

貳、研究動機：上學期某次數學課，老師要我們用1立方公分的白色積木疊成5×4×3和7×3×2的長方體，再把長方體的6個面塗色，並進一步計算3個面、2個面、1個面以及0個面被塗到顏色的白色積木各有多少個。

我們發現塗到3個面的白色積木都是8個，而塗到2個面、1個面、0個面的白色積木數是乎也存在某些規則，我們心裡產生了一些疑問。

學期初，老師要我們做科展時，我們決定探究我們的疑問，但長方體的邊長並沒有規則性，所以我們決定用1立方公分的白色積木疊成不同邊長正方體，並進一步探究不同面數被塗到顏色的白色積木數之規律性。

參、研究目的：一、能利用1立方公分的白色積木疊成不同邊長正方體。

二、能歸納整理出不同邊長六面塗色正方體中，6至0個面被塗色積木數的規律性。

三、能歸納整理出不同邊長五面塗色正方體(底部不塗色) 中，6至0個面被塗色積木數的規律性。

四、訓練學生的思考，將抽象的思考和具體的操作合而為一。

五、啟發學生從生活中發現數學、運用數學。

表面涂色正方体探索规律

涂色面的排列规律
总结词
涂色面按照一定的规律排列
详细描述
正方体的涂色面遵循一定的排列规律。对于一个给定的正方体，其涂色面的排列顺序是固定的，不会因为边长的变化而改变。
涂色面的对称性
总结词
正方体的涂色面具有对称性
VS
详细描述
正方体的涂色面具有对称性，这种对称性可以通过旋转或翻转正方体来观察。例如，一个涂色的正方体可以沿其中心轴旋转 90度或180度，其涂色面的排列顺序不会发生变化。
详细描述
正方体的六个面中，有四个相邻的面被涂上颜色，通常是前面、右面、上面和后面或左面、右面、上面和下面。
03
正方体的涂色规律
涂色面的数量与正方体的边长关系
总结词
正方体的涂色面数量与边长成正比关系
详细描述
随着正方体边长的增加，涂色面的数量也会相应增加。例如，一个边长为 1的正方体有6个涂色面，而边长为2 的正方体则有12个涂色面。
正方体的性质
总结词
正方体具有一些独特的性质，包括对称性和空间关系。
详细描述
正方体的六个面都是中心对称的，即如果一个面围绕其中心旋转180度，它将与另一个面对齐。此外，正方体的空间关系也很特殊，例如它的对角线长度是边长的√3倍。
正方体的应用
总结词
正方体的应用广泛，包括建筑、艺术和科学领域。
详细描述
艺术创作中的应用
绘画
设计作品
表面涂色正方体可以作为绘画的素材和灵感来源，帮助艺术家创造出独特的艺术作品。
表面涂色正方体也可以用于设计各种艺术作品，如首饰、家居用品等，增加作品的艺术价值和观赏性。
雕塑
在雕塑创作中，表面涂色正方体可以用于塑造立体感和质感，增强雕塑的表现力和视觉冲击力。