数学物理方程第四章 积分变换法

0
u
t
a
f
t
a
e
st
dt
0 f t aestdt 0
令 v t a ，t v a
dt dv
f
v esvadv
0
esa f t est dt 0
esa L f t
F s eas
结论
easF s Lut a f t a
表示Fs乘以eas后，相当于f t
在 t 軸向右平移了a距離。
f
(x)
a0 2
ak
k 1
cos kx
而当信号具有反对称性（奇）特征时，ak=0，
f (x)
a0 2
bk sin kx
k 1
❖ 在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题， 傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，
为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号
f(x)的傅里叶变换定义为：
❖
fˆ ( ) f (x)eix dx,i 1
若函数 f (x) 以 f (x 2l) f (x) 为周期，即
则可取三角函数族
1，cos x,cos 2 sin xl,sin 2 xl
x, ,
… …
cos sin
n
l
，x …
n x， …
l
l
l
作为基本函数族，将f (x) 展开为级数
f (x)
= a0 + (an
n1
cosn
l
x
+bncos
f
(t
)]
1
1 e sT
T f (t)estdt
0
卷积与卷积定理
t
卷积定义： f1(t) f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
卷积定理： l[ f1(t) f2 (t)] F1(S )F2 (S )
注意到前面所给出的约定，即函数 f (t) 等价于函数
f (t)u(t)，因此，这里所给出的卷积实际上与Fourier
2 j j
其中，F(s) 称为函数 f (t) 的像函数，f (t)称为 F(s) 的像原函数.
注1：函数f (t)的Laplace变换就是函数 f (t)u(t)et 的Fourier变换.
注2：由于Laplace变换只用到了函数f (t)在 t 0
的部分，为方便起见，在Laplace变换中所提
其中 F(ω,t)=
1
2
u(x,t)[eix ]*dx
❖ 1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题
ut a2uxx 0
第二类齐次边界条件下的本征函数：cos n x
l (0,1,2,…),
u(x,t)=
n0
Tn
(t
)co
s
n
l
x
把这个级数代入泛定方程，
[Tn' (t)
n0
n2 2a2
其中 U (t; k) 为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次
e 常微分方程，用 k2a2t 遍乘方程各项
d [U (t; k)ek2a2t ] F (t; k)ek2a2t dt
❖ 对t积分一次，计及零初始值，
U (t; k)
e k 2a2t
=
t F ( ; k )ek2a2 d
0
= t f ( , )eik ek2a2 (t )d d 0
(a,b是常数)
线形性质： l[af (t) bg(t)] aF(s) bG(s)
相似性质： l[af (t)] 1 F ( s ) aa
延迟性质 ： l[ f (t )u(t )] es F (s)
微分性质： l[ f (n) (t)] snF (s) sn1F (0) sn2F(0) L F (n1) (0)
2
e 4 2
u(x,t) t
=
f ( , )[
1
e ]d d
( x )2 4a2 (t
)
0
2a (t )
4.4 Laplace变换的定义和基本性质
❖ Laplace变换应用范围： Laplace变换方法广泛应用于求解非稳态 热传导问题，将对时间的偏导数消去。
❖ Laplace变换方法简单，但对变换后得到 的解进行反变换则相当复杂。
变换中的卷积是一致的.
❖阶梯函数的Laplace变换
u
t a
0，t 1，t
a a
a
0
Lut a
ut a est dt
0
0
a
1
e
st
dt
1 e st s
a
0
1
s e as
1 e as s
❖Laplace变换的移位特性
若a>0，L[f(t)]=F(s) 則L[u(t-a)f(t-a)]
n
l
x
)
an
1
nl
l f ( ) cos n d
l
l
bn
1 l
l l
f ( )sin n
l
d
其中
n
2 1
(n 0) (n 0)
周期函数f(x)可以理解为由正弦波（含余弦与正 弦函数）叠加而成，其中an，bn为叠加的权值，表 示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。
显然，当信号具有对称性（偶）特征时，bk=0，
g(x)=
a0 +
(anco s
n1
n
l
x
bn
sin
n
l
x
)
❖ 在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非 周期函数f(x)的傅里叶展开。
f(x)= 0 A() cos xd 0 B()sin xd
其中
1
A(ω)= f(ξ)sinωξdξ
B(ω)=
1
f(ξ)cosωξdξ
复数形式的傅里叶积分
f(x)= F(ω) ei x dω
零初始条件
T0 (0) 0
1 l
l
( )d
o
Tn (0)
n
2 l
l
( ) cos
n
d
o
l
❖Tn(t)的常微分方程在初始条件下的解：
Tn
(t)=
e [
n2 2 l2
a2
t
fn
n2 2a2
(t)e l2
t
dt
n
fn (t)dt]
u(x,t)=
{
e [
n2 2a2 l2
t
n0
fn
n2 2a2
l 1[F (n) (s)] (1)n t n f (t)
❖Laplace变换的性质
积分性质：
l
t 0
f
(t)dt
1 F(s) s
l
1
s
F
(s)ds
f (t) t
周期函数的像函数性质：设 f (t) 是 [0 , ）内以T为
周期的函数，且 f (t) 在一个周期内逐段光滑，则
.
l[
(t)e l2
t
dt
n
fn
(t
)dt
]
}cos
n
l
x
4.3无界空间的有源导热问题
❖ 1.一维无源导热问题和基本解 ❖ 2. 一维热传导问题 ❖ 3.一维有源导热问题。
❖傅里叶变换法求解无界细杆的热传 导问题
ut a2uxx f (x,t) u |t0 0
( x ,t 0)
U ' (t; k) k 2a2U (t; k) F(t; k) U (t; k) |t0 0
到的函数一般均约定在 t 0的部分为零.
换句话说，函数 f (t) 等价于函数 f (t)u(t).
注3：像函数F (s)通常仅在复平面s上的某个区域内 存在，称此区域为存在域，它一般是一个右半平 面.当函数 f (t)只要不比某个指数函数增长得快时， 则它的Laplace变换一定存在，因此我们所接触 到的绝大多数函数的Laplace变换都是存在的.在 进行Laplace变换时，常常略去存在域.
❖ 如要求 f (0) f (l) 0
这时应延拓为奇的周期函数，因为
sin
n
l
x│x
0
=0,
sin n
l
x∣x
l
=0;
如要求 f ' (0) f ' (l) 0
这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级 数的和的导数在 x 0 和 xl 为零
❖ 对于函数u(x,t),-l<x<l,t≥0,展开为傅里叶级 数时，可将t视为参数，仅关于x展开为傅 里叶级数
u(x,t)=a0
(t)+
n1
(an
(t
)co
s
n
l
x
bn
(t
)
sin
n
l
x
)
其中展开系数不是常数，而是关于t的函数，
1
an (t) nl
l u( ,t) cos n d
l
l
1
bn (t) l
l u( ,t) sin n
l
l
d
4.2 傅里叶变换
❖ 一般说来，定义在区间（-∞<x<∞）上的函数 f(x)是非周期的，不能展开为傅里叶级数。为 了研究这样的函数的傅里叶展开问题，可试 将非周期函数f(x)看作是某个周期函数g(x)于 周期2l→∞时的极限情形。这样，g(x)的傅里 叶级数展开式
§1 Laplace变换的定义、性质
❖ Laplace变换所考虑的对象通常是定义在 [0 , ）上的 实值函数 f (t)
Laplace（正）变换：