2.5 从力做的功到向量的数量积(2) 学案 (北师大必修4)

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高中数学必修四北师大版 2.5从力做的功到向量的数量积3 学案

课题 2.5 从力做的功到向量的数量积学习目标1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.学习重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义，运算律.学习难点：运算律的理解学习方法：以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式.学习过程一、课前预习指导：仔细阅读课本91----93页内容，完成以下预习检测平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为__.二、新课学习问题探究一平面向量数量积的含义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为0.1 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．对于两个非零向量a与 b.当______________时，a·b>0；当_________时，a·b＝0，即a⊥b；当θ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π，a·b<0.2 我们把|a|cos θ叫做向量a在b方向上的射影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的射影，其中θ为向量a与b的夹角．由数量积的定义a·b＝|a||b|cos θ可得：|a|cos θ＝_______；|b|cos θ＝_____.例如，|a|＝1，|b|＝1，a与b的夹角θ＝120°，则a在b方向上的射影为________，b在a方向上的射影为____. 问题探究二向量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)③a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)．1 请你证明a·b＝b·a.2 证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种情况讨论)3 下面是证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请你补充完整．证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，向量a＋b在向量c方向上的射影|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝___；向量a在向量c方向上的射影为|a|cos〈a，c〉＝OA1，向量b在c方向上的射影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉．两边乘以|c|得：______________＋______________＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为锐角时，如图(2)所示，向量a＋b在向量c方向上的射影为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝______；向量a在向量c方向上的射影为|a|cos〈a，c〉＝_____，向量b在c方向上的射影为|b|cos〈b，c〉＝______，（3）∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，∴_____＝______＋_____，∴____________________＝_______________＋_________________．两边同乘以|c|得：|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.问题4 某同学由实数乘法的三条性质：①ab＝0⇒a＝0或b＝0；②ab＝bc，b≠0⇒a ＝c；③(ab)c＝a(bc)；类比得到向量数量积的三条结论：①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；②a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)，这三条结论成立吗？请简要说明．问题探究三平面向量数量积的性质根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝________；当〈a，b〉＝π时，a·b＝________；当〈a，b〉＝π2时，a·b＝__；(2)a·a＝_____或|a|＝a·a＝a2；(3)cos θ＝_________；(4)|a·b|_____|a||b|;(5)(a＋b)2＝________________；(6)(a－b)2＝________________；(7)(a＋b)·(a－b)＝_________. 例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．三、当堂检测1．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为( ) A．2 B．2 3 C．6 D．122．已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是 ( )A．60° B．30° C．135° D．45°3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。

数学北师大版必修4 2.5从力做的功到向量的数量积含解

备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.图8向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A..1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC＞0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·＞0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是·=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是·BC≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3 A..43 B.4 C.42 D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△A.BC 中,设AB =b ,=c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( )A..0B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |. 9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+.9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1.∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |c osθ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23c osθ,∴c osθ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147. (设计者：陆萍)。

2020-2021学年高一数学北师大版必修4第二章2.5从力做的功到向量的数量积(第2课时) 教案

§2.5从力做的功到向量的数量积（第2课时）一．教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.二．教材分析本节课是启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质解决问题.三教学重、难点：教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用.四．教学方法与手段：启发式教学：通过对数量积概念的理解，引导学生归纳，总结数量积的运算律.充分体现教师的主导作用与学生的主题作用.五．教学过程：（一）复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |（二）讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅cC在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（结合律不成立）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（消去律不成立）（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２（三）讲解范例：例1 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =AD AB +∴|AC |2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222而BD =AD AB - ，∴|BD |2=AD AB AD AB AD AB ⋅-+=-2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++ 例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，AB，，，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.思考：如何利用向量的方法来证明余弦定理？（四）小结：平面向量的运算律六．作业设计与反思1、作业设计：习题2-5 A组7题，B组1题.2、教学设计反思平面向量数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明.这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识.对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开;练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径.。

北师大版必修4 2.5 从力做的功到向量的数量积学案

§5 从力做的功到向量的数量积Q 情景引入ing jing yin ru水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．X 新知导学in zhi dao xue1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的__夹角__，并规定夹角的范围是__0°≤θ≤180°__.当__θ＝0°__时，a 与b 同向；当__θ＝180°__时，a 与b 反向；当__θ＝90°__时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定：零向量可与任一向量__垂直__ . 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：__|a ||b |cos θ__叫作向量a 和b 的数量积，记作a ·b ，即__a ·b __＝__|a ||b |cos θ__. (2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影__|b |cos θ__的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上的射影__|a |cos θ__的乘积．3．向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质： (1)若e 是单位向量，则e ·a ＝__a ·e __＝__|a |cos θ__.(2)若a ⊥b ，则__a ·b ＝0__；反之，若__a ·b ＝0__，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__. (3)|a |＝__a ·a __. (4)cos θ＝__a ·b|a |·|b |__(|a |·|b |≠0)． (5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a |·|b |. 当且仅当__a ∥b __时等号成立． 4．向量数量积的运算律给定向量a ，b ，c 和实数λ，有以下结果： a ·b ＝__b ·a __；(λa )·b ＝__λ(a ·b )__＝__a ·(λb )__； a ·(b ＋c )＝__a ·b ＋a ·c __.Y 预习自测u xi zi ce1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( B ) A ．－32 B ．－62 C ．62D ．12 [解析] ∵a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝3×4×(－22)＝－6 2. 2．已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为( B ) A ．60° B ．120° C ．135°D ．150°[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－6010×12＝－12，∴θ＝120°.3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( D ) A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2[解析] BD →·CD →＝BD →·BA →＝(BA →＋BC →)·BA →＝(BA →)2＋BC →·BA →＝|BA →|2＋|BC →|·|BA →|cos ∠ABC ＝a 2＋a 2×cos 60°＝32a 2.故选D ．4．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝12，则a 在b 方向上的射影为__125__.[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝123×5＝45，而a 在b 方向上的射影为|a |cosθ＝3×45＝125.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨向量数量积的定义及几何意义典例1 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°.(1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的射影．[思路分析] 已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.『规律总结』 (1)数量积的符号同夹角的关系： ①若a ·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a ·b <0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a ·b . 〔跟踪练习1〕(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影； (2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a ·b . [解析] (1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a ·b ＝ |a ||b |cos 0°＝20.当θ＝180°时，a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20. 命题方向2 ⇨平面向量的数量积的运算律典例2 已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )； (3)(2a －b )·(a ＋3b )．[思路分析] 根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可． [解析] (1)a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3.(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－a ·b ＋a ·b －b 2＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5.(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×4－5×3－3×9＝－34.『规律总结』求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．〔跟踪练习2〕已知|a |＝3，|b |＝4，θ＝120°(θ为a 与b 的夹角)，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )；(3)(a ＋b )·(a ＋b )；(4)(a －2b )·(3a ＋b )．[分析] 将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b ＝|a |·|b |cos θ求． [解析] (1)原式＝|a |·|b |·cos θ＝12×cos 120°＝－6； (2)原式＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝9－16＝－7；(3)原式＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |·cos θ＝9＋16＋2×(－6)＝13. (4)原式＝3a 2－5a ·b －2b 2＝3|a |2－2|b |2－5·|a |·|b |·cos θ＝27－32－5×(－6)＝25. 命题方向3 ⇨向量的夹角典例3 已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求a 与a ＋b 的夹角．[思路分析] 根据题中所给等式求出向量a 与a ＋b 的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可．[解析] ∵|a |＝|a －b |， ∴|a |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2. 又|a |＝|b |，∴a ·b ＝12|a |2，又|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |，设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32，又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.『规律总结』向量夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误．〔跟踪练习3〕若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( C )C ．120°D ．150°[解析] ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b 2＝0. ∴2|a |·|b |cos θ＋|b |2＝0.又∵|a |＝|b |，∴cos θ＝－12，即θ＝120°，选C 项．命题方向4 ⇨求向量的模典例4 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |、|a －b |.[解析] 解法一：由数量积公式|a |＝a 2求解．因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25， a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝25＋25＋25＝5 3.同样可求|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝25＋25－25＝5.解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使AB ＝AD ＝5， ∠DAB ＝π3，设AB →＝a ，AD →＝b ，如图所示，则|a －b |＝|BD →|＝|AB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →|＝2×32×5＝5 3.『规律总结』 (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ， ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.由关系式a 2＝|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|a ＋b |，可求(a ＋b )·(a ＋b )，将此式展开．(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了．〔跟踪练习4〕已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －b |的值为( B ) A ．4B ．27[解析] ∵a ·(b －a )＝2， ∴a ·b －a 2＝2.∴a ·b ＝2＋a 2＝2＋|a |2＝2＋22＝6. ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝22－2×6＋62＝28， ∴|a －b |＝27. X 学科核心素养ue ke he xin su yang用向量数量积解决垂直问题典例5 已知a ，b 是非零向量，θ为a ，b 的夹角，当|a ＋t b |(t ∈R )取最小值时，(1)求t 的值；(2)已知a 与b 共线且同向，求证：b ⊥(a ＋t b )．[思路分析] (1)将a ＋t b 的模表示为t 的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b ⊥(a ＋t b )，只需证b ·(a ＋t b )＝0.[解析] (1)令m ＝|a ＋t b |，则m 2＝|a |2＋2a ·t b ＋t 2|b |2＝t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＋|a |2＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋|a ||b |cos θ2＋|a |2sin 2θ，所以当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |有最小值|a |sin θ.(2)证明：因为a 与b 共线且方向相同，故cos θ＝1，所以t ＝－|a ||b |.故b ·(a ＋t b )＝a·b ＋t |b |2＝|a ||b |－|a ||b |＝0，所以b ⊥(a ＋t b )．『规律总结』本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a ＋t b 的模的平方表示为t 的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t 的值；(2)中只需证出b ·(a ＋t b )＝0，求解时利用a 与b 共线且同向的条件，确定t 的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．〔跟踪练习5〕已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为120°，则当k 为何值时，向量k a－b 与a ＋2b 垂直？[分析] 利用c ⊥d ⇔c ·d ＝0，构造关于k 的方程组求解． [解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0.∴k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 120°－2×42＝0， ∴k ＝225.即k 为225时，向量k a －b 与向量a ＋2b 垂直．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi未认清向量的夹角典例6 △ABC 的三边长均为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a·b ＋b·c ＋c·a的值．[错解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 又|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a·b ＝|a ||b |cos C ＝cos 60°＝12.同理b·c ＝c·a ＝12，∴原式＝32.[辨析] 错误的原因在于认为a 与b 的夹角为∠C .其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．[正解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠C ＝60°，∴a 与b 的夹角为180°－∠C ＝120°，∴a·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×1×(－12)＝－12.同理b·c ＝c·a ＝－12，∴原式＝－32.『规律总结』在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．〔跟踪练习6〕若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值． [思路分析] 先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．[解析] 方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13. 方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的投影与b 在c 方向上的投影必相等 [解析] 设a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2， ∵a ·c ＝b ·c ，∴|a ||c |cos θ1＝|b |·c |cos θ2，即|a |cos θ1＝|b |cos θ2，故选D ． 2．下列命题正确的是( D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．a ·b ≠0⇔|a |＋|b |≠0 C ．a ·b ＝0⇔|a ||b |＝0D ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c[解析] 选项D 是分配律，正确，A 、B 、C 不正确．3．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( B )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2.∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B ．。

高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积导学案北师大版必修4

2.5 从力做功到向量数量积问题导学1．向量数量积定义及几何意义活动与探究1|a|＝5，|b|＝4，a与b夹角θ＝120°．(1)求a·b；(2)求a在b上射影．迁移与应用(1)在题设不变情况下，求b在a上射影；(2)把“a与b夹角θ＝120°〞换成“a∥b〞，求a·b．(1)数量积符号同夹角关系：①假设a·b＞0⇔θ为锐角或零角；②假设a·b＝0⇔θ＝π2或a与b至少有一个为0；③假设a·b＜0⇔θ为钝角或平角．(2)求平面向量数量积方法①假设向量模及其夹角，那么直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．②假设一向量模及另一向量在该向量上射影，可利用数量积几何意义求a·b．2．平面向量数量积运算活动与探究2|a|＝4，|b|＝5，且a与b夹角为60°，求①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2；④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)．迁移与应用1．假设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b夹角为45°，那么a·a＋a·b＝__________．2．向量a与b夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a ＋b)＝__________．向量数量积运算中要注意问题：(1)两向量数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积差异．(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式． (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2； (a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2．(3)向量数量积表示中“·〞，既不能省略，也不能写成“×〞． 3．求向量模活动与探究3(1)向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，那么|2a －b |＝( )．A ．0B ．2 2C ．4D ．8(2)|a |＝|b |＝5，向量a 与b 夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |．迁移与应用平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|．求向量模常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量模，可以实现实数运算与向量运算相互转化．4．求向量夹角问题活动与探究4|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 夹角；(2)a －b 与a ＋b 夹角余弦值．迁移与应用1．假设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，那么向量a ，b 夹角大小为__________．2．非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|．求：(1)a 与a ＋b 夹角； (2)a 与a －b 夹角．向量夹角求法：(1)求向量夹角要利用公式cos θ＝a·b|a||b|，通常分别要求a·b 与|a|·|b|值．(2)对于不方便单独求出a·b与|a|·|b|值问题，可寻求两者关系，转化条件解方程(组)．(3)要注意向量夹角取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量方向，区分几何图形内角与向量夹角关系．5．解决有关垂直问题活动与探究5a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，假设对两个不同时为零实数k，t，使得a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，试求k最小值．迁移与应用a，b是两个非零向量，假设a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a与b夹角θ．向量垂直应用(1)理论依据：a⊥b⇔a·b＝0．(2)利用向量垂直求参数取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数思想来求解．当堂检测1．假设|a|＝5，|b|＝6，〈a，b〉＝60°，那么a·b＝( )．A．15 B．15 3 C．15 2 D．102．|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，那么a与b夹角为( )．A．150° B．120° C．60°D．30°3．两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，那么下面结论正确是( )．A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b4．假设|a|＝1，|b|＝2，a与b夹角为60°，那么|a＋3b|＝__________．5．两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)课前预习导学【预习导引】1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直 (4)同向反向垂直a ⊥b预习交流1 120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s预习交流2 提示：无关．由向量射影定义知，a 在b 方向上射影为|a |cos θ，其中θ为a ，b 夹角，所以a 在b 方向上射影只与|a |与a ，b 夹角有关．预习交流3 C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b＝0 (5)|a | (6)a ·b|a ||b | (7)≤ 等号预习交流4 (1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5 (1)提示：假设a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cDa ＝c .由下列图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线向量，而a (b·c )表示一个与a 共线向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上射影为|a |·co s θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用解：(1)b 在a 上射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2 解：①a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×5×12＝10；②(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝16＋20＋25＝61； ③(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝16－20＋25＝21； ④a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝16－25＝－9；⑤(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×16＋5×4×5×12－6×25＝－4.迁移与应用 1．1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos45°＝1＋22.2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0. 活动与探究3 (1)B 解析：|2a －b |＝2a －b2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3.|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用解：∵a ⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0， ∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b |＝a －2b2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4 解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 夹角为θ，那么cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a 与b 夹角为45°.(2)|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋2×12＋12＝102.设a －b 与a ＋b 夹角为φ，那么cos φ＝a －b ·a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55. ∴a －b 与a ＋b 夹角余弦值为55.迁移与应用 1．135° 解析：设夹角为θ，∵a ·(a ＋b )＝1，∴|a |2＋a·b ＝1，即2＋2×1×cos θ＝1， ∴cos θ＝－22，∴a ，b 夹角为135°.2．解：如下图，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA→，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC →＝a ＋b ，BA→＝a －b .(1)由于|a|＝|b|＝|a ＋b|，即|OA→|＝|AC →|＝|OC →|，所以∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 夹角为60°. (2)∵∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.又|OA→|＝|OB →|， ∴∠OAB ＝30°，即a 与a －b 夹角为30°. 活动与探究5 解：∵a ⊥b ， ∴a·b ＝0.又a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，∴[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.∴－k a 2＋t a·b ＋(t －3)(－k )a·b ＋(t －3)t b 2＝0， ∴－4k ＋(t －3)t ＝0.∴k ＝14(t 2－3t )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －322－916(t ≠0)． ∴当t ＝32时，k 取最小值－916.迁移与应用解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b ·7a －5b ＝0，a －4b ·7a －2b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2b 2＝12.∴θ＝60°. 【当堂检测】1．A 2．B 3．B 4．43 5．解：由(a －3b )⊥(7a ＋5b )，得(a －3b )·(7a ＋5b )＝0.即7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0，①由(a －4b )⊥(λa －b )，得(a －4b )·(λa －b )＝0，即λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0.②又a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－12|a ||b |，③把③代入①得|a |＝|b |，再代入②得 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0. ∵|a |＞0，∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，使(a －4b )⊥(λa －b )．。

高中数学必修4北师大版2.5从力做的功到向量的数量积教案

2.5从力做的功到向量的数量积一、新旧知识连接：力做的功：||||cos W F S F S θ==， θ是F 与S 的夹角二、我能自学：②.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a b = 并规定0与任何向量的数量积为0。

⋅③. 两向量所成角θ的判断，向量夹角的概念：θ范围④．讨论向量的投影（射影）向量a b 在上的投影⑤．讨论θ，0,,,0,222πππθθθπθθπ===<<<<得到数量积的相关性质；⑥．数量积相关运算律。

三、巩固训练1．判断下列各题正确与否：①若a = 0，则对任一向量b ，有a •b = 0.②若a ≠ 0，则对任一非零向量b ，有a •b ≠ 0.③若a ≠ 0，a •b = 0，则b = 0.④若a •b = 0，则a 、b 至少有一个为零.⑤ 若a ≠ 0，a •b = a •c ，则b = c .⑥若a •b = a •c ，则b = c 当且仅当a ≠ 0时成立.⑦对任意向量a 、b 、c ，有(a •b ) •c ≠ a • (b •c ).⑧对任意向量a ，有a 2 = |a |2.2.2.()1(,120,32220b a b a -==求的夹角为与3.已知都是非零向量，且573-+垂直， b a b a 274--与垂直，求b a 、的夹角。

4．设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：421=e ，122=e ，121=⋅e e∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+⋅++=+⋅+t t e t e e t e t e t e e e t∴ 071522<++t t 217-<<-t 设)(722121e t e e e +=+λ )0(<λ 14,21472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒λλλt t t t∴ -=t 214时，2172e e t +与21e t e +的夹角为π， ∴ t 的取值范围是)21,214()214,7(---- 。

2018版高中数学北师大版必修四学案：第二章 5 从力做的功到向量的数量积二精品

学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确．知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b ＝0并不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是________．(填序号) 类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1 已知向量垂直求参数值例2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________________. 反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．反思与感悟由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，θ∈[0，π2)⇔a ·b >0，θ∈(π2，π]⇔a ·b <0.跟踪训练3 设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45°3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．2D ．34．已知正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是( )A.32B.12 C ．－32D ．－125．已知|a |＝2，|b |＝1，(2a －3b )·(2a ＋b )＝9. (1)求a 与b 之间的夹角θ； (2)求向量a 在a ＋b 上的射影．1．数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等． 2．在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0D /⇒a ＝c .答案精析知识梳理知识点一正确错误正确错误知识点二(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a 题型探究例1 ④ 跟踪训练1 ③ 例2 2跟踪训练2 C 例3 (0,1)∪(1，＋∞)跟踪训练3 解设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ. 根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．当堂训练1．C 2.C 3.D 4.C 5．(1)θ＝π3 (2)577。

高中数学 2.5《从力做的功到向量的数量积》教案设计北师大版必修4-北师大版高二必修4数学教案

从力做的功到向量的数量积●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识. ●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备多媒体辅助教学●教学过程AB AC 与（2）AB C 与B （3）AC C 与B 的夹角。

）射影的概念cos b θ叫作向量b 在a 方向上的射影。

并提问：射影是向量还是数量？给出如下六个图形，让学生指出b 在a 方向上的射影，并判断其正负。

、两向量数量积的定义：cos a b a b a b θ•=与是非零向量,，0a •=规定:0。

提醒学生注意：a b •不能写成a b ⨯或ab 的形式。

提问学生：两个向量的和与差是向量还是数量？向量的数量积呢？若是数量，其正负如何确定？ cos a b a b θ•=>0另外，通过对特殊的情况的讨论，养学生严谨的学习态度。

直接给出向理数量积的定义，通过提问，比较向量和与差的运算，理解向量的数量积是数量而不是向量，其和由向量的夹abB1B Aa θbB1B AOaθB (B AO ABAOBcos a b =cos a b a b θ•==0 a b a b •= 时，a b a b •=-两个向量数量积的几何意义：b 与a 的数量积等于a a 与b 在a 的方向上的投影cos b θ的乘积或b b 与a 在b 的方向上的投影cos a θ向量数量积的物理意义：F 与其作用下物体位移的数量积•F s 、向量数量积的性质练习二，请完成下列练习，并通过观察，看看自己能8a =，e 为单位向量，当它们的夹角为时a 在e 方向上的投影及a e e a ••、性质为：已知2a =，，a 与b 的交角为90θ=︒，则a b •= 性质为：1a =，，a 、b 共线，则a b •= 性质为：）已知3m =，4n =，且6m n •=，则m 与n 的性质为：因此，平面向量数量积的5个性质为：(1),cos •=•=是单位向量e a e e a a θ900a b a b =︒⇒⊥⇒•=就比较容易理解了。

北师大版数学高一必修4备课资料2.5从力做的功到向量的数量积

备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.图8向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A..1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC＞0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·＞0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是·BC≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3 A..43 B.4 C.42 D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△A.BC 中,设AB =b ,=c ,则22)(|)||(|c b c b •-等于( )A..0B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值. 解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+.9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |c osθ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23c osθ,∴c osθ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147. (设计者：陆萍)。

数学北师大版必修4课前导引2.5从力做的功到向量的数量积

§5 从力做的功到向量的数量积课前导引问题导入【问题】向量的数量积与向量的加法、减法，实数与向量的积之间有何区别?思路分析:两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，其结果是数量(而不是向量)；前面学习的向量的加法、减法，实数与向量的积，其结果仍然是向量，这个区别应引起重视.知识预览一、两平面向量的夹角两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.1.如右图，已知两个向量a、b，作,OA=a,OB=b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角.2.两个向量a、b的夹角θ∈［0,π］.当θ=0时，a、b同向；当θ=π时，a、b反向；当θ=90°时，两向量a与b垂直，并记作a⊥b.二、平面向量数量积的含义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（linner product）（或内积），记作a·b，即规定a·b=|a||b|cosθ.其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.三、平面向量数量积的运算律1.已知向量a、b、c和实数λ，则有：(1)a·b=b·a；(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(3)(a+b)·c=a·c+b·c.2.运算律的证明：(1)a·b=|a||b|cosθ=|b||a|cosθ=b·a.(2)(λa)·b=λ|a||b|cosθ=λ(|b||a|cosθ)=λa·b，又λ|a||b|cosθ=aλb cosθ=a·(λb)，∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)如右图所示，任取一点O，作OA=a，AB=b，OC=c.因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.∴c·(a+b)=c·a+c·b.∴(a+b)·c=a·c+b·c.说明：①两个向量的数量积是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定.②两个向量a、b的数量积a·b与代数中a、b的乘积a·b不同，书写时要严格区分开.。

数学北师大版高中必修4从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案

从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案高一年级数学备课组张菊莲 2011.11.18[课程学习目标]1．理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义、物理意义。

2．了解向量的夹角、向量垂直、向量射影等概念，体会平面向量数量积与向量射影的关系。

3．能够运用向量数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题。

[重点]平面向量数量积定义及运算性质。

理解“投影”的计算公式。

[难点]对向量数量积概念的理解。

[创设情境，揭示课题] 在物理学中，一个物体受到力的作用，如果说在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。

如图，若小车在力的作用下，产生的位移，那么所做的功W是多少？和是什么量？W是什么量？和向量有什么关系？1.力做的功：W = ||•||cosθ，θ是与S的夹角。

问：一般的向量和，如何定义这种运算？读记教材交流：（自主预习不看不讲）问题1：向量和的夹角是如何定义的？向量和夹角的范围是什么？何时向量和垂直？（注：规定零向量与任一向量垂直）问题2：向量和的数量积如何定义的？零向量与任一向量的数量积是多少？思考：向量的数量积和前面学习的三种向量运算有何区别？问题3：在方向上的投影是如何定义的？在方向上的投影呢？∙的几何意义是什么？注意：①射影也是一个数量，不是向量。

②当θ为锐角时射影为正值；∙0当θ为钝角时射影为负值；∙0当θ为直角时射影为0；∙=0，反之，∙=0时，θ为直角或a与b中至少有一个为0。

当θ = 0︒时射影为 ||；∙=||||0当θ = 180︒时射影为-||；∙= —||||0问题4.由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质？问题5.实数运算中乘法有哪些运算律？（1.交换律2.结合律：3.分配律）向量的数量积满足哪些运算定律？思考：1.如果∙=∙，能否推出=？为什么？2. （∙）∙=∙（∙）是否成立？为什么？（由练习课本P95，T3验证）3．)a-= ，(2b(2ba+= ，)(-+= 。

2.5从力做的功到向量的数量积----教案

2-5从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能⑴通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. ⑵体会平面向量的数量积与向量投影的关系.⑶掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.⑷能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力. 3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 难点:. 运算律的理解三.学法与教学用具自主性学习+探究式学习法教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】通过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？【新课引入】在物理学中，力F 对物体做的功为||||cos W F s θ=，θ是F 与s 的夹角功W 可以看成是向量F 、s 的某种运算有关，而这个运算结果的正负与这两个向量的夹角有关。

从而引出两个向量的夹角的概念。

【新课探究】1、两个向量的夹角⑴定义：已知两个非零向量a和b ，在平面上任取一点O ，作,O A aO B b == ，则A O B ∠称做向量a和b 的夹角，记作：,a b ，并规定：0,a b π≤≤ 。

练习1：在ABC ∆中已知A=45°，B=50°，C=85°求下列向量的夹角：⑴AB AC 与,⑵AB C 与B ，⑶AC C与B 的夹角。

数学北师大版高中必修4§2.5从力做的功到向量的数量积2

§2.5从力做的功到向量的数量积2编辑人：李水莲审阅人：刘建华学习目标：1.掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．2, 掌握平面向量数量积的性质和运算律及运用．І.相关知识两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积II.教材助读1.平面向量数量积的性质2.数量积的运算法则（运算律）①··a b b a →→→→=； ②→→→→→→→∙+∙≠∙+c b c a c )b a (③（λ→a ）·→b =λ（→a ·→b ）=→a ·（λ→b ）3.向量垂直的充要条件III.预习自测1.如图，在等腰直角ΔABC 中，∠C=90°，|AB|=22.求（1）AB AC ⋅的值；（2）AB CA ⋅的值；（3）).(AB CA BC +⋅2.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ; (2)若a ､b 的夹角为60°,求|a +b |;(3)若a -b 与a 垂直,求a 与b 的夹角我的疑惑:探究案I.学始于疑1.数量积的各性质有什么作用?2.数量积与实数乘法有哪些区别?II.质疑探究——质疑解疑、合作探究探究点一:已知点O （0,0）A (1,2)B （4，5）OP=OA +tAB （t ∈R ）（1）要使P 点在x 轴、y 轴、第二象限t 分别应取什么值？（2）四边形OABP 是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的t 的值，如不可能说明理由.探究点二:△ABC 的三顶点分别为A (1,2) B (2,3) C (3,1) 把△ABC 按向量a =（m ,n ）平移，得到△C B A '''，若△C B A '''的重心为G'（3，3），求C B A '''的坐标及a .III.当堂检测1.若向量a 与b 的夹角为60°，|b |=4，（a +2b ）·（a －3b ）=－72，则向量a 的模是___________2. 已知||＝4，|b |＝5，且与b 的夹角为60°，求：(2＋3b )·(3－2b )．3.在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则⋅的值为___________我的收获训练案一、基础巩固题1.已知|a |=10，|b |=12，且（3a ）·（51b ）=－36，则a 与b 的夹角是2.已知|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝5，求|2a －3b |的值．二、综合应用题1.已知ABC BC AB ABC ∆>⋅∆→→则中,0为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定2.若向量c 垂直于向量a 和b ，d =λa +μb （λ、μ∈R ，且λμ≠0），则（）A.c ∥dB.c ⊥dC.c 不平行于d ，也不垂直于 dD.以上三种情况均有可能三、拓展探究题1.已知|→a |=2，|→b |=3，→a 和→b 夹角为450，求当向量→a +λ→b 与λ→a +→b 夹角为锐角时，λ的取值范围。