中考垂径定理练习题

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垂径定理练习题及答案

垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。

2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。

3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。

三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。

如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。

2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。

已知AB=6cm，求BC的长度。

四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。

2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。

答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。

2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。

中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________ 1．如图在O 中直径AB 垂直弦CD 于点E 连接,,AC AD BC 作CF AD ⊥于点F 交线段OB 于点G （不与点,O B 重合）连接OF ．(1)若1BE = 求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG = 猜想CAD ∠的度数并证明你的结论．2．如图 AB 是O 直径直线l 经过O 上一点C 过点A 作直线l 的垂线．垂足为D ．连接AC ．已知AC 平分DAB ∠．(1)求证：直线l 与O 相切(2)若70DAB ∠=︒ 3CD = 求O 的半径．（参考数据：sin350.6︒≈cos350.8︒≈．tan350.7︒≈）3．如图 AC 与BD 相交于点E 连接AB CD CD DE =．经过A B C 三点的O 交BD 于点F 且CD 是O 的切线．(1)连接AF 求证：AF AB =(2)求证：2AB AE AC =⋅(3)若2AE = 6EC = 4BE = 则O 的半径为． 4．如图四边形ABCD 内接于O 对角线,AC BD 交于点E 连接OE ．若,AC BD O ⊥的半径为,r OE m =．(1)若ABC BAD ∠=∠ 求证：OE 平分AEB ∠(2)试用含,r m 的式子表示22AC BD +的值(3)记ADE BCE ABE CDE 的面积分别为1S 2S 3S 4S 当求证：AC BD =．5．如图 AB 是O 的直径 ,C D 是O 上两点且AD CD = 连接BC 并延长与过点D 的O 的切线相交于点E 连接OD ．(1)证明：OD 平分ADC ∠(2)若44,tan 3DE B == 求CD 的长． 6．已知BC 是O 的直径点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD 是O 的切线(2)若AE BC ⊥ 垂足为M O 的半径为10 求AE 的长．7．已知在O 中 AB 为弦点C 在圆内连接AC BC OC 、、,ACO BCO ∠=∠．(1)如图1 求证：AC BC =(2)如图2 延长AC BC 、交O 于点E D 、连接DE 求证：AB DE ∥(3)如图3 在（2）的条件下设O 的半径为,3R DE R = 弦FG 经过点C 连接BG BF 、 72,3,33DBF DBG CG R ∠=∠== 求线段CF 的长． 8．已知点,,A B C 在O 上．(1)如图① 过点A 作O 的切线EF 交BC 延长线于点,E D 是弧BC 的中点连接DO 并延长交BC 于点G 交O 于点H 交切线EF 于点F 连接,BA BH ．若24ABH ∠=︒ 求E ∠的大小(2)如图① 若135AOC B ∠+∠=︒ O 的半径为5 8BC = 求AB 的长． 9．如图 A B C D 分别为O 上一点连AB AC BC BD CD AC 垂直于BD 于E AC BC = 连CO 并延长交BD 于F ．(1)求证：CD CF =(2)若10BC = 6BE = 求O 的半径．10．如图在 Rt ABC △中 90C ∠=︒，AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D 点O 是边 AB 上的点以点O 为圆心 OD 长为半径的圆恰好经过点A 交AC 于点E 弦 EF AB ⊥于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线．(2)若 12AG EG ==，，求O 的半径．(3)设O 与AB 的另一个交点为 H 猜想AH AE CE 之间的数量关系并说明理由． 11．如图在ABC 中 90ACB ∠=︒ 5AB = 1AD = BD BC = 以BD 为直径作O 交BC 于点E 点F 为AC 边上一点连接EF 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点G =BAC GAF ∠∠．(1)求证：EG 为O 的切线(2)求BE 的长．12．如图四边形ABCD 中 90B C ∠=∠=︒ 点E 是边BC 上一点且DE 平分AEC ∠ 作ABE的外接圆O．(1)求证：DC是O的切线(2)若O的半径为5 2CE=求BE与DE的长．13．如图1 在直角坐标系中以原点O为圆心半径为10作圆交x轴于点A B，（点A⊥（点D在点E上方）连在点B的左边）．点C为直径AB上一动点过点C作弦DE AB∥交圆O于另一点记为点F．直线EF交x轴于点G连接接AE过点D作DF AE，，．OE BF AD(1)若80∠=︒求ADFBOE∠的度数(2)求证：OE BF∥(3)若2=请直接写出点C横坐标．OG CG14．如图AB为O的弦C为AB的中点D为OC延长线上一点连接BO并延长交O于点E交直线DA于点F B D∠=∠．(1)求证：DA为O的切线(2)若42EF=求弦AB的长度．AF=2⊥交O于B C两点．连15．如图在O中M为半径OA上一点．过M作弦BC OA=．接BO并延长交O于点D连接AD交BC于点E．已知EB ED(1)求证：60CD =︒(2)探究线段CE EM 长度之间的数量关系并证明．参考答案：1．(1)1(3)45︒2．(2)2583．4．(2)()222242AC BD r m +=-5．(2)6．(2)AE =7．(3)21349CF =8．(1)48E ∠=︒ (2)9．51010．(2)52(3)2AH AE CE =+11．(2)16512．(2)6BE = 25DE =13．(1)100︒(3)点C 555-14．28215．(2)2CE EM =。

九年级数学：垂径定理练习(第2课时)(含答案)

九年级数学：垂径定理练习(第2课时)（含答案）1．平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧．2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项．A组基础训练1．下列命题正确的有( )①垂直于弦的直径平分弦②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧③平分弦的直线必过圆心④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．5第2题图3．如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( )第3题图A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm4．如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与AB 相交于点D.已知AB ＝120m ,CD ＝20m ,那么这段弯道的半径为( )第4题图A ．200mB ．2003mC ．100mD ．1003m5．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线)第5题图6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF ＝3,则BE 的长为________．第6题图7．如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC ＝8cm ,DE ＝2cm ,则OD 的长为________．第7题图8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________．第8题图9．如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB＝AC＝13,BC＝24,求⊙O的半径．第9题图10．(绍兴中考)如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB＝40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,求该脸盆的半径．第10题图B组自主提高11．如图所示,某游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23m,最低处B到地面l的距离是3m,从B处乘摩天轮绕一周需3分钟,小明从B处乘摩天轮一周的过程中,当他到地面l的距离恰好是18m的时候应为第________分钟．第11题图11．如图,AB ,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB ＝8,CD ＝6,MN 是直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则PA ＋PC 的最小值为________．第12题图13．已知：如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点,点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点,连结DE ,分别交AB 、AC 于点F 、G ,求证：AF ＝AG.第13题图C 组综合运用14．如图,隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成,矩形的长BC 为12m ,宽AB 为3m ,隧道的顶端E (圆弧AED 的中点)高出道路(BC )7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m ,宽2.3m ,问这辆货运卡车能否通过该隧道．第14题图3．3 垂径定理(第2课时)【课堂笔记】1．不是直径【课时训练】1－4.BDAC5．CE ＝DE 或AC ︵＝AD ︵或BC ︵＝BD ︵6．67．3cm8．(1,3)9．连结OA 交BC 于点D,连结OC,OB,∵AB ＝AC ＝13,∴AB ︵＝AC ︵,∴∠AOB ＝∠AOC ,∵OB ＝OC,∴AO ⊥BC,CD ＝12BC ＝12.在Rt △ACD 中,AC ＝13,CD ＝12,所以AD ＝132－122＝5,设⊙O 的半径为r,则在Rt △OCD 中,OD ＝r －5,CD ＝12,OC ＝r,所以(r －5)2＋122＝r 2,计算得出r ＝16.9.答：⊙O 的半径为16.9.第10题图10．如图,设圆的圆心为O,连结OA,OC,OC 与AB 交于点D,设⊙O 半径为R,∵OC ⊥AB,∴AD ＝DB ＝12AB ＝20,∠ADO ＝90°,在Rt △AOD 中,∵OA 2＝OD 2＋AD 2,∴R 2＝202＋(R －10)2,∴R ＝25,即该脸盆的半径为25cm.11．1或212．7 2第13题图13．连OD、OE,交AB、AC于M、N,∵OD＝OE＝r,∴∠ODE＝∠OED,而D,E分别为弧AB,弧AC的中点,∴OD、OE分别垂直于AB、AC,则有∠DFB＝∠EGC,∴∠AFG＝∠AGF,∴AF＝AG.14．(1)设圆心为点O,半径为R,连结OE交AD于F点,连结OA,OD,由垂径定理,得OF垂直平分AD,AF＝6,OF＝R－(7－3)＝R－4,由勾股定理,得AF2＋OF2＝OA2,即：62＋(R－4)2＝R2,解得R＝6.5米；(2)能通过,但要小心．车宽GH＝2.3,圆的半径OH＝6.5,由勾股定理,得OG＝ 6.52－2.32≈6.08,G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．第14题图。

初三垂径定理练习试题和答案解析

垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8答案：D★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm41答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位答案：B★★5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD ，则直径AB的长是（）A． B． C． D．答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米图 4答案：★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.答案：★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于cm★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ 答案：★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD ＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cmPBAO答案：6★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm 答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米答案：5★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

【中考冲刺】垂径定理

【中考冲刺】垂径定理【中考冲刺】垂径定理一、选择题（共15小题）1．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8B．10 C．16 D．202．（2012•毕节地区）下列命题是假命题的是（）A．同弧或等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．两条平行线间的距离处处相等D．正方形的两条对角线互相垂直平分3．（2011•牡丹江）已知⊙0的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为（）A．12 B．8C．12或28 D．8或324．（2011•达州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．5B．4C．3D．25．（2011•临沂）如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm6．（2009•广元）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（）A．（5，﹣4）B．（4，﹣5）C．（4，﹣7）D．（5，﹣7）7．（2010•芜湖）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．208．（2010•台湾）如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC．若OE=4，ED=2，则BC长度为（）A．6B．7C．8D．99．（2010•绍兴）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．A E=OE B．C E=DE C．O E=CE D．∠AOC=60°10．（2009•攀枝花）在圆O中，圆O的半径为5cm，圆心O到弦AB的距离为4cm，则弦AB的长为（）A．3cm B．cm C．2cm D．6cm11．（2010•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB=3：5，则CD的长为（）A．6cm B．4cm C．8cm D．10cm12．（2009•湘西州）⊙O的半径为10cm，弦AB=12cm，则圆心到AB的距离为（）A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm13．（2008•衢州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是（）A．1.5 B．2C．2.5 D．314．（2007•福州）如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm15．（2008•长春）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）A．10 B．8C．6D．4二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2011•孝感）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为_________．17．（2011•台州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留π）．18．（2011•宁德）如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=2，则弦BC的长为_________．19．（2011•辽阳）如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC=35°，则∠CAD=_________．20．（2011•广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为_________．21．（2010•毕节地区）如图，在⊙O中，直径AB的长为，弦CD⊥AB于E，∠BDC=30°则弦CD的长为_________．22．（2011•厦门）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB=6cm，则AE=_________cm．23．（2011•深圳）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=12O°，弦，则OA=_________cm．24．（2011•黑龙江）如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB=120°，则弦AB长为_________．25．（2010•海南）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为_________ cm．26．（2010•玉溪）如图，在半径为10的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，AB=16，则CD的长是_________．27．（2010•北京）如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=_________．28．（2010•镇江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为_________．29．（2010•厦门）⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长是_________．30．（2010•文山州）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为_________．【中考冲刺】垂径定理参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．（2012•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8B．10 C．16 D．20考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，可知，点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE=OB﹣BE=OC﹣BE，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．解答：解：连接OC，根据题意，CE=CD=6，BE=2．在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x﹣2，故：（x﹣2）2+62=x2解得：x=10即直径AB=20．故选D．点评：本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形．2．（2012•毕节地区）下列命题是假命题的是（）A．同弧或等弧所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．两条平行线间的距离处处相等D．正方形的两条对角线互相垂直平分考点：垂径定理；平行线之间的距离；正方形的性质；圆周角定理；命题与定理．分析：分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答：解：A、同弧或等弧所对的圆周角相等，是真命题，故本选项不符合题意；B、平分弦的直径垂直于弦，是假命题，因为只有当该弦不是直径时才成立，故本选项符合题意；C、两条平行线间的距离处处相等，是真命题，故本选项不符合题意；D、正方形的两条对角线互相垂直平分，是真命题，故本选项不符合题意．故选B．点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2011•牡丹江）已知⊙0的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为（）A．12 B．8C．12或28 D．8或32考点：垂径定理；勾股定理．分析：在直角△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长，则AE=OA+OE或AE=OB﹣OE，据此即可求解．解答：解：如图，连接OC，∵弦CD⊥AB于点E∴CE=CD=16，在直角△OCE中，OE===12，则AE=20+12=32，或AE=20﹣12=8，故AE的长是8或32．故选D．点评：本题主要考查了垂径定理，正确理解应分两种情况讨论是解题关键．4．（2011•达州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A．5B．4C．3D．2考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：连接OC，由垂径定理求出CE的长，再根据勾股定理得出线段OE的长．解答：解：连接OC∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=CD，∵CD=8，∴CE=4，∵AB=10，∴由勾股定理得，OE===3．故选C．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理以及圆中辅助线的作法，是重点知识，要熟练掌握．5．（2011•临沂）如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：先连接OA，由CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M可知AB=2AM，再根据CD=5cm，OM：OD=3：5可求出OM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM的长，进而可求出AB的长．解答：解：连接OA，∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，∴AB=2AM，∵CD=5cm，∴OD=OA=CD=×5=cm，∵OM：OD=3：5，∴OM=OD=×=，∴在Rt△AOM中，AM===2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（2009•广元）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（）A．（5，﹣4）B．（4，﹣5）C．（4，﹣7）D．（5，﹣7）考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．分析：由M（0，﹣4），N（0，﹣10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．解答：解：∵M（0，﹣4），N（0，﹣10），∴MN=6，连接PM，过点P作PE⊥MN于E，∴ME=NE=MN=3，∴OE=OM+EM=4+3=7，在Rt△PEM，PE===4，∴圆心P的坐标为（4，﹣7）．故选C．点评：此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．7．（2010•芜湖）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．20考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质．分析：延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．解答：解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD=2；∴BE=10；∴BC=2BE=20；故选D．点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．8．（2010•台湾）如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC．若OE=4，ED=2，则BC长度为（）A．6B．7C．8D．9考点：垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理．分析：由垂径定理易知E是AC的中点，而O是AB的中点，则OE是△ABC的中位线，得BC=2OE，由此得解．解答：解：∵半径OD⊥AC，∴E是AC的中点；又∵O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线；∴BC=2OE=8；故选C．点评：此题主要考查了垂径定理及三角形中位线定理的应用．9．（2010•绍兴）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．A E=OE B．C E=DE C．O E=CE D．∠AOC=60°考点：垂径定理．分析：根据垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦即可判断．解答：解：∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE．故选B．点评：本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．10．（2009•攀枝花）在圆O中，圆O的半径为5cm，圆心O到弦AB的距离为4cm，则弦AB的长为（）A．3cm B．cm C．2cm D．6cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接圆心和弦的一端，通过构建直角三角形来求得弦AB的长．解答：解：如图，连接OA；Rt△OAC中，OA=5cm，OC=4cm；由勾股定理，得：AC==3cm；∴AB=2AC=6cm；故选D．点评：此题主要考查了勾股定理及垂径定理的综合应用能力．11．（2010•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB=3：5，则CD的长为（）A．6cm B．4cm C．8cm D．10cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据⊙O的直径可得出半径OB的长，也就求出OP的长；连接OC，在Rt△OCP中，运用勾股定理可求出CP的长，进而可依据垂径定理求得CD的长．解答：解：连接OC；∵AB=10cm，∴OB=5cm；∵OP：OB=3：5，∴OP=3cm；Rt△OCP中，OC=OB=5cm，OP=3cm；由勾股定理，得：CP==4cm；所以CD=2PC=8cm，故选C．点评：此题主要考查的是勾股定理及垂径定理的应用．12．（2009•湘西州）⊙O的半径为10cm，弦AB=12cm，则圆心到AB的距离为（）A．2cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：画出草图，根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：弦AB=12cm，根据垂径定理可知BE=6．∵OB=10，∴OE=8．（勾股定理）故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，但在此题中也要用到垂径定理．13．（2008•衢州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是（）A．1.5 B．2C．2.5 D．3考点：垂径定理；三角形中位线定理．分析：作OM⊥BC，根据三角形的中位线定理弦心距等于AC的一半，再利用勾股定理求出AC的长度，本题即可求出．解答：解：过圆心O作OM⊥BC于M，又根据AB直径，则AC⊥BC∴OM∥AC即OM是△ABC的中位线又AC===4∴OM=AC=2．故选B．点评：本题主要考查了垂径定理的内容，过圆心，且垂直于弦的直线，一定平分弦．14．（2007•福州）如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理；勾股定理．分析：过点O作OC⊥AB于点C．根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：过点O作OC⊥AB于点C∵弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm∴OC=4，AC=AB=3∴OA==5cm故选C．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用．15．（2008•长春）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为（）A．10 B．8C．6D．4考点：垂径定理；勾股定理．分析：先求出DE和圆的半径，再利用勾股定理即可求出．解答：解：∵弦CD⊥AB，垂足为E∴CE=DE=CD=×16=8∴OA是半径OA=AB=×20=10连接OD，在Rt△ODA中，OD=OA=10，DE=8OE===6故选C．点评：此题属简单题目，涉及到垂径定理及勾股定理的运用，需同学们细心解答．二、填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）16．（2011•孝感）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为8π．考点：垂径定理；勾股定理；切线的性质．专题：计算题．分析：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，根据垂径定理得到BG=AG=2，利用勾股定理可得MB2﹣MG2=22=4，再根据切线的性质有NF⊥AB，而AB∥CD，得到MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，则z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r）=（R2﹣r2）•2π，即可得到z（x+y）的值．解答：解：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，而AB=4，∴BG=AG=2，∴MB2﹣MG2=22=4，又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，∴NF⊥AB，∵AB∥CD，∴MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，∴z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r），=（2R﹣2r）（R+r）•π，=（R2﹣r2）•2π，=4•2π，=8π．故答案为：8π．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了切线的性质和圆的面积公式以及勾股定理．17．（2011•台州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为50π（结果保留π）．考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：连接CA，DA，根据垂径定理得到AM=MB=10，根据圆周角定理得到∠CAD=90°，易证Rt△MAC∽RtMA2=MC•MD=100；利用S阴影=S⊙O﹣S⊙1部分﹣S⊙2和圆的面积公式进行变形可得到阴影部分的面积=•CM•MD•π，即可计算出阴影部分的面积．解答：解：连接CA，DA，如图，∵AB⊥CD，AB=20，∴AM=MB=10，又∵CD为直径，∴∠CAD=90°，∴∠AMC=∠DMA=90°，∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠D=90°，∴∠CAM=∠D，∴Rt△MAC∽Rt△MDA，∴MA：MD=MC：MA，∴MA2=MC•MD=100；S阴影部分=S⊙O﹣S⊙1﹣S⊙2=π•CD2﹣π•CM2﹣π•DM2=π[CD2﹣CM2﹣（CD﹣CM）2]，=π（CM•CD﹣CM2），=•CM•MD•π，=50π．故答案为：50π．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质以及圆的面积公式．18．（2011•宁德）如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=2，则弦BC的长为4．考点：垂径定理；三角形中位线定理．分析：此题需证出OD∥BC，再根据AO=BO，得出BC=2OD，即可求出答案．解答：解：∵AB是半圆O的直径，∴∠BCA=90°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∴OD∥BC，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴BC=2OD=4．点评：此题综考查了垂径定理，关键是根据三角形的中位线定理求出答案．19．（2011•辽阳）如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC=35°，则∠CAD=70°．考点：垂径定理；圆周角定理．分析：根据AB为⊙O直径，CD⊥AB得出∠BAD=∠BAC=∠BDC=35°，即可求出∠CAD=70°．解答：解：∵AB为⊙O直径，CD⊥AB，∴∠BAD=∠BAC=∠BDC=35°，∴∠CAD=70°．故填70．点评：此题要根据线段垂直平分线的性质证出等边三角形，再熟练运用圆周角定理求解．20．（2011•广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为24cm．考点：垂径定理；勾股专题：计算题．分析：过O点作OC⊥AB于C，连OA，根据垂线段最短得到OC=5cm，根据垂径定理得到AC=BC，再利用勾股定理计算出AC，即可得到AB．解答：解：过O点作OC⊥AB于C，连OA，如图，∴OC=5cm，AC=BC，在Rt△OAC中，OA=13cm，∴AC===12（cm），∴AB=2AC=24cm．故答案为：24cm．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．21．（2010•毕节地区）如图，在⊙O中，直径AB的长为，弦CD⊥AB于E，∠BDC=30°则弦CD的长为3．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值．分析：连接BD，由∠BDC=30°，即可推出∠BOC=60°，再由AB的长为，求出OC的长度，然后根据特殊角的三角函数值即可推出CE的长度，最后由垂径定理推出CD=2CE，通过计算即可求出CD的长度．解答：解：连接BD，∵∠BDC=30°，∴∠BOC=60°，∵AB=，∴OC=，∵CD⊥AB，∴∠OEC=90°，CD=2CE，∴cos30°==，∵OC=，∴CE=，∴CD=3．故答案为3．点评：本题主要考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，垂径定理等知识点，关键在于首先运用圆周角定理推出∠COE的度数，然后根据特殊角的三角函数值推出CE的长度，最后根据垂径定理即可推出CD的长度．22．（2011•厦门）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB=6cm，则AE=3cm．考点：垂径定理；勾股定理．分析：由⊙O的直径CD垂直于弦AB，AB=6cm，根据垂径定理，即可求得AE的长．解答：解：∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE=AB，∵AB=6cm，∴AE=3cm．故答案为：3．点评：此题考查了垂识．此题比较简单，解题的关键是熟记垂径定理，注意数形结合思想的应用．23．（2011•深圳）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=12O°，弦，则OA=2cm．考点：垂径定理；解直角三角形．分析：过点O作OC⊥AB，根据垂径定理，可得出AC的长，再由余弦函数求得OA的长．解答：解：过点O作OC⊥AB，∴AC=AB，∵AB=2cm，∴AC=cm，∵∠AOB=12O°，OA=OB，∴∠A=30°，在直角三角形OAC中，cos∠A==，∴OA==2cm，故答案为2．点评：本题考查了垂径定理和解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．24．（2011•黑龙江）如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB=120°，则弦AB长为4．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：利用等腰三角形的性质和垂径定理得到特殊的直角三角形，然后解直角三角形求得AB的一半AC的长即可求AB的长．解答：解：∵OC垂直弦AB于点C，∴OA=OB，AC=BC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵⊙O的半径为4，∴AB=2AC=4cm．故答案为4．点评：本题考查了垂径定理及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．25．（2010•海南）如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为cm．考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：先过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OA，由题意求得OC，由勾股定理求得AC，再由垂径定理求得AB的值即可．解答：解：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OA，∵OA=4cm，∴OC=2cm，∴AC=2cm，∴AB=4cm，故答案为：4．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理，解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．26．（2010•玉溪）如图，在半径为10的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，AB=16，则CD的长是4．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OA，在Rt△OAD中，由垂径定理易知AD的长，再由勾股定理可求出OD的长；而CD=OC﹣OD，由此得解．解答：解：连接OA；Rt△OAD中，AD=AB=8，OA=10；由勾股定理得：OD==6；∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4．故答案为：4．点评：此题主要考查垂径定理及勾股定理的应用．27．（2010•北京）如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=2．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．解答：解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．点评：此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．28．（2010•镇江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为3．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，由垂径定理可求出CE的长度，在Rt△OCE中，根据CE和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OE的长．解答：解：连接OC；Rt△OCE中，OC=AB=5，CE=CD=4；由勾股定理，得：OE==3；即线段OE的长为3．点评：此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用．29．（2010•厦门）⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长是8．考点：垂径定理；勾股定理．分析：先求出半径，再利用勾股定理求出半弦长，弦长就可以求出了．解答：解：如图，根据题意，得OA=×10=5，AE===4∴AB=2AE=8．点评：利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解．30．（2010•文山州）如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为5．考点：垂径定理；勾股定理．分析：OM最小值为4，即弦AB的弦心距为4，构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理，可求出圆O的半径为5．解答：解：如图，连接OA，OM⊥AB，∴OM=4，∵AB=6，∴AM=BM=AB=3，在Rt△AOM中，OA=，所以⊙O的半径为5．点评：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．。

2022年中考数学复习：垂径定理的实际应用训练题

2022年中考数学复习:垂径定理的实际应用训练题一、单选题1．如图，O 的半径为2，弦AB =O 到弦AB 的距离为（）A ．1 BC D ．2 2．如图，O 的半径OB 长为8，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则AB 的长为（）A ．B ．12C ．D ．3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O 半径为5cm ，油面宽AB 为6cm ，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm ，则油面AB 上升了（）cmA ．1B ．3C ．3或4D ．1或7 4．如图，MN 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用（）次，就可以找到圆形工件的圆心．A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A．5米B．8米C．7米D．6．如图，在半径为3的O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D.使BD AB=，连接AC、BC、CD，如果2AB=，那么CD等于（）A．2B．1C．23D．437．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学著作，标志着中国古代数学形成了完整的体系.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出了圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道1PQ=尺（1尺=10寸），则该圆材的直径长为（）A．26寸B．25寸C．13寸D．1012寸8．如图是一个圆弧形门拱，拱高1m=AB，跨度4mCD=，那么这个门拱的半径为（）A．2m B．2.5m C．3m D．5m9．如图，AB是O的弦，OC AB⊥交O于点C，点D是O上一点，30ADC∠=︒，则BOC∠的度数为（）．A．30°B．40°C．50°D．60°10．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），那么该圆的半径为（）A B．25cm16C．3cm D．13cm4二、填空题11．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为_______m．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米．13．秋千吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为90°．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为______m．（结果保留根号）14．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是_______cm 的管道．15．如图，已知矩形ABCD 中8AB =，以AB 的中点为圆心，以2AB 长为半径画圆弧，交矩形的DC 边于点E F 、，若4EF =，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留π）16．如图，⊙O 与直角△AOB 的斜边交于C ，D 两点，C ，D 恰好是AB 的三等分点，若⊙O 的半径为1，则AB ＝_____．17．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是 AB 上一点，OC ⊙AB ，垂足为D ，AB =300m ，CD =50m ，则这段弯路的半径是___m ．18．如图是一个高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分,路面AB=8米,净高CD=8米,则此圆的半径OA 为______．三、解答题19．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（1ED=寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．20．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．21．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？22．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，AB=分米，C 彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端18CD=分米，求拱门所在圆的为AB中点，D为拱门最高点，圆心О在线段CD上，27半径．。

《垂径定理》精编测试题及参考答案(教材同步)

《垂径定理》精编测试题及参考答案测试题一1.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,求AB的长.2.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠OAC=22.5°,OC=6,求CD 的长.2.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160cm,求油的最大深度.4.已知如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,CD=6,AE=1,求⊙O的直径.5.如图,“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.̂,点O是这段弧所在圆的圆6.如图,一条公路的转弯处是一段圆AB̂的中点,CD⊥AB且CD=10m,求这段弯路所在圆的心,AB=40m,点C是AB半径.7.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM:MD=5:8,求⊙O的周长.测试题二8.如图,MN是⊙O的直径,矩形ABCD的顶点A、D在MN上,顶点B、C 在⊙O上,若⊙O的半径为5,AB=4,求AD边的长.9.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,求BD的长.10.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠CAB=22.5º,CD=8cm,求⊙O的半径.11.如图,已知⊙O的半径是5,弦AB与弦CD平行,它们之间距离为5,AB=6,求弦CD的长.12.AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分半径OA,若CD长为6,求⊙O的半径.13.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.(1)求此下水管横截面的半径;(2)随着污水量的增加,水位又被抬升了0.7米,求此时水面的宽度增加了多少?参考答案1.82.√23. 40cm4. 55.136.257.1328.69.2√310.4√211.4√612.2√3 12.0.5 0.2。

中考数学复习：垂径定理(圆)(综合提升训练必备)(含解析)

2019年中考数学复习:垂径定理(圆)一、选择题(共１５小题)1、如图,Ａ点是半圆上一个三等分点,B点是弧AＮ的中点,P点是直径MＮ上一动点,⊙O的半径为１,则AP+BＰ的最小值为( )A。

1ﻩB、ﻩC、D、2、如图,梯形ABCD中,AＢ∥DC,ＡＢ⊥BC,AB=２cm,CＤ=４cｍ、以ＢC上一点O 为圆心的圆经过A、Ｄ两点,且∠AＯD=90°,则圆心O到弦AD的距离是( )A、ｃmﻩＢ、ｃm Ｃ、cmﻩD、cm3。

如图,在平面直角坐标系中,⊙Ｐ的圆心坐标是(3,a)(ａ＞3),半径为3,函数y＝ｘ的图象被⊙P截得的弦ＡB的长为,则ａ的值是( )Ａ、４ﻩＢ、ﻩC、D、４、已知⊙O的半径为10,P为⊙O内一点,且OP=6,则过Ｐ点,且长度为整数的弦有( )Ａ。

5条ﻩB。

6条ﻩC、8条D。

１0条5、已知⊙O的半径OA=2,弦AＢ,AC的长分别是2,2,则∠ＢAC的度数为()A、15°Ｂ、7５°C、15°或75°ﻩD、15°或45°6、如图,四边形PAOB是扇形OＭＮ的内接矩形,顶点P在上,且不与M,N重合,当Ｐ点在上移动时,矩形PＡOB的形状、大小随之变化,则ＡB的长度()A、变大Ｂ、变小C、不变D。

不能确定７、给出下列四个命题:(1)假如某圆锥的侧面展开图是半圆,则其轴截面一定是等边三角形;(２)若点A在直线ｙ=２ｘ﹣３上,且点Ａ到两坐标轴的距离相等,则点Ａ在第一或第四象限;(3)半径为５的圆中,弦AB=８,则圆周上到直线AB的距离为２的点共有四个; (４)若A(a,m)、B(a﹣１,n)(a〉0)在反比例函y=的图象上,则m〈ｎ、其中,正确命题的个数是( )A、1个ﻩB。

２个C、3个ﻩＤ、4个８、已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥ＣD,AＢ=1２cm,CＤ=１６cｍ,则AB和ＣD 的距离为( )A、2cmﻩB。

１4cmﻩC、2cm或1４ｃmﻩD、１0cm或20cｍ9、已知⊙O的半径为３,△ＡBＣ内接于⊙Ｏ,AB=3,AC=３,Ｄ是⊙O上一点,且AD ＝３,则ＣD的长应是( )Ａ。

中考汇编垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角专题训练含答案

2018年中考汇编垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角专题训练1、已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD、你以为OA＝OB吗？为何？2、以下图，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。

600ED3、以下图，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD订交于点E。

你以为图中有哪些相等的线段？为什么？AOBC4、以下图，OA是圆O的半径，弦 CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。

5.以下图，在圆O中，AB、AC为相互垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。

6、以下图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

CCE OA P OD A D B7.以下图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。

8.以下图，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。

9、以下图，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A、3≤OM≤5B、4≤OM≤5C、3＜OM＜5D、4＜OM＜510、以下说法中，正确的选项是（）A、到圆心的距离大于半径的点在圆内B、圆的半径垂直于圆的切线C、圆周角等于圆心角的一半D、等弧所对的圆心角相等11、若圆的一条弦把圆分红度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A、45°B、90°C、135°D、270°12、以下图，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A、140°B、110°C、120°D、130°△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆心，以长为半径画圆，则点C在圆A___________，点B在圆A_________；14、圆的半径等于2cm，圆内一条弦长23cm，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；15、以下图，已知AB为圆O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=2cm，求BC的长；OA BDC16、以下图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直均分线交弧AB于点C，交弦AB于点D。

中考数学专题训练---垂径定理培优练习(含解析)

∴OP＝
，
故选：B．
9．解：连接 BE，
∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8， ∴AC＝BC＝4，设 OA＝x，
∵CD＝2， ∴OC＝x﹣2，在 Rt△AOC 中，AC2+OC2＝OA2， ∴42+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝5， ∴OA＝OE＝5，OC＝3， ∴BE＝2OC＝6， ∵AE 是直径， ∴∠B＝90°，
P 的所有弦中，弦长是整数的共有（）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
5．（2019•金华模拟）如图，以 M（4，0）为圆心，3 为半径的圆与 x 轴交于点 A、B，P 是 ⊙M 上异于 A、B 的一动点，直线 PA 与 PB 分别交 y 轴于点 C、D，以 CD 为直径的⊙ N 交 x 轴于点 E、F，则 EF 的长（）
中考数学专题训练---垂径定理培优练习
一．选择题 1．（2019•哈尔滨模拟）如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在 AB 的延长线上，AB＝2BC，连接
OA、OC，若∠OAC＝45°，则 tan∠C 的值为（）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2019•滨湖区一模）如图，在⊙O 中，已知弦 AB 长为 16cm，C 为的中点，OC 交 AB 于点 M，且 OM：MC＝3：2，则 CM 长为（）

PB，AE＝ AB＝3，
∴BD＝DP，在 Rt△AEO 中，AE＝3，AO＝5，
∴OE＝
＝4，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°， ∴△AOE∽△ABD，
∴ ＝，即＝，
∴BD＝， ∴BD＝PD＝，即 PB＝， ∵AB＝AP＝6， ∴∠ABD＝∠APC， ∵∠PAC＝∠ADB＝90°， ∴△ABD∽△CPA，

人教版数学九年级上学期课时练习- 垂直于弦的直径-垂径定理(培优篇)(人教版)

专题24.6 垂直于弦的直径-垂径定理（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A ．3B ．CD 2．已知⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊙CD ，垂足为M ，且AB ＝96cm ，则AC 的长为（）A ．36cm 或64cmB ．60cm 或80cmC ．80cmD ．60cm3．如图，在半圆O 中，直径4AB =，C 是半圆上一点，将弧AC 沿弦AC 折叠交AB 于D ，点E 是弧AD 的中点．连接OE ，则OE 的最小值为（）A 1B ．4C 1D ．24．如图，在О中，点C 在弦AB 上移动，连接,OC 过点C 作CD OC ⊥交О于点D ．若2,AB =则CD 的最大值是（）A．4 B ．2 C D ．15．如图，一圆与y 轴相交于点B （0，1），C 两点，与x 轴相切于点A （3，0），则点C 的坐标是（）A ．（0，5）B ．（0，1C ．（0，9）D ．（0，132） 6．已知锐角AOB ∠，如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ；（3）连接,,OM MN DN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（）⊙COM COD ∠=∠；⊙若OM MN =．则20AOB ︒∠=；⊙MOD MND ∠=∠；⊙//MN CD ；⊙3MN CD =；A ．1个B ．2个C ．3D ．4个7．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊙AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC =12，AE =3，则⊙O 的直径长为（）A ．10B ．13C ．15D ．168．如图，MN 为⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，过A 作AC⊙MN 于点C ，过B 作BD⊙MN 于点D ，P 为DC 上的任意一点，若MN ＝20，AC ＝8，BD ＝6，则PA+PB 的最小值是（）．A ．20B ．C ．14D ．9．⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（）A ．12B ．1CD 10．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：()1将圆形纸片左右对折，折痕为AB ，如图()2．()2将圆形纸片上下折叠，使A 、B 两点重合，折痕CD 与AB 相交于M ，如图()3． ()3将圆形纸片沿EF 折叠，使B 、M 两点重合，折痕EF 与AB 相交于N ，如图()4． ()4连结AE 、AF 、BE 、BF ，如图()5．经过以上操作，小芳得到了以下结论：CD //EF ①；②四边形MEBF 是菱形；AEF ③为等边三角形；AEBF S 四边形④：BEMF S =扇形π．以上结论正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊙CD于E，连接CO，AD，⊙BAD＝20°，下列结论中正确的有（）⊙CE＝OE⊙⊙C＝50°⊙ ACD ＝ ADC ⊙AD＝2OEA．⊙⊙B．⊙⊙C．⊙⊙⊙D．⊙⊙⊙⊙二、填空题12．如图，已知A为半径为3的O上的一个定点，B为O上的一个动点（点B与A 不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．13．如图，半圆O的直径AB＝4cm，AG BG，点C是BG上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊙OG于点D，CE⊙OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则⊙DEF面积的最大值为__________cm214．如图，扇形OAB中，⊙AOB＝60°，OA＝，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____．15．如图，在半径为3的O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD AB=，连接AC、BC、CD，如果2AB=，那么CD等于______．16．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M 是弦CD的中点，过点C作CP⊙AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是__________________．17．如图，C为半圆弧AB的中点，P为弧BC上任意一点，CD CP⊥且与AP交于点D，连接BD．若2AB=，则BD的最小值为_________18．如图所示，在O 内有折线OABC ，其中8,30OA AB A B ==∠=∠=︒，则BC 的长为__________．19．如图，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为_______．20．已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，则AB 的长为_____cm ．21．如图，AB 是O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，若4cm BC CD DA ===，则O 的周长为_____________cm （结果保留π）．22．如图，半圆O 的半径为2，E 是半圆上的一点，将E 点对折到直径AB 上(EE′⊙AB)，当被折的圆弧与直径AB 至少有一个交点时，则折痕CD 的长度取值范围是_________________．23．如图，ABC ∆是O 的内接正三角形，点O 是圆心，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，若DA EB =，则DOE ∠的度数是____度．三、解答题24．如图，AB 是O 的直径，AD 平分BAC ∠，过点D 的切线交AC 的延长线于点E ．（1）求证：AE ED ⊥；（2）连接OC ，CD ，OD ，BD ．填空：⊙当BAC ∠的度数为时，四边形OBDC 为菱形； ⊙若5AB =，3AC =，则CE = ．25．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上(不与点A 、B 重合)的任一点，点C 、D 为⊙O 上的两点，若⊙APD ＝⊙BPC ，则称⊙CPD 为直径AB 的“回旋角”．(1)若⊙BPC ＝⊙DPC ＝60°，则⊙CPD 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若CD 的长为134π，求“回旋角”⊙CPD 的度数； (3)若直径AB 的“回旋角”为120°，且⊙PCD 的周长为AP 的长．26．如图所示，O 的半径是2，直线l 与O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若45AMB ∠=︒，求四边形MANB 面积的最大值.27．已知⊙O 的半径为2，⊙AOB=120°．（1）点O 到弦AB 的距离为；．（2）若点P 为优弧AB 上一动点（点P 不与A 、B 重合），设⊙ABP=α，将△ABP 沿BP 折叠，得到A 点的对称点为A′；⊙若⊙α=30°，试判断点A′与⊙O 的位置关系； ⊙若BA′与⊙O 相切于B 点，求BP 的长；⊙若线段BA′与优弧APB 只有一个公共点，直接写出α的取值范围．28．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD AB ⊥于点E ，则AE BE =．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA ，PB 组成O 的一条折弦．C 是劣弧AB 的中点，直线CD PA ⊥于点E ，则AE PE PB =+．可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA ，PB 组成O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD PA ⊥于点E ，则AE ，PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．参考答案1．D 【分析】由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形∴60ACP ∠=︒∴在Rt APC ∆中，tan603AP CP =⨯︒=12APC S AP CP ∆∴=⨯==【点拨】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．2．B【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM 的长，连接OA ，由勾股定理求出OM 的长，进而可得出结论．解：连接AC ，AO ，⊙⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB ⊙CD ，AB ＝96cm ，⊙AM ＝12AB ＝12×96＝48（cm ），OD ＝OC ＝50（cm ），如图1，⊙OA ＝50cm ，AM ＝48cm ，CD ⊙AB ，⊙OM14（cm），⊙CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），⊙AC80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，⊙OC＝50cm，⊙MC＝5014-＝36（cm），在Rt⊙AMC中，AC60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．3．D【分析】把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出⊙F=90°，CE长，OE 的最小值为EC-OC．解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，⊙⊙FCA=⊙ACO，⊙OA=OC，⊙⊙ACO=⊙CAO，⊙⊙FCA=⊙CAO，⊙CF⊙AB，⊙E是弧AD的中点，⊙FE⊙AB，⊙⊙F=⊙BGE=90°，⊙FC=FE=2，⊙EC=⊙OE≥EC-OC即OE≥2，OE的最小值为2，故选：D．【点拨】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE的取值范围．4．D【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊙AB时，OC最小，再求出CD即可．解：连接OD，如图，⊙CD⊙OC，⊙⊙DCO=90∘，⊙CD=当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊙AB时，OC最小，此时D.B两点重合，⊙CD =CB =12AB =12×2=1．即CD 的最大值为1．故答案为：D ．【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C 的位置是解题的关键．．5．C【分析】设圆心为M ，连接CM ，由圆M 与x 轴相切，得到M 的纵坐标等于半径也等于ON ，在MNC Rt △中，设BC=x 利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解，即可得到结果．解：过点M 作MN⊙y 轴，连接CM ，⊙圆M 与x 轴相切于点A （3，0），BC=x ，⊙MN=3，ON=1+2x ，MC=ON 在MNC Rt △中，由勾股定理得：222MN CN CM +=2223()(1)22x x +=+ 22x 9+144x x =++ x=8又⊙B （0，1），⊙点C 的坐标是（0，9）故答案为：C ．【点拨】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．6．C【分析】由作图知CM CD DN==，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得．解：由作图知CM=CD=DN，⊙⊙COM=⊙COD，故⊙正确；⊙OM=ON=MN，⊙⊙OMN是等边三角形，⊙⊙MON=60°，⊙CM=CD=DN，⊙⊙MOA=⊙AOB=⊙BON=13⊙MON=20°，故⊙正确；⊙MD所对的圆心角是MOD∠，所对的圆周角是MND∠⊙2MOD MND∠=∠，故⊙不正确；⊙⊙MOA=⊙AOB=⊙BON，⊙⊙OCD=⊙OCM=1802COD︒-∠⊙⊙MCD=180°-⊙COD，又⊙CMN=12⊙AON=⊙COD，⊙⊙MCD+⊙CMN=180°，⊙MN⊙CD，故⊙正确；⊙MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，⊙3CD＞MN，故⊙错误；⊙⊙⊙正确故选C【点拨】本题考查作图-复杂作图，弧、圆心角和弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．C【分析】连接OF，根据DE⊙AB，AB为⊙O的直径，推出AD AF=，由D是弧AC的中点，推出AC DF=，得到AC=DF=12，求出EF=6，设OA=x，利用勾股定理求出x=7.5，即可得到答案.解：如图，连接OF，⊙DE⊙AB，AB为⊙O的直径，⊙AD AF=.⊙D是弧AC的中点，⊙AD CD=，⊙AC DF=，⊙AC=DF=12，⊙EF=6，设OA=x，⊙OF2=OE2+EF2，⊙x2=（x-3）2+62，解得：x=7.5，⊙⊙O的直径长为15，故选：C.【点拨】此题考查圆的垂径定理，弧、弦、圆心角定理，勾股定理，将求直径长转化为求半径长由此利用勾股定理解答是解题的关键.8．B【分析】连接OA 、OB ，根据AC⊙MN ，BD⊙MN ，经勾股定理计算得到OC 、OD ；延长BD 与⊙O 相交于点G ，推导得当点P 在直线AG 上时，PA GP +取最小值；过G 作GH⊙AC 于点H ，经证明四边形CDGH 是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG 的值，即可完成求解．解：如图，连接OA 、OB⊙AC⊙MN ，BD⊙MN⊙222236OB BD OD OD =+=+，222264OA AC OC OC =+=+⊙MN ＝20，A 、B 是⊙O 上的两点 ⊙1102OA OB MN === ⊙210036OD =+，210064OC =+⊙8OD =，6OC =⊙14CD OD OC =+=延长BD 与⊙O 相交于点G⊙MN 为⊙O 的直径，BD⊙MN⊙BP GP =，6BD GD ==⊙PA PB PA GP +=+当点P 在直线AG 上时，PA GP +取最小值，且最小值AG =过G 作GH⊙AC 于点H又⊙AC⊙MN ，BD⊙MN⊙//CD GH ，//DG CH ，90DCH ∠=⊙四边形CDGH 是矩形⊙14GH CD ==，6CH DG ==⊙14=+=AH AC CH⊙AG==⊙PA+PB的最小值是：故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．9．B【分析】根据弧的度数求得弧所对的圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得⊙A的度数，从而根据直角三角形的性质进行求解．解：⊙弦AB所对的劣弧为120°，⊙⊙AOB=120°，⊙OA=OB，⊙⊙A=⊙B=30°，又OC⊙AB，⊙OC=1OA=1；2故选：B．【点拨】本题主要考查垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．D【分析】根据折叠的性质可得⊙BMD=⊙BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD⊙EF，从而判定⊙正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到⊙正确；根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出⊙MEN=30°，然后求出⊙EMN=60°，根据等边对等角求出⊙AEM=⊙EAM ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出⊙AEM=30°，从而得到⊙AEF=60°，同理求出⊙AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出⊙EAF=60°，从而判定⊙AEF 是等边三角形，⊙正确；设圆的半径为r ，求出EN=，则可得，即可得S 四边形AEBF ：S 扇形BEMF 的答案，所以⊙正确．解：⊙纸片上下折叠A 、B 两点重合，⊙⊙BMD=90°，⊙纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合，⊙⊙BNF=90°，⊙⊙BMD=⊙BNF=90°，⊙CD⊙EF ，故⊙正确；根据垂径定理，BM 垂直平分EF ，又⊙纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合，⊙BN=MN ， ⊙BM 、EF 互相垂直平分，⊙四边形MEBF 是菱形，故⊙正确；⊙ME=MB=2MN ，⊙⊙MEN=30°，⊙⊙EMN=90°-30°=60°，又⊙AM=ME （都是半径），⊙⊙AEM=⊙EAM ， ⊙⊙AEM=12⊙EMN=12×60°=30°， ⊙⊙AEF=⊙AEM+⊙MEN=30°+30°=60°，同理可求⊙AFE=60°， ⊙⊙EAF=60°，⊙⊙AEF 是等边三角形，故⊙正确；设圆的半径为r ，则，，⊙S 四边形AEBF ：S 扇形BEMF =21120(2):(),2360r r ππ⨯= 故⊙正确，综上所述，结论正确的是⊙⊙⊙⊙共4个．故选：D．【点拨】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．11．B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．解：⊙AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊙CD于E，⊙CE＝DE，BC BD=，ACB ADB=，⊙⊙BOC＝2⊙A＝40°，ACB BD ADB BC+=+，即ACD ADC=，故⊙正确；⊙⊙OEC＝90°，⊙BOC＝40°，⊙⊙C＝50°，故⊙正确；⊙⊙C≠⊙BOC，⊙CE≠OE，故⊙错误；作OP⊙CD，交AD于P，⊙AB⊙CD，⊙AE＜AD，⊙AOP＝90°，⊙OA＜P A，OE＜PD，⊙P A+PD＞OA+OE⊙OE＜OA，⊙AD＞2OE，故⊙错误；故选：B．【点拨】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质.12．6【分析】连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO⊙⊙CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．⊙OA=ON，OA=AN，⊙AO=ON=AN，⊙⊙OAN是等边三角形，⊙⊙OAN=60°，⊙⊙ABC是等边三角形，⊙AB=AC，⊙BAC=60°，⊙⊙BAC=⊙OAN=60°，⊙⊙BAO=⊙CAN，⊙⊙BAO⊙⊙CAN（SAS），⊙OB=CN=3，⊙OC≤ON+CN=6，⊙OC 的最大值为6，故答案为：6．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．13．2【分析】连接OC ，设OD ＝x ，OE ＝OF ＝y ．根据S △DEF ＝12×EF ×OD ＝12×2y ×x ＝xy ，当xy 的值最大时，⊙DEF 的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE 是矩形，得12cm 2DE OC AB ===；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论．解：连接OC ，设OD ＝x ，OE ＝OF ＝y ．⊙AG BG =⊙OG ⊙AB ，⊙S △DEF ＝12×EF ×OD ＝12×2y ×x ＝xy ，⊙xy 的值最大时，⊙DEF 的面积最大，⊙CD ⊙OG 于点D ，CE ⊙OB 于点E ，⊙⊙CEO ＝⊙CDO ＝⊙DOE ＝90°，⊙四边形ODCE 是矩形， ⊙12cm 2DE OC AB === ⊙x 2+y 2＝22，即x 2+y 2＝4，⊙（x ﹣y ）2≥0，⊙x 2+y 2≥2xy ，⊙2xy ≤4，⊙xy ≤2，⊙xy 的最大值为2，⊙⊙DEF 的面积的最大值为2 cm 2故答案为：2．【点拨】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．14．4【分析】过E 点作EH OA ⊥于H ，过E '点作E OA '⊥于F ，连接OE ，如图，设OF x =，利用60AOB ∠=︒得到2OE x '=，E F '，再利用点E 为弧AB 的中点得到30AOE ∠=︒，所以142EH OE ==，6OH =+CEH ∆≅⊙E CF '，则CH E F ='，4CF EH ==，则可列方程46x +=+然后解方程求出x ，从而得到OE '的长．解：过E 点作EH OA ⊥于H ，过E '点作E OA '⊥于F ，连接OE ，如图，设OF x =，60AOB ∠=︒，22OE OF x ∴'==，E F '，点E 为弧AB 的中点，1302AOE BOE AOB ∴∠=∠=∠=︒， 118)422EH OE ∴===，6OH ==+线段CE 绕点C 逆时针旋转90︒得到线段CE '，CE CE ∴='，90ECE ∠'=︒，90ECH CEH ∠+∠=︒，90ECH E CF ∠+∠'=︒，CEH E CF ∴∠=∠'，在CEH ∆和⊙E CF '中CHE FE C CEH E CF CE CE ∠=∠'⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， CEH ∴∆≅⊙()E CF AAS '，CH E F ∴='，4CF EH ==，OH OF FC CH =++，46x ∴+=+2x =，24OE x ∴'==．故答案为4．【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15．43【分析】如图，连OA ，OB ．利用垂径定理和勾股定理求BE ，利用中位线定理求CD ．解：如图，连OA ，OB ，∵B 是弧AC 的中点，AB ＝BC ＝BD ，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，由垂径定理知，OB ⊥AC ，点E 是AC 的中点，设BE x =,则3OE x ,由勾股定理知，222OA AE OE +＝，222AE BE AB +＝，∴22=OA OE -22AB BE -,∵AB ＝2，AO ＝BO =3，∴()2233x --222x =-, 解得，23x = ，即23 BE=∵∠AEB＝∠ACD＝90°，∴BE∥CD，∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝43．故答案为：4 3【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理求解16．5 02PM≤≤【分析】延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM＝12DN，所以当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，即可求得PM的取值.解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．⊙AB⊙CN，⊙CP＝PN，⊙CM＝DM，⊙PM＝12DN，⊙当DN为直径时，PM的值最大，最大值为52，当DN＝NC时，PM最小，最小值为0，⊙PM的范围是0≤PM≤52．故答案为：5 02PM≤≤【点拨】本题考查的是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题.171【分析】设半圆弧AB 所在圆的圆心为O ，连接OC ，分别过点,A C 作,AB OC 的垂线，两垂线交于点E ，延长CE 至点F ，使得CE EF =，连接,,AF BE DE ，先根据正方形的判定与性质可得1,90AE CE OA BAE ===∠=︒，从而可得BE =1452APC AOC ∠=∠=︒，从而可得135ADC ∠=︒，然后判断出点,,,A D C F 四点共圆，且所在圆的圆心为点E ，由此可得1DE =，最后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短求出最小值即可得．解：如图，设半圆弧AB 所在圆的圆心为O ，连接OC ，分别过点,A C 作,AB OC 的垂线，两垂线交于点E ，延长CE 至点F ，使得CE EF =，连接,,AF BE DE ，C 为半圆弧AB 的中点，90AOC ∴∠=︒，又112OA OC AB ===， ∴四边形OAEC 是正方形，1,90AE CE OA BAE ∴===∠=︒，在Rt ABE △中，BECE EF =，AE EF ∴=，Rt AEF ∴是等腰直角三角形，45F ∠=︒，由圆周角定理得：1452APC AOC ∠=∠=︒， CD CP ⊥，即90DCP ∠=︒，135ADC DCP APC ∴∠=∠+∠=︒，13545180ADC F ∴∠+∠=︒+︒=︒，又AE CE EF ==，∴点,,,A D C F 四点共圆，且所在圆的圆心为点E ，1DE AE ∴==，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：DE BD BE +≥，即BD BE DE ≥-，当且仅当点,,B D E 共线时，等号成立，则BD 的最小值为1BE DE -，1．【点拨】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、圆心角定理等知识点，通过作辅助线，构造出点,,,A D C F 四点共圆是解题关键．18．28【分析】过点O 分别作OD ⊙AB ，OE ⊙BC ，垂足分别为点D 、E ，延长DO 交BC 于点H ，连接OB ，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD 的长，进而可得BD ，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题．解：过点O 分别作OD ⊙AB ，OE ⊙BC ，垂足分别为点D 、E ，延长DO 交BC 于点H ，如图所示：⊙BE =CE ，⊙8,30OA AB A B ==∠=∠=︒， ⊙142OD OA ==，⊙AD ⊙BD =⊙30A B ==︒∠∠，⊙2,BH OH BD ==，60DHB ∠=︒，⊙8DH==，16BH=，⊙OH=4，⊙⊙HDB=90°，⊙⊙HOE=30°，⊙2HE=，⊙14BE=，⊙28BC=；故答案为28．【点拨】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．19．【分析】如图，连接AD，P A，OD．先证明P A＝PB，再根据PD+PB＝PD+P A≥AD，求出AD即可解决问题．解：如图，连接AD，P A，OD．⊙OC⊙AB，OA＝OB，⊙P A＝PB，⊙COB＝90°，⊙BD=2CD，⊙⊙DOB23=⨯90°＝60°，⊙OD＝OB，⊙⊙OBD是等边三角形，⊙⊙ABD＝60°⊙AB是直径，⊙⊙ADB＝90°，⊙AD＝AB•cos⊙ABD＝⊙PB+PD＝P A+PD≥AD，⊙PD+PB⊙PD+PB的最小值为故答案为：【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角函数等知识，根据OC为AB的垂直平分线得到AD为BP DP+的最小值是解题的关键．20．【分析】根据A点所在的位置分类讨论：⊙若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，连接AO并延长交BC于点D，利用A、O都在BC中垂线上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，从而求出AB；⊙若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，原理同上．解：⊙若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，如图，连接AO并延长交BC于点D，连接OB，⊙AB=AC⊙点A在BC的中垂线上⊙圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线⊙AO垂直平分BC⊙⊙O的半径为5cm ,点O到BC的距离为3cm⊙OA=OB=5，OD=3⊙AD=8根据勾股定理：4BD=⊙再根据勾股定理：AB=⊙若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，连接OB，⊙AB=AC⊙点A在BC的中垂线上⊙圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线⊙AO垂直平分BC⊙⊙O的半径为6cm ,点O到BC的距离为2cm⊙OA=OB=5，OD=3⊙AD=2根据勾股定理：4BD=⊙再根据勾股定理：AB=综上所述：AB=AB=【点拨】此题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，利用等腰三角形的顶点在圆上的不同位置分类讨论是解决此题的关键．21．8π【分析】连接OD、OC，求出⊙AOD=⊙COD=⊙BOC=60，证得⊙AOD、⊙COD、⊙BOC都是等边三角形，得到OA=OB=BC=4cm，利用圆的周长公式求出答案.解：如图，连接OD、OC，⊙4cm===，AB是O的直径，BC CD DA⊙⊙AOD=⊙COD=⊙BOC=60,⊙OA=OD=OC=OB，⊙⊙AOD、⊙COD、⊙BOC都是等边三角形，⊙OA=OB=BC=4cm ，⊙O 的周长=24π⨯=8π（cm ），故答案为：8π.【点拨】此题考查了弧、弦、圆心角定理：等弦所对的圆心角相等，等边三角形的判定定理及性质定理，圆的周长计算公式.22．4CD <【分析】先找出折痕CD 取最大值和最小值时，点E 的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．解：由题意，有以下两个临界位置：（1）如图，当被折的圆弧与直径AB 相切时，折痕CD 的长度最短，此时点E '与圆心O 重合，连接OD ，由折叠的性质得：11,2OF EF OE OE CD ===⊥， 2OD =，∴在Rt DOF △中，DF =由垂径定理得：2CD DF ==；（2）当CD 和直径AB 重合时，折痕CD 的长度最长，此时4CD AB ==，又要使被折的圆弧与直径AB 至少有一个交点，4CD ∴<；综上，折痕CD的长度取值范围是4≤<，CD故答案为：4≤<．CD【点拨】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键．23．120【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．解：连接OA，OB，作OH⊙AC，OM⊙AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊙AC，OM⊙AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故⊙OAH≅⊙OAM（HL）．⊙⊙OAH=⊙OAM．又⊙OA=OB,AD=EB,⊙⊙OAB=⊙OBA=⊙OAD,⊙⊙ODA≅⊙OEB（SAS）,⊙⊙DOA=⊙EOB,⊙⊙DOE=⊙DOA+⊙AOE=⊙AOE+⊙EOB=⊙AOB．又⊙⊙C=60°以及同弧AB，⊙⊙AOB=⊙DOE=120°．故本题答案为：120．【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．24．（1）见分析；（2）⊙60°；⊙1【分析】（1）连接OD，则OD⊙ED，由OA=OD，得⊙OAD=⊙ODA，根据AD平分⊙BAC，可推得OD⊙AE，从而可得结论；（2）⊙当四边形OBDC为菱形时，则OB=BD，又OB=OD，则得⊙OBD是等边三角形，从而易得⊙BAC=60°；⊙ 连接BC交OD于点F，则可知⊙ACB=90°，且由勾股定理可计算得BC=4；由AD平分⊙BAC可得BD=CD，再由OB=OC，得OD垂直平分线段BC，从而得F点为BC的中点，得CF=2；易得四边形CFDE为矩形，故可得DE=CF，且⊙CDE=⊙DCB，再由AD为角平分线，可得⊙CDE=⊙EAD，从而可得⊙DCE⊙⊙ADE，有对应边成比例，设AE=x，则可得关于x的方程，解方程即可求得结果．解：（1）连接OD．ED是O的切线，∴⊥．OD EDAD平分BAC∠，∴∠=∠．EAD BADOA OD=，∴，∠=∠OAD ODA∴∠=∠，ODA EAD∴，OD AE//∴⊥．AE ED（2）⊙四边形OBDC是菱形，OB BD∴=，BD⊙OC，⊙OB=ODOB OD BD∴==，OBD∴△是等边三角形．⊙⊙B=60°，⊙BD⊙OC，⊙⊙AOC=⊙B=60°，⊙OA=OC，⊙⊙OAC是等边三角形，⊙⊙BAC=60°，故答案为：60︒．⊙如图，连接BC交OD于F．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙AB=5，AC=3，⊙由勾股定理得：4BC=．⊙AD平分⊙BAC，⊙BD CD=，⊙BD=CD，⊙OB=OC，⊙OD垂直平分线段BC，⊙CF=122BC=，⊙⊙E=⊙ODE=⊙ECF=90°,⊙四边形ECFD是矩形，⊙DE=CF=2，DE⊙BC，⊙⊙CDE=⊙DCB，⊙⊙DCB=⊙BAD，⊙EAD=⊙BAD，⊙⊙CDE=⊙EAD，⊙⊙DCE⊙⊙ADE，⊙DE CE AE DE=，即2DE CE AE=，设CE=x，则AE=AC+CE=3+x．⊙x(3+x)=4，解方程得：x=1，或x=-4（舍去），⊙CE=1．故答案为：1．【点拨】本题综合考查了圆的性质、三角形相似的判定和性质、菱形的性质；（2）中⊙的关键是得到OD垂直平分BC，从而得出四边形CFDE是矩形．25．(1)⊙CPD是直径AB的“回旋角”，理由见分析；(2)“回旋角”⊙CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23．【分析】（1）由⊙CPD、⊙BPC得到⊙APD，得到⊙BPC＝⊙APD，所以⊙CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出⊙COD＝45°，作CE⊙AB交⊙O于E，连接PE，利用⊙CPD 为直径AB的“回旋角”，得到⊙APD＝⊙BPC，⊙OPE＝⊙APD，得到⊙OPE+⊙CPD+⊙BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，⊙CED＝12⊙COD＝22.5°，得到⊙OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则⊙APD＝⊙BPC＝67.5°，所以⊙CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊙CD于G，利用sin⊙DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊙DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可解：⊙CPD是直径AB的“回旋角”，理由：⊙⊙CPD＝⊙BPC＝60°，⊙⊙APD＝180°﹣⊙CPD﹣⊙BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，⊙⊙BPC＝⊙APD，⊙⊙CPD是直径AB的“回旋角”；(2)如图1，⊙AB＝26，⊙OC＝OD＝OA＝13，设⊙COD＝n°，⊙CD的长为134π，⊙1313 1804 nππ=⊙n＝45，⊙⊙COD＝45°，作CE⊙AB交⊙O于E，连接PE，⊙⊙BPC＝⊙OPE，⊙⊙CPD为直径AB的“回旋角”，⊙⊙APD＝⊙BPC，⊙⊙OPE＝⊙APD，⊙⊙APD+⊙CPD+⊙BPC＝180°，⊙⊙OPE+⊙CPD+⊙BPC＝180°，⊙点D，P，E三点共线，⊙⊙CED＝12⊙COD＝22.5°，⊙⊙OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，⊙⊙APD＝⊙BPC＝67.5°，⊙⊙CPD＝45°，即：“回旋角”⊙CPD的度数为45°，(3)⊙当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊙AB交⊙O于F，连接PF，⊙PF＝PC，同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，⊙直径AB的“回旋角”为120°，⊙⊙APD＝⊙BPC＝30°，⊙⊙CPF＝60°，⊙⊙PCF是等边三角形，⊙⊙CFD＝60°，连接OC，OD，⊙⊙COD＝120°，过点O作OG⊙CD于G，⊙CD＝2DG，⊙DOG＝12⊙COD＝60°，⊙DG＝ODsin⊙DOG＝13×sin60°＝1332√⊙CD＝133√，⊙⊙PCD的周长为24+133√，⊙PD+PC＝24，⊙PC＝PF，⊙PD+PF＝DF＝24，过O作OH⊙DF于H，⊙DH＝12DF＝12，在Rt△OHD中，OH5在Rt△OHP中，⊙OPH＝30°，⊙OP＝10，⊙AP＝OA﹣OP＝3；⊙当点P在半径OB上时，同⊙的方法得，BP＝3，⊙AP＝AB﹣BP＝23，即：满足条件的AP的长为3或23．【点拨】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P 点的分类讨论26．四边形MANB 面积最大，为【分析】过点O 作OC⊙AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，根据圆周角定理得⊙AOB=2⊙AMB=90°，则△OAB 为等腰直角三角形，所以，由于S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，而当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，所以四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =12AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE ）=12AB•DE=12．解：过点O 作OC⊙AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图，⊙⊙AMB=45°，⊙⊙AOB=2⊙AMB=90°，⊙⊙OAB 为等腰直角三角形，⊙S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，⊙当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =12AB•CD+12AB•CE=12AB （CD+CE ）=12AB•DE=12．故答案为【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．27．（1）1；（2）⊙点A′在⊙O 上；⊙⊙0°＜α＜30°或60°≤α＜120°【分析】（1）如图，作辅助线；证明⊙AOC=60°，得到OC=1．（2）⊙证明⊙PAB=90°，得到PB 是⊙O 的直径；证明⊙PA′B=90°，即可解决问题． ⊙证明⊙A′BP=⊙ABP=60°；借助⊙APB=60°，得到△PAB 为正三角形，求出AB 的长即可解决问题．⊙直接写出α的取值范围即可解决问题．解：解：（1）如图，过点O 作OC⊙AB 于点C ；⊙OA=OB ，则⊙AOC=⊙BOC=12×120°=60°，⊙OA=2，⊙OC=1．故答案为1．（2）⊙⊙⊙AOB=120°⊙⊙APB=12⊙AOB=60°， ⊙⊙PBA=30°，⊙⊙PAB=90°，⊙PB 是⊙O 的直径，由翻折可知：⊙PA′B=90°，⊙点A′在⊙O 上．⊙由翻折可知⊙A′BP=⊙ABP ，⊙BA′与⊙O 相切，⊙⊙OBA′=90°，⊙⊙ABA′=120°，⊙⊙A′BP=⊙ABP=60°；⊙⊙APB=60°，⊙△PAB 为正三角形，⊙BP=AB ；⊙OC⊙AB ，⊙AC=BC ；而OA=2，OC=1， ⊙AC=3，⊙α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．【点拨】该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．28．（1）见分析；（2）见分析；（3）AE PE PB =-，理由见分析【分析】（1）连接AD ，BD ，易证ADB ∆为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE BE =．（2）根据圆内接四边形的性质，先CDA CDF ∠=∠，再证AFD ∆为等腰三角形，进一步证得PB PF =，从而证得结论．（3）根据ADE FDE ∠=∠，从而证明DAE DFE ∆≅∆，得出AE EF =，然后判断出PB PF =，进而求得AE PE PB =-．解：证明：（1）如图1，连接AD ，BD ，C是劣弧AB的中点，∴∠=∠，CDA CDB∵⊥，DE AB∴∠=∠=︒，AED DEB90∠+∠=︒，B CDB∴∠+∠=︒，9090A ADE∴∠=∠，A BADB∴∆为等腰三角形，⊥，CD AB∴=；AE BE（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，ADBP是圆内接四边形，∴∠=∠，PBF PADC是劣弧AB的中点，∴∠=∠，CDA CDF。

垂径定理-中考数学专项训练(含解析)

垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。

2022届中考知识点强化练习：垂径定理(解答题篇)(word版含答案)

2022届中考知识点强化练习：垂径定理（解答题篇）一、解答题（共11小题；共143分）1. ____________________________ 垂径定理：垂直于弦的直径_________ 弦，并且平分弦所对的两条__________________________________几何语言（如图）：•.•直径CD LAB,2.如图，刀B是。

的一条弦，CD经过圆心。

且与刀8交于点E,若AE = BE, AB = 2^7, ED =1,求CD的长.3.如图，48是O0的直径，交弦CZ）于点E,点E是CD的中点.（1）__________________________________________ 若 O0 的半径为 5, CD = 8,则 OE = , BE =；（2）___________________________________ 若 C D = 16, BE = 4,则 CE= ， O。

的半径为.4.如图，有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2 m,拱顶高出水面的最大高度CD的长为2.4 m,现有一艘宽 3 m,船舱顶部为长方形并且高出水面 2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？则点P坐标为(4,2)或(-4,2).②当匕PBG = 90°时，PB lx轴，则 PC 是直径，PC = 8, FC=4A/3得 PB = 4,点 P 坐标为(-2,75,4).③当匕BPG = 90。

,则是直径，这时有PC Lx轴得PC = 4，点P坐标为(2\/5,4).符合条件的点P坐标为(4,2)或(-4,2)或(-2西4)或(2V3,4).5.如图，AB是。

的弦，D为0。

上不与A, B重合的一点，DC 1 AB于点C,® = O,连接DM.求证："DM = 3DM.6.如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，己知弓形的跨度/!B = 3m,弓形的高EF=lm,现计划安装玻璃，请帮工程师求出徐所在。

九年级数学下册《垂径定理》典型例题(含答案)

《垂径定理》典型例题例1. 选择题：（1）下列说法中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 两个半圆是等弧C. 半径相等的弧是等弧D. 直径是圆中最长的弦答案：D（2）下列说法错误的是（）A. 圆上的点到圆心的距离相等B. 过圆心的线段是直径C. 直径是圆中最长的弦D. 半径相等的圆是等圆答案：B例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。

分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。

证明：连结OC、OD∵M、N分别是OA、OB的中点∵OA＝OB，∴OM＝ON又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD∴Rt△OMC≌Rt△OND∴∠AOC＝∠BOD例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB 的度数和圆的半径。

分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。

解：过O点作OE⊥AB于E∵AB＝12由垂径定理知：∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。

例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。

求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解：过点C作CF⊥AB于F∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB∴△AFC∽△ACB例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。

分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。

解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M∵点P在AB上，PA＝4cm即⊙O的半径为7cm。

例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。

九年级数学上垂径定理练习题

垂径定理综合训练习题一、垂径定理在证明上的应用1、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证：弧AC = 弧BD 。

2.如图，CD 为⊙O 的弦，在CD 上截取CE=DF ，连结OE 、OF ，并且它们的延长⊙O 于点A 、B 。

（1）试判断△OEF 的形状，并说明理由；（2）求证：⋂AC =⋂BD 。

3、如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，C 、D 是直线AB 上两点，且AC ＝BD 求证：△OCD 为等腰三角形。

4、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.二、垂径定理在计算上的应用（一）求半径，弦长，弦心距1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.A B C D O变式 2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm2：如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m ，拱高为4m ，求拱桥跨度AB 的长。

3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 和AD 的长。

（二）、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径。

.BB A2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

（三）、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.（四）平行问题(南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .AB 、CD ，其中AB =16cm ，CD =12cm ，圆的半径为10，求AB 、CD 间的距离。