五年级奥数专题图形的计数
五年级奥数.计数综合.容斥原理(ABC级).学生版
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”
的意思；符号“
”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容
斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，
即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A
B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”
进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
知识结构
容斥原理
1．先包含——A B + 重叠部分A
高斯小学奥数五年级上册含答案_第12讲_几何计数
第十二讲几何计数
漫画，共一格
一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。
分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。
后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？
几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了．
三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧．
例题1．下列图形中各有多少个三角形？
「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？
下图中有多少个三角形？
例题2．右图中共有多少个三角形？
「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？
练习2:．请数出这个图形中有多少个三角形．
下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.
例题3．下列图形中，分别有多少个正方形？
「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．
围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？
五年级奥数.计数综合.容斥原理(ABC级).学生版
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A
B =+-(其中符号“
”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”
的意思；符号“
”读作“交”，相当于中文“且”的意思．则称这一公式为包含与排除原理，简称容
斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，
即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A
B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”
进来，加在一起；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A
B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
知识结构
容斥原理
1．先包含——A B +
重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +-
五年级奥数几何计数(三)学生版
五年级奥数几何计数（三）学生版
2.熟记一些计数公式及其推导方法；
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．
一、几何计数 在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及
递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2
n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……
在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”）,那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条
数角：数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法）,因为DE 上有15条线段,每条线段的两端点与点A 相连,可构成一个三角形,共有15个三角形,同样一边在BC 上的三角形也有15个,所以图中共有30个三角形．
五年级奥数.计数综合.计数方法与技巧(ABC级).教师版
（1） 归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况
下的数量关系．
（2） 整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，
从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．
（3） 对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这
两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．
（4） 递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这
一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．
【例 1】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平
面为多少部分?
【考点】计数之归纳法
【难度】3星
【题型】解答
【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下
表：
由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多
可将平面分成2+2+3+4+…+n =
()12
n n ++1个部分．
方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k +1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k +1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5
条直线至多将平面分
例题精讲
知识结构
计数方法与技巧
为11+5=16个部分．
高斯小学奥数五年级上册含答案_第12讲_几何计数
第十二讲几何计数
漫画，共一格
一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。
分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。
后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？
几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了．
三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧．
例题1．下列图形中各有多少个三角形？
「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？
下图中有多少个三角形？
例题2．右图中共有多少个三角形？
「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？
练习2:．请数出这个图形中有多少个三角形．
下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.
例题3．下列图形中，分别有多少个正方形？
「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．
围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？
五年级高斯奥数之几何计数含答案
第6讲几何计数
内容概述
合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算．
典型问题
兴趣篇
1．如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？
这些线段的长度之和是多少厘米？
2．小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：
(1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？
(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？
3．如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？
4．如图104和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？
5．如图10-6，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？
6．如图10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？
7．如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
8．如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？
9．如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？
10．如图10-11，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、D、E、，、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？
五年级奥数春季实验班第10讲 计数综合之归纳递推映射计数二
第10讲 计数综合之归纳递推映射计数二
模块一、图形计数中的对应法图
例1．在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包括两个白色小格与一个黑色小格的长方形共有 个。
解：由条件知，在四条边上不是角的黑色方格都可以画出一个符合条件的长方形，
这样的长方形有3×4=12个。
对于中间的黑色方格，每个方格都可以画出两个符合要求的长方形，
这样的长方形有3×6×2=36个，
于是这样的长方形有12+36=48个。
例2．图中可数出的三角形的个数为 。
解：这个图不像我们以前数三角形那样的规则，我们发现图形由8条线段组成，
从这8条线段中任意选出3条，都可以组成一个三角形，
于是三角形的个数是3856C =（个）。
模块二、数字问题中的对应法
例3．有 个多位数（至少两位），这个数所有数位上的数字从左到右依次递增。
解：先看两位数：12、13、......、19；23、24、......，29；34、35、......39； (89)
这样的数有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）；
也可以看做是9个数字中选2个的组合数，即2936C =（个）；
所以三位数：有3984C =（个）；依次类推
共有23499999C C C C ++++L =290199C C --=512−10=502（个）。
例4．请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有 个。 解：五位数共有99999−9999=90000（个）；其中3的倍数有30000个；
除了数字3以外，其余的9个数码分为3组：(1、4、7)；(2、5、8)；(0、6、9)，
小学奥数知识体系之几何计数-四五年级组
几何计数
几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．
数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．
【例1】数出右图中有多少条线段
练习1：数出右图中有多少个锐角
练习2：数一数下面图中各有多少个三角形。
练习3：从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？
【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
练习1：下图中共有____个正方形．
练习2：图中有______个正方形．
【例3】下面的55⨯和64⨯图中共有____个正方形．
练习1：在图中(单位：厘米)： ①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?
练习2：如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘
米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．
【例4】如图，其中同时包括两个☆的长方形有 个．
练习1：在下图中，不包含☆的长方形有________个．（6级）
五年级奥数之分类数图形
分类数图形
1，下面图形中有多少个正方形？
2，下图中共有多少个正方形？
3，下图中共有多少个正方形？
4，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？
5，下图中共有多少个三角形？
6，下面图中共有多少个三角形？7，数一数，图中共有多少个三角形。8，数一数，图中共有多少个三角形？
9，数出下图中所有三角形的个数。
10，数出下面图形中分别有多少个三角形。
11，如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？
12，下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？
13，下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？
14，下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？
15，数一数，下图中共有多少个三角形？16，图中共有（）个三角形。17，图中共有（）个三角形。
18，图中共有（）个正方形。
五年级奥数.计数综合.计数方法与技巧
计数方法与技巧
知识结构
（1）归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．
（2）整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．
（3）对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．
（4）递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．
例题精讲
【例 1】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?
【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？
【例 2】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？
【巩固】10个三角形最多将平面分成几个部分？
【例 3】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？
【巩固】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?
【例 1】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算
作一刀，那么共需剪多少刀?
【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？
小学奥数：几何计数（一）.专项练习及答案解析[汇编]
![小学奥数：几何计数（一）.专项练习及答案解析[汇编]](https://img.taocdn.com/s3/m/721fc504a31614791711cc7931b765ce05087a66.png)
1.掌握计数常用方法；
2.熟记一些计数公式及其推导方法；
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．
一、几何计数
在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成
2
1
2
2
3(2)2
n
n
n
……
个部分；n 个圆
最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……
在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时
需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与
各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有
n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么
这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有
小学奥数：几何计数(二).专项练习
1.掌握计数常用方法；
2.熟记一些计数公式及其推导方法；
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗
透分类计数和用容斥原理的计数思想．
一、几何计数
在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的
个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通
过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法
以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2
n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形
将平面最多分成4n (n -1)+2部分……
在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时
需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与
各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那
么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．
数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线
段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC
五年级上册数学试题-奥数：图形定稿(无答案)全国通用
目录
第一讲图形的计数（一） (2)
第二讲图形的计数（二） (7)
第三讲角的计算 (11)
第四讲巧求周长 (14)
第五讲图形的分与合 (20)
能力测试（一） (25)
第六讲割补 (28)
第七讲平移、旋转、对称 (33)
第八讲添辅助线 (38)
第九讲等积变形 (43)
第十讲格点与面积 (48)
能力测试（二） (53)
第一讲图形的计数（一）
图形的计数问题，实际上就是数几何图形中线段、角、三角形、四边形等的个数问题。在对图形计数时，通常采用的是枚举法，即把所要计数的对象一一列举出来，然后计算它的总和。用枚举法计数时需注意：
（1）弄清被数图形的特性与变化规律；
（2）要按一定的顺序去数，做到不遗漏、不重复。
例1．下图中有多少条线段？
【试一试】下图中各有多少条线段？
（1）
（2）
例2．下面图形中有几个角？
【试一试】下图中各有多少个角？
（1） （2）
例3．下图中共有多少个三角形？
【试一试】数一数图中共有多少个三角形？
A B C D E
O
D C B A
A B E
D C A B C D
E F
A B C D E F F G H
I A B C D
A
B C
A E D
B
C O
E F D A B C O
例4．右图中有多少个三角形？
【试一试】数一数,图中有多少个三角形？
（1）
例5．下图中各有多少个长方形？
【试一试】下图中各有多少个长方形？
（1
）
（
2）
例6．如图，从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走；从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可去。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
（2
【试一试】
1、如果线段AB 上共有8个点（包括A 、B 两点），那么，共有多少条线段？
高斯小学奥数五年级上册含答案_第12讲_几何计数
第十二讲几何计数
漫画，共一格一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。
分割田地大概有 3 条横线、 4 条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的实际情况，
比如不能有拖拉机，不能有牛耕。
后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？
几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的
个数.可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的.真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了.
三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧.
例题1下列图形中各有多少个三角形?
「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无
目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举, 并注意寻找规律?那么，本题应该按照怎
样的顺序去枚举呢?
下图中有多少个三角形?
例题2 ?右图中共有多少个三角形?
「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法. 应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现
其中的规律吗？
练习2:.请数出这个图形中有多少个三角形.
下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解
决问题的规律和方法?
例题3.下列图形中，分别有多少个正方形?
「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏.
围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？
小学奥数教程：几何计数(二)全国通用(含答案)
1.掌握计数常用方法；
2.熟记一些计数公式及其推导方法；
3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．
本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．
一、几何计数
在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成
21
223(2)2
n n n ++++=++……个部分；
n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……
在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．
排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．
二、几何计数分类
数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．
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6
A
C
D
E
九图形的计数(A)
年级班姓名得分
一、填空题
1．下图中一共有（）条线段.
6. ______.
7. 25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个.
8. ,上面有4⨯4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个.
9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.
10. 数一数.要注意那些看不见的.
二、解答题
11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比.
12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？ 13．现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？ 14．将 ABC 的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？ 7 6
5
4
3
2 1 N
M F E D
C B A O
九图形的计数（B）
年级班姓名得分
一、填空题
1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.
2. 右上图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.
3. 下图中共出现了_____个长方形.
4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.
5. 图形中有_____个三角形.
6．如右上图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.
7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.
8. 右上图中共有_____个正方形.
9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：
如果M位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.
10. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格.
M
二、解答题
11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）
12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形?
13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?
14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?
———————————————答 案
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1． 30
由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6⨯5=30条线段.
2. 37
1A 6A 12分解成以OA 6为公共边的两个三角形1A 6中共有5+4+3+2+1=15(个)三角形, OA 6A 12中共有+1=21(个)三角形,这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形. 3. 15
这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C 的和不含顶点C 的两大类.含顶点C
的又可分成另外两顶点在线段AB 上的和在线段BD
上的两小类.分类图解如下:
6⨯3=18(个)梯形. 5. 108,36
(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.
因为AB 边上有8+7+6+…+2+1=2
8
9⨯=36条线段，AD 边上有2+1=3条线段，所以图中
一共有36⨯3=108个长方形.
(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6⨯6=36(个)三角形. 6. 30
由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形. 7. 50
此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下: 边长为AB 的正方形有16个； 边长为AC 的正方形有9个； 边长为AD 的正方形有4个； 边长为AE 的正方形有1个； 边长为DF 的正方形有9个； 边长为CF 的正方形有8个； 边长为BF 的正方形有2个； 边长为CG 的正方形有1个. 所以,最多可围出50个正方形. 8. 44
因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方