江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮复习第7课时对数函数导学案苏教版

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江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮教学资料导数的应用-单调性活动导学案(无答案)

《导数的应用—单调性》活动导学案【学习目标】1.会利用导数求函数的单调区间；2.会根据函数的单调性,结合导数求一些参数的取值范围；3.能够将函数的单调性问题转化为一些不等式恒成立问题.【重难点】能够利用导数与函数单调性的关系，求参数的取值范围.【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑1.函数6331523+--=x x x y 的单调减区间为 .2.已知函数x b x y ln 21+-=在区间),1(+∞上是减函数，则实数b 的取值范围是 .3.已知函数)(x f 的导函数x x x f 3)('2+-=，则函数)(x f 的单调增区间为 .4.已知函数x x x f +=3)(，若20π≤<x 时，0)1()cos (>-+x f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 .二、互动研讨：1.求下列函数的单调区间（1）x e x x f )3()(-=；（2）x x x f ln 22)(2-=.议一议：（1）函数611531)(23+--=x x x x f 的单调减区间为 .（2）函数x e x x x f )1()(2++=的单调减区间为 .2.已知函数1)(3--=ax x x f .（1）若3=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若函数在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在)1,1(-上单调递减？若存在，求出其范围；若不存在，请说明理由.3、(2013·广东卷改编)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2.(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．4、已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=，其中1>a ，是讨论函数的单调性.。

(江苏专用)高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ 第七节对数与对数函数课时跟踪检测理

课时跟踪检测（十）对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·某某调研)函数y ＝log 232x －1的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．答案：(－∞，－2)3．(2016·某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c4．(2015·某某高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为________．解析：在同一坐标系中分别作函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象如图所示．由图可知y ＝|x －2|与y ＝ln x 有2个交点，所以函数f (x )零点的个数为2.答案：22．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：53．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .答案：a >b >c4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：15．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)6．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图象上，从而由2＝2，得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x上，从而y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．(2016·某某四市调研)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值X 围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2016·某某中学月考)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值X 围为(－∞，－3)．。

江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮教学资料导数的概念及其运算活动导学案(无答案)

《导数的概念及其运算》活动导学案【学习目标】1、会用导数定义、导数公式以及导数运算法则求函数的导数；2、会根据导数的几何意义求有关切线的问题.【重难点】导数的几何意义【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑1．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为________． 2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝______________.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 4．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是________．5．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________. 二、互动研讨：探究点一求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数；探究点二导数的运算求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝x e x ； (3)y ＝tan x .(4)y ＝e x ·cos x ； (5)y ＝x －sin x 2cos x 2；变式：求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln x x 2＋1.(3)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.探究点三导数的几何意义(1)(2013·广东卷)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.(2)设f (x )＝x ln x ＋1，若f ′(x 0)＝2，则f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为____________________．【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________________．(3)若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为________(锐角、直角、钝角)．探究点四、导数运算与导数几何意义的应用1、已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．2、设l 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程；(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．变式：某物体在t （单位：s ）时离出发点的距离（单位：m ）是t t t t f 232)(23++=. （1）求在第s 1内的平均速度；（2）求在s 1末的瞬时速度；（3）经过多少时间物体的运动速度达到14s m /.检测反馈1.曲线x e y =在点),2(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .2.已知函数221)0()(x x f e x f x +-=，则=)1('f .3.已知函数14)(+=x xe e xf ，则)(x f 的导函数)('x f 的值域为 .4.设P 是函数)1(+=x x y 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线倾斜角为θ，则θ的取值范围是 .5、若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是________．6、函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于________．。

2015届高考数学(理)一轮复习单元卷：对数与对数函数(苏教版)

对数与对数函数第Ⅰ组：全员必做题1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________.3．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为________．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是____________．5．(2014·常州期末)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>k ，k ， f (x )≤k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为________． 6．计算：(log 29)·(log 34)＝________.7．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________． 8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________. 9．(2014·长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域．(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．10．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·徐州联考)函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．2．(2014·无锡模拟)若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)，x 的取值范围是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]．答案：(－2,8]2．解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .答案：log 2x3．解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c4．解析：当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1；当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)5．解析：因为f (x )＝log 3|x |，k ＝13，所以由f (x )>k 得log 3|x |>13，解得x <－33或x >33.同理由f (x )≤k 得－33≤x <0或0<x ≤33，所以f k (x )＝⎩⎨⎧ log 3|x |，x <－33或x >33，13，－33≤x <0或0<x ≤33，所以函数f k (x )的单调减区间为(－∞，－33)．(闭区间也对)答案：(－∞，－33)⎝⎛⎭⎫或(－∞，－33]6．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：47．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3. 答案：(－∞，－3]8．解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10. 答案：109．解：∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为 (－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．解：当a >1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 13≥－1，log a 2≤1，解得a ≥3. ∴此时a 的取值范围是a ≥3.当0<a <1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2 上单调递减，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧log a 13≤1，log a 2≥－1，解得0<a ≤13. ∴此时，a 的取值范围是0<a ≤13. 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：取x －1＝1得原函数的图像恒过定点A (2,1)，代入直线方程得2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即2m ＝n ＝12时等号成立，故最小值为8.答案：82．解析：因为g (lg x )>g (1)，所以f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1.解得0<x <110或x >10.答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)。

2015届高考数学教材知识点对数函数复习导学案

2015 届高考数学教材知识点对数函数复习导教案【学习目标】1．理解对数的观点及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转变成自然对数或常用对数．2．理解对数函数的观点；理解对数函数的单一性．预习案1．对数(1)对数的定义(2)对数恒等式①＝ (a>0 且 a≠ 1，N>0)．②logaab ＝(a>0 ，且 a≠1，b ∈R)．(3)对数运算法例 (a>0 且 a≠ 1，>0， N>0)①loga( ?N) ＝；② logaN ＝；③ logan ＝．(4)换底公式logbN ＝ logaNlogab(a>0且a≠ 1，b>0且b≠ 1，N>0)．推论：① logab ?logba ＝；② logab ?logbc＝；③＝；④＝．2．对数函数(1)对数函数的观点：函数 y＝ logax(a>0 且 a≠1) 叫做对数函数．(2)对数函数的图像(3)对数函数的性质①定义域为，值域为．②恒过定点 (1,0) ．③ a>1 时，y＝ logax 在 (0 ，＋∞) 上为； 0 ④当a>1，x>1 时，logax0 ；当a>1,0 当01 时，logax0 ．【预习自测】1．( 课本习题改编 ) 写出以下各式的值：(1)log26－log23＝；(2)lg5＋lg20＝；(3)log53＋log513 ＝； (4)log35－log315＝2 ． (1) 化简log89log23＝____________．(2)已知＝49(a>0) ，则 log23a ＝________．(3)若 2a＝ 5b＝ 10，则 1a＋ 1b＝________．3 ．关于 a>0 且 a≠1，以下结论正确的选项是()①若＝ N，则 loga ＝ logaN ；②若 loga ＝logaN ，则＝ N；③若loga2 ＝ logaN2 ，则＝ N；④若＝ N，则loga2 ＝logaN2 ．A．①③4．已知B．②④ c．② D．①②④a＝ 21.2 ，b＝ (12) － 0.8 ，c＝ 2log52 ，则a，b，c 的大小关系为（）( )A ．c 5 ．函数y＝ loga(x － 1) ＋ 2(a>0 ，a≠ 1) 的图像恒过必定点是 ________．研究案题型一指数式的计算例 1.计算以下各式：(1)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40；(2)log34273log5；(3)已知 log23 ＝ a， 3b＝ 7，求的值．研究 1.(1)|1＋lg0.001|＋lg213－4lg3＋4＋lg6 －lg0.02 的值为 ________．(2)(log32＋log92) ?(log43＋log83)=．题型二指数函数的图像及应用例 2.比较以下各组数的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log67，log76；(3)＝，n＝ 5.10.9 ， p＝；(4)若 0探究 2. (1)已知a＝log23.6，b＝log43.2 ， c＝ log43.6 ，则（）A ．a>b>cB． a>c>bc．b>a>cD． c>a>b(2已知 x＝ ln π， y＝log52 ， x＝，则 ()A．x(3)比较 >n 时， log4 与 logn4 ．题型三指数函数的性质例 3. (1) 作出函数 y＝ log2|x ＋ 1| 的图像，由图像指出函数的单一区间，并说明它的图像可由函数y＝ log2x的图像经过如何的变换而获得．(2) 当 x ∈ (1,2) 时，不等式 (x － 1)2 A． (0,1)B ． (1,2)c ． (1,2]D ．(0 ，12)研究 3. (1) 已知图中曲线 c1、c2、c3、c4 是函数 y ＝ logax 的图像，则曲线 c1、c2、c3、c4 对应的 a 的值挨次为()A ．3、 2、 13、 12B． 2、 3、 13、12c ．2、 3、 12、 13D． 3、 2、 12、13(2)已知函数 f(x) ＝ (13)x － log2x ，若实数 x0 是方程f(x)＝0的解，且0题型四指数函数的综合应用例 4. (1) 求 f(x) ＝ log12(3 － 2x－ x2) 的单一区间．(2)已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠ 1)，假如关于随意x∈研究 4. 能否存在实数在区间上是增函数？若存在，求出a，使得 f(x)＝loga(ax2－x)a 的范围；若不存在，说明原因．我的学习总结：（ 1）我对知识的总结.。

高考数学一轮复习7 第7讲对数与对数函数

第7讲对数与对数函数最新考纲考向预测1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0且a≠1).命题趋势对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择、填空题为主，属中档题.核心素养数学运算、直观想象1．对数概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N(a>0，且a≠1) log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N(a>0且a≠1)运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式log a b＝logcblogca(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．换底公式的三个重要结论①log a b ＝1logba ；②log a m b n ＝nm log a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数图象的特点(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限． (2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x (a >0且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．常见误区1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，要特别注意M >0的条件，当n ∈N *，且n 为偶数时，在无M >0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |.2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a >1及0<a <1进行分类讨论．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是相等函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．log 29·log 34＝( ) A ．14 B ．12 C ．2D ．4解析：选D.原式＝log 232×log 322＝4log 23×log 32＝4×lg 3lg 2×lg 2lg 3＝4. 3．函数y ＝log 2(x ＋1)的图象大致是( )解析：选C.函数y ＝log 2(x ＋1)的图象是把函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C.4．(易错题)函数f (x )＝1lg （x ＋1）＋2－x 的定义域为________．解析：由f (x )＝1lg （x ＋1）＋2－x ，得⎩⎨⎧x ＋1>0，lg （x ＋1）≠0，2－x≥0，得x ∈(－1，0)∪(0，2]．答案：(－1，0)∪(0，2]5．(易错题)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或a ＝12.答案：2或12对数式的化简与求值[题组练透]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19 C.18D.16解析：选B.方法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B.方法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log34＝log 43，所以4a2＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log34＝log39log34＝log 49，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法五：令4－a ＝t ，两边同时取对数得log 34－a ＝log 3t ，即a log 34＝－log 3t ＝log 31t ，因为a log 34＝2，所以log 31t ＝2，所以1t ＝32＝9，所以t ＝19，即4－a ＝19，故选B.方法六：令4－a ＝t ，所以－a ＝log 4t ，即a ＝－log 4t ＝log 41t .由a log 34＝2，得a ＝2log34＝log39log34＝log 49，所以log 41t ＝log 49，所以1t ＝9，t ＝19，即4－a ＝19，故选B. 2．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12. 答案：12 3．计算：(1)⎝⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12；(2)（1－log63）2＋log6 2·log618log64.解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．对数函数的图象及应用(1)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为____________．【解析】 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象大致为选项B.(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知，只需两图象在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22.【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )解析：选 C.函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；函数y ＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.选C.对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b【解析】因为23<32，所以2<323，所以log 32<log 3323＝23，所以a <c .因为33>52，所以3>523，所以log 53>log 5523＝23，所以b >c ，所以a <c <b ，故选A.【答案】 A比较对数值的大小的方法角度二解简单的对数不等式或方程(1)已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3x ，则满足不等式f (x )>0的x的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f (a )<f (－a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，所以满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．(2)由f (a )<f (－a )得⎩⎨⎧a>0，log2a<log 12a 或⎩⎨⎧a<0，log2（－a ）>log 12（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a<－log2a 或 ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log2（－a ）>－log2（－a ），解得0<a <1或a <－1. 【答案】 (1)(－1，0)∪(1，＋∞)(2)(－∞，－1)∪(0，1)解对数不等式的函数及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．角度三对数型函数的综合问题(1)(多选)已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(2，6)上单调递减D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】 (1)f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)BD (2)A解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．已知函数f (x )＝log 2(1＋2－x )，则函数f (x )的值域是( ) A ．[0，2) B ．(0，＋∞) C ．(0，2)D ．[0，＋∞)解析：选B.f (x )＝log 2(1＋2－x )，因为1＋2－x >1，所以log 2(1＋2－x )>0，所以函数f (x )的值域是(0，＋∞)，故选B.2．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填“<”“＝”或“>”)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，所以a ＋1>2.因为f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)．答案：<3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3，4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎨⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞思想方法系列5 换元法的应用换元法又称变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将题目变为熟悉的形式，简化复杂的计算和推证．若x ，y ，z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝12z ，x ＋yz ∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】设3x ＝4y ＝12z ＝t (t >1)，则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 12t ，所以x ＋y z ＝log3t ＋log4t log12t ＝log3t log12t ＋log4t log12t ＝log 312＋log 412 ＝2＋log 34＋log 43.因为1<log 34<2，0<log 43<1，所以1<log 34＋log 43<3.又log 34＋log 43>2log34·log43＝2，所以4<2＋log 34＋log 43<5，即x ＋yz ∈(4，5)．所以n ＝4. 【答案】 C换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中再研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于研究指数型、对数型函数的性质、三角函数式的化简求值、解析几何中计算等．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－14[A 级基础练]1．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n ＝( ) A ．3 B ．34 C ．9D ．92解析：选D.因为log a 12＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝12，a n ＝3. 所以a m ＋2n ＝a m ·a 2n ＝a m ·(a n )2＝12×32＝92.2．函数y ＝log3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2]B ．[1，2)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x －1）≥log 313，x>12，解得x ≥23.故选C.3．(2021·河北九校第二次联考)设a ＝4－12，b ＝log 1213，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B.a ＝4－12＝1412＝12，b ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，c ＝log 32>log 33＝12，且c ＝log 32<log 33＝1，即12<c <1，所以a <c <b ，故选B.4.(多选)在同一平面直角坐标系中，f (x )＝kx ＋b 与g (x )＝log b x 的图象如图，则下列关系不正确的是( )A ．k ＜0，0＜b ＜1B ．k ＞0，b ＞1C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x g (1)＞0(x ＞0)D ．x ＞1时，f (x )－g (x )＞0解析：选ABC.由直线方程可知，k ＞0，0＜b ＜1，故A ，B 不正确；而g (1)＝0，故C 不正确；而当x ＞1时，g (x )＜0，f (x )＞0，所以f (x )－g (x )＞0.所以D 正确．5．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1，1)上单调递增解析：选BC.函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数，所以A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；因为1－|x |≤1，所以h (x )≤log 21＝0，故C 正确． 6．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________．解析：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log2m ＋1log5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 答案：107．(2021·贵州教学质量测评改编)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．解析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a 1－89＝－89，可知定点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－89.点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1.所以f (x )＝3x －1，则f (log 32)＝3log 32－1＝2－1＝1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89 18．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x>1，ex －2，x≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2，x>1，ex －2，x≤1.当x >1时，y ＝ln x ＋2>2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞) 9．已知函数f (x －3)＝log a x6－x (a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u 3－u(a >0，a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (a >0，a ≠1，－3<x <3)．(2)f (x )是奇函数，理由如下：因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3，3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，3－x>0，得－1<x <3，所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 级综合练]11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.12．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log2（x －1），x>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x≤1，则()A ．若f (a )＝1，则a ＝0B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0202 019＝2 019C ．若f (f (a ))＝2－f (a )，则0≤a ≤3D ．若方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则k ≥1解析：选BC.由f (a )＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log2（a －1）＝1或⎩⎨⎧a≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝1，解得a ＝3或a ＝0，故选项A 不正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0202 019＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log212 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log212 019＝2log 22 019＝2 019，选项B 正确；f (f (a ))＝2－f (a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f （a ），所以f (a )≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log2（a －1）≤1或⎩⎨⎧a≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ≤1，解得0≤a ≤3，选项C 正确；作出函数f (x )的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f (x )＝k 有两个不同的实数根时，k ≥12，选项D 不正确．13．已知函数f (x )＝－log 2x ，则下列四个结论中正确的是________．(填序号) ①函数f (|x |)为偶函数；②若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1；③函数f (－x 2＋2x )在(1，3)上单调递增．解析：对于①，f (|x |)＝－log 2|x |，f (|－x |)＝－log 2|－x |＝－log 2|x |＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，故①正确；对于②，若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则f (a )＝|f (b )|＝－f (b )，即－log 2a ＝log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0，得到ab ＝1，故②正确；对于③，函数f (－x 2＋2x )＝－log 2(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，所以函数f (－x 2＋2x )的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．答案：①②14．已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．解：(1)因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，求得a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0为所求．(2)因为函数f (x )的定义域是一切实数，所以12x ＋a >0恒成立．即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0即可．(3)由已知得函数f (x )是减函数．故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎨⎧a ＋12>0，a ＋1≥4a ＋2.故－12<a ≤－13.[C 级创新练]15．形如y ＝1|x|－1的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f (x )＝log a (x 2＋x ＋1)(a >0，a ≠1)有最小值，则“囧函数”与函数y ＝log a |x |的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选 C.令u ＝x 2＋x ＋1，则函数f (x )＝log a u (a >0，a ≠1)有最小值．因为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以当函数f (x )是增函数时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上有最小值；当函数f (x )是减函数时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上无最小值．所以a >1，此时“囧函数”y ＝1|x|－1与函数y ＝log a |x |在同一平面直角坐标系内的图象如图，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.故选C.16．我们知道，互为反函数的指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称；而所有偶函数的图象都关于y 轴对称．现在我们定义：如果函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，即已知函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，若y ＝f (x )，x ＝f (y )也成立，则称函数f (x )为“自反函数”．显然斜率为－1的一次函数f (x )＝－x ＋b 都是“自反函数”，它们都是单调递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f (x )＝kx (k ≠0)是“自反函数”．“自反函数”f (x )＝kx (k ≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当k >0时，f (x )＝k x 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；当k <0时，f (x )＝kx 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数；f (x )＝kx (k ≠0)是奇函数，但不是周期函数．。

江苏省盐城市射阳县第二中学苏教版高中数学必修一《3.2对数函数》学案(3)

主备人：袁彩伟序号： 272015-2016版高中数学必修一对数函数（3）第11课时班级组号姓名学号预习案【课题】：对数函数（3）【学习目标】：1、进一步理解对数函数的概念和性质,2、能熟练运用对数函数的图象和性质解题。

【重点难点】：运用对数函数的图象和性质解题。

【预习导学】一．【预习检测】1。

函数2lg(2)y x x =-的定义域是________ , 值域是_______ ，单调增区间是________ .2。

已知log4log 40m n <<, 则m 、n 的大小关系为_____________ .3.若函数()y f x =是奇函数，且当0x >时,()lg f x x x =+, 则当0x <时， ()f x 的解析式为____________ .4。

设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，满足()f x =41的x 的值为 5.若函数1()log()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1],则a=6．若函数y=log 2｜ax －1|图象的对称轴方程x=－2，则a=________________.探究案探究一：判断下列函数的奇偶性（1）1()lg 1x f x x-=+ (2)()lg(x f x =+探究二：已知函数()lg(42)xf x k =-⋅，（其中k 实数） (Ⅰ)求函数)(x f 的定义域;（Ⅱ）若)(x f 在(],2-∞上有意义，试求实数k 的取值范围．探究三:已知20.50.52(log )7log 30x x ++≤, 求函数2()(log)2x f x =·2(log )4x 的最值。

主备人：袁彩伟序号：272015-2016版高中数学必修一对数函数(3）作业第11课时班级组号姓名学号一、填空题1.比较大小33.0，3.0log 2，3log 3_________________________(从大到小）2.已知{}2log2,(,)A x x B a =≤=-∞,若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞,其中c =3. 342log 5_____2log 3 (填不等号）4。

江苏省射阳县第二中学高考数学一轮复习导数导学案(无答案)

《导数的概念及其运算》活动导学案【学习目标】1、会用导数定义、导数公式以及导数运算法则求函数的导数；2、会根据导数的几何意义求有关切线的问题.【重难点】导数的几何意义【活动过程】一、自学质疑1.已知函数xy 11+=，则)(x f 在区间]2,1[上的平均变化率为 . 2.一物体的运动方程是2235t t s +=，则物体在s t 1=时的瞬时速度为 s m /. 3.曲线x e y =在点)1,0(A 处的切线方程为 .4.已知直线a x y +=与曲线x y ln =相切，则=a . 5．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________. 二、互动质疑问题1、瞬时变化率即导数：某物体在t （单位：s ）时离出发点的距离（单位：m ）是t t t t f 232)(23++=. （1）求在第s 1内的平均速度；（2）求在s 1末的瞬时速度；（3）经过多少时间物体的运动速度达到14s m /.问题2. 导数的运算：求下列函数的导数(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .(5)y ＝(2x －3)5； (6)y ＝3－x ； (7)y ＝ln(2x ＋5)．问题3、导数的几何意义.已知直线l 与曲线x x x y 2323+-=相切，分别求直线l 的方程，使之满足：（1）切点为)0,0(；（2）经过点)0,0(.问题4.已知函数bx ax x f +=2)(，且)(x f 的图象在1-=x 处与直线2=y 相切. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若),(00y x P 为)(x f 图象上的任意一点，直线l 与)(x f 的图象切与点P ，求直线l 的斜率k 的取值范围.变式训练：（1）求曲线x x y 33-=上一点P ，使得过点P 的切线平行于直线x y 9=（2）求抛物线2x y =上点到直线02=--y x 的最短距离.三、检测反馈1.曲线x e y =在点),2(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .2.已知函数221)0()(x x f e x f x +-=，则=)1('f . 3.已知函数14)(+=x xe e xf ，则)(x f 的导函数)('x f 的值域为 . 设P 是函数)1(+=x x y 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线倾斜角为θ，则θ的取值范围是 .。

苏教版数学高一《对数函数》精品导学案

3、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，且对任意的x、y>0满足f( )=f(x)－f(y)，当x>1时有f(x)<0，试判断f(x)的单调性并证明.
4、已知函数，
当时，恒成立，求实数的取值范围。
【课堂小结】：
【课后反思】：
三、对数函数与恒成立问题
例3: 已知：在上恒有，求实数的取值范围。
分析：去掉绝对值符号，函数f(x)满足f(x+y)+f(x－y)=f(x2－y2)，则f(x)可以是( )
A.f(x)=2xB.f(x)=x2C.f(x)=log2xD.f(x)=2x
二、以对数函数为模型的抽象函数问题
例2、已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0；(2)求f(16)；(3)试证f(xn)=nf(x)，n∈N*.
思维分析：这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件，可以将对数函数y=log4x作为该函数的原型，从而找到问题的解决思路与方法
对数函数（4）
【学习导航】
学习目标
1、进一步巩固对数函数的性质；
2、掌握简单的对数不等式求解方法；
3、掌握对数函数与恒成立问题。
【互动探究】
一、对数不等式的求解方法
例1、解关于x的对数不等式；
2 loga(x－4)>loga(x－2).
思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a的取值范围不确定，故应进行分类讨论。

江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮教学资料幂函数活动导学案(无答案)

《幂函数》活动导学案
【学习目标】
1.了解幂函数定义，并能求简单幂函数
2.了解简单幂函数性质
【重难点】总结归纳幂函数相关性质【活动过程】
数的图像与性质
1.幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的解析式为______________________．
2．(2013·南通二调)已知幂函数f (x )＝k ·x α
的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.
3.图中曲线是幂函数y ＝x α
在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，
则相应于
曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为____________．
4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3552，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2553，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2552
，则a ，b ，c 的大小关系是________．
二、互动研讨
活动一、已知函数f (x )＝(m 2
－m －1)x －5m －3
，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？
三、检测反馈
1、（2011江苏8）在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2
)(
的图象交于P 、Q
两点，则线段PQ 长的最小值是________.
2、幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－1
8)，则满足f (x )＝27的x 的值是__________．。

高三数学对数函数导学案苏教版

对数函数一、考纲要求：对数函数的图像与性质B二、复习目标：理解对数函数的概念；理解对数函数的图像和性质；掌握对数函数图像通过的特殊点。

三、重点难点：对数函数的图像与性质。

四、要点梳理：1、对数函数的概念：：一般地，函数___________________________叫对数函数，它的定义域是__________，它的值域是__________，它的图象恒过定点_________。

2、对数函数的性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）过点；（4）当1>a 时，在),0(+∞上是函数；当10<<a 时，在),0(+∞上是函数。

3、底数互为倒数的两个对数函数的图像关于对称。

五、基础自测：1、函数12()log (1)1,f x x =--的定义域为__________ ；值域为__________；()f x 的图象恒过定点 __________.2、函数212()log (32)f x x x =-+的递增区间是__________.3、设e c e b e a lg ,)(lg ,lg 2===，则c b a ,,的大小关系为。

4、函数x x y +-=22log 2的图像关于对称。

5、已知函数log a y x =，log b y x =，log c y x =， log d y x =的图象如图分别是曲线1234,,,C C C C ,试判断,,,,0,1a b c d 的大小关系6、比较下列各组数值的大小(1) 2log 2log 3log 2__________2log 3(3) 2log 5__________3log 5六、典例精讲:例1、（1）若log 5log 50a b <<，试比较,,1a b 的大小。

变题：若log 5log 5a b <，试比较,,1a b 的大小。

（2）设函数()|lg |f x x =，若10a b a<<<，试比较()f a 与()f b 的大小。

江苏省射阳县第二中学高三数学一轮复习第7课时对数函数作业苏教版

江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮复习第7课时对数函数作业苏教版1．函数y ＝1－x ＋的定义域为________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________.3．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为________．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，log 2－x ，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是____________．5．(2014·常州期末)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，f x k ，k ， f x k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为________．9．(2013·徐州联考)函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．10．(2014·无锡模拟)若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)，x 的取值范围是________．11．(2014·长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域．(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．12．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．。

江苏省射阳县第二中学高三数学一轮复习三角函数的图像和性质学案苏教版

江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮复习三角函数的图像和性质作业
苏教版
1.理解正弦函数、余弦函数在],0[π上的图象和性质，理解正切函数在)2,2(ππ-上的图象和性质.
2.利用三角函数的图象和性质解决相关的问题.
【学习目标】
1.会画x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象，能根据图象理解它们的性质.
2.能够利用图象和性质解决问题.
活动过程
活动一、知识回顾
活动二、课前测试
1.函数)32sin(π
+=x y 的单调增区间为 .
2.函数)62tan(π
-=x y 的定义域为 .
3.函数)32cos(π+=x y 在区间]6,3[π
π
-上的值域为 .
4.函数)2sin(5θ+=x y 关于y 轴对称，则=θ .
活动三、问题探究
问题1.求函数)3sin 2lg(cos 21-+-=x x y 的定义域.
变式训练：求函数2251
cos )(x x x f -+=的定义域.
问题2.求函数44,sin 2cos 2π
π≤≤-+=x x a x y 的值域.
问题3.判断函数的奇偶性：
（1）2sin 2sin -=x x
y ；（2）x x x f cos sin 1log )(2-=；（3）)cos()(2
π--=x x x f
问题4.已知向量)sin ,41
(),cos ,1(x b x a -==→→.
（1）当]4,0[π
∈x 时，若→
→⊥b a ，求x 的值；
（2）定义函数R x b a a x f ∈-⋅=→
→→),()(，求)(x f 最小正周期及最大值.。

苏教版数学高一《对数函数》同步导学案

(1)如果f(x)的定义域是(－∞,＋∞)，求a的取值范围；
(2)如果f(x)的值域是(－∞,＋∞)，求a的取值范围．
【迁移应用】
1.比较下列各组值的大小：
（1），；
（2），，；
2.解下列不等式：
（1）（2）
3.画出函数与的图象，并指出这两个函数图象之间的关系。
4.怎样由对数函数的图像得到下列函数的图像？
4.说明：上述变换称为___________。
【互动探究】
例1：说明下列函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：
(1) ； (2) ；
(3) ；(4)
例2：求下列函数的定义域பைடு நூலகம்值域：
（1）；（2）；（3）（且）．
例3：设f(x)＝lg(ax2－2x＋a),
(1) ；
(2) ；
5.已知，比较，的大小。
6.已知，则，的大小又如何？
【课堂小结】
【课后反思】
对数函数（2）
【学习导航】
学习目标
1.复习巩固对数函数的图象和性质；
2.会求一类与对数函数有关的复合函数的定义域、值域等；
3.了解函数图像的平移变换、对称变换、绝对值变换．
【新课导学】
1．函数的图象是由函数
的图象
2.函数的图象是由函数的图象得到。
3.函数（）的图象是由函数的图象当时先向__平移__个单位，再向___平移___个单位得到;当时先向___平移____个单位，再向__平移__个单位得到;当时先向__平移__个单位，再向__平移___个单位得到;当时先向___平移___个单位，再向__平移____个单位得到。

江苏省盐城市时杨中学高三数学一轮复习导学案对数运算

对数运算(1)班级：高一（）班姓名__________一、基础题1、若33log =x ，则=x2、若)1(log 3a -有意义，则a 的范围是3、把下列指数式与对数式进行互化：（1）3)31(=x（2）644=x（3）3271log 3-=4、求下列各式的值（1）9log 3（2）9log 31（3）8log 32二、提高题5、已知48log 2=x ，求x 的值6、已知0)](lg [log log 25=x ，求x 的值6、已知.,0,1,0R b N a a ∈>≠>（1）2log a a =_________ 5log a a =_________ 3log -a a =_________ 51log a a =________ 一般地，b a a log =__________，请证明这个结论；（2）证明：N a Na =log三、能力题7、已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值。

对数运算(2)一、基础题1、下列等式中，错误的是______________ （1）3log 53log 252= （2）12lg 20lg =- （3）481log 3= （4）24log 21=2、)223(log )12(+-的值为_____________3、已知c b a x lg 21)lg 3(lg 2lg -+=，则=x _________4、化简=+-498lg 498lg 2____________5、已知4771.03lg ,3010.02lg ==，求45lg （结果保留4位小数）。

二、提高题6、已知b a ==3lg ,2lg ，试用b a ,表示下列各对数。

（1）108lg（2）2518lg7、计算：（1）25lg 50lg 2lg 20lg 5lg -⋅-⋅ （2）1lg 872lg 49lg 2167lg214lg +-+-三、能力题8、设y x y x lg lg )2lg(2+=-，求)(log12-⋅y x 的值。

江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮教学资料三角函数的概念活动导学案(无答案)

《三角函数的概念》活动导学案【学习目标】1、理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算；2、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.3、掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．【重难点】任意角三角函数定义【课时安排】1课时【活动过程】一、自学质疑终边相同的角：所有与角α终边相同的角的集合弧度角度的换算：360°＝弧度；180°＝弧度；②弧长公式： ③扇形面积公式三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边上一点P (x ，y )（不同于原点），则sin α＝，cos α＝，tan α＝．1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是．2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是． 3．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是______________．4．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ．5．若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限．二、互动研讨：探究一1. 若角α是第二象限角，则sin 2α，cos2α，sin2α，cos 2α，tan 2α中能确定是正值的有__ 个．2.若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________． 3.tan(3)sin 5cos8-的符号为． 4.一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？探究二 1.角α的终边过点)2,1(-，则=αsin .2.已知扇形的周长是cm 6，面积是22cm ，则此扇形的圆心角的弧度数是 .3.已知角α的终边经过点)0)(12,5(<-m m m ，则=+ααcos 3sin .4.已知角α的终边在直线x y 3=上，则=αcos .5.已知α是第一象限角，问：（1）α2是第几象限角？（2）2α是第几象限角？6.已知542cos ,532sin -==αα，试判断角α的终边在第几象限？7.若一扇形的周长是cm 16，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大值为多少？8.已知角α是第二象限角，且点)5,(x P 是角α终边上一点，且x 42cos =α，求αsin 的值.探究三1.已知角θ的终边上一点)2,(-m P ，且4=OP ，则=θtan .2.已知角α的终边经过点)2,93(+-a a ，若0sin ,0cos >≤αα，则实数a 的取值范围是 .3.函数x y sin lg =的定义域为 .4.若x x --=432cos α，且角α是第二或第三象限角，则实数x 的取值范围是 .5.已知角α终边上一点),3(y P -，且y 42sin =α，求αcos 和αtan .6.已知0tan ,0sin ><αα.（1）求角α的取值集合；（2）求角2α所在的象限；（3）是判断2cos 2sin 2tan ααα的符号.探究四（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；（2）已知角α的终边在一条直线y =上，求sin α，tan α的值．(3)已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，求k 的值．(4)如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在O Θ上,点 A 34(,)55,点B 在第二象限,点C (1,0). （Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值；（Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.检测反馈1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是________．2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．5．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________． 6．(2014·扬州质检)已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝______.。

江苏省盐城市射阳县第二中学苏教版高中数学必修一《3.2对数》学案(1)

主备人：袁彩伟序号： 232015-2016版高中数学必修一对数（1）第7课时班级组号姓名学号预习案【课题】：对数（1)【学习目标】 1.理解对数的概念2。

会熟练地进行指数式与对数式的互化3.会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值【重点难点】对数的概念的理解【预习导学】一.预习范围：7274p二.预习知识对数的概念、自然对数、常用对数1．对数的概念2．常用对数与自然对数3.对数式与指数式的关系指数式与对数式的互化：a b ＝N 与 ____________三【预习检测】1.根据对数的定义, 写出下列各对数的值（a>0且a≠1）log 10100=___log 255=___log 51=_____。

log 33=___log 313=____log a 1=_____ log a a = __. 2.填空探究案探究一：指数式与对数式的互化（1)将下列指数式改写成对数式.(1） 24=16 （2) 3－3=271 (3) 5a =20 (4）（21）b =0.45(2）将下列对数式改写成指数式。

（1） log 5125=3 （2)log32=- （3）lg a =－1.699 （4）ln12=b探究二：求值1、求值(1) log 264 （2) log 927 （3）(2log (2（4) 25log 22 (5）712log 57-2、求下列各式中的x 的值（1）log 3x=—3 (2）log x 3=12（3)22(21)log (321)1x x x -+-= （4） 54log (log )1x =探究三：求下列各式中的x 的范围．（1）2(1)log (38)x x +-+; (2)(21)log (2)x x -+主备人：袁彩伟序号：232015—2016版高中数学必修一对数(1）作业第7课时班级组号姓名学号一、填空题1．将指数式31464-=改写成对数式为。

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第7讲对数与对数函

第七讲对数与对数函数知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一对数与对数运算 1．对数的概念(1)对数的定义：如果a x＝N(a ＞0,且a≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x ＝log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数．(2)几种常见对数2.(1)对数的性质： ①log a 1＝0；②log a a ＝1(其中a>0且a≠1)． (2)对数恒等式： alog a N＝N ．(其中a>0且a≠1,N>0)(3)对数的换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a,b 均大于零且不等于1,N>0)．(4)对数的运算法则：如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝nlog a M (n∈R)．知识点二对数函数的图象与性质 1．对数函数的定义、图象和性质性质定义域：(0,＋∞) 值域：(－∞,＋∞) 当x ＝1时,y ＝0,即过定点(1,0)当0＜x ＜1时,y<0；当x ＞1时,y ＞0 当0＜x ＜1时,y ＞0；当x ＞1时,y ＜0 在(0,＋∞)上为增函数在(0,＋∞)上为减函数2．反函数指数函数y ＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．重要结论1．指数式与对数式互化2．换底公式的两个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b.其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y ＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M ＝N,则log a M ＝log a N(a>0,a≠1)．( × ) (2)若MN>0,则log a (MN)＝log a M ＋log a N.( × )(3)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( × ) (4)y ＝log 2x 2不是对数函数,而y ＝log 2(－x)是对数函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )(6)2lg 3≠3lg 2.( × )[解析] (4)y ＝log 2(－x)不是对数函数． (6)设2lg 3＝M,3lg 2＝N,则lg M ＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N,∴M＝N.题组二走进教材2．(必修1P 75T11改编)写出下列各式的值： (1)log 222＝－12； (2)log 53＋log 513＝0；(3)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1；(4)(log 29)·(log 34)＝4．[解析] (1)log 222＝log 22－12 ＝－12；(2)log 53＋log 513＝log 51＝0；(3)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 10－2＝－1；(4)解法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.解法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.3．(必修1P 74AT4改编)若lg 2＝a,lg 3＝b,则lg 12的值为( C ) A ．a B ．b C ．2a ＋bD ．2ab[解析] 因为lg 2＝a,lg 3＝b,所以lg 12＝lg (4×3)＝2lg 2＋lg 3＝2a ＋b.故选C ． 4．(必修1P 74AT7改编)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. [解析] log 23(2x －1)≥0,即0<2x －1≤1,解得12<x ≤1,定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 5．(必修1P 75AT10改编)已知图中曲线C 1,C 2,C 3,C 4是函数y ＝log a x 的图象,则曲线C 1,C 2,C 3,C 4对应的a 的值依次为( B )A ．3,2,13,12B ．2,3,13,12C ．2,3,12,13D ．3,2,12,13[解析] 解法一：因为C 1,C 2为增函数,可知它们的底数都大于1,又当x>1时,图象越靠近x 轴,其底数越大,故C 1,C 2对应的a 值分虽为2,3.又因为C 3,C 4为减函数,可知它们的底数都小于1,此时x>1时,图象越靠近x 轴,其底数越小,所以C 3,C 4对应的a 分别13,12.综上可得C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次为2,3,13,12.解法二：可以画直线y ＝1,看交点的位置自左向右,底数由小到大．题组三走向高考6．(2020·课标Ⅲ,10,5分) 设a ＝log 32,b ＝log 53,c ＝23,则( A )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b[解析] 因为a ＝log 32＝log 338<log 339＝23＝c,b＝log53＝log5327>log5325＝23＝c,所以a<c<b.故选A．7．(2017·全国卷Ⅱ,5分)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( D )A．(－∞,－2) B．(－∞,1)C．(1,＋∞) D．(4,＋∞)[解析]由x2－2x－8>0,得x<－2或x>4.因此,函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞,－2)∪(4,＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4,＋∞)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4,＋∞),选D．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一对数与对数运算——自主练透例1 (1)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝32．(2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝54．(3)(2021·保定模拟)设2a ＝5b＝m,且1a ＋1b ＝2,则m ＝10．(4)若log a 2＝m,log a 3＝n,则a2m ＋n＝12,用m,n 表示log 46为m ＋n2m．[解析] (1)解法一：原式＝lg （33）12＋lg 23－3lg 1012lg3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32（lg 3＋2lg 2－1）lg 3＋2lg 2－1＝32.解法二：原式＝32lg 3＋32lg 4－32lg 1.2＝32lg 1.2lg 1.2＝32.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. (3)因为2a＝5b＝m,所以a ＝log 2m,b ＝log 5m,所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2,所以m 2＝10,m ＝10.(4)因为log a 2＝m,log a 3＝n,所以a m＝2,a n＝3,a 2m ＋n＝(a m )2×a n ＝22×3＝12,log 46＝log a 6log a 4＝log a 2＋log a 32log a 2＝m ＋n 2m .故填12；m ＋n2m.考点二对数函数的图象与性质考向1 对数函数的图象及其应用——师生共研例2 (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y ＝1a x ,y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a>0,且a≠1)的图象可能是( D )(2)(2020·合肥月考)当0<x≤12时,4x<log a x(a>0且a ≠1),则实数a 的取值范围是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1,2)D ．(2,2)[解析] (1)解法一：当a>1时,函数y ＝a x的图象过定点(0,1),在R 上单调递增, 于是函数y ＝1ax 的图象过定点(0,1),在R 上单调递减,函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增．显然A 、B 、C 、D 四个选项都不符合．当0<a<1时,函数y ＝a x的图象过定点(0,1),在R 上单调递减．于是函数y ＝1ax 的图象过定点(0,1),在R 上单调递增,函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减．因此,选项D 中的两个图象符合,故选D ．解法二：易知a 与1a 必有一个大于1,一个小于1,则f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 与g(x)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在各自定义域内单调性相反,可排除B ；由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0可排除A 、C ．故选D ．(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝log a x,当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象,可知,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,即2<log a 12,则a>22,所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 本题还有以下解法：因为0<x≤12,所以1<4x≤2,所以log a x>4x>1,所以0<a<1,排除选项C,D ；取a ＝12,x ＝12,则有412＝2,log 1212＝1,显然4x<log a x 不成立,排除选项A ．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解．〔变式训练1〕(1)函数f(x)＝log a |x|＋1(0<a<1)的图象大致为( A )(2)若不等式x 2－log a x<0对x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立,则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1．[解析] (1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y 轴对称．设g(x)＝log a |x|,先画出x>0时,g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合图象知选A ．(2)由x 2－log a x<0 得x 2<log a x,设f 1(x)＝x 2,f 2(x)＝log a x,要使x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时,不等式x 2<log a x 恒成立,只需f 1(x)＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x)＝log a x 图象的下方即可．当a>1时,显然不成立；当0<a<1时,如图所示,要使x 2<log a x 在x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立,需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12, 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12,解得a≥116,所以116≤a<1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.考向2 对数函数的性质及其应用——多维探究角度1 比较对数值的大小例3 (2020·课标Ⅲ,12,5分)已知55<84,134<85.设a ＝log 53,b ＝log 85,c ＝log 138,则( A ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．b<c<aD ．c<a<b[解析] a ＝log 53∈(0,1),b ＝log 85∈(0,1),则a b ＝log 53log 85＝log 53·log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422<1,∴a<b.又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85),即log 138>45,∴c>45.又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885,即log 85<45,∴b<45.综上所述,c>b>a,故选A ．角度2 利用对数函数单调性求参数的取值范围例4 (2021·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log 0.5(x 2－ax ＋3a)在[2,＋∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞,4]B ．[4,＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4][分析] 函数f(x)＝log 0.5(x 2－ax ＋3a)在[2,＋∞)上单调递减,说明在[2,＋∞)上,函数t ＝x 2－ax ＋3a>0成立,且为增函数．[解析] 函数f(x)＝log 0.5(x 2－ax ＋3a)在[2,＋∞)上单调递减⇒函数t ＝x 2－ax ＋3a 在[2,＋∞)上单调递增,且t>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋3a>0，a 2≤2⇒－4<a≤4.故选D ．角度3 简单对数不等式的解法例5 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是( C )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－log 2（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0.故选C ．另解：令a ＝2,由f(2)＝1>f(－2)＝－1,排除A 、D ．令a ＝－2,由f(－2)＝－1<f(2)＝1,排除B,∴选C ．名师点拨 MING SHI DIAN BO1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较；(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较．2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·天津,6,5分)设a ＝30.7,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8,c ＝log 0.70.8,则a,b,c 的大小关系为( D )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．b<c<aD ．c<a<b(2)(角度2)若函数f(x)＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2,m ＋2)内单调递增,则实数m 的取值范围为( C )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (3)(角度3)(2021·河南信阳质量检测)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)内单调递增．若实数a 满足f(log 4a)＋f(log 0.25a )≤2f(1),则a 的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 [解析] (1)由函数y ＝3x 单调递增,函数y ＝log 0.7x(x>0)单调递减,可知a ＝30.7>30＝1,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8＝30.8>30.7＝a,c ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1,即c<1<a<b,故选D ．(2)由题意得：y ＝log 12(－x 2＋4x ＋5)增区间为(2,5),所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2m ＋2≤53m －2<m ＋2,解得m∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2,故选C ． (3)∵log 0.25a ＝log 14a ＝－log 4a 且f(x)为偶函数,∴f(log 4a)＋f(log 0.25a )≤2f(1)可化为f(log 4a )≤f(1),又f(x)在[0,＋∞)内单调递增,∴|log 4a|≤1,∴log 414＝－1≤log 4a ≤1≤log 44,∴14≤a ≤4,故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG有关对数运算的创新应用问题例6 (2020·全国新高考Ⅰ,6)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：I(t)＝e rt 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 ＝1＋rT 有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28,T ＝6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( B )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 [解析] 因为R 0＝3.28,T ＝6,T 0＝1＋rT,所以r ＝3.28－16＝0.38, 所以I(t)＝e rt ＝e 0.38t ,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天,则e0.38(t ＋t 1)＝2e0.38t ,所以e0.38t 1＝2,所以0.38t 1＝ln 2,所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8天．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在解决对数的化简与求值问题时,要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式,同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化,有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．〔变式训练3〕里氏震级M 的计算公式为M ＝lg A －lg A 0,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A 0是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10_000倍．[解析] 根据题意,由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级,因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震的最大振幅为A 9,则lg A 9－lg 0.001＝9,解得A 9＝106,同理5级地震的最大振幅A 5＝102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．。

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