4.8等差、等比数列

合集下载

（经典整理）等差、等比数列的性质

（经典整理）等差、等比数列的性质第一篇：(经典整理)等差、等比数列的性质等差、等比数列的性质一：考试要求1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项二:知识归纳（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等差数列．2．等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 3．等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am⋅an=ap⋅aq4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等比数列．5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an±bn}仍为等差数列．⎧an⎫⎧1⎫6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an⋅bn}、⎨⎬、⎨⎬仍为等比数⎩bn⎭⎩bn⎭列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．三：例题诠释，举一反三例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=________B3A33A3例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．130B．170C．210D．260变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=Snn}1k,ak=1m,则该数列前mk项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m ＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则a9a11的值为()A．4B．2C．－2D．－4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1 例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．变式1已知数列{an}中，a1=35，an=2-1an-1(n≥2,n∈N+)，数列{bn}满足bn=1an-1(n∈N+)（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由变式2设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3=24,s11=0，求：①数列{an}的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝(n∈N*)．an-1(1)求证数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11(1)求证数列－1}是等比数列；ann(2)求数列{前n项的和an变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．变式3.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2（1）设bn=nan2n-1,证明{bn}是等差数列;（2）求数列{an}的前n项和Sn。

等差数列与等比数列的通项公式求法总结

等比数列的通项公式
定义：等比数列中任意一项与它的前一项的比值是常数
公
式
：
an=a1*q^(n-
1)，其中a1是首
项，q是公比
推导：由等比数列的定义和性质，通过累乘法或迭代法得到通项公式
应用：用于求解等比数列中的任意一项，以及解决与等比数列相关的数学问题
公式推导过程
设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项为a1*q^(n-1) 利用等比数列的性质，可以推导出等比数列的通项公式为a1*q^(n-1) 公式推导过程中需要注意公比的取值范围，当公比为1时，等比数列变为等差数列公式推导过程中还需要注意等比数列的性质，即每一项与前一项的比值都相等
式
：
an=a1*q^(n-1)
推导过程：利用等差数列和等比数列的定义，通过数学归纳法或极限法推导出变式公式
运用：在解决实际问题时，根据已知条件选择合适的变式公式进行计算，提高解题效率
等差数列的实际应用案例
银行存款：计算利息股票投资：计算股票价格保险费用：计算保险费工资计算：计算工资总额
公式形式上的异同
等比数列通项公式： an=a1*q^(n-1)
相同点：都包含首项a1和公差或公比
等差数列通项公式： an=a1+(n-1)d
不同点：等差数列通项公式包含项数n，等比数列通项
公式包含幂指数(n-1)
应用场景的异同
等差数列：常用于描述连续变化的量，如温度、人口增长等
等比数列：常用于描述连续增长的量，如复利、人口增长等
WPS,a click to unlimited possibilities
汇报人：WPS

等差等比数列性质总结

等差数列性质总结1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

等差数列和等比数列的求和公式与应用

等比数列的求和公式
定义：等比数列的求和公式是指将等比数列中的所有项加起来所得到的和。
公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) 其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
应用：等比数列的求和公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如在解决贷款还款问题、计算复利、解决几何级数增长问题等方面。
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差相等
应用：等差数列的求和公式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用
添加标题
添加标题
求和公式：Sn=n/2*(a1+an)
添加标题
添加标题
推导过程：通过倒序相加法、裂项相消法等技巧推导得到等差数列的求和公式
求和公式的应用
计算等差数列的和解决与等差数列相关的数学问题应用于物理、化学等其他领域拓展到等比数列的求和公式
统计学：在统计学中，等差数列和等比数列常用于描述数据分布、抽样调查和概率计算等方面。
感谢您的观看
汇报人：XX
等差数列和等比数列的求和公式与应用
XX,a click to unlimited possibilities
汇报
02
等比数列的求和公式
03
等差数列与等比数列的应用实例
01 等差数列的求和公式
等差数列的定义
等差数列：每一项与它的前一项的差等于同一个常数的
02 等比数列的求和公式
等比数列的定义
等比数列：每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数的数列
首项：a1
公比：q
通项公式： an=a1*q^(n-1)
等比数列的通项公式
定义：等比数列中任意一项与首项的比值相等公式：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比推导：由等比数列的定义和性质推导得出应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用

(完整版)等差等比数列知识点总结

1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=．从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

证明或判断等差(等比)数列的四种方法

证明或判断等差(等比)数列的四种方法
判断等差数列的四种方法：
公差相等法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。

通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，则该数列为等差数列。

前后项差值法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。

证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 - an = d，则可以通过归纳法证明该数列是等差数列。

判断等比数列的四种方法：
公比相等法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。

通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，则该数列为等比数列。

前后项比值法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。

证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 / an = r，则可以通过归纳法证明该数列是等比数列。

以上是判断等差数列和等比数列的四种常见方法，它们都比较简单易行，可以帮助我们快速判断一个数列是否为等差数列或等比数列。

同时，在具体应用中，我们还可以根据题目要求选择合适的方法，从而更好地解决问题。

等差、等比数列知识点总结

一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn二、等差数列1、等差数列及等差中项定义d a a n n =--1、211-++=n n n a a a 。

2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+=当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。

3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等差数列。

6、B A a A d Bn An S n +==+=122，，7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数）三、等比数列1、等比数列及等比中项定义：q a a n n=-1、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 qqa a S n n --=114、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等比数列6、0=++=B A B Aq S n n ，则四、求数列}{n a 的最大的方法：1-1n n n n a a a a ≥≥+五、求数列}{n a 的最小项的方法：1-1n n n n a a a a ≤≤+例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。

等差等比数列的公式与技巧

第13讲等差、等比数列的公式与方法（一）知识归纳：1 .概念与公式：①等差数列：1° .定义：若数列｛a n｝满足a ni-a n=d（常数）,则｛a n｝称等差数列；2通项公式：a n =a i （n-1）d = a k （n- k）d; 3° .前n项和公式：公式：S n』a1an)=na1n(n「)d.2 2②等比数列：a1° .定义若数列｛a n｝满足亠丄q （常数），则｛a n｝称等比数列；2° .通a n项公式：a n - a1q - a k q ,3 .前n 项和公式：S n - - (q^1),当1 -q 1-qq=1 时S n = n &1.2 .简单性质：①首尾项性质：设数列｛a*｝： Qaa, ,a n,1 °•若｛a n｝是等差数列，则a1■ a n= a2■a n = a3■a n ^ ='';2 .右｛a n｝是等比数列，则&1，a n = a?，a n4 = *3 a n.②中项及性质:.设a, A , b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2:设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G二-.ab.③设p、q、r、s为正整数，且p r s,1 ° .若｛a n｝是等差数列，则a p +a q =a「+a$;2° .若｛a n｝是等比数列，则a p a q =a r a s;④ 顺次n 项和性质：n 2n 3nn 2d 的等差数1 ° .若｛a n ｝是公差d 的等差数列，则 a a k , z a k , a a k 组成公差为k 二k :n 1 k 3 1列；n2n3n2 ° .若｛a n ｝是公差q 的等比数列，则v ak,'a k , 7 a k 组成公差为q n 的等比数kJ k m 1 k ：n 1列•（注意：当q=— 1, n 为偶数时这个结论不成立）⑤ 若｛a n ｝是等比数列，2则顺次n 项的乘积：a 1a^ a n ,a n 1a n 2…a 2n ,a 2n 1a 2n a 3n 组成公比这q n 的等比数列•⑥ 若｛a n ｝是公差为d 的等差数列，1 ° .若n 为奇数，则S n 二na 中且S 奇-S 偶 = a 中（注：a 中指中项，即a^ = a n d ,而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2。

等差、等比数列性质总结

2.等差数列通项公式:3•等差中项4 •等差数列的前n 项和公式:c n(a 1 a n )n(n 1) d 2 , 1 , 2S n ------------------ na i ------ d — n ⑻一d)n An Bn 2 2 2 2(其中A 、B 是常数，所以当d M 0时，S 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地，当项数为奇数2n 1时，a n1是项数为2n+1的等差数列的中间项项)5 •等差数列的判定方法6•等差数列的证明方法7.提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素: d 称作为基本元素。

只要已知这 5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

(2)设项技巧:①一般可设通项a n a 1 (n 1)d1.等差数列的定义式:a na n 1等差数列性质总结d (d 为常数)(n 2);a n a i (n 1)d dn a i d (n N首项：a i ，公差:d ，末项：a n推广：a n a m(n m)d(1)如果a , A , b 成等差数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项.即: (2)等差中项：数列a n 是等差数列2a n a n-1 a n i (n 2,n N +)2an 1 a n an 2na iS 2n 12n 1 a i a 2n i2n 1 a ni (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间(1)定义法：若a n a n 1d 或 a n 1 a n d (常数 n N )a n 是等差数列. (2)等差中项：数列a n 是等差数列2a n a n-1a n i (n 2)2a n i a . a⑶数列a n 是等差数列a n kn b(其中k,b 是常数)。

(4)数列a n 是等差数列2S n An Bn ,(其中A 、B 是常数)。

定义法：若a n a n 1 d 或a n 1 a nd(常数n N )a n 是等差数列等差中项性质法：2a n a n-1a n i (n 2, n N ).a i 、d 、n 、a n 及 S n ,其中 a i 、②奇数个数成等差，可设为…,2d,a d, a, a d,a 2d …(公差为d );③偶数个数成等差，可设为…,3d,a d,a d,a 3d ,…(注意；公差为2d )8.等差数列的性质:(1)当公差d 0时,等差数列的通项公式a n a1 (n 1)ddn a1d是关于n的一次函数，且斜率为公差^d d n2 2 2 (a i 新是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d 0,则为递增等差数列，若公差d 0,则为递减等差数列，若公差 d 0,则为常数列。

比较全面的等差等比数列的性质总结

比较全面的等差等比数列的性质总结
等差等比数列是一种重要的数列，它在数学、物理和经济学中都有重要的应用。

它的性质可以用以下几点来总结：
一．概念：等差等比数列是指数列中各项之差和各项之比都是相同的数列。

二．公式：设等差等比数列{an}的首项a1、公差d、公比q都为实数（q≠1）。

通常记作an=a1qn-1（n>1）。

三．通项公式：设a1和q都是实数，n是正整数，an=a1qn-1，如果p也是实数，则Sn=a1(qn-1-1)/(q-1)。

四．性质：
（1）等差等比数列{an}的各项之差都是一个相同的实数d，即有an+1 – an = d。

（2）等差等比数列{an}的各项之比都是一个相同的实数q，即有an/an-1=q。

（3）等差等比数列{an}的各项之和 (Sn) 可以由下式：Sn = a1(qn-1-1)/(q-1) 求出。

五．特殊情况：
（1）等差数列：若系数q=1，则该等差数列是以实数d为公差的等差数列，公式为：an = a1 + (n-1)d。

（2）等比数列：若系数d=0，则该等比数列是以实数q为公比的等比数列，公式为：an = a1qn-1。

以上就是等差等比数列的基本性质，它具有比较完整的总结和解法，可以为我们省去不少繁琐的推导。

使用这种方法可以大大提高我们在分析数学中等差等比数列问题时的效率。

等差数列与等比数列类比总结(对比学习,全面知识点)精编材料,适合收藏pdf版

（5）{an}
,{bn}
都是等比数列，则{kan}
，{|
an
|}
，{an2}
，{ 1 an
}
，{anbn
}，{
an bn
}
也是等比数列．
5．判断一个数列是等差数列的方法
5．判断一个数列是等比数列的方法
（1）定义法： an1 an d （常数）．（2）等差中项法： 2an+1=an +an+2 或 2an =an-1+an+1 ．★ （3）通项公式法： an =kn b（公差为 k）．（4）前 n 项和公式法： Sn An2 Bn （不含常数项的二次函数）．★
2
若三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫作 a 与 b 的等比中项．
此时 G2 ab ， G ab ．
3．等差数列的通项公式
3．等比数列的通项公式
等差数列{an} 的首项为 a1 ，公差为 d，则 an a1 (n 1) d ． 4．等差数列的性质
等比数列{an} 的首项为 a1 ，公比为 q，则 an a1qn1 ．
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
简写为
Sn
An2
Bn
(nN* )
，可以把
(n, Sn )
看作是二次函数图像上孤立的点，因此可以用二次函数的性质来研究和的性质，比如
对称和求最值．
Sn 最值条件通项法
二次函数法
最大值
a1 0 , d 0
an 0 且 an1 0
在 n 处 Sn 取最大值
Sn
S1=a1>0
[数列]
等差数列与等比数列对比知识点总结

(2021年整理)等差、等比数列公式总结

等差、等比数列公式总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（等差、等比数列公式总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为等差、等比数列公式总结的全部内容。

一、等差数列1。

定义:)(1常数d a a n n =-+2。

通项公式:d n a )1(a 1n -+=3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --=4.前n 项和：2)(1n a a S n n +=或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义：①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2(212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=26.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+=⇔+=⇔+=⇔++-11122 7。

性质① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差⑤ }{n a 等差,有12+n 项，则nS S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-=-n S a n n 二、等比数列1.定义：常数）(a 1q a nn =+ 2.通项公式:11a -=n n q a3.变式: m n m n q a -=a m n mn q a a -=4. ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1( 1)1()1( 11q qq a q na S n n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 qq a S n n --=11()1 )1(≠q 5。

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结

等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。

等差数列与等比数列的概念与性质

等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。

它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。

一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。

2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。

- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。

- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。

（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。

（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。

二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。

这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。

2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。

- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。

- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。

（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。

（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。

三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。

（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节:等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义:对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一*n,2个定值，则称这个数列为等差数列，记:(d为公差)(，) nN,a,a,dnn,1 d2、等差数列通项公式: ，为首项，为公差 aaand,，,(1)1n1推导过程:叠加法推广公式: aanmd,，,()nma,anmd, 变形推广: n,m3、等差中项a，bbbA,(1)如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项(即:aaAA22A,a，b 或(2)等差中项:,,a数列是等差数列,2a,a，a(n,2),2a,a，a nnn-1n，1n，1nn，24、等差数列的前n项和公式:naa()，nn(1),1nS,,，nad 1n22d122,，,nadn(),，AnBn 122mnpq，,，a，a,a，a前N相和的推导:当时,则有，特别地，当mnp，,2mnpq aaa，,2aaaaaa，,，,，,,,,时，则有。

(注:，)当然扩充到3项、mnp12132nnn,,4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法,(1) 定义法:若或(常数) 是等差数列( n,N,,aa,a,da,a,d,nn,1n，1nn(2)等差中项:数列是等差数列 ,,an,2a,a，a(n,2),2a,a，an，1nn，2nn-1n，1(3)数列是等差数列(其中是常数)。

,,aa,kn，bk,b,nn2(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。

,,aSAnBn,，,nn6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发是等差数列( ,,a,n7、等差数列相关技巧:d(1)等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素:、、、ann1da及S，其中a、称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便nn1可求出其余2个，即知3求2。