2019年高三数学(理科)一轮复习课时训练北师大版19同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析

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2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练

2019年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式增分练1．[xx·洛阳模拟]下列各数中与sinxx°的值最接近的是( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32答案 C解析 xx°＝5×360°＋180°＋39°， ∴sinxx°＝－sin39°和－sin30°接近．选C.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3 答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.3．[xx·华师附中月考]已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35答案 B解析 tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 4．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13答案 C解析 ∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12. 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )A.13 B ．－13C ．－223D.223答案 B解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.选B. 6．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1的值为( ) A ．0 B.95 C.43 D.53答案 B解析 sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.故选B. 7．[xx·福建泉州模拟]已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析因为1－sin 2α＝cos 2α，cos α≠0,1－sin α≠0，所以(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.故选A.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )(a <0)，则cos ()540°－α的值是________．答案 35解析 c os(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α.因为a <0，所以r ＝－5a ，所以cos α＝－35，所以cos(540°－α)＝－cos α＝35.9．[xx·北京东城模拟]已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.答案－125解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.10．[xx·淮北模拟]sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．答案－334解析原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ( －π－π3 )＝ ⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. 1．[xx·湖北荆州联考]若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限．选B.2．[xx·新乡模拟]若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θcos θ＝3716，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34答案 D解析 ∵sin θcos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.3．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－1－cos2＋α＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°. 解原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan 945° ＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225° ＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 5．[xx·南京检测]已知f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝π－απ－α⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α＝sin αcos α－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)因为α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，sin α＝－15.所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f (α)＝－cos α＝265.2019年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义分析解读江苏高考近五年没有考查本部分知识,在复习时主要要理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,会写含有全称量词与存在量词的命题的否定.五年高考考点一简单的逻辑联结词(xx湖南改编,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(填序号).答案②③考点二全称量词与存在量词1.(xx课标Ⅰ改编,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为.答案∀n∈N,n2≤2n2.(xx山东,12,5分)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.答案 13.(xx重庆理改编,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.答案存在x0∈R,使得<04.(xx四川理改编,4,5分)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则¬p 为.答案∃x∈A,2x∉B三年模拟A组xx模拟·基础题组考点一简单的逻辑联结词1.(苏教选2—1,一,2,变式)若命题p:0是偶数,命题q:2是3的约数,则下列命题中为真的是.①p且q;②p或q;③ ;④p且q.答案②2.(苏教选2—1,一,2,变式)若p、q是两个命题,且“p或q”的否定是真命题,则p、q的真假性是. 答案p假q假3.(苏教选2—1,一,2,变式)对于命题p、q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或q是真命题;②p且q是真命题;③p且q是假命题;④p或q是假命题.其中真命题是.答案①③考点二全称量词与存在量词4.(xx江苏南通中学测试)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)5.(xx江苏南京溧水中学质检,2)命题“∀x∈R,x2+2x+5>0”的否定是.答案∃x0∈R,+2x0+5≤06.(xx江苏苏州期中,2)若命题p:∃x∈R,使x2+ax+1<0,则p: .答案∀x∈R,x2+ax+1≥0B组xx模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(xx江苏南京师大附中期初调研,8)已知命题p:∃x∈R,x2+2x+a≤0是真命题,则实数a的取值范围是.答案(-∞,1]2.(xx江苏前黄中学第二次学情调研,8)已知下列四个命题,其中真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).(1)命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”;(2)命题“在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B”的逆命题为真命题;(3)“f '(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处取得极值”的充分不必要条件;(4)直线y=x+b不能作为函数f(x)=图象的切线.答案(2)(4)3.(xx江苏泰州一模,5)若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)二、解答题(共15分)4.(xx江苏盐城期中,15)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0;q:实数x满足<0.(1)若a=1,且p∨q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解析(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0,因为a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是1<x<3.<0等价于(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3,即q为真时,实数x的取值范围是2<x<3.若p∨q为真,则实数x的取值范围是1<x<3.(2)p是q的必要不充分条件等价于q⇒p且p⇒/ q,则有或所以实数a的取值范围是1≤a≤2.C组xx模拟·方法题组方法1 含有逻辑联结词的命题的真假判断1.若命题p:不等式4x+6>0的解集为,命题q:关于x的不等式(x-4)(x-6)<0的解集为{x|4<x<6},则“p且q”“p 或q”“ ”形式的命题中的真命题是.答案p或q,p且q2.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ ”形式的命题的真假.(1)p:6<6,q:6=6;(2)p:梯形的对角线相等,q:梯形的对角线互相平分;(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点,q:不等式x2+x+2<0无解;(4)p:函数y=cos x是周期函数,q:函数y=cos x是奇函数.解析(1)∵p为假命题,q为真命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.(2)∵p为假命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.(3)∵p为真命题,q为真命题,∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.(4)∵p为真命题,q为假命题,∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.方法2 全称(存在性)命题真假的判定3.下列命题中的真命题的个数是.①∃x∈R,使得sin x+cos x=;②∃x∈(-∞,0),2x<3x;③∀x∈(0,π),sin x>cos x.答案04.已知命题p:∃x∈R,使tan x=1,命题q:∀x∈R,x2>0.下面结论正确的是.①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ”是假命题;③命题“ ∨q”是真命题;④命题“ ∧ ”是假命题.答案④方法3 全称(存在性)命题的否定5.(xx江苏姜堰中学高三期中)命题“∀x∈,sin x>0”的否定是.答案∃x∈,sin x≤06.命题“任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.答案存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤37.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.解析(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立.(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,p:∀x∈R,x2+2x+5≤0.方法4 与逻辑联结词、全称(存在性)命题有关的参数问题8.(xx江苏盐城高三(上)期中)命题“∃x∈R,使x2-ax+1<0”是真命题,则a的取值范围是.答案(-∞,-2)∪(2,+∞)9.已知p:函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,q:4x2+4(m-2)x+1>0恒成立.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.解析若函数y=x2+mx+1在(-1,+∞)上单调递增,则-≤-1,∴m≥2,即p:m≥2;若4x2+4(m-2)x+1>0恒成立,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因为p或q为真,p且q为假,所以p、q一真一假,当p真q假时,解得m≥3.当p假q真时,解得1<m<2.综上可知,m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}.。

高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件

所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二诱导公式及其应用考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件文北师大版

1
2
3
2.三角函数的诱导公式
一 2kπ+α 角 (k∈ Z) 正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α
二 π+α -sin α -cos α tan α
三 -α -sin α cos α -tan α
四 π- α sin α -cos α -tan α
五
π 2
六
π 2
-α
+α
cos α sin α
90° 120° 135° 150° 180° �� 2�� 3�� 5�� π 2 3 4 6 1 3 2 1 0 2 2 2 0 1 2
-
2 2
-
3 2 3 3
-1 0
- 3
-1
-5知识梳理双基自测自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)对任意的角α,β,都有sin2α+cos2β=1. ( ) sin�� (2)若 α∈R,则 tan α=cos��恒成立. ( ) (3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. (
= .
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解析
答案
-10知识梳理双基自测自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中 π α≠ +kπ,k∈Z. 2 2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角α的范围确定. 3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
解 (1)由 tan α=- , 得 sin

【北师大版】2019年高考数学理科一轮复习课时分层训练19同角三角函数的基本关系与诱导公式

课时分层训练(十九) 同角三角函数的基本关系与诱导公式A 组基础达标一、选择题1．(2018·石家庄质检(二))若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则cos α＝( )【导学号：79140107】A.223B ．－223C ．－429D.429B [由sin(π－α)＝13得sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，故选B.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( ) A.45 B ．－45C ．2D ．－12B [由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α＝－sin2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45，故选B.] 4.cos 350°－2sin 160°sin(－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D.3D [原式＝cos(360°－10°)－2sin(180°－20°)－sin(180°＋10°)＝cos 10°－2sin(30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]5．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sinθ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0B [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13.∵θ为第二象限角，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1.] 二、填空题6．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________．13 [因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，sin(125°－α)＝13，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.]7．(2017·江西上饶一模)已知π2＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－9π2＝________. 【导学号：79140108】223 [∵π2＜α＜π，∴cos α＜0.∵3sin 2α＝2cos α，即6sin α·cos α＝2cos α，∴sin α＝13，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－9π2＝－cos α＝1－sin 2α＝223.]8．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43[由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35.因为α是三角形的内角，所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.]三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.【导学号：79140109】[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组能力提升11．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( )A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D [由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.]12．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1± 5D ．－1－5B [由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.]13．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44.5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.] 14．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin (－π－α).(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：79140110】[解] (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.。

2019版高考数学(理)一轮总复习课件：4-2同角三角函数的基本关系式及诱导公式

B．2－sinα －cosα
C．sinα －cosα 答案 A
D．cosα －sinα
解析原式＝cosα （1－cossi2nαα）2＋sinα （1－sinco2αsα）2，
∵π<α<32π，∴cosα<0，sinα<0.
∴原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2.
7．(2017·课标全国Ⅲ，文)已知 sinα －cosα ＝43，则 sin2α
方法二：原式＝sin[π＋sin（（kkππ＋－αα））]·ccooss[（πk＋π（＋kαπ）－α）] ＝ssiinn（（kkππ－＋αα））ccooss（（kkππ＋－αα））＝ssiinn（[2kkππ－＋（α）kπ·co＋s[2αk）π]c－os（（kkππ＋＋αα））] ＝－sisnin（（kkππ＋＋αα））cocso（s（kkππ＋＋αα））＝－1. 【答案】 (1)－tanα (2)－1
∴当 α 为第一、四象限角时，tanα＝ 1－m m2；
当 α 为第二、三象限角时，tanα＝－
m 1－m2.
【答案】
(1)－
2 4
(2)
42或－
2 4
(3)
1－m m2或－
m 1－m2
★状元笔记★ 本例属同角三角关系式中的基本题，关键是掌握住“先开方，后作商”的原则，先求与 sinα的平方关系相联系的 cosα，再由公式求 tanα.(2)(3)中 α 的范围不确定，须讨论确定开方的符号．
A．0
9 B.5
C.43
D.53
答案 B 解析 sin2x＋1＝2ssiinn22xx＋＋ccooss22xx＝2ttaann22xx＋＋11＝95，故选 B.

高考数学一轮复习课后限时集训同角三角函数的基本关系与诱导公式理北师大版

课后限时集训22同角三角函数的基本关系与诱导公式建议用时：45分钟一、选择题1．若sin π－θ＋cos θ－2πsin θ＋cos π＋θ＝12，则tan θ＝( ) A ．1B ．－1C ．3D ．－3D [因为sin π－θ＋cos θ－2πsin θ＋cos π＋θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.]2．若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15B.15C.35D.－35D [∵tan α＝12，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α－11＋tan 2α＝－35，故选D.] 3．已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是( )A.1－a 2aB.1－a 2C.a 2－1aD.－1－a 2 B [sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.]4．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin π＋θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ等于( ) A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θA [因为1－2sin π＋θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ ＝1－2sin θcos θ＝sin θ－cos θ2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ＞0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.]5．(2019·武汉模拟)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ等于( ) A.13B.223C.－13D.－223 A [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13.] 二、填空题6．sin 43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________．－334 [原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.] 7．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝________. －3 [由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.] 8．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. 2211 [因为tan A ＝23＞0，所以A 为锐角，由tan A ＝sin A cos A ＝23以及sin 2A ＋cos 2A ＝1，。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件文北师大版

消去sin α得：2cos2α＋2 2cos α＋1＝0，
即( 2cos α＋1)2＝0，
∴cos
α＝－
2 2.
又α∈(0，π)，∴α＝34π，
∴tan α＝tan34π＝－1.]
诱导公式的应用
(1)已知A＝
sinkπ＋α sin α
＋
coskπ＋α cos α
(k∈Z)，则A的值构成的集合是
1 2
[sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.]
5．已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π2，则sin(π＋α)＝________.
－45 [因为sinπ2＋α＝cos α＝35，α∈0，π2，所以sin α＝ 1－cos2α＝45，所以 sin(π＋α)＝－sin α＝－45.]
[易错与防范] 1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
sin2α－π6＝sin2－π6－α＝sin2π6－α
＝1－cos2π6－α＝1－ 332＝23，
∴cos56π＋α－sin2α－π6＝－ 33－23＝－2＋3
3 .]
同角关系式与诱导公式的综合应用
()
【导学号：66482141】

高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第三章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式

(sin α＋cos α)2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，
2sin αcos α＝－59，∵α∈(0，π)，∴α 为钝角．
3．若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝( A )
A．2654
B．4285
C．1
D．1265
解析：tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatnan2 αα＝6245．
同角三角函数关系式中的核心素养
(一)数学抽象——分类讨论思想在化简求值中的应用
[例 1] 在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos A＝－ 2cos(π
－B)，则 C＝_________．
[解析]
由已知得si3ncAo＝s A＝2sin2cBos
①， B ②，
①2＋②2，得 2cos2 A＝1，即 cos A＝±22，
1－cos α |sin α|
α
＝cos
1－sin α·－cos
αα＋sin
1－cos α· sin α
α
＝sin α－cos α．
（1－cos α）2 sin2α
2．若 sin α＝ 55，π2<α<π，则 tan α＝_________．解析：因为π2<α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－255，
＝
cos 2·
α＋sin sin α
α＝
2tan1 α＋1，
故
cos 2α
＝ 2．
cos54π＋αsinπ＋
α
4
4．已知 a＝tan－76π，b＝cos243π，c＝sin－343π，则 a，b，c 的大小关系为( B )

高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案－33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2，故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225，整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1，整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0，解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案－43解析由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案－74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练19 同角三角函数的基本关系与诱导公式含解析精品

课时分层训练(十九) 同角三角函数的基本关系与诱导公式(对应学生用书第236页)A 组基础达标一、选择题1．(2018·石家庄质检(二))若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则cos α＝( )【导学号：79140107】A.223 B ．－223 C ．－429D.429B [由sin(π－α)＝13得sin α＝13，又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，故选B.]2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6D.π3D [∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.]3．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α的值为( ) A.45 B ．－45 C ．2D ．－12B [由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 019π2－2α＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45，故选B.]4.cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32 C.32 D.3D [原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.]5．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0B [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13. ∵θ为第二象限角，∴θ2在第一象限，且cos θ2＜sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2 ＝－1.] 二、填空题6．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________．13 [因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，sin(125°－α)＝13，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.]7．(2017·江西上饶一模)已知π2＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－9π2＝________. 【导学号：79140108】223 [∵π2＜α＜π，∴cos α＜0.∵3sin 2α＝2cos α，即6sin α·cos α＝2cos α，∴sin α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－9π2＝－cos α＝1－sin 2α＝223.]8．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.－43 [由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0，解得sin α＝45或sin α＝－35. 因为α是三角形的内角，所以sin α＝45.又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－35，所以tan α＝－43.] 三、解答题9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.【导学号：79140109】[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.[解] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. B 组能力提升11．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( )A.43或34 B ．－34或－43 C.34或－43D ．－43或不存在D [由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.] 12．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1±5D ．－1－5B [由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4. 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5. 又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.]13．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.44.5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°，两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.] 14．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin (－π－α).(1)化简 f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值.【导学号：79140110】[解] (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，故f (α)＝265.。

2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角函数第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式实用

[全练题点]
1.[考点一] 若α∈－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝(
)
A．－45
B.45
3 C.5

D．－35
解析：因为α∈－π2，π2，sin α＝－35，所以α∈－π2，0，cos
α＝45，则cos(－α)＝45.
答案：B
2.[考点二](2018·河北衡水中学月考)已知tan θ＝2，则sin2θ＋
[例2] (2018·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin
α·(sin α－cos α)＝
()
21
25
A.25
B.21
C.45
D.54
[解析] sin α·(sin α－cos α)＝sin2α－sin α·cos α＝
sin2α－sin α·cos sin2α＋cos2α
α
＝
tan2α－tan tan2α＋1
表达式中需要利用 “1”转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
[基本能力]
1．判断题 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)若α∈R ，则tan α＝csoins αα恒成立．
(× ) (×)
2．填空题 (1)已知α∈π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.
[例1] (1)已知cos α＝k，k∈R ，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝
A．－ 1－k2
B. 1－k2
()
C．± 1－k2
D．－k
(2)(2018·厦门质检)若α∈π2，π，sin (π－α)＝35，则tan α＝
()
A．－43
4 B.3
C．－34

高考数学一轮复习4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理北师大版

A.2
B. 2
1
2π
2π
,cos
),即
3
3
1
1
√3
∴x= 2 ,y=-2,r=|OP|=1,∴sin(π-α)=sin α= =-2.
解析:∵角 α 的终边经过点 P(sin
1
π
√3
C.-2
D.- 2
√3 1
P( 2 ,-2),
π
4.函数 f(x)=5sin + 3 +cos - 6 的最大值为( A )
是
1
3
x-4
∈
π
0, 2
的最大值
.
3
4
解析:由题意可知 f(x)=1-cos2x+√3cos x=-cos2x+√3cos
π
2
1
x+ =4
cos-
√3
2
2
+1.
因为 x∈ 0, ,所以 cos x∈[0,1].
√3
所以当 cos x= 2 时,函数 f(x)取得最大值 1.
-7考点1
考点2
考点3
例 3(1)(2018 湖南长沙一模)化简:
=
π
1+sin 2+ tan
(2)设 f(α)=
2sin(π+)cos(π-)-cos(π+)
3π
1+sin2 +cos
+
√3
2
π
-sin2 +
(1+2sin α≠0),则 f -
2
.
sin(π-)+sincos
解析:(1)
π
1+sin 2+ tan

2019届高考数学(北师大版文)大一轮复习讲义第四章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数基本关系式与

§同角三角函数基本关系式及诱导公式
．同角三角函数的基本关系
α
()
＋
平方关系：
α
.
＝
()商数关系：α α)＝α(α≠＋π，∈)．
．三角函数的诱导公式
知识拓展
．同角三角函数关系式的常用变形
( α±α)＝±αα；
α＝α·α.
．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
题组一思考辨析
．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) ()若α，β为锐角，则α＋β＝.(×)
()若α∈，则α＝α α)恒成立．(×)
()(π＋α)＝－α成立的条件是α为锐角．(×)
()若(π－α)＝(∈)，则α＝.(×)
题组二教材改编
．若α＝，<α<π，则α＝.
答案－
解析∵<α<π，
∴α＝－＝－，
∴α＝α α)＝－.
．已知α＝，则α＋α α－α)的值为．
答案
解析原式＝α＋α－)＝＝.
．化简·(α－π)·(π－α)的结果为．
答案－α
解析原式＝α α)·(－α)·α＝－α.
题组三易错自纠
．设α＝，π<α<，则α－α的值为()
．－＋．－－
＋－
答案
解析∵α＝，π<α<，
∴α＝－，α＝－，
∴α－α＝－－＝－.
．已知(π－α)＝，且α∈，则(π－α)的值为()
．－
．±
答案
解析(π－α)＝α＝＝－，。

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式理北师大版

1.(1)已知 α 是第二象限的角，tan α＝－1，则
2 －2 5
cos α＝____5____．
(2)如果 sin x＋cos x＝1，且 0<x<π，那么 tan x 的值是( A ) 5
A．－4 3
B．－4或－3 34
C．－3 4
D.4或－3 34
解析：(1)因为 α 是第二象限的角，所以 cos α<0.又因为 sin2
α＋cos2α＝1，tan
α＝sin
cos
αα＝－12，所以
cos
α＝－2 5.
5
(2)由 sin x＋cos x＝1两边平方得 1＋2sin x·cos x＝ 1 ，所
5
25
以 2sin x·cos x＝－24，所以π<x<π，此时 sin x>0，cos x<0，
25
2
sin x － cos x ＝（sin x－cos x）2 ＝ 1－2sin xcos x ＝
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
简记口诀：把角统一表示为kπ±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，
2
符号看象限．
1．辨明两个易误点 (1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (2)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
2．三角函数求值与化简的三种常用方法
三
四
五
六
α＋角 2kπ(k∈ π＋α
－α
π－α
π－α 2
π＋α 2
Z)
正弦 sin α _－__s_in__α_ －sin α sin α _c_o_s__α__ cos α 余弦 cos α －cos α __c_o_s_α_ －cos α sin α _－__si_n_α_

2019高三数学(北师大版理科)一轮课件4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式精选ppt版本

∴
sin�� cos��
= =
4 5
-
,
3 5
∴tan ,
α=-43.
(2)co
s2
1 ��-si
n
2
��
= = si n2��+co s2��
co s2��-si n2��
si n 2�� +co s 2��
co s 2�� co s 2�� -si n 2��
考点自测
2.三角函数的诱导公式
一
二
三
3;α (k∈Z) π+α
-α
π-α
π2-α
π 2
+α
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α
正切 tan α tan α -tan α -tan α
关键能力
-17-
考点1 考点2 考点3
(方法二)由
sin��-cos�� = √2, sin2�� + cos2�� = 1,
得 2cos2α+2√2cos α+1=0,
即(√2cos α+1)2=0,
所以 cos α=-√22. 又 α∈(0,π),所以 α=34π, 所以 tan α=tan3π=-1.
= t1a-nta2n��2+��1.
co s 2��
∵tan
α=-43,∴co
s2

2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式(含答案)

学案18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式导学目标： 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x.自主梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：______________________________. 2．诱导公式(1)sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝__________，tan(α＋2k π)＝__________，k ∈Z. (2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.(5)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________. (6)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝__________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝____________________________________. 3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：上述过程体现了化归的思想方法．自我检测1．(2018·全国Ⅰ)cos 300°等于 ( )A ．－32B ．－12C.12D.32 2．(2009·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为 ( )A.103 B.53 C.23D ．－2 3．(2018·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝34，则sin α等于( )A.45B.35C ．－45D ．－354．cos(－174π)－sin(－174π)的值是 ( )A. 2 B ．－ 2C ．0D.225．(2018·清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值例1 已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin 2x －cos 2x 的值；(2)求tan x2sin x ＋cos x 的值．变式迁移1 已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值． (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.探究点二利用诱导公式化简、求值例2 (2018·合肥模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)． (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α＋π＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－3π4的值．变式迁移2 设f(α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α (1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.探究点三综合应用例3 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．变式迁移3 (2018·安阳模拟)已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15，(1)求sin A·cos A；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．转化与化归思想的应用例 (12分)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．多角度审题由sin α＋cos α＝15应联想到隐含条件sin 2α＋cos 2α＝1，要求tan α，应当切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可．【答题模板】解 (1)联立方程⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15， ①2α＋cos 2α＝1， ② 由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.[2分]∵α是三角形的内角，∴⎩⎨⎧sin α＝45α＝－35，[4分]∴tan α＝－43.[6分](2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α，[8分] ∵tan α＝－43，∴1cos α－sin α＝tan 2α＋11－tan α[10分] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.[12分]【突破思维障碍】由sin α＋cos α＝15及sin 2α＋cos 2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sin α再求cos α.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．【易错点剖析】在求解sin α，cos α的过程中，若消去cos α得到关于sin α的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2018·荆州模拟)已知△ABC 中，cos A sin A ＝－125，则cos A 等于 ( ) A.1213B.513C ．－513D ．－12132．已知tan α＝－512，且α为第二象限角，则sin α的值等于 ( ) A.15B ．－115C.513D．－5133．(2018·许昌月考)已知f(α)＝π－απ－α－π－αα，则f(－313π)的值为 ( )A.12B．－13C．－12D.134．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 002)＝－1，则f(2 003)等于 ( ) A．－1 B．0 C．1 D．25．(2018·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于 ( )A.1－k2kB．－1－k2k6．(2018·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.8．(2018·东北育才学校高三第一次模拟考试)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos2α＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)已知f(α)＝π－απ－α－α＋π－－α－π－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．10．(12分)化简：π－α－π－α]＋π＋απ＋α(k∈Z)．11．(14分)(2018·秦皇岛模拟)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．答案自主梳理1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)sin αcos α＝tan α 2.(1)sin αcos αtan α(2)－sin α－cos αtan α(3)－sin αcos α－tan α(4)sin α－cos α－tan α(5)cos αsin α(6)cos α－sin α自我检测1．C [cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝12 .]2．A [∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1，∴sin 2α＝110， ∴1cos 2α＋sin 2α＝1cos 2α＋2sin α－3sinα＝11－7sin 2α＝103.] 3．B4．A [cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sin π4＝ 2.]5．－23解析 sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)＝－sin[(π6－α)＋π2]＝－cos(π6－α)＝－23.课堂活动区例1 解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．解由sin x ＋cos x ＝15得，1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵－π2<x<0，∴sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0. 则sin x －cos x＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x＝－1＋2425＝－75.(1)sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x) ＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x2sin x ＋cos x＝－34－65＋45＝158. 变式迁移1 解 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α.∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. 方法一 (直接代入法)：(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 方法二 (同除转化法)：(1)原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 例2 解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋α的本质是：奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2k π＋α，0≤α<2π；(2)转化为锐角三角函数．解 (1)∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， ∴cos α＝－55，sin α＝255. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α＋π＋α＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255， ∴sin 2α＝－45，cos 2α＝－35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π4＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210. 变式迁移23解析 ∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin α＋sin α－cos α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6 ＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.例3 解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cos A ．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A ＋B ＝π－C ；A 2＋B 2＋C2＝π2. 解由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B)＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.变式迁移3 解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，∴sin A·cos A＝－1225.(2)由(1)sin A·cos A＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，∴A 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A)2＝1－2sin A·cos A＝4925，又sin A>0，cos A<0，∴sin A －cos A>0，∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝－43.课后练习区1．D [∵A 为△ABC 中的角，cos A sin A ＝－125，∴sin A ＝－512cos A ，A 为钝角，∴cos A<0.代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，求得cos A ＝－1213.]2．C [已知tan α＝－512，且α为第二象限角，有cos α＝－11＋tan 2α＝－1213，所以sin α＝513.] 3．C [∵f(α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f(－313π)＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cos π3＝－12.]4．C [∵f(2 002)＝asin(2 002π＋α)＋bcos(2 002π＋β) ＝asin α＋bcos β＝－1，∴f(2 003)＝asin(2 003π＋α)＋bcos(2 003π＋β) ＝asin[2 002π＋(π＋α)]＋bcos[2 002π＋(π＋β)]＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.] 5．B [∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k .]6．－255解析 ∵tan α＝－12，∴sin αcos α＝－12，又∵sin 2α＋cos 2α＝1，α是第二象限的角，∴cos α＝－255. 7.892解析 sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 245°＋…＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋…＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝44＋12＝892.8.165解析原式＝tan α＋1tan α－1＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝3＋1tan α＋1＝3＋15＝165.9．解 (1)f(α)＝π－απ－α－α＋π－－α－π－π－α＝sin αcos α－tan αtan αsin α＝－cos α.…………………………………………………………(5分)(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，……………………………………………………………………………(8分)∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－－152＝－265， ∴f(α)＝－cos α＝265.…………………………………………………………………(12分)10．解当k 为偶数2n (n ∈Z)时，原式＝π－α－π－α]＋π＋απ＋α＝－α－π－απ＋αα＝－sin απ＋α－sin α·cos α＝－cos αcos α＝－1；……………………………………………………(6分)当k 为奇数2n ＋1 (n ∈Z)时，原式＝＋π－απ－α＋π＋α＋π＋α]＝π－α－απ＋απ＋α＝sin α·cos αsin α－cos α＝－1.∴当k ∈Z 时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分) 11．解由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分) 又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，(6分) 从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.…………………………………………………(8分)(1)cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－(sin θcos θ＋cos θsin θ)＝－1sin θcos θ＝－11－2＝1＋ 2.……………………………………………………………………………………………(14分)。

高考数学一轮复习第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式 (2)

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力. 核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x≠kπ＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π2＋kπ，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos 2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( ) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23，所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos2α＝±53. 所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52.3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sin α＝( ) A ．－35 B.35 C.45 D ．－45【解析】因为tan α＝sin αcos α＝－34，所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值： (1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos αsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tan αtan2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫122＋12⎝⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－75.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t2－12，sin α－cos α＝±2－t2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α－tan αtan2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125. 3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin2α＋cos2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22，所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34. (2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3，原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （kπ＋α）sin α＋cos （kπ＋α）cos α＋tan （kπ＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （kπ＋α）sin α＋cos （kπ＋α）cos α＋tan （kπ＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （kπ＋α）sin α＋cos （kπ＋α）cos α＋tan （kπ＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值； (2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010，所以sin α＝－1－cos2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15. 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin xB ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( ) A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角，所以cos α＝1－sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确，所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误，所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误． 3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ．3B ．－3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12，因为角α是第二象限角，所以sin α＝32，所以tan(π＋α)＝tan α＝si n αcos α＝－3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选 A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cosα＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45. 答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin250°＝________．解析：原式＝sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1. 答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α. 解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin2α＋2sin αcos αs in2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－3.(2)因为tan θ＝－3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－3. [B 级综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin2（π＋θ）＝1－sin2θ＝cos2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选 B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan2α＝sin 2α1＋cos2αsin2α＝sin 2αsin2α＋cos2αsin2α＝sin 2α1sin2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去．所以存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋ B2＋cos 2C 2＝1.(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin18°.若m 2＋n ＝4，则m n2cos227°－1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos227°－1＝2sin 18°4cos218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sinα)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________．解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0. 由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，sin β＝－1.因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13.答案：13。