变化率与导数教案
导数与函数变化率教案设计
导数与函数变化率教案设计：一、教学目标1.了解导数的概念和定义，掌握基本求导公式和法则。
2.理解函数的单调性和极值，并能应用导数求解。
3.能够掌握函数的变化率的概念，应用导数求解。
4.能够运用导数的概念和方法解决实际问题。
二、教学内容1.导数的概念和定义2.求导法则3.函数的单调性和极值4.函数的变化率与导数5.应用导数解决实际问题三、教学过程第一节：导数的概念和定义1.引入教师通过引导学生想象一下：车在马路上行驶时，如果我们想知道车的速度是多少，应该怎么做？引导学生想到了导数的概念。
2.导数的定义介绍导数的定义：设函数y=f（x），若极限lim Δx→0（f（x+Δx）－f（x））/Δx存在，称为函数f（x）在点x处的导数。
3.图像解释导数通过画图来解释导数的概念，帮助学生掌握。
第二节：求导法则1.基本求导法则（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数2.综合例题分析通过综合例题来演示求导过程，让学生掌握求导的方法。
第三节：函数的单调性和极值1.函数的单调性介绍函数的单调性：设函数y=f（x）在区间（a，b）内具有一阶导数，那么如果f’（x）>0，则函数在该区间单调递增，如果f’（x）<0，则函数在该区间单调递减。
2.函数的极值介绍函数的极值：设函数y=f（x）在点x=c处连续，那么如果在（c-d，c）上f（x）≤f（c）,在（c， c+d）上f（x）≤f（c），则c为函数y=f（x）的极大值点；如果在（c-d， c）上f（x）≥f （c），在（c， c+d）上f（x）≥f（c），则c为函数y=f（x）的极小值点。
3.图像分析单调性和极值通过图像分析函数的单调性和极值，帮助学生理解。
第四节：函数的变化率与导数1.函数的变化率介绍函数的变化率：使用导数来研究函数的变化率，函数在某一点的导数就是该点的变化率。
2.应用导数求解通过例题来演示应用导数求解的过程，让学生掌握应用导数求解的方法。
2022年精品 《变化率与导数》优秀教案6
第一章导数及其应用变化率与导数第2课时〔陈莹〕一、教学目标1.核心素养通过导数的几何意义学习，体验数形结合中的“以直代曲〞，感受数与形的联系，提高抽象概括能力．2.学习目标〔1〕通过函数图像的割线，经历割线过渡到切线的过程，了解切线的形成过程〔2〕通过导数的几何意义，会写出切线方程．3.学习重点导数的几何意义；体会导数思想及内涵．4.学习难点〔1〕从割线到切线的逼近方法的理解，将导数多方面的意义联系起来．〔2〕能够理解“在某一点处的切线〞与“过某一点的切线〞的区别二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材＋错误!m＜0，直线与函数f，g的图象都相切，且与f图象的切点为1，f1，那么m的值为A．－1 B．－3 C．－4 D．－2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：选D∵f′＝错误!，∴直线的斜率为＝f′1＝1，又f1＝0，∴切线的方程为＝－′＝＋m，设直线与g的图象的切点为0，0，那么有0＋m＝1，0＝0－1，0＝错误!错误!＋m0＋错误!，m<0，于是解得m＝－2，应选D＝错误!3－22＋3∈R的图象为曲线C1求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；2假设在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：1由题意得f′＝2－4＋3，那么f′＝－22－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞．2设曲线C的其中一条切线的斜率为，那么由2中条件并结合1中结论可知，错误!解得－1≤＜0或≥1，故由－1≤2－4＋3＜0或2－4＋3≥1，得∈－∞，2－错误!]∪1,3∪[2＋错误!，＋∞．四、自助餐1．曲线在点处的切线方程为〔〕A．B．C．D．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A 提示：利用导数定义求出斜率，在用点斜式写切线方程2．设，那么曲线在点处的切线〔〕A．不存在B．与轴平行或重合C．与轴垂直D．与轴斜交【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B3．设＝f存在导函数，且满足，那么曲线＝f在点1，f1处的切线斜率为〔〕A．2 B．－1 C．1 D．－2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：4．某物体的运动规律是，那么该物体在到这段时间内的平均速度为A．B．C．D．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C5．曲线＝23上一点A1,2，那么A处的切线斜率等于A．2 B．4 C．6＋6Δ＋2Δ2 D．6【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D6．假设f＝a4＋b2＋c满足f′1＝2，那么f′－1＝A．－4 B．－2 C．2 D．4【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B提示：∵f＝a4＋b2＋c，∴f′＝4a3＋2b，又f′1＝2，∴4a＋2b＝2，∴f′－1＝－4a－2b＝－2 7．曲线在点处的切线方程为〔〕A．B．C．D．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A8．函数图像上各点处的切线斜率均小于，那么实数的取值范围是________【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：提示：由导数的定义可知：，各点处切线斜率均小于，于是，即对于非零实数恒成立因为对于非零实数，，所以9．曲线＝a2－a＋1a≠0在点0,1处的切线与直线2＋＋1＝0垂直，那么a＝B．－错误!错误!D．－错误!【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B提示：∵＝a2－a＋1，∴′＝2a－a，∴′|＝－a＝0又∵曲线＝a2－a＋1a≠0在点0,1处的切线与直线2＋＋1＝0垂直，∴－a·－2＝－1，即a＝－错误! 10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f＝－a1·－a2·…·－a8，那么f′0＝A．26B．29C．212 D．215【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：因为f′＝′·错误!＋错误!′·＝－a1－a2…－a8＋错误!′·，所以f′0＝0－a10－a2…0－a8＋0＝a1a2…a8因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′0＝84＝21211．假设曲线f＝a5＋n 存在垂直于轴的切线，那么实数a的取值范围是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：曲线f＝a5＋n 存在垂直于轴的切线，即f′＝0有正实数解．又∵f′＝5a4＋错误!，∴方程5a4＋错误!＝0有正实数解．∴5a5＝－1有正实数解．∴a<的取值范围是－∞，0．12．函数〔1〕求曲线在点处的切线方程；〔2〕设点是曲线上的任意一点求曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：〔1〕在点处的切线斜率，又，所以切线方程为，即〔2〕设，那么曲线在点处的切线斜率为，设在点处的切线的倾斜角为，那么，那么或13．曲线上两点，〔1〕求所在直线的方程；〔2〕在曲线上是否存在一点，使曲线在点处的切线与直线平行？假设存在，求出点的坐标并求出曲线在点处的切线方程；假设不存在，请说明理由【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：〔1〕，直线的方程为，即〔2〕假设存在这样的点，并设点坐标为，那么在点的切线斜率为，又，所以，又由于曲线在处的切线与平行，故曲线在点处的切线斜率，解得，此时，即存在点，使曲线在点处的切线与直线平行，所以曲线在点处的切线方程为，即数学视野微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学微积分的根本概念是函数、极限、导数、积分等，其中极限是微积分的基石微积分是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分微分是由联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的微积分的产生具有悠久的历史渊源在，公元前世纪，桓团、公孙龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万世不竭〞；公元世纪刘微的“割圆术〞和公元~世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积的研究〔祖冲之在刘微割圆术的根底上首先计算出了精确到小数点后位的圆周率的近似值，他还相当精确的计算了球的体积〕，都包含着微积分概念的萌芽在欧洲，公元前世纪欧几里得在几何?原本?中对不可约量及面积与体积的研究，公元前世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究〔穷竭法〕，也都包含上述萌芽十七世纪下半叶，在前人工作的根底上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里单独研究和完成了微积分的创立工作此后柯西与魏尔斯特拉斯等人又对微积分进行了完善。
优秀教案21-变化率与导数
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数〔1〕教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大〔小〕值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的根本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的根底上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识根底．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书〔A 版〕数学选修1－1第三章第一节的?变化率与导数?，?导数的概念?是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数.教学目标重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．知识点：导数的概念.能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的根本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.考试点：利用导数的概念求导数.易错易混点：对0x ∆→的理解，0,0,x x ∆>∆<0,0x x ∆>∆≠但0x ∆≠. 拓展点：导数的几何意义.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学一、引入新课师生活动：教师：请说出函数()y f x =从x 1到x 2的平均变化率公式．学生：2121()()f x f x x x --．教师：如果用x 1与增量△x 表示，平均变化率的公式是怎样的？ 学生：11()()f x x f x x+∆-∆教师：高台跳水的例子中，在时间段650,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦里的平均速度是零，而实际上运发动并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运发动的运动状态． 提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？ 学生：体会并明确瞬时速度的作用．提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s 的瞬时速度，应该怎么解决？【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度.【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫.二、探究新知跳水运发动在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，完成以下表格中02t =秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．0t ∆>时，在[]2,2t +∆内，(2)(2)h t h v t +∆-=∆0t ∆<时，在[]2,2t +∆内，(2)(2)h h t v t -+∆=-∆t ∆νt ∆ν0.01 -13.149 －0.01 -13.051 0.001-13.1049 －0.001 -13.0951 0.0001 -13.10049 －0.0001 -13.09951 0.00001 -13.100049－0.00001 -13.099951 0.000001-13.1000049－0.000001-13.0999951师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察.在学生观察的根底上指出：当t ∆趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．[设计意图] 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．培养学生归纳、概括能力.师:你认为通过实验所得结果〔常数〕就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：0t ∆→时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t ∆无关，只与时刻0t 有关．[设计意图] 使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．一般地,函数()y f x =在x x =处的瞬时变化率是00()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆,我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数,记作()f x '或|x xy =',即()f x '=00()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆.三、理解新知求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步，求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第三步，求平均变化率的极限，即导数'00()limx yf x x∆→∆=∆．[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1求2y x =在点1x =处的导数． 解:222(1)12()y x x x ∆=+∆-=∆+∆,22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆, ∴00limlim (2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.1'|2x y =∴=注意:2()x ∆括号别忘了写.变式训练: 求224y x x =+在点3x =处的导数.解:2222(3)4(3)(2343)2()16y x x x x ∆=+∆++∆-⨯+⨯=∆+∆,216yx x∆=∆+∆, 00lim lim(216)16x x y x x ∆→∆→∆=∆+=∆, 即3'|16x y ==.[设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力． 例2 21y x =+,求'y .解:[]2()1(21)y x x x ∆=+∆+-+2x =∆,2yx∆∴=∆, 0lim 2x y x∆→∆∴=∆,即'2y =.变式训练: y 求'y .解:y ∆yxx∆=∆∆,0limlimx x y x x ∆→∆→∆==∆∆=’'y ∴=[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．同时,便于学生发现不同题目解题过程的 区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：导数的概念.2．思想：特殊与一般、化归的思想．教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念说明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．求导数的步骤大致分为以下三步： 第一步，求函数增量； 第二步，求平均变化率并化简； 第三步，求平均变化率的极限，即导数． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1．阅读教材P74—76； 2.书面作业必做题： P79 习题3.1 A 组 1,2,3,4,5. 选做题：1.如果质点A 按照规律23s t =运动，那么在3t =时的瞬时速度为 .2.设函数()f x 可导，那么0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆ .3. 设函数()f x 3ax =+，假设'(1)3f =，那么a = .4.函数1y x x=+在1x =处的导数等于 . 5.质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位:cm ，时间单位：s)，求质点M 在2t =时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比拟. 答案:1. 18 2.1(1)3f ' 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s ,用两种方法求得的结果相同. 课外思考:函数()y f x =在一点处的导数有什么几何意义吗?[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫．七、教后反思1.“以学生为本〞的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历〞、“体会〞、“感受〞，最后形成概念的学习过程，充分表达了学生为本的现代教育观.2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定.八、板书设计x∆,我们称它处的导数,记作()f x '或(lim x f x yx x∆-∆=∆∆.。
《变化率与导数》教学设计
《变化率与导数》教学设计一、【复习回顾】二、【创设情境】1.平均变化率2.探究计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？三、【新知探究】1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-”小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-. 【例题精析】例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim. 解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5, 说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降 在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升. 注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、【课堂小结】1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.。
(完整word版)变化率与导数教案
113第二章 变化率和导数 2．1．1瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计一、教学目标通过本节课的学习，使学生掌握变化率的计算方法，理解导数的概念，掌握导数的计算方法，能够应用导数完成一些简单的问题解答。
二、教学内容1.变化率的概念及计算方法2.导数的概念及计算方法3.导数的应用三、教学重点1.导数的概念及计算方法。
2.导数在各种问题中的应用。
四、教学难点1.学生理解导数的概念。
2.学生理解导数在解决实际问题中的应用。
五、教学方法与教学手段本课程将采用讲授、练习、探究相结合的方式，其中讲授是主要手段，而探究是辅助手段。
1.讲授–通过讲述变化率和导数的概念及计算方法，引导学生理解。
2.练习•给出一些例题进行课堂练习，并对练习做出解释和总结。
3.探究–提供一些实际问题的案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题。
六、教学过程1.引入（5分钟）询问学生对导数的概念的了解程度，并简单介绍导数的定义。
2. 讲授变化率的概念和计算方法（40分钟）1.引入变化率的概念2.讲解变化率的计算方法3.对一些例题进行讲解和课堂练习3. 讲授导数的概念及计算方法（40分钟）1.导数的概念及其含义2.导数的计算方法3.对一些例题进行讲解和课堂练习4. 导数的应用（30分钟）1.探究导数在实际问题中的应用2.提供一些案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题七、教学评估通过给出的练习题和考试题进行评估，考察学生对变化率和导数的理解，以及对其在实际问题中应用的能力。
同时，教师也对学生的学习过程进行评估。
八、教学资源1.课本《数学选修1》，人教版。
2.基础视频教程，如B站，YouTube等。
九、课后作业1.完成课本中相关练习题。
2.自行寻找一些导数的各种应用案例解决问题。
十、教学总结本节课通过讲授、练习、探究相结合的方式，深入浅出地讲解了变化率和导数的概念及计算方法，让学生对导数的应用有了更深刻的理解。
同时，强化了学生的解决实际问题的能力。
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计 (2)
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计一、教学目标1.理解数学函数中变化率的概念和意义；2.掌握求解平均变化率和瞬时变化率的方法；3.理解导数的概念和意义；4.了解导数的符号、性质和计算方法；5.应用导数解决实际问题。
二、教学内容1.变化率的概念和意义；2.平均变化率的概念、计算方法及应用；3.瞬时变化率的概念、计算方法及应用；4.导数的概念和意义；5.导数的符号、性质和计算方法；6.导数的应用。
三、教学重点1.变化率的概念和意义；2.平均变化率和瞬时变化率的计算方法和应用；3.导数的概念、符号、性质和计算方法。
四、教学难点1.理解瞬时变化率的概念和意义；2.掌握求解导数的方法和应用。
五、教学方法1.讲授相结合的教学法；2.解决问题的教学法；3.案例教学法。
六、教学过程第一步：导入1.引入函数的概念，让学生了解函数的基本概念；2.介绍变化率的概念，让学生了解变化率的意义；3.引入平均变化率和瞬时变化率的概念，让学生了解两种变化率的区别和联系。
第二步：讲解1.讲解平均变化率的概念和计算方法；2.讲解瞬时变化率的概念和计算方法；3.讲解导数的定义和求导法则；4.讲解导数的符号、性质和计算方法。
第三步：示范1.示范如何求解平均变化率和瞬时变化率；2.示范如何求解导数。
第四步：练习1.练习求解平均变化率和瞬时变化率的题目；2.练习求解导数的题目；3.进行案例分析，让学生应用导数解决实际问题。
第五步：巩固1.总结导数的定义、求导法则、符号和性质；2.总结平均变化率、瞬时变化率和导数的应用。
第六步：拓展1.对导数的拓展，介绍高阶导数的概念和意义；2.对导数的应用进行拓展，介绍相关变化率的概念和计算方法。
七、教学评估1.课堂练习；2.作业练习；3.考试。
八、教学资源1.教材：人教版高中数学选修1；2.PPT课件；3.练习册。
九、教学反思本节课主要讲授了变化率和导数的概念、计算方法及应用，课堂中通过讲解、示范和练习等多种教学方法，让学生系统地掌握了这些知识点。
高中数学变化率的教案
高中数学变化率的教案
教学目标：
1. 理解变化率的概念，能够计算函数在某一点处的导数。
2. 掌握变化率与导数的关系，能够应用导数解决实际问题。
3. 提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 变化率的概念
2. 导数的计算
3. 导数的应用
教学难点：
1. 理解导数的定义及其应用
2. 解决实际问题时的应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引出变化率的概念，让学生感受到变化率的重要性和实际应用价值。
二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解变化率的定义及其计算方法。
2. 介绍导数的概念及其与变化率的关系。
3. 解释导数的意义和应用。
三、实例演练（20分钟）
1. 让学生通过例题计算函数在某一点处的导数。
2. 给学生几个实际问题，让他们应用导数解决问题。
四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生习题提供更多练习机会，巩固导数的计算和应用。
2. 让学生思考如何在实际问题中更好地使用导数解决问题。
五、总结与评价（5分钟）
总结今天的学习内容，强调导数在数学和实际问题中的重要性，并评价学生的学习情况。
六、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力，以及在解决实际问题中的应用能力。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的概念及其应用有了更深入的理解，提高了数学分析能力和解决问题的能力。
但在实际引导学生解答实际问题时，还需引导学生思考更深入，提高解决问题的能力。
变化率和导数(三个课时教案设计)
第一章导数及其应用第一课时：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r =分析: 343)(πV V r =，⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1212)()(V V V r V r --hto问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f y -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(21x f x f y 代替可用+∆)3． 则平均变化率为=∆∆xy xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率 三．备选例题44.043.041.040.01.0,21)(12、、、、的值为（）时，，则在、已知函数例D C B A y x x x x f y ∆=∆=+==例2、已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平x 1x 2Oy y =f (x )f (x 1)f (x 2)△x = x 2-x 1△y =f (x 2)-f (x 1) x均速度为 ． 五．回顾总结 1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业上的平均变化率在区间，变式训练，求函数、金榜时平均变化率值变化率，并求当上的平均的在区间，求，例、金榜]2,2[12221,1],[12)(12120002x x y P x x x x x x x f y P ∆++==∆=∆++==第二课时 导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然hto运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
变化率与导数教案
§1.1.3导数的几何意义王翠萍教材分析：这一节课是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。
探究和理解导数的几何意义，是在学习了导数的变化率和概念的基础上，结合函数图象，利用割线向曲线逐步逼近的方法和以直代曲的思想，给切线新的定义：即导数的几何意义。
课时分配：1课时。
教学目标：1．知识与技能目标：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；理解曲线的切线的概念；通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；2．过程与方法目标：培养学生分析、抽象、概括等思维能力；利用割线向曲线逐步逼近的方法和以直代曲的思想，培养学生科学的思维习惯；3．情感、态度与价值观：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，感受数学思想的魅力，激发学生的学习兴趣。
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：发现、理解及应用导数的几何意义。
教学过程： 一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（上一节讲过） （二）瞬时速度、导数（上一节讲过）我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解. 若有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 若不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点p 00(,())x f x 的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. （三）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即:0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（四）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系。
变化率与导数(教学设计)
3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)h t ht+∆-=∆v的值？学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()lim t h t t h t t∆→+∆-∆（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limv r v v r v v∆→+∆-∆（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-例1：求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆解：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)limlim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例3（课本P75例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
导数与变化率(教案)
变化率与导数（一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均 膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：hto⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．知 识 梳 理平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率x 1x 2Oyy =f (x )f (x 1) f (x 2) △x = x 2-x 1 △y =f (x 2)-f (x 1)x一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。
变化率与导数教案
变化率与导数教案一、教学目标：1.理解变化率的概念，知道变化率可以用来描述函数在一些点的瞬时变化。
2.掌握求函数在一些点的瞬时变化率的方法，可以利用导数求变化率。
3.理解导数的概念，认识导数是函数变化率的极限。
4.掌握求函数导数的方法，可以通过“导函数”公式或者导数的定义求函数的导数。
5.掌握利用导数求函数的极值、切线以及函数的增减性。
二、教学重难点：1.掌握求函数在一些点的瞬时变化率的方法，可以利用导数求变化率。
2.掌握求函数导数的方法，可以通过“导函数”公式或者导数的定义求函数的导数。
3.掌握利用导数求函数的极值、切线以及函数的增减性。
三、教学准备：1.教学课件、电子白板2.笔记本电脑、投影仪3.相关教学素材：函数的图像、求导公式。
四、教学过程：步骤一：导入与引入1.导入：通过呈现一个问题引入本节课的主题：“小明骑自行车从家到学校的距离是10公里，他用了1小时到达。
那么，小明在哪个位置的时候速度最快？”引导学生思考问题。
2.引入：让学生想一想在一小时内的任何时刻骑车的速度都是一样的吗？为什么？引导学生思考速度是如何变化的。
这种速度的变化可以用什么来描述？步骤二：引导学生理解变化率1.提问：让学生思考如果小明家到学校的距离是20公里，他用了1小时到达，那么小明在哪个位置的时候速度最快？在哪个位置的时候速度最慢？2.学生合作讨论，教师介绍：引导学生思考速度变化率的概念，说明速度变化率可以反映速度的变化情况。
如果速度变化率是正值，说明速度在增加；如果速度变化率是负值，说明速度在减小；如果速度变化率是零，说明速度保持不变。
3.举例说明：通过一个具体的例子，如小明每隔10分钟记录下自行车的位置，并计算出速度变化率。
通过计算结果展示速度是如何变化的。
步骤三：引导学生理解导数1.导入：提问学生，是否可以通过计算出速度变化率来确定速度在一些位置的变化情况？2.导入定义：引导学生理解导数的概念，导数是函数的变化率的极限。
第一课时变化率与导数教案
第一课时 变化率与导数、导数的计算一、学习目标：1、变化率与导数① 了解导数概念的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)② 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，会在已知切点的情况下求切线方程；③理解导函数的概念;2、导数的运算 ①能根据导数定义求函数xy x y x y C y 1,,,2====的导数 ②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二、自学探究1、自学课本P73—78（1）通过问题2了解平均变化率和顺势变化率的关系，如何由平均变化率得到瞬时变化率？（2）函数的瞬时变化率与导数是怎样定义的？导数与瞬时变化率的关系是怎样的？（3）导数有什么几何意义？2、自学课本P81—84（1）你能根据导数定义求一些简单函数如xy x y x y C y 1,,,2====的导数吗？ 如何理解例题中的x ∆？（2）求导数的方法:八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝ )('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(3)导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v 三、分层训练(一)必做题1．设函数f （x ）在x =x 0处的瞬时变化率也叫函数f （x ）在x =x 0的 ,0lim →h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与 有关而与 无关 。
2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 秒末。
3．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f 。
数学选修《变化率与导数》高中教案
数学选修《变化率与导数》高中教案数学选修《变化率与导数》高中教案数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。
它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。
下面是整理的有关数学选修《变化率与导数》高中教案。
高中数学选修1-1《变化率与导数》教案1教学准备1.教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2.教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y=f（x）在x=x0处的导数3.教学用具多媒体、板书4.标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究[1]变化率问题【合作探究】探究1气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数，那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.620.16可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.【思考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少?解析：探究2高台跳水【师】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?（请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
高中数学教案认识指数函数的导数与变化率
高中数学教案认识指数函数的导数与变化率导论本节课的教学目标是让学生掌握指数函数的导数的计算方法，理解导数与函数变化率的关系，提高学生对数学问题的分析与解决问题的能力。
一、导数的引入1. 引入导数的概念导数是描述函数变化率的概念，通过计算导数可以研究函数在不同点的变化情况。
2. 指数函数的导数定义指数函数f(x)=a^x的导数f'(x)等于常数a的指数函数的值与x的乘积。
二、导数计算方法1. 指数函数的导数计算由指数函数的导数定义可知，对于任意的指数函数f(x)=a^x，其导数f'(x)=ln(a)·a^x。
2. 指数函数求导的公式总结对常见的指数函数形式进行导数计算的公式总结，如指数函数f(x)=e^x和f(x)=10^x的导数分别为f'(x)=e^x和f'(x)=ln(10)·10^x。
三、导数与变化率的关系1. 变化率的定义变化率是描述函数在某一点附近的变化程度，可以通过导数来计算。
2. 导数与变化率的关系导数f'(x)表示函数f(x)在点x处的变化率，即函数在该点的切线斜率。
通过计算导数可以判断不同点处的函数变化趋势。
四、应用题1. 指数函数的变化率问题通过计算指数函数在不同点的导数，可以求得函数在该点处的变化率，进而分析函数在整个定义域内的变化规律。
2. 实际问题的应用通过导数与变化率的概念，可以应用到实际问题中，如在经济学、物理学等领域的应用。
五、综合练习1. 习题选讲选取一些典型的练习题，通过计算导数和分析变化率，加深对指数函数导数与变化率的理解。
2. 解题技巧总结总结解决该类问题的一般方法和思路，为以后的学习提供指导。
六、课堂小结通过本节课的学习，我们对指数函数的导数与变化率有了更深入的认识。
导数计算方法、导数与变化率的关系等知识点的掌握，为以后的学习打下了坚实的基础。
同时，通过应用题的练习，也提高了我们解决数学问题的能力。
变化率与导数教案
变化率与导数教案教案标题：变化率与导数教案教案目标：1. 了解变化率的概念和意义；2. 理解导数的定义和计算方法；3. 掌握使用导数求函数在某一点的变化率；4. 能够应用变化率和导数解决实际问题。
教案内容和步骤：一、引入（5分钟）1. 激发学生学习本课内容的兴趣，例如，介绍一些实际应用中变化率的重要性和意义。
2. 提问引导学生思考：什么是变化率？我们可以如何计算它？二、理论讲解（15分钟）1. 介绍变化率的定义：变化率是指函数在某一点的增长速度或减少速度。
2. 解释变化率的计算方法：计算函数在两个点间的斜率，或者通过求函数的导数。
3. 引入导数的概念：导数是函数在某一点的变化率。
介绍导数的符号表示和几何意义。
4. 讲解导数的计算方法：通过限定增量趋近于零的极限来计算导数。
三、例题演练（15分钟）1. 给出一个函数，要求学生计算其一些特定点上的导数。
2. 指导学生使用限定增量计算导数的方法，理解导数的物理意义。
3. 利用导数计算函数在某一点的变化率，并解释其意义。
四、综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生应用导数和变化率的概念解决问题。
2. 通过问题的解答，巩固学生对导数和变化率的理解。
五、拓展延伸（10分钟）1. 引导同学思考：导数和变化率是否总是有意义的？有什么例外情况？2. 讲解导数在图像上的几何意义：导数表示函数图像的切线斜率。
3. 鼓励学生通过阅读相关书籍或课外资料，深入了解导数的应用领域。
六、总结与评价（5分钟）1. 总结本节课的重点内容，强调变化率与导数的关系和应用。
2. 提醒学生复习导数计算的方法和应用技巧。
3. 鼓励学生提出问题和困惑，并对本节课的教学进行评价。
备注：根据实际教学情况，上述步骤的时间可以适当调整。
同时，可以在教案中加入多媒体教学资源、互动讨论等教育工具，以提高学生的参与度和理解能力。
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变化率与导数教案第三章变化率和导数3．1．1瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[xA ，xB]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看113114出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f kPQ--=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f kPQ∆-∆+=)()(00当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用115 时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：tt s t ts ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t ts ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t∆和位置改变量)()(0t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度tsv ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t tv ∆-∆+)()(00(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t tv ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
变式:1.求21()f x x =过点(1,1)的切线方程1162.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________3.已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在?例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么s t∆∆为（ ） Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=221gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度 (2)求t=3s 时的瞬时速度 (3)求t=3s 时的瞬时加速度点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬3.1.2 导数的几何意义（1）教学目的： 1. 了解平均变化率与割线之间的关系 2. 理解曲线的切线的概率117 3. 通过函数的图像理解导数的几何意义 教学重点函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学难点理解导数的几何意义 教学过程 的斜率探究曲线的切线及切线是什么？变化趋势时割线，趋近于点沿着曲线，，，，当点n n n n PP x f x P x f n x f x p ))(()()4321))(((00 =的斜率无限接近与切线的斜率割线PT k PP n n)()()(lim )()(lim '000000x f xx f x x f x x x f x f k x n n x =∆-∆+=--=→∆→∆注意：.01斜率处的切线的的斜率为曲线在点割线时，，那么当）设切线的倾斜角为（P PP x n →α.2点的导数的斜率可以求该）求曲线上某点的切线（.3函数在该点的导数—）切线的斜率（练习上的平均变化率为，在区间函数]31[2.13x x y -==∆∆∆+∆+-=xff x x x f ，则，及附近一点，的图像上一点若函数)11()11(12)(.22.2021.3.32时的平均速度到）求（）求此物体的初速度；（是，其位移与时间的关系一个做直线运动的物体==-=t t t t s=∆-∆-==→∆xx f x x f x x x f y x )()(lim .11)(.40000则处的导数为在已知函数 导数的几何意义：.)(0数在该点时的导数处的切线的斜率就是函在函数x x x f y ==曲线在某点的切线.3..2.1可以有多个甚至无数个不一定只有一个交点，）曲线的切线与切线并（则不存在切线，切线且唯一；若无极限如有极限，则在此点有限位置来判断与求解）要根据割线是否有极（）与该点的位置有关（.)21(1)(.12处的切线方程，在点求曲线例P x x f y +==118练习处的切线方程为，在点）函数（)221(11--=x y=-=k A x x y 处的斜率，，求曲线上点）已知（)21(322导函数的定义.)()()()()(''''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数=xx f x x f y x f x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0''即注意.)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x.)()(30'0处的函数值在处的导数就是导函数在）函数（x x x f x x f = .]72(1.22处的斜率，的导数，及在求函数例++=x x y3.2．3导数的几何意义(2)教学目标：理解导数概念.掌握函数在一点处的导数定义及求法.掌握函数的导数的求法.教学重点：导数的概念及其求法.及几何意义。
教学难点：对导数概念的理解. 教学过程： 复习引入 1．函数的导数值函数y ＝f (x )，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，119 则函数y 相应地有增量 ∆y ＝f (x 0＋∆x )－f (x 0)．比值xy∆∆就叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率，即 .)()(00xx f x xf xy ∆-∆+=∆∆如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在x 0处的导数(或变化率) 记作f '(x 0) 或0x x y'=，即 f'(x 0)＝xyx ∆∆→∆0lim =xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 002．函数 y ＝f (x ) 的导函数如果函数在开区间(a , b)内每点处都有导数，对于每一个x 0∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f '(x 0)．从而构成一个新的函数f '(x )．称这个函数为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y '．.)()(lim lim')(' 00xx f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆即3．导数的几何意义函数y ＝f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）120处的切线的斜率是f '(x 0)．切线方程为 y －y 0＝f '(x 0) (x 0－x 0)． 练习：1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ A ）A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的导数D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．下列说法正确的是（ C ）A ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处有切线，则f ′ (x 0)必存在C ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y = f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线3．已知曲线，上一点)38,2(313P x y 求⑴ 点P 处的切线的斜率；⑵ 点P 处的切线的方程．121 解：⑴,313x y = x y y x ∆∆='∴→∆0lim xx x x x ∆-∆+=→∆33031)(31limxx x x x x x ∆∆+∆+∆=→∆3220)()(33lim 31])(33[lim 31220x x x x x ∆+∆+=→∆,2x =.4222=='=x y ∴点P 处的切线的斜率等于4．⑵在点P 处的切线的方程是),2(438-=-x y 即.016312=--y x新课讲授： 例1． 教材例2。
例2． 教材例3。
练习：甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：（1）甲、乙二人哪一个跑得快？（2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？ 解：（1）乙跑的快；（2）乙跑的快. 例3．教材P10面第5题 例4．教材P11面第3题。
例5．已知：曲线12-=xy 与13+=xy 在0x处的切线互相122垂直，求的值。
例6．已知点M (0, –1)，F (0, 1)，过点M 的直线l 与曲线31443y x x =-+在x = –2处的切线平行. （1）求直线l 的方程；（2）求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程. 解：（1）∵0(2)(2)(2)lim x f x f f x ∆→-+∆--'-=∆= 0. ∴直线l的斜率为0，其方程为y = –1.（2）∵抛物线以点F (0, 1)为焦点，y = –1为准线. 设抛物线的方程为x 2 = 2py ，则1,22pp ==. 故抛物线C 的方程为x 2= 4y .课堂小结 导数的几何意义函数y ＝f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P （x 0, f (x 0)）处的切线的斜率是f '(x 0)．切线方程为 y －y 0＝f '(x 0) (x 0－x 0)． 课 后 作 业3．2．4．导数与导函数的概念123 教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义； 2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。