第三讲 运动守恒定律(一).

Anc = ∆Ek + ∆E p = ∆E 能量转换并守恒！
动量定理
动量守恒定律
动量定理
动量守恒定律
冲量(Impulse)：力对物体作用的时间积累效果 应用牛顿第二定律，
t2 t2 dv ⋅ dt I = ∫ F ⋅ dt = ∫ m t1 t1 dt v2 = ∫ mdv =m2v 2 − m1v1 = p 2 − p1
h
m M
【例】(P49) 如图所示,设炮车以仰角θ 发射一炮弹， 炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口相对炮 身的速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的 摩擦力不计。 v
M
θ m
解题思路?
分量形式√
解: 对地面参考系，炮弹对地速度
u
为
u = v +V
u = v +V
速度取向右为正， 水平分量为
F ⋅ d r = 0 ∫
常见的保守力有：重力、理想弹性力、万有引力 和静电力等。 摩擦力为非保守力！
1 2 1 2 A弹力 = kxa − kxb 2 2
1 1 A重力 = −G0 mM ( − ) ra rb
质点在保守力场中与位 置相关的能量，是一种 潜在的能量。
因此对于保守力（场）。可定义势能：
M
θ m
v
ux v cos θ − V =
炮弹在水平方向的动量守恒,因此
− MV + m (v cosθ − V ) = 0
炮车的反冲速度为
m V = v cos θ m+M
注意参照系选取的“同一性”!
动量定理及动量守恒定律的解题方法和步骤： 1.确定研究对象； 2.分析物体受力，正确区分物体系统的内力和外力； 3.确定物体系统初、终态的动量，注意动量的矢量性； 4.根据动量定理或动量守恒定律列方程求解。 【注意】： 1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往 往可忽略外力。 3、动量守恒可在某一方向上成立。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同 一时刻的动量之和。
∆A2 = F2 ⋅ ∆r2
Δ Ai = Fi • ∆ri
Aab =
Δ r4 Δ r3 Δ r2 F4 F3 Δ r1 a F 2 F1
Δ ri
Fi
b
∑Δ A = ∑
i i i
Fi • ∆ri
变力做功
dA = F ⋅ dr 即：F与dr 的(第二型)线积分！
2 4 A = ∫ Fdx = ( 3 x + x 2 ) 0 = 32 J 2 x1 x2
问1：如果是从x=4移动到x=0 处呢？ 问2：如果在另一个惯性参考系中看， 是从x=0移动到x=2 处呢？
【例】弹力做功（质点作一维运动）
建立坐标系 X
l0
xb
O xb
xb
x
xa
1 2 1 2 A = ∫xa F d x = − ∫xa kx d x = kxa − kxb 2 2
其他方法？
解：考察整个系统，运用功能原理，
A fr
R
θ
O
N G B v
机械能守恒定律: (Conservation of Mechanical Energy)
Aext + Anc = ∆Ek + ∆E p = ∆E
当Aext = 0：
（孤立体系中）能量既不能 产生，也不能消灭，它只能 从一种形式转换到另一种形 式，但总能量是守恒的。 A=0时，机械能守恒！
v1
t1
t2 I = ∫ F ⋅ dt − − − 冲量
p = mv − − − 动量
dp =F dt
动量定理： 物体所受合外力的冲量I 等于物体动量的增量
t2 I = ∫ F ⋅ dt = p2 − p1 = ∆p
t1
冲量曲线与平均冲力 (Average Force) t2 I = ∫ F ⋅ d t =F ( t 2 − t 1 )
解： A = F ⋅ ∆s = Fx ⋅ ∆x + Fy ⋅ ∆y = 18( J)
二、变力的功 物体在变力的作 用下从a运动到b。 怎样计算这个力 的功呢？ b
a
采用微元分割法
第1段近似功： 第2段近似功：
∆A1 = F1 ⋅ ∆r1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 第i 段近似功： ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 总功近似：
合外力所作的功等于质点动能的增量!
Aab = E kb − E ka = ∆E k
讨论： a. 什么条件下，质点动能增大或减小？ b. 动能的量值与参考系有关吗？Yes! c. 动能定理适用于非惯性系吗？No! d. 功是一个过程量还是状态量？
保守力和势能(Potential energy)
保守力做功 做功大小与路径无关-----保守力 (Conservative Force)，其基本特点如下：
总结
功；变力做功的计算方法 能；动能；保守力及势能 机械能； 机械能守恒定律 动量定理；动量守恒定律
课后作业
作业： 1-12 1-14 3-1 3-3 3-8
t1
F
某一方向： I x = ∫ Fx dt = Fx ( t 2 − t 1 ) ⋅
t1 t2
F
t
质点系的 动量定理；动量守恒定律
对开放系统而言，各外力矢量和的冲量等于 质点系的动量之增量。
当∑ F外 = 0时，p = ∑ pi = const. 如F ≠ 0, 但∑ Fix = 0， 则： m1v1x + m2 v2 x + .... = const. 动量守恒定律
F
r
m
dr
α
dr
a
= dr mM ∴ dA = −G0 2 dr r
rb
rb
O
M
rb
b
mM 1 1 A = ∫ra d A = ∫r − G0 2 d r = −G0 mM ( − ) a r ra rb
结论:与质点的始末位置有关，与具体路径无关。
Mm (势能零点：无穷远处) = − E G 万有引力势能 p 0 r
再次求导，
伽里略速度变换
绝对速度 = 相对速度 + 牵连速度
a = a ' + a0
注意：叠加发生在同一个参考系，变换涉及不同参考系
能量（机械能）守恒定律
牛顿运动定律 力 功 动能 位移
质点系：
动 能 定 理
功能原理 机械能守恒定律 能量转化与守恒 定律
对应物理定律的时间平移不变性！ 适用范围更广！！
功率 (Power)：单位时间做功
d A = F ⋅d r
dA F ⋅ dr = = F ⋅v Power = dt dt
汽车爬坡，挂低档！
质点动能定理
应用牛顿第二定律，
2 2 dv A = ∫ F ⋅ dr = ∫ m ⋅ dr 1 1 dt v2 1 2 1 2 = ∫ mv dv = mv2 − mv1 v1 2 2 = Ek2 − Ek1 = ∆Ek
大学物理（丙）
第三讲
运动守恒定律(一)
相对运动
两个相对平动参照系
y S
r
y′ S′相对S平动，速度为 v0 S′ P
r'
r0
r = r ′ + r0
x′ x
o′
o
r = r ′ + r0
两边取导数（对时间）， （默认时间测量的绝对性）
v = v ′ + v0
弹性势能
2 Ep = 1 kx (势能零点：x = 0) 2
保守力作功：
Ac = E pa − E pb = −∆E p
保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增 量的负值）。 讨论： （1）势能是属于物体系统还是单个物体 所具有？ 系统! （2）势能值有绝对意义吗？ No！
* 第一、第二宇宙速度
如图，M 大于m ，当m 从高h 处自由下落后极短时 间内拉紧绳子，求绳子刚被拉紧时两物体的速率.
绳子被拉紧前后，应用动量定理
拉紧前 m: V0 = 2 gh M: m: (T − Mg ) ⋅ ∆t = Mu (mg − T ) ⋅ ∆ = t mu − mv0
Mg mg ∆t 很短 ∴ T m ∴u = 2 gh M +m
Mm 万有引力势能 E p = −G0 r (势能零点：无穷远处)
第一宇宙速度
v1 m = G0 Mm 2 rE rE
2
G0 M = grE = 7.9 km/s v1 = rE
第二宇宙速度
1 2 mv2 − G0 Mm = 0 rE 2
v2 = 2 grE = 11.2 km/s
功能原理
质点系的动能定理
1.守恒定律在惯性系中成立，故所有速度v均相对同一惯性系！ 2.动量守恒定律适用于高速或微观物体。 3.在碰撞和爆炸过程中，内力远大于外力，动量近似守恒。
动量守恒定律
牛顿运动定律
质量 速度
动量的时 间变化率
动量
动量 定理
质点系，封闭系统： 动量守恒定律
对应物理定律的空间平移不变性！ 适用范围更广！！
Ae + Ai = ∆E k
内容：系统的外力和内力作功的总和等于系统 动能的增量。
质点系的功能原理
A外 + A保守内力 + A非保守内力 = Ek2 − Ek1 A保守内力 = EP1 − EP 2， = E2 − E1 则 A外 + A非保守内力 = （Ek2 + EP 2） − （Ek1 + EP1）