市北中学2014学年第一学期期中考试高一数学试卷

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2014-2015年上海市闸北区市北中学高一(下)期中数学试卷和答案

2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计30分）1．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．2．（3分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（﹣4，3）是角α终边上一点，则sinα+2cosα=．3．（3分）函数y=tan2x的最小正周期．4．（3分）已知，，则tan2x=．5．（3分）在△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的最小角为（用反三角函数表示）6．（3分）已知，α为第二象限角，则=．7．（3分）已知tan（π﹣x）=3，则sin2x=．8．（3分）函数f（x）=cos2x+sin2x图象向左平移m（m＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m的最小值为．9．（3分）关于函数f（x）=x•arcsinx有下列命题：①f（x）的定义域是R；②f（x）是偶函数；③f（x）在定义域内是增函数；④f（x）的最大值是，最小值是0，其中正确的命题是．（写出你所认为正确的所有命题序号）10．（3分）方程x2﹣cosx=0的解可视为函数y=cosx的图象与函数y=x2的图象交点的横坐标，则方程实数解的个数为．二、选择题（每题4分，共计16分）11．（4分）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件12．（4分）“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=60°B．a=6，c=5，B=60°C．a=7，b=5，A=60°D．a=3，b=4，A=45°14．（4分）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．（8分）已知，，，且，求的值？16．（10分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且，b=3，sinC=2sinA．（1）求c的值；（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．18．（12分）已知函数，（1）若，求a；（2）如果关于x的方程|f（x）|=m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计30分）1．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是3π．【解答】解：扇形的圆心角为1200，即扇形的圆心角为，则扇形的面积是α r2==3π，故答案为：3π．2．（3分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P（﹣4，3）是角α终边上一点，则sinα+2cosα=﹣1．【解答】解：∵点P（﹣4，3）是角α终边上一点，∴x=﹣4，y=3，r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，则sinα+2cosα=﹣=﹣1，故答案为：﹣1．3．（3分）函数y=tan2x的最小正周期．【解答】解：函数y=tan2x的最小正周期为，故答案为：．4．（3分）已知，，则tan2x=．【解答】解：∵，，∴sinx=﹣∴tanx=﹣∴tan2x===故答案为：5．（3分）在△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的最小角为arccos（用反三角函数表示）【解答】解：由大边对大角可知，边c所对的角C最小，由余弦定理可得：cosC==．∵0°＜C＜180°，∴C=arccos．故答案为：arccos．6．（3分）已知，α为第二象限角，则=3．【解答】解：∵已知=cosα，α为第二象限角，∴sinα==，则==3，故答案为：3．7．（3分）已知tan（π﹣x）=3，则sin2x=﹣．【解答】解：由tan（π﹣x）=3可得，tanx=﹣3，sin2x=2sinxcosx=故答案为：﹣8．（3分）函数f（x）=cos2x+sin2x图象向左平移m（m＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m的最小值为．【解答】解：把函数f（x）=cos2x+sin2x=sin（2x+）图象向左平移m（m＞0）个单位，可得y=sin（2x+2m+）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ，k∈Z，则m的最小值为，故答案为：．9．（3分）关于函数f（x）=x•arcsinx有下列命题：①f（x）的定义域是R；②f（x）是偶函数；③f（x）在定义域内是增函数；④f（x）的最大值是，最小值是0，其中正确的命题是②④．（写出你所认为正确的所有命题序号）【解答】解：对于①﹣1≤x≤1，∴函数的定义域不可能为R，故①错误；对于②f（﹣x）=f（x），两个奇函数乘积偶函数，∴为偶函数，故②正确；对于③由于是偶函数，则f（x）在定义域内不可能单调，故③错误；对于④左边单减，右边单增，∴f（x）的最大值是，最小值是0，故④正确．故答案为：②④．10．（3分）方程x2﹣cosx=0的解可视为函数y=cosx的图象与函数y=x2的图象交点的横坐标，则方程实数解的个数为4．【解答】解：∵，∴sin=（x≠0），令f（x）==（x+），则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，做出y=sin和y=f（x）在（0，+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y=sin和y=f（x）在（0，+∞）上有2个交点，又y=sin和y=f（x）都是奇函数，∴y=sin和y=f（x）在（﹣∞，0）上有2个交点，∴方程有4个解，故答案为：4．二、选择题（每题4分，共计16分）11．（4分）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，∴△ABC中，“A＞B”⇔“cosA＜cosB”，故选：C．12．（4分）“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数y=cos（x+φ）为偶函数，则φ=2kπ，k∈Z，故“φ=0”是“函数y=cos（x+φ）为偶函数充分不必要条件，故选：A．13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，C=60°B．a=6，c=5，B=60°C．a=7，b=5，A=60°D．a=3，b=4，A=45°【解答】解：对于A，若b=10，A=45°，B=60°，则由正弦定理可得，求得a=，故△ABC有一解；对于B，若a=6，c=5，B=60°，则由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB，求得b=，只有一解，故△ABC有一解；对于C，若a=7，b=5，A=60°，则由正弦定理可得，求得sinB=，再根据b＜a，可得B为锐角，故角B只有一个，故△ABC有一解；对于D，若a=3，b=4，A=45°，则由正弦定理可得，求得sinB=，再根据b＞a，可得B＞A，可得：B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解，故选：D．14．（4分）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]【解答】解：本题即求函数F（t）=50+4sin的增区间，由，k∈z，解得4kπ﹣π≤t≤4kπ+π，故函数F（t）=50+4sin的增区间为[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z，结合所给的选项，只有选项C中的区间是[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z的子区间，故选：C．三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．（8分）已知，，，且，求的值？【解答】解：，，∴0＜﹣β＜，∴0＜α﹣β＜π；又，∴sin（α﹣β）=；∴tan（α﹣β）==；又，∴tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===﹣，∴===．16．（10分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．【解答】解：（1）∵，∴sin∠EAC=．（2分）∴cosθ=cos（﹣∠EAC）=+=．（6分）（2）利用余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ=925，∴BC=5．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里，该船的行驶速度v=15（海里/小时）．（14分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且，b=3，sinC=2sinA．（1）求c的值；（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a=，sinC=2sinA，∴根据正弦定理得：c=a=2a=2；（Ⅱ）∵a=，b=3，c=2，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，∴sinA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=cos2A﹣sin2A=，三角形ABC的面积S==3．18．（12分）已知函数，（1）若，求a；（2）如果关于x的方程|f（x）|=m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）解：y=cos2x+sinxcosx=×+==，∵，∴sin（2α+）=，解得2=2k或2=2kπ+，或（k∈Z）．（2）画出y=|f（x）|的图象，再画出y=m的图象，结合图象可知它们有两个不同的交点的情况；可得m=0，1﹣＜m＜，＜m＜1+．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x+sin2x=）=sin（2x +），∴f（x）的最小正周期T=；∵f（﹣x）≠f（x）≠﹣f（x），f（x）是非奇非偶函数；由﹣+2kπ≤2x +≤2kπ，k∈Z 得﹣+kπ≤x，k∈Z∴f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]（k∈Z）；（2）当时，2x +，结合正弦函数图象可得，sin（2x +），∴函数f（x）的最大值和最小值分别为，﹣1．第11页（共11页）。

2013-2014学年度上学期期中考试(高一数学)附答案

2013-2014学年度上学期期中考试高一数学试卷时间：120分钟分值：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 集合{}{}2,,(,)2,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==+∈⋂则A B=( )A ．{（-1,2），(2，4) } B. {( -1 , 1)} C. {( 2, 4)} D. φ2. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）3. 定义集合运算A ◇B =|,,c c a b a A b B =+∈∈，设0,1,2A =，3,4,5B =，则集合A ◇B 的子集个数为（）A .32B .31C .30D .144. 已知函数1232(2)()log (1)(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ，则))2((f f 的值为 A. 2 B. 1 C. 0 D.35. 已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20.3b -=，12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 6. 已知21)21(x x f =-，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．4 B ．41 C ．16 D ．1617. 已知函数()=f x 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是（）A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤48. 函数212()log (32)f x x x =-+的递增区间是A ． (,1)-∞B ． (2,)+∞C ． 3(,)2-∞ D ．3(,)2+∞　9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(),0-∞上单调递减，且有()3=0f ，则使得()0<f x 的x 的范围为（）A.(),3-∞B. ()3,+∞C.()(),33,-∞+∞D.()3,3-10.对实数a 和b 定义运算“⊗”：,1,,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A ．3(,2](1,)2-∞--B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(1,)(,)44-+∞D ．31(1,)[,)44--+∞二、填空题（每题5分，共25分） 11．函数)12(log 741)(2++-=x x x f 的定义域为 .12．幂函数()22211m m y m m x--=--在()0,x ∈+∞时为减函数，则m= ．13. 已知2510m n==，则11m n+= ． 14. 如果函数()f x 满足：对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=,且()11f =，则()()()()()()()()()()2342011201212320102011f f f f f f f f f f +++++= _________．15. 给出下列命题：①()f x 既是奇函数，又是偶函数；②()f x x =和2()x f x x=为同一函数；③已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；④函数y =[0,4) 其中正确命题的序号是 .三、解答题（共75分）16.（本小题满分12分）⑴计算：0.25-2-25.0log 10log 2)161(85575.032----⑵已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，当x ≤0时，)(x f =x(1+x).求函数)(x f 的解析式并画出函数)(x f 的图象.17.（本小题满分12分）已知集合{}|5239A x x =-≤+≤，{}|131B x m x m =+≤≤- （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？19．（本小题满分12分）定义运算：a bad bc c d=- （1）若已知1k =,求解关于x 的不等式101x x k< -（2）若已知1()1x f x k x=- -，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值。

市北中学高一上学期期终考试

高一上学期期终考试姓名_____________班级_________学号________成绩_________一、填空题：（每题3分,共30分）1. 已知全集{}的质数小于20=U ，A 、B 是U 的子集。

若{}3,2)C (U =A B , {}17,11)(=B C A U ,{}5)(=B A C U ,则A=__________。

2. 不等式3223+>+x x 的解集为___________。

3. 函数1lg +=x y 的反函数为___________。

4. 若函数11)(),1()(-=-=x x g x x x f ，则=⋅)()(x g x f ___________。

5. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=0,20,2)(22x x x x x x x f ，则=))1((f f ___________。

6. 函数32++=x x y 的图像不经过第________象限。

7. 已知310<<x ，则)31(x x -⋅的最大值为___________。

8. 试列举一个实数a ，使得关于x 的方程a axlg 1lg 121-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛有正根，则a =______________。

9. 已知1)0(=f ，对任意R y x ∈,，)12()()(+-⋅-=-y x y x f y x f ，则)(x f 的最小值为___________。

10.记号[]x 表示不超过x 的最大整数，例[][]53.4,35.3-=-=，则方程[]23=-x x 的解为___________。

二、选择题：（每题3分,共12分）11.已知b a ,为非零实数，且b a <，则下列命题成立的是（） (A) 22b a < (B) 22ab b a < (C)ba ab 2211< (D) b a a b <12.)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的（）条件。

2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案

2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案2014——2015学年下学期高一年级期中考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 不等式0121≤+-x x 的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 若0< B ．b a 22> C ．b a > D ．b a )21()21(> 3. 不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．134. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．665. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或26. 在△ABC 中，80=a ，70=b ，45=A ，则此三角形解的情况是（） A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解7. 如果0<⋅C A ，且0<⋅C B ，那么直线0=++C By Ax 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8.已知点()5,x 关于点),1(y 的对称点为()3,2--,则点()y x p ,到原点的距离为( )A ．4B ．13C ．15D ．179. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1B ．216－2C ．216－3D ．216－4 10. 数列{}n a 满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则=2014T ( ) A.61B ．61- C ．6 D ．6- 11. 已知0,0>>y x ，且112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)D ．(－4，2) 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列50021,,,a a a 的“理想数”为2004，那么数列12,50021,,,a a a 的“理想数”为( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015第Ⅱ卷（非选择题共90分）19.(12分) 已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求OAB ∆的面积的最小值及此时直线l 的方程．20. (12分) 某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？21. (12分) 在各项均为正数的等差数列{}n a 中，对任意的*N n ∈都有12121+=+++n n n a a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足11=b ，na n nb b 21=-+，求证：对任意的*N n ∈都有212++<n n n b b b .22. (12分)设函数())0(132>+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，)1(1-=n n a f a ，*N n ∈，且2≥n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)对*N n ∈，设13221111++++=n n n a a a a a a S ，若ntS n 43≥恒成立，求实数t 的取值范围．答案一、选择题：（每题5分，共60分）13、 3 14、349π15、 2 16、 ①②⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BBCCACDCDDA18. 解析 27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即 22222222(2):cos 211cos ()3.2223123,3: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 19. 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab，即ab≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0. 20. 解据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ．所以还得走15千米到达A 城． 21. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3，即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n. (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0，所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.22. 解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g(n)＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g(n)＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p≥5，p ∈N *.g(n)＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g(n)min ＝45.所以t≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，45.。

2022-2023学年上海市市北中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市市北中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列四个命题中，为真命题的是（）．A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d >则a c b d ->-C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11a b< 【答案】C【分析】ABD 可举出反例，C 选项可利用作差法比较大小.【详解】A 选项，当0c 时，220ac bc ==，A 错误；不妨设4,3,2,1a b c d ====，满足a b >，c d >，而a c b d -=-，B 错误；若a b >，则0a >，故0,0a b a b +>->，所以()()22220a b a b a b a b =-+-=>-，故22a b >，C 正确；不妨设4,1a b ==-，满足a b >，此时11a b>，D 错误. 故选：C 2．命题“对任意的x ∈R ，()0f x >”的否定是（）．A ．对任意的x ∈R ，()0f x ≤B ．对任意的x ∈R ，()0f x <C ．存在0x ∈R ，()00f x >D ．存在0x ∈R ，()00f x ≤【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以D 选项正确.故选：D3．若集合{}{}20,,1,2A m B ==则“1m =”是“{0,1,2}A B =”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由题得{0,1,2A B ⋃=}所以m =或1m =±，所以“1m =”是“{}0,1,2A B =”的充分不必要条件，选A.4．设01b a <<+，若关于x 的不等式()()22x b ax ->的解集中的整数解恰有3个，则（）． A ．10a -<，不等式的解集为,11b b a a -⎛⎫⎪-+⎝⎭，又011b a <<+，则解集中的整数为2-，1-，0，进而列出不等式求解即可得答案.【详解】解：关于x 的不等式()()22x b ax ->，即()222120a x bx b -+-<， ∵01b a <<+，()()110a x b a x b +-⋅-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集中的整数恰有3个，∴1a >，∴不等式的解集为,11b b a a -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，又011b a <<+， ∴解集中的整数为2-，1-，0． ∴321b a -≤-<--，即231b a <≤-， ∴2233a b a -<≤-，∵1b a <+，∴221a a -<+，解得3a <，综上，13a <<．故选：C ．二、填空题5．设全集{}1,0,1,2U =-，若集合{}1,0,2A =-，则A =______．【答案】{}1【分析】根据补集的概念进行计算. 【详解】{}1A =.故答案为：{}16．已知集合(),3A =-∞、()2,B =+∞，则A B =_______．【答案】(2,3)【分析】根据交集的定义直接求解即可【详解】因为(),3A =-∞、()2,B =+∞，所以(2,3)A B =，故答案为：(2,3)7．设:14x α<≤，:x m β≤，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是______．【答案】[)4,+∞【分析】根据题目条件得到14x x m ≤<⇒≤，从而求出实数m 的取值范围.【详解】α是β的充分条件，故14x x m ≤<⇒≤，所以4m ≥，实数m 的取值范围为[)4,+∞.故答案为：[)4,+∞8．若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为{}13x x -<<，则a b -=______．【答案】-2 【分析】将不等式解集问题转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理求出24,33a b =-=，得到答案.【详解】由题意得：-1,3为方程220ax bx ++=的两根，故213,13b a a-+=--⨯=，解得：24,33a b =-=，故24233a b --=-=-. 故答案为：-29．已知集合(){},10A x y x y =+-=，(){}2,1B x y y x ==-，则用列举法表示A B =______．【答案】()(){}2,3,1,0-##()(){}1,0,2,3-【分析】通过解方程组求得A B ⋂. 【详解】由2101x y y x +-=⎧⎨=-⎩解得23x y =-⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以()(){}2,3,1,0A B ⋂=-.故答案为：()(){}2,3,1,0-10．若集合(){}210,R A x k x x k x =++-=∈有且仅有一个元素，则实数k 的值是______．【答案】1-或12- 【分析】对k 进行分类讨论，结合判别式求得k 的值.【详解】当10,1k k +==-时，{}1A =-，符合题意.当10,1k k +≠≠-时，令()()22141441210k k k k k ∆=++=++=+=，解得12k =-，综上所述，k 的值为1-或12- 故答案为：1-或12- 11．已知0a >，则关于x 的不等式1ax a x+≥的解集是______．【答案】()1,00,2a ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】根据绝对值不等式的解法、分式不等式的解法求得正确答案.【详解】依题意，0a >，11ax a a x x +=+≥，所以1a a x +≤-或1a a x +>，即210ax x+≤或10x >，即()2100ax x x ⎧+≤⎨≠⎩或0x >，解得102x a-<<或0x >，所以不等式1ax a x +≥的解集是()1,00,2a ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()1,00,2a ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭ 12．设集合{}1,2,3,,n S n =，若n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 奇（偶）子集．若6n =，则n S 的所有奇子集的容量之和为______．【答案】47【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.【详解】6n =时，{}61,2,3,4,5,6S =，含有一个元素的奇子集为{}{}{}1,3,5，含有两个元素的奇子集为{}{}{}1,3,1,5,3,5，含有三个元素的奇子集为{}1,3,5，故所有奇子集的容量之和为13513153513547+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.故答案为：47.13．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a＞0”，有如下解法：由ax 2－bx ＋c ＞0⇒a －b 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋c 21()x ＞0.令y ＝1x ，则y ∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.类比上述解法，已知关于x 的不等式k x a +＋x b x c++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x 的不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为________．【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据题意，将1x -替换x 可得所求的方程，并且可知1x-∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出x 的解集.【详解】关于x 的不等式k x a +＋x b x c++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，用－1x 替换x ，不等式可以化为1k a x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋11b x c x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝1kx ax -＋11bx cx --＜0，因为－1x∈(－2，－1)∪(2，3)，所以12＜x ＜1或－12＜x ＜－13，即不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为： 11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.14．定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >．已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为．【答案】2【详解】试题分析：原不等式等价于()()()21x a b x a x b -+≥--．原不等式等价于．设()()()22f x x a b x a b ab =-+++++，则()()0,0f a b a f b a b =-=-．设()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，结合数轴可得解集为由韦达定理，122x x a b +=++，所以满足条件的x 构成的区间的长度之和为()2122x a x b a b a b -+-=++--=三、解答题15．解下列关于x 的不等式(1)2ax x -<(2)2123x x +--<【答案】(1)答案见解析(2)463x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）整理得到()12a x -<，分10a -=，10a ->与10a -<三种情况进行求解不等式的解集；（2）利用零点分段法求解绝对值不等式.【详解】（1）2ax x -<，即()12a x -<，当10a -=，即1a =时，02<恒成立，故解集为R ，当10a ->，即1a >时，解得：21x a <-，当10a -<，即1a <时，解得：21x a >-，综上：当1a =时，解集为R ；当1a >时，解集为21x x a ⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭；当1a <时，解集为21x x a ⎧⎫>⎨⎬-⎩⎭. （2）2123x x +--<，当12x <-时，3221122x x x x +=-----<+，解得：6x >-， 6x >-与12x <-取交集得162x -<<-，当122x -≤≤时，3221122x x x x +=+---<+，解得：43x <， 43x <与122x -≤≤取交集得：1423x -≤<，当2x >时，3221122x x x x +=+-+-<-，解得：0x <，2x >与0x <取交集为∅，综上：不等式的解集为463x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 16．记关于x 的不等式101a x -<+的解集为P ，不等式23x +<的解集为Q ． (1)若3a =，求P ；(2)若P Q Q ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}12P x x =-<<(2)[]4,2-【分析】（1）解分式不等式，求出{}12P x x =-<<；（2）求出{}51Q x x =-<<，由P Q Q ⋃=得到P Q ⊆，分11a -=-，11a -<-与11a ->-三种情况，列出不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当3a =时，3101x -<+，即201x x -<+，解得：{}12P x x =-<<，（2）23x +<，解得：323x -<+<，解得：51x -<<，故{}51Q x x =-<<，因为P Q Q ⋃=，所以P Q ⊆，101a x -<+，即101x a x +-<+，即()()110x x a ++-<，当11a -=-，即0a =时，()210x +<，此时P =∅，满足要求，当11a -<-，即a<0时，{}11P x a x =-<<-，要想满足P Q ⊆，则要15a -≥-，解得：4a ≥-，所以40a -≤<，当11a ->-，即0a >时，{}11P x x a =-<<-，要想满足P Q ⊆，则要11a -≤，解得：2a ≤，所以02a <≤，综上：42a -≤≤，实数a 的取值范围是[]4,2-.17．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下，①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：()220160E t t t =++>；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变．．．．．．．）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．(1)求当玩家游玩6小时时，求此时的累积经验值．．．．．； (2)若玩家为保证累积经验值．．．．．不低于60，分别求玩家最短游玩时间和可持续保证累积经验值．．．．．始终不低于60的游玩时间．【答案】(1)35exp(2)玩家最短游玩时间为2小时，可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间为3.5小时.【分析】（1）根据“防沉迷系统”的规则求得累积经验值.（2）根据“防沉迷系统”的规则求得“可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间”.【详解】（1）根据二次函数的性质可知()220160E t t t =++>，在区间()0,∞+上递增，当3t =时，9601685E =++=exp ，当5t =时，85E =exp ，当6t =时，855035E =-=exp .（2）令2201660E t t =++=，解得2t =（负根舍去），故①当25t ≤≤时，累积经验值不低于60.②当5t >时，累积经验值()8550560,5 5.5E t t =--≥<≤，综上所述，玩家最短游玩时间为2小时，可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间为5.52 3.5-=小时.18．命题P ：实数a 使得220ax ax +-<对于任意x ∈R 都成立；命题Q ：集合(){}2210,R A x x a x x =+++=∈，{}2B y y x ==，且A B ⋂≠∅． (1)若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题P ，Q 中恰有一个真命题，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(]8,0-(2)(](],84,0-∞--【分析】（1）考虑0a =与0a ≠两种情况，结合开口方向和根的判别式列出不等式组，求出实数a 的取值范围；（2）求出{}0B y y =≥，问题转化为()2210x a x +++=有非负解，数形结合得到4a ≤-，分P 为真命题，Q 为假命题，与P 为假命题，Q 为真命题两种情况，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）命题P 为真命题，当0a =时，20-<恒成立，满足要求，当0a ≠时，要想220ax ax +-<对于任意x ∈R 都成立，需要满足20Δ80a a a <⎧⎨=+<⎩，解得：80a -<<，综上：80a -<≤，所以实数a 的取值范围是(]8,0-；（2）当Q 为真命题时，{}{}20B y y x y y ===≥，因为A B ⋂≠∅，所以()2210x a x +++=有非负解，令()()221g x x a x =+++，由于()01g =，且二次函数开口向上，故只需202a +->且0∆≥，解得：4a ≤-，当P 为真命题，Q 为假命题时，(]8,0-与()4,-+∞取交集得：(]4,0-，当P 为假命题，Q 为真命题时，(](),80,-∞-+∞与(],4-∞-取交集得(],8-∞-，综上：实数a 的取值范围是(](],84,0-∞--.19．若实数x 、y 、m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ．(1)若2x 比2x +远离1，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：44a b +比33a b ab +远离222a b ．【答案】(1)()(),02,-∞+∞(2)证明详见解析【分析】（1）根据“远离”的定义列不等式，由此求得x 的取值范围.（2）结合“远离”的定义以及差比较法证得结论成立.【详解】（1）依题意得，21211x x x ->+-=+，两边平方得()2244121,20x x x x x x -+>++->，解得0x <或2x >，即x 的取值范围是()(),02,-∞+∞.（2）依题意知，0,0,a b a b >>≠，0a b -≠，()()()2224422222a b a b a b a b a b +-=-=+-， ()()233222222a b ab a b ab a ab b ab a b +-=-+=-， ()()()()()2222220a b a b ab a b a b a ab b +---=-++>，所以44a b +比33a b ab +远离222a b ．。

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（）A ．c b a <x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能是（）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案.docx

2013-2014 学年度第一学期期中考试高一年级数学（满分 160 分，考试时间 120 分钟）一、填空题1 、设集合 A {1,3} ，集合 B {1,2,4,5} ，则集合 AB2 、若 f ( x) x 1 ，则 f (3)3 、函数 f (x) (k 1)x 3 在 R 上是增函数，则 k 的取值范围是4 、指数函数 y a x 的图像经过点（ 2 ，16 ）则 a 的值是5 、幂函数 yx 2在区间 [ 1,2] 上的最大值是26 、已知1 3 ，则1aaaa1 7 、函数 f (x)2 x 3的定义域是 ________．8 、化简式子 log 8 9的值为log 2 39 、已知函数 y f ( x) 是定义在 R 上的单调减函数，且 f (a 1)f (2 a) ，则 a 的取值范围是10、下列各个对应中, 从 A 到 B 构成映射的是（填序号）A B ABAB A B1 4 1 1 3 1 a 22 54 2 b 3536253c（ 1 ）（ 2 ）（3 ）（ 4 ）11 、满足 2 x 8 的实数 x 的取值范围12 、设 f x 为定义在 ,上的偶函数，且 f x 在 0, 上为增函数，则 f2 ， f， f 3 的大小顺序是 ____________13 、当 a 0 且 a 1 时，函数 f ( x) a x3 的图像必过定点x 2 2x ( x 0) 3, 则 x14 、已知 f (x)1(x若 f ( x) x0)二、解答题15 、全集 UR ,若集合 A { x | 3 x 10}, B { x | 2 x 7} ，则（结果用区间表示）（1）求 AB, A B,(C U A)(C U B)；（2 ）若集合C{ x | x a},A C ，求a的取值范围16 、对于二次函数y4x28x 3 ，（1 ）求函数在区间[ 2,2]上的最大值和最小值；（2 ）指出函数的单调区间17、化简或求值：211115（1 ）(3a3b2)( 4a2b3)( 3a 6 b 6 ) ；（2 ）lg500lg 81 lg 64 50 lg2 lg5 2 5 218 、已知某皮鞋厂一天的生产成本c(元)与生产数量 n (双)之间的函数关系是 c 400050 n（1 ）求一天生产 1000 双皮鞋的成本；（2）如果某天的生产成本是 48000 元，那么这一天生产了多少双皮鞋？（3）若每双皮鞋的售价为 90 元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润 P 关于这一天生产数量 n 的函数关系式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能不亏本？1x19 、已知f (x) log21x（1 ）求f (x)的定义域；（2 ）求证：f ( x)为奇函数（3 ）判断f ( x)的单调性，并求使 f (x)0 的x的取值范围。

市北中学数学高一上期中经典练习题(培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：11824]已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．(0分)[ID ：11822]函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．(0分)[ID ：11818]已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1274．(0分)[ID ：11815]若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．(0分)[ID ：11814]函数()ln f x x x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．6．(0分)[ID ：11811]若35225a b ==，则11a b+=（） A ．12B ．14C ．1D ．27．(0分)[ID ：11801]设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 8．(0分)[ID ：11758]已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞9．(0分)[ID ：11752]已知函数)25f x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥10．(0分)[ID ：11749]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z11．(0分)[ID ：11790]已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（）A ．5B ．5-C ．0D ．201912．(0分)[ID ：11789]设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（）A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =13．(0分)[ID ：11743]设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(0分)[ID ：11730]已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（）A ．7B ．72C ．74D ．7815．(0分)[ID ：11783]函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（）A ．52B ．5222+C ．32D ．2二、填空题16．(0分)[ID ：11913]某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 17．(0分)[ID ：11910]已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.18．(0分)[ID ：11903]若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________． 19．(0分)[ID ：11888]若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为．20．(0分)[ID ：11879]已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 21．(0分)[ID ：11874]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.22．(0分)[ID ：11861]已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m 的取值范围为______．23．(0分)[ID ：11845]2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）24．(0分)[ID ：11926]已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________. 25．(0分)[ID ：11847]给出下列结论：①已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，若f(−1)=2,f(−3)=−1，则f(3)<f(−1)； ②函数y =log 12(x 2−2x)的单调递减区间是(−∞,0)；③已知函数f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2，则当x <0时，f(x)=−x 2； ④若函数y =f(x)的图象与函数y =e x 的图象关于直线y =x 对称，则对任意实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y).则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题26．(0分)[ID ：12023]已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．27．(0分)[ID ：12021]已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值．28．(0分)[ID ：12004]已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.29．(0分)[ID ：12000]已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.30．(0分)[ID ：11996]小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y表示为x的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数；（3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．B4．D5．A6．A7．B8．A9．B10．D11．A12．D13．C14．C15．B二、填空题16．1120【解析】【分析】明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式结合y＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x元之间的解析式y∵y＝17．【解析】【分析】不等式的解集与f（x）g(x)0且g（x）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f（x）是偶函数g（x）是奇函数得到f（x）g（x）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部18．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))19．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值20．10【解析】因为2a=5b=m所以a=log2mb=log5m由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数21．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力22．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没23．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决25．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2，故选B ．【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．3．B解析：B 【解析】【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值．【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．4．D解析：D 【解析】【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数.则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.5．A解析：A 【解析】【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.6．A解析：A 【解析】【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.7．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算8．A解析：A 【解析】【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集．【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ．【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．9．B解析：B 【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.10．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.11．A解析：A【解析】【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值．【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩； ∴a ＝1，b ＝0；∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5．故选：A ．【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．12．D解析：D【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在y g x 上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围. 13．C解析：C【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． 223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．14．C解析：C【解析】【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论．【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C .【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．15．B解析：B【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-，当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f（12）=14-．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=14 -．即4x2+4x﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=4421282-±-±=，∴此时x=122--，∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，12122m--≤≤，∴n﹣m的最大值为2﹣122--=5222+，故选：B．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．二、填空题16．1120【解析】【分析】明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式结合y＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x元之间的解析式y∵y＝解析：1120【解析】【分析】明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30解得，x ＝1150，1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元．【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．17．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】【分析】不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.【详解】将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数,故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0) 故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2] 【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键. 18．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x)) 解析：3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈，其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．19．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8【解析】试题分析：2tan 1tan 1,42x x x ππ∴∴设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值20．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m ,由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．21．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.22．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <-【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 23．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23，即25252233k k a e a e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=，设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kt e -=，则1ln 3kt -= 两式相除可得2ln2531ln 3k kt -=-，即2lg 25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--，所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1),【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩，结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围25．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根解析：①③【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得f(3)=−f(−3)=1 ，而f(−1)=2，所以f(3)<f(−1) ；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2,+∞)；③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据x >0的解析式，求得x <0 的解析式；④f(x)=lnx ，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需x,y >0，由f(xy)=f(x)+f(y)，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.三、解答题26．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.27．最小值为14-，最大值为2. 【解析】【分析】由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭. 当23log ,2x =()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =．【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础． 28．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤），则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+，函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.29．（1）2；（2）(]1,3.【解析】【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--，则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a .因此，实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.30．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求．【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+，由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩， ∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+．同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元，又该店的总支出为1000m+10000元，依题意得40000=1000m+10000,解得：m=30.所以此时该店有30名员工．（3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ ①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+，所以x=55时，S 取最大值15000元；②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+，所以x=70时，S 取最大值15000元；故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元，即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大．【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域；（3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值；（4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．。

2014学年高一上学期期中考试数学试卷

2013-2014学年高一上学期期中考试数学试卷时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（每小题5分，共50分，请将所选答案填在括号内）1.已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |22x >｝，则M ∩N ＝ ( ) A ．∅ B ．｛x |0＜x ＜3｝ C ．｛x |1＜x ＜3｝ D ．｛x |2＜x ＜3｝2. 已知函数，那么的值为( )A ． 27B ．C ．D ．3.若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(,4]-∞内递减，那么实数a 的取值范围为（）A ． 3-≤a B ． 3-≥a C ． 5≥a D ．3≥a4. 若()2f x x a =+，则下列判断正确的是（）A. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭ B. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭5. 若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（） A ．1- B ．1 C ．1-或2 D ． 1-或16.设,)31(,)31(,)32(313231===c b a 则c b a ,,的大小关系是（）A.b c a >>B.c b a >>C.b a c >>D.a c b >> 7.若函数)(x f y =的定义域是[]2,0，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是（）A. []4,0 B. [)(]4,11,0 C.[)1,0 D.()1,0 8.已知{}b a ,max {ba ab a b ≥<=,,,则{}22,max -x x 在),0()0,(+∞-∞ 上最小值为（）A.2B.1C.1-D.0127-27-1271[()]8f f ⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x9.若a b c <<，则函数()()()()()f x x a x b x b x c =--+--)(c x -+)(a x -两个零点分别位于区间( )A.(,)a b 和(,)b c 内B.(,)a -∞和(,)a b 内C.(,)b c 和(,)c +∞内D.(,)a -∞和(,)c +∞内10.已知y x ,为实数，且满足{1)1(2014)1(1)1(2014)1(33-=-+-=-+-x x y y ，则=+y x （）A.2B.1C.1-D.0第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（每小题5分，共25分，答案填在横线上） 11.方程1)1(log 32=-x x的根的个数为__________个.12.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

上海市市北中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市市北中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}1,0A =-，集合{}2,B a =，若{}0A B ⋂=，则a =.2．不等式22x +>的解集为.3．若函数a y x =的图像经过点(2,16)与(3,)m ，则m 的值为．4．已知22log 3,25,log 45ba ===(用,a b 表示)5．若π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 3θ=，则πcos 2θ⎛⎫+=⎪⎝⎭.6．已知两个正数a ，b 的几何平均值为1，则22+a b 的最小值为．7．已知不等式213x x +--≥-对所有实数x 均成立，当等号成立时，x 的取值范围是8．已知(a = ，2a b ⋅=，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为.9．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是10．已知关于x 的一元二次方程2220x kx k k ++-=有两个虚根12,x x ，且22123x x +=，则实数k 的值为.11．设R a ∈，若0x >时，均有()()22110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的值为12．已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足22111x y +=，22223x y +=，1221x y x y -=1212x x y y +=.二、单选题13．设复平面上表示2i -和34i +的点分别为点A 和点B ，则表示向量AB的复数在复平面上所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．给定平面上的一组向量1e 、2e，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A ．122e e + 和12e e - B ．123e e + 和213e e +C ．123e e -和2126e e - D ．1e 和12e e + 15．已知函数()yf x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A ．存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B ．对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C ．函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D ．函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数16．设正数,,a b c 不全相等，1abc =，函数()()()()111x x xf x a b c =+++．关于说法①对任意(),,,a b c f x 都为偶函数，②对任意(),,,a b c f x 在[]0.01,0.02上严格单调递增，以下判断正确的是（）A ．①、②都正确B ．①正确、②错误C ．①错误、②正确D ．①、②都错误三、解答题17．已知()()2sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.(1)若π4ϕ=，函数=的最小正周期T 为4π，求函数=的单调减区间；(2)设函数=的部分图象如图所示，其中12AB AC ⋅=，(0,D ，求函数的最小正周期T ，并求=的解析式.18．已知数列{}n a 满足：11a =且123n n a a +=+，3n n b a =+.(1)证明:数列{}n b 是等比数列，并求数列{{}n a 的通项公式；(2)若211384ni i n a -=+=∑，求n 的值．19．轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE （抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内），D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点(0,4)A ，另一端点(3,1)C ，点(2,0)B ，单位：米．（1）求助跑道所在的抛物线方程；（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．)20．设0t >，函数()y f x =的定义域为R ．若对满足21x x t ->的任意12x x 、，均有21()()f x f x t ->，则称函数()y f x =具有“()P t 性质”．(1)在下述条件下，分别判断函数()y f x =是否具有(2)P 性质，并说明理由；①3()2f x x =；②()10sin 2f x x =；(2)已知3()f x ax =，且函数()y f x =具有(1)P 性质，求实数a 的取值范围；(3)证明：“函数()y f x x =-为增函数”是“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”的充要条件．21．已知1()ln f x x x=+，()()g x f x x =-.(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)①容易证明()1f x >对任意的1x >都成立，若点M 的坐标为(1,1)，P 、Q 为函数()y f x =图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：30PMQ ∠< ；②数列{}n a 满足1(0,1)a ∈，()1n n a f a +=，证明：12230n n n n a a g a a ++++⎛⎫-< ⎪-⎝⎭.。

高中上海市市北中学高一上学期期中数学试题

上海市市北中学【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合2{2,3,1}B a a =-+，且{1,2}A a =+，A B ⊆，则实数a =___________ 2．命题“若21≠a ，则1a ≠”的逆否命题是___________3．若函数)()1f x =，()g x =，则()()f x g x ⋅=____________ 4．已知集合{|},{|1A x x a B x x =<=≤或2}x ≥，且R AB =∅，则实数a 的取值范围是___________ 5．已知,a b ∈R ，且2221a b +=，则ab 的最大值是___________6．已知(,1)(5,),(,4)A B a a =-∞-+∞=+，若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围是___________7．设条件:22x α-<<，条件:2213m x m β-≤<-，且α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是___________8．不等式31x x a-≥+的解集为M ，若2M -∉，则实数a 的取值范围为________． 9．某服装公司生产得到衬衫，每件定价80元，在某城市年销售8万件，现在该公司在该市设立代理商来销售衬衫代理商要收取代销费，代销费为销售金额的r %（即每销售100元收取r 元），为此，该衬衫每件价格要提高到801%r -元才能保证公司利润.由于提价每年将少销售0.62r 万件，如果代理商每年收取的代销费不小于16万元，则r 的取值范围是___________10．定义关于x 的不等式(,0)x A B A R B -∈的解集称为A 的B 邻域．若3a b +-的+a b 邻域是区间()3,3-，则22a b +的最小值是．二、单选题11．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b <D ．b a a b<12．下列四组函数中，函数()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A．2()||,()f x x g x == B．(),()f x x g x ==C ．3(),{1,0,1},(),{1,0,1}f x x x g x x x =∈-=∈- D ．以上三组都不是同一个函数 13．若{(,)|0,,},{(,),,}P x y xy x y R Q x y x y x y x y R =≤∈=+≠+∈，则（） A ．P Q =∅ B ．P Q = C ．Q P D ．P Q 14．设,x y R +∈，当21x y +=时，14a x y+≥恒成立，则a 的最小值是（） A ．12 B ．1 C ．23 D ．2三、解答题15．解关于x 的不等式：2(21)20()mx m x m R --->∈16．某商品每千克定价10元，商家采取了如下的促销方式：（1）求一次购买x （单位：千克），此商品的花费()f x （单位：元）的函数解析式；（2）某人一次购买此商品400元，问他能购得此商品多少千克？17．设函数221()f x x ax x ax a=++++，其中a 为实数（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（2）当1a =时，求()f x 的最小值18．求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求该直角三角形的面积”，求出面积6后，它的一个“逆向”问题可以是“若直角三角形的面积为6，一条直角边长为3，求另一条直角边的长”.试给出问题“已知c a b =+，若12,13a b ≤≤-≤≤，求c 的取值范围”的一个“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.19．若实数,,x y m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 接近m（1）若4比23x x -接近0，求x 的取值范围；（2）对于任意的两个不等正数,a b ，求证：+a b 比22b a a b+接近（3）若对于任意的非零实数x ，实数a 比4x x+接近1-，求a 的取值范围参考答案1．0【解析】【分析】根据子集关系，建立关于字母的方程，解完后注意检验.【详解】解：∵A B ⊆，集合2{2,3,1}B a a =-+，且{1,2}A a =+，∴1a B +∈且12a +≠，∴13a +=，或211a a a +=-+，解得：2a =，或0a =，经检验：0a =适合题意，故答案为：0【点睛】本题考查子集的关系，注意元素互异性的检验，属于易错题.2．若1a =,则21a =【分析】根据逆否命题的定义，即可得到答案.【详解】解：命题“若21≠a ，则1a ≠”的逆否命题是“若1a =,则21a =”，故答案为：若1a =,则21a =【点睛】本题考查逆否命题的概念，旨在考查学生对基本概念的理解程度.3．()()[0,1)(,1)f x x g x ∈⋅=+∞【分析】分别求得函数()(),f x g x 的定义域，再结合()()f x g x ⋅，即可求得函数的解析式，得到答案.【详解】由题意，函数)()1f x =-的定义域为[0,)+∞，函数()g x =满足010x ≥⎧⎪≠，解得0x ≥且1x ≠，即函数()g x 的定义域为[0,1)(1,)⋃+∞所以()()[0,11)(1,))x f x g x ⋅==∈+∞.故答案为：()()[0,1)(,1)f x x g x ∈⋅=+∞ 【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．1a ≤【分析】先求出R B = {|12}x x <<，根据R A B =∅，结合数轴求出实数a 的取值范围.【详解】解：∵{|1B x x =≤或2}x ≥，∴R B = {|12}x x <<，又R A B =∅∴1a ≤故答案为：1a ≤【点睛】本题考查交并补运算，考查利用数轴处理集合间的关系，属于基础题.5．4【分析】根据题意，结合基本不等式的性质分析可得a 2+2b 2＝a 2+）2≥ab ，变形可得ab 4≤；即可得答案．【详解】解：根据题意，a 2+2b 2＝1，又由a 2+2b 2＝a 2+）2≥ab ，即1≥ab ，变形可得ab 4≤；即ab．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是利用基本不等式的性质进行变形． 6．(][),55,-∞-+∞ 【分析】由A B A ⋃=可知B A ⊆，结合数轴得到结果.【详解】解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，又(,1)(5,),(,4)A B a a =-∞-+∞=+， ∴41a +≤-，或5a ≥，即5a ≤-，或5a ≥，故答案为：(][),55,-∞-+∞ 【点睛】本题考查并集的概念及运算，解题关键是A B A ⋃=等价于B A ⊆.7．13m ≤-【分析】根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，进行判断即可．【详解】解：∵条件:22x α-<<，条件:2213m x m β-≤<-，且α是β的充分条件，则2213213222m m m m -<-⎧⎪≤-⎨⎪-≥-⎩，即35130m m m ⎧<⎪⎪⎪≤-⎨⎪≤⎪⎪⎩，解得13m ≤-，故答案为：13m ≤-．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系是解决本题的关键．8．()[),32,-∞-⋃+∞【分析】由题意可知，实数a 满足2312a--<-+或20a -+=，解出即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，实数a 满足2312a--<-+或20a -+=. 解不等式2312a --<-+，即5102a +>-，即302a a +>-，解得3a <-或2a >. 因此，实数a 的取值范围是()[),32,-∞-⋃+∞.故答案为()[),32,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查利用元素与集合的关系求参数，解题的关键在于将问题转化为不等式进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.9．100,1031⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知中该衬衫每件价格要提高到801%r -元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r 万件，由此可以计算出年销售额，再由代销费为销售金额的r %，代入可得代理商收取的年代理费f 关于r 的函数解析式，可根据代理商每年收取的代理费不小于16万元，构造一个关于r 的不等式，解不等式可得r 的取值范围．【详解】根据题意，代理商每年可销售8﹣0.62r 万件衬衫，每件衬衫的价格为801%r -元，因此年销售额为()8080.621%r r --万元．所以代理商收取的年代理费f 为()()8080.628080.62%1%100r r f r r r r -=-=--（万元）．其中400031r ＜＜．（写为400031r ≤≤也可以）依题意，得()8080.6216100r rr -≥-，注意到0＜r ＜100（0≤r ≤100），解得1001031r ≤≤．因此所求r 的取值范围是1001031⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．故答案为：100,1031⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，不等式的应用，其中（1）的解答中，要注意不要忽略对自变量r 的取值范围进行限制，（2）的关键是构造关于r 的不等式． 10．92【分析】解题时先由邻域的概念及绝对值不等式的解法得3a b +=，再考查22a b +与条件3a b +=的关系，利用重要不等式222()2a b a b ++≥求出22a b +的最小值．【详解】由邻域的定义知(3)x a b a b -+-<+的解集是()3,3-，解此不等式：3+3=223x a b a b a b -<<++-+-，所以3a b +=，由重要不等式222()2a b a b ++≥知：2292a b +≥，故答案为92．考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值不等式及重要的均值不等式，属于基础题．11．C【详解】若a b 2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b >⇒<,所以D 不成立 ,故选C. 12．C【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【详解】解：对于A ，()||f x x =的定义域为R ，2()g x x ==的定义域为)0⎡+∞⎣，，定义域不相同，对应法则不同，不是同一函数；对于B ，()f x x =的定义域为R ，()g x x ==的定义域为R,对应法则不同，不是同一函数；对于C ，3(),{1,0,1},(),{1,0,1}f x x x g x x x =∈-=∈-，定义域相同，对应法则也相同，都是1对应1,0对应0，1-对于1-，是同一函数，故选：C【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．13．C【分析】化简集合Q ，根据子集关系判断即可.【详解】解：{(,),,}{(,)0,,}Q x y x y x y x y R Q x y xy x y R =+≠+∈==<∈，显然0xy <能推出0xy ≤，反之不成立，∴Q P ，故选：C【点睛】本题集合间的包含关系，考查集合的描述法，属于基础题.14．A【分析】利用均值不等式求出1a x y+的最小值，然后解不等式得到结果. 【详解】解：由题意可知：0a >，∵,x y R +∈，21x y +=，∴()11221212a a y ax x y a a x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2y ax x y =时，等号成立，要使14a x y+≥恒成立，则124a ++≥，即(214+≥∴12+≥，即12a ≥， ∴a 的最小值是12故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查均值不等式的应用，考查“1”的巧用，考查不等式的解法，属于中档题.15．见解析【分析】讨论m ＝0、m ＞0和m ＜0，解一元二次不等式即可.【详解】解：关于x 的不等式mx 2﹣（2m ﹣1）x ﹣2＞0等价于（x ﹣2）（mx +1）＞0；当m ＝0时，不等式化为x ﹣2＞0，解得解集为（2，+∞）；当m ＞0时，不等式等价于（x 1m+）（x ﹣2）＞0，解得不等式的解集为（﹣∞，﹣1m）∪（2，+∞）；当m ＜0时，不等式等价于（x 1m+）（x ﹣2）＜0，若12-＜m ＜0，则1m->2，解得不等式的解集为（2，1m -）；若m 12=-，则1m-=-2，不等式化为（x -2）2＜0，此时不等式的解集为∅；若m 12-＜，则1m -<2，解得不等式的解集为（1m -，2）．综上，m ＝0时，不等式的解集为（2，+∞）；m ＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1m）∪（2，+∞）； 12-＜m ＜0时，不等式的解集为（2，1m-）； m 12=-时，不等式的解集为∅； m 12-＜时，不等式的解集为（1m -，2）．【点睛】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，关键是合理分类讨论，是中档题．16．（1）()[](](]10,0,2092020,4086040,x x f x x x x x ⎧∈⎪=+∈⎨⎪+∈+∞⎩；（2）42.5千克【分析】（1）根据促销方案可得y 与x 的函数关系；（2）根据（1）可知：860400x +=，从而得到答案.【详解】（1）由题意可得：一次购买x （单位：千克），此商品的花费()[](](]10,0,2092020,4086040,x x f x x x x x ⎧∈⎪=+∈⎨⎪+∈+∞⎩；（2）当[]0,20x ∈时，()[]0,200f x ∈，当(]20,40x ∈时，()(]200,380f x ∈，当(]40,x ∈+∞时，()()380,f x ∈+∞，某人一次购买此商品400元时，令860400x +=，解得：42.5x =，∴他能购得此商品42.5千克【点睛】本题考查分段函数的应用，考查分析问题解决问题的能力.17．（1）04a <<；（2）1【分析】（1）()f x 的定义域为R 等价于20x ax a ++≠恒成立，即240a a =-<；（2）当1a =时，令221331244t x x x ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，11y t t =+-，借助对勾函数的单调性求最值即可.【详解】解：（1）∵()f x 的定义域为R ，∴20x ax a ++≠恒成立，∴240a a =-<，∴04a <<；（2）当1a =时，221()1f x x x x x =++++，令221331244t x x x ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，则11y t t=+-，又11y t t=+-在314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在)1⎡+∞⎣，上单调递增， ∴11y t t =+-的最小值为11111y =+-=，即()f x 的最小值为1.【点睛】本题考查函数的定义域与最值，考查“三个二次”的关系，考查对勾函数的单调性，属于中档题.18．“逆向”问题：已知c a b =+，若05,12c a ≤≤≤≤,求b 的取值范围；解答为：24b -≤≤【分析】利用逆向”问题的意义可以是：已知c a b =+，若05,12c a ≤≤≤≤,求b 的取值范围．【详解】∵12,13a b ≤≤-≤≤，∴[]0,5c a b =+∈,“逆向”问题：已知c a b =+，若05,12c a ≤≤≤≤,求b 的取值范围.解：∵12a ≤≤，∴21a -≤-≤-，又05c ≤≤,∴24,c a -≤-≤∴24b -≤≤【点睛】正确理解“逆向”问题的意义和不等式的基本性质是解题的关键．19．（1）()(),14,-∞-+∞；（2）证明见解析；（3）()4,2- 【分析】（1）由题意得：|x 2﹣3x |＞4，则x 2﹣3x ＞4或x 2﹣3x ＜﹣4，由此求得x 的范围．（2）根据a b ＞+，且22b a a b +＞，化简|22b a a b+-|﹣|a +b ﹣的结果大于零，可得a +b 比22b a a b+接近（3）由题意411a x x +++＜对于x ∈R ，x ≠0恒成立，分类讨论求得|x 4x++1|的最小值，可得|a +1|的范围，从而求得a 的范围．【详解】解：（1）由题意得：|x 2﹣3x |＞4，则x 2﹣3x ＞4或x 2﹣3x ＜﹣4，由x 2﹣3x ＞4，求得x ＞4或x ＜﹣1；由x 2﹣3x ＜﹣4，求得x 无解．所以x 取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．（2）因为a ，b ＞0且a ≠b ，所以a b ＞+22b a a b+＞所以(2222b a b a a b a b a b a b ⎛+-+-=+--+- ⎝ ()()()2220a b a b b a a b a b ab +-=+-+=＞，则220b a a b a b+-+-，即a +b 比22b a a b+接近（3）由题意：411a x x+++＜对于x ∈R ，x ≠0恒成立，当x ＞0时，4115x x ++≥=，当x ＝2时等号成立，当x ＜0时，则﹣x ＞0，()44x x -+≥=-，当x ＝﹣2时等号成立，所以44x x +≤-，则413x x ++≤-，综上4|1|3min x x ++=．故由|a +1|＜3，求得﹣4＜a ＜2，即a 取值范围为（﹣4，2）．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。

上海市北中学2014-2015年度第一学期高一数学期终考试

2014-2015年度第一学期高一数学终考试试题命题：邹建兵审题：肖登鹏一、填空题（每题3分，共计10小题，总计30分） 1．函数()3log 2y x =-的定义域为__________．2．若sin 0α<且tan 0α>，则α是第__________象限的角 3．方程()3log 941x x -=+的解为__________4．已知sin 2cos x x =，则πtan 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=__________．5．幂函数()y f x =的图象经过点12,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，则满足()27f a =的a 的值是__________6．设2log x a =，2log y b =，则用a ，b 表示()424log log x xy y+=__________． 7．设奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数，且()10f =，则不等式()()0x f x f x ⋅+-<⎡⎤⎣⎦的解为_______ 8．据监测：服用某抗感冒药后每毫升血液中的含药量()f x （单位：微克）与时间x （单位：小时）之间满足：()()0.54log 3,x f x x ⎧⎪=⎨+-⎪⎩，()()044x x ≤≤>．据测定：每毫升血液中含药量不少于１微克时治疗疾病有效．则服用这种药一次能维持的有效时间为__________小时．9．对于在区间[]m n ，上有意义的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意[]x m n ∈，，均有()()1f x g x -≤，那么我们称()f x 和()g 在[]m n ，上为“密切函数”，若()()2l o g 1f x a x=+与()2log g x x =在区间[]12，上为“密切函数”，则a 的取值范围是__________．10．若函数()f x 满足对任意非零常数m ，在定义域内始终存在x 使得()()()f x m f x f m +=+成立，则称()f x 为m 函数。

试题

2014～2015学年度高一年级第一学期期中考试数学试题卷Ⅰ（选择题，共60分）一、选择题（共12小题每题5分）1、1. 已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()U C M N 等于 A.｛0， 4｝ B.｛3，4｝ C.｛1，2｝ D. ∅ 2、设集合{}1->∈=x Q x A ，则（）A ．A ∅∈ BA C．A ∈ D．A3、下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()()f x g x x == B ．()()2,x f x x g x x==C ．()()f x g x ==．()(),f x x g x ==4、已知log 83a =，则a 的值为 A 、12B 、2C 、3D 、4 5、函数2()1(01)x f x a a a -=+>≠且的图像恒过定点 A 、（0,1） B 、（0,2） C 、（2,1） D 、（2,2）6.已知3,(1)()222,(1)x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩ 那么1[()]2f f 的值是（） A. 54 B. 34 C. 94 D. 14-7．如图所示，I 是全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） A ．()M P S ⋂⋂ B ．()M P S ⋂⋃ C ．()I (C )M P S ⋂⋂ D ．()I (C )M P S ⋂⋃8．若函数)(x f 对任意0>a 且1≠a ，都有)()(x af ax f =，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是( )A. x x f -=)(B. 1)(+=x x fC. x x f =)(D. x x x f -=)(9.设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ，则（）A ． 0a b <>C ．01b a <<<D ．01a b <<< 9. 若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（）A ． 3(0,)4B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,010、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A . )()(x g x f 是偶函数B . )(|)(|x g x f 是奇函数C . |)(|)(x g x f 是奇函数D . |)()(|x g x f 是奇函数10、已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，3()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=A 、1-B 、3-C 、 1D 、311．已知)(x f 满足)()(x f x f -=-，且当0>x 时，2)(-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的表达式为（）A ．2)(+=x x x fB ．2)(-=x x x fC ．2)(+-=x x x fD ．2)(--=x x x f 12、已知函数(2)f x +的定义域为[]2,2-，则(1)(1)f x f x -++的定义域为（） A ．[]1,1- B ．[]2,2- C ．[]1,3 D ．[]1,5-卷Ⅱ（非选择题，共90分）13、如图，函数()f x 的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1)，则1()(3)f f 的值等于 14、求函数|21|()3x f x -=的单调递增区间14、若集合{}2,12,4a a A --=，{}9,1,5a a B --=,且{}9=B A ，则a 的值是________;15、设25abm ==，且112a b+=则m 等于 16.已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f ，若在区间［–１，１］内至少存在一个实数c ，使)(c f ＞0 ，则实数p 的取值范围是_____________。

市北中学高一数学试题

市北中学2014学年第一学期期中考试高一数学试卷命题人：肖登鹏审题人：邹建兵一、填空题（3分×10=30分）1．若{}012=，，A ，{}123=，，B ，则=∩A B ．2．函数()=f x 的定义域是．3．已知集合{}2==∈，A y y x x R ，{}323==-+∈，B y y x x R ，则=∩A B ．4．若“30-<x m ”是“2<x ”的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是．5．不等式21<x的解集是． 6．已知()f x 为奇函数，且当0>x 时，()3=-f x x ，则当0<x 时，()f x 的解析式为．7．已知x ，y 为正实数，121+=x y，则2+x y 的最小值为．8．若关于x 的不等式2260(0)-+<≠kx x k k 解集为{}32<->-或x x x ，则实数k 的值是．9．若∈x A ，则1∈A x ，就称A 是伙伴关系集合，集合11012323⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，，，，M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为．10．关于x 的不等式260--≤x ax a 有解，且对于任意的解1x ，2x ，恒有125-≤x x ，则实数a 的取值范围是．二、选择题（4分×4=16分）11．下列各组函数()f x 与()g x 的图象相同的是（）A ．2()()==，f x x g xB ．22()()(1)==+，f x x g x xC ．0()1()==，f x g x xD ．(0)()()(0)⎧==⎨-<⎩，≥x x f x x g x x x12．若0<ab ，且0+>a b ，则以下不等式中正确的是（）A ．110+<a bBC ．22<a bD ．>a b13．如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数(0)≤≤h H ．则该函数的大致图象是（）14．已知2()2=-+f x x mx m 在区间(1)-∞，上有最小值，则函数()()=f xg x x在区间(1)+∞，上一定（） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数三、解答题（共54分） 15．（本题满分8分）已知∈m R 且1≠-m ，比较11+m与1-m 的大小． 16．（本题满分10分）已知函数[](]9101()312⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，x x f x x x ，1()1=-g x x ．⑴求14⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f 的值； ⑵若()()()=-F x f xg x ，写出()F x 的解析式，求函数()F x 的最小值与最大值． 17．（本题满分10分）已知：集合203⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭x A xx ，集合{}13=+>B x x ，集合 {}22430=-+<∈，C x x ax a a R ．⑴求∪A B 和∩R R C A C BD ．C ．B ．A ．h⑵要使()⊇∩R R C C A C B ，试求a 的取值范围．18．（本题满分12分）某厂某个月预计生产某种产品x （百合）(0.2510)≤≤x 的成本为()C x （万元），其中固定成本为2万元，且每生产1百台产品，成本就增加1万元，销售收入为()R x （万元）且240.50.50.254()7.5410.⎧--=⎨<⎩，，≤≤≤x x x R x x 假定该月该产品产销平衡．（利润=销集收入-成本）⑴该月要不亏本，产量x 应控制在什么范围内？⑵生产多少台时，可使该月利润最大？并求此时每台产品的售价． 19．（本题满分14分）已知函数21()1-=-x f x x．⑴证明：函数()f x 是偶函数；⑵画出函数()=y f x 的图像：写出其单调区间（不必证明）； ⑶设()()=-g x f x a ，讨论函数()=y g x 的零点的个数．。

2013-2014学年高一数学上学期期中试题及答案(新人教A版第40套)

淮北师大附中2013—2014学年度第一学期高一期中考试试卷高一数学（ 20131120满分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上. 1. 下列关系错误的是A {}0∅⊆B {}00∈C φ∈0D φ∉02..在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则A 中的元素)2,1(-的象为 A.)1,3(-B.)3,1(C.)3,1(--D.)1,3(3．若函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(3x x x x f x，则)]91([f f 的值是 A ．9 B ．91C ．41 D ．4 4. 如果2(0,1)a N a a =>≠，则有A ．2log N a =B ．2log a N =C ．log 2N a =D ．log 2a N = 5．三个数26.0=a ，6.0log 2=b ，6.02=c 之间的大小关系是A ．b <a <cB ．a <c <bC ．a ->- B 、()()()23f f f π>->-C 、()()()32ff f π<-<- D 、()()()23f f f π<-<-8. 函数y =2312+-x x 的值域是A ．(－∞,－23 )∪(－23,+ ∞) B ．(－∞, 32)∪(32 ,+ ∞)C ．(－∞,－21 )∪(－21 ,+ ∞)D ． (－∞, 21)∪(21,+ ∞)9. 已知0＜a ＜1，m>1，则函数log ()a y x m =-的图象大致为10. 二次函数2y ax bx =+与指数函数()xb y a=的图象只可能是二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2)，则(9)f = .12. 函数24312x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调增区间是 .13．函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点 . 14. 方程22(2)log x x -=实根的个数是 .15．设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-，在(]0,5上是减函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集是．三．解答题（本大题共6小题，共75分;解答应写出文字说明与演算步骤） 16. (本小题满分12分)已知集合{}{}{}222,5,35,1,3,61023A a a B a a AB =-+=-+=且，（1）求实数a 的值及A∪B；（2）设全集{}6U x N x =∈≤，求()()U U C A C B .17. (本小题满分12分) 计算：（1）)()110333320.027210-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭（2）()222781lg 500lg lg 6450lg 2lg 530log 3log 3252+-++-⨯.18.(本小题满分12分) 212,0()22,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩已知函数，（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数()y f x =的图像；（2）根据图像，写出该函数的单调区间；（3）若集合A={}|()x R f x a ∈=中恰有三个元素，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分13分）已知函数)12(log )(+=x x f a ，()log (12),01a g x x a a =->≠且.（1）求函数()()()F x f x g x =-的定义域；（2）判断()()()F x f x g x =-的奇偶性，并说明理由；（3）若0)()(>-x g x f ，求x 的取值范围.20. (本小题满分13分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21400,0400()280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量x 的函数(用()f x 表示)；(2)当月产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)21.(本小题满分13分)已知函数()2,[1,)af x x x x=++∈+∞． (1) 当12a =时，①用定义探讨函数()f x 在区间[1，＋∞)上的单调性； ②解不等式：1(2)(1006)2f x f x -<+；(2) 若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．淮北师大附中2013—2014学年度第一学期高一期中考试试卷数学参考答案一、选择题：二、填空题：11. 3 12. (,2]-∞ 13. (2,1) 14. 2 15. [5,3)(3,5]-三、解答题：16. (1)2a =,{}1,2,3,5A B = (2) {}()()0,4,6U U A B =痧 17. (1)8 (2) 218．（1）图略（2）(,0),(0,1),(1,)-∞+∞ （3）(1,0)a ∈-19. 解：(1)}2121{021012<<-∴⎩⎨⎧>->+x x x x(2))21(log )12(log )()()(x x x g x f x F a a --+=-=)()21(log )12(log )()()(x F x x x g x f x F a a -=+-+-=---=-)(x F ∴为奇函数.（3）0)()(>-x g x f log (21)log (12)a a x x ∴+>-①若,10<<a 则 02121120<<-∴-<+<x x x ②若,1>a 则 21002112<<∴>->+x x x综上，当01a <<时，x 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；当1a >时，x 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭20. 解：（1）由每月产量x 台，知总成本为20000100x +从而()()()21300200000400210060000400x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩(2) ○1当()()210400,300250002x f x x ≤≤=--+时当()max 30025000x f x ==时，○2当()40010060000x f x x >=-+时，为减函数 ()100400600002000025000f x ∴<-⨯+=<答：当月产量为300台时，利润最大，最大利润25000元。

2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)

2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计30分）1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是．2．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P （﹣4，3）是角α终边上一点，则sin α+2cos α＝．3．函数y ＝tan2x 的最小正周期．4．已知cosx =35，x ∈(−π2，0)，则tan2x ＝．5．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，c ＝2，则△ABC 的最小角为（用反三角函数表示） 6．已知sin(π2−α)=−45，α为第二象限角，则tan α2= ．7．已知tan （π﹣x ）＝3，则sin2x ＝．8．函数f （x ）＝cos2x +sin2x 图象向左平移m （m ＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m 的最小值为．9．关于函数f （x ）＝x •arcsin x 有下列命题： ①f （x ）的定义域是R ； ②f （x ）是偶函数；③f （x ）在定义域内是增函数； ④f （x ）的最大值是π2，最小值是0，其中正确的命题是．（写出你所认为正确的所有命题序号）10．方程x 2﹣cos x ＝0的解可视为函数y ＝cos x 的图象与函数y ＝x 2的图象交点的横坐标，则方程x 2−4xsin πx2+1=0实数解的个数为．二、选择题（每题4分，共计16分）11．△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件12．“φ＝0”是“函数y ＝cos （x +φ）为偶函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝60°D．a＝3，b＝4，A＝45°14．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）＝50+4sin t2（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．已知0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos(α−β)=35，且tanα=34，求tan(β+π4)的值？16．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20√2海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC=5√13．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=−2√1313（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．17．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=√5，b＝3，sin C＝2sin A．（1）求c的值；（2）求cos2A的值和三角形ABC的面积．18．已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx，（1）若f(a)=1+√32，求a；（2）如果关于x的方程|f（x）|＝m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x）＝cos4x+2sin x cos x﹣sin4x（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间（2）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的最大值和最小值．2014-2015学年上海市闸北区市北中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题（每题3分，共计30分）1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是 3π ．【分析】把扇形的圆心角为2π3代入扇形的面积s =12αr 2 进行计算求值．解：扇形的圆心角为1200，即扇形的圆心角为2π3，则扇形的面积是 12αr 2=12×2π3×9 ＝3π，故答案为：3π．【点评】本题考查扇形的面积公式的应用，求出扇形的圆心角的弧度数是解题的突破口． 2．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P （﹣4，3）是角α终边上一点，则sin α+2cos α＝ ﹣1 ．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sin α和cos α的值，可得sin α+2cos α的值．解：∵点P （﹣4，3）是角α终边上一点，∴x ＝﹣4，y ＝3，r ＝|OP |＝5， ∴sin α=y r =35，cos α=x r =−45，则sin α+2cos α=35−85=−1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3．函数y ＝tan2x 的最小正周期π2．【分析】根据函数y ＝tan ωx 的周期为πω，求出函数y ＝tan2x 的最小正周期．解：函数y ＝tan2x 的最小正周期为 π2，故答案为：π2．【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题． 4．已知cosx =35，x ∈(−π2，0)，则tan2x ＝247．【分析】先求出tan x ，再由正切函数的二倍角公式得到答案．解：∵cosx =35，x ∈(−π2，0)，∴sin x =−45∴tan x =−43∴tan2x =2tanx 1−tan 2x =2×(−43)1−(−43)2=247 故答案为：247【点评】本题主要考查正切函数的二倍角公式．属基础题．5．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，c ＝2，则△ABC 的最小角为 arccos 78 （用反三角函数表示）【分析】由三角形中大边对大角可知，边c 所对的角C 最小，然后利用余弦定理的推论求得cos C ，则答案可求．解：由大边对大角可知，边c 所对的角C 最小，由余弦定理可得：cos C =16+9−42×4×3=78．∵0°＜C ＜180°，∴C ＝arccos 78．故答案为：arccos 78．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查了三角形中的边角关系，是基础题． 6．已知sin(π2−α)=−45，α为第二象限角，则tan α2= 3 ．【分析】利用诱导公式求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再利用半角的三角函数的计算公式求得tan α2的值．解：∵已知sin(π2−α)=−45=cos α，α为第二象限角，∴sin α=√1−cos 2α=35，则tan α2=1−cosαsinα=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，半角的三角函数的计算公式，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题． 7．已知tan （π﹣x ）＝3，则sin2x ＝ −35 ．【分析】由已知求出tan x ，再由sin2x =2tanx1+tan 2x求解．解：由tan （π﹣x ）＝3可得，tan x ＝﹣3，sin2x ＝2sin x cos x =2sinxcosx sin 2x+cos 2x =2tanx 1+tan 2x=−35 故答案为：−35【点评】本题考查了三角恒等变形，诱导公式，属于基础题．8．函数f （x ）＝cos2x +sin2x 图象向左平移m （m ＞0）个单位，所得函数图象关于原点对称，则m 的最小值为3π8．【分析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m 的最小值．解：把函数f （x ）＝cos2x +sin2x =√2sin （2x +π4）图象向左平移m （m ＞0）个单位，可得y =√2sin （2x +2m +π4）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m +π4=k π，k ∈Z ，则m 的最小值为3π8，故答案为：3π8．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．关于函数f （x ）＝x •arcsin x 有下列命题： ①f （x ）的定义域是R ； ②f （x ）是偶函数；③f （x ）在定义域内是增函数； ④f （x ）的最大值是π2，最小值是0，其中正确的命题是 ②④ ．（写出你所认为正确的所有命题序号）【分析】对于①﹣1≤x ≤1，∴函数的定义域不可能为R ；对于②两个奇函数乘积偶函数；对于③由于是偶函数，则f （x ）在定义域内不可能单调；对于④左边单减，右边单增，故可得结论．解：对于①﹣1≤x ≤1，∴函数的定义域不可能为R ，故①错误；对于②f （﹣x ）＝f （x ），两个奇函数乘积偶函数，∴为偶函数，故②正确；对于③由于是偶函数，则f （x ）在定义域内不可能单调，故③错误；对于④左边单减，右边单增，∴f （x ）的最大值是π2，最小值是0，故④正确．故答案为：②④．【点评】本题的考点是反三角函数的运用，主要考查反三角函数的性质，定义域，单调性，奇偶性，最值等，有一定的综合性．10．方程x 2﹣cos x ＝0的解可视为函数y ＝cos x 的图象与函数y ＝x 2的图象交点的横坐标，则方程x 2−4xsin πx2+1=0实数解的个数为 4 ．【分析】将方程变形得sinπx 2=x 4+14x（x ≠0），分别作出y ＝sinπx 2和y =14（x +1x）的函数图象，根据交点个数进行判断．解：∵x 2−4xsin πx2+1=0，∴sin πx2=x4+14x （x ≠0），令f （x ）=x 4+14x =14（x +1x），则f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，做出y ＝sinπx 2和y ＝f （x ）在（0，+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y ＝sin πx 2和y ＝f （x ）在（0，+∞）上有2个交点，又y ＝sin πx 2和y ＝f （x ）都是奇函数，∴y ＝sinπx2和y ＝f （x ）在（﹣∞，0）上有2个交点，∴方程x 2−4xsin πx2+1=0有4个解，故答案为：4．【点评】本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．二、选择题（每题4分，共计16分）11．△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】因为A 、B 是三角形的内角，所以AB ∈（0，π），在（0，π）上，y ＝cos x 是减函数．由此知△ABC 中，“A ＞B ”⇔“cos A ＜cos B ”，即可得答案．解：∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），∵在（0，π）上，y＝cos x是减函数，∴△ABC中，“A＞B”⇔“cos A＜cos B”，故选：C．【点评】本题考查必要条件、充分分条件和充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用．12．“φ＝0”是“函数y＝cos（x+φ）为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义即可判断．解：函数y＝cos（x+φ）为偶函数，则φ＝2kπ，k∈Z，故“φ＝0”是“函数y＝cos（x+φ）为偶函数充分不必要条件，故选：A．【点评】本题是基础题，考查余弦函数的奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，正确计算函数是偶函数的条件是解题的关键．13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．b＝10，A＝45°，C＝60°B．a＝6，c＝5，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝60°D．a＝3，b＝4，A＝45°【分析】由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，逐项判断△ABC解的个数即可得解．解：对于A，若b＝10，A＝45°，B＝60°，则由正弦定理可得asin45°=10sin60°，求得a=10√63，故△ABC有一解；对于B，若a＝6，c＝5，B＝60°，则由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，求得b=√31，只有一解，故△ABC有一解；对于C，若a＝7，b＝5，A＝60°，则由正弦定理可得7sin60°=5sinB，求得sin B=5√314，再根据b＜a，可得B为锐角，故角B只有一个，故△ABC有一解；对于D，若a＝3，b＝4，A＝45°，则由正弦定理可得3sin45°=4sinB，求得sin B=2√23，再根据b＞a，可得B＞A，可得：B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解，故选：D．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）＝50+4sin t2（其中t∈R0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆/分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的（）A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]【分析】由2kπ−π2≤t2≤2kπ+π2，k∈z，解得4kπ﹣π≤t≤4kπ+π，得到函数F（t）＝50+4sint2的增区间，即为所求．解：本题即求函数F（t）＝50+4sin t2的增区间，由2kπ−π2≤t2≤2kπ+π2，k∈z，解得4kπ﹣π≤t≤4kπ+π，故函数F（t）＝50+4sin t2的增区间为[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z，结合所给的选项，只有选项C中的区间是[4kπ﹣π，4kπ+π]，k∈z的子区间，故选：C．【点评】本题考查正弦函数的单调性，求正弦函数的单调增区间的方法，得到2kπ−π2≤t2≤2kπ+π2，k∈z，是解题的关键，属于中档题．三、解答题（第15题8分，第16题10分，第17、18、19题各12分）15．已知0＜α＜π2，−π2＜β＜0，cos(α−β)=35，且tanα=34，求tan(β+π4)的值？【分析】根据α、β的取值范围计算tan（α﹣β）的值，再求出tanβ的值，即可求出tan(β+π4 )的值．解：0＜α＜π2，−π2＜β＜0，∴0＜﹣β＜π2，∴0＜α﹣β＜π；又cos(α−β)=3 5，∴sin（α﹣β）=4 5；∴tan（α﹣β）=sin(α−β)cos(α−β)=43；又tanα=3 4，∴tanβ＝tan[α﹣（α﹣β）]=tanα−tan(α−β)1+tanαtan(α−β)=34−431+34×43=−724，∴tan(β+π4)=tanβ+tanπ41−tanβtanπ4=−724+11−(−724)×1=1731．【点评】本题考查了三角函数值的计算问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．16．位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20√2海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC=5√13．在离观测站A的正南方某处E，cos∠EAC=−2√1313（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin∠EAC的值，根据cosθ＝cos（3π4−∠EAC），利用两角差的余弦公式求得结果．（2）利用余弦定理求得BC 的值，而且BC 这段距离该船行驶了20分钟，由此求得该船的行驶速度．解：（1）∵cos∠EAC =−2√1313，∴sin ∠EAC =3√1313． ∴cos θ＝cos （3π4−∠EAC ）=√22×2√1313+√22×3√1313=5√2626．（2）利用余弦定理求得 BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos θ＝925，∴BC ＝5√35．又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5√35海里，该船的行驶速度v ＝15√35（海里/小时）．【点评】本题主要考查利用余弦定理求三角形的边长，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且a =√5，b ＝3，sin C ＝2sin A ．（1）求c 的值；（2）求cos2A 的值和三角形ABC 的面积．【分析】（1）利用正弦定理得到c =sinC sinAa ，将a 的值及sin C ＝2sin A 代入，即可求出c 的值；（2）利用余弦定理表示出cos A ，将a ，b 及求出的c 值代入，求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin A 的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin2A 及cos2A 的值，可求三角形ABC 的面积．解：（Ⅰ）∵a =√5，sin C ＝2sin A ，∴根据正弦定理得：c =sinC sinAa ＝2a ＝2√5；（Ⅱ）∵a =√5，b ＝3，c ＝2√5，∴由余弦定理得：cos A =9+20−52×3×25=2√55，又A 为三角形的内角，∴sin A =√55， ∴sin2A ＝2sin A cos A =45，cos2A ＝cos 2A ﹣sin 2A =35，三角形ABC 的面积S =12×3×2√5×√55=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx，（1）若f(a)=1+√32，求a；（2）如果关于x的方程|f（x）|＝m在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦图象，求α；（2）如果关于x的方程|f（x）|＝m，在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．解：（1）解：y=√3cos2x+sin x cos x=√3×1+cos2x2+12sin2x=12sin2x+√32cos2x+√32=six(2x+π3)+√32，∵f(a)=1+√32，∴sin（2α+π3）=12，解得2α+π3=2kπ+π6或2α+π3=2kπ+5π6，α=kπ−π12或α=kπ+π4（k∈Z）．（2）画出y＝|f（x）|的图象，再画出y＝m的图象，结合图象可知它们有两个不同的交点的情况；可得m＝0，1−√32＜m＜√3，√3＜m＜1+√32．【点评】本题考查三角函数式的化简求值，二倍角公式、两角和的正弦函数公式的应用，考查函数与方程的思想，数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）＝cos4x+2sin x cos x﹣sin4x（1）求函数f（x）奇偶性、最小正周期和单调递增区间（2）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）先根据三角函数的二倍角公式化简为f（x）=√2sin（2x+π4），从而求出函数的最小正周期；判定奇偶性、结合正弦函数的单调性解不等式，从而求出函数的单调区间即可．（2）先根据x的范围确定2x+π4的范围，再由正弦函数的性质可求出最值．解：（1）f（x）＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x+sin2x＝）=√2sin（2x+π4），∴f（x）的最小正周期T=2π2=π；∵f（﹣x）≠f（x）≠﹣f（x），f（x）是非奇非偶函数；由−π2+2kπ≤2x+π4≤2kππ2，k∈Z得−3π8+kπ≤x≤kπ+π8，k∈Z∴f（x）的单调递增区间是[−3π8+kπ，kπ+π8]（k∈Z）；（2）当x∈[0，π2]时，2x+π4∈[π4，5π4]，结合正弦函数图象可得，sin（2x+π4）∈[−√22，1]，∴函数f（x）的最大值和最小值分别为√2，﹣1．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，函数的周期性、奇偶性，考查函数的单调性问题，属于中档题．。