一元二次不等式及其解法(学案)

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一元二次不等式及其解法导学案

§3.2一元二次不等式及其解法【学习目标】1、掌握一元二次不等式的定义.2、理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式.3、能利用一元二次不等式解决有关问题：解简单的分式不等式及高次不等式，对一般二次方程的根进行讨论，解决实际问题.4、对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图.【学习重点】：解一元二次不等式【学习难点】：三个“二次”之间的关系.【学习过程】：自主学习：自学课本74p ，完成下列问题：考察下面含未知数的不等式130152-+x x ＞0，342+-x x ≥0，62--x x ＜0和1632-+x x ≤0说出这四个不等式的共同特点：1、一元二次不等式（1）定义：（2）一般表达形式：（3）一元二次不等式)(x f ＞0或)(x f ＜0（)0()(2≠++=a c bx ax x f ）的解集是：2、作出函数)(x f =62--x x 的图象，回答下列问题：（1）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值等于0？（2）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0？（3）当自变量x 在什么范围内取值时，函数值小于0？小结1：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： .小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是： . 合作探究：考察下面含未知数的不等式（1）32-+x x ≥0 （2）32-+x x ≤0 （3）324+-x x ＜0 这些不等式都是分式不等式，那这些不等式怎么解呢？3.分式不等式0)()(〉x g x f ⇔ ,分式不等式⇔≥0)()(x g x f . 高次不等式的解法一般用穿根法.例1：解下列不等式：（1）062>--x x ；（2）01442>+-x x ；（3）解不等式0322>++-x x解：（1）因为025)6(14)1(2>=-⨯⨯--=∆,方程062=--x x 的两根是2,321-==x x ，所以，原不等式的解集是{}23-<>x x x 或。

数学人教A版高中必修1一元二次不等式及其解法优秀学案

一元二次不等式及其解法导学案【使用说明及学法指导】1.结合导学案，完成问题导学部分，并标记自己的疑难点；2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课时再做；3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈质论疑.【学习目标】 1.复习二次函数图象； 2.根据二次函数图象解一元二次不等式；3.归纳一元二次不等式的解法； 4.一元二次不等式的解法的综合运用.【重难点】一元二次不等式的解法和综合运用【问题导学】画二次函数图象应画清楚：1.开口方向，2.对称轴，3.顶点，4.与x 轴的交点（如果有的话）问题 1. 二次函数的图像和性质，如223y x x =--的开口方向、顶点坐标、与x 轴的交点坐标及对称轴分别是什么？并作出它的草图.（1）开口方向：；（2）顶点坐标：；（3）与x 轴的交点坐标：；（4）对称轴为： . 问题2. 根据草图填空：1. 当x = 或时，0y =，即2230x x --=；2. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的下方，则y 0，即223x x -- 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式2230x x --<的解集是； 3. 当x ∈ 时，函数的图像位于x 轴的上方，则y 0，即223x x -- 0；（填≥、>、≤或<）. 所以不等式2230x x -->的解集是；总结归纳：上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a > 的解集；问题3：完成下表格，并回答思考问题：ac b 42-=∆ 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程02=++c bx ax()0>a 的根有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax小结1：解一元二次不等式的基本步骤：小结2：二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是什么？例1：解下列不等式：（1）2340x x --≥ （2）2230x x -++>（3）2450x x -+> （4）2690x x -+>例2：解下列不等式：（1）(1)()0x x a +-< (1)a >- （2）22560x ax a -+>(0)a ≠课后练习：一、解下列不等式（1）22320x x --> （2）2352x x -+≥-（3）24310x x -+> （4）2230x x ++<二、选择题1．下面所给关于x 的几个不等式：①3x ＋4＜0；②x 2＋mx －1＞0；③ax 2＋4x －7＞0；④x 2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．不等式x (2－x )＞3的解集是( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－3＜x ＜1} C ．{x |x ＜－3或x ＞1} D ．∅ 3．若集合A ＝{x |(2x ＋1)( 3－x )>0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 是( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5} D ．{1,2,3,4,5}4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集是( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}5．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a ＜0，那么ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞3或x ＜－2} B ．{x |x ＞2或x ＜－3} C ．{x |－2＜x ＜3} D ．{x |－3＜ x ＜2} 三、解答题1、已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，解不等式ax 2＋bx －1＞0.2、若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的取值范围。

高三数学一元二次不等式及其解法教案范例

高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教学目标
1.了解一元二次不等式的基本定义。

2.学习求解一元二次不等式的方法和技巧。

3.能够自己独立解决一元二次不等式问题。

教学重点
1.一元二次不等式的定义和性质。

2.求解一元二次不等式的方法和技巧。

教学难点
1.复杂的一元二次不等式的求解问题。

2.解决实际问题时如何将问题转化为一元二次不等式的形式。

教学步骤
第一步：引入概念
讲师可以通过图示和实例引入一元二次不等式的定义和性质。

第二步：解法介绍
1.教育者介绍一元二次不等式的最基本解法。

2.教练员通过实例演示一元二次不等式的解决过程。

3.教练员介绍一元二次不等式的常规解法。

第三步：例题讲解
1.针对一元二次不等式的基本解法讲解几道例题。

2.针对一元二次不等式的常规解法讲解几道例题。

3.参与者自己解决例题。

第四步：综合练习
1.针对一元二次不等式的基本解法分组进行练习。

2.针对一元二次不等式的常规解法分组进行练习。

3.教育者鼓励每个参与者独自解决综合练习的问题。

总结
1.通过这一次教学，学生们已经掌握了基本的一元二次不等式求解方法和技巧。

2.同时，学生们也理解了如何将实际问题转换为一元二次不等式的形式。

3.这种一元二次不等式教学法适用于各个年龄段的学生，并且可扩展到更高难度的问题.。

一元二次不等式及其解法(优秀教案1)

一元二次不等式及其解法（第一课时）一、课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法四、教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系（完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三）合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1）类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2）当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。

一元二次不等式的解法(一)学案+作业

第一课时一元二次不等式及其解法一．学习目标1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)二、一元二次不等式的概念及形式1．概念：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，称为一元二次不等式．2．形式：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．三、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”的关系1．一元二次不等式的解集的概念：若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)＞0或f(x)＜0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．2．三个“二次”的关系：课前练习题1．不等式x2≤1的解集是()A．{x|x≤1}B．{x|x≤±1}，C．{x|－1≤x≤1}D．{x|x≤－1}2．不等式2x≤x2＋1的解集为()A．∅B．R，C．{x|x≠1}D．{x|x>1或x<－1}3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234 y60－4－6－6－406则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．四．题型探究（一）．解一元二次不等式例1：解不等式:(1)2x2－3x－2＞0；(2)－3x2＋6x－2＞0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2＞0.总结1．在解一元二次不等式中，需求所对应的一元二次方程的根，可借用求根公式法，或“十字相乘法”求解，根据数形结合写出解集．2．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集.（二）．解含参一元二次不等式例2：解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)分析：解答本题可通过因式分解，结合二次函数图象分类讨论求解．总结：1．解含有参数的一元二次不等式时，可根据一元二次不等式解集的结构确定其相应的分类标准进行分类讨论并求解不等式．2．对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．一般地，对于一元一次不等式，划分的标准是一次项系数大于0、等于0、小于0.对于形如ax 2＋bx ＋c ＞0的不等式划分标准有几种类型：①a ＞0，a ＝0，a ＜0；②Δ＝0，Δ＜0；③若x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2.练习解关于x 的不等式“ax 2－x ＞0”（三）．三个“二次”的关系的应用例3：若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0|－13≤x ≤，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析：一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．总结：已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解．练习：（1）已知不等式ax 2＋5x ＋c ＞0|13＜x ，求a ，c 的值．（2）已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x |x ＜1或x ＞b }．(1)求a ，b 的值．(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc ＜0.课堂小结：1．对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的求解，要善于联想两个方面的问题：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点及图象．(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．2．含有参数的不等式的求解，要注意按某一恰当的分类标准进行讨论．3．“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据，还可以确定参数的值或范围.五．作业1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U A 等于()A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |x ＜0或x ＞2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}2．已知二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则a ，b 的值为()A ．a ＝－1，b ＝－2B ．a ＝－2，b ＝－1C ．a ＝b ＝－12D ．a ＝1，b ＝23．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()A ．(－1,1)，B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)，D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知0<a <1，关于x 的不等式(x －a 的解集为()|x <a 或x >1a B ．{x |x >a }，|x <1a或x >a|x <1a5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1，m )，则实数m 的值为________．6．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是________．7．已知函数f (x )x 2＋1，x ≤0，2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．8．解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.9．已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0|－12＜x ＜13qx 2＋px ＋1＞0的解集．10.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.。

学案4一元二次不等式及其解法(1)

学案4—一元二次不等式及其解法[课程标准]1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.[知识梳理]1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为．(2)当a<0时，解集为．2．三个“二次”间的关系(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔思考辨析判断正误(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．() [典例精讲]考点一一元二次不等式的解法(基础型)命题点1不含参的不等式【例1】求下列不等式的解集(1)08822>+-xx (2)03722<+-xx (3)04432>-+-yy(4)2x＋1x－5≥－1 (5) | x2－x－2|≤4命题点2含参不等式【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)【跟踪训练】(1)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．（2）已知不等式ax2－bx－1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪－12<x<－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．考点二一元二次不等式恒成立问题(综合型)命题点1在R上的恒成立问题【例3】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取值范围．命题点2在给定区间上的恒成立问题【例4】已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．【若将“f (x)<5－m恒成立”改为“存在x，使 f (x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？命题点3给定参数范围的恒成立问题【例5】若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．课时作业41．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是() A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)2．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是() A．(－3,5) B．(－2,4)C．[－1,3] D．[－2,4]3．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14 B ．m <14C ．m <1D ．m >14．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3]5．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13) 6．(多选)下列四个解不等式，正确的有( ) A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－17．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( ) A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66D ．若不等式的解集为∅，则k ≥668．(多选)关于x 的不等式(ax －1)(x ＋2a －1)>0的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为( ) A ．－12 B ．1 C ．－1 D ．29.．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．学案4-------一元二次不等式及其解法【例2】.解原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 【跟踪训练】(1)答案答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. （2）答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】.解要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 解由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．【例5】.解设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.课时作业41.答案 C 解析关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－ba ＝1，∴关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.2.解析因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C. 3.解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0，∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.4.解析原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.5.解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B. 6.解析对于A ，∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12.故A 错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a ，∴a ＝3.故C 正确；对于D ，依题意q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．7.解析对于A ，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.故A 正确；对于B ，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.故B 错误；对于C ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.故C 正确；对于D ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.故D 正确．8答案 AC 解析由题意知a <0，则排除B ，D ；对于A 项，当a ＝－12时，⎝⎛⎭⎫－12x －1(x －2)>0，即(x ＋2)(x －2)<0，解得－2<x <2，恰有3个整数，符合题意；对于C 项，当a ＝－1时，(－x －1)(x －3)>0，即(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.9.解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)。

32一元二次不等式及其解法导学案参考修改模板范本

3、2 一元二次不等式及其解法（导学案）（集美中学杨正国）一、学习目标1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；二、本节重点熟练掌握一元二次不等式的解法三、本节难点理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系四、知识储备1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较,,a b c 的大小：22,5a b c ==-五、通过预习掌握的知识点① 若判别式240b ac ∆=->，设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <，则：0a >时，其解集为{}12|,x x x x <>或；0a <时，其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0∆=，则有：0a >时，其解集为|,2b x x x R a ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；0a <时，其解集为∅. ③ 若0∆<，则有：0a >时，其解集为R ；0a <时，其解集为∅.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”六、知识运用1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ⎧-<<⎨⎩，则a b +的值是_________ 3、变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式20cx bx a ++<的解集.4、若01a <<，则不等式1()()0a x x a-->的解是___________5、解关于x 的不等式：2(1)10ax a x -++<七、重点概念总结解一元二次不等式的步骤：① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ.∆>0时，求根1x <2x ，⎩⎨⎧<<<><>.002121x x x A x x x A ，则若；或，则若ⅱ.∆=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，⎪⎩⎪⎨⎧=≤∈<≠>.00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φⅲ.∆<0时，方程无解，⎩⎨⎧∈≤∈>.00φx A R x A ，则若；，则若 ③ 写出解集.一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅。

一元二次不等式及其解法教案

一元二次不等式及其解法教案教学目标1.知识与技能:二次不等式与会解一元二次不等式及含参数的一元二次不等式。

2.过程与方法:通过学案让学生有目的复习，自主预习。

通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，进而探究一元二次不等式和含参数不等式的解法;以函数为载体，突破一元二次不等式恒成立问题。

3.情感态度与价值观:培养探究合作的能力和推证能力及解决问题的能力。

2学情分析本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。

因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

我班中等程度的学生占大多数，程度较高与程度较差的学生占少数。

学生数学基础差异不大，但进一步钻研的精神相差较大。

学生已经学习了一元一次不等式(组)的解法和二次函数的零点，会画一元二次函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法，从认知规律上讲，应该是容易理解的。

在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生让学生观察、讨论，在实践中体验三者的联系，从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。

3重点难点1.重点:会解一元二次不等式及含参数不等式。

2.难点:一元二次不等式恒成立应用问题。

4教学过程4.1复习课教学活动活动1【活动】一元二次不等式及其解法引入：以高考考点及类型复习引入学生复习学案上的高考考点明确高考考点教学过程：一快速起跑——学案总结明确学习目标，总结学生学案的完成情况题。

二完善学案——自主学习总结1、一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

一元二次不等式及其解法导学案

1现有两家ISP 公司可供选择：公司B 的收费原则如下：在用户上网的第小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1小时计算).一般上网时间不会超过17小时.那么,一次上网在多长时间所需费用少? ____________________________________ 练习判断下列不等式是否是一元二次不等式：(1) x 2－5x ＋6≤0； (2) x 2－9≥0；(3) 3x 2－2 x ＞0； (4) x 2－x ≤－3 ； (5) (x －2)2≤0 ； (6) 3x ＋5＞0；(7) x 2 ＞－4 ；(8) 4x 2－3y ＋4＜0．一元二次不等式的一般表达式为_____________________怎么求刚才应用题中不等式的解集呢？如图：当__________时，函数图像在x 轴下方，此时，y____0，即x 2－5x______0当____________时，函数图像在x 轴上方，此时，y_____0，即x 2－5x_______0例1：解下列不等式：（1）（2）24410x x -+> （3）2230x x -+-> 解：解：解：问题3：讨论总结利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是： . 1 ，基础自测(1)3x 2－7x ≤10；(2) －2x 2+x －5<0； (3) －x 2+4 x －4<0； (4) x 2－x+0.25>0；(5)－2x 2+x<－3； (6) 12x 2－31x+20＞0 (7)3x 2+5x<0； (8)3x 2－6x ＋2＜0．梳理归纳：利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是：1、若ax 2+bx+c=0（a>0）有两不等实根x 1<x 2 对于ax 2+bx+c>0（a>0）,则取两边；对于ax 2+bx+c<0（a>0）,则取中间.2、若方根有“一根”或 “无根”，则用 “图象法”解不等式021102<+-x x。

学案30：一元二次不等式及其解法

学案30：一元二次不等式及其解法知识梳理：一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅.[试一试]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞) 2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14 D ．－143．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．三：方法：1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分类讨论思想：解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． [练一练]若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．[典例](1)0＜x2－x－2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．[针对训练]解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.角度一形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围.1．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．角度二形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围.角度三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围．[典例]年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?[针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．课堂练习：题组一1．不等式|x 2－2|<2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2) 2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶13．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D. 1524．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D ．[－2,5]5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．6．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.题组二：1．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞) 2．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg 2}B ．{x |－1<x <lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 3． “0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．8．不等式x 2－2x ＋3 ≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．题组三：1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．。

一元二次不等式及其解法(优秀教案)

七、训练评估
1、解下列不等式 (1)x2 4 0 (2) x2 4x 3 2x2 1
2、求函数 y x2 4x 9 地定义域
课后作业：教材 P80 A 组第 1、2、3、4 题
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思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？
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四、合作展示
1、自主探究：（ 1）类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学
表达形式是什么？
（ 2） ①利用预学案第 1 题，观察图象填空：当 x___________________， y=0，即 x2 5x _____0
五、应用探究：
例：解不等式 2x2 3x 2 0
变式：若不等式改为 2x2 3x 2 0，则解集为 _______________ 小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？
变式练习： 1、解不等式 4x2 4x 1 0
2、解不等式 x2 2x 3 0
六、知识整理：
本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？
当 x__________________，y>0，即 x2 5x _____0
当 x___________________， y<0，即 x2 5x _____0
②不等式
2
x
5x >0 地解集是 _ x2 5x <0 地解集是 _________________ 2、合作探究：

3.3一元二次不等式及其解法学案

f ( x) 〉0 ⇔ g ( x) f ( x) ≥0⇔ g ( x) f ( x) 〉a ⇔ g ( x)
三、例题研究【例 1】解不等式：（1）x
2
x 2 + 2x − 3 <0 1、解不等式 − x2 + x + 6
2、解不等式 x
2
− (a + a 2 ) x + a 3 > 0
a>0
导学案 3.3 一元二次不等式及其解法
组编：
审核：
4、分式不等式
日期：
四、深入探究
【学习目标】理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的学习目标】关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法。重点】【重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。难点】【难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。一、知识回顾一元一次不等式（最简）的解集如下表：一元一次不等式（最简） ax > b 的解集如下表：
（a > 0）的图象有两相异实根有两相等实根
4、已知不等式 ax 【例 3】解不等式 x
2
2
+ 5 x + c > 0 的解集为 x < x < 求
+ 4x + 4 > 0
1 3
1 2
a, c 的范围。
一元二次方程
【例 4】解不等式 − 2 x
2
+ 4x − 3 > 0
【例 2】解不等式 1 − x − 4 x
2
3、不等式 ( a + 1) x 数 a 的取值范围。

人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 －＋＋＋ x －2 －－＋＋ x －3 －－－＋(x －3)(x －2)·(x －1) －＋－＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}．一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}；当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1，于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项调整前调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8，所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立．当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0，即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0，解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0，即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二设lg x －1＝t ，则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三解方程lg x －1＝3－lg x ，解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数．且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )，则10≤x ≤100.方法四令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )．即lg x －1≤3－lg x 成立．由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2，解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1，其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。

3.3一元二次不等式及其解法-王后雄学案

张喜林制3.3 一元二次不等式及其解法教材知识检索考点知识清单1．一般地，含有未知数，且未知数的最高次数为的整式不等式，叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解法。

一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： ①____（a>O ）； ②____(a>O)．上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程+2ax 0=+c bx 的根来确定．设,42ac b -=∆则：0)1(>∆时，方程02=++c bx ax 有两个的解,21x x 、设,21x x <则不等式①的解集为，不等式②的解集为0)2(=∆时，方程02=++c bx ax 有两个的解，即,21x x =此时不等式①的解集为，不等式②的解集为0)3(<∆时，方程02=++c bx ax 无实数解，则不等式①的解集为；不等式②的解集为要点核心解读1．一元二次不等式的解法一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：);0(02>>++a c bx ax ① ).0(02><++a c bx ax ②通过方程02=++c bx ax 求得两根,,21x x 若21x x <（此时),0>∆则不等式①的解在“两根之外”，即大于大根，小于小根，此时有2|{x x x >或};1x x <不等式②的解在“两根之间”，即小于大根，大于小根，此时有}.|{21x x x x <<若21x x =（此时△=0)，则不等式①的解集为};,|{1R x x x x ∈=/不等式②的解集为空集，若,0<∆则不等式①的解集为R ；不等式②的解集为空集.二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：从函数观点来看，一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集，就是二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在x 轴上方部分的点的横坐标算的集合；)0(02><++a c bx ax 的解集，就是二次函数)0(2>++=a c bx ax y 在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数与x 轴交点的横坐标，一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；><++a c bx ax (02)0的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合．由此，利用二次函数的图象和一元二次方程的两根就可以解一元二次不等式．一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的具体关系对比见下表.由上表可以看出02>++c bx ax 对一切R x ∈都成立的条件为0b .0,02<++⎩⎨⎧<∆>c x ax a 对一切R x ∈都成立的条件为⎩⎨⎧<∆<.0,0a对于二次项系数是负数（即a<0）的不等式，可以先依据不等式的性质把二次项系数化为正数，再参照上述两种形式求解．2．三个“二次”间的关系[记)]0()(2>++=a c bx ax x f(1)理解三个“二次”的关键是抓住从特殊到一般的思想，如(2)连接三个“二次”的纽带是坐标思想：函数值），是否大于零等价于点P(x ，y)是否在x 轴的上方．(3)三个“二次”关系的实质是数形结合思想：=++c bx ax 20的解c bx ax y ++=⇔2图象上的点0);0,(2>++c bx ax x 的解c bx ax y ++=⇔2图象上点（x ，y ）在x 轴上方的x 的取值范围．(4)研究三个“二次”的作用是：3．解一元二次不等式的常见思考步骤和解题程序由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般思考步骤：(1)化不等式为标准形式：),0(02>>++a c bx ax 或+2ax );0(0><+a c bx(2)求方程)0(02>=++a c bx ax 的根，并画出对应函数c bx ax y ++=2图象的简图； (3)由图象得出不等式的解集．典例分类剖析考点1 一元二次不等式的解法命题规律(1)解简单的一元二次不等式．(2)利用一元二次不等式的解法来解决集合间的运算． [例1] 解不等式.0322>--x x[答案] 方法一：方程0322=--x x 的判别式,016)3(4)2(2>=-⨯--=∆得方程两根.3,121=-=x x故原不等式的解集为1|{-<x x 或}.3>x 方法二：作函数322--=x x y 的图象，如图3 -3 -2所示．由图可知322--=x x y 图象在x 轴上方（即函数值大于零）的点的横坐标的取值范围是1-<x 或.3>x故原不等式的解集为1|{-<x x 或}.3>x 方法三：原不等式可化为,0)3)(1(>-+x x即⎩⎨⎧>->+,03,01x x 或⎩⎨⎧<-<+,0301x x 解得3>x 或.1-<x故原不等式的解集为1|{-<x x 或}.3>x[方法技巧] 首先判断判别式的正负号，求根，然后注意不等号的方向及首项系数的正负号写出解集．这是解一元二次不等式的基本方法，应当熟练掌握．母题迁移 1．解下列不等式．;32)1(2->--x x ;145)2(2>-x x .67)3(2>+-x x考点2 一元二次不等式的解法的逆向思维命题规律(1)利用根与系数的关系确定一元二次不等式中的参系数（合有参数的系数）． (2)利用一元二次不等式的解法能逆向求解一元二次不等式．[例2] 若不等式02>++c bx ax 的解集为<<-x x 3|{，}4求不等式0322<--+b c ax bx 的解集．[答案] 因为02>++c bx ax 的解集为},43|{<<-x x 所以,0<a 且-3和4是方程02=++c bx ax 的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-,43,43a c ab即⎩⎨⎧-=-=,12,a c ab 所以不等式,0322<--+bc ax bx即为,01522<++-a ax ax 即,01522<--x x 故所求的不等式的解集为}.53|{<<-x x[规律方法] 给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的两根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系．母题迁移 2．（2010年山东部分重点中学联考题）(1)已知不等式022>++bx ax 的解集是},3121|{<<-x x 求不等式022>+-bx ax 的解集； (2)若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)25(2,0222a x a x x x 的整数解只有-2，求a 的取值范围．考点3 含参数的一元二次不等式的解法命题规律(1)二次项系数含有字母，应先对二次项系数进行大于零、小于零、等于零分类讨论． (2)二次项系数不等于零，对其判别式进行大于零、小于零、等于零的分类讨论． (3)二次项系数和判别式讨论完后，再对两根大小的比较进行讨论． (4)分类讨论中应确定好讨论的标准，讨论应不重不漏．[例3] 解关于x 的不等式).(0)(322R a a x a a x ∈>++- [答案] 原不等式可化为.0))((2>--a x a x,0时当<⋅∴a ,2a a <解集为};|{2a x a x x ><或 ,0时当=a ,2a a =解集为};0|{=/x x当10<<a 时，,2a a <解集为};|{2a x a x x ><或当1=a 时，,2a a =解集为};1|{=/x x当1>a 时，,2a a <解集为}.|{2a x a x x ><或综上所述，当0<a 或1>a 时，解集为};|{2a x a x x ><或当10<<a 时，解集为};|{2a x a x x ><或当0=a 时，解集为};0|{=/x x 当1=a 时，解集为}.1|{=/x x[规律方法] 含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．母题迁移 3．解关于x 的不等式>--)2)(2(ax x ).(0R a ∈考点4 简单的一元高次不等式和分式不等式的解法命题规律(1)利用“根轴法”求解简单的一元高次不等式．(2)把分式不等式转化为一元二次不等式或简单的高次不等式，再进行求解． [例4] 解下列不等式：;0152)1(23>--x x x ;0)2()5)(4)(2(32<-++x x x.04)2)(1()1()3(2<+-+-x x x x[答案] (1)原不等式可化为.0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标在数轴上，然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图3 -3 -3阴影部分．∴ 原不等式的解集为}3025|{><<-x x x 或 (2)原不等式等价于⇔>-++0)2()5)(4(32x x x ⎩⎨⎧>-<-=/⇔⎩⎨⎧>-+=/+.24,50)2)(4(,05x x x x x x 或 ∴ 原不等式解集为},2455|{>-<<--<x x x x 或或如图3 -3 -4阴影部分．(3)原不等式等价于0)2)(1)(4(<-++x x x 且,1=/x ∴ 原不等式的解集为或11|{<<-x x x <1}42-<<x 或[特别提醒] 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不合重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图3 -3 -4.母题迁移 4．解下列不等式：;0)30)(1)(1(2>---x x x ;01103)2(22≤---x x x .14133532)3(22≥+---x x x x 考点5 不等式在区间上的恒成立问题命题规律(1)以“不等式”为载体考查恒成立问题．(2)以不等式在区间上的恒成立问题为载体考查化归与转化的数学思想方法．[例5] （2010年杭州市调考题）不等式+-2)2(x m 04)2(2<--x m 对一切实数x 都成立，求实数m 的取值范围．[答案] ①若,02=-m 即2=m 时，不等式可化为<-4,0这个不等式与x 无关，即对一切R x ∈ 都成立，②若2,02=/=/-m k m J 时，不等式为一元二次不等式．由解集为R ，知抛物线2)2(2+-=x m y4)2--x m （开口向下，且与x 轴无交点，故有⎩⎨⎧<∆<-,0,02m 即⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-⋅---<-,0)4()2(4)2(4022m m m ，解得.22<<-m综上所述．m 的取值范围是.22≤<-m[规律方法] (1)不等式02>++c bx ax 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当0=a 时，;0,0>=c b当0=/a 时，⎩⎨⎧<∆>.0,0a(2)不等式02<++c bx ax 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当0=a 时，;0,0<=c b当0=/a 时，⎩⎨⎧<∆<00a 类似地，还有a x f ≤)(恒成立⇔a x f a x f ≥≤)(,)]([max 恒成立.)]([min a x f ≥⇔母题迁移 5．a 为何值时，不等式---a x a （22)1(01)1>+x 的解集是全体实数？优化分层测讯学业水平测试1．若m<0，则关于x 的不等式22235m mx x <-的解集为( )．)5,7.(m m A -)7,5.(m m B - ),5()7,.(+∞--∞Λm m ),7()5,.(+∞--∞mm D 2．如果02>++c bx ax 的解集为2|{-<x x 或},4>x 那么对于函数c bx ax x f ++=2)(有( )．)1()2()5(-<<⋅f f f A )1()5()2(-<<⋅f f f B )5()1()2(f f f C <-<⋅ )5()2()1(f f f D <<-⋅3．不等式0)3()2)(1(112<---+x x x x 的解集是( )． )3,2()1,1.( -A )3,2()2,1()1,.( --∞B )3,1()1,( --∞⋅C R D .4．一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间的关系为=y ,44042x x +-要使它在一个星期内创造的价值多于12000元，那么它在一个星期内大约生产的摩托车数量的范围是( )．)60,50.(A )120,100.(B )50,0.(C )120,60.(D5．不等式11<-x ax的解集是1|{<x x 或},2>x 则=a 6．不等式01)1()1(22<----x a x a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 7．不等式0432<++x x 的解集是 8．已知不等式14853222<+-++x x kkx x 对一切实数x 都成立，求实数k 的取值范围。

【新课标必修】《一元二次不等式及其解法(一)》同步学案

3.2一元二次不等式及其解法(1)一、课前预习新知（一）、预习目标：初步理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。

会求一元二次不等式的解法。

（二）、预习内容：阅读教材填空：回答下列问题：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：x =2、一元二次不等式的概念：理解：1）、只含有个自变量；2）、自变量最高次数为次；3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象与,,,c b a △的关系：4、若)0(2≠++=a c bx ax y ，02>++c bx ax ，即y 0，即函数图象在x 轴的________02<++c bx ax ，即y 0，即函数图象在x 轴的________02=++c bx ax ，即y 0，即_________________________ 5、三个“二次”的关系0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象一元二次方程20ax bx c ++= )0(≠a有两相异实根1212, ()x x x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 无实根 20ax bx c ++>(0)a >的解集20ax bx c ++<(0)a >的解集02≥++c bx ax(0)a >的解集02≤++c bx ax6、解不等式（1）、0152>-+x x （2）、032<--x x二、课内探究新知（一）、学习目标1 正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。

熟练掌握一元二次不等式的解法。

学习重点：一元二次不等式的解法学习难点：一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系。

．（二）、学习过程1．核对预习学案中的答案2．思考下列问题观察要解得不等式x 2-5x ≤0，左边代数式是哪个函数的解析式？左边代数式的值是0是不等式变成了什么形式？你能借助由“三个一次”的联系解一次不等式的方法尝试找到“三个二次”的联系，求解一元二次不等式吗？求不等式x 2-5x ≤0的解集。

一元二次不等式的解法(学案)

§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.2、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图 5O y①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值零；当),(21x x x ∈时，函数值零；当21x x x 或=时，函数值零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值零；当0x x =时，函数值零;对于任意实数x ，函数值都不会零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02><++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均零；即对于任意实数x ，函数值都不可能零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：3、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解下列不等式1、3x 2+5x-2>02、9x 2-6x+1>03、x 2-4x+5>04、-x 2+x+1<05、-x 2+4x-4>0二、设A ，B 分别是不等式3x 2+6≤19x 与不等式-2x 2+3x+5>0的解集，试求A ∩B,A ∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是（）A.不等式x 2≥4的解集为{x|x ≥±2}B.不等式x 2-9＜0的解集为{x|x ＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x ＜1+2}D.设x 1,x 2为ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2}2.不等式12+-x x ≤0的解集是（）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是( ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集.2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围;(2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log 221-x 的定义域是（） A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2） 2.不等式412--x x ＞0的解集是（）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-1113 4.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤1 5. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为：（）（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3}二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理2、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.3、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图5Oy①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量),(),(21+∞⋃-∞∈x x x 时，函数值大于零；当),(21x x x ∈时，函数值小于零；当21x x x 或=时，函数值等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是：21x x 和; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：),(),(21+∞⋃-∞x x)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：),[],(21+∞⋃-∞x x )0(,02><++a c bx ax 的解集是：),(21x x )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：],[21x x②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值大于零；当0x x =时，函数值等于零;对于任意实数x ，函数值都不会小于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是：0x ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：}:{0x x R x x ≠∈且)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02><++a c bx ax 的解集是：Φ)0(,02>≤++a c bx ax 的解集是： }{0x x x =③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均大于零；即对于任意实数x ，函数值都不可能小于或等于零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解集是：R x ∈)0(,02>≥++a c bx ax 的解集是：R )0(,02>≤++a c bx ax 的解集是：Φ4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地： ①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外） ②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解下列不等式1、3x2+5x-2>02、9x2-6x+1>03、x2-4x+5>04、-x2+x+1<05、-x2+4x-4>0二、设A，B分别是不等式3x2+6≤19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集，试求A∩B,A∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.下列结论正确的是（ C ）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x＜1+2}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2} 2.不等式12+-x x ≤0的解集是（ D ）A.（-∞,-1）(]2,1-YB.[]2,1-C.（-∞,-1）[)+∞,2YD.(]2,1-3.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥-<+-0,10,1x x x x 则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是(C ) A.{}121|-≤≤-x x B. {}1|≤x x C.{}12|-≤x x D.{}1212|-≤≤--x x4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)＜1对任意实数x 成立,则 ( C )A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜2C.21-＜a ＜23 D.- 23＜a ＜21 5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A ∩Z 的元素的个数为 0 .例题讲解例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.解原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x, 即2x 2-3x-7≤0. 解方程2x 2-3x-7=0,得x=4653±. 所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-|4654346543|x x . 例2 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集.解方法一由已知不等式的解集为(α,β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx+c=0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαac ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0,则cx 2+bx+a ＜0可化为x 2+x cb +ca ＞0, ①÷②得cb =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+βα11＜0, 由②得ca =αβ1=α1·β1＞0, ∴α1、β1为方程x 2+cb x+ca =0的两根.∵0＜α＜β, ∴不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 方法二由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0,且α，β是ax 2+bx+c=0的两根， ∴α+β=-ab ,αβ=ac ,∴cx 2+bx+a ＜0⇔acx 2+ab x+1＞0⇔(αβ)x 2-(α+β)x+1＞0⇔(αx-1)(βx-1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx 2+bx+a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式; (2)若x=-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0. ①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x ＜-1;②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1(x+1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x+1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a1＜x ＜-1;若a1=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若a1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1.综上所述,① ②a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a=-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x ax ;a=0时,解集为{x|x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11或.(2)∵x=-a 时不等式成立,∴112+---a a＞0,即-a+1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4已知f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈［-1，+∞）时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围.解方法一 f(x)=(x-a)2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x=a,①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知, f(x)在［-1，+∞）上单调递增， f(x)min =f(-1)=2a+3,要使f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a,即2a+3≥a,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; ②当a ∈［-1，+∞）时，f(x)min =f(a)=2-a 2, 由2-a 2≥a,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1,∴-1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤1.方法二由已知得x 2-2ax+2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立，即Δ=4a 2-4(2-a)≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a , 解得-3≤a ≤1. 变式练习1.已知关于x 的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集. 解 ∵(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a=2b ＞0,b ＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,即为-bx-3b ＞0,亦即-bx ＞3b,∴x ＜-3.故所求不等式的解集为{x|x ＜-3}. 2.解关于x 的不等式2a x a x --＜0 （a ∈R ）.解2ax a x --＜0⇔(x-a)(x-a 2)＜0,①当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a.综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x|a 2＜x ＜a}; 当a=0或a=1时，原不等式的解集为∅. 3.函数f(x)=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围; (2)当x ∈［-2,2］时,f(x)≥a 恒成立,求a 的范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax+3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a)≤0,即a 2+4a-12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g(x)=x 2+ax+3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图(1),当g(x)的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462aaaa或解之得a∈∅.③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2］时,g(x)≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆)2(,22gax即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--32422)3(42aaaaa⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462aaaa或⇔-7≤a≤-6 综合①②③得a∈［-7，2］.练习作业一、选择题1.函数y=)1(log221-x的定义域是（ A ）A.［-2,-1）∪（1，2］ B.［-2,-1］∪（1，2）C.［-2,-1）∪（1，2］D.（-2,-1）∪（1，2）2.不等式412--x x ＞0的解集是（ C ）A.（-2,1）B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x 2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( C )A.m ＞1 B.m ＜-1 C.m ＜-1113 D.m ＞1或m ＜-11134.若关于x 的不等式：x 2-ax-6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 ( D )A.-25≤a ≤1B.a ≤-25或a ≥1C.-25≤a ＜0或1≤a ＜24D.-25≤a ＜-24或0＜a ≤15. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为（ C ）A.{x|-1＜x ＜1}B.{x|0＜x ＜3}C.{x|0＜x ＜1}D.{x|-1＜x ＜3} 二、填空题7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-8)8.已知{x|ax 2-ax+1＜0}=∅,则实数a 的取值范围为 .答案 0≤a ≤4三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax-a 2＜0.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,即⎪⎭⎫⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8a x ＜0. ①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ;②当-7a =8a ,即a=0时,原不等式解集为∅;③当-7a ＞8a ,即a ＜0时,8a＜x ＜-7a .综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87|a x a x ;当a=0时,原不等式的解集为∅;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x a x .10.已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解集.解 ∵x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,∴-21,31是方程x 2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px+1＞0可化为-0161612>++x x,即x 2-x-6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x ＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解方法一原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)＜0. 令f(m)=(x 2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+.方法二求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x 2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x ＞21,∴x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x 2-1＞0时，使1122--x x ＞m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＞2, ∴1＜x ＜231+.(3)当x 2-1＜0时，使1122--x x ＜m 对一切|m|≤2恒成立的充要条件是1122--x x ＜-2.∴271+-＜x ＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217|x x . 12.已知函数f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a,b 的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-4k f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k 取何值时，函数F(x)的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623aab a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f(x)=-4x 2+16x+48. (2)F(x)=-4k (-4x 2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx 2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k ≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.。