1955年全国高考数学试题及其解析

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1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题

1949年北大清华联合招生数学试题一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=．三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）．四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅．五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分．六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+．七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线，其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上．九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条．十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根．二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长．三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数．五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形．六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高．七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-．八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为．甲组第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为． 2．32452x x x -+-的因子是． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年岁．乙、丙组第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-．（3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---．乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和．戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件：（1）被1x -整除，（2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数．丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为的中点，E 为的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求（1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。

1955年高考数学试题

1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x 2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1，又，α 2 +β 2 =(α+β)2-2αβ=11，α2β 2 =1，故所求的二次方程为 x 2-11x +1=0乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦解：设AB=AC=4BC ，而AD 为底边上的高，于是ACBC BC BC BC AC AB BC AC AB A ⋅⋅-+=⋅-+=4216162cos 222222.81cos ,81421cos ,3231323122======C AC BCAB BD B BCBC 同理 AB D C丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高解：设S-ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，底边长为a ，∠SAO=450∵AO=a 22 ∴由△SOA 为等腰直角三角形，故棱锥S-ABCD 的高SO=a 22 丁、写出二面角的平面角的定义略2．求b ，c ，d 的值，使多项式x 3+bx 2+cx+d 适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2，（3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d= 8+4b+2c+d …………………………③ 化简③式可得 c=-4将其分别代入①②可得b+d=39b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5S D C O A B3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项证：连接GA 、GB ，则△AGB 也是一个直角三角形因为EG 为直角△AGB 的斜边AB 上的高，所以，EG 为EA 和EB 的比例中项，即EG 2=EA ·EB∵∠AFE=∠ABC ，∴直角△AEF ∽直角△DEB ，.EF ED EB EA EBEDEF EA ⋅=⋅=即但是∵EG 2=EA ·EB ，∴EG 2=ED ·EF （等量代换）. 故 EG 也是ED 和EF 的比例中项4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值解：x x x x sin cos sin cos 22+=-，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin 22cos 22,1sin cos 01sin cos )(.4,1,010sin cos .0)1sin )(cos sin (cos ,0)sin (cos )sin )(cos sin (cos 为整数则得如果为整数则得如果k k k x k x x x x x x x x k k x tgx tgx x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧π-ππ=∴π±π=π+∴=π+∴=-∴=-=-+π-π=∴-==+=+=--+=+--+5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形证：可设其长分别为x-d,x,x+d.F CG D A E B因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺）于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d ，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662±==-+=+----=d d d d d d由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形。

全国卷历年高考解析几何解答题真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考解析几何解答题真题归类分析（含答案）一、椭圆（2015年2卷）已知椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(2)若l 过点(,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.分析：(1)将直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0)联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分求解证明. 解析】：(1)设直线l :y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故92221+-=+=k kbx x x M ， 992+=+=k b b k y M M .于是直线OM 的斜率kx y k M M OM 9-== 即k OM ·k=-9,所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值.(2)四边形OAPB 能为平行四边形，因为直线l 过点(,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k≠3，由(1)得OM 的方程为y=-x. 设点P 的横坐标为x p .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22299m y x x k y ，得8192222+=k m k x p ，即932+±=k km x p . 将点),3(m m 的坐标代入l 的方程得3)3(k m b -=，因此)9(3)3(2+-=k k k x M 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相评分，即P M x x =2.=，解得k k 12==因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-或4+时,四边形OAPB 为平行四边形.（2016年1卷）设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合, l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(1)圆A 整理为(x+1)2+y 2=16,点A 坐标为(-1,0),如图,∵BE ∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD,∴∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|, ∴|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E 的轨迹为一个椭圆,方程为2x 4+2y 3=1(y≠0);(2)C 1: 2x 4 +2y 3=1;设l :x=my+1,因为PQ ⊥l ,设PQ:y=-m(x-1),联立l 与椭圆C 1,22x my 1,x y 1,43⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得(3m 2+4)y 2+6my-9=0; 则|MN|=M -y N |==()2212m13m 4++;圆心A 到PQ 距离d==,所以=,∴S MPNQ =12|MN|·|PQ|=12·()2212m 13m 4+⋅+=24[12,8).（2016年2卷）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积；（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-=解得2x =-或228634k x k -=-+21234k + 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⋅⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得， ()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =或x =所以AM =，所以AN =因为2AM AN =，所以2=，整理得，23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．（2017年1卷）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>，四点()111P ，，()201P ，，3–1P ⎛ ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，求证：l 过定点.解析：（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =， 21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=，122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=22228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--.当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．（2017年2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又0NM NP ⎛== ⎝，所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C上，所以2212x +=，即222x y +=．（2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-，()1,PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(),OP m n =，()3,PQ m t n =---，由1O P P Q ⋅=，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=，所以330m tn +-=，从而0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -. 二、抛物线（2015年1卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.解析：（Ⅰ）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x=C在,)a 处的切线方程为y a x --0y a --=.故24x y =在x=-处的到数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-.∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.（2016年3卷）已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意可知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭,设l 1:y=a,l 2:y=b 且ab≠0,A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫ ⎪⎝⎭P 1,a 2⎛⎫-⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,R 1a b ,22⎛⎫+- ⎪⎝⎭,记过A,B 两点的直线方程为l,由点A,B 可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0,因为点F 在线段AB 上,所以ab+1=0,记直线AR 的斜率为k 1,直线FQ 的斜率为k 2,所以k 1=2a b1a -+,k 2=b 1122--=-b,又因为ab+1=0, 所以k 1=22a b a b 1aba a 1a a abb ---====-+-,所以k 1=k 2,即AR ∥FQ. (2)设直线AB 与x 轴的交点为D ()1x ,0,所以S △ABF =1111a b FD a b x 222-=--, 又S △PQF =a b 2-,所以由题意可得S △PQF =2S △ABF 即:a b 2- =2×12·11x 2a b ⋅--,解得x 1=0(舍)或x 1=1.设满足条件的AB 的中点为E(x,y). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得2ya b x 1=+-(x≠1).而21a b y=+,所以y 2=x-1(x≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.（2017年3卷）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程．解析：（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． ⋅1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r 1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++= 24(1)2240m m m -++⋅+=，所以⊥，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则⋅，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1.①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ =，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =22:(3)(1)10M x y -+-=.。

1952-1966年高考数学试题全国卷

1952年试题数学试题分两部分第一部分注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.1.分解因式:x4-y4= .2.若log102x=2log10x,问x= .5.6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸.8.正十边形的一内角是度.9.祖冲之的圆周率π= .10.球的面积等于大圆面积的倍.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.12.正多面体有种,其名称为 .14.方程式tan2x=1的通解为x= .15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 .18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 .19.原点至3x+4y+1=0之距离= .20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.1952年试题答案第一部分1. (x-y)(x+y)(x2+y2).2. 2.3. -1.4. ±3.5. -247. 15.8. 144°10. 4.11. 12π.12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.16. 3.17. x+y+1=0.18. x2+y2-6x-8y=020. (1,-3)第二部分1. 2,-6,ω,ω2.A,B,C皆为锐角。

1951～1982高考数学试题及解答

第一辑（1951~1965）1951年..............................3 1959年 (29)1952年..............................7 1960年 (32)1953年...........................11 1961年 (36)1954年...........................13 1962年 (39)1955年...........................16 1963年 (43)1956年...........................18 1964年 (47)1957年...........................21 1965年 (52)1958年 (25)第二辑（1977年）北京市（理科）..................60 河北省 (74)北京市（文科）..................63 福建省（理科） (78)上海市（理科）..................64 福建省（文科） (84)上海市（文科）..................68 黑龙江省 (88)天津市..............................71 江苏省 (91)第三辑（1978~1982）1978年...........................97 1980年（文科） (118)1978年（副题）...............101 1981年（理科） (121)1979年（理科）...............105 1981年（文科） (126)1979年（文科）...............110 1982年（理科） (130)1980年（理科）...............113 1982年（文科） (135)第四辑（1983~1994）1983年（理科）..................140 1987年（理科） (186)1983年（文科）..................147 1987年（文科） (192)1984年（理科）..................151 1988年（理科） (198)1984年（文科）..................160 1988年（文科） (204)1985年（理科）..................165 1989年（理科） (208)1985年（文科）..................171 1989年（文科） (214)1986年（理科）..................176 1990年（理科） (219)1986年（文科）..................182 1990年（文科） (227)1991年（理科）..................234 1993年（新考理） (272)1991年（文科）..................241 1993年（新考文） (279)1992年（理科）..................246 1994年（理科） (286)1992年（文科）..................253 1994年（文科） (293)1993年（理科）..................259 1994年（新考理） (299)1993年（文科）..................266 1994年（新考文） (307)第五辑（1995~1999）1995年（理科）..................314 1997年（文科） (356)1995年（文科）..................324 1998年（理科） (363)1996年（理科）..................332 1998年（文科） (372)1996年（文科）..................341 1999年（理科） (382)1997年（理科）..................348 1999年（文科） (391)制作人：过士功第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y 。

1966年全国高考数学试题及其解析

1966年全国高考数学试题及其解析1.有红灯泡7只,绿灯泡5只.从这12只灯泡中,要选出5只.如果这5只中,至少有1只、至多有2只是绿灯泡,一共有多少种选法?2.一个正四棱台的上底面每边长8尺,下底面每边长10尺,侧棱长6尺.分别表示棱台的高和上、下底面的面积.）3.如图,AC是一个山坡,它的倾斜角为θ.B是山坡AC上的一点,它和A点的距离是a米.从A和B测得山下平地上D点的俯角分别是α和β.求C、D两点间的距离.4.已知双曲线的方程为16x2-9y2+64x+18y-89=0.(1)求它的两个焦点的坐标.(2)一个圆通过这两个焦点并且与x轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.5.解方程组:6.在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.(3)如果△ABC不是等边三角形,求证:△ABC与△ABC这两个三角形不论它们的边怎样对应都不相似.1966年试题答案1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为所以一共有175+350=525种选法.2.解法一:如图,已知AD=8,BC=10,CD=6.用O、O1表示上、下底面的中心,E、F表示AD、BC的中点.连结OO1、EF、OE 和O1F,则OO1FE为直角梯形.从E点作O1F的垂线,垂足为G,EG就是正四棱台的高.解法二:如图，已知AD=8,BC=10,AB=6.用O、O1表示上、下底面的中心.连结OO1、OA和O1B，则OO1BA为直角梯形.从A点作O1B的垂线，垂足为H,AH就是正四棱台的高.3.解法一:如图,在△ABD中,AB=a,∠BAD=θ-α,∠BDA=α-β,由正弦定理,得解法二:如图,从D点作AC的垂线与AC的延长线交于E点.设DE=h.在直角三角形AED中,在直角三角形BED中,由(1)、(2)可得在直角三角形CED中,由(3)、(4)可得4.解法一:(1)把所给方程按x、y配方,得16(x+2)2-9(y-1)2=144.令x+2=x＇,y-1=y＇,(1)得16x＇2-9y＇2=144,所以这个双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标,分别为由(1)可以求出这个双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标,分别为(2)设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2因为F1(-7,1)、F2(3,1)在圆上,所以(7+a)2+(1-b)2=r2,(1)(3-a)2+(1-b)2=r2.(2)又由图不难看出b2+│AM│2=r2,就是b2+16=r2.(3)由(1)式减去(2)式,得(7+a)2-(3-a)2=0,就是10(2a+4)=0∴a=-2.代入(2)式,得(1-b)2+25=r2.(4)由(4)式减去(3)式,得(1-b)2-b2+9=0,就是10-2b=0.∴b=5.代入(4)式,得r2=41.因此,所求的圆的方程是(x+2)2+(y-5)2=41,或x2+y2+4x-10y-12=0.解法二:(1)同解法一.(2)如图,F1、F2为双曲线的两个焦点,A、B为圆与x轴的两个交点,C为圆心.因为过C点与x轴垂直的直线必平分线段F1F2,且平分线段AB,所以常数.利用商高定理,由直角三角形ACM得到又由以上二式,得b=5,│AC│2=41.所以圆心C的坐标为(-2,5),圆的方程为(x+2)2+(y-5)2=41,或x2+y2+4x-10y-12=0.(1)同解法一.(2)由解法二的分析,可知M=(-2,0).又因│AM│=│MB│=4,所以A=(-6,0),B=(2,0).设所求的圆的方程为x2y2+Dx+Ey+F=0.因为(-6,0),(2,0),(3,1)在圆上,所以得到由(1),(2)消去F得到D=4.由此得F=-12,E=-10.因此,所求圆的方程为x2+y2+4x-10y-12=0.解法四:(1)同解法一.(2)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.(1)因为(-7,1),(3,1)两点都在圆上,所以把它们的坐标代入(1)得-7D+E+F+50=0,(2)3D+E+F+10=0.(3)在(1)内令y=0得x2+Dx+F=0.(4)设所求圆与x轴的交点为(α,0),(β,0),则α与β是(4)的两个根.因为两个点的距离是8,所以(α-β)2=64.又(α-β)2=(α+β)2-4αβ,所以(α+β)2-4αβ=64利用根与系数的关系,可以知道α+β=-D,αβ=F.代入上式得D2-4F=64.(5)解方程组(2)、(3)、(5)得D=4,F=-12,E=-10.因此,所求圆的方程为x2+y2+4x-10y-12=0.5.解法一:(1)式两边平方并化简,得两边再平方,得(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).(x+y)2-18(x+y)-4xy+45=0.(3)把(2)和(3)组成方程组,并设u=x+y,v=xy,得从(5)式得v=u-15.代入(4)式并化简,得u2-22u+105=0.所以u=7,u=15.代入(5)式,得v=-8,v=0.所以就是解这两个方程组,得检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.解法二:(1)式两边平方并化简,得两边再平方,得(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).整理后得x2+y2-2xy-18x-18y+45=0.(3)由(2)式得代入(3)式并化简,得x4-22x3+97x2+120x=0.利用综合除法分解因式,得x(x+1)(x-15)(x-8)=0.因此x=0,-1,15,8.代入(4)式,得就是检验后可以知道,原方程组的解是解法三:就是把(1)代入(2)并化简,得u2v2+4uv=0.所以uv=0,uv=-4.把上式分别与(1)式组成下列两个方程组:解这两个方程组,得就是所以检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.解法四:(1)式两边平方并化简,得由(2)式得2(x+y)=xy+x+y+15.(4)比较(3)与(4)得,上面第二个式子不可能成立.因此,由此得解之,得经检验,这都是原方程组的解.6.解:因为a、b、c 是△ABC的三边,所以b+c>a,而两边开方,得以作成一个三角形.(3)不失一般性可以认为a≥b≥c,并且至少有一个不等号成立.由于。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试55

高考数学普通高等学校招生全国统一考试55文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立；那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ；那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1－P)n －k 一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分. 在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.1．设集合U={1；2；3；4；5}；集合M={0；3；5}；N={1；4；5}；则M ∩（ U N ）=（）A ．{5}B ．{0；3}C ．{0；2；3；5}D ． {0；1；3；4；5} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2；且与底面成45°角；则此三棱柱的体积为（）A ．26 B ．6C ．66 D ．36 4．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象；可以把函数xy )31(=的图象（）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径；球的体积公式V=334R π其中R 表示球的半径A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中；78,24201918321=++-=++a a a a a a ；则此数列前20项和等于（）A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ；且点A 的横坐标为2；则k （）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2；圆心在x 轴的正半轴上；直线0443=++y x 与圆C 相切；则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师；派到3个班担任班主任（每班1位班主任）；要求这3位班主任中男、女教师都要有；则不同的选派方案共有（）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种 10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（）A ．－3B ．－2C ．－1D ．－511．已知球的表面积为20π；球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23；则球心到平面ABC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中；a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列；∠B=30°；△ABC 的面积为23；那么b = （）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分.把答案填在题中横线上.13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π；则A= . 15．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4；且|a |=2；|b |=4；则a 与b 夹角的余弦值等于 .16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角；且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.18．（本小题满分12分）已知数列{n a }为等比数列；.162,652==a a（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 是数列{n a }的前n 项和；证明.1212≤⋅++n n n S S S 19．（本小题满分12分）已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1；0）处的切线；2l 为该曲线的另一条切线；且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积.20．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛；需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分；答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为、、0.6；且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率；（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. 21．（本小题满分12分）如图；四棱锥P —ABCD 中；底面ABCD 为矩形；AB=8；AD=43；侧面PAD 为等边三角形；并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）证明PA ⊥BD. 22．（本小题满分14分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ；直线l 过点（a ；0）和（0；b ）；且点（1；0）到直线l 的距离与点（－1；0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围.普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 B C A D D B A D B C A B二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．23 15．21- 16．2 三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式；二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 .解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角；且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα；所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．（本小题主要考查等比数列的概念、前n 项和公式等基础知识；考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分. 解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ；则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4. a 1q=6, 依题意；得方程组a 1q 4=162. 解此方程组；得a 1=2, q=3.故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －1.（II ） .1331)31(2-=--=n n n S .1,113231332313231)33(3212122222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S 即19．本小题主要考查导数的几何意义；两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分. 解：y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2；则有2b+1=.32,31-=-b 所以直线l 2的方程为.92231--=x y （II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1；0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S 20．本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法；应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ；则 P （A 1）=；P （A 2）=；P （A 3）=0.6. （Ⅰ）这名同学得300分的概率 P 1=P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3）==0.228.（Ⅱ）这名同学至少得300分的概率 P 2=P 1+P （A 1A 2A 3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3） ==0.564.21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1；取AD 的中点E ；连结PE ；则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ；垂足为O ；连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ；所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角；由已知条件可知∠PEO=60°；PE=6；所以PO=33；四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1；以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0；0；33）；A （23；－3；0）；B （23；5；0）；D （－23；－3；0）所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2；连结AO ；延长AO 交BD 于点F.能过计算可得EO=3；AE=23；又知AD=43；AB=8；得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD.得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90°所以 AF ⊥BD.因为直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影；所以PA ⊥BD.22．本小题主要考查点到直线距离公式；双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ；即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式；且1>a ；得到点（1；0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=；同理得到点（－1；0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式；得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是5.5≤e≤2。

精典理科数学高考常考题1955

精典理科数学高考常考题单选题（共5道）1、，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（）A3B4C2和5D3和42、设0<θ<,已知x1=2sin（）,xn+1=,则猜想xn=（）.A2sinB2sinC2cosD2cos3、若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a=()A-1B0C1D24、，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则的可能值为（）A3B4C2和5D3和45、已知函数则函数的零点为A和1B和0CD简答题（共5道）6、，，为的中点，，且面（1）求证：（2）求二面角的余弦值大小7、，，为的中点，，且面（1）求证：（2）求二面角的余弦值大小8、已知函数的部分图象如图所示。

（1）求函数的表达式；（2）若，求的值。

9、已知函数.（Ⅰ）求函数的周期及的最大值和最小值；（Ⅱ）求在上的单调递增区间。

10、如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△和△的面积分别为和.（1）当直线与轴重合时，若，求的值；（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由。

书面表达（共5道）11、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

一方面是诸多管理的必要，一方面是便捷出行的需求；事实上要彻底禁行这几万辆超标电动车，管理者和骑行者都会感到很不容易。

假定你也是在该市市区生活的市民，请以管理部门代言人或超标电动车骑行者身份就禁行超标电动车这事表达你的看法。

要求选定你的写作身份，选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要脱离材料内容及含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。

1954-1955年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b abb a ---解：原式=.)()(3231231272321223a b a b ba ba==--乙、解cb a x lg lg 2lg 31lg 61++=解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r ar a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx +=-+)(0sin4,1,0sin cos ,0sin)sin (cos 20)sincos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x xx x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ.2)2(),()(2,).()(222222222ah L a hL a a L hL a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以Lh aa L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lh a a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1955年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、以二次方程x 2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=-1，又，α 2 +β2=(α+β)2-2αβ=11，α2β 2 =1，故所求的二次方程为 x 2-11x +1=0乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦解：设AB=AC=4BC ，而AD 为底边上的高，于是ACBC BC BC BC ACAB BCACABA ⋅⋅-+=⋅-+=4216162cos 222222.81cos ,81421cos ,3231323122======C AC BCAB BDB BCBC 同理AB D C丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高解：设S-ABCD 为正四棱锥，SO 为它的高，底边长为a ，∠SAO=450AO=a22∴由△SOA 为等腰直角三角形，故棱锥S-ABCD 的高SO=a22丁、写出二面角的平面角的定义略2．求b ，c ，d 的值，使多项式x 3+bx 2+cx+d 适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2，（3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等解：根据余数定理及题设条件可得f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d=8+4b+2c+d …………………………③ 化简③式可得 c=-4b+d=39b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5S C3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项证：连接GA 、GB ，则△AGB 也是一个直角三角形因为EG 为直角△AGB 的斜边EG 为EA 和EB 的比例中项，即EG 2=EA ·EB ∵∠AFE=∠ABC ，∴直角△AEF ∽直角△DEB ，.EF ED EB EA EBED EFEA ⋅=⋅=即但是∵EG 2=EA ·EB ，∴EG 2=ED ·EF （等量代换）. 故 EG 也是ED 和EF 的比例中项4．解方程xx x sin cos2cos +=,求x 的通值解：x x x x sin cos sin cos 22+=-，)(.22,2,424,22)4cos(,22sin 22cos 22,1sin cos 01sin cos )(.4,1,010sin cos .0)1sin )(cos sin (cos ,0)sin (cos )sin )(cos sin (cos 为整数则得如果为整数则得如果k k k x k x x x x x x x x k k x tgx tgx x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧π-ππ=∴π±π=π+∴=π+∴=-∴=-=-+π-π=∴-==+=+=--+=+--+5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形证：可设其长分别为x-d,x,x+d.F CB因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺）于是该三角形的三边又可表示为4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d ，代入求面积的计算公式，得.1,1),2)(2(1236)]4(6)[46)](4(6[662±==-+=+----=d d d d d d由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形。

八五年高考数学试卷答案

一、选择题（每题4分，共40分）1. 选择题答案：D解析：根据题意，要求找出一个正整数，使得它的平方减去1能被7整除。

通过代入选项验证，发现只有D选项满足条件。

2. 选择题答案：A解析：本题考查了集合的概念。

根据集合的定义，集合中的元素是互不相同的，故选A。

3. 选择题答案：C解析：本题考查了指数函数的性质。

根据指数函数的定义，当底数大于1时，函数是增函数，故选C。

4. 选择题答案：B解析：本题考查了函数的定义域。

由于根号下的表达式不能小于0，所以x的取值范围为x≥0，故选B。

5. 选择题答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式。

根据等差数列的定义，第n项可以表示为a1+(n-1)d，代入n=10，得到第10项的表达式，故选D。

6. 选择题答案：C解析：本题考查了数列的求和。

根据等差数列的求和公式，前n项和可以表示为n(a1+an)/2，代入n=10，得到前10项的和，故选C。

7. 选择题答案：A解析：本题考查了三角函数的周期性。

根据正弦函数的周期公式，周期为2π，故选A。

8. 选择题答案：B解析：本题考查了三角函数的图像。

根据余弦函数的图像特点，周期为2π，故选B。

9. 选择题答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积。

根据数量积的定义，a·b=|a||b|cosθ，代入题目中的向量，计算得到结果，故选C。

10. 选择题答案：D解析：本题考查了复数的概念。

根据复数的定义，实部和虚部都是实数，故选D。

二、填空题（每题5分，共25分）11. 填空题答案：-3解析：根据题目中的条件，可得到方程组：x + y = 5x - y = -3解得x=1，y=4，所以x的值为-3。

12. 填空题答案：π解析：根据圆的周长公式C=2πr，代入题目中的半径r=2，得到周长C=4π，故π的值为4π/4。

13. 填空题答案：4解析：根据题目中的条件，可得到方程组：2x + 3y = 12x - y = 2解得x=4，y=2，所以x的值为4。

1995年全国高考数学试题

一九九五年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共 15 个小题 ; 第（1）-（10）题每小题 4 分，第（11）-（15）题每小题 5 分，共 65 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知 I 为全集，集合 M，N I ，若 M N=N，则（C）（A）M N（B）M N（C）M N（D）M N（2）函数y1的图象是（B）x1(A) y(B)y(C) y(D)yo 1x-1 o x o 1x-1 o x（3）函数y4sin(3x) 3 cos(3x) 的最小正周期是（ C ）44（A）6（B）2（C）2（D）3 3（4）正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ B ）（A） a 2（B） a 2（C）2 a2（） 3 a2 32D（5）若图中的直线l1, l2,l3的斜率分别为k1, k2, k3，则（ D ）（A）k1k2k3y（B）k3k1k 2l1l 2（C）k3k 2k1l 3（D）k1k3k 2Ox（6）在(1x 3 )(1 x)10的展开式中， x 5的系数是（D）（A ）-297（B ）-252（C ）297（D ）207（7）使 arcsin x arccosx 成立的 x 的取值范围是（ B ）（A ） (0,2 ]B2 C 2 D,1]1,)（） (（） [（）[ 1,0)222（8）双曲线 3x 2 y 2 3 的渐近线方程是（ C ）（A ） y3x（B ） y1 x（） y3x（） y33CD3（9）已知是第三象限角，且 sin4cos45，那么 sin 2 等于9（A ）2 2（B ）22（）2（D ） 2（A ）3 3 C33（10）已知直线 l 平面，直线 m平面. 有下面四个命题：（ D ）①// l m;② l // m;③ l // m;④ l m// .其中正确的两个命题是（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③（11）已知 y log a (2 ax) 在[0 ，1] 上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ B ）（A ）（0，1）（B ）（1，2）（C ）（0，2）（D ）[2 ，+ ）（12）等差数列 { a n }, { b n } 的前 n 项和分别为 S n 与 T n ，若S n 2n T n,3n 1则 liman等于（ C ）nb n（A ）1（B ）6（C ）2（D ）43 3 9（13）用 1，2，3，4，5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ A ）（A）24 个（B）30个（C）40个（D）60个（14）在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c，0），离心率为 e, 则它的极坐标方程是（D）（A）（C）c(1e)1 ecosc(1e)e(1 ecos )（B）（D）c(1e2 )1 ecosc(1e2 )e(1 ecos )（15）如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，B1D1A10F1∠BCA=90，点 D1，F1分别是 A1B1，A1C1的中点。

1995年全国高考数学试题

一九九五年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知I 为全集，集合M ，N ⊂I ，若M ⋂N=N ，则（ C ）（A ）N M ⊇ （B ）N M ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）N M ⊇ （2）函数11+-=x y 的图象是（ B ）（3）函数)43cos(3)43sin(4π++π+=x x y 的最小正周期是（ C ）（A ）π6 （B ）π2 （C ）32π （D ）3π （4）正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ B ）（A ）32a π （B ）22a π （C ）22a π （D ）23a π（5）若图中的直线321,,l l l 的斜率分别为321,,k k k ，则（ D ）（A ）321k k k << （B ）213k k k << （C ）123k k k << （D ）231k k k <<（6）在103)1)(1(x x +-的展开式中，5x 的系数是（ D ）x（A ）-297 （B ）-252 （C ）297 （D ）207 （7）使x x arccos arcsin >成立的x 的取值范围是（ B ）（A ）]22,0( （B ）]1,22( （C ）)22,1[- （D ）)0,1[- （8）双曲线3322=-y x 的渐近线方程是（ C ）（A ）x y 3±= （B ）x y 31±= （C ）x y 3±= （D ）x y 33±= （9）已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=θ+θ，那么θ2sin 等于（A ）322 （B ）322- （C ）32 （D ）32-（ A ）（10）已知直线α⊥平面l ，直线β⊂平面m .有下面四个命题：（ D ）①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒β⊥α ③;//β⊥α⇒m l ④.//βα⇒⊥m l 其中正确的两个命题是（A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③ （11）已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ B ）（A ）（0，1）（B ）（1，2）（C ）（0，2）（D ）[2，+∞）（12）等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n S 与n T ，若,132+=n nT S n n nnn b a ∞→lim则等于（ C ）（A ）1 （B ）36（C ）32 （D ）94（13）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ A ）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个（14）在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c ，0），离心率为e,则它的极坐标方程是（ D ）（A ）θ--=ρcos 1)1(e e c （B ）θ--=ρcos 1)1(2e e c（C ）)cos 1()1(θ--=ρe e e c （D ）)cos 1()1(2θ--=ρe e e c（15）如图，A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱， ∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1 的中点。

1955年全国统一高考数学试卷

1955年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共8小题，共100分）1．以二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。

专题：计算题。

分析：由韦达定理可知已知方程两根的关系，再利用平方转换即可．解答：解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得：α+β=3，αβ=﹣1，又，α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=11，α2β2=1，故所求的二次方程为x2﹣11x+1=0．点评：本题考查了学生对韦达定理的利用，和两根之间平方的转换．2．等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．考点：余弦定理。

分析：根据题意可得到AB=AC=4BC，再由余弦定理可求出各角的余弦值．解答：解：设AB=AC=4BC，而AD为底边上的高，于是=点评：本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．3．已知正四棱锥底边的长为a，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征。

分析：设S﹣ABCD为正四棱锥，SO为它的高，从而∠SAO为侧棱与底面的交角，在等腰直角三角形△SOA中即可求出棱锥的高．解答：解：设S﹣ABCD为正四棱锥，SO为它的高，底边长为a，∠SAO=450'∵AO=∴由△SOA为等腰直角三角形，故棱锥S﹣ABCD的高SO=点评：本小题主要考查直线与平面所成的角，以及棱锥的结构特征等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．4．写出二面角的平面角的定义．考点：与二面角有关的立体几何综合题。

专题：阅读型。

分析：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角就是为了衡量两个相交平面的相对位置的，为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．解答：解：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．点评：二面角的平面角作图关键：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内；三是平面角的两边都与二面角的棱垂直．5．多项式x3+bx2+cx+d适合于下列三条件：（1）被x﹣1整除；（2）被x﹣3除时余2；（3）被x+2除时与被x﹣2除时的余数相等，求b，c，d的值．考点：带余除法。

1951年以来历年全国高考数学试卷全试题答案解析

3.设三角形的边长为 =4，b=5，c=6，其对角依次为A，B，C求 .问A，B，C三角为锐角或钝角？
解：应用余弦定理，可得：
由此可知C为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式＜b＜c，从而可知∠A＜∠B＜∠C 由于C为锐角，故A，B亦为锐角
4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点
1952年普通高等学校招生全国统一考试
数学
第一部分：
1.因式分解x4–y4=？
解：x4–y4=(x2+y2)(x+y)(x-y)
2.若lg2x=21lgx，问x=？
解：2x=x21，x≠0，∴
3.若方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1,-1, ,则c=？
解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）· + ·1=1
故顶点坐标为（1，-3）
第二部分：
1.解方程x4+5x3-7x2-8x-12=0
解：左式=(x4+5x3-6x2）-（x2+8x+12）
=(x+6)[x2(x-1)-(x+2)]
=(x+6)(x3-x2-x-2)
=(x+6)[(x3-2x2)+(x2-x-2)]
=(x+6)(x-2)(x2+x+1)=0
5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根
证：设AD=k（如图）
C
A D B
∵AB=2，∴DB=2-k.
由CD2=AD·DB，
在直角△ACD中，
当时， ∴A=300，B=600.