新人教版初中数学九年级上册《22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》优质课教学设计_1
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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质课件2022-2023学年人教版九年级数学上册
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
4 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__y_=_4_x_2____向左___
平移__1___个单位得到.
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_x_2_-2__, 再向上平移3个单位得到抛物线_y_=_-_2_x_2+_1_____; 若向 左平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_（__x_+_2_）__2 __，向右平 移2个单位得到抛物线__y_=_-2_（__x_-2_）__2____.
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 1 x2 3 2
y 3 (x 5)2 4
y 1(x 6)2 2
小结 拓展
你认为今天这节 课最需要掌握的是
________________ ？
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
画出二次函数
y
1 2
(
x
1)
2、
y
1 2
(
x
1)2
人教版九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2)(共21张ppt
情境激疑
想一想：你会怎样研究二次函数 y 1 x 22 1 的图象。
2
y 1 x2 1
？ 2
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
探究发现
问题1：画出函数 指出它的开口
解：列方表向：，顶点坐标和对称轴。
的图象，并
x
··· -1 0 1 2 3 4 5 ···
y 1 x 22 1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
顶点是最低点，函数值最小 顶点是最高点，函数值最大
（1）在对称轴左侧（x＜h） y随x的增大而减小；
（2）在对称轴左侧（x＞h） y 随x的增大而增大。
（1）在对称轴左侧（x＜h） y随x的增大而增大；
（2）在对称轴左侧（x＞h） y 随x的增大而减小。
课堂练习
1.完成下列表格:
二次函数
开口方向 对称轴
-3 -4
y 1 x 12 1 顶点坐标是（-1，-1）
2
-5
-6
-7
-8 -9
-10
直线x=-1
探究发现
问题y4：12 抛x2 物线向1个y下单平位12移x2怎样变y 换12 可x2 以 1得到向1抛个左物单平位线移y
y11x
22
x
11221
？
y
开口方向
对称轴
y 1 x 22 1
2
y 1 x 12 1
2
y ax h2 k
向上 向下 a＞0 向上 a＜0 向下
（Ⅱ）根据上表，你有何感悟？
直线x=2 直线x=-1
直线x=h
顶点坐标 （2，1） （-1，-1）
人教版九年级上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k图象和性质课件
的对称轴是直线 （ A）
2. 二次函数y=－(x－1)2+2有
（B ）
A. 最大值1
B. 最大值2
C. 最小值1
D. 最小值2
3. 将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平 移2个单位，那么所得抛物线的解析式是（ B ） A. y=(x+2)2+2 B. y=(x+2)2－2 C. y=(x－2)2+2 D. y=(x－2)2－2
问此球能否投中？
20
4米
3米
9
4米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高 度为多少时能将篮球投入篮圈?
• 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
课后练习
A组
1. 抛物线y=(x－2)2－
A. x=2 C. x=
B. x=－2 D. x=－
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
描点、连线
y1(x1)21 2
…
-5.5 -3 -1.5 -1
直线x=－1
-1.5
-3
-5.5
…
(1)抛物线 y1(x1)21
y 1
2
的开口方向、对称轴、顶点?
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y1(x1)21
-5
2
4. 抛物线y=2(x－3)2+2的顶点坐标是（ B ）
A. (－3,2)
B. (3,2)
C. (－3,－2)
D. (3,－2)
5. 将抛物线y=－x2向右平移1个单位，再向上平移2 个单位后，得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－__(_x_－__1_)_2+_2________．
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
− 3
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
数学人教版九年级上册22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 k 的图象.1.3 二次函数y=a(x-h)2 k 的图象
（1,-3）
-3
7.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头, 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平 距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地 处离池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 0=a(3－1)2＋3
直线x=－1 (－1, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
( 3 , 7)
y=－5(x+2)2－6
直线x=－2 ( －2 , －6 )
y 3( x 2) 2 5
左
1
下
5
x=1
向上 大
y ( x 2)2 3(答案不唯一）
平移规律
y=ax2
左加 右减 y=a(x-h)2
k>0 上移 k<0 下移
y=ax2+k
.指出它的开口方向、 2 顶点与对称轴、
解:
x
先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象
复习小测：
１２ 1 1 个单位得到的， 下 平移 1、抛物线ｙ＝－ ｘ －１是由抛物线 y x 2向 ２ 2 1 1 抛物线y x 2 1是由抛物线y x 2向 上 平移 1 个单位得到的。 2 2
１ 1 2、抛物线ｙ＝－ ( ｘ 1)２是由抛物线y x 2向 1 个单位得到的， 左 平移 ２ 2 1 1 抛物线y ( x 1) 2 是由抛物线y x 2向 右 平移 1 个单位得到的 . 2 2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质(课件)九年级数学上册(人教版)
2）两条抛物线的对称轴分别是：________
（-1，0）（1，0）
3）两条抛物线的顶点分别是________
高
大
大
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，最_____值
y= 0
为_______________________________
相同
5）抛物线的增减性都______:
左侧
增大
在对称轴_____，y随x的增大而_____；
目录
复习巩固
探究新知
知识归纳
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
典例分析
针对训练
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
能力提升
归纳小结
布置作业
复习巩固
函数
图象
开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
函数增减性
最值
k>0
当x＜0时，y随x的增大而减小；
a>0
向上
当x＞0时，y随x的增大而增大.
y =
|k|
ax2+k ______________个单位.
与y=ax2
的关系
向上
（k＞0）或
向下
（k＜0）平移
探究新知
探究新知
1)列表：
x
…
Hale Waihona Puke -3-2-10
1
2
3
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
y
…
8
4.5
2
（-1，0）（1，0）
3）两条抛物线的顶点分别是________
高
大
大
4）顶点都是最____点，函数都有最____值，最_____值
y= 0
为_______________________________
相同
5）抛物线的增减性都______:
左侧
增大
在对称轴_____，y随x的增大而_____；
目录
复习巩固
探究新知
知识归纳
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
典例分析
针对训练
典例分析
典例分析
针对训练
典例分析
针对训练
针对训练
能力提升
归纳小结
布置作业
复习巩固
函数
图象
开口
方向
顶点
坐标
对称
轴
函数增减性
最值
k>0
当x＜0时，y随x的增大而减小；
a>0
向上
当x＞0时，y随x的增大而增大.
y =
|k|
ax2+k ______________个单位.
与y=ax2
的关系
向上
（k＞0）或
向下
（k＜0）平移
探究新知
探究新知
1)列表：
x
…
Hale Waihona Puke -3-2-10
1
2
3
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
y
…
8
4.5
2
22.1.3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y＝a(x-h)2的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数图象和性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.教学重点
-二次函数y＝a(x-h)2的标准形式及其图象特点，包括顶点坐标（h，k）、对称轴x=h、开口方向与a的关系。
-二次函数y＝a(x-h)2的性质，如最小值（当a>0时）或最大值（当a<0时）的存在，以及函数的单调性。
-二次函数图象的平移、拉伸和压缩规律，以及这些变换对函数表达式的影响。
-应用二次函数解决实际问题，如最小值、最大值问题的求解。
-掌握二次函数图象的顶点坐标与对称轴的关系，以及如何通过顶点式直接写出函数表达式。
-理解二次函数在顶点两侧的单调性，以及如何利用这一点来分析实际问题。
-应用图象变换规律来构建新的二次函数表达式。
举例解释：
-难点在于让学生理解，尽管a的绝对值不同会导致图象的拉伸或压缩，但开口方向只由a的正负决定。
-对于顶点坐标与对称轴的关系，学生可能难以理解为何对称轴是x=h，需要通过图象直观展示和数学证明来加深理解。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数y＝a(x-h)2的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次函数图象和性质的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.教学重点
-二次函数y＝a(x-h)2的标准形式及其图象特点，包括顶点坐标（h，k）、对称轴x=h、开口方向与a的关系。
-二次函数y＝a(x-h)2的性质，如最小值（当a>0时）或最大值（当a<0时）的存在，以及函数的单调性。
-二次函数图象的平移、拉伸和压缩规律，以及这些变换对函数表达式的影响。
-应用二次函数解决实际问题，如最小值、最大值问题的求解。
-掌握二次函数图象的顶点坐标与对称轴的关系，以及如何通过顶点式直接写出函数表达式。
-理解二次函数在顶点两侧的单调性，以及如何利用这一点来分析实际问题。
-应用图象变换规律来构建新的二次函数表达式。
举例解释：
-难点在于让学生理解，尽管a的绝对值不同会导致图象的拉伸或压缩，但开口方向只由a的正负决定。
-对于顶点坐标与对称轴的关系，学生可能难以理解为何对称轴是x=h，需要通过图象直观展示和数学证明来加深理解。
22.1.3.2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 初中数学人教版九年级上册教学课件
2
yO －2
－2 －4 －6
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y 1 x 12
2 y 1 x2
2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
直线x＝－1 (－1，0) 直线x＝0 (0，0) 直线x＝1 (1，0)
2 4x
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
探究二
二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
2
2
对称轴和顶点．
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5
－8
···
y 1 x 12
2
·ห้องสมุดไป่ตู้· －8 －4.5
－2
1 2
0
1 2
－2 ···
探究二
描点、连线，画出这两个 函数的图象．
－4
y 1 x 12
2
2
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x2 2
9 ··· 2
2
1 2
0
1 2
2
9
2
···
y 1 ( x 2)2 2
···
25 2
8
9 2
2
1 2
0
1 2 ···
探究一
描点、连线，画出这两 个函数的图象．
y x2 6 5 4 3 2 1
y 1 x2 2
y 1 ( x 2)2
若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点为A(－3 2，y1)，B(－1，y2)， C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为__y_2_＜__y_3＜__y_1__．
yO －2
－2 －4 －6
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y 1 x 12
2 y 1 x2
2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
直线x＝－1 (－1，0) 直线x＝0 (0，0) 直线x＝1 (1，0)
2 4x
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
探究二
二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
2
2
对称轴和顶点．
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5
－8
···
y 1 x 12
2
·ห้องสมุดไป่ตู้· －8 －4.5
－2
1 2
0
1 2
－2 ···
探究二
描点、连线，画出这两个 函数的图象．
－4
y 1 x 12
2
2
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x2 2
9 ··· 2
2
1 2
0
1 2
2
9
2
···
y 1 ( x 2)2 2
···
25 2
8
9 2
2
1 2
0
1 2 ···
探究一
描点、连线，画出这两 个函数的图象．
y x2 6 5 4 3 2 1
y 1 x2 2
y 1 ( x 2)2
若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点为A(－3 2，y1)，B(－1，y2)， C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为__y_2_＜__y_3＜__y_1__．
九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性
10． 在同一平面直角坐标系内， 将抛物线 y＝(x－1) ＋3 先向左 平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度后所得抛物线的顶点 坐标为( D ) A．(2，0) B．(2，6) C．(0，6) D．(0，0)
2
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
B 规律方法综合练
1 11．2017·盐城 如图 22－1－13，将函数 y＝ (x－2)2＋1 的图象沿 2
3．2017·金华 对于二次函数 y＝－(x－1) ＋2 的图象与性质， 下列说法正确的是( B ) A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
【解析】二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象的对称轴是直线 x＝1.∵－1<0， ∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是 2.
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)列表： x … －3
1 2 y＝－ x 2 … －4.5
－2 －2－1 －0.5ຫໍສະໝຸດ 0 01 －0.5
2
3
4 …
… …
－2 －4.5
1 y ＝－ (x 2 … －1)2＋2
…
－2.5
0
1.5
2
1.5
0
－2.5
…
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
描点、连线，如图所示：
(2)①下 x＝0 ③右 1 上
(0，0)
②下
x＝1 (1，2)
1)
2(或上
2 右
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
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二次函数y=ax2+k图象和性质
课题
二次函数y=ax2+k图象
和性质课
时
1
课
型
新授
课
修改意
见
教学目标能做出二次函数y=ax2和y=ax2+k的图像，并能够比较它们的异同，理解a
与k对二次函数图像的影响。
能说出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标
.
教学重
点
二次函数y=ax2+k的图像及性质
教学难点二次函数y=ax2+k的图像及性质的应用和平移规律
学情分
析
学生普遍对二次函数的学习感到有一定的难度
学法指
导
自主，合作，探究
教学过程
教学内容
教师活
动学生活动
效果
预测
（可
能出
补救
措施
修
改
意
见
现的问题）
一．前置训练
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴侧,y 随着x的增大而增大；在对称轴侧,
y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的
方(除顶点外)
2、函数y=8x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在
对称轴的左侧，y随x 1、师生
共同练
习
1、学生口头
回答
1、
2、
……
1、
2、
……
y=x2+1和y=x2 的图像
例 2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 -2和y=x2 的图像
例 3.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-x2 和y=-x2 +3，y=-x2 -2的图像
三．小结二次函数y=ax2+k的性质
四．课堂练习3．教师
引导学
生归纳
教师巡
视
y=x2+1 与抛
物线y=x2有
什么关系?
3.学生观察
并讨论(1)
抛物线
y=x2-2,y=x2
的开口方向、
对称轴、顶点
各是什么?
(2)抛物线
y=x2-2 与抛
物线y=x2有
什么关系?
学生独立练
习
……
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到y=4x2-11的图象,可由y=4x2的图象向平移个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可由 y=2x2的图象。
将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是
五．作业布置
见对媒体课件
板书设计
人教版九年级上教科书参考书目及
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