矩阵论-第六讲

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研究生矩阵论

研究生矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。

研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。

本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。

矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。

矩阵的行和列分别代表其维度。

在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。

这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。

矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。

如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。

逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。

矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。

矩阵的秩具有一些重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。

对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。

特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。

矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。

对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。

矩阵论课件

矩阵论
第二章
第一节
矩阵与约当标准形
矩阵
第二节不变因子及初等因子
第三节约当标准形第四节凯莱—哈米尔顿定理最小多项式
4 December 2014 河北科技大学
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矩阵论
第一节
定义设 P
矩阵
为数域, 为数字，P[ ] [ ]为关于中的元素(数)为元素的矩
4 December 2014
河北科技大学
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定理设矩阵 A( ) aij
阵，且 rank( A( )) r ，则

矩阵论
m n
为非零的多项式矩
A( )
d1 ( ) d 2 ( ) r ( ) 0 J ( ) 0 0 d ( ) r 0 0 0 diag d1 ( ), d 2 ( ), , d r ( ), 0, , 0 --称为 A( )的 Smith (史密斯)标准形.
矩阵论
Dn ( ) a ;
n
Dn1 ( )
4 December 2014
D1 ( ) 1.
河北科技大学
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矩阵论
定义把矩阵 A( ) 的每个次数大于零的不变因子
在复数域 [ ]中分解成标准分解式，即分解成首项系数为1的互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂 ( 相同的必须按出现次数计算) ，称为 A( )的初等因子.
[ ]中分解成标准分解式，所有出现的一次因式的
标准形)
方幂就是 A( )的全部初等因子.

《矩阵论》课件共39页PPT资料

n
x 1
xi ;
i1
1
x
2

n i1
xi
2 2
;
x

max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2

p
引6理 .1.1 如果p实 1,q数 1且111,则对 pq
向量范,数1,,n为V的一组,V基中任一向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空上间定义的 ab
种向量,范如数果存在两无个关与的正常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是数域 P上的n维线性空,间 1,,n 为V的一组,基则V中任一向可量唯一地表示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又设是Pn上的
i1
向量范,数令 v
x,
则是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设是数域 P上n维线性空V上间的任一

《矩阵论》教学大纲

《矩阵论》教学大纲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《矩阵论》课程教学大纲一、课程性质与目标（一）课程性质《矩阵论》是数学专业的选修课，是学习经典数学的基础，又是一门最具有实用价值的数学理论。

它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。

（二）课程目标通过本课程的学习，使学生掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。

二、课程内容与教学（一）课程内容1、课程内容选编的基本原则把握理论、技能相结合的基本原则。

2、课程基本内容本课程主要介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的分析、矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。

（二）课程教学通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维与逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。

三、课程实施与评价（一）学时、学分本课程总学时为54学时。

学生修完本课程全部内容，成绩合格，可获3学分。

（二）教学基本条件1、教师教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。

2、教学设备配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。

（三）课程评价1、对学生能力的评价逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。

2、采取教师评价为主的评价方法。

3、课程学习成绩由期末考试成绩（70%）和平时成绩（30%）构成。

课程结束时评出成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用百分制。

四、课程基本要求第一章线性空间和线性变换基本内容：线性空间线性变换基本要求：（1）理解线性空间有关内容。

（2）掌握线性变换及其矩阵表示。

第二章内积空间基本内容：欧氏空间、酉空间、正交基、正交变换基本要求：理解内积空间的有关性质掌握正交投影了解酉变换第三章矩阵的对角化、若当标准型基本内容：矩阵对角化、埃尔米特二次型、若当标准型基本要求：掌握矩阵对角化了解埃尔米特二次型理解若当标准型第四章矩阵的分解基本内容：矩阵的分解、矩阵的谱分解矩阵奇异值分解基本要求：（1）掌握矩阵的三角分解与满秩分解。

矩阵论定义定理

第1章线性空间与线性变换线性空间定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。

定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。

基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。

若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…}定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2}定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式：DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2)定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。

记为W = W1⊕W2定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2定义1.7 对数域F上的n维线性空间V，定义一个从V中向量到数域F的二元运算，记为(α,β)，即(α,β)：V→F，如果满足对称性、线性性、正定性，则称(α,β)是V的一个內积，赋予內积的线性空间为內积空间。

矩阵论6稿第1章1节修改pdf

矩阵论讲稿讲稿编者：张凯院使用教材：《矩阵论》（第2版）西北工业大学出版社程云鹏等编辅助教材：《矩阵论导教导学导考》《矩阵论典型题解析及自测试题》西北工业大学出版社张凯院等编课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时第三章8学时第六章8学时第一章线性空间与线性变换§1.1 线性空间一、集合与映射1．集合：能够作为整体看待的一堆东西．列举法：},,,{321L a a a S =性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立)21S S =2121,S S S a S a ⊆∈⇒∈∀即 1212,S S S b S b ⊆∈⇒∈∀即交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+例1 R}0{2221111∈==j i a a a a A S R}0{2212112∈==j i a a a aA S ，21S S ≠ R},00{2211221121∈==a a a a A S S I R},0{21122221121121∈===j i a a a a a a a A S S U R}{2221121121∈==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等．Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的.)(,2b a S b =∈σ记作称σ为由到的映射；称为的象， 1S 2S b a a 2为b 的象源．变换：当1S S =时，称映射σ为上的变换． 1S 例2 )2(R})({≥∈==×n a a A S j i nn j i ．映射1σ：A A det )(1=σ (R)→S 变换2σ：n I A A )det ()(2=σ ()S S → 二、线性空间及其性质1．线性空间：集合V 非空，给定数域K ，若在V 中(Ⅰ) 定义的加法运算封闭, 即V y x V y x ∈+∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足(1) 结合律：)()()(V z z y x z y x ∈∀++=++(2) 交换律：x y y x +=+ (3) 有零元：)(,V x xx V ∈∀=+∈∃θθ使得(4) 有负元：θ=−+∈−∃∈∀)(,)(,x x V x V x 使得.(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即V kx K k V x ∈∈∀∈∀)(,,元素对应唯一, 且满足(5) 数对元素分配律：)()(V y ky kx y x k ∈∀+=+ (6) 元素对数分配律：)()(K l lx kx x l k ∈∀+=+(7) 数因子结合律：)()()(K l xkl lx k ∈∀=(8) 有单位数：单位数x x K =∈1,使得1. 则称V 为K 上的线性空间．例3 R =K 时，n R —向量空间； n m ×R —矩阵空间][t P n —多项式空间；—函数空间],[b a CC =K 时，—复向量空间； C —复矩阵空间n C n m ×例4 集合}{是正实数m m =+R ，数域}{R 是实数k k =．加法： mn n m n m =⊕∈+,R ,数乘： k m m k k m =⊗∈∈+R,,R 验证+R 是R 上的线性空间．证加法封闭，且(1)～(2)成立． (3) 1=⇒=⇒=⊕θθθm m m m(4) m m m m m 1)(1)()(m =−⇒=−⇒=−⊕θ 数乘封闭，(5)～(8)成立．故+R 是R 上的线性空间．例5 集合R}),({212∈==i ξξξαR ，数域R ．设R ),,(21∈=k ηηβ．运算方式1 加法： ),(2211ηξηξβα++=+数乘： ),(21ξξαk k k =运算方式2 加法： ),(112211ηξηξηξβα+++=⊕数乘： ))1(21,(2121ξξξα−+=k k k k k o 可以验证与都是)(R 2⋅+)(R 2o ⊕R 上的线性空间．[注] 在R 中, )(2o ⊕)0,0(=θ, ． ),(2121ξξξα+−−=−Th1 线性空间V 中的零元素唯一，负元素也唯一．证设与2θ都是V 的零元素, 则212211θθθθθθ=+=+=1θ设与都是的负元素, 则由1x 2x x θ=+1x x 及θ=+2x x 可得212111)()(x x x x x x x x ++=++=+=θ 22221)(x x x x x x =+=+=++=θθ例6 在线性空间V 中，下列结论成立．θ=x 0：θ=⇒=+=+x x x x x 01)01(01θθ=k ：θθθθ=⇒=+=+k kx x k k )(kx)()1(x x −=−：()()(]1)1[()]([)1()1x x x x x x x x −=−++−=−++−=−2．减法运算：线性空间V 中，)(y x y x −+=−．3．线性组合：K c V x x i i ∈∈若存在,,, 使m m x c x c x ++=L 11, 则称x 是的线性组合，或者可由线性表示．m x x ,,1L x m x x ,,1L 4．线性相关：若有不全为零，使得m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称m x x ,,1L 线性相关．5．线性无关：仅当全为零时，才有m c c ,,1L θ=++m m x c x c L 11，则称m x x ,,1L 线性无关．[注] 在R 中, )(2o ⊕)1,1(1=α, )2,2(2=α线性无关；)1,1(1=α, )3,2(2=α线性相关．（自证）三、基与坐标1．基与维数：线性空间V 中，若元素组满足 n x x ,,1L (1) 线性无关；n x x ,,1L (2) V x ∈∀都可由线性表示．n x x ,,1L 称为n x x ,,1L V 的一个基, 为n V 的维数, 记作n V =dim ，或者V . n 例7 矩阵空间n m ×R 中, 易见(1) ),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==线性无关；(2) ．∑∑==×==mi nj j i j i n m j i E a a A 11)(故),,2,1;,,2,1(n j m i E j i L L ==是n m ×R 的一个基, .mn n m =×dimR2．坐标：给定线性空间V 的基，当时，有n n x x ,,1L n V x ∈n n x x x ξξ++=L 11．称n ξξ,,1L 为在给定基下的x n x ,,1L x 2坐标，记作列向量．Τ1),,(n ξξαL =例8 矩阵空间2R ×中，设22)(×=j i a A ．(1) 取基，22211211,,,E E E E 2222212112121111E a E a E a E a A +++=坐标为Τ22211211),,,(a a a a =α(2) 取基 , , , =11111B =11102B =11003B=10004B 422432132122111)()()(B a B B a B B a B B a A +−+−+−= 421223122121112111)()()(B a a B a a B a a B a −+−+−+=坐标为Τ21221221111211),,,(a a a a a a a −−−=β[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．例如：在上述两个基下的坐标都是；22n n E A =Τ)1,0,0,0(11E A =在上述两个基下的坐标不同．Th2 线性空间V 中，元素在给定基下的坐标唯一．证设V 的基为，对于，若 n x x ,,1L n V x ∈ n n x x x ξξ++=L 11n n x x ηη++=L 11则有 θηξηξ=−++−n n n x x )()(111L因为线性无关, 所以n x x ,,1L 0=−i i ηξ, 即),,2,1(n i i i L ==ηξ.故的坐标唯一．x n 例9 设线性空间V 的基为, 元素在该基下的坐标为n x x ,,1L j y ),,2,1(m j j L =α, 则元素组线性相关（线性无关）m y y ,,1L ⇔向量组m αα,,1L 线性相关（线性无关）．证对于数组, 因为m k k ,,1L θαα=++=++))(,,(11111m m n m m k k x x y k y k L L L 等价于θαα=++m m k L 11k , 所以结论成立. 四、基变换与坐标变换1．基变换：设线性空间V 的基(Ⅰ)为, 基(Ⅱ)为, 则n n x x ,,1L n y ,,1L y+++=+++=+++=n nn n n nn n nn x c x c x c y xc x c x c y x c x c x c y L L L L L L 22112222112212211111 C=nn n n n n c c c c c c c c c L M M M L L 212222111211写成矩阵乘法形式为 (C x x y y n n ),,(),,11L L =称上式为基变换公式，C 为由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵.[注] 过渡矩阵C 一定可逆. 否则C 的个列向量线性相关, 从而n n y ,,1L y 1−线性相关（例9）．矛盾！由此可得111),,(),,(−=C y y x x n n L L称C 为由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的过渡矩阵．2．坐标变换：设在两个基下的坐标分别为n V x ∈α和β,则有 =++=n n x x x ξξL 11α),,(1n x x Ln n y y x ηη++=L 11β),,(1n y y L =βC x x n ),,(1L =由定理2可得βαC =，或者，称为坐标变换公式. αβ1−=C 例10 矩阵空间22R ×中，取基(Ⅰ) , , ,=10011A −=10012A =01103A−=01104A (Ⅱ) , , , =11111B =01112B =00113B=00014B(1) 求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵； (2) 求由基(Ⅱ)改变为基(Ⅰ)的坐标变换公式．解采用中介法求过渡矩阵.基(0)：, , ,=000111E =001012E =010021E=100022E (0)→(Ⅰ)：1222112114321),,,(),,,(C E E E E A A A A = (0)→(Ⅱ)：2222112114321),,,(),,,(C E E E E B B B B =，−−=00111100110000111C=00010011011111112C (Ⅰ)(Ⅱ)：→=),,,4321B B B B (2114321),,,(C C A A A A −=−−==−0100012211101112210110011010011001212211C C C C+++++++==332143243214321432122221ηηηηηηηηηηηηηηηξξξξC五、线性子空间1．定义：线性空间V 中，若子集V 非空，且对1V 中的线性运算封闭，即 (1) 11,V y x V y x ∈+⇒∈∀ (2) 11,V kx K k V x ∈⇒∈∀∈∀称V 为1V 的线性子空间，简称为子空间．1[注] (1) 子空间V 也是线性空间, 而且V V dim dim 1≤.(2) }{θ是V 的线性子空间, 规定dim{0}=θ. (3) 子空间V 的零元素就是1V 的零元素. 例11 线性空间V 中，子集V 是1V 的子空间⇔对11,,,,V ly kx K l k V y x ∈+∈∀∈∀．有证充分性. ：1==l k 11,V y x V y x ∈+⇒∈∀0=l ：110 ,V y kx kx K k V x ∈+=⇒∈∀∈∀故V 是1V 的子空间.必要性. 11 ,V kx K k V x ∈⇒∈∀∈∀ （数乘封闭）11 ,V ly K l V y ∈⇒∈∀∈∀ （数乘封闭）故（加法封闭）1V y l x k ∈+例12 在线性空间V 中，设),,2,1(m i V x i L =∈，则 }{111K k x k x k x i mm ∈++==L V是V 的子空间，称V 为由生成的子空间．1m x x ,,1L 证 m m x k x k x V x ++=⇒∈L 111∀m m x l x l y V y ++=⇒∈∀L 111:1111)()(V x l l kk x l l kk y l kx m m m ,K l k ∈∀ ∈++++=+L根据例11知，V 是1V 的子空间．[注] (1) 将V 记作span 或者．1},,{1m x x L ),,(1m x x L L (2) 元素组的最大无关组是的基； m x x ,,1L ),,(1m x x L L (3) 若线性空间V 的基为，则V ． n n x x ,,1L ),,(1n n x x L L = 2．矩阵的值域（列空间）：划分（），n m n n m j i a A ××∈==C ),,()(1ββL m j C ∈β称),,()(1n L A R ββL =为矩阵的值域（列空间）． A 易见A A R rank )(=dim ．例13 矩阵A 的值域}C {)(n x AxA R ∈==β.证 ∈∀β左, 有右∈= =++=Ax k k k k n n n n M L L 1111),,(βββββ∈∀β右, 有左∈++===n n n n k k k k Ax βββββL M L 1111),,( 3．矩阵的零空间：设，称n m A ×∈C }C ,0{)(n x Ax xA N ∈==为矩阵A 的零空间．易见A n A N rank )(−=dim ．Th3 线性空间V 中, 设子空间V 的基为n 1)(,,1n m x x m <L , 则存在n n m V x x ∈+,,1L , 使得为V 的基．n m m x x x x ,,,,,11L L +n 证线性表示不能由m n m x x V x n m ,,11L ∈∃⇒<+ ,,,11线性无关+⇒m m x x x L若，则是V 的基;n n m =+111,,,+m m x x x L n 否则，mn <+1线性表示不能由112,,,++∈∃⇒m m n m x x x V x L ,,,,211线性无关++⇒m m m x x x x L若，则是V 的基;m =+2211,,,,++m m m x x x x L n 否则，m ． L L ⇒<+n 2依此类推, 即得所证．六、子空间的交与和1．子空间的交：}{2121V x V x x V ∈∈=且I VTh4 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 是21V I V 的子空间．证 212121,V V V V V V I I ⇒∈⇒∈∈θθθ非空∈+⇒∈∈+⇒∈⇒∈∀221121,,,V y x V y x V y x V y x V V y x I 21V V y x I ∈+⇒∈⇒∈∈⇒∈⇒∈∀∈∀221121,V kx V x V kx V x V V x K k I 21V V kx I ∈⇒ 所以V 是21V I V 的子空间．2．子空间的和： },{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+ Th5 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是V 的子空间．证 212121,V V V V V V +⇒+∈+=⇒∈∈θθθθθ非空∈∈+=∈∈+=⇒+∈∀22112122112121,,,,,V y V y y y y V x V x x x x V V y x )()(2211y x y x y x +++=+⇒，222111,V y x V y x ∈+∈+ 21V V y x +∈+⇒22112121,,,V x V x x x x V V x K k ∈∈+=⇒+∈∀∈∀221121,,V kx V kx kx kx kx ∈∈+=⇒ 21V V kx +∈⇒所以V 是21V +V 的子空间． [注] 不一定是21V V U V 的子空间．例如：在2R 中，V )()(2211e L V e L ==与的并集为}R ,0),({212121∈=⋅==i V V ξξξξξαU易见21212121)1,1(,,V V e e V V e e U U ∉=+∈但, 故加法运算不封闭.2Th6 设V 是线性空间1,V V 的有限维子空间，则)(dim dim dim )(dim 212121V V V V V V I −+=+ 证记，dim 11dim n V =22n V =，m V V =21I dim 欲证 m n n V V −+=+2121)(dim (1) ：(1n m =121121)V V V V V V =⇒⊂I I22121221)(V V V V V V V V =+⇒⊂⇒⊂Im n n n V V V −+===+212221dim )(dim (2) ：(2n m =221221)V V V V V V =⇒⊂I I12112121)(V V V V V V V V =+⇒⊂⇒⊂Im n n n V V V −+===+211121dim )(dim(3) ：设V 的基为，那么212L 1,n m n m <<21V I m x x ,,1L 扩充为V 的基： (Ⅰ) m n m y y x x −1,,,,,11L L 扩充为V 的基： (Ⅱ) m n m z z x x −2,,,,,11L L 考虑元素组： (Ⅲ)m n m n m z z y y x x −−21,,,,,,,,111L L L 因为 (Ⅰ)，V (Ⅱ) ，所以 V V =1L =2L V =+21(Ⅲ) （自证）．下面证明元素组(Ⅲ)线性无关：设数组k 使得m n m n m q q p p k −−21,,,,,,,,111L L L m n m n m m y p y p x k x k −−+++++111111L L θ=+++−−m n m n z q z q 2211L由 (*)∈++−∈+++++=−−−−21111111)(2211V z q z q V y p y p x k x k x m n m n m n m n m m L L L 得 m m x l x l x V V x ++=⇒∈L I 1121 结合(*)中第二式得θ=+++++−−m n m n m m z q z q x l x l 221111L L(Ⅱ)线性无关0,0211======−m n m q q l l L L ⇒结合(*)中第一式得θ=+++++−−m n m n m m y p y p x k x k 111111L L(Ⅰ)线性无关0,0111======−m n m p p k k L L ⇒故元素组(Ⅲ)线性无关，从而是V 21V +的一个基．因此 m n n V V −+=+2121)(dim ． 3．子空间的直和：},{22112121V x V x x x x V V ∈∈+==+唯一唯一记作：V2121V V V ⊕=+Th7 设V 是线性空间21,V V 的子空间，则V 21V +是直和⇔}{21θ=V I V ．证充分性．已知}{21θ=V I V ：对于21V V z +∈∀，若∈∈+=∈∈+=221121221121,,,,V y V y y y z V x V x x x z 则有 2221112211,,)()(V y x V y x y x y x ∈−∈−=−+−θ22112211212211,,)(y x y x y x y x V V y x y x ==⇒=−=−⇒∈−−=−⇒θθI 故的分解式唯一, 从而V 21V V z +∈2121V V V ⊕=+．必要性．若}{21θ≠V I V ，则有21V V x I ∈≠θ．对于21V V +∈θ，有2121)(,),(,,V x V x x x V V ∈−∈−+=∈∈+=θθθθθθ即21V V +∈θ有两种不同的分解式．这与V 21V +是直和矛盾．故}{21θ=V I V ．2推论1 V 是直和1V +2121dim dim )(dim V V V V +=+⇔推论2 设V 是直和，V 的基为，V 的基为，221V +1k x x ,,1L 2l y y ,,1L 则V 的基为．1V +l k y y x x ,,,,,11L L 证因为，且 2),,,,,(11l k y y x x L L L =1V V + l k V V V V +=+=+2121dim dim )(dim所以线性无关, 故是V 的基． l k y y x x ,,,,,11L L l k y y x x ,,,,,11L L 21V +。

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2、向量的长度—（—f (模x),或g(范x)数） f (k)g(k)
k 1
3、Cauchy-Schwarz不等式（常见的要记住）
Hale Waihona Puke （| ，）|| | | |
n
n
n
| ai bi |
| ai |2
| bi |2
4、施密i特1 正交化方i法1
i 1
三、向量空间的正交性
向量正交：（，） 0 正交
（1） a111 a212 am1m （2） a121 a222 am2m ：
（m） a1m1 a2m2 ammm
(（1）,（2）,（m）） (1,2 ,m ) A a11 a12 a1m
称A为线性变换在基1，2，m下的矩阵
A
a21 :am1
a22 a2m
am2 amm
（3）酉阵的行列式之模为1 （4）酉阵的特征值之模为1
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
6、基R与2 中维，数常的用几基何i解释(1—,0—),直j 观 (解0,释1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.

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矩阵论
对于满秩方阵 A，A1存在，且 AA1 A1 A I ，故当然有

AA-1 A A A-1 AA-1 A ( AA-1 )* AA-1 ( A-1 A)* A-1 A
这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose 广义逆的启示．
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
第一节和相容方程组求解问题相应的广义逆矩阵 A
1.广义逆矩阵的定义及性质
设线性方程组 AX b 是相容的，其中
A C mn , X C n , b C m ，
则 AX b相容 b R( A) （矩阵 A 的象空间）．
0 ，Ar 为 r 阶满 0
0 1 1 Ar 1 Q P I 0 Q r 0 0 1 Ar 令 C P , D I r 0 Q 1 0
1 1 C L D* ( DD* )1(C *C )1C * . 则 A - DR
3. 反射 g 逆
定义设 A C mn ，若存在G C nm ，使得
（1） AGA A；
和
（2） GAG G ；
同时成立，则称G 为 A 的一个反射（或自反）广义逆矩阵，简称为反射 g 逆，记作： Ar ，其全体记作： A{1, 2}．
4 December 2014
河北科技大学
（4）若G1G2 A{1}，则G1 AG2 A{1, 2}；
（5） A{1, 2} A{1}；

R
L
4 December 2014

《矩阵理论》课程教学大纲【精品资料】

《矩阵理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Matrix Theory2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《线性代数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：适用于理、工等专业9、大纲执笔：应用数学教研室10、大纲审批：理学院教授委员会11、制定(修订)时间：2015年6月二、课程的目的与任务《矩阵理论》是《线性代数》的后继课程，主要讲授线性空间与线性变换，内积空间，矩阵的标准形，矩阵分解，范数理论及其应用等内容。

矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域（如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等）都有广泛应用。

电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。

开设本课程的目的是不仅使学生系统地获得矩阵分析的经典结果和现代结果，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物的能力，培养学生用矩阵分析的方法去思考问题的意识和兴趣，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与归纳判断能力、空间想象能力与数值计算能力，特别培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学生将来进行科学研究奠定良好的基础。

三、课程的基本要求本课程的教学要重视矩阵分析的历史背景知识介绍，要注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍，要充分展示基本概念的形成过程，每个概念的引入应遵循实例——抽象——概念的形成过程，多角度说明有关概念的实质；要加强对基本数学方法的介绍，传授一些数学科学的基本学习方法和研究方法，强调在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法，揭示重要数学方法的本质；要结合节次教学内容，增加具有启发性和讨论性的内容，加强应用实例的介绍，特别是一些来自实际的真实问题的解决方法介绍，对传统教学内容的应用问题进行更新和充实，扩大信息量，灵活采用探究式、启发式和讨论式等教学方法，做到抽象内容与具体例题相结合，教师提问与学生回答相结合，教师授课与学生练习相结合，要掌握好例题的难易程度，对例题要有分析、解答和归纳总结，充分调动学生学习数学的主动性和创造性，活跃课堂气氛；要突出矩阵分析的基本思想，要适当渗透一些现代数学思想，引入一些现代数学观点、概念、方法和术语等，为学生进一步接触现代数学奠定了一定基础。

第6讲矩阵的幂级数

1
j
a m (k )
i1 ij
a(k) ij
A(k ) 1
i 1,
,m
j 1,
,n
由正项级数的比较判别法，可知 m n 个数值级数
a (k) k 0 ij
i 1,
, m;
j 1,
, n;
收敛，从而矩阵级数
绝对收敛。
A (k) k 0
同时应用 Cmn 上矩阵范数的等价性及正项级数的比较判别法，可知上述命题对 : Cmn R 均成立
矩阵理论第6讲-16
矩阵级数
– 定理
设 A(k) A ， B(k) B ，其中
k 0
k 0
A(k) , B(k) , A, B C mn , k 0,1,
则
1. ( A(k) B(k) ) A B k 0
2. C ，
A(k) A
k 0
3. 绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数
1 1
det A 0
矩阵理论第6讲-8
矩阵序列
– 由方阵的幂构成的序列、收敛矩阵
– 定义
设 ACnn ，若 lim Ak 0 ，则称A为收敛矩阵 k
– ACnn 为收敛矩阵的充要条件
lim Ak 0
k
(A) 1
– 推论
设 ACnn ，若对 : Cnn R ，有 A 1 ，则A为收敛矩阵，即
: Cmn R
正项级数 A(k) k 0
证明：
收敛
矩阵理论第6讲-14
矩阵级数
先在矩阵范数
A max
1
j
a n
i1 ij
下证明此命题
必要性：
矩阵级数 A(k) 绝对收敛 k 0

矩阵论课件

第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。

★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。

比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。

实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。

1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。

如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运∈时，有唯一的和算，即当x,y V+∈（封闭性），且加法运算x y V满足下列性质（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。

则有()x x +-= o 。

（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律()+=+；k x y kx ky（6）分配律()+=+；k l x kx lx（7）结合律()()=；k lx kl x=；（8）恒等律1x x [数域中一定有1]则称V为数域K上的线性空间。

注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。

（2）两种运算、八条性质数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。

（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。

唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。

矩阵论第六章

1 2 t
即说 A 之所有不同特征根为 λ1 , λ 2 ,L, λt ，它们作为最小多项式
ϕ (λ ) 的根之重数依次为 m1 , m 2 ,..., mt
.我们把 A 的所有不同特征根
A
连同它们在最小多项式中根的重数称为
的谱. 记为
{(λ1, m1 ), (λ 2 , m2 ),L, (λ t , m t )}.
∞
设 A ∈C
n ×n
如果数项收敛，，如果数项级数 ∑ ck A 收敛，则矩阵幂级数
k k =1
∞
ck Ak 绝对收敛，其中 ⋅ 是 C n×n 上的某种相容矩阵范数. 上的某种相容矩阵范数. ∑ 绝对收敛，
k =0
推论 1 设 A∈ C 数.
n ×n
，如果 C
n× n
上的某种相容矩阵范数 ⋅ 使得 A 在幂级
d （4） (e At ) = Ae At = e At A ； dt
d （5） (sin At ) = A cos( At) = cos( At) ⋅ A ； dt d （6） (cos At) = − A sin At = − sin At ⋅ A dt
定义矩阵函数，利用定理 3 和推论 2 定义矩阵函数，其实质就是先将函数 f ( z ) 展的收敛幂级数，开成 z 的收敛幂级数，再将 z 代以矩阵 A 来定义矩阵函数 f ( A) ，但这个条件比较强，一般不易满足. 但这个条件比较强，一般不易满足.下面我们拓宽矩阵函数的定义. 定义. 对矩阵 A ∈ Cn ×n ，假定存在 n 阶可逆矩阵 P 使得
A = max aij
i, j
必要性
∑A
k =1

矩阵论浙大研究生第6讲

矩阵论2015年秋学期第六讲2015年9月30日第3章矩阵微分第4章梯度分析与最优化矩阵论－矩阵微分Vandermonde 矩阵2矩阵每行（或列）的元素组成一个等比序列性质：第二行/第二列元素各不相同时，矩阵非奇异矩阵论－矩阵微分Vandermonde 矩阵3矩阵论－矩阵微分信号处理中另一类VandermondeVandermonde 矩阵Vandermonde 矩阵求逆公式4矩阵论－矩阵微分Fourier 矩阵Fourier 矩阵是一种特殊结构的Vandermonde DFT称为Fourier 矩阵5矩阵论－矩阵微分Fourier 矩阵6矩阵论－矩阵微分Hadamard 矩阵7矩阵论－矩阵微分Hadamard 矩阵8矩阵论－矩阵微分Hadamard 矩阵9矩阵论－矩阵微分Toeplitz 矩阵10矩阵论－矩阵微分Hankel 矩阵11矩阵论－矩阵微分矩阵微分-Jacobian 矩阵与梯度矩阵12矩阵论－矩阵微分Jacobian 矩阵与梯度矩阵当实值标量函数的变元为实值矩阵时，存在两种定义1）关于矩阵变元的Jacobian 矩阵2）行偏导向量13矩阵论－矩阵微分Jacobian 矩阵与梯度矩阵14矩阵论－矩阵微分梯度矩阵Jacobian 矩阵与梯度矩阵15矩阵论－矩阵微分Jacobian 矩阵与梯度矩阵16另一种定义矩阵论－矩阵微分Jacobian 矩阵与梯度矩阵17矩阵论－矩阵微分偏导和梯度的计算18矩阵论－矩阵微分偏导和梯度的计算独立性与基本假设19矩阵论－矩阵微分偏导和梯度的计算20矩阵论－矩阵微分Hessian 矩阵21矩阵论－矩阵微分共轭梯度与复Hessian 矩阵实解析函数：对于实变量域内都是实解析的，但对于复变量不一定是复解析（全纯）的。

复解析在现代数学中常用“全纯”代替，复解析函数常称为全纯函数。

22矩阵论－矩阵微分共轭梯度与复Hessian 矩阵形式偏导？23矩阵论－梯度分析与最优化梯度分析与最优化-实变量函数无约束优化的梯度分析最优化：极大值或极小值主要讨论：☐极值存在的条件（梯度分析）☐优化算法的设计以及收敛性分析典型的优化问题无约束优化问题：通过松弛和逼近的思想迭代求解优化问题中需产生松弛序列24矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析利用松弛和逼近，可实现以下目的：25矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析单变量函数的平稳点与极值点全局极小点严格全局极小点（开）领域闭领域26正数矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析单变量函数的平稳点与极值点：极小值（或极大值）5101500.511.52-5510020406080（弱）局部极小点严格局部极小点27矩阵论－矩阵微分第三章习题283.1，3.11，3.1410月14日交课程公共邮箱用户名：matrix_zju@ 密码：matrix教材：张贤达著, 矩阵分析与应用（第二版）, 清华大学出版社, 2013年11月.。

北京化工大学《矩阵论》课件6-1,2

其中 A Cmn ， B C pq ， F Cmq ，而 A(1) 与 B (1) 是取定的 {1} -逆；且有解时其通解为
1) X A(1) DB(1) Y A(1) A Y B (B
（ Y Cn p 任意）
证
必要性。若矩阵方程有解 X ，则 D AXB = AA(1) AXBB(1) B = AA(1) DB (1) B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X 0 = A(1) DB(1) + X 0 A(1) DB (1) = A(1) DB(1) + X 0 A(1) AX 0 BB(1)
即 X 0 仍可表为上述形式，故所给表达式是通解。证毕推论设 A Cmn ， b C m ，线性方程组 Ax b 有解的充要条件是
证毕
2 1 2 1 4 1 1 ，求 A(1) 。已知矩阵 A = 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0 0 r 2 r 1 2 1 3 r1 A, I = 2 4 1 1 0 1 0 r 1 2 2 1 0 0 1
性质 2
1 , 0 ； A(1) (A){1} ，其中 0 , 0
证
A, 0 因为 (A)( A(1) )(A) = = A ，所以 A(1) (A){1} 。 0 , 0
性质 3
若 SAT 有意义，且 S 与 T 均可逆，则 T 1 A(1) S 1 (SAT){1} ；
证因为 ( SAT )(T 1 A(1) S 1 )( SAT ) = SAT ，所以 T 1 A(1) S 1 (SAT){1} 。证毕性质 4 证

中南大学矩阵论课件Chapter6(1)

广义逆.
Notations
1 如果X 满足Penrose方程组中某几个或全部，称
X 都是A的广义逆矩阵；
2 按照这一定义，可以分为满足一个，二个，三个
或四个Penrose方程的广义逆矩阵，一共有
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15类.
3 常用的广义逆有1 广义逆;1, 2 广义逆; 1, 2,3 广义逆;Moore-Penrose广义逆.
1 4 显然，如果 A 是可逆矩阵，则 X A 满足四个
Penrose方程.
二、广义逆矩阵的存在唯一性 1、 M-P 广义逆的存在性
n mm 设A Cm , 由奇异值分解知，存在 m 阶酉矩阵 U C r
和n阶酉矩阵V Cnn使得 0 H A U V 0 0 1 2 , 其中， r
Notations
1 如果A不是可逆矩阵，则除Moore-Penrose广义逆
以外的其他14类广义逆都不是唯一的.
2 由于 1 广义逆 A 是最基本的，而 A 逆唯一且同时
1
包含在15类广义逆矩阵的集合中，所以A 与A占有重
1
要的地位，下面主要讨论这两类.
H
H
Ir V 0
0 H Ir V V 0 0
0 H V XA 0
Notations
1以上说明A的Moore-Penrose广义逆一定存在，
从而15种广义逆都存在. 1 0 H 且A的M-P广义逆为V U . 0 0
1 0 H 0 H 1 0 H ii XAX V U U U V V 0 0 0 0 0 0

矩阵论6

设 u1 为A的属于 1 的特征向量，因 u1 0 ，将其化为单位特征
向量 u1 ，u1 仍是A的属于1 的特征向量。
Au1

A
u1 u1 2

1u1
u1 2
1u1
因 C n 中线性无关的向量可扩充为其基，将 u1 扩充为 C n 的一组
基：
u1 u2 un
信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-8
酉矩阵
– 酉矩阵的性质：
• A是酉矩阵证明：
A的n个列向量是两两正交的单位向量
设矩阵 A (a1 a2 an ) ，则
a1H
a1H a1 a1H a2 a1H an
AH
A

a2H
(a1
a2

an
)

a2H a1
A是正规矩阵
AH A AAH
T HT U H AAHU U H AIAHU U H AUUH AHU TT H
a11 a12 a1n

a22 a2n

ann

a11
a11 a12 a1n
a12 a22

矩阵
A~T
信息科学与工程学院
矩阵理论第5讲-10
酉相似下的标准形
– Schur定理：任一复数方阵均可酉相似于上三角矩阵
设 A C nn ，则A可酉相似于上三角矩阵T，即 U C nn ，且 U 1 U H ，使得
证明:
U 1AU U H AU T
用归纳法证明。当n = 1时，显然成立。假设Schur定理对n – 1阶矩阵成立

矩阵论的概念与定理

矩阵论的概念与定理
矩阵论是线性代数的重要分支，研究矩阵的性质、运算和定理。

矩阵的概念：矩阵是由一组数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。

矩阵由行和列组成，行数和列数可以不相等。

例如，一个3行2列的矩阵表示为：
A = {{a11, a12},
{a21, a22},
{a31, a32}}
矩阵的运算：矩阵有加法、减法和乘法运算。

- 矩阵的加法：如果两个矩阵的行数和列数相等，它们可以相加。

相加时，对应位置上的元素相加得到结果矩阵。

- 矩阵的减法：与加法类似，对应位置上的元素相减得到结果
矩阵。

- 矩阵的乘法：如果一个矩阵的列数和另一个矩阵的行数相等，它们可以相乘。

矩阵乘法按照一定规则进行，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵的定理：矩阵论涉及许多重要的定理，以下列举几个常见的：
- 可逆矩阵定理：一个n阶矩阵是可逆的充分必要条件是它的
行列式不为零。

可逆矩阵有唯一的逆矩阵，其乘积为单位矩阵。

- 特征值和特征向量定理：一个n阶矩阵具有n个特征值和n
个线性无关的特征向量。

- 奇异值分解定理：任何一个矩阵都可以分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵，另一个是伴随对角矩阵。

- 矩阵的秩定理：一个矩阵的秩是它包含的非零行的最大数目，也是它包含的非零列的最大数目。

一个m×n的矩阵的秩至多
为min(m,n)。

以上只是矩阵论的一部分概念与定理，它们在数学、工程和科学等领域中都有广泛的应用。

矩阵论课件

P 是数域，若 n是正整数，则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法，构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可以由 1 , 2 ,
, s 线性表示，且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等价，且均线性无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间；复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
机动目录上页下页返回结束
矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合，按照函数的加法及数与函数的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别）的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,

矩阵论-第六讲

研究生矩阵论

矩阵论课件

《矩阵论》课件 共39页PPT资料

《矩阵论》教学大纲

矩阵论定义定理

矩阵论6稿第1章1节修改pdf

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《矩阵理论》课程教学大纲【精品资料】

第6讲 矩阵的幂级数

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矩阵论 第六章

矩阵论浙大研究生第6讲

北京化工大学《矩阵论》课件6-1,2

中南大学矩阵论课件Chapter6(1)

矩阵论6

矩阵论的概念与定理

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第6讲矩阵的幂级数

矩阵论第六章