2.3.1圆的标准方程学案1
高中数学_2.3.1圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
.高中数学必修2 新授课导学案2.3.1圆的标准方程（一）学习目标：1.知识与技能目标:（1）理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程，并从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题 3.情感、态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神； （2）树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。
（二）学习重点和难点：1．重点：圆的标准方程的推导以及根据已知条件求圆的标准方程。
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
(三)学习过程： 一、课前准备复习回顾： 1.已知点),(),,(2211y x B y x A ，两点间的距离AB =___________ 。
2.已知点,直线,点A 到直线l 的距离为3.圆的定义：平面内到一_____的距离等于_____的点的轨迹是圆，_____是圆心，___是半径。
二、新课导学探究1：在平面直角坐标系中，求圆心为点C 、半径为r 的圆的方程。
( 思考:如何建立平面直角坐标系? )MC r新知1：圆的标准方程： _______ ，圆心为C（，），半径为。
写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.说明：y探究2：点与圆的位置关系试一试：写出圆心为C（0,0）半径为2的圆的方程，在平面直角坐标系中,画出此圆, 2并判断点与圆的位置关系。
1-2 -10 1 2 x新知2：判断点A(与圆C：()()222rbyax=-+-（r>0）的位置关系的方法：（1）点A在圆内 |CA| rA A A（2）点A在圆上 |CA| rC.（3）点A在圆外 |CA| r 三、新知应用例1：根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2)。
高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程预习导学案新人教B版必修1
2．3.1 圆的标准方程预习导航1．圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径．设M(x ，y)是⊙C 上的任意一点，点M 在⊙C 上的条件是|CM|＝r ，r 为⊙C 的半径．思考1 平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么？提示：是一个以定点为圆心，以定长为半径的圆面．2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r 的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2.(2)圆心坐标为(a ，b)，半径为r 的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.思考2在平面直角坐标系中，圆是函数的图象吗？提示：根据函数知识，对于平面直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x 轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象．对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x 轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．例如：函数y ＝b 的图象是以(a ，b)为圆心，半径为r 的位于直线y ＝b 上方的半圆弧；函数y ＝b 的图象是以(a ，b)为圆心，半径为r 的位于直线y ＝b 下方的半圆弧．3．点与圆的位置关系设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则：点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔|PC|＝r；点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔|PC|>r；点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔|PC|＜r.思考3直线y＝k(x－3)与圆x2＋y2＝16的位置关系怎样？提示：相交．因为直线y＝k(x－3)恒过定点(3,0)，又(3,0)点在圆x2＋y2＝16的内部，故直线与圆是相交的．。
圆的标准方程学案
圆的标准方程学案圆的标准方程学案一、教学目标1、理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的推导过程；2、会根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，掌握圆的标准方程的应用；3、通过对圆的标准方程的学习，初步了解解析几何的基本思想和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1、圆的标准方程的推导2、圆的标准方程的形式及其意义3、圆的标准方程的应用三、教学过程1、引入：通过实例展示圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。
2、圆的标准方程的推导：通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。
3、圆的标准方程的形式及其意义：介绍圆的标准方程的形式，解释各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。
4、圆的标准方程的应用：通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。
四、教学步骤1、教师引导学生通过实例理解圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。
2、教师介绍圆的标准方程的推导过程，通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。
3、教师解释圆的标准方程的形式，说明各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。
4、教师通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。
五、教学重点与难点1、教学重点：掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。
2、教学难点：理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。
六、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动交流。
2、教学手段：PPT、板书、实物展示。
七、教学评估1、课堂练习：通过练习题检验学生对圆的标准方程的理解和掌握情况。
2、课后作业：布置相关题目，加强学生对圆的标准方程的掌握和应用能力。
3、课堂讨论：引导学生对圆的标准方程的应用进行讨论，提高学生对该知识的理解和应用能力。
八、教学反思1、总结课堂效果：对本次课程的教学效果进行总结，分析学生的掌握情况。
学案2：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程基础梳理1．圆的标准方程：圆心为C (a ，b )、半径为r 的圆的标准方程为 ． 练习1： (1)圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为： ． (2)圆心在x 轴上，半径为1，且过点(－1，1)的圆的标准方程为： ． 2．点与圆的位置关系．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置有如下表所示的对应关系：练习2：圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝32的圆心为 ，半径为 ． ►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？自测自评1．圆心是O(－3，4)，半径为5的圆的方程为() A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5 B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 2．点P(m ，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定 3．圆的一条直径的两个端点是(2，0)、(2，－2)，则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 4．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( ) A.12 B.32 C.1 D.3 基础达标1．已知点P(a ，a ＋1)在圆x 2＋y 2＝25内部，那么a 的取值范围是( ) A ．－4<a <3 B ．－5<a <4 C ．－5<a <5 D ．－6<a <4 2．方程y ＝－25－x 2表示的曲线是( )A ．一条射线B ．一个圆C ．两条射线D ．半个圆 3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 4．已知圆上三点A (0，4)，B (3，0)，C(0，0)，则该圆的方程为________________． 5．过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________．6．圆x 2＋y 2＝4上的点到点A (3，4)的距离的最大值是________，最小值是________． 巩固提升7．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m 8．已知点P 是圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的任意一点，点A (－1，0)、B (1，0)， 试求|P A |2＋|P B |2的最大值和最小值．9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝3a ＋1，y ＝4a }，集合B ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2<25a 2}，且A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2练习1：x2＋y2＝9(2)(x＋1)2＋y2＝1练习2：(1，－2)，3．►思考应用下列几种特殊位置的圆的方程是什么？自测自评1．【答案】D【解析】直接代入圆的标准方程可得．2．【答案】A【解析】：m2＋52＝25＋m2≥25>24，点在圆外．3．【答案】B【解析】∵所求圆的圆心为(2，－1)，半径r＝（2－2）2＋（0＋2）22＝1，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 4．【答案】A【解析】圆心C(1，0)，再利用点到直线的距离公式得d ＝12.基础达标 1．【答案】A【解析】由a 2＋(a ＋1)2<25可得2a 2＋2a －24<0，解得－4<a <3. 2．【答案】D【解析】当y ≤0时，平方得x 2＋y 2＝25，表示下半圆． 3．【答案】A【解析】(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5. 4．【解析】利用待定系数法或利用几何性质求解． 【答案】⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝2545．【解析】由图形可知点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，圆心为O(2，0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥O A ，所以k ＝－1k OA ＝－1－2＝22. 【答案】226．【答案】7 3 巩固提升 7．【答案】B【解析】下图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x 轴，圆心为原点建立直角坐标系，则半圆的方程为x 2＋y 2＝3.62(y ≥0)，点A 的坐标为(0.8，h)，设M(0.8，y )在半圆上，则y ＝ 3.62－0.82≈3.5，∴h≤y ＝3.5(m )．8 .【解析】设P(x ，y )，则有P 是圆上任一点，|P A |2＋|P B |2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2＝2x 2＋2y 2＋2＝2(x 2＋y 2)2＋2 ＝2[（x －0）2＋（y －0）2]2＋2＝2|OP|2＋2. 则O 在圆C 外．由题意得|OP|的最大值是|OC|＋r ＝5＋1＝6，最小值是|OC|－r ＝5－1＝4. 所以|P A |2＋|P B |2的最大值是2×62＋2＝74，最小值是2×42＋2＝34.9．【解析】集合A 表示点M(3a ＋1，4a )，集合B 表示圆N ：(x －2)2＋y 2＝25a 2的内部部分． A ∩B ≠∅表示点M(3a ＋1，4a )在圆N 内部，∴(3a ＋1－2)2＋(4a )2<25a 2，解得a >16，∴a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a>16.。
圆的标准方程学案
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(3) 数学建构 2 2 2 圆的标准方程：(x－a) + (y－b) ＝r 以 C(a，b)为圆心，r 为半径. 2 2 2 方法迁移：由一般到特殊：当圆心在坐标原点时，圆的方程是 x + y ＝r 单位圆：半径为 1 的圆 (4) 【练习强化】 1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。 圆心坐标 半径
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 2 2 5.已知 BC 是圆 x ＋y ＝25 的动弦，且|BC|=6，则 BC 中点的轨迹方程是(
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A．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝16 6. 若 圆 为 7.求过点 与圆 . ,且圆心
B．x2＋y2＝9 D．x＋y＝4 关于原点对称，则圆 的标准方程
__________ __________ ___________ __________ __________ ___________
总结： 特别地，当 (a, b) (0,0) 时，圆的方程变为___________ 2. 根据下列条件，写出圆的标准方程。 (1) 圆心在 A(2,1) ，半径长为 4； __________________________
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(6) 总结： 1.圆的标准方程 圆心和半径 圆心为（a，b）半径为 r 圆心为（0，0）半径为 r 2.特殊位置的圆的方程 圆心在原点 圆心在 X 轴上 圆心在 Y 轴上 圆心在 X 轴上且过原点 圆心在 Y 轴上且过原点 与 X 轴相切 与 Y 轴相切 与两坐标轴相切 3.点与圆的位置关系 设点 P(x0,y0)到圆心（a，b）的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系如下： 位置关系 d 与 r 的关系 代数表示 点 P(x0,y0)到圆的最短距离 ，最大距离为 . 点在圆外 点在圆上 点在圆内 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程
9．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
10．求满足下列条件的圆的方程．
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
高一数学导学案
编号：B2-21课型：新授课编制人：李震审核人：李震年级主任：班级：姓名：
课题：2.3.1圆的标准方程
【学习目标】
1.理解圆的定义及圆的标准方程的形式，会求圆的标准方程．
2．理解点与圆的位置关系，并会判断点与圆的位置关系．
3．掌握求曲线方程的一般步骤．
【学习内容】
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：___________________的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径．
11．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
12．设A(－c,0)、B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹．
【课后小结】
个性笔记
3．方程y＝表示的曲线是()
A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆
4．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为________．
5．若坐标原点在圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
【课后练习】
1．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()
【课内练习】
1．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为()
圆的标准方程
2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程(一)一、复习:1.初中学的圆的定义是什么？2.平面上两点),(11y x A ,),(22y x B 间的距离d （A,B ）= .二、学习目标:1.已知圆心、半径会求圆的标准方程;2.已知圆的标准方程会独处圆心、半径.三、自主学习:已知圆的圆心为),(b a C ,半径为r,),(y x M 是平面上任意一点,自学93P 回答:1.若︱C Ｍ︱＝ ,则Ｍ在⊙Ｃ上；反之,若Ｍ在⊙Ｃ上,则︱C Ｍ︱＝ .2. ︱C Ｍ︱=r 用坐标表示为 .3.圆的标准方程:（1）圆心为),(b a C ,半径为r 的圆的标准方程为: .（２）圆心在原点,半径为r 的圆的标准方程为: .4.设圆Ｃ的方程为:222)()(r b y a x =-+-,（1）若点Ｍ（x,y ）在圆上,则222___)()(r b y a x -+-;（２）若点Ｍ（x,y ）在圆外,则222___)()(r b y a x -+-;（３）若点Ｍ（x,y ）在圆内,则222___)()(r b y a x -+-.四、典型例题:自学94P 例1-例3补充例题4：（A ）已知圆C 的圆心C （3,-4），半径5，求圆的标准方程；（B ）求圆心在直线032=--y x 上且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.（C ）已知圆C 的标准方程为22(1)(+2)=25x y -+和点A （5，a ）,B(b+4,2b-6),(1)若点A 在圆C 上，求a 的值；（2）若点B 在圆C 内，求b 的取值范围；五、学生练习:96P 练习A 、B六、作业:（A ）1.圆2)1()1(22=-++y x 的圆心坐标和半径分别为( )A (1,-1),2B (-1,1),2C (-1,1),2D (1,-1), 2（B ）2.过点C (-1,1)和D (1,3),圆心在x 轴上的圆的方程为( )A 10)2(22=-+y xB 10)2(22=++y xC 10)2(22=++y xD 10)2(22=+-y x（B ）3.已知圆心 (2,3)P -,且与 y 轴相切,则该圆方程是（ ）A 22(2)(3)4x y -++=B 22(2)(3)9x y -++=C 22(2)(3)4x y ++-=D 22(2)(3)9x y ++-=（B ）4.过点(1,1)A -,(1,1)B -且圆心在直线 20x y +-=上的圆的方程是（ ）A 22(3)(1)4x y -++=B 22(3)(1)4x y ++-=C 22(1)(1)4x y -+-=D 22(1)(1)4x y +++=（B ）5.方程2222(4)0x x y ++-=表示的图形是（ ）A 两个点 .B 一个点和一个圆.C 一条直线和一个圆.D 一个点和一条直线.（B ）6.直线y ax b =+经过第一,二,四象限,则圆222()()x a y b r -+-=的圆心位于第（ ）象限.A.一B.二C.三D.四（B ）7.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点,则点M 到直线3420x y +-= 的最短距离是（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2（B ）8.以原点为圆心且被直线34150x y ++=截得的弦长为8的圆的标准方程是（ ）A. 2225x y +=B. 222257x y += C. 229x y += D. 2273x y +=（B ）9.已知圆C 和圆C '关于点(3,2)成中心对称,若圆C 的方程是224x y +=,则圆C '方程是( )A. 22(4)(6)4x y -+-=B. 22(4)(6)4x y +++=C. 22(6)(4)4x y -+-=D. 22(6)(4)4x y -++=（B ）10.圆22(1)1x y -+=的圆心到直线 y x =的距离是 （A ）11.已知圆的方程为25)1()2(22=-++y x ,则圆心坐标为 ,半径为 .（A ）12. 已知圆心坐标是（-2,-1）,半径为3,则圆的方程是 .（B ）13. 圆222)()(r b y a x =-+-过原点的条件是 .（B ）14. 若坐标原点在圆4)()(22=++-m y m x 内部,则实数m 的范围 .（B ）15.已知圆的直径的两个端点分别是点A(1,1), B(1,2),则圆的方程是 .（C ）16.若实数,x y 满足221x y +=,则21y x --的最小值是 （C ）18.若过点P (51,12)m m +总可作两条直线和圆22(1)1x y -+=相切,则实数m 的范围是 .(B)19.已知圆心在x 轴上, 半径是5,且以(5,4)A 为中点的弦长是则这个圆的标准方程是（B ）20. 已知圆C 的圆心在直线:210l x y --=上,并且经过原点和(2,1)A ,求圆的标准方程.（C ）已知圆C 和y 轴相切,圆心在直线30x y -=上,且被直线y x =截得的弦长为, 求圆C 的方程.七、反思总结。
学案1：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点)1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．【情境导学】情景引入我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？新知初探1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1) ；(2) ．2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点为圆心，为半径的圆的方程，叫做圆的．3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．()2．圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝43．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是．【合作探究】【例1】根据下列条件，求圆的标准方程．(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．[思路探究]只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．[规律方法]确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.[跟进训练]1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程．【例2】求下列各圆的标准方程．(1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)．[思路探究]由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数．[规律方法]待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．[跟进训练]2．求经过点A(10,5)，B(－4,7)，半径为10的圆的方程．类型三圆的标准方程的实际应用【例3】已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？[思路探究]桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面[跟进训练]3．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2．7 m，高为3 m的货车能不能驶入？[探究问题]1．若P (x ，y )为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．2．若P (x ，y )是圆C ：(x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．【例4】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3．求yx的最大值和最小值．[思路探究] yx 的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．[母题探究]1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值．2．在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．[规律方法]与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题.(2)形如l ＝ax ＋by (b ≠0)形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b ＋lb 截距的最值问题.(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.【课堂小结】1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝m ．当m ＞0时，表示圆心为C (a ，b )，半径为m 的圆； 当m ＝0时，表示一个点C (a ，b )； 当m ＜0时，不表示任何图形． 2．确定圆的方程的方法及步骤(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径． 直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 第二步：根据条件列方程组求待定系数a ，b ，r ． 第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)． 4．重点掌握的方法 (1)求标准方程的方法． (2)求与圆相关的最值的方法．【学以致用】1．圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝3的圆心坐标( )A．(2,1)B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为()A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0213．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为．4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是．5．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．定长(1)圆心(2)半径2．(a，b)r标准方程3．d＞r d＝r d＜r思考：[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．初试身手1．[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．2．C[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]3．A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．x2＋(y－2)2＝1[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]【合作探究】【例1】[解](1)所求圆的半径r＝|CA|＝(2＋2)2＋(－2－1)2＝5．又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝(4－2)2＋(0＋3)2＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．[跟进训练]1．[解]设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25或(x －6)2＋y 2＝25．【例2】[解] (1)设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ， 则所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． ∵圆心在y ＝0上，故b ＝0， ∴圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2． 又∵该圆过A (1,4)，B (3,2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2，(3－a )2＋4＝r 2，解得a ＝－1，r 2＝20． ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10． [跟进训练]2．[解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝100，将A 、B 两点代入得⎩⎪⎨⎪⎧(10－a )2＋(5－b )2＝100 ①(－4－a )2＋(7－b )2＝100 ② ①－②得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15 ③ 将③代入得：a 2＋8－6a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100．【例3】[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x 轴， 以过拱顶的竖直直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系， 则O (0,0)，A (6，－2)．设圆的标准方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2(r ＞0)． 将A (6，－2)的坐标代入方程得r ＝10， ∴圆的标准方程为x 2＋(y ＋10)2＝100．当水面下降1米后，可设点A ′(x 0，－3)(x 0＞0)． 将A ′(x 0，－3)代入圆的标准方程，求得x 0＝51， ∴水面下降1米，水面宽为2x 0＝251≈14．28(米)． [跟进训练]3．[解] 以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴， 过圆心且垂直于直径AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2．7代入圆方程，得y ＝16－2.72＝8.71＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．类型四与圆有关的最值问题[探究问题]1．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12．2．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2， 圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2．【例4】[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ， 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3． 故y x的最大值为3，最小值为－3． [母题探究]1．[解] 设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6． 故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．2．[解] x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－43．【学以致用】1．B [结合圆的标准形式可知，圆C 的圆心坐标为(2，－1)．]2．A [由圆的标准方程知(x －2 020)2＋(y －2 020)2＝2 0212．]3．a ＞1或a ＜－15[因为(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的外部，所以4a 2＋(a －2)2＞5，解得a ＞1或a ＜－15．] 4．(x ＋2)2＋y 2＝10 [因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，故(1＋2)2＋1＝m ． ∴m ＝10，即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10．]5．[解] ∵|MA |＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5，|MB |＝(1－3)2＋(0－4)2＝25，|MC |＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB |＜|MA |＜|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外，∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25．。
圆的标准方程学案
圆的标准方程学案⊙学习目标：1. 理解并掌握圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心和半径；2．会根据不同条件求得圆的标准方程；3．通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，进一步提高观察、比较、分析、概括等思维能力；4．学会借助实例分析探究数学问题。
⊙学习重点：圆的标准方程的推导以及根据具体条件正确写出圆的标准方程。
⊙学习难点：根据不同条件求得圆的标准方程。
⊙学习方法：自主探究、小组合作、展示交流、质疑释疑学习任务一：旧知复习1．初中平面几何中所学的圆的概念是：平面内____________________________的点的集合（轨迹）是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径。
2．确定圆的几何要素：（1）不共线的三点确定一个圆，圆心在圆上任意两点连线段的上，三点确定的三角形叫做该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的.（2）圆心确定圆的，半径确定圆的，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了学习任务二：新知探究分析:建系：设点：设M是圆C上的任意一点，CM____，列式：则坐标化：用两点间的距离公式，得：化简：两边平方，得：这就是以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程。
探究2：思考：求以),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的方程？分析：建系：设点： 设M 是圆C 上的任意一点，列式： 则 CM ____，坐标化：用两点间的距离公式，得：化简： 两边平方，得：这就是以),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程。
学习任务三：基础训练1．求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心为点（0, 0），半径为1；（2）圆心为点（0, 1），半径为2；（3）圆心为点（2,0），半径为2；（4）圆心为点（-3, -4），半径为3；2.判断下列方程是否是圆的方程，如果是，指出圆心坐标及半径，如果不是，请说明理由(1) (x-1)2+(y-2)2=4 (2) (x-1)2 -(y-2)2=4(3) (x-1)2+(y-2)2=(-2)2 (4) (x+1)2+y 2=2 (5) x 2+(y+3)2=0 (6) (x+a)2+y 2=a 2(7) x 2+y 2-2x=0 (8) x 2+y 2-2x+4y+1=0典型例题例1．根据下列条件，求圆的方程：圆心在点C （-2,3），并过点A （1，7）；练习：（1）求过点A(-4,-5),B(6,-1)且以线段AB为直径的圆的标准方程（2）求以点C（-1,-5）为圆心，并且和y轴相切的圆的标准方程（3）求以直线x+y=4和x-y=-2的交点为圆心，3为半径的圆的标准方程（4）求圆心在（1,3），且和直线3x-4y-6=0相切的圆的标准方程。
2.3.1圆的标准方程教案教师版
§2.3 圆的方程2．3.1 圆的标准方程学习要求1．理解圆的定义及圆的标准方程的形式，会求圆的标准方程2．理解点与圆的位置关系，并会判断点与圆的位置关系3．掌握求曲线方程的一般步骤学法指导通过运用圆的定义及两点间的距离公式，探究出圆的标准方程；通过应用圆的标准方程解决实际问题，培养观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力.填一填:知识要点、记下疑难点1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于 定长 的点的轨迹．确定一个圆的条件：(1) 圆心 ；(2) 半径2．方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2是以点 (a ，b) 为圆心， r 为半径的圆的方程，叫做圆的 标准方程 ．3．点和圆的位置关系有3种，圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，点M(x 0，y 0)：(1)点在圆上：(x 0－a)2＋(y 0－b)2 ＝ r 2；(2)点在圆外：(x 0－a)2＋(y 0－b)2 > r 2；(3)点在圆内：(x 0－a)2＋(y 0－b)2 < r 2.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题． 探究点一 圆的标准方程问题1 圆是怎样定义的？答：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点就是圆心，定长就是半径．问题2 圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？答：圆心和半径；圆心：确定圆的位置，半径：确定圆的大小．问题3 设圆的圆心为A(a ，b)，半径为r.M(x ，y)为圆上任意一点，那么点M 满足什么条件？答：|MA|＝r.问题4 对问题3中点M 满足的条件，若用坐标表示并化简将得到怎样的等式？答：由|MA|＝r ，得－2＋－2＝r ，化简可得：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.问题5 如何说明(x －a)2＋(y －b)2＝r 2就是圆心坐标为A(a ，b)，半径为r 的圆的方程？答：若点M(x ，y)在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适合方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，反之，若点M(x ，y)的坐标适合方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，这就说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．小结：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2是以点A(a ，b)为圆心，r 为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．问题6 在平面直角坐标系中，点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的关系如何判断？答若(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2，则点在圆外；若(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，则点在圆上；若(x 0－a)2＋(y 0－b)2<r 2，则点在圆内.探究点二 圆的标准方程的应用问题 从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？答：在圆的标准方程中，含有三个参数分别是a ，b ，r ，因此求圆的标准方程需要三个已知条件．例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)圆心在点C(－2,1)，并过点A(2，－2)；(2)圆心在点C(1,3)，并与直线3x －4y －6＝0相切； (3)过点(0,1)和点(2,1)，半径为 5.解：(1)所求圆的半径r ＝|CA|＝＋2＋－2－2＝5. 因为圆的圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝25.(2)因为直线3x －4y －6＝0是所求圆的切线，所以圆心(1,3)到这条直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，有r ＝|3×1－4×3－6|32＋42＝155＝3.所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9. (3)设圆心坐标为(a ，b)，则圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝5，已知圆过点(0,1)，(2,1)，代入圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋－2＝5－2＋－2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1b 1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3.因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5或(x －1)2＋(y －3)2＝5. 小结：求圆的标准方程就是将已知条件与圆心坐标及圆半径建立联系，从而求出圆心坐标及圆半径．跟踪训练1 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且这个圆经过点A(6,1)，求该圆的标准方程．解：因圆与y 轴相切，则可设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝a 2 ，又圆心在直线x －3y ＝0上，∴a ＝3b.又点A(6,1)在圆上，∴(3b －6)2＋(b －1)2＝9b 2，解得b ＝1或b ＝37，∴a ＝3或a ＝111.因此圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝1112.例2 求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程．解：方法一 直线AB 的斜率k ＝5－01－6＝－1，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标 分别为x ＝6＋12＝72，y ＝0＋52＝52.因此，直线m 的方程为y －52＝1⎝⎛⎭⎫x －72，即x －y －1＝0.又圆心在直线l 上， 所以圆心是直线m 与直线l 的交点．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝02x －7y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2.所以圆心坐标为C(3,2)， 又半径r ＝|CA|＝13，则所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13.小结：(1)待定系数法求圆的标准方程具体步骤为：首先设出圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，再根据题设条件列出关于a 、b 、r 的方程(组)，然后解方程(组)求得a 、b 、r 的值，即可写出圆的标准方程．(2)几何法求圆的标准方程，即利用圆的几何性质(弦的性质，切线的性质)来直接求得圆心坐标及半径．几何法体现了数形结合的思想，思路简洁明了，具有一定的技巧性．跟踪训练2 已知两点M(3,8)和N(5,2)．求以MN 为直径的圆C 的标准方程．解：方法一 设圆心C(a ，b)，半径为r ，则由C 为MN 的中点得a ＝3＋52＝4，b ＝8＋22＝5， 由两点间的距离公式得r ＝|CM|＝－2＋－2＝10，∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.例3 赵州桥的跨度是37.02 m ，圆拱高约为7.2 m ，求这座圆拱桥的拱圆方程(精确到0.01 m)．解：如图是拱桥的示意图．以AB 的中点为原点，x 轴通过AB 建立直角坐标系．根据已知条件，B ，C 的坐标分别为(18.51,0)，(0,7.2)，设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为x 2＋(y －b)2＝r 2. 下面用待定系数法求b 和r 2的值．因为B ，C 都在圆上，所以它们的坐标都满足这个方程，于是得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 18.512＋b 2＝r 2－2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b≈－20.19r 2≈750.21. 因此，圆拱桥的拱圆的方程近似为x 2＋(y ＋20.19)2＝750.21.小结：本题是用解析法解决实际问题．解析法解决实际问题的步骤为：建系、设点、列式、计算、总结．跟踪训练3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r ，则C(0，－r)，即圆的方程为x 2＋(y ＋r)2＝r 2. ①将点A 的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r －2)2＝r 2，∴r ＝10.∴圆的方程x 2＋(y ＋10)2＝100. ②当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x 0，－3) (x 0>0)，将A′的坐标(x 0，－3)代入方程②得x 0＝51，∴水面下降1米后，水面宽为2x 0＝251米．练一练：当堂检测、课堂更高效1．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝252．下面各点在圆(x －1)2＋(y －1)2＝2上的是( )A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(0,0)D ．(2，2)3．圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为__________________．解析：设圆心为P(a ，a)，而切点为A(1,0)，则PA ⊥x 轴，∴a ＝1.故方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.4．写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)是否在这个圆上． 解：圆心是A(2，－3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.把M 1(5，－7)的坐标代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，左右两边相等，点M 1的坐标适合圆的方程，所以点M 1在这个圆上；把M 2(－5，－1)的坐标代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，左右两边不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以M 2不在这个圆上．课堂小结：1．圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝m.当m>0时，表示圆心为C(a ，b)，半径为m 的圆；当m ＝0时，表示一个点C(a ，b)；当m<0时，不表示任何图形．2．确定圆的方程的方法及步骤：(1)直接代入法：根据已知条件求得圆心坐标和半径，直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2；第二步：根据条件列方程组求得待定系数a ，b ，r ；第三步：将求得的值代入所设的方程中去，得到所求圆的标准方程．3．在具体问题的求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心；半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．。
2.3.1圆的标准方程
2.3.1圆的标准方程课程学习目标［课程目标］目标重点：圆的标准方程及其推导.目标难点：根据已知条件求圆的标准方程.［学法关键］1．根据圆的定义，借助于两点间的距离公式自己推导出圆的标准方程，并且认清方程的特点.2．根据圆的标准方程，能够正确地写出圆心的坐标和半径长. 求圆的标准方程，关键是确定圆的圆心和半径长，可以采用直接代入法或待定系数法求解.研习点1．圆的标准方程1．已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2.2．当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2.3．圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径.研习点2．点与圆的位置关系给出点M1(x1，y1)和圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2，通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系，得到：（1）若点M1在圆C上，则有(x1－a)2+(y1－b)2=r2；（2）若点M1在圆C外，则有(x1－a)2+(y1－b)2>r2；（3）若点M1在圆C内，则有(x1－a)2+(y1－b)2<r2.研习点3．确定圆的方程的方法和步骤1．圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。
2．求圆的标准方程的一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解此方程组，求出a、b、r的值；（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.题型1．直接法求圆的标准方程例1．求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心在(3，4)，半径为5；（2）圆心在原点，半径为1.解：（1）(x－3)2+(y－4)2=25；（2）x2+y2=1，此圆也称为单位圆。
题型2．用待定系数法求圆的标准方程例2．求经过两点A(－1，4)、B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.解法一：设圆心C(a，b)，圆心在y轴上，，所以a=0.设圆的标准方程是x2+(y－b)2=r2.因为该圆经过A(－1，4)、B(3，2)两点，所以222222(1)(4)3(2)b r b r ⎧-+-=⎨+-=⎩，解得2110b r =⎧⎨=⎩， 所以圆的方程是x 2+(y －1)2=10.题型3．判断点与圆的位置关系例3．已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并判断M (6，9)和N (5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内？解：由已知得圆心坐标为C (5，6)，半径r 的平方为r 2=10所以圆的方程为(x －5)2+(y －6)2=10，将M ，N 点的坐标代入方程得(6－5)2+(9－6)2=10，(5－5)2+(3－6)2<10，所以点M 在圆上，点N 在圆内.【教考动向·演练】1．圆(x －1)2+(y +1)2=2的周长是（ C ）（A ）2π （B ）2π （C ）22π （D ）4π2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（ C ）（A ）x 2+y 2=25 （B ）x 2+y 2=5（C ）(x －3)2+(y －4)2=25， （D ）(x +3)2+(y +4)2=25，3．已知圆心在P (－2，3)并且与y 轴相切，则该圆的方程是（ B ）（A ）(x －2)2+(y +3)2=4 （B ）(x +2)2+(y －3)2=4（C ）(x －2)2+(y +3)2=9 （D ）(x +2)2+(y －3)2=94．过点A (1，－1)，B (5，6)且圆心在直线x +y －2=0上的圆的方程为（ C ）（A ）(x －3)2+(y +1)2=4 （B ）(x +3)2+(y －1)2=4（C ）(x －1)2+(y －1)2=4 （D ）(x +1)2+(y +1)2=45．以(A (－1，2)，B (5，6)为直径端点的圆的方程是 。
高一数学《2.3.1圆的标准方程》学案
2.3.1 圆的标准方程学案学习要求1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．学习重点难点：会求圆的方程知识再现：两点间的距离公式新课探究：1. 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程2. 圆心在原点(0,0)，半径为r 时，圆的方程则为： ；3. 单位圆：圆心在原点且半径为１的圆；其方程为： 注意：说明一个圆时要同时交代其圆心与半径．【精典范例】例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：⑴22(2)(3)7x y -+-=；⑵22(5)(4)18x y +++=⑶22(1)3x y ++=⑷22144x y +=⑸22(4)4x y -+=例2：根据下列条件写出圆的标准方程（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(1)N -是在圆上、圆内还是在圆外2、圆心在点)3,1(C 并与直线0643=--y x 相切3、过点（0,1）和点（2,1）半径为5例3 求过点)0,6(A ，)5,1(B 且圆心在直线0872:=+-y x l 上的圆方程巩固练：1圆心在点)1,2(-C 并过点)2,2(-A２求圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程．3求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程；4已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，求以线段PQ 为直径的圆的方程．5圆过点（0,1）（0,3）半径等于1的圆方程6圆心在原点且与直线0124=-+y x 相切的圆方程7．一圆在x,y 轴上分别截得弦长为14和4，且圆心在直线2x+3y=0上，求此圆的方程．。
教学设计1：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程【教材分析】本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习圆的标准方程。
在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。
在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。
同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。
通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。
【教学目标】【重点难点】重点：掌握圆的定义及标准方程难点：根据条件求圆的标准方程【课前准备】多媒体【教学过程】如图所示，设平面直角坐标系中的径为2（1）判断点A（3,2）（2）设M（x , y）是平面坐标系中任意一点，那么归纳总结三、达标检测1.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是()4.圆(x-3)2+(y+1)2=1五、课时练【教学反思】在本节课的教学中，引导学生回顾确定直线的几何要素——两点（或者一点和斜率）的基础上，类比得到圆的几何要素——圆心位置和半径大小。
由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程。
这一过程提升逻辑推理、数学抽样等数学素养。
在求解圆的标准方程中，注意几何法与代数法的比较，提升学生数学运算素养。
高中数学2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程例题与探究新人教B版必修22017
2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程典题精讲例 1求过三点 A(1,12)、B(7,10)、C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形. 思路分析:因为圆过三个定点,故可以设圆的一般式方程来求圆的方程. 解：设所求的圆的方程为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,依题意有 1144 12D E F,49 100 7D 10E F81 4 9D 2E F 0.0, 图 2-3-(1,2)-1解得 D=-2,E=-4,F=-95.于是所求圆的方程为 x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是,圆的圆心 D 的坐标为(1,2),半径为 10,图形如图 2-3-(1,2)-1所示.绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解.利用圆经过不在同一直线上的 三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质.对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加 以求解.变式训练 1已知圆 C 与圆(x-1)2+y 2=1关于直线 y=-x 对称，则圆 C 的方程为( ) A.(x+1)2+y 2=1 B.x 2+y 2=1 C.x 2+(y+1)2=1 D.x 2+(y-1)2=1 思路解析:求出圆心(1,0)关于直线 y=-x 的对称点为(0,-1),得到圆 C 的圆心.故选 C. 答案：C例 2求下列圆的方程:(1)圆心在直线 y=-2x 上,且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1)； (2)圆心为 C(0,3),且截直线 y=x+1所得弦长为 4.思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解. 解：(1)设圆心(a,-2a),圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r 2.2a a 由r1(1) 1, 2(a 2)2(2a1) 2,a 解得 r1, 2,∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d=| 3111=22,再根据垂径定理可知r= (22)22223.1∴所求圆的方程为(x-3)2+y 2=12.绿色通道：在解决与圆相关的问题时,如果涉及到圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般选 用圆的标准方程来解题.变式训练 2已知圆的半径为 10 ,圆心在直线 y=2x 上,圆被直线 x-y=0截得的弦长为 4 2 ,求 圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由圆心在直线 y=2x 上,得 b=2a.① 由圆被直线 x-y=0截得的弦长为 4 2 ,将 y=x 代入(x-a)2+(y-b)2=10,整理得 2x 2-2(a+b)x+a 2+b 2-10=0.由弦长公式得 2(a b )2 2(a 2 b 2 10) 4 2 .化简得 a-b=±2.②解①②得 a=2,b=4或 a=-2,b=-4,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.例 3如图 2-3-(1,2)-2所示,已知圆的内接四边形 ABCD 中两对角线 AC 、BD 互相垂直,垂足为 E,又 F 是 BC 的中点,试用坐标法证明 EF⊥AD.图 2-3-(1,2)-2思路分析:题中两对角线互相垂直,不妨就选它们为坐标轴,此时四个顶点的坐标表示较为简捷. 证 明 ： 建 立 如 图 2.3(1.2)2所 示 的 直 角 坐 标 系 xOy,并 设 A 、 B 、 C 、 D 的 坐 标 分 别 为 (0,-a),(b,0),(0,c),(-d,0)(a 、b 、c 、d ＞0).b c于是 BC 中点 F 的坐标为( , ),故 k EF = 2 2a ca又 k AD = EF ·k AD = ,故 k .,故 k . d bdc b.由圆的相交弦定理得 AE·EC=DE·EB,即 ac=bd.∴k EF ·k AD =-1.∴EF⊥AD.黑色陷阱：用坐标法处理平面几何问题的关键是建立好坐标系,此题若不以两对角线为坐标轴, 处理起来相当麻烦.在建立坐标系时,要使尽量多的点落在坐标轴上,或利用图中现有的垂直关 系.变 式 训 练 3在 △AOB 中 ,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点 P 是 △AOB 内 切 圆 上 的 点 ,求 |PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值.2图 2-3-(1,2)-3解：如图 2-3-(1,2)-3建立直角坐标系,使 A 、B 、O 三点坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0). 设内切圆半径为 r,则有 2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1.故内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1.化为 x 2+y 2-2x-2y+1=0,① 设点 P(x,y),又∵|PA|2+|PB|2+|PC|2=3x 2+3y 2-8x-6y+25,② 由①知 x 2+y 2-2y=2x-1,代入②得 |PA|2+|PB|2+|PC|2=3(2x-1)-8x+25 =-2x+22. ∵x∈[0,2],∴|PA|2+|PB|2+|PC|2最大值为 22,最小值为 18.例 4判断下列方程是否表示圆，如果是,求出圆心和半径；如果不是,请说明理由. (1)x 2+y 2+4x-2y+12=0； (2)x 2+y 2-11x+3y-30=0； (3)3x 2+2y 2+3x-3y+5=0.思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,判定方程是否满足表示圆的条件,再依 据公式得出圆心和半径.答案：(1)x 2+y 2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程.(2)在 x 2+y 2-11x+3y-30=0中,- D 2 11 = ,- 2E 2 =-3 2 ,D 2+E 2-4F=250＞0,所以该方程表示圆心为11( ,-23 2),半径为5 10 的圆. (3)在 3x 2+2y 2+3x-3y+5=0中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程. 绿色通道：对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,在 D 2+E 2-4F ＞0的情况下,则有(-D 2 ,-E 2 )为圆心, 1 2 D 2E 2 为半径.不必死记这个公式,4F要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.变式训练 4方程 ax 2+ay 2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小的 圆的方程.解：原方程可化为［x-2(a1) a］2+(y+2 a)2=4(a 22a2 a2,∵a 2-2a+2＞0,∴当 a≠0 且 a∈R 时,原方程表示圆. 又∵4(a 22a2a2=2(a 242(2)a 4)a22aa22+2≥2,当且仅当 a=2时等号成立.∴a=2 时圆的半径最小,此时圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 问题探究问题 1探究圆的标准方程和圆的一般方程的异同点.导思：求圆的方程一般采用待定系数法，探究求圆的标准方程和圆的一般方程的异同点就是确3定待定系数个数是否相同,待定系数的特征是否相同,需要具备什么样的已知条件才能分别求出这两种圆的方程.探究：相同点：圆的标准方程和圆的一般方程中都有三个未知量(圆的标准方程中有三个待定系数:a、b、r，圆的一般方程中有三个待定系数:D、E、F)，故确定一个圆需要三个独立的条件，一般利用待定系数法确定，基本步骤为:(1)根据题意，设所求的圆的方程;(2)根据已知条件，建立关于a、b、r或D、E、F的方程组；(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就可得到所求圆的方程.不过针对具体问题，通过数形结合的思想，有时利用圆的几何性质解题，会有更简捷的解题途径.不同点：一是待定系数的含义不同，圆的标准方程中的三个待定系数有明确的几何特征，而圆的一般方程中的三个待定系数没有明确的几何特征；二是要根据具体题目中的已知条件确定是求圆的标准方程还是求圆的一般方程.当题目中已知圆心和半径的条件时，要求圆的标准方程，当题目中已知圆上的三个点的时候，要求圆的一般方程.问题2圆的一般方程是一个二元二次方程，试探究圆的一般方程与二元二次方程的关系.导思：圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，也就是说只有当二元二次方程满足特定的条件时，这个二元二次方程才能表示圆，这就需要我们把圆的一般方程和普通的二元二次方程写出来，分析它们的具体特征和限制条件.探究：比较圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系数和二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系数可以发现，圆的一般方程是当二元二次方程的系数满足以下三个条件时的特殊情况.(1)x2、y2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;(2)没有xy项，即B=0;(3)D2+E2-4AF＞0.由此，我们可以发现二元二次方程不都表示圆，只有满足上面三个条件的二元二次方程才可以表示圆，但是，所有圆的方程都是二元二次方程，圆的方程只是二元二次方程中的一类特殊的方程.问题3一些圆的位置比较特殊，它们的方程有何特点？导思：圆的方程由圆心坐标和半径唯一确定.当圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于圆的半径，此时圆心的纵坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆与y轴相切时，圆心到y轴的距离等于圆的半径，此时圆心的横坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆心在某一直线上时，圆心坐标满足圆的方程.探究：当圆心在原点时，x2+y2=r2(a=b=0)；当圆与x轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)；当圆与y轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)；当圆与两坐标轴都相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)；当圆心在x轴上时，(x-a)2+y2=r2(r≠0)或x2+y2+Dx+F=0(D2-4F＞0)；当圆心在y轴上时，x2+(y-b)2=r2(r≠0)或x2+y2+Ey+F=0(E2-4F＞0).如果圆的位置符合上述情况，若按上述方程去设方程，可相对减少未知数的个数.4。
人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计
人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计教学目标1.掌握圆的标准方程的概念及其应用。
2.能够通过已知圆心坐标和半径求解圆的标准方程。
3.能够利用圆的标准方程解决实际问题。
教学重点1.圆心坐标及半径的概念。
2.圆的标准方程的推导及应用。
3.实际问题的解决。
教学难点1.圆的标准方程的推导。
2.实际问题的解决。
教学准备1.教学PPT。
2.教案。
3.圆板、圆规、直尺等几何工具。
4.笔、纸等文具。
教学步骤步骤一：引入通过PPT展示圆的图片及其应用场景，引出本次授课的主题：圆的标准方程。
让学生了解圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
步骤二：概念讲解1.通过PPT讲解圆心的概念，引导学生认识圆心在圆上的位置关系，并在黑板上画出圆心的示意图。
2.通过PPT讲解半径的概念，引导学生从几何角度认识“半径”这个概念，并在黑板上画出半径的示意图。
3.通过PPT介绍圆的标准方程的概念及应用场景，引导学生了解这一概念与几何学中圆的相关问题的解决有着密切的联系。
步骤三：标准方程的推导1.通过PPT讲解圆的标准方程的定义，即：以圆心为原点，半径为r的圆所对应的点的坐标满足x^2 + y^2 = r^2，引导学生根据定义推导出圆的标准方程的数学表达式。
2.在黑板上进行推导，让学生理解标准方程的求解过程。
步骤四：标准方程的应用1.引导学生使用标准方程求解已知圆心坐标和半径的圆的方程。
2.调动学生的学科知识，结合相关实例进行讲解，让学生感知标准方程在解决实际问题中的应用。
3.引导学生掌握使用标准方程解决实际问题的基本方法和技巧，以及提高学生对几何思维的理解和应用能力。
教学方法1.让学生主动参与课堂讨论，边讲解边呈现相关习题和实际问题的解决方案。
2.引导学生多思考、多探究，开展适当形式的小组活动，提高学生的动手实践能力。
3.针对学生的不同程度，采取灵活多样的教学方法，如“三人小组集训法”，“错题集法”，“比赛法”等等，使每位学生都能够有效参与课堂，并在圆的标准方程学习过程中有所收获。
人教版高中数学必修二教案：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程一.三维目标:1.知识与技能:掌握圆的标准方程,会根据不同条件选择合适的方法(几何法或待定系数法)求圆的标准方程;能从圆的标准方程中直接读取它的圆心和半径;会判断点和圆的位置关系;能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.2.过程与方法:经历圆的标准方程的探究过程,体验数形结合、化归等数学思想方法在问题解决中的运用;培养学生的观察、比较、分析、概括、批判等思维品质;借助实例体会科学的探究方法.3.情感、态度与价值观通过合作交流,自主探究,提高数学学习的兴趣,激发求知欲,培养科学精神,需要.)二.知识生发:1.问题情境(1)如何用轨迹的观点描述圆?平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点是圆心,定长为半径.(2)如何建立以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程?2.圆的标准方程(图1)(1)以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程为_________________.(x-a)2+(y-b)2=r2①如何求曲线方程(轨迹问题)②(x2+y2−1)(x−2)=0是以原点为圆心,半径为1的圆的方程吗?一个方程是圆的方程,需明确两点:其一,…;其二,…③圆的标准方程的特点(2)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为_________________.x2+y2=r23.点和圆的位置关系(图1、2、3)问题:研究P (x 0,y 0)和圆C :(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)的位置关系方法:比较P 点到圆心C 的距离d (P ,C )与半径r 的大小关系结论:①点P 在圆C 上⇔d (P ,C )=r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2=r 2;②点P 在圆C 内⇔d (P ,C )<r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2<r 2;③点P 在圆C 外⇔d (P ,C )>r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2>r 2.4.圆划分平面区域(图1、2、3)①圆上点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2=r 2}②圆内点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2<r 2}②圆外点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2>r 2}三.典例导引:例1.根据下列条件,求圆的方程:(1)圆心在C (−3,2),并过点A (1,−1);(2)圆心在点C (-3,2),并与直线4x −3y −7=0相切;(3)过点A (1,−1)和点B (0,−2),半径为5;(4)过点B (0,−2),D (−7,5),且圆心在直线l :x -3y +9=0上.赵州桥的跨度是2a2−b2m,圆拱高为a+b m,其中正数a,b 是常数.建立适当的坐标系,求这座圆拱桥的拱圆方程.(注:赵州桥坐落于河北省赵县洨河,建于隋炀帝大业年间,至今已有1400年的历史,是今天世界上最古老、+b四.精练掌控:3.设实数a,b,c,d,λ都是常数,若(ax−b)2+(cy−d)2=λ是某个圆的方程,则( )C(A)a=c=1,且λ>0(B)a=c≠0,且λ≠0(C)|a|=|c|≠0,且λ>0(D)acλ≠04.下列圆(其中a,b是常数,ab≠0)中,经过坐标原点的是( )D(A)(x−a)2+(y−b)2=a2(B)(x−a)2+(y−b)2=b2(C)(x−a)2+(y−b)2=a2+b2(D)(x−a)2+(y−b)2=a2+b25.半径为r,圆心在第四象限,并且与坐标轴都相切的圆是( )B(A)(x−r)2+(y−r)2=r2(B)(x−r)2+(y+r)2=r2(C)(x+r)2+(y−r)2=r2(D)(x+r)2+(y+r)2=r26.设点P(3,−6)到圆(x+3)2+(y−2)2=25上各点的距离为d,则d的最大值是( )C(A)5 (B)10 (C)15 (D)537.若曲线C的方程是(y2)(x−21+4y−y2+3)=0,则曲线C的长度为(A)10π(B)152π(C)5π(D)52π五.课堂小结:________________________________六.作业回馈:9.已知点A(−7,5),B(1,−1),以线段AB为直径的圆的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2510.经过点A(−6,6),B(1,−1),C(0,−2)三点的圆的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2511.圆C过点(0,6)且与直线l1:x=2和l2:y=−3都相切,若使圆C的半径最小,则圆C的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2512.已知圆C:(x−2)2+(y+3)2=25,圆C′与圆C关于直线l:x−y=0对称,则圆C′的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2513.已知等腰三角形的顶点A(−3,2),一底角顶点B(2,2),则另一底角顶点C(x,y)的轨迹方程为________.(x+3)2+(y−2)2=25(x≠2且x≠−8)14.已知点A(−6,0),点P是圆x2+(y−4)2=100上的动点,M为线段PA的中点,当点P在圆上运动时,求动点M的轨迹方程. (x+3)2+(y−2)2=253,−6x 22。
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【概念探究】1．以C （a ，b ）为圆心，r 为半径的圆的标准方程为：
2．知点)
,(111y x M ；如何判断断点M 1与圆C 的位置关系: 3．确定圆的两要素是什么:
【自学检测】课本96页练习A1，3
【合作探究】例1：判断点A （5，3）与圆（x-2）2+(y+1)2=9的位置关系 练习：课本96页练习A2
例2 根据下列条件，求圆的方程：（1）圆心在点C （-2，1），并过点A(2,-2);
(2)圆心在点C （1，3），并与直线3x-4y-6=0相切;(3)过点（0，1）和点（2，1），半径为5．
练习：课本96页练习B 第1题
【交流提升】1。
完成习册61页第1，2，3，4，5，10题
2．已知圆C ：,922=+y x 点A （3，4）与圆的位置关系是（ ）
A.在圆内
B.在圆外
C.在圆上
D.不确定．
3.点（1，1）在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则a 的取值范围为
4．已知A （-2，4），B （8，-2），求AB 为直径的圆的标准方程
5．求 圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程
【知识再现】1、圆的标准方程：
2、两点间的距离公式 ：
【合作探究】
例2 求过点A （6,0）,B(1,5),且圆心在直线l ：2x-7y+8=0上的圆的方程
练习：课本96页练习B 第2题，104页 习题A 第3题
例3．若x,y 满足1)3(22=+-y x ，求22)1(y x ++的取值范围
练习：习册61页第6题
【交流提升】1.习册61页第7题
2．已知点P （3，-4），M 为圆922=+y x 上任一点，则|PM|的取值范围
3.过点（-2，1）和（4，3），圆心在y 轴上的圆的方程
4.求圆心为C （-1，1），过直线x+3y+7=0和直线3x-2y-12=0的交点的圆的方程 求过P （-2，2），Q （-4，2），且圆心在直线x+y=0上的圆的标准方程。