本科统计学第十二讲 回归与相关 ppt课件
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相关与回归PPT课件PPT课件
（2）求Spearman等级相关系数。
rs
l X ’Y ’
l l X ’X ‘Y ’Y ‘
59.5 0.7539 82.5 75.5
第19页/共40页
2. Spearman等级相关系数的假设检验：
H0:ρS=0
H1: ρS ≠0
=0.05
本例n=10， rs=-0.7539，查rs界值表得：
Y
Y
2
lYY
l XY
2 / l XX lYY bl XY
sy为x 各观察值y 距回归线（ ）ˆy 的标准差，反映x
的影响被扣除后y 的变异，故称为剩余标准差。
第32页/共40页
Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2 12.541
12.541
SY .X
1.1199 12 2
1.1199
sb
0.0741 228.25
0.3256
tb
4.392
0.0741
3．确定P值，判断结果： 按 12 2 10 ，
查t 值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(13) ，P<0.01， 按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，认为糖尿病患 者血糖和胰岛素之间存在负的直线回归关系。
rs(10,0.02)=0.745，rs> rs(10,0.02) ，则P<0.02，按
α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为rs有统计
学意义，说明患者血小板数与出血程度呈负
的等级相关关系。
第20页/共40页
第三节 直线回归
随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值， 如医学研究中常需要从某项指标估算另一项指标， 如果这指标分别是测量变量X 和Y，我们希望由X 推算Y的值。
统计学相关分析和回归分析ppt课件
23
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。
计算积距相关系数， 连续性变量才可采用
图8－1 Bivariate Correlations 对话框
。
计算Kendall秩相关
系数，适合于定序变
量或不满足正态分布
假设的等间隔数据。 计算Spearman秩相
关系数，适合于定序
见图 8－2
变量或不满足正态分
关布。不还假清是设楚负的变相等量关间之时隔间选数是择据正此相项 。
没有关系
9
8.2.2 相关系数 利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需
要完成以下两个步骤：
第一，计算样本相关系数r；
相关系数r的取值在-1～+1之间 r>0表示两变量存在正的线性相关关系；r<0表示两变
量存在负的线性相关关系 r＝1表示两变量存在完全正相关；r＝-1表示两变量存
在完全负相关；r＝0表示两变量不相关 |r|>0.8表示两变量有较强的线性关系； |r|<0.3表示
。 （4）在Test of Significance框中选择输出相关系数检验的双
边（Two-Tailed）概率p值或单边（One-Tailed）概率 p值。 （5）选中Flag significance correlation选项表示分析结果 中除显示统计检验的概率p值外，还输出星号标记，以标明 变量间的相关性是否显著；不选中则不输出星号标记。 （6）在Option按钮中的Statistics选项中，选中Crossproduct deviations and covariances表示输出两变量的 离差平方和协方差。
例如，在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间 的线性关系时，需求量和价格之间的相关关系实际还包含 了消费者收入对价格和商品需求量的影响。在这种情况下 ，单纯利用相关系数来评价变量间的相关性显然是不准确 的，而需要在剔除其他相关因素影响的条件下计算变量间 的相关。偏相关的意义就在于此。
应用统计学-相关与回归分析幻灯片PPT
(二) 线性相关与非线性相关
从相关的形式上来看，相关关系可分为线 性相关和非线性相关。
线性相关也称直线相关，是指相关的两个 变量之间变化的趋势呈线性或近似于线性。即 自变量发生变动，因变量随之发生变动，其增 加或减少量是大致均等的，从图形上看，其观 察点的分布近似表现为直线形式。
非线性相关也称曲线相关，是指相关的两 个变量之间变化的趋势呈非线性。即自变量发 生变动，因变量随之发生变动，但其增加或减 少量不是均等的，从图形上看，其观察点的分 布表现为各种曲线形式。
在客观事物中，尤其是在经济现象中，相关关 系普遍存在。统计很有必要对这种关系进展研究。
在相关关系中，通常，在相互联系的现象之 间存在着一定的因果关系，这时就把其中的起着 影响作用的现象具体化，通过一定的变量反映出 来，这样的变量称为自变量。
由于受到自变量变动的影响而发生变动的变 量称为因变量。
例如，在粮食亩产量与施肥量之间，施肥量 这一变量是自变量，亩产量这一变量是因变量。
四、相关图表
对现象变量之间是否存在相关关系以及存在 怎样的相关关系进展分析、作出判断，这是进展 回归和相关分析的前提。通过编制相关表和相关 图，可以直观地、大致地判断现象变量之间是否 存在相关关系以及关系的类型。
(一) 相关表
相关表是表现现象变量之间相关关系的 表格。
例如，为研究商店人均月销售额和利润 率的关系，调查10家商店取得10对数据，以人 均销售额为自变量，利润率为因变量，编制简 单相关表如下表。
当研究的是两个变量之间的关系时，通常以 符号X表示自变量，以符号Y表示因变量。
在相关关系中，有时两个变量之间只存在 相互联系而并不存在明显的因果关系。确定哪 一个是自变量，哪一个是因变量，主要决定于 研究的目的。
统计学回归分析-PPT课件
相关和回归分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
相关的意义和种类 相关图表和相关系数 一元线性回归分析 多元线性回归分析 非线性回归分析
1
相关和回归分析是研究事物的相互关系， 测定它们联系的紧密程度，揭示其变化 的具体形式和规律性的统计方法，是构 造各种经济模型、进行结构分析、政策 评价、预测和控制的重要工具。
15
相关关系与函数关系的关系:在一定的条件下互相转化. 具有函数关系的变量,当存在观测误差和随机因素影 响时,其函数关系往往以相关的形式表现出来. 而具有 相关关系的变量之间的联系,如果我们对它们有了深刻 的规律性认识,并且能够把影响因变量变动的因素全部 纳入方程,这时相关关系也可转化为函数关系.另外,相 关关系也具有某种变动规律,所以,相关关系也经常可以 用一定的函数形式去近似地描述.
10
相关关系（correlation analysis）：
相关关系：变量之间存在 有依存关系，但这种关系 是不完全确定的随机关系， 即当一个(或一组)变量每 取一个值时，相应的另一 个变量可能有多个不同值 与之对应 。
11
因果关系 相关关系 互为因果关系 共变关系 变量之 间关系 函数关系 确定性依存关系
S = R2
（3）企业的原材料消耗额 (y)与产量(x1) 、单位
产量消耗 (x2) 、原材料价格 (x3) 之间的关系可
表示为y = x1 x2 x3
n n
9
停下来 想一想？
n
n
在下面的几对变量中，哪一个是自变量哪一个 是因变量？
1.产品产量与总成本。
2.销售税的总量与商品总成本。
3.电影院里爆米花的销售率与垃圾袋的使用率。 4.发电量与热天的天数。
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
相关的意义和种类 相关图表和相关系数 一元线性回归分析 多元线性回归分析 非线性回归分析
1
相关和回归分析是研究事物的相互关系， 测定它们联系的紧密程度，揭示其变化 的具体形式和规律性的统计方法，是构 造各种经济模型、进行结构分析、政策 评价、预测和控制的重要工具。
15
相关关系与函数关系的关系:在一定的条件下互相转化. 具有函数关系的变量,当存在观测误差和随机因素影 响时,其函数关系往往以相关的形式表现出来. 而具有 相关关系的变量之间的联系,如果我们对它们有了深刻 的规律性认识,并且能够把影响因变量变动的因素全部 纳入方程,这时相关关系也可转化为函数关系.另外,相 关关系也具有某种变动规律,所以,相关关系也经常可以 用一定的函数形式去近似地描述.
10
相关关系（correlation analysis）：
相关关系：变量之间存在 有依存关系，但这种关系 是不完全确定的随机关系， 即当一个(或一组)变量每 取一个值时，相应的另一 个变量可能有多个不同值 与之对应 。
11
因果关系 相关关系 互为因果关系 共变关系 变量之 间关系 函数关系 确定性依存关系
S = R2
（3）企业的原材料消耗额 (y)与产量(x1) 、单位
产量消耗 (x2) 、原材料价格 (x3) 之间的关系可
表示为y = x1 x2 x3
n n
9
停下来 想一想？
n
n
在下面的几对变量中，哪一个是自变量哪一个 是因变量？
1.产品产量与总成本。
2.销售税的总量与商品总成本。
3.电影院里爆米花的销售率与垃圾袋的使用率。 4.发电量与热天的天数。
统计学相关与回归分析法PPT课件
关系，以及何种关系作出判断。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
第15页/共50页
相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
第19页/共50页
相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
第20页/共50页
令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
第15页/共50页
相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
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相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
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令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
回归分析学习课件PPT课件
03 网格搜索
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
统计学课件之线性相关与回归
➢ 线性关系是否存在、关系的密切程度 以及方向性
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
0.24
0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
0.25
0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
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0.28
4
0.24
0.25
5
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0.28
6
0.09
0.10
7
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0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
统计学PPT相关与回归 分析
5
5 115
6 6.1 132
7 7.2 135
8
8 160
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y 2
8 4544.6 36.4 880
8 207.54 36.42 8 104214 8802
0.9697
三、相关系数的密切程度
•
• 当变量x和Y之间的关系介于完全相关和不相关 之间，即X与Y有一定的依存关系．但不是函数 关系，则称X与Y是不完全相关．
完全正线性相关
正线性相关
2019-6-24
散点图
(scatter diagram)
完全负线性相关
假定因变量与自变量之间有某种关系，并把这种关系用 适当的数学模型表达出来，那么，就可以利用这一模型 根据给定的自变量来预测因变量，这就是回归要解决的 问题
在回归分析中，只涉及一个自变量时称为一元回归，涉 及多个自变量时则称为多元回归。如果因变量与自变量 之间是线性关系，则称为线性回归(linear regression)；如 果因变量与自变量之间是非线性关系则称为非线性回归 (nonlinear regression)
2019-6-24
子代与父代一样吗？
正如Galton进一步发现的那样，平均来说，非常矮小的父辈 倾向于有偏高的子代；而非常高大的父辈则倾向于有偏矮 的子代。在第一次考试中成绩最差的那些学生在第二次考 试中倾向于有更好的成绩(比较接近所有学生的平均成绩)， 而第一次考试中成绩最好的那些学生在第二次考试中则倾 向于有较差的成绩(同样比较接近所有学生的平均成绩)。同 样，平均来说，第一年利润最低的公司第二年不会最差， 而第一年利润最高的公司第二年则不会是最好的
回归与相关分析PPT课件
yi y 2
（dfT＝
i
• 离回归平方和SSE（剩余平方和，残差平 方和）：
SSE yi yˆi 2
i
n－2）
第23页/共93页
（dfE＝
•回归平方和SSR：
SS＝R 1） i yˆi y 2
（dfR
SSR的意义：根据等式SSy＝SSE＋SSR可知， 如果SSR的值较大，SSE的数值便比较小，说 明回归的效果好；反之，如果SSR的值较小， SSE的数值便比较大，说明回归的效果差。
yˆ 1散点图和回归直线图
y ( ug / kg )
21 20 19 18 17 16 15
3
y = 10.987+1.5508x R2 = 0.6516
x ( ug / L )
4
5
6
7
某农药的水中含量与
鱼体中含量的关系
第21页/共93页
三、线性回归的显著性检验
第17页/共93页
（四）一元线性回归方程建立的基本步 骤（4步）
• 根据资料计算8个一级数据
• Σx , Σx2, x , Σy , Σy2 , y , Σxy , n
• 计算3个二级数据：SSx , SSy , SP
• 计算参数的估计值a和b，并写出回归方程
a y bx b SP SSx
yˆ a bx
第31页/共93页
• 2、β的置信区间
• b 的标准误为：sb se SSx
•而
b
t
sb
t (n 2)
• 所以 β的置信区间为：
(b t sb , b t sb )
第32页/共93页
•（二）对α＋βx的区间估计 • 对α＋βx的区间估计，即是对总体 均值（期望值）的区间估计。 • 当x＝xi 时，估计标准误为：
相关主题
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第十二讲 回归与相关
第一节 回归研究的对象
1、研究定距变量与定距变量之间的非确定关系 相关关系：1）变量之间存在关系
2）这种关系是非确定性的 两个变量x和y，当x变化时会引起y相应变化，但他 们之间的变化关系是不确定的。如果当x取任何一可 能值xi 时，y相应地服从一定的概率分布，则称随机 变量y和变量x之间存在着相关。
年次 91 92 93 94 95 96 97 98 x 116 129 137 146 144 165 182 198 y 104 115 124 131 132 145 158 172
建立回归方程，并进行F检验0.05
第四节 相关
❖ 一、相关系数 （线性相关）
❖ 1、协C 方差o x,：yv xixyiy n1
❖ 表示x与y两变量观测值相对其各自均值
所造成的共同平均偏差。协方差的数量
可以作为变量线性相关程度的度量。
❖ 2、相关系数
xixyiy
2
2
xix•yiy
❖ 相关系数就是标准化了的协方差，取值
范围：1,1
❖ 3、相关系数具有PRE的性质
❖ r为相关系数；PRE（ r2）系数为判定系数。 ❖ 二者的区别？
RSSR
n i1
yiy2
❖ 3、统计量：
FRR SSSSR F1,n2
n2
TSS
2
x2n1
RSSR
2
x2 1
RSS
2
x2n2
2
L ❖ 其中：TSS yy
RSSR Lxy Lxx
2
L RSSTSSRSSR xy Lyy Lxx
H H ❖ 如果 FF拒绝 F 1 ；F 接受 1
❖ 例：统计某城市家具销售额y（万元）与 新建住宅面积x（千平方米），得如下资 料：
线上，称做线性假定。
❖ 4、要E 求y 随i 机 变 量yx i 是i统计独立的
❖ 以上假定用两组数据结构来表达：
❖ 1）随机变量 y i 是独立的，且有：
❖ 均值：E y i x i
❖ 方差：Dy 2 i
❖ 2）y i 与 x i 有如下关系：
是yn 随机变量x ，n它们n相互独立，且
❖ 2、最小二乘法
❖ 设总体中抽取一样本，围绕n个观测点画 一条直线 yabx ，与各点都比较接近 的直线为最佳。要求：各点到待估直线
的铅直距离之和为最小。利用微分学中
求极值的原理，求得：
L a ybx
b xy
L ❖ 将a、b代入线性回归方程：
xx
y a bx
❖ 它是总体线性回归方程 yx的最
检验的关系：
❖ 如果通过了 的检验也必然导致 （F
检验）检验的通过。实际上，F公式与 r
公式有对应关系：
F
r2 1r2
n2
F1,n2
❖ 6、相关与回归的比较 ❖ 1）相同点：都是研究变量之间的非确定
性关系，而且都是研究其中的线性关系。
❖ 2）不同点：
❖ ①回归是研究变量之间的因果关系，但 相关不一定具有因果关系。
❖ 社会现象之间有哪些属于相关关系？
❖ 2、散布图
x
x 1 x 2 x 3 …… x n
y
yy
1
2
y 3
……
y n
y
………………………………
x1
x
❖ 3、回归方程与线性回归方程 ❖ 1）回归方程
Eyifxi
❖ 自变量不同取值时，因变量y平均值的变化。
❖ 2）线性回归方程（一元）
❖ 当因变量y的平均值与自变量x呈线性关系时
❖ 4、相关系数的检验
❖ H 0 ：P0
H 1 ：P0
❖ t
n2
2
1
tn2
❖ 用 进行直接检验： ❖ 1）根据 公式计算样本的 值
❖ 2）给出显著性水平 和k=n-2，按附表8查出
相应的临界相关系数
❖ 3）比较 与 的大小
❖
如在果 显著 性水平
则x与y之间存在线性相关关系， 下显著
佳估计方程
： 例 妇女受教育的年限与家务劳动时间调查资料
妇女 教育年限 劳动小时 xy x 2 y 2
A
2
5
10 4 25
B
2
4
8 4 16
C
3
4
12 9 16
D
3
3
99 9
E
4
1
4 16 1
F
4
1
4 16 1
G
4
0
0 16 0
H
6
0
0 36 0
I
8
0
0 64 0
36
18 47 174 68
第三节 回归方程的假定与检验
E yx
❖ 问题：用 yx这个方程表示的回归线性
方程应该在坐标图上的哪一个位置，才使预 测时所犯错误最小？
第二节 回归直线的建立与最小二乘法
❖ 1、直线回归方程的建立
❖ 通过样本值作散布图，由散布图估计出 总体回归直线的系数 、 ，建立直线 回归方程。
❖ 但：抽样误差存在，样本均值并不等于 总体均值，要获得一条最佳的估计直线， 用最小二乘法。
❖ 例：以下是子代和父代受教育年限的抽 样调查：
父代 2 4
6
8 10
子代 4 5
8
7
9
❖ 求：回归直线、相关系数，是否有推论
意义？0.05
练习
❖ 如下资料，求回归直线、 相关系数，是否有推论 价值？
教育年限 6 9 9 13 16 16 19 21
个人成就 2 3 1 4 5 7 8 8
❖ 5、相关系数 的检验与回归系数 的
❖ ②相关系数是双向对称的，回归直线是 非对称的。
第五节 用回归方程进行预测
❖ 求y的区间估计值
❖
y e a
y y 1 n
n i1
i
E ❖TSS 1
，不知x与y有关系时估计y的总
误差。
❖ 2）剩余平方和：反映观测值 y i 偏离回
归线
y
的程度。
i
RSS
n
i1
yiyi
2
❖ y i 由回归直线y a bx 确定
❖ RSSE2，知道x与y有关后，估计y所产
生的误差
❖ 3）回归平方和：通过回归直线解释 掉的误差。
❖ 一、线性回归模型基本假定的界定
❖ 1、自变量x可以是随机变量，也可以是 非随机变量，x值可以认为是无误差的。
❖ 2、由于x和y之间存在非确定性的相关关
系 等，。D 因 y 此 要D 求y y 的D 所y 有 子 总D y 体 的 方 差D y 都相
11在一条直
1n
有
E 0 D 2
5、处于检验的需要i ，要求y值的每i 一个子
总体都满足正态分布。
❖ 二、回归方程的检验 ❖ 1、原假设：x与y不存在线性关系
❖H0 ： 0
❖H1 ： 0
❖ 2、线性回归的平方和分解
❖ 1）总偏差平方和：反映观察值y i 围绕均
y 值 y 的总分散程度。
n
2
TS S i1 yiy
第一节 回归研究的对象
1、研究定距变量与定距变量之间的非确定关系 相关关系：1）变量之间存在关系
2）这种关系是非确定性的 两个变量x和y，当x变化时会引起y相应变化，但他 们之间的变化关系是不确定的。如果当x取任何一可 能值xi 时，y相应地服从一定的概率分布，则称随机 变量y和变量x之间存在着相关。
年次 91 92 93 94 95 96 97 98 x 116 129 137 146 144 165 182 198 y 104 115 124 131 132 145 158 172
建立回归方程，并进行F检验0.05
第四节 相关
❖ 一、相关系数 （线性相关）
❖ 1、协C 方差o x,：yv xixyiy n1
❖ 表示x与y两变量观测值相对其各自均值
所造成的共同平均偏差。协方差的数量
可以作为变量线性相关程度的度量。
❖ 2、相关系数
xixyiy
2
2
xix•yiy
❖ 相关系数就是标准化了的协方差，取值
范围：1,1
❖ 3、相关系数具有PRE的性质
❖ r为相关系数；PRE（ r2）系数为判定系数。 ❖ 二者的区别？
RSSR
n i1
yiy2
❖ 3、统计量：
FRR SSSSR F1,n2
n2
TSS
2
x2n1
RSSR
2
x2 1
RSS
2
x2n2
2
L ❖ 其中：TSS yy
RSSR Lxy Lxx
2
L RSSTSSRSSR xy Lyy Lxx
H H ❖ 如果 FF拒绝 F 1 ；F 接受 1
❖ 例：统计某城市家具销售额y（万元）与 新建住宅面积x（千平方米），得如下资 料：
线上，称做线性假定。
❖ 4、要E 求y 随i 机 变 量yx i 是i统计独立的
❖ 以上假定用两组数据结构来表达：
❖ 1）随机变量 y i 是独立的，且有：
❖ 均值：E y i x i
❖ 方差：Dy 2 i
❖ 2）y i 与 x i 有如下关系：
是yn 随机变量x ，n它们n相互独立，且
❖ 2、最小二乘法
❖ 设总体中抽取一样本，围绕n个观测点画 一条直线 yabx ，与各点都比较接近 的直线为最佳。要求：各点到待估直线
的铅直距离之和为最小。利用微分学中
求极值的原理，求得：
L a ybx
b xy
L ❖ 将a、b代入线性回归方程：
xx
y a bx
❖ 它是总体线性回归方程 yx的最
检验的关系：
❖ 如果通过了 的检验也必然导致 （F
检验）检验的通过。实际上，F公式与 r
公式有对应关系：
F
r2 1r2
n2
F1,n2
❖ 6、相关与回归的比较 ❖ 1）相同点：都是研究变量之间的非确定
性关系，而且都是研究其中的线性关系。
❖ 2）不同点：
❖ ①回归是研究变量之间的因果关系，但 相关不一定具有因果关系。
❖ 社会现象之间有哪些属于相关关系？
❖ 2、散布图
x
x 1 x 2 x 3 …… x n
y
yy
1
2
y 3
……
y n
y
………………………………
x1
x
❖ 3、回归方程与线性回归方程 ❖ 1）回归方程
Eyifxi
❖ 自变量不同取值时，因变量y平均值的变化。
❖ 2）线性回归方程（一元）
❖ 当因变量y的平均值与自变量x呈线性关系时
❖ 4、相关系数的检验
❖ H 0 ：P0
H 1 ：P0
❖ t
n2
2
1
tn2
❖ 用 进行直接检验： ❖ 1）根据 公式计算样本的 值
❖ 2）给出显著性水平 和k=n-2，按附表8查出
相应的临界相关系数
❖ 3）比较 与 的大小
❖
如在果 显著 性水平
则x与y之间存在线性相关关系， 下显著
佳估计方程
： 例 妇女受教育的年限与家务劳动时间调查资料
妇女 教育年限 劳动小时 xy x 2 y 2
A
2
5
10 4 25
B
2
4
8 4 16
C
3
4
12 9 16
D
3
3
99 9
E
4
1
4 16 1
F
4
1
4 16 1
G
4
0
0 16 0
H
6
0
0 36 0
I
8
0
0 64 0
36
18 47 174 68
第三节 回归方程的假定与检验
E yx
❖ 问题：用 yx这个方程表示的回归线性
方程应该在坐标图上的哪一个位置，才使预 测时所犯错误最小？
第二节 回归直线的建立与最小二乘法
❖ 1、直线回归方程的建立
❖ 通过样本值作散布图，由散布图估计出 总体回归直线的系数 、 ，建立直线 回归方程。
❖ 但：抽样误差存在，样本均值并不等于 总体均值，要获得一条最佳的估计直线， 用最小二乘法。
❖ 例：以下是子代和父代受教育年限的抽 样调查：
父代 2 4
6
8 10
子代 4 5
8
7
9
❖ 求：回归直线、相关系数，是否有推论
意义？0.05
练习
❖ 如下资料，求回归直线、 相关系数，是否有推论 价值？
教育年限 6 9 9 13 16 16 19 21
个人成就 2 3 1 4 5 7 8 8
❖ 5、相关系数 的检验与回归系数 的
❖ ②相关系数是双向对称的，回归直线是 非对称的。
第五节 用回归方程进行预测
❖ 求y的区间估计值
❖
y e a
y y 1 n
n i1
i
E ❖TSS 1
，不知x与y有关系时估计y的总
误差。
❖ 2）剩余平方和：反映观测值 y i 偏离回
归线
y
的程度。
i
RSS
n
i1
yiyi
2
❖ y i 由回归直线y a bx 确定
❖ RSSE2，知道x与y有关后，估计y所产
生的误差
❖ 3）回归平方和：通过回归直线解释 掉的误差。
❖ 一、线性回归模型基本假定的界定
❖ 1、自变量x可以是随机变量，也可以是 非随机变量，x值可以认为是无误差的。
❖ 2、由于x和y之间存在非确定性的相关关
系 等，。D 因 y 此 要D 求y y 的D 所y 有 子 总D y 体 的 方 差D y 都相
11在一条直
1n
有
E 0 D 2
5、处于检验的需要i ，要求y值的每i 一个子
总体都满足正态分布。
❖ 二、回归方程的检验 ❖ 1、原假设：x与y不存在线性关系
❖H0 ： 0
❖H1 ： 0
❖ 2、线性回归的平方和分解
❖ 1）总偏差平方和：反映观察值y i 围绕均
y 值 y 的总分散程度。
n
2
TS S i1 yiy