三阶方向牛顿法的收敛性

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牛顿迭代法的收敛性和稳定性

牛顿迭代法的收敛性和稳定性牛顿迭代法是一种高效的求解非线性方程组的方法。

它的基本思想是通过不断逼近目标函数的零点来求解方程，其中每次迭代通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来更新逼近值。

与其他求解非线性方程组的方法相比，牛顿迭代法具有更快的收敛速度和更高的精度。

然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛性和稳定性。

本文将就牛顿迭代法的收敛性和稳定性进行探讨。

一、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的收敛性与初始迭代值的选择有关。

如果选择的初始迭代值与目标函数的零点较接近，则牛顿迭代法的收敛速度越快，精度越高。

反之，如果初始迭代值与目标函数的零点较远，则可能会导致收敛速度缓慢甚至无法收敛。

因此，通常使用牛顿迭代法进行求解时，需要通过试探法或其他方法寻找较接近目标函数零点的初始迭代值。

另外，牛顿迭代法的收敛性还与目标函数的性质有关。

具体来说，如果目标函数在初始迭代值处的二阶导数为正且在目标函数的零点处存在且连续，则牛顿迭代法一般会收敛到目标函数的零点。

而如果目标函数在某些点处的二阶导数为零或不存在，则可能会出现收敛速度缓慢或收敛不足的情况。

二、牛顿迭代法的稳定性牛顿迭代法的稳定性是指对于具有微小扰动的初始迭代值，迭代结果能否保持不变或只有微小的差异。

在实际应用中，由于存在数值误差或输入数据的不确定性，牛顿迭代法可能会受到微小扰动的影响而产生不稳定的结果。

因此，需要采取措施来提高牛顿迭代法的稳定性。

一种提高牛顿迭代法稳定性的方法是采用牛顿-拉夫逊迭代法。

牛顿-拉夫逊迭代法是在牛顿迭代法的基础上加入阻尼因子来实现的。

具体来说，牛顿-拉夫逊迭代法使用目标函数的一阶导数和二阶导数来更新逼近值，并在迭代过程中加入一个阻尼因子，使迭代结果在微小扰动下不会产生过大的变化。

此外，还可以采用增量式牛顿迭代法来提高牛顿迭代法的稳定性。

增量式牛顿迭代法是一种递推算法，它的基本思想是将目标函数的二阶导数逐步逼近到实际的值，并在每次迭代中只更新部分二阶导数，以减小更新过程中的数值误差。

Newton法的局部收敛性

另外也可能不收敛, 或者不是收敛到离初值最近的根. 当然, 对于三次函数, 除了个别点, 牛迭总是收敛到某个根的, 因为初值远离原点时由于函数的单调性, 总会被拉回"局部".

事实上在复平面上三次函数的根的牛迭收敛行为是个著名的分形 ...足见全局收敛性的复杂.

定义6.2
设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于方程x ( x)的根x*，如果迭代误差ek xk x*当k 时成立下列渐近关系式 ek 1 C (C 0为常数) p ek

具体来说
局部收敛性有如下定理 1.设已知 f(x) = 0 有根 a, f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续). 2.若 f'(a) != 0(单重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 总收敛到 a, 且收敛速度至少是二阶的. 3.若 f'(a) == 0(多重零点), 则初值取在 a 的某个邻域内时, 收敛速度是一阶的.

则称该迭代过程是p阶收敛的。特别地，p=1时称为线性收敛，p>1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。

定理6.3
对于迭代过程xk 1 ( xk ), 如果 ( p ) ( x) 在所求根x*的邻近连续，并且
' * '' * ( p 1) ( x* ) 0, ( x ) ( x ) ... ( p) * ( x ) 0, 则该迭代过程在点x*邻近是p阶收敛的.

记 g(x)=x-f(x)/f'(x), 其中"某个邻域"可由 |g'(x)|<1 的区间确定, 但是 g'(a)==0, 所以这样的邻域总是能取到的. 说收敛速度是 r 阶指的是: 存在 r 及常数 c 使 lim_{n->\inf} |x[n+1]a|/|x[n]-a|^r = c 至于牛顿迭代法的全局收敛性, 一般的数值分析书都没有详细叙述, 而只是举一些例子. 因为牛迭是否收敛依赖于函数是否"单调", 一些"曲折"大的函数就可能使迭代法不收敛了.

牛顿迭代法解动力学方程不收敛

牛顿迭代法解动力学方程不收敛（原创实用版）目录1.引言2.牛顿迭代法的基本原理3.动力学方程的概述4.牛顿迭代法在解动力学方程中的问题5.结论正文1.引言牛顿迭代法是一种求解非线性方程组的数值方法，被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学等。

在物理学中，动力学方程描述了物体运动的规律，而牛顿迭代法被用来求解这些方程。

然而，在某些情况下，使用牛顿迭代法求解动力学方程可能会遇到不收敛的问题。

本文将探讨这一问题，并尝试给出可能的原因和解决方法。

2.牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法是一种基于牛顿 - 拉夫逊迭代法的数值求解方法。

其基本思想是通过迭代更新变量的值，使得非线性方程组的解不断逼近真实解。

对于求解动力学方程，牛顿迭代法可以根据物体的运动方程得到一组关于速度和加速度的方程，然后通过迭代求解这些方程得到物体的速度和位置。

3.动力学方程的概述动力学方程描述了物体运动的规律，通常包括质量、力和加速度等物理量。

对于一个物体，其动力学方程可以表示为：F(x, v) = ma，其中 F 表示力，x 表示物体的位置，v 表示物体的速度，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。

求解动力学方程可以帮助我们了解物体在不同条件下的运动状态。

4.牛顿迭代法在解动力学方程中的问题虽然牛顿迭代法在求解动力学方程方面具有很高的效率，但在某些情况下，使用该方法可能会遇到不收敛的问题。

导致不收敛的原因可能有以下几点：(1) 初始值选择不当：如果初始值选取不合适，可能导致迭代过程中出现发散，从而使求解结果不收敛。

(2) 函数性质：如果动力学方程中包含非线性、非凸或间断的函数，可能导致牛顿迭代法不收敛。

(3) 数值误差：在迭代过程中，由于计算机浮点数精度限制，可能会产生累积误差，最终导致不收敛。

5.结论总之，虽然牛顿迭代法在求解动力学方程方面具有很多优点，但在某些情况下可能会遇到不收敛的问题。

为了避免这种情况，我们可以尝试选取合适的初始值、使用具有良好性质的函数以及提高计算精度等方法。

最优化理论与方法——牛顿法

牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。

结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。

牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。

牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。

牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。

收敛。

牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。

如下图：轴的焦点的横坐标。

如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。

鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。

牛顿法亦称为切线法。

2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。

否则。

（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。

（3）解_k k G d g =-得k d 。

（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。

newton raphson 收敛速度推导

newton raphson 收敛速度推导首先，让我们回顾一下牛顿-拉夫逊（Newton-Raphson）方法的收敛性。

该方法用于求解方程f(x) = 0的根。

假设我们有一个初始近似解x0，并定义函数g(x)为方程的导数f'(x)关于x 的倒数。

我们可以通过以下迭代公式来不断改进我们的解：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{g(x_n)}其中n表示迭代次数。

牛顿-拉夫逊方法的目标是找到一个解x*，使得f(x*) = 0。

推导牛顿-拉夫逊方法的收敛速度需要使用泰勒展开。

我们将方程f(x)在x0附近进行一阶泰勒展开得到：f(x) = f(x_n) + (x - x_n)f'(x_n)将f(x)置为0，得到：0 = f(x_n) + (x - x_n)f'(x_n)进一步整理，得到：x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}将上述公式与迭代公式进行对比，我们可以发现x_{n+1}与x_n之间的差别：x_{n+1} - x_n = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} - x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}这意味着每次迭代，我们的解将以倍数\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}逼近真实解。

这就是牛顿-拉夫逊方法的收敛速度，也被称为线性收敛速度。

另外，我们可以将泰勒展开进行更高阶的近似。

例如，将f(x)在x0附近展开为二阶泰勒级数，可以得到二次迭代公式：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} -\frac{f''(x_n)}{2f'(x_n)}(x_n - x_{n-1})在这种情况下，我们的解将以倍数\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}接近真实解，并且还受到二次项\frac{f''(x_n)}{2f'(x_n)}(x_n - x_{n-1})的影响。

牛顿法及其收敛性课件

7
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
2k
（4.6）
记
q x0 x0 C , C
整理（4.6）式，得
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1）简化牛顿法，也称平行弦法.
xk 1 xk Cf ( xk )
其迭代公式为（4.7）
C 0,1 ,.
迭代函数 ( x) x Cf ( x).
若在根 x * 附近成立 ( x) 1 Cf ( x) 1 ，即取 0 Cf ( x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.
x 3 x 1 0.
（4.8）
在 x 1.5 附近的一个根 x *. 设取迭代初值 x0 1.5，用牛顿法公式
xk 1
3 xk xk 1 xk 2 3 xk 1
（4.9）
x3 1.32472.
计算得
x1 1.34783, x2 1.32520,
迭代3次得到的结果 x3 有6位有效数字.
( x)
( x x*) g ( x) , mg ( x) ( x x*) g ( x)
故 x *是 ( x) 0 的单根.
对它用牛顿法，其迭代函数为
17
( x) x
( x) f ( x) f ( x) x . 2 ( x) [ f ( x)] f ( x) f ( x)
8
xk
C 2 C
q2
k
1 q
2k
.
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛. 例8 解求 115 .

一个修正的三阶收敛的牛顿迭代法

其中ｅ＝
ｋ＝２，．３
（）６
一，＝（／！Ｉ ’ ）ｆ（，ｃ１ｋ）（／）厂
本文引入步长因子，使得牛顿法通过加速后，
具有三阶收敛速度．
Ｙｋ
Ｊ
ｌ
一而
一
’
：
１基本定义
定义１ … 令。，，是收敛于的序，． …
列，令ｅ一ｏ如果存在着数Ｐ及常数Ｃ ≠ 并＝／．０使得，
一
，
Ｙ）
＝Ｃ：＋ｏｅ为误差ｅ（Ｐ）
ｌ
设是方程）＝０的单根，且
一而
；
定义２
。，
Ｓｐ若＋ｌ，机，出近似ｔｅ３一＜停输
根；
是求Ｏ近似解的迭代序列的连续３，Ｌ项
对迭代公式（）有５
）
ｙ而一一
一而；
Ｘｋ＋ｌ：
（ｃ２），
Ｘｌｋ＋
Ｓｐ３若ｌｔｅ
出近似根；
＿ｃ２２
一ｌ或＞ｎ停机，＜，输
Ｙ生：＋，＋ｅ，ｋ丽）＋２。３＿ｅ（）一一３ｎ２￣ ’ ｃ
关于非线性方程Ｉ）＝０的求解，典牛顿厂（经
迭代法是一种最实用和最重要的方法，因为其简
ｐｐ＝可
２修正的牛顿迭代法
２１算法．考虑非线性方程
‘ ．

牛顿法变形式在非线性方程组上的三阶局部与半局部收敛性

［中图分类号］０４２１
（文献标识码］Ａ
［文章编号］１７６４—３２（０１０ —００ —０２９２１）１０５３
１引言
考虑非线性方程组Ｆ（）：０（．）１１
Ｖ ∈ Ｓ了ｋ＞０使得Ｉ，，）１（一Ｆ（） ≤ ＦＩＪ
ｔｅｎｍｅｉａｘｍｐｅｒｐｏｉｇｔｅｃｒｅｔｅｓｏｈｎｙｉｆｓｃｏｖｒｅｃｎｏｆｍｉｇｔｅｅｆｉｎｙａｄｈｕｒｃｌｅａｌｓｆｒｖｎｈｏｒｃｎｓｆｔｅａａｓｓｏｕｈｃｎｅｇｎｅａｄｃｎｒｎｈｆｃｅｃｎｏｌｉｉ
２１年２０１月第１卷第１１期
廊坊师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｆＬｎｆｇＴａｈｒＣＵｇ（ｔｒａＳｉｃｄｉｎｏｒａｏａｇａｅｃｅｓｏｅｅＮａｎｃｎｅＥｉｏ）ｌｎｕｌｅｔ
Ｆｂ．０１ｅ２１
ｔｅｐｅＮｅｏｔｏｓａｕｉｅｓｌｙａｋｏｅｇｄｃａｓａｇｒｔｍ．Ｔｈｓｐｐｒｐｏｅｎｏｔｅｔｉ－ｒｅｏｐｏｌ．ｗｔｎｍｅｈｄｉｎｖｒａｌｃｎｗｌｄｅｌｓｉｌａｏｈｃｌｉｉａｅｒｂｓｉｔｈｈｒｏｄｒｄ
Ｖｏ．１１１Ｎｏ．１
牛顿法变形式在非线性方程组上的三阶局部与半局部收敛性
刘忠礼，张
【摘
洪

优化算法-牛顿法

优化算法-⽜顿法⽜顿法（英语：Newton's method）⼜称为⽜顿-拉弗森⽅法（英语：Newton-Raphson method），它是⼀种在实数域和复数域上近似求解⽅程的⽅法。

⽅法使⽤函数f(x)的泰勒级数的前⾯⼏项来寻找⽅程f(x)=0的根。

⼀般情况对于f(x)是⼀元⼆次的情况直接应⽤求根公式就可以了，但是对于更⾼次（在5次⽅以上），没有求根公式，于是⽜顿想了个近似求解的办法——⽜顿法⾸先以⼀元函数为例来说明⽜顿法的具体过程假设我们要求解函数f(x)=0的根，我们⾸先把函数在处展开成泰勒级数的形式并取其线性部分：令g(x)=0，则g(x)=0的根与f(x)=0的根近似相等，所以我们可以将此次计算看做⼀次迭代的过程，即：看下⾯的定理：设f(x)在[a,b]满⾜(1) f(a)·f(b)<0(2) f(x)∈[a,b]，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)与f″( x)的符号均保持不变。

(3) f(x)·f″(x)>0, x∈[a,b] 则⽅程f(x)=0在[a,b]上有且只有⼀个实根，由⽜顿法迭代公式计算得到的近似解序列收敛于⽅程 f(x)=0 的根 x*。

通俗的说，如果f(x)及其⼀阶、⼆阶导是连续的，并且待求的零点是孤⽴的，那么在零点周围存在⼀个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么⽜顿法必定收敛。

下⾯动图形象演⽰了⽜顿法收敛过程1.1.关于⽜顿法和梯度下降法的效率对⽐：从本质上去看，⽜顿法是⼆阶收敛，梯度下降是⼀阶收敛，所以⽜顿法就更快。

如果更通俗地说的话，⽐如你想找⼀条最短的路径⾛到⼀个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选⼀个坡度最⼤的⽅向⾛⼀步，⽜顿法在选择⽅向时，不仅会考虑坡度是否够⼤，还会考虑你⾛了⼀步之后，坡度是否会变得更⼤。

所以，可以说⽜顿法⽐梯度下降法看得更远⼀点，能更快地⾛到最底部。

（⽜顿法⽬光更加长远，所以少⾛弯路；相对⽽⾔，梯度下降法只考虑了局部的最优，没有全局思想。

牛顿梯度算法

牛顿梯度算法摘要：1.牛顿梯度算法简介2.牛顿梯度算法的基本原理3.牛顿梯度算法的应用场景4.牛顿梯度算法的优缺点5.牛顿梯度算法的改进与扩展正文：一、牛顿梯度算法简介牛顿梯度算法（Newton"s Method）是一种求解非线性方程组或优化问题的数值方法。

该方法以其发明者艾萨克·牛顿命名，起源于17世纪。

它通过迭代更新变量，使目标函数值逐步逼近零，从而求解问题。

二、牛顿梯度算法的基本原理牛顿梯度算法的基本思想是利用目标函数的梯度信息，沿着梯度的反方向进行迭代搜索。

在每个迭代步骤中，计算目标函数的梯度，然后乘以一个步长因子，得到更新方向。

接着，在更新方向上计算一步长，将变量更新到新的值。

这个过程持续进行，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。

三、牛顿梯度算法的应用场景1.非线性方程求解：牛顿梯度算法可以用于求解非线性方程组，例如非线性回归、非线性优化等问题。

2.函数优化：牛顿梯度算法广泛应用于优化领域，如求解无约束优化问题、带约束优化问题等。

3.机器学习：在机器学习中，牛顿梯度算法常用于优化损失函数，例如在神经网络、支持向量机等算法中。

四、牛顿梯度算法的优缺点优点：1.牛顿梯度算法具有较快的收敛速度，尤其在问题规模较小的情况下。

2.适用于非线性问题，能够很好地应对复杂场景。

缺点：1.计算梯度较为复杂，对计算机性能要求较高。

2.容易陷入局部极小值或鞍点。

3.对初始值敏感，选择不当可能导致不收敛或收敛速度慢。

五、牛顿梯度算法的改进与扩展1.拟牛顿法（Quasi-Newton Method）：通过使用一阶导数信息近似二阶导数，减少计算梯度的复杂度。

2.牛顿法结合其他优化算法：如牛顿法与遗传算法、粒子群优化算法等结合，提高收敛速度和全局搜索能力。

3.初始值选取策略：通过研究初始值对收敛速度和收敛性的影响，指导实际应用中初始值的选择。

总之，牛顿梯度算法是一种广泛应用于非线性问题和优化领域的数值方法。

第5章4节牛顿法

二是初始近似 x0 只在根 x *附近才能保证收敛，如
x0 给的不合适可能不收敛.
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
13
牛顿下山法. 牛顿法收敛性依赖初值 x0 的选取.
如果 x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
解取初值 x0 10，对按牛顿迭代公式迭代3 C 115 次便得到精度为
10 6
2 3 4
的结果
1 C ( xk ). 2 xk
12
（见表5-6).
xk 1
3
牛顿下山法
牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算
f ( xk )及 f ( xk ) ，计算量较大且有时 f ( xk ) 计算较困难，
2
10
再讨论全局收敛性 1）当C>1时，f(x)=x2-C在[1,C]上满足全局收敛性定理5，迭代法在[1,C]上全局收敛。 2）当C<1时, f(x)=x2-C在[C,1]上满足全局收敛性定理5，迭代法在[C,1]上全局收敛。
11
例8
求 115 .
表5 6 计算结果 k 0 1 xk 10 10.750000 10.723837 10.723805 10.723805
于是方程 f ( x) 0 可近似地表示为
f ( xk ) f ( xk )( x xk ) 0.
1
这是个线性方程，记其根为 xk 1 ，则 xk 1 的计算公式为
xk 1 xk f ( xk ) f ( xk ) ( k 0,1, ),
这就是牛顿(Newton)法. 牛顿法的几何解释. 方程 f ( x) 0 的根 x *可解释为曲线 y f ( x) 与 x轴的交点的横坐标（图5-3). 图5-3

牛顿迭代法收敛定理

关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。

在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。

牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。

近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。

牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。

一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。

方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。

由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。

即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。

详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。

该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。

设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。

牛顿迭代法是几阶收敛

牛顿迭代法是几阶收敛
牛顿迭代法是一种常用的数值优化方法，用于求解非线性方程或函数的根。

这种方法的收敛速度非常快，通常比其他方法快得多。

但是，牛顿迭代法的收敛速度取决于初值的选择以及函数的性质。

牛顿迭代法的收敛速度可以通过其阶数来衡量。

阶数是指每次迭代后误差的减小速度。

具体地说，如果每次迭代后误差大约减少到当前误差的 k 次方，那么就说该方法是 k 阶收敛的。

对于牛顿迭代法，其阶数通常为 2 阶或更高。

这意味着每次迭代后，误差的平方或更高次项会减小到当前误差的平方或更高次项的一小部分。

因此，牛顿迭代法的收敛速度非常快，尤其是在接近根的区域。

需要注意的是，牛顿迭代法的收敛速度并不是无限快的。

当迭代接近根时，误差可能会出现振荡或者不收敛的情况。

此时需要进行一些优化措施，例如修改迭代公式或者改变初值的选择。

总之，牛顿迭代法是一种高效的数值优化方法，具有快速的收敛速度。

其阶数通常为 2 阶或更高，但在某些情况下可能会出现不收敛的情况。

因此，在实际使用中需要谨慎选择初值并进行必要的优化措施。

- 1 -。

最优化理论与方法——牛顿法（1）

牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。

结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。

牛顿迭代法（Newton ’s method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。

牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。

牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。

如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。

鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。

2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。

设函数()f x 在k x 附近连续可微，且()0k k g f x =∇≠。

由泰勒展开式： ()()()()()T k k k k fx f x x x f x x x ο=+-∇+- （*）可知，若记为k k x x d α-=，则满足0Tk k d g <的方向k d 是下降方向。

当α取定后，Tk k d g 的值越小，即T kk d g -的值越大，函数下降的越快。

由Cauchy-Schwartz 不等式： T k k kk d g d g ≤，故当且仅当k k d g =-时，Tk k d g 最小，从而称k g -是最速下降方向。

最速下降法的迭代格式为： 1k k k k x x g α+=-。

牛顿法重根问题-概述说明以及解释

牛顿法重根问题-概述说明以及解释1.引言1.1 概述牛顿法是一种经典的数值计算方法，广泛应用于解决方程和优化问题。

它基于牛顿-拉夫逊方程而得名，由数学家伊萨克·牛顿在17世纪提出。

牛顿法的基本思想是通过不断迭代逼近函数的零点或最值点。

它通过计算函数在某点的导数和函数值的比值，确定函数在该点的局部线性近似，然后以该近似替代原函数，再求出近似函数的零点或最值点，不断迭代直至满足收敛条件。

重根问题是在求解方程时遇到的一类特殊情况。

当一个多项式函数有重复根时，常规的数值方法往往会失效，因为函数的导数在重根处为零，导致求解过程中出现除零操作或梯度无法更新的情况。

因此，如何有效地解决重根问题一直是数值计算中的挑战之一。

本文将从牛顿法的基本原理出发，介绍牛顿法在解决重根问题中的应用。

首先，我们将详细讨论牛顿法的原理和算法流程，以及收敛性和速度等方面的特点。

接着，我们将引入重根问题的定义和背景，并讨论重根问题对牛顿法的影响。

最后，我们将重点探讨牛顿法在解决重根问题中的应用方法及改进策略，并通过实例验证其有效性。

通过本文的研究，我们将对牛顿法在解决重根问题中的优势和局限性有更深入的了解，为其在实际问题中的应用提供指导和参考。

此外，我们还将展望牛顿法在其他数值计算问题中的潜在应用，并总结研究结果，为今后的相关研究提供思路和方向。

综上所述，本文旨在探讨牛顿法在解决重根问题中的应用，并通过分析和研究为其在实践中的应用提供理论基础和实践指导。

希望通过本文的阐述，读者能够更好地理解牛顿法及其在解决重根问题中的价值。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面展开：1.2 文章结构：本文将分为三个主要部分来介绍牛顿法在解决重根问题中的应用。

首先，在引言部分，我们将对牛顿法和重根问题进行概述，介绍文章的主要结构和目的。

接着，在正文部分，我们将详细阐述牛顿法的基本原理，并给出重根问题的定义和背景。

然后，我们将重点讨论牛顿法在解决重根问题中的应用，探讨其优势和适用性。

牛顿迭代法的收敛性分析和优化

牛顿迭代法的收敛性分析和优化牛顿迭代法是求解非线性方程的一种经典方法，其在科学计算和工程实践中具有广泛应用。

本文主要探讨牛顿迭代法的收敛性分析和优化。

一、基本原理牛顿迭代法是利用函数的一阶导数和二阶导数信息来快速逼近非线性方程的根。

假设我们要求解方程$f(x)=0$，其中$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是连续可导函数，$x_0$是某个初始估计值。

根据泰勒展开公式，可以得到局部线性近似为$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2$$由于$f(x)$在$x=x_0$处为零，因此仅保留一阶项，可得到下面的一次方程$$f'(x_0)(x-x_0)=-f(x_0)$$解得$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$$x_1$即为$f(x)=0$的第一个近似根。

类似地，我们可以继续迭代得到第$k$步的近似根$$x_k=x_{k-1}-\frac{f(x_{k-1})}{f'(x_{k-1})}$$当$f'(x_k)\neq 0$时，该迭代公式是收敛的，并且收敛速度相当快，一般为二次收敛。

在实际应用中，牛顿法的迭代次数很少超过10次，速度比其他迭代法快得多。

二、收敛性分析然而，牛顿迭代法并不总是收敛的，尤其当$f'(x_k)=0$时，迭代公式会失效。

此时，我们可以通过对原函数进行曲率调整来解决这个问题。

具体来说，对于第$k$步，定义一个新的函数$g(x)=f(x)/f'(x_k)$，那么$g(x_k)=0$，并且$g'(x_k)\neq 0$。

因此，可以用牛顿迭代法求解$g(x)$的根，得到下面的迭代公式$$x_{k+1}=x_k-\frac{g(x_k)}{g'(x_k)}$$其中，$$g(x)=\frac{f(x)}{f'(x_k)},\hspace{1cm}g'(x)=\frac{f''(x_k)f(x)-[f'(x_k)]^2f'(x)}{[f'(x_k)]^2}$$这个方法称为改进的牛顿迭代法或牛顿-拉夫逊迭代法。

数值分析-牛顿法

Algorithm: Newton’s Descent Method
Find a solution to f (x) = 0 given an initial approximation x0. Input: initial approximation x0; f (x) and f ’(x); minimum step size of xmin; tolerance TOL1 for x ; tolerance TOL2 for ; maximum number of iterations Nmax. Output: approximate solution x or message of failure.
重根 /* multiple root */ 加速收敛法： Q1: 若 f ( x*) 0 ，Newton’s Method 是否仍收敛？ n 设 x* 是 f 的 n 重根，则：f ( x ) ( x x*) q( x ) 且 q( x*) 0 。因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代，其中 g( x ) x
最大迭代迭代信息次数
f ( xk ) xk 迭代 f ( xk )
例题1
用Newton法求方程 x ex 2 0 的根,要求 | xk 1 xk | 10
5
迭代格式一： xk 1 ln(2 xk )
xk e 2 迭代格式二： xk 1 xk xk 1 e
保证产生的序列
{xk}单调有界
证明：以 f ' ( x) 0, f "( x) 0, f ( x ) 0 为例证明
0
将f(x*)在 xk 处作Taylor展开