第七章静定结构的位移计算
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
第7章静定结构的位移计算
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 35 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
§3—3计算结构位移的虚力原理
3. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应 的虚拟力状态。
例如:
求△
A
实际状态
AH
求
A
A
1
A
虚拟状态
1
虚拟状态
求△
A
AB
1
B
求
A
AB
B
1
广义力与 广义位移
25
1
虚拟状态
虚拟状态
1
4、静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP， 此时没有支座位移，故式（7—15）为
3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。
（2）结构制造和施工的需要。
（3）为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。
起拱高度
△
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
第七章 结构位移计算
W=FP△ = FP△`cosa
第七章 结构位移计算(Displacement)
2、静力实功 在静外力FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的 方向发生位移△11 。静力实功为： 式中的“1/2” ？ W=(1/2)FP1△11
静力概念： 静力荷载加载到结构上是 有一个过程的，在这个加载 过程中，荷载从零增加到最 后值，结构的内力和位移也 达到最后值； 在整个加载过程中，外力 和内力始终保持静力平衡。
第七章 结构位移计算(Displacement)
⒋ 本章在全课程中的地位 想求静定结构的位移，必先求出静 定结构的内力。因此本章可以说是对前 面所学的各类静定结构的内力计算的复 习与巩固。同时，位移计算又是下章即 将开始学习的超静定结构的基础。 因而,从全课程来看，本章是承上启 下的一章，也是十分重要的内容。希望 每个同学重视起来。
D
变形位移
ABDC ABD”C” 刚体位移
C
D
ABD’C’ 变形位移
位移状态
第七章 结构位移计算(Displacement)
§7-2 变形体系的虚功原理
⒉ 着眼于位移：
dW ＝ dW dW dW ＝ dW
总 总 刚 刚
变
微段平衡，由刚体虚功原理
dW刚 0
W总 W变
第七章 结构位移计算(Displacement)
(a) 根据叠加原理，图(a)可 分解为图(b)、(c)两种情 况。 ※一个结构的两种状态。
(b)
(c)
第七章 结构位移计算(Displacement) §7-2 变形体系的虚功原理 一、刚体系的虚位移原理
刚体系处于平衡的充要条件是：在具有理想约束的
⒋ 用于动力计算和稳定性计算。
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
结构力学——静定结构位移计算
结构力学——静定结构位移计算在工程和建筑领域中，结构力学作为一门重要的学科，主要研究了结构的受力、变形、破坏机理等问题。
其中，静定结构位移计算是结构力学中的一个重要内容。
静定结构所谓静定结构，是指能够通过静力学方程求解出所有节点的受力、反力和变形的结构。
这种结构是不需要知道材料的物理性质和荷载的实际情况的。
在静定结构中，结构的支座固定方式和荷载情况是已知的，因此能够通过解决一组静力学方程，求解出结构中节点的受力和变形。
静定结构位移计算静定结构位移计算是静定结构的重要计算方法之一。
在结构分析中，位移是一种常见的形变量，它反映了物体在载荷作用下发生的形变情况。
在静定结构中，位移是结构的重要参数之一。
它可以通过求解一组线性方程组得到。
具体来说，就是通过应变—位移—节点力关系，将结构各节点位移用系数矩阵和加载节点力表示出来，再通过求解一个线性方程组，就可以得到各节点的位移值。
静定结构位移计算的步骤静定结构位移计算中的步骤包括：1.列出节点位移方程节点位移与内力之间有一定的关系，可以通过位移方程和内力方程来表示。
这些方程可以根据物理实际条件进行建立。
2.确定支座反力支座反力是从位移计算中得到的结果之一。
支座反力是指结构上所有支点所承受的力，在位移计算时是必须考虑的。
3.形成节点位移方程组形成节点位移方程组时，需要考虑杆件的个数、受力条件、材料特性、支座情况等因素。
4.解出节点位移通过解一个线性方程组，我们可以根据已知的节点力和位移方程，求出每个节点的位移值。
静定结构位移计算的应用静定结构位移计算在现代工程设计中具有广泛的应用。
它能够在保证结构稳定的前提下，可以对结构进行优化设计，提高结构的安全性、稳定性、经济性等方面的性能。
除此之外，静定结构位移计算还可以应用于建筑设计、桥梁设计、机械设计、工业生产等领域中。
它可以提供结构设计的数据支持，为结构工程的实施提供参考。
静定结构位移计算是结构力学中的一个重要方向，其计算方法基于静力学方程进行，其特点是简单、可靠和实用。
结构力学 静定结构的位移计算1
结构发生虚位移的状态和结构承受外力的状态是两个独立 的状态。分别称为结构的位移状态和力状态
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
静定结构的位移计算
1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
结构力学 第七章 结构位移计算
第七章 结构位移计算到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。
我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。
讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该…杆件结构位移计算 （结构变形+刚度位移）→{刚度校核截面设计确定P max又是超静定结构计算的基础（双重作用）。
另外本章主要讨论各种杆件结构的位移计算问题。
结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。
§7-1概述一、结构的位移画图：梁、刚架、桁架 （内力N 、Q 、M ——拉伸、剪切、弯曲）截面C 线位移：C ∆ 角位移：C ϕ结点的线位移： 两点（截面）相对线位移： 杆件的角位移： AB ϕ 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。
截面C 线位移：C ∆。
一般 分解成水平、垂直两方向：CH ∆、CV ∆ 角位移：C ϕ2、位移的分类：6种绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向截面角位移：杆件角位移：相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向两截面相对角位移：两杆件相对角位移：统称为：广义位移：角、线位移；相对、绝对位移Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。
如ΔA P、Δat、ΔA C广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合二、引起位移的原因1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移）2、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形（材料胀缩引起的位移性质同）3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化){刚体位移（制造误差同）变形位移三、计算位移的目的1）刚度验算：最大挠度的限制（框架结构弹性层间位移限值1/450）2）为超静定结构的弹性分析打下基础3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施：（起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密）四、计算位移的有关假定（简化计算）1）弹性假设2）小变形假设建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）变形体系{ 线性变形体系（线弹性体系）荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消失，无残余变形，（可用位移叠加原理）非线形变形体系（分段线形叠加）4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）§7-2 变形体系的虚功原理一、 位移实位移：外因作用下结构实际位移虚位移：根据解题需要，虚设位移状态 （满足变形协调＋边界条件） 统称为：广义位移二、功：力所做的功：该力大小乘以力方向上的相应位移常力的功： T ＝P ×Δ＝P ×D ×cos a （大小、方向、作用点不变） 变力的功：Ｔ＝⎰s dT ＝⎰s P ×cos （P ，d s ）×d s力偶所做的功：功两要素：力与位移P ：广义力（力、力偶、相对力、相对力偶）Δ：和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角）注意：在定义功T 时，没有说位移Δ是由力P 引起的，可能由P 或其它原因，但P 力照样作功。
结构力学 第七章 结构位移计算
第七章 结构位移计算(Displacement)
五、位移计算中的基本假定
位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构 的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的 位移也随之消失。并应满足如下基本假定： １、应力和应变服从虎克定律（物理线性）； ２、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸 和叠加法计算其位移； ３、所有约束为理想约束，即约束力不作功。
刚体系处于平衡的充要条件是：在具有理想约束的
刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态 中的刚体位移与约束几何相容，则该力系在相应的刚体位移上 所作的外力虚功之和等于零，即 W12＝０。
第七章 结构位移计算(Displacement)
2、静力实功 在静外力FP1作用下，变形体在力的作用点沿力的
方向发生位移△11 。静力实功为： 式中的“1/2” ？
W=(1/2)FP1△11
静力概念： 静力荷载加载到结构上是
有一个过程的，在这个加载 过程中，荷载从零增加到最 后值，结构的内力和位移也 达到最后值；
在整个加载过程中，外力 和内力始终保持静力平衡。第七章 结构移计算(Displacement)
Ａ
０
B
位移与静力荷载
对于线弹性结构，在静力 荷载加载的过程中，结构 的位移和荷载成正比。
当结构的位移有一增量 d时，静力功有增量：
dW FP1 d
当静力达到最后值时，总 的静力功为：
W dW FP1 d
第七章 结构位移计算(Displacement)
一、变形与位移
§7-1 结构位移的概念与计算的目的
P
B'
△
K'
有形变有位移
有位移无形变
第7章 静定结构的位移计算
（3）刚体的虚功原理 设Fi表示刚体体系S上的一组力系； ui表示体系在空间 上和Fi匹配的一组微小现实位移。记
7.2.3 弹性体虚功原理 （1）变形体的虚功原理
（2）弹性杆件的内力虚功表达式
q − 微段上的外力 d R − 微段的刚体位移
M − 微段上的外力（杆件内力） d D − 微段的自身变形引起的位移
例7-3 图示刚架结点B作用一顺时针方向的力偶m。试求 刚架在该力偶作用下C点的竖向位移 。刚架中各杆的 EI相同，几何尺寸如图所示。
例7-4 图示桁架上弦结点作用有结点力 。试求桁架在 作用下C点的竖向位移 。桁架中各杆的EA相同， 几何尺寸如图所示。
【习题7-8】
【习题7-9】
§7.5 图乘法
（3）力状态和位移状态-虚力和虚位移
力状态和位移状态注意： 1）属同一体系； 2）均为可能状态: 位移应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 3）位移状态与力状态完全无关；
7.2.2 刚体的虚功原理 （1）刚体的虚位移原理 设刚体体系S上作用有某任意力系Fi，又设该体系发生 虚位移ui。则体系S在该力系作用下保持平衡的充分必 要条件是：该力系在此虚位移上所做的虚功总和为 零，即 虚位移方程，也泛称虚功方程
例7-1 试用刚体虚位移原理求图所示多跨静定梁C支座的 反力。
（2）刚体的虚力原理 设刚体体系S在某广义荷载影响下产生微小位移ui ；又 设体系S在某外力系Fi作用下保持平衡。则力系Fi（虚 力）在位移ui上所作的虚功总和为零 ，即
虚力方程，也泛称虚功方程
FP = 1
例7-2 如图所示刚架的B支座竖直向上发生微小位移d。试 用刚体虚力原理求该刚架C铰两侧截面的相对转角 以及D 点的水平位移 。
结构力学静定结构位移计算
R iCi
Ri的正向与Ci的正向一致
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method
截面转角
相对线位移
相对转角
Δ
P=1
1/2
1/2
（三）计算步骤:
➢ 根据拟求位移作单位力状态 ➢ 求单位力作用下的支反力 ➢ 利用公式求位移
R iCi
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
T M
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
A
B
T M A M B M ( A B ) M AB
（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
图（a）中P1所作的功为：T11
1 2
P111
实功
△11
图（b）中P2所作的功为：T22
变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是： 对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功
即 T12＝W12
说明：
（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。 （2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的）
第二状态要求虚位移条件 （3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。 （4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。
1 2
P2 22
图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为： 第一个下标表示位移的地点和方向
1 T11 2 P111 再作用P2，此时P2所作的功为：T22
1 2
第二个下标表示产生位移的原因
△22
P2 22
P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：
P2
T12 P112
虚功
结构力学 静定结构的位移计算
(a)
(b)
例7-2-1
C B
(a)
a L
b
C`
(b)
δP
C
B` δ B ( δ B =1) B
分析： 分析： 静定结构可利用刚体的虚功原理 （虚位移方程）求力
解 (1)去掉B支座链杆 (2)按拟求支座反力让机构发生单 位虚位移见图(b) (3)写出虚位移方程 FBy × 1 − FP δ P = 0 (4)求解虚位移方程
(a)
解 （1 ）
x
x
qL/2
x
1
x
qL qL/2
1 1
(b)
(c)
两种状态下任意 （2） 截面的弯矩函数
qx AB杆：M ( x) = qLx − 2 杆
2
M ( x) = x
qL BC杆： M ( x) = x 杆 2
M ( x) = x
（3 ）
∆ BH
L L qL MMP qx 2 = ∑∫ dx = [ ∫ (qLx − ) xdx + ∫ x 2 dx] 0 0 2 EI 2 1 2 4
(7-4-1)
(1)梁和刚架， (1)梁和刚架，主要考虑弯 梁和刚架 曲变形的影响，位移公式： 曲变形的影响，位移公式：
MM P ∆ = ∑∫ ds EI
(7-4-2)
(2)桁架，只考虑轴向变形的 桁架， 桁架 位移公式： 影 响，位移公式：
F N FNP ∆ = ∑∫ ds EA
(7-4-3)
解
结点的竖向位移∆ （1）求D结点的竖向位移∆DV 结点的竖向位移
1）计算 FNP
C
A D
B
(b) FNP 图（kN）
2）计算 F N
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
七章静定结构的位移计算
7.2 变形体的虚功原理
7.2.1 实功和虚功
一.实功 力在自身所引起的位移上做功， 称为实功。
如图 (a)中，力P的相应位移 Δ=AA'cosα，力P所做的功:
T=P·AA'cosα
如图 (b)中,转盘受力偶M=P·D作 用,力偶所做的功应为 :
T=M. θ
T = P.Δ 其中: P 称为 广义力， Δ称为 广义位移。
7.7 弹性变形体系的互等定理
一、功的互等定理 第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，
等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。
的弯矩分别为(以下侧受拉为正 B为原点)
MP=－1/2qx2 (0≤x≤l) M =－x (0≤x≤l) (3) 将MP 及M代入位移公式，得
例2 求图示简支梁在均布荷载q作用 下：(1) B支座处的转角；
(2) 梁跨中C点的竖向线位移。EI 为常数。
解：(1) 求B截面的角位移。 在B截面处加一单位力偶m=1，
示
(3) 计算w、yC
分AB、BC、CD三段进行图乘，由于CD段M=0， 可不必计入。故只计算AB、BC两段。
AB段：
w1= 2l2/3 (取自M图) y1=Pl/4
BC段：
w2=2l2/9 y2=Pl/4
(4) 计算ΔDV ΔDV=1/EI(w1*yC1)+1/2EI(w2*yC2) = -5Pl3/(36EI) (↑)
二、虚功 力在沿其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。 其它因素如另外的荷载作用、温度变化或支座移动等。
如图示简支梁，在P1作用下达到 平衡时，P1作用点沿P1方向上产生 的位移为Δ11如图a示。然后再施加 P2产生位移Δ12， Δ12由零增加至最 终值的过程中，P1保持不变是常力， 因此P1沿Δ12做虚功为：
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第七章 静定结构的位移计算
本章提要
本章主要介绍了变形体的虚功原理，利用虚功原理， 建立了结构在荷载作用下的位移计算的一般公式及其应 用；建立了静定结构在支座位移时位移的计算公式。同 时介绍了线弹性变形体系的互等定理。
通过本章的学习，应掌握： 1.理解虚功原理； 2.掌握荷载作用下位移计算的一般公式及其应用 3.掌握静定结构在支座位移时位移计算公式； 4.了解线弹性变形体系的互等定理。
这种改变称为变形。结构变形后，构件上各点的位置会
发生变动，这种位置的变动称为位移。
结构的位移通常有两种：
①线位移Δ，即各截面形心的移动量；
②角位移φ，即截面转动角度。
如图1，图2所示。其中：
ΔA 、ΔB
-----绝对线位移；
ΔAB=ΔA +ΔB -----相对线位移；
ΦA 、φB
-----绝对角位移；
本章内容
7.1 概述 7.2 变形体的虚功原理 7.3 荷载作用下位移计算的一般公式 7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 7.5 图乘法 7.6 静定结构在支座移动时位移计算 7.7 弹性变形体系互等定理
7.1 概 述
7.1.1 结构的位移
结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差
与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，
2、桁架
二、计算步骤
(1) (2) 列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下
(3) 将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分 求总和即可计算出所求位移。
三、虚拟单位荷载的建立
(1) 欲求A点的水平线位移时，在A点沿水平方向加一 单位集中力如图6(b) (2) 欲求A点的角位移，在A点加一单位力偶如图6(c) 所示；
二、虚功 力在沿其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。 其它因素如另外的荷载作用、温度变化或支座移动等。
如图示简支梁，在P1作用下达 到平衡时，P1作用点沿P1方向上产 生的位移为Δ11如图a示。然后再施 加P2产生位移Δ12， Δ12由零增加 至最终值的过程中，P1保持不变是 常力，因此P1沿Δ12做虚功为：
其次，求外力虚功和内力虚功。
W=PK·ΔK=ΔK 内力所做虚功为： 在图5(a)上取ds微段，其上由于实际荷载所产生的
图5
内力MP、QP、NP作用下所引起的相应变形为dθ、dη、
dλ分别如图5(c)、(d)、(e)所示，分别为：
相对转角
dθ=1/ρds=Kds
dη=γds
dλ=εds
由材料力学公式，有：
建立虚力状态如图(b)。 实际荷载与单位荷载所引起的
弯矩分别为(以A为原点)： MP =ql2x-q/2×x2 M =-1/l×x
将MP、M代入位移公式得：
φB的结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方 向相反，即B截面逆时针转动。
(2) 求跨中C点的竖向线位移 在C点加一单位力P=1，建立虚力状态如图(c)所示 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原
(3) 欲求A、B两点的相对线位移，在A、B两点沿AB连 线方向加一对反向的单位集中力，如图6(d)所示； (4) 欲求A、B两截面的相对角位移，在A、B两截面处 加一对反向的单位力偶，如图6(e)所示。
图6
例1.求图示悬臂梁B端的竖向位移ΔBV。EI为常数。
解:(1) 取图(b)
(2) 实际荷载与单位荷载所引
7.3 荷载作用下位移计算的一般公式
如图5(a)所示结构在均布荷载q作用下发生了图中 虚线所示变形。现在欲求结构上任一截面沿任一指定方 向上的位移，如K截面的水平位移ΔK。
首先，由虚功原理，确定两个状态：位移状态和力 状态。
已知状态欲求位移，故定为位移状态。还须建立力 状态，为此，在K点上作用一个水平的单位荷载PK=1，它 应与ΔK相对应，如图5(b)
点)，当0≤x≤l/2时，有
由对称关系得：
ΔCV的计算结果为正值，表示C点竖向线位移方向与单位 力方向相同，即C点位移向下。
例3 求图示悬臂刚架C截面的角位移φC。刚架EI为常数。 解：(1) 取图18.9(b)所示虚力状态。
(2) 实际荷载与单位荷载所引起
的弯矩分别为(以内侧受拉为正)
φAB
----ห้องสมุดไป่ตู้相对角位移。
图1
图2
7.1.2 结构位移计算的目的 (1) 为了校核结构的刚度，即保证结构的位移不超
(2) 为计算超静定结构奠定基础。在计算超静定结 构时，仅仅利用静力平衡条件无法完全求解，还必须考
另外，在结构的制作、架设、养护等过程中，往往 需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措
起的弯矩分别为(以下侧受拉为正
B为原点)
MP=－1/2qx2 (0≤x≤l)
M =－x
(0≤x≤l)
(3) 将MP及M代入位移公式，得
例2 求图示简支梁在均布荷载q作用 下：(1) B支座处的转角；
(2) 梁跨中C点的竖向线位移。 EI为常数。
解：(1) 求B截面的角位移。 在B截面处加一单位力偶m=1，
7.2 变形体的虚功原理
7.2.1 实功和虚功
一.实功 力在自身所引起的位移上做功， 称为实功。 如图 (a)中，力P的相应位移 Δ=AA'cosα，力P所做的功:
T=P·AA'cosα
如图 (b)中,转盘受力偶M=P·D作 用,力偶所做的功应为 :
T=M. θ
T = P.Δ 其中: P 称为 广义力， Δ称为 广义位移。
T12=P1.Δ12
7.2.2 虚功原理
外力虚功W=内力虚功W′ 做功的外力和内力称为力状态或第一状态，它们必 须满足平衡条件；位移和变形称为位移状态或第二状态， 它们必须满足变形和支座约束条件。 若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态， 也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这 时，虚功原理也称为虚位移原理； 反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际 状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实 际的，这时，虚功原理也称为虚力原理。
d M pds
EI
d kQpds
GA
d N pds
EA
微段上所做内力虚功为：
整根杆件的内力虚功可由积分求得为：
整个结构的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和， 即：
则，由虚功原理得荷载作用下位移计算的一般公 式：
其中：
7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、计算公式： 1、梁和刚架
本章提要
本章主要介绍了变形体的虚功原理，利用虚功原理， 建立了结构在荷载作用下的位移计算的一般公式及其应 用；建立了静定结构在支座位移时位移的计算公式。同 时介绍了线弹性变形体系的互等定理。
通过本章的学习，应掌握： 1.理解虚功原理； 2.掌握荷载作用下位移计算的一般公式及其应用 3.掌握静定结构在支座位移时位移计算公式； 4.了解线弹性变形体系的互等定理。
这种改变称为变形。结构变形后，构件上各点的位置会
发生变动，这种位置的变动称为位移。
结构的位移通常有两种：
①线位移Δ，即各截面形心的移动量；
②角位移φ，即截面转动角度。
如图1，图2所示。其中：
ΔA 、ΔB
-----绝对线位移；
ΔAB=ΔA +ΔB -----相对线位移；
ΦA 、φB
-----绝对角位移；
本章内容
7.1 概述 7.2 变形体的虚功原理 7.3 荷载作用下位移计算的一般公式 7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 7.5 图乘法 7.6 静定结构在支座移动时位移计算 7.7 弹性变形体系互等定理
7.1 概 述
7.1.1 结构的位移
结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差
与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，
2、桁架
二、计算步骤
(1) (2) 列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下
(3) 将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分 求总和即可计算出所求位移。
三、虚拟单位荷载的建立
(1) 欲求A点的水平线位移时，在A点沿水平方向加一 单位集中力如图6(b) (2) 欲求A点的角位移，在A点加一单位力偶如图6(c) 所示；
二、虚功 力在沿其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。 其它因素如另外的荷载作用、温度变化或支座移动等。
如图示简支梁，在P1作用下达 到平衡时，P1作用点沿P1方向上产 生的位移为Δ11如图a示。然后再施 加P2产生位移Δ12， Δ12由零增加 至最终值的过程中，P1保持不变是 常力，因此P1沿Δ12做虚功为：
其次，求外力虚功和内力虚功。
W=PK·ΔK=ΔK 内力所做虚功为： 在图5(a)上取ds微段，其上由于实际荷载所产生的
图5
内力MP、QP、NP作用下所引起的相应变形为dθ、dη、
dλ分别如图5(c)、(d)、(e)所示，分别为：
相对转角
dθ=1/ρds=Kds
dη=γds
dλ=εds
由材料力学公式，有：
建立虚力状态如图(b)。 实际荷载与单位荷载所引起的
弯矩分别为(以A为原点)： MP =ql2x-q/2×x2 M =-1/l×x
将MP、M代入位移公式得：
φB的结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方 向相反，即B截面逆时针转动。
(2) 求跨中C点的竖向线位移 在C点加一单位力P=1，建立虚力状态如图(c)所示 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原
(3) 欲求A、B两点的相对线位移，在A、B两点沿AB连 线方向加一对反向的单位集中力，如图6(d)所示； (4) 欲求A、B两截面的相对角位移，在A、B两截面处 加一对反向的单位力偶，如图6(e)所示。
图6
例1.求图示悬臂梁B端的竖向位移ΔBV。EI为常数。
解:(1) 取图(b)
(2) 实际荷载与单位荷载所引
7.3 荷载作用下位移计算的一般公式
如图5(a)所示结构在均布荷载q作用下发生了图中 虚线所示变形。现在欲求结构上任一截面沿任一指定方 向上的位移，如K截面的水平位移ΔK。
首先，由虚功原理，确定两个状态：位移状态和力 状态。
已知状态欲求位移，故定为位移状态。还须建立力 状态，为此，在K点上作用一个水平的单位荷载PK=1，它 应与ΔK相对应，如图5(b)
点)，当0≤x≤l/2时，有
由对称关系得：
ΔCV的计算结果为正值，表示C点竖向线位移方向与单位 力方向相同，即C点位移向下。
例3 求图示悬臂刚架C截面的角位移φC。刚架EI为常数。 解：(1) 取图18.9(b)所示虚力状态。
(2) 实际荷载与单位荷载所引起
的弯矩分别为(以内侧受拉为正)
φAB
----ห้องสมุดไป่ตู้相对角位移。
图1
图2
7.1.2 结构位移计算的目的 (1) 为了校核结构的刚度，即保证结构的位移不超
(2) 为计算超静定结构奠定基础。在计算超静定结 构时，仅仅利用静力平衡条件无法完全求解，还必须考
另外，在结构的制作、架设、养护等过程中，往往 需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措
起的弯矩分别为(以下侧受拉为正
B为原点)
MP=－1/2qx2 (0≤x≤l)
M =－x
(0≤x≤l)
(3) 将MP及M代入位移公式，得
例2 求图示简支梁在均布荷载q作用 下：(1) B支座处的转角；
(2) 梁跨中C点的竖向线位移。 EI为常数。
解：(1) 求B截面的角位移。 在B截面处加一单位力偶m=1，
7.2 变形体的虚功原理
7.2.1 实功和虚功
一.实功 力在自身所引起的位移上做功， 称为实功。 如图 (a)中，力P的相应位移 Δ=AA'cosα，力P所做的功:
T=P·AA'cosα
如图 (b)中,转盘受力偶M=P·D作 用,力偶所做的功应为 :
T=M. θ
T = P.Δ 其中: P 称为 广义力， Δ称为 广义位移。
T12=P1.Δ12
7.2.2 虚功原理
外力虚功W=内力虚功W′ 做功的外力和内力称为力状态或第一状态，它们必 须满足平衡条件；位移和变形称为位移状态或第二状态， 它们必须满足变形和支座约束条件。 若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态， 也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这 时，虚功原理也称为虚位移原理； 反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际 状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实 际的，这时，虚功原理也称为虚力原理。
d M pds
EI
d kQpds
GA
d N pds
EA
微段上所做内力虚功为：
整根杆件的内力虚功可由积分求得为：
整个结构的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和， 即：
则，由虚功原理得荷载作用下位移计算的一般公 式：
其中：
7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、计算公式： 1、梁和刚架