《高等数学》教案 第三章 导数与微分

y = f {ϕ [ ψ ( x)]} 在点 x 处导数是
dy = f ′(u ) ⋅ ϕ ′(v) ⋅ψ ′( x) dx
使用公式：
或
′ ′ ′ y′ x = yu ⋅ u v ⋅ v x
注意：求复合函数的导数时，要一层一层地计算，注意不要漏层，每一层都
′ ′x ′x = （复合函数） （复合函数） （中间变量） 中间变量 ×
第三章
导数与微分
研究导数理论，求导数与微分的方法及其应用的科学称为微积分。导数反映 了函数相对于自变量变化的快慢程度，即变化率问题；而微分刻画了当自变量有 微小变化时， 函数变化的近似值。 本章主要利用极限这个工具来研究导数与微分。 学习中应注意理解极限、 导数与微分之间的区别与联系， 熟练掌握各种求导法则。
v t =t0 = lim
f (t 0 + Δt ) − f (t 0 ) Δs = lim Δt →0 Δt Δt →0 Δt
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二、切线问题 曲线 y = f (x)上任一点 M（x0，y0） ，当横坐标有一变化量∆x，纵坐标亦有一 个变化量∆y，得到另一点 M1（x0+∆x，y0+∆y） ，作割线 MM1（设其倾角为 φ） ， 则 MM1 的斜率为：
4、反三角函数的导数
(arcsin x)′ = 1 1− x
2
(csc x)′ = − csc x ⋅ cot x
(arccos x)′ = −
1 1− x2
（﹣1＜ x ＜1）
1 1+ x2 5、指数函数的导数 (arctan x)′ =
设
(arc cot x)′ = −
1 1 + x2
y = ax （a＞0，a≠1） ，则有 (a x )′ = a x ln a
（3）求∆x → 0 时
Δy 的极限： Δx
Δy f ( x + Δx) − f ( x) = Δx Δx
f ( x + Δx) − f ( x) Δx
y ′ = f ′( x) = lim
Δx →0
利用导数的定义求极限：
3
二、导数的几何意义 函数 f (x)在点 x0 处的导数 f ′( x0 ) 就是曲线 y = f (x)在点 M（x0，y0）处的切线 斜率。
f ′( x0 ) = lim
Δx →0
Δy = lim tan ϕ = tan α Δx Δx→0
（α≠
π
2
）
过点 M（x0，y0）的切线方程为： 法线方程为：
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 )
y − y0 = −
1 ( x − x0 ) f ′( x0 )
4
三、左、右导数 定义：设函数 y = f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义， 若 lim−
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δx
⎛ f ( x) − f ( x0 ) ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ 或 xlim ⎟ 存在，则称为 f (x)在点 x0 处 → x0 x − x0 ⎝ ⎠
的左导数，记作 f −′ ( x0 ) ； 若 lim+
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δx
5
利用可导与连续的关系解题：
习题 12：
6
习题 1--14
§3.3 导数的基本公式与运算法则
对于一个函数，直接用定义求导数，将是极为复杂和困难的，因此需要找到 一些基本公式与运算法则，以此简化求导计算。 一、常用基本求导公式
1、常数的导数
设
y = c （c 为常数） ，则有
c′ = 0
2、幂函数的导数
du dy = ϕ ′( x) ，y = f (u)在对应点 u 处有导数 = f ′(u ) ，则复合函 du dx
数 y = f [ϕ ( x )] 在点 x 处导数也存在，而且可表示为
dy = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x) dx
或
′ ′ y′ x = yu ⋅ u x
此公式可推广到有限次复合，设 y = f (u)， u = ϕ (v) ， v = ψ ( x) ，则复合函数
习题 21 求下列函数导数（4） （18） （24） ：
习题 23 求下列函数导数（4） （5） ：
10
习题 26：
11
2、分段函数的求导。求分段函数的导数时，在分段点处要使用定义判定和 计算，而在其余各个可导区间内，使用导数公式求其导数。 习题 31：
习题 32：
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⎧ x， 0 < x ≤1 ⎪ ⎪ 例题：已知函数 F ( x) = ⎨ 在其定义域内求 F ′( x) 。 1 ⎪ ， 1< x ≤ 2 ⎪ ⎩x 解：
Δs f (t 0 + Δt ) − f (t 0 ) = Δt Δt
当物体变速运动时， 速度随时间而变化， 上式表示在∆t 时间内的平均速度 v ：
v=
Δs f (t 0 + Δt ) − f (t 0 ) = Δt Δt Δs 存在，就称此极限为物体在时刻 t0 时的 Δt →0 Δt
当∆t 很小时，可以近似用 v 表示物体在时刻 t0 时的速度，∆t 越小，近似程 度越好。当∆t → 0 时，如果极限 lim 瞬时速度，即
⎛ f ( x) − f ( x0 ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 存在，则称为 f (x)在点 x0 处 ⎜ 或 xlim + → x0 x − x0 ⎠ ⎝
的右导数，记作 f +′ ( x0 ) 。 显然，当且仅当函数在一点的左、右导数都存在且相等时，函数在该点才 是可导的。 函数 f (x)在区间[a，b]内可导，是指函数 f (x)在开区间（a，b）内处处可导， 且存在 f +′ (a ) 及 f −′ (b) 。 四、可导与连续的关系 定理：如果函数 f (x)在点 x0 处的可导，则它在 x0 处一定连续。 此定理的逆定理不成立，即可导一定连续，但连续不一定可导。连续是可导 的必要条件，但不是充分条件。
f ′( x) ，
y′ ，
dy dx
或
d f ( x) dx
函数 f (x)在点 x0 处有导数值 f ′( x0 ) 即为导函数 f ′( x) 在点 x0 处有函数值。 由导数定义求导数的方法有下列步骤： （1）求出对应于自变量的改变量∆x 的函数改变量：
∆y = f (x＋∆x)－f (x)
（2）作出比值：
2
时，函数 f (x)的平均变化速度，称为函数的平均变化率；而导数 f ′( x0 ) = lim 反映的是函数 f (x)在点 x0 处的变化速度，称为函数在点 x0 处的变化率。 函数 f (x)在点 x0 处的导数，也可按下式表示：令 Δx = x − x 0 ，则有
Δy Δx →0 Δx
f ′( x0 ) = lim
当u=c （v≠0）
（c 为常数）时，
′ v′ ⎛c⎞ ⎜ ⎟ = −c 2 v ⎝v⎠
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习题 15：
习题 16：
习题 17：
习题 20：
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三、复合函数与反函数的求导法则 1、复合函数求导 设函数 y = f (u)，u = ϕ ( x) ， y 是 x 的一个复合函数 y = f [ϕ ( x )] ， 如果 u = ϕ ( x) 在点 x 处有导数
对于分段函数的复合函数求导，首先要求出复合函数的表达式，然后再求导 数，特别注意在分段点处要利用左右导数来求。例如：
3、抽象形式的复合函数求导。含有抽象的复合函数求导，一是要注意复合
函数的结构，对于多层复合函数求导，要分清自变量、中间变量和因变量，求导
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时应由外往里按复合层次一层一层地计算，直到对自变量求导为止。二是导数符 号 “′” 在不同位置表示对不同变量求导， 如 f ′[g ( x)] 表示 f 对中间变量 g ( x) 求导；
∆x → 0 时，
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δy Δy 的极限存在，即 lim 存在，则称此极 = lim Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx f ′( x0 ) ，
y ′ x = x0 ，
，记作： 限值为函数 f (x)在点 x0 处的导数（或微商）
dy d 或 f ( x) x = x0 x = x0 dx dx Δy f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) 由以上可知： 反映的是自变量 x 从 x0 改变到 x0+∆x = Δx Δx
tan ϕ =
Δy f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = Δx Δx
Hale Waihona Puke 当∆x → 0 时，点 M1 向点 M 移动，从而割线 MM1 变为点 M 处的切线（倾角 为 α） ，即切线的斜率为：
tan α = lim tan ϕ = lim
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δy = lim Δx →0 Δx Δx →0 Δx
§3.1 引出导数概念的例题
在解决实际问题的时候，不但要了解变量之间的函数关系，而且有时还要研 究变量变化快慢的程度。只有在引入导数的概念之后，才能更好的说明这些量的 变化情况。 一、物体做变速直线运动的速度 s = f (t) 当时间由 t0 改变到 t0＋∆t 时，物体在∆t 时间内所经过的距离为： ∆s = f (t0＋∆t)－f (t0) 当物体匀速运动时，速度是一常量：
特别地，
( e x )′ = e x
( x x )′ = x x (ln x + 1)
6、对数函数的导数
设
y = log a x
（a＞0，a≠1） ， 则有
特别地，
1 (log a x)′ = log a e x 1 (ln x)′ = x