量子力学：薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定谔提出的量子力学基本方程。
建立于 1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。
在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。
由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。
量子物理薛定谔方程
方程左
端为： i
1 df (t) E
f (t) dt
其解为 f (t) CeiEt /
2
其右端 [ 2 V ( x)]u( x) Eu( x) 2m
方程的解 ( x, t) u( x)eiEt /
定态薛定谔方程 或哈密顿方程 P54 2.3.12式
2
定态薛定谔方 [ 2 V (x)]u(x) Eu(x) (x, t) u(x)eiEt / h
2
2m
2
( x, t)
p2
2m
( x, t)
Ek
( x, t)
其中
2 2 2 2 x2 y2 z2
拉普拉斯算符
Ek
p2 2m
p2 px2 py2 pz2
粒子的动能
由于自由粒子不受外力，没有势能，它的总能量就是它的动
能，即
E
Ek
p2 2m
所以
i
(x,t)
t
E
( x, t )
Ek
( x, t )
14
徐光宪
1920
88
神经外科专家 化学家
15
谷超豪
1926
83
数学家
16 截止22000191年20名孙家最栋高科学技术奖192获9 得者获奖时平80 均年龄81.85火岁箭（卫星岁专家数
总和1637岁），最小的64岁，最大的92岁。
17
师昌绪
1920
90
金属学及材料专家
2010
18
王振义
1924
其目的是通过处理简单的波动方程获 得对量子现象的具体而直观的理解。
如果势能函数不含时间，即对于定态势能场，则有
V (x,t) V (x)
薛定谔方程 量子力学
薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。
薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。
它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
量子物理第二章薛定谔方程(20211023)(有补充)
第27章薛定谔方程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
·薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程·一维自由运动粒子无势场，不受力，动量不变。
· 一维自由运动粒子的波函数(前已讲)由此有· 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程·推广到若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有 ∂ψ∂ x = ( )P ψi h∂2ψ ∂ x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = P 22m E = +U (x , t )∂ t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ∂x 2∂ ∂2一维薛定谔方程 式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相比较,只要把再作用到波函数 ψ (x , t ) 上，即可得到 上述方程。
P 22m E = +U (x , t )2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式· 拉普拉斯算符(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材B 版p332)·当 U (r , t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数∂2 ∂x 2 ∂2 ∂y 2 ∇2≡ + + ∂2 ∂z 2·波函数的叠加原理薛定谔方程是ψ的线性微分方程；若ψ1、ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。
(c1、c2是常数)★E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔方程式可用分离变量法求解。
薛定谔墓碑上的方程
薛定谔墓碑上的方程
1薛定谔墓碑上的方程
薛定谔（Erwin Schrodinger）是一位著名的物理学家，也是一位被视为量子力学的奠基人之一，他的研究工作对20世纪物理学的发展至关重要。
薛定谔去世了，在他的墓碑上刻上了一个简短而伟大的方程：∂Ψ/∂t=ћ(-1/2m)(∂²Ψ/∂x²)。
2什么是薛定谔方程？
薛定谔方程是一个反映量子力学中原子颗粒的状态发生改变、移动的方程，它是量子力学的重要基础，也是物理学中的重大突破。
它的运用可以解释原子电子的行为，进一步预测细胞学中微小细胞物质的状况。
3薛定谔方程的真正意义
薛定谔方程只是表面上看起来像一个普通的数学公式，但它刻画的是量子力学，是可以解释细胞学中一切微小粒子的变化，说明物质在压力、势能和其他因素下发生的改变原理。
4如何理解薛定谔方程？
首先要知道，它描述的是一种时间变换：Ψ表示一个自由量子状态，t代表时间概念；物理参量h代表数学中的波动量，m表示质量，x表示位置；因此，它可以用来描述位置变换时质量变化的量子态的状态，也可以用来描述势能和位置变换对量子状态的影响。
5薛定谔方程的重要性
薛定谔方程的重要性在于它为了解释物质的变化、物理的变化提供了一种定量的理论，可以用来研究复杂的物理目标。
它的应用界面，是用来说明非线性系统的行为，它可以说明某些物质在外力作用下对其位置变换时质量状态的变化，也可以用来描述原子各种物质状态的相互关系，它是现代物理学和化学研究进步的强大的基础性理论。
薛定谔方程、量子力学简介
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
由归一化条件求C 由归一化条件求 归一化条件 归一化条件
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
a
0
nπ C sin xd x = 1 a
2 2
C=
2 a
2 nπ ψ ( x) = sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a 2 nπ x) n =1,2,3,4,5,L sin( ψ(x) = a 势 内 阱 a
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E = Ek + Ep
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
一、薛定谔方程（1925 年） 薛定谔方程（ 思考】 【思考】 波函数来自哪个方程？ 波函数来自哪个方程？ 薛定谔方程
特殊情况 一般情况 .. 薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger,1887~1961） ） 奥地利物理学家. 奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 动力学 并建立了量子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 力学和波动 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高速运 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运 动的粒子的波动方程 .
量子力学-第二章-定态薛定谔方程详解
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n (x)eiEnt , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程
[
2
2
V ] (r )
E (r )
2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
本征值问题，得：
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2
V
]
(r )
E
(r )
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
(r ,
t
)
(
r
)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（3）写出定态波函数即得 到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
量子力学中的薛定谔方程和量子力学
薛定谔方程的物理意义
它决定了粒子在给定势能下 的波函数和概率密度
薛定谔方程是描述量子力学中 粒子运动状态的偏微分方程
薛定谔方程是量子力学的基本 方程之一，是理解和预测物质
行为的关键工具
薛定谔方程的解可以揭示粒子 的能量、动量和角动量等属性
薛定谔方程的解 法
分离变量法
分离变量法：将薛定谔方程中的波 函数分离为空间和动量两个部分， 从而简化求解过程
无法处理量子纠缠 和量子误差问题
在某些情况下会导 致波函数塌缩的不 确定性问题
不能解释量子纠缠现象
不能解释量子纠缠现象 无法描述粒子间的相互作用 对初始条件的敏感性 无法预测量子系统的长期演化
量子力学的其他 重要概念和方程
波函数的概念和性质
波函数定义：描 述微观粒子状态 的函数
波函数的性质： 概率幅、复数、 归一化
波函数的物理意义： 微观粒子在空间中 的概率分布
波函数与薛定谔方 程的关系：薛定谔 方程用于求解波函 数的演化
量子态的概念和描述
定义：量子态是量子力学中一个物理系统的状态，由波函数描述
特性：量子态具有叠加性和相干性，即一个量子态可以表示为其他量子态的线性 组合，且不同量子态之间存在干涉现象 描述方法：通常使用波函数来描述量子态，波函数满足薛定谔方程，并具有归一 化条件
为
薛定谔方程的应 用
在原子物理中的应用
解释原子光谱的线型
描述原子状态的波函数
揭示原子能级的分布规律
预测原子辐射和吸收光子的 过程
在固体物理中的应用
描述电子行为： 薛定谔方程是描 述固体中电子行 为的基石。
计算能带结构： 通过求解薛定谔 方程，可以计算 出固体的能带结 构。
薛定谔方程
薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏]• 1 含时薛定谔方程• 2 不含时薛定谔方程• 3 历史背景与发展• 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引▪ 4.1.1 假设▪ 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引• 5 特性o 5.1 线性方程▪ 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性▪ 5.3.1 证明o 5.4 完备基底• 6 相对论性薛定谔方程•7 解析方法•8 实例o8.1 自由粒子o8.2 一维谐振子o8.3 球对称位势▪8.3.1 角部分解答▪8.3.2 径向部分解答•9 参阅•10 参考文献•11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
薛定谔 波动方程
薛定谔波动方程
薛定谔波动方程是量子力学中的基本方程，用于描述微观粒子（如电子、质子等）的行为。
其一维时间依赖形式为：
iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + Vψ
其中，ψ是波函数，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，t是时间，m是粒子质量，x是位置，V是势能。
扩展一：波函数的物理含义
在薛定谔波动方程中，ψ被称为波函数，它的绝对值的平方|ψ|²表示粒子在给定位置的概率密度。
这是一个非常重要的概念，因为在量子力学中，粒子的位置并不是绝对确定的，而是以概率的形式存在。
这也就是所谓的波粒二象性，即微观粒子既表现出粒子性，也表现出波动性。
扩展二：薛定谔波动方程的解
薛定谔波动方程是一个二阶偏微分方程，其解通常需要用数学方法求解。
这些解表示了粒子可能的状态，包括粒子的能量、动量等物理量。
例如，在一个无限深势能井中，薛定谔方程的解是一系列的正弦函数和余弦函数，对应于粒子在势能井中的各个能级。
扩展三：薛定谔波动方程的应用
薛定谔波动方程在量子力学中有广泛的应用，它被用来描述电子在原子中的行为，从而解释了原子的稳定性和光谱线的产生。
此外，它还被用来解释诸如超导、量子隧道效应、量子纠缠等现象。
现代的许多技术，如激光、半导体、量子计算机等，都与薛定谔方程的应用密切相关。
总的来说，薛定谔波动方程是理解微观世界的关键，它展示了量子力学中的许多奇特现象，并成为现代物理的基础。
薛定谔方程
② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面， 则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。
③ 若势能V(r)具有一阶奇点，则波函数必须连 续，其一阶导数可以不连续。
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒 子状态随时间的变化规律。
2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验 证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能 从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确 性由它解出的结果是否符合实验来检验。
§2.3 薛定谔方程
② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面，则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 ② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面，则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。 3、薛定谔方程是线性方程。 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。
Quantum mechanics 在利用算符对应规则时，这些算符不具有坐标变换的不变性，例如，对极坐标
Quantum mechanics 薛定谔方程是量子力学的基本假定之一，是整个波动学的基础，不是推导出来的，它与牛顿方程在经典里写中的地位相仿。 在利用算符对应规则时，这些算符不具有坐标变换的不变性，例如，对极坐标 ② 若势能V(r)具有某一不连续间断点或间断面，则波函数及其一阶导数在该点或面处也处处连续。 三、关于薛定谔方程的说明 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。 3、薛定谔方程是线性方程。 是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。 ① 若势能V(r)处处连续，则波函数及其一阶导数也处处连续。
量子力学：薛定谔方程
ikx
Be
ikx
由边界条件，可得：
Ae Ae
ika ika
(a ) 0 ( a ) 0
Be
ika ika
0 0
Be
方程组具有非零解的条件是系数行列式应等于零
即
e e
ika
e
ika ika
ika
0
sin 2 ka 0
两缝同时打开
依次打开一个缝
b .双缝依次打开 上缝打开， p 1 ; 1 1 2＝P1 2 2＝P2 c.同时打开
p 22 1
2 2
下缝打开
p 2 ; 2
2
p 12 p 1 p 2 1
2 2
22 1 2
p 2 2 p 12
( r ) 满足的方程即是定态薛定谔方程。
2 ( t , r ) f ( t ) ( r )
2
代入薛定锷方程
i t
2
( t ,r ) t
f ( t ) (r ) t
2
U
2
2m
f(t ) 2 i ( r ) f ( t ) ( r ) Uf ( t ) ( r ) t 2m 两边同除 ( r ) f ( t )
其中：
En h t
a
n
( x, t)
n
(x) e
1 a
cos
nx 2a
e
i
En
2
2
n
2
8 ma
概率密度：
w ( x ) n ( x ) 1 a cos 1 sin a
量子力学——薛定谔方程
U（r） 力F
• 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时 刻的状态，即“态的演化过程”是确定的。
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
非定域性：
整个体系的 状态用3N个 空间坐标和 一个时间坐 标描述。
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
该满足以下三个条件：
• (1)单值性；
• (2)有限性；
• (3)连续性。
• 连续性通常意味着
和
都连续，
但在势能有无穷大跳跃的地方，
允许不连续。
§2.3 一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质
二阶常微分方程，容易求解 它的解有如下的规律
Wronskian定理
•若 能量相同)，则
3. 一维束缚态的一般性质
• 先引入一个概念－简并与非简并 – 如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波 函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非 简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函 数的个数称为它的简并度。
线性独立的定义：对常数c1，c2
一维束缚态不简并定理
• 定理：一维束缚态必是非简并态（ 可以由Wronskian定理证明）。
都是方程的解(
( c 是与 x 无关的常数)，
称为Wronskian定理。
Wronskian定理的证明
证明：定态方程的两个解满足
另外两个定理
• 共轭定理：若 的解，则
能量E相同)。
是定态行薛定谔程 也是该方程的解(且
• 反射定理：对 势)，那么若
(原点对称的 是该方程的解，则
也是该方程的解(且能量E相同)。
量子物理第二章薛定谔方程
a 2 o
2
dx
A2
a 2 sin2 n
a 2
a
xdx
A 2 a
x a 2
o
2 sin n x
aa
n 2,4,6
能 量
e
2 cos n x
aa
本
n 1,3,5 征
函 数
n 0 x f a 2
能量本征波函数：n (x, t) n (x)eiEnt h
本征波函数描述的粒子状态称为粒子的能量本征态。
可以分辨出表面单个原子和原子台阶，原子结构，超晶格 结构，表面缺陷细节，观测活体 DNA 基因，病毒。
STM
下图为镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显 微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的电 子形成驻波：
由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
积分 :
df (t) f (t)
i h
E
dt
i Et
f (t) e h
(x,
t) E (x) f
t
E
(
x)e
i h
Et
右边:
h2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
---- 一维定态薛定谔方程普遍形式
§2.2 无限深方势阱中的粒子
一 、 一维无限深势阱
1 、 势能曲线
E 为有限值，所以
(x a ,x a) 22
(x) 0
势阱内
h2 2m
d 2
dx2
0
E
( a x a )
2
2
d2
d x2
2mE h2
量子力学中的薛定谔方程求解方法
量子力学中的薛定谔方程求解方法量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学科，而薛定谔方程则是量子力学的基础方程之一。
薛定谔方程描述了微观粒子在各种势场中的运动规律，是解决量子力学问题的重要工具。
本文将探讨薛定谔方程的求解方法，包括定态薛定谔方程和时间相关薛定谔方程的求解。
首先，我们来讨论定态薛定谔方程的求解方法。
定态薛定谔方程描述了系统的能量本征态和能量本征值。
对于一维势场，定态薛定谔方程可以写成如下形式：$$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$$其中，$\hat{H}$是哈密顿算符，$\psi(x)$是波函数，$E$是能量本征值。
对于特定的势场，我们可以通过求解这个方程得到系统的能量本征值和能量本征态。
常见的求解方法有分离变量法、近似方法和数值计算方法。
分离变量法是求解定态薛定谔方程的一种常用方法。
该方法基于波函数的可分离性假设，即$\psi(x) = X(x)Y(y)Z(z)$，将多维问题分解为一维问题。
通过将方程进行分离变量，并利用边界条件，可以得到一系列的一维薛定谔方程。
这些方程可以通过解析或数值方法求解，得到系统的能量本征值和能量本征态。
近似方法是另一种常用的求解定态薛定谔方程的方法。
当势场复杂或无法直接求解时，可以采用近似方法来求解。
常见的近似方法有微扰法和变分法。
微扰法是将复杂势场分解为简单势场，然后通过对简单势场求解薛定谔方程的精确解，再加入微扰项进行修正。
变分法是通过选择适当的波函数形式，并通过变分原理来求解薛定谔方程。
这些近似方法在实际问题中得到了广泛应用，为求解复杂系统提供了有效的工具。
除了定态薛定谔方程，时间相关薛定谔方程也是量子力学中重要的方程。
时间相关薛定谔方程描述了系统随时间演化的规律。
对于定态问题，可以通过将时间相关薛定谔方程分解为定态薛定谔方程的线性组合来求解。
但对于时间相关问题，需要采用更加复杂的方法。
数值计算方法是求解时间相关薛定谔方程的一种常用方法。
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电子作为一个整体，只能在某处出现，决不会一半出现 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定，这 就是它的波动性的表现。
实物粒子也具有波粒二象性
电子在空间某处出现的概率正比于物质波的强度
即微观粒子的物质波是概率波。
则物质波的概率密度为：
(t,x,y,z) C Ψ(t,x,y,z)
2
•由归一化条件
Ω
w(t,x,y,z)dxdydz
1
Ω 2
C Ψ(t,x,y,z) dxdydz 1
2 Ω
( 全空间)
C 得：
Ψ(t,x,y,z) dxdydz
ω(t,x,y,z)
Ψ(t,x,y,z)
2 Ω
2
物质波的概率密度：
Ψ(t,x,y,z) dxdydz
引入归一波函数 Φ(t,x,y,z) 令： Φ(t,x,y,z) CΨ(t,x,y,z)
2m
描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系 首先由薛定谔得出，称为薛定谔方程。
一．动量为P．能量为E的自由粒子的薛定谔方程的建立 一维自由粒子物质波的波函数
( t , x ) 0e
求导
i ( Et p x x )
( x ,t ) － i E( x ,t ); t
p2 E U( t , x, y,z ) 2m
与上同样推导：
2 i U t 2m
概率振幅 概率密度
2. 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
两缝同时打开
依次打开一个缝
a.双缝同时打开
(1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 概率波的干涉结果
电子确是粒子，但电子 的去向是完全不确定的， 一个电子到达何处完全 是概率事件 这种概率在一定条件下 （经双缝）有确定的规律 在波强强度较强的地方， 单个事件发生的概率大； 在波强强度较弱的地方单 个事件发生的概率小
两缝同时打开
依次打开一个缝
b .双缝依次打开 上缝打开， p1 ; 1 1 2＝P1 2 2＝P2 c.同时打开 下缝打开
p2 ; 2
p12 p1 p 2 1 2
2
2
22 1 2
2
p22 1 2
p22 p12 多了一个干涉项
则 (t,x,y,z) C Ψ(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z)
2 2
(t,x,y,z) Φ(t,x,y,z)
2
此式表示物质波的波函数的物理意义：
即：波函数(归一化的)模的平方（即波强度）表 示物质波的概率密度。
例：将波函数 归一化
f x exp 2 x 2 2
即为一个沿X轴正向运动的．具有确定动量 P 和能量 E 的自由粒子的波函数。 三维空间运动的微观粒子，用 ( t , x , y , z ) 表示 其波函数。 经典物理中的机械波函数表示振移，而波强度表示 波的能流密度的时间平均值。对电磁波来说，波函 数表示或是电场强度或是磁场强度，而波的强度就 是坡印亭失量，这些都是可测量的量。
微观粒子的波函数表示什么？
二.波函数和概率波
德布罗意波的物理意义是什么？ 1.玻恩假定（1926）
爱因斯坦：关于电磁波和光子的关系，提出电磁波振幅的平方 决定了在各处的单位体积内一个光子存在的概率
(r , t ) 玻恩：物质波是概率 2 * 波 ( r , t ) ( r , t )( r , t )
3. 状态叠加原理
若体系具有一系列的可能状态
则
1，2，
＝C11＋C22＋
也是可能的状态
4. 波函数满足的条件 （1）自然条件：单值、有限和连续 （2） 归一化条件 全空间)
在汤姆逊电子衍射实验中，衍射图象上亮条纹处出 现的电子数目多。 亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。
方程为本征方程 ˆ 表示力学量 F 量子力学中用算符表示力学量。如果用 F
ˆ 的本征态 时，力学量 F 有确定值，这 当体系处于 F ˆ 在 态的本征值。 个值是 F
上面式中得：
px
2
2 2 2 E i t x
可得自由粒子 的薛定谔方程
2 px E＝ 由 2m 2 px 2 2 i E 2 t 2m 2m x
2 2 ( x ,t ) p x ( x ,t ) 2 2 x
ˆu v 算符：作用于一个函数上得出另外一个函数的符号。 F
dx d 如: dt v, dt 就是算符 ˆ 作用于一个函数 等于 乘一个常数 ， 如果算符 F ˆ 即F 为本征函数， 为本征值， 则：
设归一化因子为C，则归一化的波函数为
(x)= C exp(-2x2/2)
( x ) dx 1
2
计算积分得 Ｃ２＝／１／２
Ｃ＝（／１／２）１／２ｅｉ
取 ＝0，则归一化的波函数为
(x)=（／１／２）１／２ exp(-2x2/2)
§20.2
薛定谔方程
有了波，就应该有一个描述波的方程，德拜说。 方程应有下面的性质： 1、方程应是线性的。即 1 与 2 是方程的解，那么 c11 c2 2 是方程的解，其中 c1 , c 2 是复数 2 p 2、能量—动量关系一致。与 E 2 E02 p 2 c 2或 E U 没有矛盾 p2 p2 U con. con. 或 E 3、能量守恒。自由粒 E 2m 2m 子 4、可以描述平面波。 5、一定条件下，与波动方程一致。 6、粒子数守恒。 7、应含有 h
2 2 i 2 t 2 m x
一维自由粒子的薛定谔方程 三维自由粒子的薛定谔方程：
2 2 i t 2m
2 2 2 2 2 2 2 式中： x y z
称为拉普拉斯算符
二．薛定谔一般方程 当粒子处在势场中时，粒子的能量