河南省郑州市2015届高三上学期第一次质量预测数学(理)试题 扫描版含答案
2015年河南省郑州市新郑三中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）≥0}，B＝{x|x≥2}，全集U＝R，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x＝3}D．∅2．（5分）复数z＝在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为（）A．780B．680C．648D．4604．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．112B．80C．72D．645．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）＝|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣67．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|＝r（r＞0），定义：si cosθ＝，称“si cosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y＝si cos x，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x＝对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝19．（5分）点P是曲线x2﹣y﹣lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．10．（5分）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．212B．29C．28D．2612．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣，设F（x）＝f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为（）A．﹣1B．﹣4C．﹣7D．﹣3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为．14．（5分）如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2＝1于点A、B、C、D，则的值是．15．（5分）椭圆+＝1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x＝m 与椭圆交于点A，B，△F AB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．16．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n＝2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，右焦点到直线+＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ax在x＝﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）＝b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O 交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2＝DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|，（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a＝1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c ＝m，求证：a2+b2+c2≥3．2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）≥0}，B＝{x|x≥2}，全集U＝R，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x＝3}D．∅【解答】解：由A中的不等式变形得：lg（x﹣2）≥0＝lg1，得到x﹣2≥1，即x ≥3，∴A＝{x|x≥3}，∵全集U＝R，∴∁U A＝{x|x＜3}，∵B＝{x|x≥2}，∴（∁U A）∩B＝{x|2≤x＜3}．故选：B．2．（5分）复数z＝在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵复数＝＝﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为（）A．780B．680C．648D．460【解答】解：根据题意，得样本数据落在[6，14）内的频率是1﹣（0.02+0.03+0.03）×4＝0.68；∴样本数据落在[6，14）内的频数是1000×0.68＝680．故选：B．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．112B．80C．72D．64【解答】解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3＝4×4×4＝64则V正方体＝16故V＝64+16＝80故选：B．5．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n＝2＜4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n＝4＝4，∴继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3；∵n＝6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t．故选：B．6．（5分）已知f（x）＝|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，则二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣6【解答】解：f（x）＝|x+2|+|x﹣4|的最小值是n，f（x）＝|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴n＝6，二项式（x﹣）n＝（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r •x6﹣2r，令6﹣2r＝4，求得r＝1，可得二项式（x﹣）n展开式中x4项的系数为﹣6，故选：D．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|＝r（r＞0），定义：si cosθ＝，称“si cosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y＝si cos x，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[﹣，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x＝对称；④该函数的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①根据三角函数的定义可知x0＝r cos x，y0＝r sin x，所以si cosθ＝＝＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），因为，所以sin（x﹣），即该函数的值域为[﹣，]；②因为f（0）＝sin（）＝﹣1≠0，所以该函数图象不关于原点对称；③当x＝时，f（）＝sin＝，所以该函数图象关于直线x＝对称；④因为y＝f（x）＝si cosθ＝sin（x﹣），所以由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，即该函数的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．综上，可得这些性质中正确的有2个：①③．故选：B．8．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2＝1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1的渐近线方程为y＝±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2＝4b2∴a2＝20，b2＝5∴椭圆方程为：+＝1故选：D．9．（5分）点P是曲线x2﹣y﹣lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为（）A．1B．C．D．【解答】解：点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x﹣2平行时，点P到直线y＝x﹣2的距离最小．直线y＝x﹣2的斜率等于1，令y＝x2﹣lnx的导数y′＝2x﹣＝1，x＝1，或x＝﹣（舍去），故曲线y＝x2﹣lnx上和直线y＝x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y＝x﹣2的距离等于，故点P到直线y＝x﹣2的最小距离为，故选：D．10．（5分）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）＝x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω＝{（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S＝（2π）2＝4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s＝4π2﹣π2＝3π2，由几何概型公式得到P＝，故选：B．11．（5分）等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．212B．29C．28D．26【解答】解：∵f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）＝x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]，∴f′（x）＝（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）]′，考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a2a3…a8＝（a1a8）4＝212．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣，设F（x）＝f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b﹣a取得最小值时，a+b的值为（）A．﹣1B．﹣4C．﹣7D．﹣3【解答】解：∵f（x）＝1+x﹣，∴f′（x）＝1﹣x+x2﹣x3+ (x2010)x＞﹣1时，f′（x）＞0，f′（﹣1）＝1＞0，x＜﹣1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0∴函数f（x）在[﹣1，0]上有一个零点；∴函数f（x+3）在[﹣4，﹣3]上有一个零点，∴a＝﹣4，b＝﹣3∴a+b＝﹣7．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为36π．【解答】解：在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以正三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA＝2，正三棱锥S﹣ABC的外接球即为棱长为2的正方体的外接球．则外接球的直径2R＝＝6，所以外接球的半径为：3．故正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积S＝4•πR2＝36π．．故答案为：36π．14．（5分）如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y﹣1）2＝1于点A、B、C、D，则的值是1．【解答】解：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点F（0，1），则设直线AD方程为：y＝kx+1，联立消去x，得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，∴y1+y2＝2+4k2，y1•y2＝1又根据抛物线定义得AF＝，FD＝，∴AF＝y1+1，FD＝y2+1＝＝（AF﹣1）（FD﹣1）＝y1•y2＝1．故答案为115．（5分）椭圆+＝1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△F AB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．【解答】解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△F AB的周长为：AB+AF+BF＝AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）＝4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△F AB的周长：AB+AF+BF＝4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△F AB的周长的最大值是4a＝12⇒a＝3；∴e＝＝＝．故答案：．16．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．【解答】解：由题意可得﹣log3a＝log3b＝c2﹣c+8＝d2﹣d+8，可得log3（ab）＝0，故ab＝1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）＝1可得c＝3、d＝7、cd＝21．令f（x）＝0可得c＝4、d＝6、cd＝24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝p（S n﹣a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n＝2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）当n＝1时，，得．当n≥2时，，，，即．两式相减得a n＝pa n﹣1故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1＝6a3+a2，，化为6p2+p﹣2＝0．解得p＝或（舍去）．∴＝．（II）由（I）得，则，+（2n﹣1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得﹣T n＝3×2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n+1）×2n+1＝＝﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1，∴．18．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，…（2分）根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2＝＝3∵3＞2.706…（3分）∴有1﹣0.10＝90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（4分）（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则…（5分）…（6分）…（7分）…（8分）…（9分）ξ的分布列为…（10分）ξ数学期望…（12分）19．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．【解答】（I）证明：在Rt&△DEF中，∵ED＝DF，∴∠DEF＝45°，在Rt△ABE中，∵AE＝AB，∴∠AEB＝45°，∴∠BEF＝90°，∴EF⊥BE，（3分）∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（6分）（II）解：由题意，不妨设AD＝3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．（7分）∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，∴，∴．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）．由及，得到，∴＝．又由•及•，得到，∴＝，（9分），（11分）综上所述，二面角E﹣PF﹣C大小为150°．（12分）20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，右焦点到直线+＝1的距离d＝，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，右焦点（c，0）到直线的距离，则，且b2+c2＝1，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程是：（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）那么：，则（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，∴x1x2+y1y2＝0，∴x1x2+（kx1﹣m）（kx2﹣m）＝0，∴，化简得，即∴O到直线l的距离为21．（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ax在x＝﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）＝b（e x﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．求导数，得f′（x）＝﹣a．由已知，∵函数f（x）＝ln（1+x）﹣ax在x＝﹣处的切线的斜率为1∴f′（﹣）＝1，即﹣a＝1，∴a＝1．此时f（x）＝ln（1+x）﹣x，f′（x）＝﹣1＝，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴当x＝0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，∴f（x）max＝f（0）＝0．…（4分）（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x＝0时，等号成立．令x＝（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln，∴＞ln（k+1）﹣lnk（k＝1，2，…，n）．将上述n个不等式依次相加，得1+++…+＞（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+[ln（n+1）﹣lnn]，∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…（10分）法（二）：用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，左边＝1＝lne，右边＝ln2，∴左边＞右边，不等式成立．（2）假设当n＝k时，不等式成立，即1+++…+＞ln（k+1）．那么1+++…++＞ln（k+1）+，由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞﹣1，且x≠0）．令x＝，则＞ln（1+）＝ln，∴ln（k+1）+＞ln（k+1）+ln＝ln（k+2），∴1+++…++＞ln（k+2）．即当n＝k+1时，不等式也成立．…（10分）根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅲ）解：∵f（0）＝0，g（0）＝b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max＝f（0）＝0．（1）当b＝0时，g（x）＝0，此时f（x）≤g（x）恒成立；（2）当b＞0时，g′（x）＝b（e x﹣1），当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）在x＝0处取得极小值，即为最小值，∴g（x）min＝g（0）＝b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…（14分）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修1-4：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O 交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2＝DM•AC+DM•AB．【解答】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB＝90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE＝BD．又∵OE＝OB，OD＝OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED＝∠OBD＝90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2＝DM•DH＝DM•（DO+OH）＝DM•DO+DM•OH．∵OH＝，OD为△ABC的中位线，得DO＝，∴，化简得2DE2＝DM•AC+DM•AB．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2＝1上，∴x2+＝1，即曲线C的方程为x2+＝1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1＝（x﹣），即x﹣2y+＝0．再根据x＝ρcosα、y＝ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+＝0，即ρ＝．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|，（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a＝1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c ＝m，求证：a2+b2+c2≥3．【解答】（Ⅰ）解：当a＝﹣3时，f（x）≥3⇔|x﹣3|+|x﹣2|≥3或或⇔x≤1或x≥4，则解集为（﹣∞，1]∪[4，+∞）；（Ⅱ）证明：由于|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，则f（x）的最小值为3，即m＝3．即有a+b+c＝3，又a，b，c为正实数，则有（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2＝9，即有a2+b2+c2≥3．。
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测物理试题(扫描版)
某某省某某市2015届高三第一次质量预测物理试题2015年高中毕业年级第一次质量预测物理参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分。
答案填涂在答题卡的相应位置。
）1D 2B 3C 4D 5C 6A 7AD 8BC 9AC 10BD二、实验题（本题共3小题，共17分。
请把分析结果填在答题卡上或按题目要求作答。
）11．CD（4分）12．30.40 mm，0.825 mm（4分）13．(1) 如右图所示（2分）(2) 增大（1分）(3) 如右图所示，1.0 Ω（4分）(4) 0.82 W（0.80—0.84 W，2分）三、计算题（本题共4小题，共43分。
解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。
只写最后答案的不能得分。
有数值计算的题，答案中必须写出数值和单位。
）14．①列车从静止加速至最大速度过程所用时间为t1=vm/a=20 s……………………………………………………………（1分）运动位移为x1=v m 2/(2a)=200 m……………………………………………………（1分）故列车加速至最大速度后立即做减速运动………………………………………（1分）列车在两站间运动总时间为t车=2t1 =40 s…………………………………………（1分）运动员在地面道路奔跑的最长时间为t=2ta+2t1-tb=50 s…………………………（1分）最小平均速度为v=x /t=8 m/s………………………………………………………（1分）②列车在某某地铁这两站间运动总时间为t车′=2t1+( x ′- x )/ v m =70 s…………（1分）运动员在地面道路奔跑的时间为t′=2ta′+t总-tb′=100 s……………………………（1分）能赶上列车的平均速度为v′=x′/t′=10 m/s…………………………………………（1分）因v′＞v，故不能挑战成功…………………………………………………………（1分）15．①宇航员在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小。
河南省郑州市2015届高三数学第一次质量预测试题 理(含解析)
河南省郑州市2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}|12M x x =-<<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( ) A.()2,+∞ B. [2,)+∞ C. (),1-∞- D. (,1]-∞-考点：集合的包含关系判断及应用．. 专题：集合．分析：由集合M={x|﹣1＜x ＜2}，N={x|x ＜a}，M ⊆N ，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论解答：解：∵集合M={x|﹣1＜x ＜2}，N={x|x ＜a}，M ⊆N ， ∴a≥2，实数a 的取值范围是[2，+∞）故选B ．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错．2. 在复平面内与复数512iz i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A. 12i +B. 12i -C. 2i -+D. 2i + 考点：复数代数形式的乘除运算．. 专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．解答：解：复数===2+i 所对应的点（2，1）关于虚轴对称的点为A （﹣2，1）， ∴A 对应的复数为﹣2+i ． 故选：C ．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题． 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 2-考点：等差数列的前n项和．.专题：等差数列与等比数列．分析：由题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差．解答：解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=0，∴，解得a1=4，d=﹣2．故选D．点评：本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．4. 命题:p“2a=-”是命题:q“直线310ax y+-=与直线6430x y+-=垂直”成立的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．.专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．5. 已知点(),P a b是抛物线220x y=上一点，焦点为F，25PF=，则ab=（）A. 100B.200C.360D.400考点：抛物线的简单性质．.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．解答：解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．点评：本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．6. 已知点(),P x y的坐标满足条件11350xy xx y≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，那么点P到直线34130x y--=的最小值为（）A. 115 B. 2 C.95 D. 1考点：简单线性规划．.专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）A. 32 B. 327C.64D. 647考点：简单空间图形的三视图．.专题：不等式的解法及应用；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值．解答：解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=128≥2xy，∴xy≤64，即xy的最大值为64，故选：C点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，基本不等式的应用，难度中档．8. 如图，函数()()sinf x A xωϕ=+（其中0,0,2Aπωϕ>>≤）与坐标轴的三个交点,,P Q R满足()1,0P，(),2,24PQR Mπ∠=-为线段QR的中点，则A的值为（）A. 23B. 73 3C. 833 D. 43考点：正弦函数的图象．.专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得Q，R的坐标，利用距离公式求出周期，ω的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．解答：解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，∴可得Q（4，0），R（0，﹣4），|PQ|=3，T=6=，解得ω=，∴函数经过Q，R，有∵|∅|∴∅=﹣∴解得A=．故选：C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基本知识的考查．9. .如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x xg x x=-+=+，且()h x m≥恒成立，则m的最大值是（）A. 4B.3C. 1D. 0考点：程序框图．.专题：图表型；函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．解答：解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：B．点评：本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查．10. 设函数()()224,ln25xf x e xg x x x=+-=+-，若实数,a b分别是()(),f xg x的零点，则（ ） A. ()()0g a f b << B. ()()0f b g a << C.()()0g a f b << D.()()0f bg a <<考点：函数零点的判定定理．. 专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f （1）=e ﹣2＞0，g （1）=0+2﹣5＜0，得出a ＜1，b ＞1，再运用单调性得出g （a ）＜g （1）＜0，f （b ）＞f （1）＞0，即可选择答案． 解答：解：∵函数f （x ）=ex+2x ﹣4，g （x ）=lnx+2x2﹣5， ∴f （x ）与g （x ）在各自的定义域上为增函数， ∵f （1）=e ﹣2＞0，g （1）=0+2﹣5＜0， ∴若实数a ，b 分别是f （x ），g （x ）的零点， ∴a ＜1，b ＞1，∵g （a ）＜g （1）＜0，f （b ）＞f （1）＞0， 故选： A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可． 11. 在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.[]2,4 C. []3,6 D. []4,6考点：平面向量数量积的运算．. 专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB 所在直线的方程，设出M ，N 的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．解答：解：以C 为坐标原点，CA 为x 轴建立平面坐标系，则A （30），B （0，3，∴AB 所在直线的方程为：y=3﹣x ， 设M （a ，3﹣a ），N （b ，3﹣b ），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a ＞b ， ∵MN=，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣a ）2=2， ∴a ﹣b=1， ∴a=b+1， ∴0≤b≤2， ∴=（a ，3﹣a ）•（b ，3﹣b ）=2ab ﹣3（a+b ）+9 =2（b2﹣2b+3），0≤b≤2， ∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6， ∴的取值范围为[4，6]故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12. 设函数()()()122015,log ,1,2,,20152015i if x x f x x a i ====…，记()()()()2132k k k k k I f a f a f a f a =-+-+…()()20152014k k f a f a +-，1,2k =，则（ ）A.12I I < B.12I I = C.12I I > D. 无法确定考点：对数的运算性质．.专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（ai+1）﹣f1（ai）==．可得I1=×2014．由于fi+1（ai+1）﹣fi（ai）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（ai+1）﹣f1（ai）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（ai+1）﹣f2（ai）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．第II卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13. 已知等比数列{}na，前n项和为nS，12453,64a a a a+=+=，则6S=考点：等比数列的前n项和．.专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{an}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{an}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14. 已知20cos a xdx π=⎰，在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的一次项系数的值为 考点：二项式系数的性质；定积分．.专题：概率与统计．分析：利用微积分基本定理可得a==1，于是二项式=，再利用展开式的通项公式即可得出．解答：解：==1， ∴二项式=，其通项公式Tr+1==（﹣1）r，令10﹣3r=1，解得r=3． ∴T4==﹣10x ，∴一次项系数的值为﹣10． 故答案为：﹣10．点评：本题考查了微积分基本定理、二项式的通项公式，属于基础题． 15. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D∈，当122x x a+=时，恒有()()122f x f x b+=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()19120f f ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭…()19120ff ⎛⎫++= ⎪⎝⎭考点：函数的值．.专题：函数的性质及应用．分析：函数f （x ）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f （x1）+f （x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论 解答：解：∵f （x ）=x3+sinx+2，∴f ′（x ）=3x2﹣cosx ，f''（x ）=6x+sinx ， ∴f''（0）=0，而f （x ）+f （﹣x ）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f （x ）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．16.给定方程：1sin102xx⎛⎫+-=⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x是方程的实数根，则01x>-.正确命题是考点：命题的真假判断与应用．.专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，D 为边AC 的中点，232,cos 4a ABC =∠=（I ）若3c =，求sin ACB ∠的值；（II ）若3BD =，求ABC ∆的面积.考点：正弦定理；余弦定理．.专题：计算题；三角函数的求值；解三角形． 分析：（Ⅰ）运用余弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；（Ⅱ） 以BA ，BC 为邻边作平行四边形ABCE ，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到．解答：解：（Ⅰ），c=3，由余弦定理：b2=c2+a2﹣2cacos ∠ABC =，∴．又∠ABC ∈（0，π），所以，由正弦定理：，得．（Ⅱ） 以BA ，BC 为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图， 则，BE=2BD=6，在△BCE 中，由余弦定理：BE2=CB2+CE2﹣2CB•CE•co s ∠BCE ． 即，解得：CE=3，即AB=3， 所以．点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查诱导公式和同角的平方关系的运用，属于基础题． 18.(本小题满分12分)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为23p =，背诵错误的的概率为13q =，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为n S ”.（I ） 求620S =且()01,2,3i S i ≥=的概率；（II ）记5S ξ=，求ξ的分布列及数学期望.考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．.专题：计算题；概率与统计． 分析：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，分类求概率求和； （Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，从而分别求概率以列出分布列，再求数学期望． 解答：解：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首， 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50， 又，∴， ，．∴ξ的分布列为： ξ 1030 50∴．点评：本题考查了概率的求法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，190,1,22ADC BC AD PD CD ∠=︒====，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 上一点.（I ）试确定点M 的位置，使得||PA 平面BMQ ，并证明你的结论； （II ）若2PM MC =，求二面角P BQ M --的余弦值.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．. 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）当M 为PC 中点时，PA ∥平面BMQ ，连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，则MN ∥PA ，由此能证明PA ∥平面BMQ ．（Ⅱ）以点D 为原点DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P ﹣BQ ﹣M 的余弦值． 解答：解：（Ⅰ）当M 为PC 中点时，PA ∥平面BMQ ，…（2分） 理由如下：连结AC 交BQ 于N ，连结MN ， 因为∠ADC=90°，Q 为AD 的中点， 所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM=MC 时，MN 为△PAC 的中位线，…（4分） 故MN ∥PA ，又MN ⊂平面BMQ ，PA ⊈平面BMQ ， 所以PA ∥平面BMQ ．…（5分）（Ⅱ）由题意，以点D 为原点DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，…（6分） 则P （0，0，2），Q （1，0，0），B （1，2，0），…（7分） 由PM=2MC 可得点，所以，设平面PQB 的法向量为， 则令z=1，∴，…（9分）同理平面MBQ 的法向量为，…（10分）设二面角大小为θ，．∴二面角P﹣BQ﹣M 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查使得直线与平面平行的点的位置确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.（本小题满分12分）已知动点P到定点()1,0F和直线:2l x=的距离之比为22，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于,A B两点，直线:l y mx n=+与曲线E交于,C D两点，与线段AB相交于一点（与,A B不重合）（I）求曲线E的方程；（II）当直线与圆221x y+=相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题．.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C （x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E 的方程是．（2）设C （x1，y1），D （x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l 与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y 得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意． 点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21. （本小题满分12分） 已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.（I ）当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（II ）当0a >时，设函数()()2g x f x x =--，且函数()g x 有且仅有一个零点，若2e x e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．. 专题：导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g （x）max，即可求得m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP交圆于,E C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG PD=，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（I）求证：AB为圆的直径；（II）若,5AC BD AB==，求弦DE的长.考点：与圆有关的比例线段；直线和圆的方程的应用．.专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED长可求．解答：（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为22cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线的参数方程为122x ty t=⎧⎪⎨=-+⎪⎩（为参数），直线和圆C交于,A B两点，P 是圆C上不同于,A B的任意一点.（I）求圆心的极坐标；（II）求PAB∆面积的最大值.考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．.专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质．. 专题：不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 解答：解：（Ⅰ）当m=5时，，由f （x ）＞2可得 ①，或 ②，或 ③．解①求得﹣＜x ＜﹣1，解②求得﹣1≤x ＜0，解③求得x ∈∅，易得不等式即4﹣3x ＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f （x ）的图象恒有公共点，只需m ﹣2≥2， 求得m≥4．．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试_数学(理)_含答案
中原名校2014-2015学年上期第一次摸底考试高三数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.己知集合\{}{}=|1,,|2A y y x x R B x x =-∈=≥，则下列结论正确的是 A.3A -∈ B.3 B C. A B B ⋃= D. A B B ⋂=2.己知2(,)a ib i a b R i+=+∈．其中i 为虚数单位，则a+b= A.-1 B. 1 C. 2 D ．33.设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为 A.73 B.35 C.53 D ．754某程序框图如右图所示，则输出的n 值是A. 21 B 22 C ．23 D ．24 5己知函数()ln 4xf x x =-，则函数()f x 的零点所在的区间是 A.(0,1) B (1,2) C.(2,3) D(3,4) 6.如图，在边长为e （e 为自然对数的 底数）的正方形中随机撒一粒黄豆， 则它落到阴影部分的概率为A.1e B.2e C.22e D.21e7.若4cos 5θ=-，θ是第三象限的角,则1tan21tan2θθ-+= A.12 B.12- C.35D ．-28.已知a>0，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若z=2x+y 的最小值为1，a=A.14 B. 12C. 1D. 2 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，且2n a n λ=+，若数列{}n S 在7n ≥时为 递增数列，则实数λ的取值范围为A. (-15,+∞) B[-15,+∞) C.[-16,+∞) D. (-16,+∞)10若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则5501234552a a a a a a +++++-等于A ．55B ．-l C.52 D ．52- 11．”a<0”是”函数()(2)f x x x a =-在区间(0,)+∞上单调递增”的 A.必要不充分条件 B.充要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件12已知一函数满足x>0时，有2()'()2g x g x x x=>，则下列结论一定成立的是 A ．(2)(1)32g g -≤ B ．(2)(1)32g g -> C.(2)(1)42g g -< D ．(2)(1)42g g -≥ 第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省八校2015届高三数学上学期第一次联考试卷理含解析
河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π3．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.94．（5分）设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对5．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣17．（5分）若表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．98．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣，﹣4）D．（2，）9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin=，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A．0 B．6 C．9 D．1210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或212．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．14．（5分）若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于．15．（5分）已知函数f（x）=e sinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是．16．（5分）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．18．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．五、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-4：坐标素与参数方程23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．六、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？河南省八校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先把复数的分子分母都乘以分母的共轭复数，化为1﹣i，进而可判断出所对应的点位于的象限．解答：解：∵===1﹣i．∴复数对应的点是（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的除法运算及其几何意义，熟练掌握以上有关知识是解决问题的关键．2．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：将已知中等式中的定积分化简求值，化为关于t的三角函数方程解之．解答：解：因为﹣cosxdx=﹣sinx=0，所以sin2t=0，因为t∈（0，π），所以2t=π，所以t=；故选：B．点评：本题考查了定积分的计算以及三角函数求值，属于基础题．3．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.9考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据ξ服从正态分布N（2，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=2，根据所给的ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，根据正态曲线的对称性知在（0，+∞）内取值的概率．解答：解：∵ξ服从正态分布N（2，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=2，∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，∴根据正态曲线的性质知在（0，+∞）内取值的概率为0.4+0.5=0.9．故选：D．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．4．（5分）设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得f′（x）=3x2﹣4x ﹣m，3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，求出m的范围，再根据充分必要条件可判断答案．解答：解：∵f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2﹣4x﹣m，即3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，所以△=16+12m≤0，即m≥﹣，∵p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件，故选：C点评：本题考查了充分必要条件的判断方法，结合导数判断求解，难度适中，有点综合性．5．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦化简原函数，然后利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得m的最小值．解答：解：设y=f（x）=cosx+sinx（x∈R），化简得f（x）=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin=2sin（x+m+），∵所得的图象关于原点对称，∴m+=kπ（k∈Z），则m的最小正值为．故选：D．点评：本题考查了三角函数的图象平移，考查了两角和的正弦公式，考查了三角函数的性质，是基础题．6．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．7．（5分）若表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．4 B．5 C．7 D．9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出该程序运行后输出的S的值．解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，S=0+=0，0＞4，否；n=1，S=0+=1，1＞4，否；n=2，S=1+=2，2＞4，否；n=3，S=2+=3，3＞4，否；n=4，S=3+=5，4＞4，否；n=5，S=5+=7，5＞4，是；输出S=7．故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序运行后的结果是什么．8．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣，﹣4）D．（2，）考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4，由此求出过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的斜率，从而求得直线的一个方向向量．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+d=10，2a1+5d=26，解得a1=3，d=4．故过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的斜率等于d==4，故过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量应和向量（1，4）平行，故选：A．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，直线的斜率的求法，直线的方向向量，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin=，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A．0 B．6 C．9 D．12考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：过点C作CO⊥AB，垂足为O．如图所示，．由sin=，可得=，CO，AO=OB=．分别取点P靠近点B，A的三等分点．可得P．利用向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算即可得出．解答：解：过点C作CO⊥AB，垂足为O．如图所示，．∵sin=，∴==．∴CO=．∴AO=OB==．取点P靠近点B的三等分点．则P．∴•+•==2•=6．同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．∴•+•=6．故选：B．点评：本题考查了向量的三角形法则、坐标运算、数量积运算、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．解答：解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键．11．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．0 D．0或2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．解答：解：由于函数，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函在R上的零点个数为0，故选C．点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．解答：解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的几何量是关键．14．（5分）若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于10．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：对已知等式求导数，对求导后的等式中的x赋值1，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值．解答：解：对等式两边求导数得10（2x﹣3）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4令x=1得10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，故答案为10点评：本题考查复合函数的求导法则、考查赋值法求展开式的系数和常用的方法．15．（5分）已知函数f（x）=e sinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：令t=sinx+cosx=sin（x+），则t∈，且sin2x=t2﹣1，利用导数法分析y=e t﹣（t2﹣1）在上单调性，进而可得答案．解答：解：令t=sinx+cosx=sin（x+），则t∈，且sin2x=t2﹣1，则y=f（x）=e t﹣（t2﹣1），∵y′=e t﹣t＞0在t∈时恒成立，故y=e t﹣（t2﹣1）在上为增函数，故函数f（x）的最大值与最小值的差是y|﹣y|=（）﹣（）=，故答案为：点评：本题主要考查函数求最值，常要借助函数的单调性，因为本题构成比较复杂，所以采用换元法简化函数的解析式．16．（5分）下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是①④．考点：命题的否定；函数奇偶性的性质．专题：压轴题；规律型．分析：根据含量词的命题的否定形式判断出①对，根据二倍角正弦公式先化简函数，再利用三角函数的周期公式求出函数的周期判断出②错；写出否命题，利用特例即可判断③错；根据函数的奇偶性求出f（x）在x＜0时的解析式，判断出④对．解答：解：对于①，根据含量词的命题的否定是量词互换，结论否定，故①对对于②，，所以周期T=，故②错对于③，“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题为“函数f（x）在x=x0处没有极值，则f′（x0）≠0”，例如y=x3，x=0时，不是极值点，但是f′（0）=0，所以③错对于④，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）为奇函数，∴f（x）=﹣2﹣x，故④对故答案为①④点评：求含量词的命题的否定，应该将量词”任意“与”存在“互换，同时结论否定；函数的极值点要满足导数为0且左右两边的导数符号相反．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1得：2cosAcosC（﹣1）=1，∴2（sinAsinC﹣cosAcosC）=1，即cos（A+C）=﹣，∴cosB=﹣cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cosB==，∴=，又a+c=，b=，∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=，∴S△ABC=acsinB=××=．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），故P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A i（i=0，1，2，3，4），∴P（A i）=（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是ξ 0 2 4P数学期望Eξ=点评：本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，则．由，得a=4∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0由△＞0，解得﹣4＜t＜4…（6分）由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12．∴==．由此可得：四边形APBQ的面积∴当t=0，．…（8分）②解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）由（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0∴…（10分）同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴…（12分）所以AB的斜率为定值．…（14分）点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|进行化简整理，转化成研究g （x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．则当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．故f（x）在单调增加，在单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①令g（x）=f（x）+4x，则①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即．从而故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．解答：（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）所以，所以BC=2．（10分）点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．五、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-4：坐标素与参数方程23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）应用代入法，将t=x+3代入y=t，即可得到直线l的普通方程；将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程，即得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）由圆的参数方程设出点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根据点到直线的距离公式得到d的式子，并应用三角函数的两角和的余弦公式，以及三角函数的值域化简，即可得到d 的范围．解答：解：（ I）直线l的参数方程为（t为参数），将t=x+3代入y=t，得直线l的普通方程为x﹣y=0；曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4；（ II）设点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，则d==，∴d的取值范围是：．点评：本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，同时考查圆上一点到直线的距离的最值，本题也可利用圆上一点到直线的距离的最大（最小）是圆心到直线的距离加半径（减半径）．六、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？考点：对数的运算性质；绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；选作题．分析：（1）转化成绝对值不等式，令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．（2）解决恒成立问题，可将问题转化为研究函数f（x）的最大值小于m即可．解答：解：（1）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，可得其解集为{x|2＜x＜7}．（2）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，x≥7时，lgt=1，故只需m＞1即可，即m＞1时，f（x）＜m恒成立．点评：本题考查了对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，所谓零点分段法，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．。
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学(文)试题含答案
2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题3:0,0P x x ∀>>，那么P ⌝是( ) A. 30,0x x ∃≤≤ B. 30,0x x ∀>≤ C. 30,0x x ∃>≤ D. 30,0x x ∀<≤2.已知集合{}|20M x x =-<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( ) A. [2,)+∞ B. ()2,+∞ C. (),0-∞ D. (,0]-∞3. 设i 是虚数单位，若复数()03m m R i1+∈+是纯虚数，则m 的值为( ) A. 3- B. 1- C.1 D.34.已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ）A. 100B.200C.360D.400 5.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12310a a a =，且15515S S =，则2a =（ ） A. 2 B.3 C.4 D.5 6.已知长方体的底面是边长为1的正方形，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（ ）A.1B.C.2D. 7.如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 48.已知点(),P x y 的坐标满足条件1230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A. 17B.18C. 20D.219.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()351f f -==，()'f x 是()f x 的导函数，且函数()'y f x =的图象如右图所示，则不等式()1f x <的解集是（ ）A. ()3,0-B. ()3,5-C. ()0,5D. ()(),35,-∞-+∞10.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点,B C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于,D E 两点，则()()BD BE BE CE +⋅-的值为（ ）A. 1-B. 12- C.12D. 2 11. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()201520142013f f f -+-+-+…()()20142015f f ++=( )A. 0B. 2014C. 4028D. 4031 12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN⋅的取值范围为（ ）A. []3,6B. []4,6C. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []2,4第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13. 已知数列{}n a 是等比数列，若143,62a a ==，则10a = 14. 我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是15. 已知51sin 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos 2α= 16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-. 正确命题是三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足2220a b c --=，2sin b A a =，BC 边上中线AM（I ）求角A 和角B 的大小；（II ）求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.（I ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率； （II ）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（I ）证明：||PA 平面BMQ ；（II ）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）设a 是实数，函数()()2212ln f x ax a x x =+--.（I ）讨论函数()f x 的单调区间；（II ）设定义在D 上的函数()y g x =在点()00,P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()0g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“平衡点”. 当1a =时，试问函数()y f x =是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数），直线l 和圆C 交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.（I ）求圆心的极坐标；（II ）求PAB ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB 二、填空题 13.96；14.50；15.87-；16.2,3,4. 三、解答题17．解：(1).由03222=+--bc c b a 得bc c b a 3222-=--222cos 22b c a A bc +-∴==.6A π= ………… 4分由a A b =sin 2，得21sin =B . 故6π=B ．………6分(2).设x BC AC ==，由余弦定理得222214)21(224=-⋅⋅-+=x x x x AM ，………8分 解得22=x ，……10分 故3223222221ABC =⋅⋅⋅=∆S ……………………12分 18.解：用(,)x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、)5,1(、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、)52(、、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、)53(、、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、)5,4(、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(、)5,5(共25个； …………………4分(1).设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2、()4,3、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(，共有10个；…………………6分则 522510)(==A P .…………………8分 (2).设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C . 事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1，共有10个；则522510)B (==P ，…………………10分 所以53)(1)(=-=B P C P . …………………11分因为()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. ……………………12分19.解：(1).连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．…………………2分当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………5分 (2).由(1)可知，//PA 平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，取CD 的中点K ，连结MK ，所以//MK PD ，112MK PD ==，…………7分又PA ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又112BC AD ==，2PD CD ==，所以1AQ =，2BQ =，1,MQ NQ ==…………………10分所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==111323AQ BQ MK =⋅⋅⋅⋅=.BQM S ∆=…………………11分 则点P 到平面BMQ 的距离d =223=∆-BMQBMQ P S V …………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .…………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：2||=AB ，当0=m 时，不合题意.当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221n m =+NCQ MPBDA联立22,1,2y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………7分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m，1222222121mn mn x x m m --==++ 所以，2121222422,,2121mn n x x x x m m --+==++ ||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=212||||m m ≤+……10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m时等号成立，此时n = 经检验可知，直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………12分 21.解：（1）xx ax x x a ax x a ax x f )1)(22(2)1(222)1(22)('2+-=--+=--+=)0(>x当0≤a 时，0)('≤x f 在0>x 上恒成立；…………………2分当0>a 时，在)1,0(a x ∈时，0)('<x f ，当),1(+∞∈ax 时，0)('>x f 所以，当0≤a 时，)(x f 的减区间为(0,+∞)；…………………4分当0>a 时，)(x f 的减区间为)1,0(a ，增区间为),1(+∞a. …………………6分 （2）设00(,)P x y 为函数x x x f ln 2)(2-=图像上一点，则函数)(x f y =在点P 处的切线方程为：))(22(ln 2000020x x x x x x y --=+- 即：00200ln 2222)(x x xx x x x h -+--=.…………………8分 令)ln 2222(ln 2)()()(002002x x xx x x x x x h x f x F -+----=-=002002ln 2222ln 2x x xx x x x x +-++--=， 则)11)((22222)('0000xx x x x x x x x F +-=+--=，因为0,00>>x x 所以，当00x x <<时，0)('<x F ，当0x x >时，0)('>x F 即函数)(x F 在),0(0x 上为减函数，在),(0+∞x 上为增， 所以，0()()0.F x F x ≥=…………………10分 那么，当0x x <时，0)()()(00<--=-x x x h x f x x x F ； 当0x x >时，00()()()0.F x f x h x x x x x -=>-- 因此，函数)(x f 在),0(+∞∈x 不存在“平衡点”. …………………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以90=∠BDA ， 故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为)45,2(π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分·11· 所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即4≥m .……………………………10分。
河南省天一大联考2015届高三阶段测试(一)数学(理)试题(扫描版,有答案)
天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(一)数学(理科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C B C D B C B C A C二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.（13）2（14）3或73 （15）12π（16）804三、解答题（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===又cos 3cos cos b C a B c B =-，所以sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，…………………………………………（2分） 即sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=， 所以sin()3sin cos B C A B +=， 即sin 3sin cos A A B =，又sin 0A ≠， 所以1cos 3B =.………………………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由2,BA BC =得cos 2ac B =，又1cos 3B =，所以6ac =.……………………（8分） 由2222cos ,b a c ac B =+-22b =，可得2212a c +=， 所以2()0a c -=，即a c =，所以6a c ==.…………………………………………（12分）（18）解：（Ⅰ）由0.15100a =，得15a =，因为352510100ab ++++=，所以15b =，“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率3123()0.9C 0.1(10.1)0.972.P A =+⨯⨯-=………………………………………………（4分） （Ⅱ）记分期付款的期数为ξ,依题意得(1)0.35P ξ==，(2)0.25P ξ==，(3)0.15P ξ==，(4)0.1P ξ==，(5)0.15P ξ==，…………………………………（6分）因为X 的可能取值为1,1.5,2,并且(1)(1)0.35P X P ξ====，( 1.5)(2)(3)0.4P X P P ξξ===+==，(2)(4)(5)0.10.150.25P X P P ξξ===+==+=.…………………………………（10分） 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()10.35 1.50.420.25 1.45E X =⨯+⨯+⨯=（万元）.…………（12分）（19）解：（Ⅰ）当M 是PB 的中点时，BC ME //.因为//BC 平面PAD ，所以//ME 平面PAD ，所以AN ME //.又AD ME //，所以N 、D 两点重合. 所以223(2)11PN PD ==+=.……………………………………………………（4分）（Ⅱ）解法一：连接AC 、BD 交于点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则23(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3),(0,2,0),0,,.22B C P A E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 323(2,0,3),(0,2,3),0,,.22PB PC AE ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………（6分）设平面PBC 的一个法向量为=(,,),x y z m 则230,230,PB x z PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩m m 令2z =，得(3,3,2).=m ………………………………………………………（8分） 设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ，则923223022sin cos ,.1533252AE θ+=〈〉==⋅m 所以直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为23015.……………………………………（12分） X1 1.52 P 0.35 0.40.25解法二：设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ.因为()112322=+=PC ，所以211=CE ，所以1122112cos ==∠PCA .………………………………………（6分） 由余弦定理，得427cos 2222=∠⋅⋅-+=PCA CE AC CE AC AE ,故233=AE . 因为PCB A ABC P V V --=，易得23231=⨯⨯=-ABC P V ，10=∆PBC S ，……………………（8分）所以点A 到平面PBC 的距离10531032=⨯=d ，故15302sin ==AE d θ，所以直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为15302.…………………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）因为点(3,0)F 在圆22:(3)16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M . 因为||NM +||4||NF FM =>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,3a c ==,所以1b =，所以轨迹E 的方程为2214x y +=.…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1||2ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =.…………………………………………………………（5分） （ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，联立方程221,4,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得2222244,,1414A A k x y k k ==++ 所以2||OA =2A x2224(1)14Ak y k ++=+.………………………………………………………（7分）由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的方程为1y x k =-，由221,41,x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2224,4C k x k =+2C y =24,4k +2224(1)||4k OC k +=+，…………………………………………………………………………………………………（9分）2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=22222224(1)4(1)4(1)144(14)(4)k k k k k k k +++⨯=++++，由于22222(14)(4)5(1)(14)(4)22k k k k k ++++++=…，所以85ABC S ∆…，…………（11分）当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是85.因为825>，所以ABC △面积的最小值为85，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.………………………………………………………………………………………………（12分） （21）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． 当0a …时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………（2分） 当0a <时，1()a x a f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=，若10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()0f x '>；若1(,)x a ∈-+∞，则()0f x '<,()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a =-=--极大值.……………（4分）综上可知：当0a …时，()f x 没有极值； 当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，1()ln()1f x a =--极大值.…………………………………………………………………………………………………（5分） (Ⅱ)函数()g x 的导函数()e xg x b '=，(0)g b '∴=.(0)g b c =+，∴1,1,b c b +=⎧⎪⎨=⎪⎩∴()e x g x =.…………………………………………………………………………………（6分）当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()e ln 2xx x ϕ=--，∴1()e x x xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数，设()0x ϕ'=的根为x t =，则1e t t=，即e tt -=，当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，……………………………（9分）min ()()e ln 2e lne 2e 2t t t t x t t t ϕϕ-∴==--=--=+-.……………………………（10分）(1)e 10ϕ'=->，1e 202ϕ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1,12t ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由于函数()e 2xx x φ=+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，∴12min 11()()e 2e 2 2.252022tx t t ϕϕ==+->+->+-=， ∴()()2f x g x <-.…………………………………………………………………………（12分） （22）证明：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥.又因为AD BC ⊥，所以AD BE ∥，可知B F C D G C ∽△△， FEC GAC ∽△△，所以BF CF EF CF DG CG AG CG ==，，所以BF EFDG AG=. 因为G 是AD 的中点，所以DG AG =，所以F 是BE 的中点，BF EF =. …………（5分） （Ⅱ）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=°．在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点， 所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠. 又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠． 因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，所以PA 是圆O 的切线.……………………………………………………………………（10分） （23）解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为4cos ,(2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数).………………………（2分）因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=. …………………………………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）将4cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22:4C x y x +=中，得24(sin cos )40t t αα+++=，则有2121216(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ∆αααα⎧=+->⎪+=-+⎨⎪=⎩………………………………………………………（6分） 所以sin cos 0αα>.又[0,π)α∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++==π4(sin cos )42sin 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，………（8分）由ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得2πsin 124α⎛⎫<+ ⎪⎝⎭…，所以||||(4,42]PM PN +∈.………（10分） （24）解：（Ⅰ）当3x -…时,原不等式化为3224x x --+…, 得3x -…； 当132x -<…时,原不等式化为424x x -+…,得30x -<…； 当12x >时，原不等式化为3224x x ++…,得2x …， 综上，{|0A x x =…或2}x ….………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）当240,x +…即2x -…时,|2||3|024x a x x -+++厖成立， 当240,x +>.即2x >-时, |2||3||2|324x a x x a x x -++=-+++…，得1x a +…或13a x -…, 所以12a +-…或113a a -+…,得2a -…. 综上，a 的取值范围为(],2-∞-.…………………………………………………………（10分）。
河南省郑州市高中高三年级第一次质量预测理科数学试题 扫描版含答案.pdf
2014年高中毕业年级第一次质量预测 数学（理科） 参考答案 选择题 ADACB DBCBB AB 填空题 13.； 14.； 15. ； 16.. 三、解答题 17．解：(1) 因为，所以, 即,…………………………….2分 在中，由余弦定理可知， 即， 解之得或 ……………………………………………….6分 由于，所以…………………………………………………..7分 (2) 在中，由正弦定理可知， 又由可知， 所以, 因为, 所以.……………………………………………………..12分 18．解：随机猜对问题的概率，随机猜对问题的概率．………… 2分 ⑴设参与者先回答问题，且恰好获得奖金元为事件, 则, 即参与者先回答问题，其恰好获得奖金元的概率为. ………………4分 ⑵参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下： ①先回答问题，再回答问题．参与者获奖金额可取， 则，， ②先回答问题，再回答问题，参与者获奖金额，可取， 则，， ………… 10分 于是，当，时，即先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大； 当，时，两种顺序获奖的期望值相等；当，时，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大.…………………………12分 19.解：(1)证明：由题意, 注意到,所以, 所以, 所以, ……………………3分 又侧面， 又与交于点，所以, 又因为,所以.……………………………6分 (2)如图，以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系则， ，，， 又因为，所以 …………8分 所以，， 设平面的法向量为， 则根据可得是平面的一个法向量, 设直线与平面所成角为，则………………12分 20.⑴解：由题知 所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点）， 设曲线：， 则， 所以曲线：为所求.---------------4分 ⑵解：注意到直线的斜率不为，且过定点， 设， 由 消得，所以， 所以 -------------------------------------8分 因为,所以 注意到点在以为直径的圆上,所以,即,-----11分 所以直线的方程或为所求.------12分 21.⑴解:注意到函数的定义域为, 所以恒成立恒成立, 设, 则, ------------2分 当时,对恒成立,所以是上的增函数, 注意到,所以时,不合题意.-------4分 当时,若,;若,. 所以是上的减函数,是上的增函数, 故只需. --------6分 令, , 当时,; 当时,. 所以是上的增函数,是上的减函数. 故当且仅当时等号成立. 所以当且仅当时,成立,即为所求. --------8分 ⑵解:由⑴知当或时,,即仅有唯一解,不合题意; 当时, 是上的增函数,对,有， 所以没有大于的根,不合题意. ---------8分 当时,由解得,若存在, 则,即, 令,, 令,当时,总有, 所以是上的增函数,即, 故,在上是增函数, 所以,即在无解. 综上可知,不存在满足条件的实数. ----------------------12分 22.解：四点共圆， ，又为公共角， ∴∽ ∴ ∴. ∴. ……………………………………………………………… 6分 ， ， 又， ∽， ， 又四点共圆，，， .…………………………………………………… 10分 曲线为圆心是，半径是1的圆． 曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． ……4分 ⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数） 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为， 则 所以. ……………………………10分 24.解：⑴因为 因为,所以当且仅当时等号成立,故 为所求.……………………4分 ⑵不等式即不等式 ， ①当时，原不等式可化为 即 所以，当时，原不等式成立. ②当时，原不等式可化为 即所以，当时，原不等式成立. ③当时，原不等式可化为 即 由于时 所以，当时，原不等式成立. 综合①②③可知： 不等式的解集为……………………10分 y z x。
河南省郑州一中教育集团高三数学上学期第一次联考试卷理(含解析)
2015-2016学年河南省郑州一中教育集团高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x＞1}，B={ x|x＜1}，则（）A．{ x|0＜x＜1} B．{ x|x＞C．{ x|x＞1} D．{x|x＜1}2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若复数z满足（2﹣5i）=29，则z=（）A．2﹣5i B．2+5i C．﹣2﹣5i D．﹣2+5i3．已知命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，则下列说法正确的是（）A．p是假命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”B．p是真命题；￢p“不存在x0∈[1，+∞），使得（log23）＜1”C．p是真命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”D．p是假命题；￢p“任意x∈（﹣∞，1），都有（log23）x＜1”4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A．B．6πC．D．5．设等差数列{a n}前n项和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．366．已知点P（x，y）是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．27．若在的展开式中含有常数项，则正整数n取得最小值时常数项为（）A．B．﹣135 C．D．1358．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知偶函数y=f（x），x∈R满足：f（x）=x2﹣3x（x≥0），若函数g（x）=，则y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．1 B．3 C．2 D．410．已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则+的最小值为（）A．B．C．D．11．如图，已知椭圆C1： +y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C． D．12．已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣ }，则数列{a n}的个数为（）A．729 B．491 C．490 D．243二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．执行如图的框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是．14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= ．15．已知四面体P﹣ABC，其中△ABC是边长为6的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=4，则四面体P﹣ABC外接球的表面积为．16．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得取x定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．给出下列函数①f（x）=（x﹣1）2，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=cosx，其中所有准奇函数的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且；（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设BC中点为D，且AD=；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积．18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F 点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC：BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．2015-2016学年河南省郑州一中教育集团高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x＞1}，B={ x|x＜1}，则（）A．{ x|0＜x＜1} B．{ x|x＞C．{ x|x＞1} D．{x|x＜1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x＞1=20，解得：x＞0，即A={x|x＞0}，∵B={x|x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若复数z满足（2﹣5i）=29，则z=（）A．2﹣5i B．2+5i C．﹣2﹣5i D．﹣2+5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（2﹣5i）=29，得=2+5i．∴．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．已知命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，则下列说法正确的是（）A．p是假命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”B．p是真命题；￢p“不存在x0∈[1，+∞），使得（log23）＜1”C．p是真命题；￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”D．p是假命题；￢p“任意x∈（﹣∞，1），都有（log23）x＜1”【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】先根据指数函数的性质即可判断命题p的真假，再根据命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题p：“存在x0∈[1，+∞），使得（log23）≥1”，因为log23＞1，所以（log23）≥1成立，故命题p为真命题，则￢p“任意x∈[1，+∞），都有（log23）x＜1”故选：C【点评】本题考查了命题的真假和命题的否定，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A．B．6πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高2．的圆锥的一半，分别计算两部分的体积，即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为V1=×22×π×1=2π，上部半圆锥的体积为V2=×π×22×2=．故几何体的体积为V=V1+V2==．故选C．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5．设等差数列{a n}前n项和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．36【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由条件可得=9a5，故有 a5=8，故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5．【解答】解：∵等差数列{a n}前n项和为S n，S9=72==9a5，∴a5=8．故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5=24，故选C．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于中档题．6．已知点P（x，y）是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】当C、P、F三点共线时，|PQ|+d取最小值，即（|PQ|+d）min=|FC|﹣r，由此能求出结果．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=﹣1圆C：（x+2）2+（y﹣4）2=1的圆心C（﹣2，4），半径r=1，由抛物线定义知：点P到直线l：x=﹣1距离d=|PF|，点P到y轴的距离为x=d﹣1，∴当C、P、F三点共线时，|PQ|+d取最小值，∴（|PQ|+x）min=|FC|﹣r﹣1=5﹣1﹣1=3故选：C．【点评】本题考查两条线段和的最上值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．7．若在的展开式中含有常数项，则正整数n取得最小值时常数项为（）A．B．﹣135 C．D．135【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过二项展开式的通项公式，令x的次数为0即可求得正整数n取得最小值时常数项．【解答】解：∵=，∴2n﹣5r=0，又n∈N*，r≥0，∴n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：；故选C．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键在于应用二项展开式的通项公式，注重分析与计算能力的考查，属于中档题．8．若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．9．已知偶函数y=f（x），x∈R满足：f（x）=x2﹣3x（x≥0），若函数g（x）=，则y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．1 B．3 C．2 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】y=f（x）﹣g（x）的零点个数即函数y=f（x）与函数g（x）=的交点的个数，作图求解．【解答】解：y=f（x）﹣g（x）的零点个数即函数y=f（x）与函数g（x）=的交点的个数，作函数y=f（x）与函数g（x）=的图象如下，有3个交点，故选B．【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，属于基础题．10．已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；基本不等式．【专题】导数的综合应用．【分析】由m≥0，n≥0，且m+n=1，可得n=1﹣m，（0≤m≤1）．代入+，再利用导数研究其单调性极值即可．【解答】解：∵m≥0，n≥0，且m+n=1，∴n=1﹣m，（0≤m≤1）．∴f（m）=+==．则f′（m）=，令f′（m）=0，0≤m≤1，解得m=．当时，f′（m）＜0；当时，f′（m）＞0．∴当m=时，f（m）取得极小值即最小值， ==．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．11．如图，已知椭圆C1： +y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．B．5 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．【解答】解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（，），B（﹣，﹣），联立渐近线方程和椭圆C1： +y2=1，可得交点C（，），D（﹣，﹣），由于C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则|AB|=3|CD|，即有=，化简可得，b=2a，则c==a，则离心率为e==．故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．12．已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣ }，则数列{a n}的个数为（）A．729 B．491 C．490 D．243【考点】数列的应用．【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】令b i =，则对每个符合条件的数列{a n }，满足====1，且b i ∈{2，1，﹣ }，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n }可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n }．由此能求出结果．【解答】解：令b i =（1≤i≤8），则对每个符合条件的数列{a n }，满足====1，且b i ∈{2，1，﹣ }，1≤i≤8．反之，由符合上述条件的八项数列{b n }可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a n }． 记符合条件的数列{b n }的个数为N ，由题意知b i （1≤i≤8）中有2k 个﹣，2k 个2，8﹣4k 个1， 且k 的所有可能取值为0，1，2． 共有1+C 82C 62+C 84C 44=491个， 故选：B ．【点评】本题考查数列的相邻两项比值之和的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．执行如图的框图，若输出结果为，则输入的实数x 的值是．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】本题主要考查的是条件函数f（x）=，根据函数表达式进行计算即可得到结论．【解答】解：若执行y=x﹣1，由x﹣1=，即，∴不成立，若执行y=log2x，由log2x=，得，成立故答案为：【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件得到函数f（x）的表达式是解决本题的关键，比较基础．14．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= 0.8413 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.8413【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查根据对称性求区间上的概率，本题是一个基础题．15．已知四面体P﹣ABC，其中△ABC是边长为6的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=4，则四面体P﹣ABC外接球的表面积为64π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出四面体P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴2r=，∴r=2，∵PA⊥平面ABC，PA=4，∴四面体P﹣ABC外接球的半径为=4∴四面体P﹣ABC外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．16．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得取x定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为准奇函数．给出下列函数①f（x）=（x﹣1）2，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=cosx，其中所有准奇函数的序号是②④．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a≠0，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数．【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f （x）=﹣f（2a﹣x）知，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，对于①f（x）=（x﹣1）2，函数无对称中心，对于②f（x）=，函数f（x）的图象关于（1，0）对称，对于③f（x）=x3，函数f（x）关于（0，0）对称，对于④f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于（kπ+，0）对称，故答案为：②④．【点评】本题考查新定义的理解和应用，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数是关键，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（2015•贵州二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且；（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设BC中点为D，且AD=；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB的值，从而求得B的值．（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，可知，利用正弦定理求得BD、AB的值，可得a+2c的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c的最大值及此时△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为，故有（a+b）（sinA+sinB）﹣c（sinA﹣sinC）=0，由正弦定理可得（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可知，因为B∈（0，π），所以．（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，由可知，由正弦定理及有，所以，所以，从而，由可知，所以当，即时，a+2c的最大值为，此时，所以S=ac•sinB=．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）按照题目要求想结果即可．（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）a=0.015；…s12＞s22．…（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．…所以．…（Ⅲ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．…P（X=0）=C30×0.30×0.73=0.343，P（X=1）=C31×0.31×0.72=0.441，P（X=2）=C32×0.32×0.71=0.189，P（X=3）=C33×0.33×0.70=0.027．所以X的分布列为…所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，独立重复试验概率的求法，考查计算能力．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面ACD；（2）根据三棱锥的体积公式，确定体积最大时的条件，建立空间坐标系，利用向量法即可得到结论．【解答】（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，…1分，因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC …2分，因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD …3分因为CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四边形，BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，…4分，因为DE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD …5分（2）因为DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知===，，当且仅当AC=BC=2时等号成立…8分如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），则=（﹣2，2，0），=（0，0，1），=（0，2，0），=（2，0，﹣1）…9分，设面DAE的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，0，2），设面ABE的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，1，0），…12分，则cos＜＞==，结合图象可以判断二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣，…13分【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定依据空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．20．已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得．【解答】解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0），∴椭圆的右焦点F（1，0），∵椭圆的离心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．（II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直线PM的方程：，化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴，∴，记，则，时，f'（x）＜0；时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减，∴，当时，|MN|取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】证明题；综合题；转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，可先求出，再解出函数的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于等于0，即可得到关于m的不等式，解出m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，可先代入函数的解析式，得出再由0＜a＜b得出，代入即可证明出不等式．【解答】解：（Ⅰ）当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…2分当m＞0时，由则，则f（x）在上单调递增，在上单调递减． (4)分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；当m＞0时，只需m﹣lnm﹣1≤0即 (6)分令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g （x）min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分（Ⅲ）由0＜a＜b得，由（Ⅱ）得：，则，则原不等式成立．…12分【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，研究函数的最值，及不等式的证明，考查了转化的思想及推理判断的能力，综合性较强，解题的关键是准确理解题意，对问题进行正确转化，熟练掌握导数运算性质是解题的重点，正确转化问题是解题的难点．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲] 22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F 点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC：BC．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由弦切角定理可得∠B=∠EAC，由DC是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠DCB，进而∠ADF=∠AFD，由BE为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠ADF的度数；（2）由（1）的结论，易得△ACE∽△BCA，根据三角形相似的性质可得，又由AB=AC，可得AC：BC=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．【解答】（1）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠EAC因为DC是∠ACB的平分线，所以∠ACD=∠DCB所以∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，即∠ADF=∠AFD，又因为BE为⊙O的直径，所以∠DAE=90°．所以．（2）因为∠B=∠EAC，所以∠ACB=∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以，在△ABC中，又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=30°，Rt△ABE中，【点评】本题考查的知识点是弦切角，三角形相似的性质，其中（1）中是要根据已知及弦切角定理结合等量代换得到∠ADF=∠AFD，（2）的关键是根据三角形相似的性质得到=tanB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）把直线的参数方程参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，根据|AB|=|x﹣x2|，运算求得结果．1（2）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1，由t的几何意义可得点P到M的距离，运算求得结果．【解答】解：（1）由（t为参数），参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，消去y整理得：2x2+12x+11=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣6，x1•x2=．…所以|AB|=|x1﹣x2|=2=2．…（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1．…所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=2．…【点评】本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．【考点】不等式的证明．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用，相乘即可证明结论．（Ⅱ）利用，，，，相加证明即可．【解答】证明：（Ⅰ），相乘得：（1+a）（1+b）（1+c）≥8abc=8．实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（1+a）（1+b）（1+c）≥8﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），，，，相加得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查综合法证明不等式的方法的应用，考查逻辑推理能力．。
2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷(理科)
2015年河南省郑州市新郑三中高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|lg（x-2）≥0}，B={x|x≥2}，全集U=R，则（∁U A）∩B=（）A.{x|-1＜x≤3}B.{x|2≤x＜3}C.{x|x=3}D.φ【答案】B【解析】解：由A中的不等式变形得：lg（x-2）≥0=lg1，得到x-2≥1，即x≥3，∴A={x|x≥3}，∵全集U=R，∴∁U A={x|x＜3}，∵B={x|x≥2}，∴（∁U A）∩B={x|2≤x＜3}．故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵复数==-a-3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴-a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．利用除法的运算法则：复数=-a-3i，由于在复平面内对应的点在第三象限，可得-a＜0，即可判断出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义、充分不必要条件，属于基础题．3.为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．在某校抽取样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，14）内的频数为（）A.780B.680C.648D.46解：根据题意，得样本数据落在[6，14）内的频率是1-（0.02+0.03+0.03）×4=0.68；∴样本数据落在[6，14）内的频数是1000×0.68=680．故选：B．根据频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1，求出样本数据落在[6，14）内的频率，即可求出对应的频数．本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应灵活应用频率分布直方图中各个小长方形的面积之和等于1的条件，是基础题．4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.112B.80C.72D.64【答案】B【解析】解：根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据可知：正方体及四棱锥的底面棱长均为4，四棱锥高3则V正方体=4×4×4=64四棱锥=16故V=64+16=80故选B根据三视图我们可以判断，该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组成的组合体，根据三视图中标识的数据，结合正方体的体积公式和棱锥的体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图确定几何体的形状是解答此类问题的关键．5.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A.t≥B.t≥C.t≤D.t≤解：模拟程序框图的运行过程，可得：n=0，x=t，a=1，n=0+2=2，x=2t，a=2-1=1；2＞4，否，n=2+2=4，x=4t，a=4-1=3；4＞4，否，n=4+2=6，x=8t，a=6-3=3；6＞4，是，输出a x=38t；∵38t≥3，∴8t≥1，即t≥；∴t的取值范围为{t|t≥}．故选：B．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行的结果是什么．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案来，属于基础题．6.已知f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值是n，则二项式（x-）n展开式中x4项的系数为（）A.15B.-15C.6D.-6【答案】D【解析】解：f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值是n，f（x）=|x+2|+|x-4|≥|（x+2）-（x-4）|=6，∴n=6，二项式（x-）n=（x-）6展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•x6-2r，令6-2r=4，求得r=1，可得二项式（x-）n展开式中x4项的系数为-6，故选：D．由条件利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x4项的系数．本题主要考查绝对值三角不等式，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．7.在平面直角坐标系x O y中，已知任意角θ以x轴的正半轴为始边，若终边经过点P （x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义：sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[-，]；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线x=对称；④该函数的单调递增区间为[2k-，2k+]，k∈Z，则这些性质中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解：①根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicosθ===sinx-cosx=sin（x-），因为，所以sin（x-），即该函数的值域为[-，]；②因为f（0）=sin（）=-1≠0，所以该函数图象不关于原点对称；③当x=时，f（）=sin=，所以该函数图象关于直线x=对称；④因为y=f（x）=sicosθ=sin（x-），所以由2kπ-≤x-≤2kπ+，可得2kπ-≤x≤2kπ+，即该函数的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z．综上，可得这些性质中正确的有2个：①③．故选：B．首先根据题意，求出y=sicosθ=sin（x-），然后根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可．本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，解答此题的关键是首先求出函数y=sicosθ的表达式．8.已知椭圆：＞＞的离心率为，双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意，双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，∴边长为4，∴（2，2）在椭圆：＞＞上∴∵椭圆的离心率为，∴=（）2∴a2=2b2∴a2=12，b2=6∴椭圆方程为：故选B．确定双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程．本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的性质是关键．9.点P是曲线x2-y-lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．直线y=x-2的斜率等于1，令y=x2-lnx的导数y′=2x-=1，x=1，或x=-（舍去），故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x-2的距离等于，故点P到直线y=x-2的最小距离为，故选D．由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x-2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想．10.在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|-π≤a≤π，-π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，∴s=4π2-π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．11.等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则f′（0）=（）A.212B.29C.28D.26【答案】A【解析】解：∵f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8）=x[（x-a1）（x-a2）…（x-a8）]，∴f′（x）=（x-a1）（x-a2）…（x-a8）+x[（x-a1）（x-a2）…（x-a8）]′，考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：A．对函数进行求导发现f′（0）中，含有x的项的值均为0，而常数项为a1a2a3…a8，由此求得f′（0）的值．本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，属于基础题．12.已知函数f（x）=1+x-，设F（x）=f（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，当b-a取得最小值时，a+b的值为（）A.-1 B.-4 C.-7 D.-3【答案】C【解析】解：∵f（x）=1+x-，∴f′（x）=1-x+x2-x3+ (x2010)x＞-1时，f′（x）＞0，f′（-1）=1＞0，x＜-1时，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（--）+…+（--）＜0∴函数f（x）在[-1，0]上有一个零点；∴函数f（x+3）在[-4，-3]上有一个零点，∴a=-4，b=-3∴a+b=-7．故选：C求导数，确定f（x）是R上的增函数，函数f（x）在[-1，0]上有一个零点，即可得出结论．及函数图象的平移，学生灵活应用知识分析解决问题的能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为______ ．【答案】36π【解析】解：在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA=2，正三棱锥S-ABC的外接球即为棱长为2的正方体的外接球．则外接球的直径2R==6，所以外接球的半径为：3．故正三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4•πR2=36π．．故答案为：36π．正三棱锥S-ABC的三个侧面两两垂直，转化为三条侧棱两两互相垂直，该三棱锥的各个顶点均为棱长为2的正方体的顶点，通过正方体的对角线的长度，求出外接球半径，即可求解球的表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中根据已知结合正方体的几何特征，得到该正三棱锥是正方体的一部分，并将问题转化为求正方体外接球表面积，是解答本题的关键．14.如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则的值是______ ．【答案】1【解析】解：设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意知焦点F（0，1），则设直线AD方程为：y=kx+1，联立消去x，得y2-（2+4k2）y+1=0，∴y1+y2=2+4k2，y1•y2=1又根据抛物线定义得AF=，FD=，∴AF=y1+1，FD=y2+1==（AF-1）（FD-1）=y1•y2=1．故答案为1设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出y1•y2，y1+y2，并用y1，y2表示AF，FD，而所求==（AF-1）（FD-1），代入上述式子中即可．此题设计构思比较新颖，考查抛物线的定义及巧妙将向量数量积转化，同时在解答过程中处理直线和抛物线的关系时运用了设而不求的方法．15.椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，【答案】【解析】解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；∵AE+BE≥AB；∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．16.已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是______ ．【答案】（21，24）【解析】解：由题意可得-log3a=log3b=c2-c+8=d2-d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．由题意可得-log3a=log3b=c2-c+8=d2-d+8，可得log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=p（S n-a n）+（p为大于0的常数），且a1是6a3与a2的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n•b n=2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（I）当n=1时，，得．当n≥2时，，，两式相减得a n=pa n-1，即＞．故{a n}是首项为，公比为p的等比数列，∴．由题意可得：2a1=6a3+a2，，化为6p2+p-2=0．解得p=或（舍去）．∴=．（II）由（I）得，则，+（2n-1）×2n+（2n+1）×2n+1，两式相减得-T n=3×2+2×（22+23+…+2n）-（2n+1）×2n+1==-2-（2n-1）×2n+1，∴．【解析】（I）当n≥2时，利用a n=S n-S n-1即可得出a n，n=1时单独考虑，再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）得，利用“错位相减法”即可得出其前n项和．熟练掌握：当n≥2时，利用a n=S n-S n-1，a1=S1；等比数列的通项公式，“错位相减法”是解题的关键．18.“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：（单位：元）（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，，，，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）【答案】解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，…（2分）根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…（3分）∴有1-0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（4分）（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000则…（6分）…（7分）…（8分）…（9分）ξ的分布列为…（10分）ξ数学期望…（12分）【解析】（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；（Ⅱ）确定ξ的所有能取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．本题考查独立性检验的应用，考查分布列及数学期望．本题解题的关键是学会读图和画图，在所给的二维条形图中能够看出所需要的数据．19.如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E-PF-C的大小．【答案】（I）证明：在R t&△DEF中，∵ED=DF，∴∠DEF=45°，在R t△ABE中，∵AE=AB，∴∠AEB=45°，∴∠BEF=90°，∴EF⊥BE，（3分）∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE=BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（6分）（II）解：由题意，不妨设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．（7分）∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB=AE=，∴，，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2）．由及，得到，∴=，，．又由•及•，得到，∴=，，，（9分）＜，＞，（11分）综上所述，二面角E-PF-C大小为150°．（12分）【解析】（I）由题设条件推导出EF⊥BE，从而得到EF⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面PEF．（II）设AD=3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角E-PF-C的大小．本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用．20.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，求O到直线l的距离．【答案】解：（Ⅰ）∵，∴，右焦点（c，0）到直线的距离，则，且b2+c2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程是：（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）那么：，则（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，∴x1+x2=-，x1x2=又∵直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1-m）（kx2-m）=0，∴，化简得，即∴O到直线l的距离为【解析】（Ⅰ）利用离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O，即可求出O到直线l的距离．本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．21.已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（e x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．求导数，得f′（x）=-a．由已知，∵函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1∴f′（-）=1，即-a=1，∴a=1．此时f（x）=ln（1+x）-x，f′（x）=-1=，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，∴f（x）max=f（0）=0．…（4分）（Ⅱ）证明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln，∴＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n）．将上述n个不等式依次相加，得1+++…+＞（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]，∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…（10分）法（二）：用数学归纳法证明．（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，∴左边＞右边，不等式成立．（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+++…+＞ln（k+1）．那么1+++…++＞ln（k+1）+，由（Ⅰ），知x＞ln（1+x）（x＞-1，且x≠0）．令x=，则＞ln（1+）=ln，∴ln（k+1）+＞ln（k+1）+ln=ln（k+2），∴1+++…++＞ln（k+2）．即当n=k+1时，不等式也成立．…（10分）根据（1）（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．（Ⅲ）解：∵f（0）=0，g（0）=b，若f（x）≤g（x）恒成立，则b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0．（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）≤g（x）恒成立；（2）当b＞0时，g′（x）=b（e x-1），当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，∴g（x）min=g（0）=b＞0≥f（x），即f（x）≤g（x）恒成立．综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为[0，+∞）．…（14分）【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．求导数，利用函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1，可求a的值，再确定函数的单调性，从而可求f（x）的最大值；（Ⅱ）法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）-x≤0，即ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时，等号成立．令x=（k∈N*），从而可得＞ln（k+1）-lnk（k=1，2，…，n），将上述n个不等式依次相加，即可证得结论；法（二）：先证明当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时，不等式成立，结合x＞ln （1+x）（x＞-1，且x≠0）及x=，即可证得结论；（Ⅲ）先确定b≥0．由（Ⅰ），知f（x）max=f（0）=0，再求g（x）的最小值，从而可求实数b的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查恒成立问题，解题的关键是理解导数的几何意义，掌握数学归纳法的证题步骤，确定函数的最值，综合性强．22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【答案】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是R t△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．【解析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【答案】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y-1=（x-），即x-2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+=0，即ρ=．【解析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|，（Ⅰ）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）当a=1时，函数f（x）的最小值为m，若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．【答案】（Ⅰ）解：当a=-3时，f（x）≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔或＜＜或⇔x≤1或x≥4，则解集为（-∞，1]∪[4，+∞）；（Ⅱ）证明：由于|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，当且仅当-1≤x≤2时，等号成立，则f（x）的最小值为3，即m=3．即有a+b+c=3，又a，b，c为正实数，则有（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，即有a2+b2+c2≥3．【解析】（Ⅰ）求出a=-3的不等式，通过讨论x的范围，去绝对值，分别解出它们，再求并集即可；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，求得m=3，再由三元柯西不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．。
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学(文)试题word版含答案
2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题3:0,0P x x ∀>>，那么P ⌝是( ) A. 30,0x x ∃≤≤ B. 30,0x x ∀>≤ C. 30,0x x ∃>≤ D. 30,0x x ∀<≤2.已知集合{}|20M x x =-<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( )A. [2,)+∞B. ()2,+∞C. (),0-∞D. (,0]-∞ 3. 设i 是虚数单位，若复数()03m m R i1+∈+是纯虚数，则m 的值为( ) A. 3- B. 1- C.1 D.34.已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ）A. 100B.200C.360D.400 5.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12310a a a =，且15515S S =，则2a =（ ）A. 2B.3C.4D.56.已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（ ）A.1B.2C.2D. 227.如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 48.已知点(),P x y 的坐标满足条件1230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A. 17B.18C. 20D.21 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()351f f -==，()'f x 是()f x 的导函数，且函数()'y f x =的图象如右图所示，则不等式()1f x <的解集是（ ）A. ()3,0-B. ()3,5-C. ()0,5D. ()(),35,-∞-+∞10.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点,B C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于,D E 两点，则()()BD BE BE CE +⋅-的值为（ ）A. 1-B. 12- C.12D. 2 11. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()201520142013f f f -+-+-+…()()20142015f f ++=( )A. 0B. 2014C. 4028D. 4031 12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB 上的两个动点，且2MN =，则CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. []3,6B. []4,6C. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,4第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13. 已知数列{}n a 是等比数列，若143,62a a ==，则10a =14. 我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是15. 已知51sin 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos2α= 16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-.正确命题是三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足22230a b c bc --+=，2sin b A a =，BC 边上中线AM 的长为14.（I ）求角A 和角B 的大小；（II ）求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.（I ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（II ）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（I ）证明：||PA 平面BMQ ；（II ）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）设a 是实数，函数()()2212ln f x ax a x x =+--. （I ）讨论函数()f x 的单调区间；（II ）设定义在D 上的函数()y g x =在点()00,P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()0g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“平衡点”. 当1a =时，试问函数()y f x =是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为122x ty t=⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 和圆C交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.（I ）求圆心的极坐标；（II ）求PAB ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB 二、填空题 13.96；14.50；15.87-；16.2,3,4. 三、解答题17．解：(1).由03222=+--bc c b a 得bc c b a 3222-=--2223cos ,22b c a A bc +-∴==.6A π= ………… 4分由a A b =sin 2，得21sin =B . 故6π=B ．………6分(2).设x BC AC ==，由余弦定理得222214)21(224=-⋅⋅-+=x x x x AM ，………8分 解得22=x ，……10分 故3223222221ABC =⋅⋅⋅=∆S ……………………12分 18.解：用(,)x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、)5,1(、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、)52(、、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、)53(、、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、)5,4(、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(、)5,5(共25个； …………………4分(1).设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2、()4,3、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(，共有10个；…………………6分则 522510)(==A P .…………………8分 (2).设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C . 事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1，共有10个；则522510)B (==P ，…………………10分 所以53)(1)(=-=B P C P . …………………11分因为()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. ……………………12分19.解：(1).连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．…………………2分当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………5分 (2).由(1)可知，//PA 平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，取CD 的中点K ，连结MK ，所以//MK PD ，112MK PD ==，…………7分又PA ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又112BC AD ==，2PD CD ==，所以1AQ =，2BQ =，3,1,MQ NQ ==…………………10分所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==111323AQ BQ MK =⋅⋅⋅⋅=. 2,BQM S ∆=…………………11分则点P 到平面BMQ 的距离d =223=∆-BMQBMQ P S V …………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .…………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：2||=AB ，当0=m 时，不合题意.当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221n m =+NCQ MPBDA联立22,1,2y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………7分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122222,,2121mn mn x x m m -+∆--∆==++ 所以，2121222422,,2121mn n x x x x m m --+==++ ||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m =22.122||||m m ≤+……10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时6.2n =±经检验可知，直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………12分 21.解：（1）xx ax x x a ax x a ax x f )1)(22(2)1(222)1(22)('2+-=--+=--+=)0(>x当0≤a 时，0)('≤x f 在0>x 上恒成立；…………………2分当0>a 时，在)1,0(a x ∈时，0)('<x f ，当),1(+∞∈ax 时，0)('>x f 所以，当0≤a 时，)(x f 的减区间为(0,+∞)；…………………4分当0>a 时，)(x f 的减区间为)1,0(a ，增区间为),1(+∞a. …………………6分 （2）设00(,)P x y 为函数x x x f ln 2)(2-=图像上一点，则函数)(x f y =在点P 处的切线方程为：))(22(ln 2000020x x x x x x y --=+- 即：00200ln 2222)(x x xx x x x h -+--=.…………………8分 令)ln 2222(ln 2)()()(002002x x xx x x x x x h x f x F -+----=-= 002002ln 2222ln 2x x xx x x x x +-++--=，则)11)((22222)('0000xx x x x x x x x F +-=+--=，因为0,00>>x x 所以，当00x x <<时，0)('<x F ，当0x x >时，0)('>x F 即函数)(x F 在),0(0x 上为减函数，在),(0+∞x 上为增， 所以，0()()0.F x F x ≥=…………………10分 那么，当0x x <时，0)()()(00<--=-x x x h x f x x x F ； 当0x x >时，00()()()0.F x f x h x x x x x -=>-- 因此，函数)(x f 在),0(+∞∈x 不存在“平衡点”. …………………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以 90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为)45,2(π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB- 11 - 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即4≥m .……………………………10分。
2015年河南省郑州市新郑一中分校高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知＝b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab＝（）A．﹣1B．1C．2D．﹣23．（5分）下列命题错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）已知函数，则的值为（）A．1B．C．D．25．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1007B．1008C．2013D．20146．（5分）若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．8．（5分）设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b9．（5分）若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点O为△ABC的外心，且则＝（）A．2B．4C．D．611．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．（5分）若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为．14．（5分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014＝．15．（5分）已知函数f（x）＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．（5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且＝．（I）求的值；（II）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90°，AB＝BC＝2CD＝2，PB＝PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：P A⊥BD（3）若二面角D﹣P A﹣O的余弦值为，求PB的长．19．（12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．21．（12分）已知x＞，函数f（x）＝x2，h（x）＝2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）＝﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g （x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）P A•PD＝PE•PC；（2）AD＝AE．选修4-5：坐标系与参数方程．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．2015年河南省郑州市新郑一中分校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}B＝{x|≤4，x∈Z}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B＝{0，1，2}故选：D．2．（5分）已知＝b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab＝（）A．﹣1B．1C．2D．﹣2【解答】解：由＝，又＝b+i，∴2﹣ai＝b+i，则a＝﹣1，b＝2．∴ab＝﹣2．故选：D．3．（5分）下列命题错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：∵命题：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对B命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故②正确；C：若P∧q为假命题，则P、q不均为真命题．故③错误；D“x＞2”⇒“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选：C．4．（5分）已知函数，则的值为（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（cos+cos）+（cos+cos）＝﹣（cos+cos）+（cos+cos）＝0，f（5）＝cosπ＝﹣1；f（6）+f（7）+f（8）+f（9）＝cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）＝﹣（cos+cos+cos+cos）＝﹣[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0，f（10）＝cos2π＝1；∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）＝0函数的周期T＝＝10，因此从f（1）起，每连续10项的和等于0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2003）＝f（2001）+f（2002）+f（2003）＝f（1）+f（2）+f（3）＝cos+cos+cos＝cosf（11）+f（22）+f（33）＝f（1）+f（2）+f（3）＝cos+cos+cos＝cos∴原式＝1故选：A．5．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．1007B．1008C．2013D．2014【解答】解：由程序框图知：程序运行的功能是求S＝1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，当n＝2014时，不满足条件n＜2014，程序运行终止，此时k＝2014，∴输出的S＝1﹣2+3﹣4+…（﹣1）2012•2013＝1+1006＝1007．故选：A．6．（5分）若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．【解答】解：设x＝cosθ，y＝sinθ则对任意角θ，都有，可看成直线与单位圆有交点，化简得，故选：D．7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r＝，球心到底面的球心距d＝则球半径R2＝＝则该球的表面积S＝4πR2＝故选：B．8．（5分）设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b【解答】解：A选项不正确，a∥α，b∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面B选项不正确，两个平面平行于同一条直线，两平面的位置关系可能是平行或者相交．C选项正确，由b⊥β，a⊥b可得出β∥a或β⊃a，又a⊥α故有α⊥βD选项不正确，本命题用图形说明，如图三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，P A，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直．故选：C．9．（5分）若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB，A（）B（4，4）设y＝2x﹣4与x轴的交点为M（2，0）S△AOB＝S OBM+S△OAM＝区域N的为图中的阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得P＝故选C10．（5分）已知点O为△ABC的外心，且则＝（）A．2B．4C．D．6【解答】解：因为点O为△ABC的外心，取P为AC的中点．且，∴•＝＝＝＝（）（）＝（||2﹣||2）＝16﹣4）＝6．故选：D．11．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）【解答】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣a2|﹣a2＝，根据解析式和函数是奇函数进行画图，图象如右图，∵f（x）为R上的4高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+4）≥f（x），4大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），∴4≥3a2﹣（﹣a2），∴﹣1≤a≤1，即实数a的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．（5分）若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为21．【解答】解：∵展开式中二项式系数之和为2m∴2m＝128解得m＝7∴＝展开式的通项为令解得r＝6故展开式中的系数为3C76＝21故答案为2114．（5分）若数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014＝﹣6．【解答】解：由递推关系式，得a n+2＝﹣，a n+4＝a n．∴{a n}是以4为循环的一个数列．由计算，得a1＝2，a2＝﹣3，a3＝﹣，a4＝，a5＝2，…∴a1a2a3a4＝1，∴a1•a2…a2010•a2014＝1×a2013•a2014＝a1•a2＝﹣6．故答案为：﹣6．15．（5分）已知函数f（x）＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x＝，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤116．（5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．【解答】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为＝72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•＝216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为＝144，而所有的排法共有＝720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为＝，故答案为．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且＝．（I）求的值；（II）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理设则＝＝＝整理求得sin（A+B）＝2sin（B+C）又A+B+C＝π∴sin C＝2sin A，即＝2（Ⅱ）由余弦定理可知cos B＝＝①由（Ⅰ）可知＝＝2②再由b＝2，①②联立求得c＝2，a＝1sin B＝＝∴S＝ac sin B＝18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90°，AB＝BC＝2CD＝2，PB＝PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：P A⊥BD（3）若二面角D﹣P A﹣O的余弦值为，求PB的长．【解答】解：（1）证明：因为PB＝PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD＝BC，所以PO⊥平面ABCD．…（4分）（2）证明：以点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设OP＝t（t＞0），则P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），＝（1，2，﹣t），＝（﹣2，1，0），因为•＝0，所以⊥，即P A⊥BD．…（8分）（3）设平面P AD和平面P AO的法向量分别为＝（a，b，c），＝（x，y，z），注意到＝（﹣1，1，﹣t），＝（1，2，0），＝（0，0，t），由，令a＝1得，＝（1，﹣2，），由令y＝﹣1得，＝（2，﹣1，0），所以cos60°＝＝＝，解之得t＝，所以PB＝＝2为所求．…（12分）19．（12分）某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．【解答】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为：77.5．设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1＝0.01×5×40＝2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2＝0.02×5×40＝4（辆），∴ξ＝0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴ξ的分布列为均值E（ξ）＝＝．20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为，由∴椭圆方程为；（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零∵，∴．由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4＝0根据题意，△＝（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得．同理得，∴；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）那么，∴，∴同理得，即∴∵，∴∴即的取值范围是．21．（12分）已知x＞，函数f（x）＝x2，h（x）＝2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）＝﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g （x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．【解答】解：（I）证明：记u（x）＝f（x）﹣h（x）＝x2﹣2elnx，则，令u'（x）＞0，注意到，可得，所以函数u（x）在上单调递减，在上单调递增．，即u（x）≥0，∴f（x）≥h（x）．（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对恒成立，当且仅当时等号成立，记v（x）＝h（x）﹣g（x）＝2elnx+4x2﹣px﹣q，则“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即v（x）≥0对恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数v（x）在时取极小值，注意到，由，解得，此时，由知，函数v（x）在上单调递减，在上单调递增，即＝0，q＝﹣5e，综上，两个条件能同时成立，此时．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）P A•PD＝PE•PC；（2）AD＝AE．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴P A•PE＝PD•PB（2分）又∵P A、PB分别是⊙O1的切线和割线∴P A2＝PC•PB（4分）由以上条件得P A•PD＝PE•PC（5分）（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°∴AC是⊙O2的切线．（6分）第21页（共23页）由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD＝∠ADE（8分）又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD＝∠AED又∠CAD＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE∴AD＝AE（10分）选修4-5：坐标系与参数方程．23．（10分）已知直线C 1（t为参数），C 2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α＝时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为x cosα+y sinα＝0②，联立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：，P 点轨迹的普通方程．故P 点轨迹是圆心为，半径为的圆．第22页（共23页）选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：当m＝5时：|x+1|+|x﹣2|＞5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥1．即|x+1|+|x﹣2|≥m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．第23页（共23页）。
河南地区八校2015年度高三上学期第一次联考数学理试题
河南省八校2015届高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π3．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为（）A． 0.2 B．0.4 C．0.8 D．0.94．设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对5．将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．6． x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣17．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A． 4 B．5 C．7 D．98．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a2=10，a3+a4=26，则过点P（n，a n）和Q（n+1，a n+1）（n ∈N*）的直线的一个方向向量是（）A．（﹣，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣，﹣4）D．（2，）9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin=，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A． 0 B．6 C．9 D．1210．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（）A． 1 B．2 C．0 D．0或212．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是（）A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于_________ ．14．若（2x﹣3）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于_________ ．15．已知函数f（x）=e sinx+cosx﹣sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是_________ ．16．下列说法：①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π，③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；④f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时的解析式是f（x）=2x，则x＜0时的解析式为f（x）=﹣2﹣x其中正确的说法是_________ ．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．18．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．19．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．四、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．五、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-4：坐标素与参数方程23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．六、选考题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．）选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？参 考 答 案一、选择题 DCDCD DCCBB CA 二、填空题13、3214、10 15、e - 16、①④17.解：（Ⅰ）由2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=得： sin sin 2cos cos (1)1cos cos A CA C A C-=∴2(sin sin cos cos )1A C A C -= ∴1cos()2A C +=-，∴1cos 2B =，又0B π<< 3B π∴= ……………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-== 22()2122a c ac b ac +--∴=，又a c +=，b =27234ac ac --=，54ac =115sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯=…………12分 18.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件i A (i ＝0,1,2,3,4)，则i i ii C A P -=44)32()31()(（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率278)32()31()(22242==C A P 3分 （2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则43A A B ⋃=，由于3A 与4A 互斥，故91)31()32()31()()()(44433443=+=+=C C A P A P B P所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19……… 7分（3）ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于1A 与3A 互斥，0A 与4A 互斥，故278)()0(2===A P P ξ， 8140)()()2(31=+==A P A P P ξ 8117)()()4(40=+==A P A P P ξ。
河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学(文)试题word版含答案
2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题3:0,0P x x ∀>>，那么P ⌝是( ) A. 30,0x x ∃≤≤ B. 30,0x x ∀>≤ C. 30,0x x ∃>≤ D. 30,0x x ∀<≤2.已知集合{}|20M x x =-<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是( )A. [2,)+∞B. ()2,+∞C. (),0-∞D. (,0]-∞ 3. 设i 是虚数单位，若复数()03m m R i1+∈+是纯虚数，则m 的值为( ) A. 3- B. 1- C.1 D.34.已知点(),P a b 是抛物线220x y =上一点，焦点为F ，25PF =，则ab =（ ） A. 100 B.200 C.360 D.4005.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若12310a a a =，且15515S S =，则2a =（ ）A. 2B.3C.4D.56.已知长方体的底面是边长为1的正方形，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方形的正视图的面积等于（ ）A.1B.C.2D. 7.如图所示的程序框图中，若()()21,4f x x x g x x =-+=+，且()h x m ≥恒成立，则m 的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 3D. 48.已知点(),P x y 的坐标满足条件1230x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A. 17B.18C. 20D.21 9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()351f f -==，()'f x 是()f x 的导函数，且函数()'y f x =的图象如右图所示，则不等式()1f x <的解集是（ ）A. ()3,0-B. ()3,5-C. ()0,5D. ()(),35,-∞-+∞10.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点,B C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于,D E 两点，则()()BD BE BE CE +⋅-的值为（ ）A. 1-B. 12- C.12D. 2 11. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()3sin 1f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()()201520142013f f f -+-+-+…()()20142015f f ++=( )A. 0B. 2014C. 4028D. 4031 12.在Rt ABC ∆中，3CA CB ==，,M N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN ⋅的取值范围为（ ）A. []3,6B. []4,6C. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]2,4第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13. 已知数列{}n a 是等比数列，若143,62a a ==，则10a = 14. 我市某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)，若低于60分的人数是15人，则该班的人数是15. 已知51sin 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos 2α= 16.给定方程：1sin 102xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(),0-∞内有且只有一个实数根；④若0x 是方程的实数根，则01x >-.正确命题是三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c，且满足2220a b c --=，2sin b A a =，BC 边上中线AM（I ）求角A 和角B 的大小；（II ）求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.（I ）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；（II ）若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，||AD BC ，PD ⊥底面ABCD ，90,2ADC AD BC ∠=︒=，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点.（I ）证明：||PA 平面BMQ ；（II ）已知2PD DC AD ===，求点P 到平面BMQ 的距离.20.（本小题满分12分）已知动点P 到定点()1,0F 和直线:2l x =，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于,A B 两点，直线:l y mx n =+与曲线E 交于,C D 两点，与线段AB 相交于一点（与,A B 不重合）（I ）求曲线E 的方程；（II ）当直线l 与圆221x y +=相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.22. （本小题满分12分）设a 是实数，函数()()2212ln f x ax a x x =+--. （I ）讨论函数()f x 的单调区间；（II ）设定义在D 上的函数()y g x =在点()00,P x y 处的切线方程为():l y h x =，当0x x ≠时，若()()0g x h x x x -<-在D 内恒成立，则称点P 为函数()y g x =的“平衡点”. 当1a =时，试问函数()y f x =是否存在“平衡点”？若存在，请求出“平衡点”的横坐标；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图所示，EP 交圆于,E C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .（I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若,5AC BD AB ==，求弦DE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，直线l的参数方程为1x ty =⎧⎪⎨=-+⎪⎩t 为参数），直线l 和圆C交于,A B 两点，P 是圆C 上不同于,A B 的任意一点.（I ）求圆心的极坐标；（II ）求PAB ∆面积的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+.（I ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（II ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2015年高中毕业年级第一次质量预测文科数学 参考答案一、选择题1-12: CAAD ACCB BDDB 二、填空题 13.96；14.50；15.87-；16.2,3,4. 三、解答题17．解：(1).由03222=+--bc c b a 得bc c b a 3222-=--222cos 2b c a A bc +-∴==.6A π= ………… 4分由a A b =sin 2，得21sin =B . 故6π=B ．………6分(2).设x BC AC ==，由余弦定理得222214)21(224=-⋅⋅-+=x x x x AM ，………8分 解得22=x ，……10分 故3223222221ABC =⋅⋅⋅=∆S ……………………12分 18.解：用(,)x y （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、)5,1(、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、)52(、、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、)53(、、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、)5,4(、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(、)5,5(共25个； …………………4分(1).设：甲获胜的的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：()2,1、()3,1、()3,2、()4,1、()4,2、()4,3、)1,5(、)2,5(、)3,5(、)4,5(，共有10个；…………………6分则 522510)(==A P .…………………8分 (2).设：甲获胜的的事件为B ，乙获胜的的事件为C . 事件B 所包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()4,1，共有10个；则522510)B (==P ，…………………10分 所以53)(1)(=-=B P C P . …………………11分因为()()P B P C ≠，所以这样规定不公平. ……………………12分19.解：(1).连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．…………………2分当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………5分 (2).由(1)可知，//PA 平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==，取CD 的中点K ，连结MK ，所以//MK PD ，112MK PD ==，…………7分又PA ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD .又112BC AD ==，2PD CD ==，所以1AQ =，2BQ =，1,MQ NQ ==…………………10分所以P BMQ A BMQ M ABQ V V V ---==111323AQ BQ MK =⋅⋅⋅⋅=.BQM S ∆=…………………11分则点P 到平面BMQ 的距离d =223=∆-BMQBMQ P S V …………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .…………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D ，由已知可得：2||=AB ，当0=m 时，不合题意.当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221n m =+NCQ MPBDA联立22,1,2y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………7分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m，12x x == 所以，2121222422,,2121mn n x x x x m m --+==++ ||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=22||||m m ≤+……10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m时等号成立，此时2n =± 经检验可知，直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………12分 21.解：（1）xx ax x x a ax x a ax x f )1)(22(2)1(222)1(22)('2+-=--+=--+=)0(>x当0≤a 时，0)('≤x f 在0>x 上恒成立；…………………2分当0>a 时，在)1,0(a x ∈时，0)('<x f ，当),1(+∞∈ax 时，0)('>x f 所以，当0≤a 时，)(x f 的减区间为(0,+∞)；…………………4分当0>a 时，)(x f 的减区间为)1,0(a ，增区间为),1(+∞a. …………………6分 （2）设00(,)P x y 为函数x x x f ln 2)(2-=图像上一点，则函数)(x f y =在点P 处的切线方程为：))(22(ln 2000020x x x x x x y --=+- 即：00200ln 2222)(x x xx x x x h -+--=.…………………8分 令)ln 2222(ln 2)()()(002002x x xx x x x x x h x f x F -+----=-= 002002ln 2222ln 2x x xx x x x x +-++--=，则)11)((22222)('0000xx x x x x x x x F +-=+--=，因为0,00>>x x 所以，当00x x <<时，0)('<x F ，当0x x >时，0)('>x F 即函数)(x F 在),0(0x 上为减函数，在),(0+∞x 上为增， 所以，0()()0.F x F x ≥=…………………10分 那么，当0x x <时，0)()()(00<--=-x x x h x f x x x F ； 当0x x >时，00()()()0.F x f x h x x x x x -=>-- 因此，函数)(x f 在),0(+∞∈x 不存在“平衡点”. …………………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠， 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分 所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为)45,2(π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即4≥m .……………………………10分。
河南省郑州市2015届高三上学期第一次质量预测数学(理)试题 扫描版含答案
2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题1-12：BCDA DBCC BADA 二、填空题 13.63414.-10 15.82 16.2,3,4. 三、解答题17.解：(Ⅰ) 42cos 23=∠=ABC a ，，3=c ， 由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222=18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分∴ 23=b ． ……………………………………………………………………4分又(0,)π∠∈ABC ，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ，由正弦定理：ABC bACB c ∠=∠sin sin ，得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形A B C E ，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ， 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分（2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C P ξ,CDA E8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ，…………………2分 理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分（2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，…………………6分 则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分 由MC PM 2=可得点)32,34,0(M , 所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则1120,2,0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ，…………………9分同理平面MBQ 的法向量为)1,0,32(2=n ,…………………10分y设二面角大小为θ，.65657cos ==θ…………………………………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .………………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D，由已知可得：||AB =当0=m 时，不合题意. …………………6分 当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221.m n +=联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x nmx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x||||2112x x AB S ACBD-=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=22||||m m ≤+10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知， 直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………………………12分21.解：（1）当1a =-时，22()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞，()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分(1)3f '∴=-，又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分（2）令()()20,g x f x x =--=则()222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x xa x--⋅=令1(2)ln ()x xh x x--⋅=， …………………5分则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x---'=--+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22()1x t x x x--'=--=，()0t x '<，()t x 在(0,)+∞上是减函数，又()()110t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()max (1)1h x h ∴==.………8分 因为0>a ， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =.当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2,(),e x e g x m -<<≤只需证明max (),g x m ≤…………………9分()()()132ln g x x x '=-+，令()0g x '=得1x =或32x e -=，又2e x e -<<，∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，10分又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23,g e e e =-333322213()2222()().22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-=即32()()g eg e -< ，2max ()()23,g x g e e e ==- 223.m e e ∴≥- ………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠，所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠， 从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分 (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分 因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分 23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为7)4π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2，因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即 4.m ≥.……………………………10分。
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2015年高中毕业年级第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题1-12：BCDA DBCC BADA二、填空题 13.63414.-10 15.82 16.2,3,4. 三、解答题17.解：(Ⅰ) 42cos 23=∠=ABC a ，，3=c ， 由余弦定理：ABC a c a c b ∠⋅⋅-+=cos 2222 =18423232)23(322=⨯⨯⨯-+，………………………………2分 ∴ 23=b ． ……………………………………………………………………4分又(0,)π∠∈ABC ，所以414cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， 由正弦定理：ABCb ACBc ∠=∠sin sin ， 得47sin sin =∠⨯=∠b ABC c ACB ．………………………………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形A B C E ，如图，则42cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，…………………8分 ,62==BD BE 在△BCE 中， 由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)42(23218362-⨯⨯⨯-+=CE CE ， 解得：，3=CE 即，3=AB …………………10分 所以479sin 21=∠=∆ABC ac S ABC .…………………………………………12分 18.解：(Ⅰ)当206=S 时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分 若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首， 此时的概率为：811631)32(323132)31()32()32(21322242=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C p ………… …………5分 （2）∵5S =ξ的取值为10，30，50，又21,,32p q ==…………………6分 ∴8140)31()32()31()32()10(32252335=+==C C P ξ, DA E8130)31()32()31()32()30(41151445=+==C C P ξ 5505552111(50)()().3381P C C ξ==+=…………………9分∴ξ的分布列为：∴81815081308110=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………………………12分 19.解：（1）当M 为PC 中点时，//PA 平面BMQ ，…………………2分理由如下： 连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为090ADC ∠=，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM MC =时，MN 为PAC ∆的中位线，故//MN PA ，又MN ⊂平面BMQ ，所以//PA 平面BMQ .…………………………………………5分（2）由题意，以点D 为原点DP DC DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，…………………6分则),0,2,1(),0,0,1(),2,0,0(B Q P …………………7分由MC PM 2=可得点)32,34,0(M , 所以)32,34,1(),0,2,0(),20,1(-==-=QM , 设平面PQB 的法向量为),,(1z y x n =，则1120,2,0.20,PQ n x z x z y QB n y ⎧⋅=-==⎧⎪∴⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩ 令)1,0,2(,11=∴=n z ，…………………9分同理平面MBQ 的法向量为)1,0,32(2=n ,…………………10分 y设二面角大小为θ，.65657cos ==θ…………………………………………12分 20.解：(1).设点),(y x P ，由题意可得，22|2|)1(22=-+-x y x ，…………………2分 整理可得：1222=+y x .曲线E 的方程是1222=+y x .………………………5分 (2).设),(11y x C ，),(22y x D，由已知可得：||AB =当0=m 时，不合题意. …………………6分当0≠m 时，由直线l 与圆122=+y x 相切，可得：11||2=+m n ，即221.m n += 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x n mx y 消去y 得2221()210.2m x mnx n +++-=…………………8分 02)1)(21(4422222>=-+-=∆m n m n m ，122,1222221+∆--=+∆+-=m mn x m mn x 所以，1222,1242221221+-=+-=+m n x x m mn x x ||||2112x x AB S ACBD -=四边形=12||2121222222+=++-m m m n m=22||||m m ≤+10分 当且仅当||1||2m m =，即22±=m 时等号成立，此时26±=n ，经检验可知， 直线2622-=x y 和直线2622+-=x y 符合题意. ………………………………12分 21.解：（1）当1a =-时，22()(2)ln 2f x x x x x =--+,定义域为()0,+∞，()()()22ln 22.f x x x x x '=-+-- …………………2分(1)3f '∴=-，又(1)1,f =()f x 在()()1,1f 处的切线方程340.x y +-= ……………4分（2）令()()20,g x f x x =--=则()222ln 22,x x x ax x -++=+即1(2)ln ,x x a x--⋅=令1(2)ln ()x x h x x--⋅=， …………………5分 则2221122ln 12ln ().x x x h x x x x x ---'=--+= …………………6分 令()12ln t x x x =--,22()1x t x x x --'=--=，()0t x '<，()t x 在(0,)+∞上是减函数，又()()110t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()max (1)1h x h ∴==.………8分因为0>a ， 所以当函数()g x 有且仅有一个零点时，1a =.当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2,(),e x e g x m -<<≤只需证明max (),g x m ≤…………………9分()()()132ln g x x x '=-+，令()0g x '=得1x =或32x e -=，又2e x e -<<， ∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增，10分 又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23,g e e e =- 333322213()2222()().22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-= 即32()()g e g e -< ，2max ()()23,g x g e e e ==- 223.m e e ∴≥- ………12分22．证明：(1)因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠.由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠，…………………2分又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠，所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而BDA PFA ∠=∠.…………………4分又,EP AF ⊥所以 90=∠PFA ，所以 90=∠BDA ，故AB 为圆的直径．…………………5分(2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而得Rt △BDA ≌Rt △ACB ， 于是∠DAB ＝∠CBA . …………………7分又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB . ………………8分因为AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角，…………………9分所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径，所以5==AB DE .…………………10分23.解：(Ⅰ)圆C 的普通方程为02222=+-+y x y x ，即22(1)(1) 2.x y -++=………2分所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为7)4π；…………………5分 (Ⅱ)直线l 的普通方程：0122=--y x ，圆心到直线l 的距离32231122=-+=d ，…………………7分 所以,31029822=-=AB 点P 直线AB 距离的最大值为,3253222=+=+d r …………………9分 9510325310221max =⨯⨯=S .…………………10分 24.解：（Ⅰ）当5=m 时，,1,3411,21,63)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+--<+=x x x x x x x f ………………………3分由2)(>x f 易得不等式解集为)0,34(-∈x ；………………………5分（2）由二次函数2)1(3222++=++=x x x y ，该函数在1-=x 取得最小值2， 因为31,1()3,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1-=x 处取得最大值2-m ，…………………7分所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，只需22≥-m ， 即 4.m ≥.……………………………10分。