江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 1 函数(1) 2

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江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(40)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（40）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1．（本题满分14分)已知二次函数f (x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R，都有f (－x ） = f (2＋x ）成立，设向量错误!= （ sinx ， 2 ) ，错误!= (2sinx , 错误!)，错误!= ( cos 2x , 1 ），错误!=（1,2），（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当x ∈[0,π］时，求不等式f （错误!·错误!）＞f （错误!·错误!）的解集。

2．（本题满分14分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==,3EF =,2AE BE ==,G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；（Ⅱ）求证：BD EG ⊥；（Ⅲ）求多面体ADBEG 的体积。

ADFE B G CA 123．(本题满分14分)已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ,P 为动点，若124PF PF +=．（Ⅰ)求动点P 的轨迹E 方程；（Ⅱ）若12(2,0),(2,0),(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R 、Q 两点，直线1A R 与2A Q 交于点S ．试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是,请说明理由．4．（本题满分16分）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2,A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2,CA 3的长度相等。

设细绳的总长为y（1）设∠CA 1O = θ （rad )，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。

2012届高三数学第二轮复习《函数方程思想》专题一

2012届高三数学第二轮复习【函数、方程思想】专题一1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

题型一函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用【例题1】若关于x 的方程22x kx x =+有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为； A ．(0，1) B ．(12，1) C ．(12，+∞) D ．(1，+∞)题型二函数与方程思想在方程问题中的应用【例题2】若cos 2sin αα+=tan α= ．题型三函数与方程思想在不等式问题中的应用【例题3】已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为；A ．3x >或2x <B ．2x >或1x <C ．3x >或1x <D ．13x <<题型四函数与方程思想在数列问题中的应用【例题4】已知{n a }为等差数列，{n b }各项为正数的等比数列（q ≠1），11a b =且1111a b =，则6a 与6b 的关系是．1．已知1230x x x >>>，则211log (22),x a x +=222log (22),x b x +=233log (22)x c x +=的大小关系是（）A. b a c <<B. a b c >>C. a b c <<D. c a b <<2．若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（）（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75）（D ）（1.75，2）3．32()f x ax bx cx d =+++的图象如图，则 ( )A ．(),0b ∈-∞B ．()0,1b ∈C ．(1,2)b ∈D ．(2,)b ∈+∞4．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为 ( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2 5．已知函数(),(0,)m f x x x x=+∈+∞，若不等式()4f x <的解集是空集，则（） A ．4m ≥ B ．2m ≥ C ．4m ≤ D ．2m ≤6．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）17．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 . 8．ABC ∆的三边,,a b c 满足8b c +=，a bc a 212520--+=，试确定ABC ∆的形状．9．已知函数f (x )=xa 11- (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在［m ,n ］上的值域是［m ,n ］(m ≠n )，求a 的取值范围.2011届高三数学第二轮复习【函数方程】解答【例题1】构造函数令1,0()1,0x xf x x x >⎧==⎨-<⎩，()(2)g x kx x =+ 【例题2】2．【例题3】解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2()(2)(44)f a x a x x =-+-+由22(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>⇒<或3x >，正确答案为C.【例题4】66a b >1． 2．D 3． A. 5．A 6．A 7．答案：21- 4．由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)，则m ＝1－t 2－t ＝54－(t ＋12)2，∴m ＝54－(t ＋12)2在[0，＋∞)上是减函数，∴t ＝0时，m 的最大值为1. 8．解析：因为b ＋c ＝8，bc a a =-+21252，所以b ，c 是方程t t a a 22812520-+-+=的两实根，故∆=---+=--+≥()()()841252412360222a a a a 即--≥4602()a ，所以a ＝6。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练解答题(2)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（2）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．已知命题p ：指数函数f (x )=(2a -6)x在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2-3ax +2a 2+1=0的两个相异实根均大于3．若p 、q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则y=(2a-6)x在R 上单调递减，∴0<2a-6<1, ∴3<a<27…………2分若q 真，令f(x)=x 2-3ax+2a 2+1，则应满足222Δ(3a)4(2a 1)>03a 32f(3)99a 2a 10⎧=--+⎪-⎪->⎨⎪⎪=-++>⎩，…5分 ∴a>2a<2a 25a 2a 2⎧⎪-⎪>⎨⎪⎪<>⎩或或，故a>25，…………………………………………7分又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．（i ）若p 真q 假，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<25a 27a 3，a 无解．……………………………10分（ii ）若p 假q 真，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≤25a 27a 3a 或，∴25<a ≤3或a ≥27．……………13分故a 的取值范围是{a|25<a ≤3或a ≥27}．………………………………14分2.在ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =．（1）若32BA BC ⋅=，求a c +的值；（2）求cos cos sin sin A C A C +的值．解：（1）由32BA BC ⋅=，得3cos 2ac B =．…………2分因为3cos 4B =，所以22b ac ==．…………4分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2222cos 5a c b ac B +=+=，则222()29a c a c ac +=++=，故3a c +=．…………7分（2）由3cos 4B =，得7sin 4B =．…………9分由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =，…………11分于是22cos cos sin cos cos sin sin()sin 147sin sin sin sin sin sin sin 7A C C A C A A CB AC A C B B B +++=====…………14分 3．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ．（1）求证：AD ⊥平面BC C 1 B 1；（2）设E 是B 1C 1上的一点，当11B EEC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解: （1）在正三棱柱中，C C 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ AD ⊥C C 1．………………………………………2分又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内， ∴ AD ⊥面BC C 1 B 1． ……………………………………………………5分（2）由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．…………………7分当111B EEC =，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1．………………………8分事实上，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BC C 1 B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B= DE ． ………………………………………10分又B 1B ∥AA 1，且B 1B =AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE =AA 1． ………………………………………………13分所以四边形ADE A 1为平行四边形，所以E A 1∥AD ．而E A 1⊄面AD C 1内，故A 1E ∥平面AD C 1． ……………………………15分4. 如图所示,在矩形ABCD 中,已知AB =a ,BC =b (b ＜a ),AB ,AD ,CD ,CB 上分别截取AE ,AH ,CG ,CF 都等于x ,记四边形EFGH 的面积为f （x ）.（1）求f （x ）的解析式和定义域；（2）当x 为何值时,四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解：(1) 设四边形EFGH 的面积为S ,则S △AEH =S △CFG =21x 2, ……………2分 S △BEF =S △DGH =21(a -x )(b -x ),……………4分∴S=ab -2［x 212+21(a -x )(b -x )］= －2x 2+(a +b )x = －2(x -)4b a +2+,8)(2b a +……6分由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b }.……………8分B 1A 1A BC C 1D(2) 因为0＜b ＜a,所以0＜b ＜2ba +, 若4b a +≤b,即a≤3b 时,则当x=4b a +时,S 有最大值8)(2b a +;………11分若4ba +＞b,即a ＞3b 时,S(x)在(0,b ］上是增函数,此时当x=b 时,S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b 2,………14分综上可知,当a≤3b 时,x=4ba +时,四边形面积S max =8)(2b a +,当a ＞3b 时,x=b 时,四边形面积S max =ab-b 2. ………15分5．已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在[10,＋∞)上是单调增函数,求k 的取值范围．解：(1)由kx －1x －1>0及k >0得x －1k x －1>0,即(x －1k)(x －1)>0.①当0<k <1时,x <1或x >1k；……………2分②当k ＝1时,x ∈R 且x ≠1；……………4分③当k >1时,x <1k或x >1. ……………6分综上可得当0<k <1时,函数的定义域为(－∞,1)∪(1k,＋∞)；当k ≥1时,函数的定义域为(－∞,1k)∪(1,＋∞)．……………8分(2)∵f (x )在[10,＋∞)上是增函数,∴10k －110－1>0,∴k >110.……………10分又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1),故对任意的x 1,x 2,当10≤x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2),即lg(k ＋k －1x 1－1)<lg(k ＋k －1x 2－1),∴k －1x 1－1<k －1x 2－1,∴(k －1)·(1x 1－1－1x 2－1)<0, ……………14分又∵1x 1－1>1x 2－1,∴k －1<0,∴k <1.综上可知k ∈(110,1)．…………………………………16分6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(. （1）若,0)1(,=>>f c b a 且是否存在)3(,)(,+-=∈m f a m f R m 成立时使得为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；（2）若对)]()([21)(),()(,,,21212121x f x f x f x f x f x x R x x +=≠<∈方程且有2个不等实根，证明必有一个根属于12(,);x x （3）若0)0(=f ，是否存在b 的值使})(|{x x f x ==})]([|{x x f f x =成立，若存在，求出b 的取值范围，若不存在，说明理由. 解：（1）因为,00,,0)1(<>>>=++=C a c b a c b a f 且所以且…………2分 ∵,,0)(1,0)1(ac x f f 由韦达定理知另一根为的一个根是=∴= ,,,10,00c a b c b a a c c a --=>><<∴<>∴又且∴可得212-<<-a c ，……… 4分假设存在，由题意，则.1323310)1)((=+->+>+∴<<∴<-=--acm m a c a m a c m a因为,0)1()3(,),1()(=>+∴+∞f m f x f 单调递增在即存在这样的.0)3(>+m f m 使……… 6分（2）令.)()],()([21)()(21是二次函数则x g x f x f x f x g +-=)]()([41]2)()()(][2)()()([)()(22121221121≤--=+-+-=⋅x f x f x f x f x f x f x f x f x g x g又0)(,0)(,0)()(),()(2121==∴<⋅≠x g x g x g x g x f x f 且方程有两个不等实根的根必有一个属于).,(21x x …… 10分（3）由0)0(=f 得c =0，∴bx ax x f +=2)(由x x f =)(，得方程0)1(2=-+x b ax ，解得1x =0，2x =ab-1，又由})]([x x f f =得x x bf x f a =+)()]([2∴x x x x f b x x x f a =+-++-])([])([2∴0])([])([2])([22=-+-++-+-x bx x x f b ax x x f ax x x f a ∴0]12)(][)([=+++--b ax ax x af x x f 即0]1)1(][)([22=++++-b x b a x a x x f∴0)(=-x x f 或 01)1(22=++++b x b a x a （*）……12分由题意（*）式的解为0或ab-1或无解，当（*）式的解为0时，可解得1-=b ，经检验符合题意；当（*）式的解为ab-1时，可解得3=b ，经检验符合题意；当（*）式无解时，0)1(4)1(222<+-+=∆b a b a ，即0)3)(1(2<-+b b a∴31<<-b综上可知，当31≤≤-b 时满足题意.…… 16分。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(30)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(30）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．（本小题满分14分)设函数f(x)=a b ，其中向量a=（2cos x，1），b=(cos x，3sin2x),x∈R.(1）若f(x）=0且x∈（－错误!，0）, 求tan2x；(2）设△ABC的三边a,b，c依次成等比数列，试求f(B)的取值范围．2．（本小题满分14分)如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝错误!,BC＝1，E,F分别为AB，PC中点.（1）求证：EF∥平面PAD;（2）若平面PAC⊥平面ABCDPDE.3．(本小题满分14分)某商店经销一种青奥会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收。

设每件产品的日售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查,日销售量与e x(e为自然对数的底数）成反比例。

已知每件产品的日售价为40（第16题）（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时,该商店的日利润L(x)最大,并求出L（x）的最大值。

4．（本小题满分16分)已知函数c+=4f-xxbxax4ln-3,其中a,b,c (（x>0)在x = 1处取得极值c-)为常数。

（1）试确定a，b的值；（2)求函数f(x)的单调增区间；（3）若对任意x>0，不等式f(x)≥－（c－1)4+（c－1）2－c+9恒成立，求c的取值范围。

5．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，A(2a，0)，B(a，0）,a为非零常数，动点P满足PA＝2PB,记点P的轨迹曲线为C．(1）求曲线C的方程；（2）曲线C上不同两点Q（x1，y1)，R (x2，y2）满足错误!＝λ错误!，点S为R关于x轴的对称点．①试用λ表示x1，x2，并求λ的取值范围；②当λ变化时,x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．6．（本小题满分16分)已知数列｛a n}的前n项和为S n，且满足a1＝1，S n= ta n+1（n∈N+，t∈R）．(1）求数列{S n}的通项公式;2)求数列｛na n｝的前n项和为T n.1。

江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 1 函数(1)

专题1 函数（1）张家港市塘桥高级中学罗小兵一、填空题：1．已知，则从大到小为．【答案】2．设的奇函数，则使的X的取值范围是．【答案】（一1，0）3．若x≥0，y≥0，且，则的最小值是．【答案】4．已知函数（其中，为常数），若的图象如右图所示，则函数在区间[－1，1]上的最大值是．【答案】5.设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为．【答案】6．对于给定的函数，有下列四个结论：①的图象关于原点对称； ②； ③在R上是增函数； ④有最小值0．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④7. 定义在上的函数满足，则的值为．【答案】8．函数的定义域为，值域为[0，2]，则区间的长的最大值是．【答案】9．对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1．5]=-2, [2．5]=2,定义函数,则给出下列四个命题：①函数的定义域是R,值域为[0,1] ；②方程有无数个解；③函数是周期函数；④函数是增函数．其中正确命题的序号是．【答案】②③10．已知函数，，，成立，则实数的取值范围是．【答案】11．已知函数若存在，当时，，则的取值范围是．【答案】12．已知定义域为D的函数，对任意，存在正数K，都有成立，则称函数是D上的“有界函数”．已知下列函数：①；②；③；④，其中是“有界函数”的是．（写出所有满足要求的函数的序号）【答案】①②④13.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围为．【答案】【解析】令，由题意若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，所以，解得14.定义在上的函数；当若；则的大小关系为．【答案】【解析】令，则可得，令，则，即为奇函数，令，则，所以，即递减，又，因，所以，即.二、解答题：15. 设函数是定义域为的奇函数．（1）求值；（2）若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；（3）若，且，在上的最小值为，求的值.解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0， ∴1-（k－1）＝0，∴k＝2，（2）单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(88)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练:解答题(88）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1。

（本题满分14分）已知集合}0)52)(2({<---=a x x x A ，函数xa a x y -+-=2)2(lg2的定义域为集合.B(1) 若,4=a 求集合B A ;(2) 已知,23->a 且""A x ∈是""B x ∈的必要条件，求实数a 的取值范围。

2。

已知向量).0,1(),cos sin ,sin 2(),sin ,(cos -=-==c x x x b x x a（1）若,6π=x 求向量a 与c 的夹角；（2）当]89,2[ππ∈x 时，函数)0()(>+⋅=p q b a p x f 的最大值为1，最小值为2-，求p 、q 的值.3.已知数列}{na 是公差为2的等差数列，其前n 项和为nS ，且1641,,a aa 成等比数列.（1)求数列}{na 的通项公式；（2）求}1{nS 的前n 项和.nT4.如图为河岸一段的示意图。

一游泳者站在河岸的A 点处，欲前往对岸的C 点处，若河宽BC 为100m ,A 、B 相距100m ,他希望尽快到达C ，准备从A 步行到E （E 为河岸AB 上的点），再从E 游到C.已知此人步行速度为,v 游泳速度为v5.0.（1）设,θ=∠BEC 试将此人按上述路线从A 到C 所需时间T 表示为θ的函数，并求自变量θ的取值范围；（2）当θ为何值时，此人从A 经E 游到C 所需时间T 最小，其最小值是多少？5。

已知)0()(>+=a x a x x f ，当]3,1[∈x 时，)(x f 的值域为,A 且)](,[m n m n A <⊆。

（1）若,1=a 求n m -的最小值; (2）若,8,16==n m 求a 的值;（3）若,1≤-n m 且],[m n A =，求a 的取值范围。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(32)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（32）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．（本小题满分14分）已知函数21()cos cos()2f x x x x x R =-+∈。

（1）求函数()f x 的最小正周期；（2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.2．（本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形，PA PC =，E 为PB 的中点.(1)求证：∥PD 面AEC ；(2）求证:平面AEC ⊥平面PDB 。

3．（本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 分米（312t ≤≤）;C ABDPE第16题曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ;曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t 。

(1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2）要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少？4．(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知点A 为椭圆222199x y +=的右顶点，点(1,0)D ,点,P B 在椭圆上， BP DA =。

(1）求直线BD 的方程;（2）求直线BD 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长； (3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由.第17题第18题5．（本小题满分16分) 对于函数()f x ，若存在实数对(b a ,），使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立，则称函数()f x 是“（b a ,）型函数”。

2012届江苏高考数学二轮复习：教案+学案+课后训练(含完整答案)整套word稿-课时答案

专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. x＜0，有x2≤02. (2,3)解析：M＝(－∞，3)，N＝(2，＋∞)，∴ M∩N＝(2,3)．3. (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：不等式对应的二次函数开口向上，则Δ＝(a－1)2－4＞0.4. [－1,1]解析：集合A＝[－1,1]，B＝(－∞，1]，∴ A∩B＝A.5.215解析：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a，a＋45≤10≤a≤15，⎩⎪⎨⎪⎧b－13≥0，b≤113≤b≤1，利用数轴，分类讨论可得集合A∩B的“长度”的最小值为13－15＝215.6. ⎣⎡⎦⎤－12，13解析：p：x2＋x－6＜0为真，则不等式的解集为A＝(－3,2)，由q：mx ＋1＞0得m＝0时，解集为B＝R，m＞0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－1m，＋∞，m＜0时，解集为B＝⎝⎛⎭⎫－∞，－1m，m＝0时，A B成立；m＞0时，－1m≤－3,0＜m≤13；m＜0时，－1m≥2，－12≤m＜0，综上m∈⎣⎡⎦⎤－12，13.7. 12解析：这是一个典型的用韦恩图来求解的问题，如图．设两者都喜欢的人数为x，则只喜爱篮球的有15－x，只喜爱乒乓球的有10－x，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12，即所求人数为12.8. (－∞，－4)∪(42，＋∞)解析：两集合分别表示半圆和直线，画图利用几何性质可得答案．9. 解：(1) 2－x＋3x＋1≥02x＋2－(x＋3)x＋1≥0x－1x＋1≥0(x－1)(x＋1)≥0且x≠－1x≥1或x＜－1.∴集合A＝{x|x≥1或x＜－1}．(2) (x－a－1)(2a－x)＞0(a<1)(x－a－1)(x－2a)＜0.∵a＜1，∴2a＜a＋1.∴2a＜x＜a ＋1.∴不等式的解为2a＜x＜a＋1.∴集合B＝{x|2a＜x＜a＋1}．∵B A，∴2a≥1或a ＋1≤－1，∴ a≥12或a≤－2.又a<1，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1.10. 解：若命题p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m2－4＞0，－m＜0m＞2.若命题q为真，Δ＝16(m－2)2－16＜0,1＜m＜3.p或q为真，p且q为假，所以若命题p为真，命题q为假，则m≥3；若命题p 为假，命题q为真，则1＜m≤2，综上，则实数m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}．第2讲函数、图象及性质1. f(x)＝(x－2)2解析：函数满足f(x)＝f(x＋2)，函数周期为2.则x∈[2,3]，x－2∈[0,1]，f(x)＝f(x －2)＝(x －2)2.2. (0,1] 解析：y ＝x x －m ＝1＋m x －m，由反比例函数性质可得到0＜m ≤1；也可以用导数求得．3. 12 解析：f(－x)＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x＋a ，f(－x)＝－f(x) 2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a 2a ＝11－2x －2x 1－2x＝1，故a ＝12；也可用特殊值代入，但要检验．4. 1＜a ＜2 解析：函数为奇函数，在(－1,1)上单调递减，f(1－a)＋f(1－a 2)＞0，得f(1－a)＞f(a 2－1)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜11－a ＜a 2－1，1＜a ＜ 2.5. [3，＋∞) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0，x －1＞0，x －1≠1⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥1或x －2≤－1，x ＞1，x ≠2x ≥3.6. 2 解析：函数满足f(x ＋2)＝1f (x )，故f(x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f(x)，函数周期为4，f(2 012)＝f(0)，又f(2)＝1f (0)，∴ f(0)＝2.7. 3 解析：画图可知a ＋(－1)2＝1，a ＝3，也可利用f(0)＝f(2)求得，但要检验．8. 1 解析：由y ＝|x 2－2x －t|得y ＝|(x －1)2－1－t|，函数最大值只能在y(0)，y(1)，y(3)中取得，讨论可得只有t ＝1时成立．9. 解：(1) ∵ f(a ＋2)＝18，f(x)＝3x ，∴ 3a ＋2＝183a ＝2， ∴ g(x)＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．(2) g(x)＝－(2x )2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －122＋14，当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，令t ＝2x ，∴ y ＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，由二次函数单调性知当t ∈⎣⎡⎦⎤12，2时y 是减函数，又t ＝2x 在[－1,1]上是增函数，∴ 函数g(x)在[－1,1]上是减函数．(也可用导数的方法证明)(3) 由(2)知t ＝2x,2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则方程g(x)＝m 有解m ＝2x －4x在[－1,1]内有解m ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴ m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，14. 10. (1) 证明：取x ＝y ＝0，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴ f(0)＝0，取y ＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴ f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解：任取x 2＞x 1，则x 2－x 1＞0，∴ f(x 2－x 1)＜0，又f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)＜0，∴ f(x 2)＜f(x 1)，f(x)在[－3,3]上单调递减，f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，∴ f(x)在[－3,3]上的最大值f(－3)＝6，最小值f(3)＝－6.第3讲基本初等函数1. 2 解析：lg 22＋lg2lg5＋lg50＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＋lg10＝lg2lg(2·5)＋lg5＋1＝2.2. a ∈(1,2) 解析：y ＝log a (2－ax)是[0,1]上关于x 的减函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，2－a ＞01＜a ＜2.3. [－3,1] 解析：2x 2＋2x －4≤122x 2＋2x －4≤2－1x 2＋2x －4≤－1x 2＋2x －3≤0－3≤x ≤－1.4. (2,2)5. a ≥2 解析：二次函数f(x)＝－x 2＋2ax －1＋a 2开口向下，对称轴x ＝－2a－2＝a ，则a ≥2.6. ⎣⎡⎦⎤1，3127 解析：f(x)为偶函数，则b ＝0，又a －1＋2a ＝0，∴ a ＝13，f(x)＝13x 2＋1在⎣⎡⎦⎤－23，23上的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127.7. f(－25)＜f(80)＜f(11) 解析：∵ f(x －4)＝－f(x)，∴ f(x －4)＝f(x ＋4)，∴ 函数周期T ＝8.∵ f(x)为奇函数，在区间[0,2]上是增函数，∴ f(x)在[－2,2]上是增函数．则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)．∵ f(－1)＜f(0)＜f(1)，∴ f(－25)＜f(80)＜f(11)．8. 4 解析：函数图象恒过定点(1,1)，从而m ＋n ＝1，又mn ＞0，∴ 1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n 时取等号，1m ＋1n的最小值为4.9. 解：f(x)＝12p x 2－x ＋3＝12p (x －p)2＋3－p 2.① p ≤－1时，f(x)在[－1,2]上递减，M ＝f(－1)＝12p ＋4，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．② －1＜p ＜0，M ＝f(p)＝3－p 2，m ＝f(2)＝2p ＋1，由2M ＋m ＝3，得p ＝2－6，p ＝2＋6(舍)．③ 0＜p ＜12，M ＝f(2)，m ＝f(p)，由2M ＋m ＝3，得p ＝2±23(舍)．④ 12≤p ≤2，M ＝f(－1)，m ＝f(p)由2M ＋m ＝3，得p ＝8±66(舍)． ⑤ p ＞2，M ＝f(－1)，m ＝f(2)由2M ＋m ＝3，得p ＝－12(舍)．综上，当p ＝2－6时，2M ＋m ＝3成立．10. 解：(1) 设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上的点，Q(x ，y)是y ＝g(x)图象上的点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－2a ，y ＝－y 0.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋2a ，y 0＝－y.又y 0＝log a (x 0－3a)，∴ －y ＝log a (x ＋2a －3a )，∴ y ＝log a1x －a (x ＞a)，即y ＝g(x)＝log a 1x －a(x ＞a)． (2) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －3a ＞0，x －a ＞0，∴ x ＞3a ，∵ f(x)与g(x)在x ∈[a ＋2，a ＋3]上有意义，∴ 3a ＜a ＋2,0＜a ＜1，∵ |f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴ |log a (x －3a)(x －a)|≤1恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log a [(x －2a )2－a 2]≤1，0＜a ＜1a ≤(x －2a)2－a 2≤1a.对x ∈[a ＋2，a ＋3]时恒成立，令h(x)＝(x －2a)2－a 2，其对称轴x ＝2a,2a ＜2，而2＜a ＋2，∴ 当x ∈[a ＋2，a ＋3]时，h(x)min ＝h(a ＋2)，h(x)max ＝h(a ＋3)．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤h (x )min ，1a ≥h (x )max⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－4a ，1a ≥9－6a0＜a ≤9－5712.第4讲函数的实际应用1. log 32 解析：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2无解，故应填log 32.2. 20% 解析：设该产品初始成本为a ，每年平均降低百分比为p ，则a(1－p)2＝0.64a ，∴ p ＝0.2.3. m ∈(1,2) 解析：令f(x)＝x 2－2mx ＋m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0.解得1＜m ＜2.4. a ＞1 解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f(x)＝a x －x －a(a>0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合要求，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.5. 14 解析：设每个销售定价为x 元，此时销售量为100－10(x －10)，则利润y ＝(x －8)[100－10(x －10)]＝10(x －8)(20－x)≤10⎝⎛⎭⎫x －8＋20－x 22＝360，当且仅当x ＝14时取等号．6. ⎝⎛⎭⎫－1，－13 解析：由题意得f(1)·f(－1)＜0，即(3a ＋1)(a ＋1)＜0，－1＜a ＜－13. 7. 6 解析：⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b2＝1b ＝6.8. ①③④ 解析：函数f(x)＝－|x|x 2＋bx 2＋c 为偶函数，当x ≥0时，f(x)＝－x 3＋bx 2＋c ，b ＜0，∴ f ′(x)＝－3x ⎝⎛⎭⎫x －2b3≤0对x ∈[0，＋∞)恒成立，∴ x ＝0时，f(x)在R 上有最大值，f(0)＝c ；由于f(x)为偶函数，②不正确；取b ＝3，c ＝－2③正确；若b ＜0，取a ＝0，若b ≥0，取a ＝2b3，故一定存在实数a ，使f(x)在[a ，＋∞)上单调减．9. (1)证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c ≥2恒成立．又∵ x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c ≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2)解： ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c ≥0恒成立． ∴ a ＞0，Δ＝⎝⎛⎭⎫12－12－4a(1－4a)≤0，∴(8a －1)2≤0. 解得：a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.(3)解：(解法1) 由分析条件知道，只要f(x)图象(在y 轴右侧部分，包含与y 轴交点)总在直线y ＝m 2x ＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率，∴⎩⎨⎧y ＝18x 2＋12x ＋12，y ＝m 2x ＋14，解得 m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. (解法2)g(x)＝18x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m 2x ＋12＞14在x ∈[0，＋∞)必须恒成立，即x 2＋4(1－m)x ＋2＞0在x ∈[0，＋∞)恒成立． ① Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0，解得：1－22＜m ＜1＋22； ② ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2(1－m )≤0，f (0)＝2＞0，解得：m ≤1－22. 综上，m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋22. 10. (1)证明：当x ≥7时，f(x ＋1)－f(x)＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，且(x －3)(x －4)>0，故f(x ＋1)－f(x)单调递减，∴ 当x ≥7时，掌握程度的增长量f(x ＋1)－f(x)总是下降．(2)解：由题意可知0.1＋15ln a a －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05，解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0,123.0∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科．第5讲不等式及其应用1. (－∞，－2)∪(3，＋∞)2. (－1,2) 解析：由已知得a ＜0，b ＝－a ，ax －b x －2＞0即为ax ＋a x －2＞0，得x ＋1x －2＜0，得－1＜x ＜2.3. －6 解析：作出可行域，求出凸点坐标分别为(3，－3)，(4，－5)，(5，－1)，(6，－3)，则最优解为(4，－5)；或让直线t ＝x ＋2y 平行移动，当直线过点(4，－5)时，目标函数取最小值．4.116 解析：∵ x ，y ∈R ＋，∴ 1＝x ＋4y ≥2x·4y ，∴ xy ≤116，当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5. 9 解析：∵ x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝3，y ＝6时取等号．6. m ≤－5 解析：x 2＋mx ＋4＜0，x ∈(1,2)可得m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，而函数y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上单调增，∴ m ≤－5.7. ⎣⎡⎦⎤95，6 解析：变量x ，y 满足约束条件构成的区域是以(1,3)，(1,6)，⎝⎛⎭⎫52，92三点为顶点的三角形区域(含边界)，y x 表示区域内的点与原点连线的斜率，∴ y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6 8. x ≥1 解析：n n ＋1＝1－1n ＋1＜1，当n 无限变大时，nn ＋1的值趋近于1，不等式要恒成立，显然x ＞12，2x －1|x|＞n n ＋1等价于2x －1x ≥1且x ＞12，故x ≥1.9. 解：(1) y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫a 6x 2＋13x (55－1)x ＝2 700x ＋9ax ＋18.(0＜x ≤20，12≤a ≤1)．(2) 当34≤a ≤1时，y ≥22 700x·9ax ＋18＝1803a ＋18. 当且仅当2 700x ＝9ax ，即x ＝300a时取等号．即当x ＝300a时，y min ＝1803a ＋18；当12≤a ＜34时，y ′＝－2 700x 2＋9a ＜0，故y ＝f(x)在(0,20]上是减函数，故当x ＝20时，y min ＝2 70020＋180a ＋18＝153＋180a. 答：若12≤a ＜34，则当车队速度为20 m/s 时，通过隧道所用时间最少；若34≤a ≤1时，则当车队速度为300am/s 时，通过隧道所用时间最少．10. 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (－2)＝0⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝0，∴ f(x)＝3x 2＋6x ； (2) g(x)＝3⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫1＋m 62－2－3×⎝⎛⎭⎫1＋m 62，－⎝⎛⎭⎫1＋m 6≤2，m ≥－18； (3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2－6x ＋3的最小值为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21.第6讲导数及其应用1. f(x)＝x 2＋2x ＋12. 98 解析：f ′(2)＝4.5－4＝－98，切线方程为y ＝－98x ＋92，∴ f(2)＝94. 3. y ＝x －1 解析：y ′＝3x 2－2，k ＝y ′x ＝1＝1，则切线方程y －0＝1·(x －1)， ∴ x －y －1＝0.4. ⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 解析：y ′＝3x 2－3≥－3，∴ tanα≥－3，0≤α＜π且α≠π2，结合正切函数图象可得答案．5. a ≥－4 解析：x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋4x ＋a ≥0恒成立，由基本不等式1x ＋4x＋a ≥4＋a ，当且仅当x ＝12时取等号，∴ a ＋4≥0，∴ a ≥－4.6. 32 解析：f(x)＝x 3－12x ＋8，f ′(x)＝3(x －2)(x ＋2)，则f(x)的单调增区间是[－3，－2]∪[2,3]，减区间是[－2,2]，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(3)＝－1，f(－2)＝24，∴ M ＝24，m ＝－8.7. (－2,2) 解析：设f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，f(x)在x ＝－1取极大值，在x ＝1时取极小值，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0－2＜a ＜2.8. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为，a ≥3x 2－1x3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4，所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0，显然g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.9. 解：(1) 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2.g(t)＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t)＝g ′(t)而f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt.将a ＝－t 2代入上式得b ＝t.因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.(2) y ＝f(x)－g(x)＝x 3－t 2x －tx 2＋t 3，y ′＝3x 2－2tx －t 2＝(3x ＋t)(x －t)，因为函数y ＝f(x)－g(x)在(－1,3)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′x ＝－1≤0，y ′x ＝3≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧(－3＋t )(－1－t )≤0，(9＋t )(3－t )≤0，解得t ≤－9或t ≥3.所以t 的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)．10. 解：(1) ∵ f(x)＝x 3＋ax ，g(x)＝x 2＋bx ，∴ f ′(x)＝3x 2＋a ，g ′(x)＝2x ＋b.x ∈[－1，＋∞)，f ′(x)g ′(x)≥0，即x ∈[－1，＋∞)，(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0，∵ a ＞0，∴3x 2＋a ＞0，∴ x ∈[－1，＋∞)，2x ＋b ≥0，即∴ x ∈[－1，＋∞)，b ≥－2x ，∴ b ≥2，则所求实数b 的取值范围是[2，＋∞)．(2) b 的最小值为2，h(x)＝x 3－x 2＋ax －2x ，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋a －73.当a ≥73时，h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2≥0对x ∈[－1，＋∞)恒成立，h(x)在[－1，＋∞)上单调增，当0＜a ＜73时，由h ′(x)＝3x 2－2x ＋a －2＝0得，x ＝1±7－3a 3＞－1，∴h(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1－7－3a 3上单调增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－7－3a 3，1＋7－3a 3上单调减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋7－3a 3，＋∞上单调增．滚动练习(一)1.24 解析：f(x)＝x α，f(4)＝12，α＝－12，f(x)＝x －12，f(8)＝24. 2. x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03. (－∞，0] 解析：x ＜－1时，不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x －1＋1)≤1，－x 2≤1，∴ x ＜－1；x ≥－1时，不等式可化为x ＋x ＋1≤1，x ≤0，∴ －1≤x ≤0，综上x ≤0.4. 12 解析：考虑x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1时取等号． 5. [－4,0)∪(0,1) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0.上面式中等号不能同时成立．6. 2 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝3－x 2的图象，两个函数图象有两个交点．7. (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：x 2＋ax ＞4x ＋a －3可化为(x －1)a ＋x 2－4x ＋3＞0对a ∈[0,4]恒成立，设f(a)＝(x －1)a ＋x 2－4x ＋3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (4)＞0.解得x ＜－1或x ＞3.8. －1或－2564 解析：设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由直线y ＝0与抛物线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由直线y ＝274x －274与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.9. 2 008 解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4log 23(log 321＋2＋…＋8)＋233×8＝2 008.10. a ≥2 解析：由log a x ＋log a y ＝3，得y ＝a 3x ，函数y ＝a 3x 在x ∈[a,2a]上单调递减，得其值域为⎣⎡⎦⎤a 32a ，a 3a ，由题知⎣⎡⎦⎤a 32a ，a3a [a ，a 2]，∴ a ≥2. 11. 解：p 为真，则|x －4|≤6的解集为A ＝[－2,10]，q 为真，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)的解集为B ＝[1－m,1＋m]，∵ p 是q 的必要而不充分条件，∴ p 是q 的充分而不必要条件，∴ A ＝[－2,10]B ＝[1－m,1＋m]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2.两式中等号不能同时成立，又m ＞0，∴ m ≥9. 12. 解：(1) 令g(x)＝f(x)－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－1＜a ＜1，a ＜3－22或a ＞3＋220＜a ＜3－2 2.故所求实数a 的取值范围是(0,3－22)．(2) f(0)·f(1)－f(0)＝2a 2，令h(a)＝2a 2.∵ 当a ＞0时h(a)单调递增，∴ 当0＜a ＜3－22时，0＜h(a)＜h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝217＋122＜116，即f(0)·f(1)－f(0)＜116.13. 解：(1) ① 当0＜t ≤10时，V(t)＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50＜50，化简得t 2－14t ＋40＞0，解得t ＜4或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.② 当10＜t ≤12时，V(t)＝4(t －10)(3t －41)＋50＜50，化简得(t －10)(3t －41)＜0，解得10＜t ＜413，又10＜t ≤12，故10＜t ≤12.综合得0＜t ＜4或10＜t ≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月．(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在(4,10)内达到．由V ′(t)＝e 14t ⎝⎛⎭⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t(t ＋2)(t －8)，令V ′(t)＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)．当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：t (4,8) 8 (8,10) V ′(t) ＋ 0 － V(t)极大值由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e ＋50＝108.32(亿立方米)．故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14. 解：(1) 当x ∈[－2，－1)时，f(x)＝x ＋1x 在[－2，－1)上是增函数(用导数判断)，此时f(x)∈⎣⎡⎭⎫－52，－2，当x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12时，f(x)＝－2，当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f(x)＝x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，此时f(x)∈⎣⎡⎦⎤－32，32，∴ f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32. (2) ① 若a ＝0，g(x)＝－2，对于任意x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，不存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)都成立．② 若当a ＞0时，g(x)＝ax －2在[－2,2]是增函数，g(x)∈[－2a －2,2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]，使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[－2a －2,2a －2]，∴有⎩⎨⎧－2a －2≤－52，2a －2≥32，解得 a ≥74.③ 若a ＜0，g(x)＝ax －2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a －2，－2a －2]，任给x 1∈[－2,2]，f(x 1)∈⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32，若存在x 0∈[－2,2]使得g(x 0)＝f(x 1)成立，则⎣⎡⎦⎤－52，－2∪⎣⎡⎦⎤－32，32[2a －2，－2a －2]⎩⎨⎧2a －2≤－52，－2a －2≥32，解得 a ≤－74.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－74∪⎣⎡⎭⎫74，＋∞.专题二三角函数与平面向量第7讲三角函数的图象与性质1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 2. 103. 1 解析：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫π4cosx ＋sinx ，f ′(x)＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sinx ＋cosx ，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－22f ′⎝⎛⎭⎫π4＋22，f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1，f(x)＝(2－1)cosx ＋sinx ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 4. 6 解析：平移后f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，与原来函数图象重合，则ωπ3＝2kπ，k ∈Z ，∵ ω＞0，∴ ωmin ＝6.5. ⎣⎡⎦⎤－54，1 解析：a ＝cos 2x －cosx －1＝⎝⎛⎭⎫cosx －122－54，转化为函数的值域问题． 6. 2＋22 解析：f(x)＝2sin πx4，周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋2 2.7. 2 解析：T ＝2ππ2＝4，对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，f(x)min ＝f(x 1)，f(x)max＝f(x 2)，于是|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8. 23 解析：考查三角函数的图象、数形结合思想．线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx ＝5tanx ，解得sinx ＝23.线段P 1P 2的长为23.9. 解：f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，当a ＞0时，－2a ＋2a ＋b ＝－5，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝1，∴ a ＝2，b ＝－5；当a ＜0时，－2a ＋2a ＋b ＝1，－2a ×⎝⎛⎭⎫－12＋2a ＋b ＝－5，∴ a ＝－2，b ＝1； a ＝0，不存在．综上，a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.10. 解：(1) 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT ＝2ππ＝2，由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2kπ－π2，故φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6时，即x ＝0时，f(x)取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f(x)取得最大值 3.第8讲三角变换与解三角形1. 3 解析：∵ sin 2α＋cos2α＝14，∴ sin 2α＋1－2sin 2α＝14，∴ sin 2α＝34，∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ s inα＝32，∴ α＝π3，tanα＝ 3. 2. 523 解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得 a ＝bsinAsinB ＝5·1322＝523.3. 5 解析：12arcsinB ＝2，c ＝42，由余弦定理可求得b.4. 1 解析：由sin 2α＋sinαcosα－2cos 2α＝0，得tan 2α＋tanα－2＝0，tanα＝1或tanα＝－2(舍)，sin2α＝2sinαcosα＝2tanα1＋tan 2α＝21＋1＝1. 5. 4 解析：由余弦定理得b a ＋ab ＝6cosC ，a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝32c 2，tanC tanA ＋tanC tanB ＝sinC cosC ⎝⎛⎭⎫cosA sinA ＋cosB sinB ＝1cosC ⎝⎛⎭⎫sin 2C sinAsinB ＝2ab a 2＋b 2－c 2⎝⎛⎭⎫c 2ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2，将a2＋b 2＝32c 2代入上式即可．注：(1) 在用正、余弦定理处理三角形中的问题时，要么把所有关系转化为边的关系，要么把所有的关系都转化为角的关系；(2) 本题也可以转化为角的关系来处理．6.724 解析：tanα＝－34，tanβ＝－12，tan2β＝－43. 7. －17 解析：由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3，故最大角为角B.8.817 解析：12bcsinA ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，12bcsinA ＝－2bccosA ＋2bc ， 2－12sinA ＝2cosA ，⎝⎛⎭⎫2－12sinA 2＝(2cosA)2＝4(1－sin 2A)，sinA ＝817. 9. 解：(1) ∵ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4，∴ c ＝2，∴ △ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) ∵ cosC ＝14，∴ sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴ sinA ＝asinC c ＝1542＝158.∵ a ＜c ，∴ A ＜C ，故A 为锐角，∴ cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴ cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.10. 解：(1) sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950.(2) ∵ cosA ＝45，∴ sinA ＝35，∴ S △ABC ＝12bcsinA ＝310bc ，∵ a ＝2，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4，∴ 85bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，bc ≤10，∴ S △ABC ＝12×bcsinA ＝310bc ≤3，当且仅当b ＝c 时，取得最大值，所以当b ＝c 时，△ABC 的面积S 的最大值为3.第9讲平面向量及其应用1. ⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，352.10 解析：|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝0，α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝10.3. π3 解析：∵ (a ＋2b )·(a －b )＝－6，∴ |a|2－2|b|2＋a·b ＝－6，∴ a·b ＝1，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝12. 4. 4 解析：设BC 边中点为D ，则AO →＝23AD →，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴ AO →·AC →＝13(AB →＋AC →)·AC →＝13(3×2×cos60°＋32)＝4.5. (－3,1)或(－1,1) 解析：设a ＝(x ，y)，∴ a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1. 6. －14 解析：AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB → ＝12⎝⎛⎭⎫－1＋23－13×12＝－14. 7. 1－2 解析：设a ＋b ＝2d ，则d 为单位向量． (a －c )·(b －c )＝1－(a ＋b )·c ＝1－2d·c ＝1－2cos 〈d ，c 〉．8. 2 解析：取O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠COA ＝θ，则θ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，C(cosθ，sinθ)，∴ (cosθ，sinθ)＝x(1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32，x ＋y ＝3sinθ＋cosθ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，θ＝π3时取最大值2. 9. 解：(1) 由m·n ＝0得－cosA ＋3sinA ＝0，tanA ＝33，A ∈(0，π)， ∴ A ＝π6.(2)1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，∴ sinB ＋cosBcosB －sinB＝－3，∴ tanB ＝2，∴ tanC ＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6－B ＝－tan π6＋tanB 1－tan π6tanB＝8＋5 3. 10. 解：(1) 在Rt △ADC 中，AD ＝8，CD ＝6，则AC ＝10，cos ∠CAD ＝45，sin ∠CAD ＝35.又∵ AB →·AC →＝50，AB ＝13，∴ cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝513.∵ 0＜∠BAC ＜π，∴ sin ∠BAC ＝1213.∴ sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD)＝6365.(2) S △BAD ＝12AB·AD·sin ∠BAD ＝2525，S △BAC ＝12AB·AC·sin ∠BAC ＝60，S △ACD ＝24，则S △BCD ＝S △ABC ＋S △ACD －S △BAD ＝1685，∴ S △ABD S △BCD ＝32.滚动练习(二)1. {－1,0,1} 解析：M ＝{－2，－1,0,1}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝{－1,0,1}．2. 0 解析：f(1)＝－f(－1)＝－(－3＋2＋1)＝0.3. 2 解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin40°2sin 240°＝ 2.4. (－3,2) 解析：6－x －x 2＞0，∴ x 2＋x －6＜0，∴ －3＜x ＜2.5. 2 解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，则函数的增区间是(－∞，0)∪(2，＋∞)，减区间是(0,2)，所以函数在x ＝2处取极小值．6. 1 解析：a －2b ＝(3，3)与c 共线，则3·3＝3k ，∴ k ＝1.7. 6 解析：A*B ＝{0,2,4}．8. 充要解析：f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称－m2＝1m ＝－2.9. (－∞，2ln2－2] 解析：f ′(x)＝e x －2，x ∈(－∞，ln2)，f ′(x)＜0，x ∈(ln2，＋∞)，f ′(x)＞0，x ＝ln2时，f(x)取极小值即为最小值2－2ln2＋a ≤0，a ≤2ln2－2；本题也可转化为a ＝－e x ＋2x ，求函数g(x)＝－e x ＋2x 值域即可．10. ②④ 解析：函数为偶函数，在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调增，画图即可． 11. 点拨：本题考查函数的概念和性质，对分段函数在讨论其性质时要整体考虑．对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题．解：(1) 函数f(x)为奇函数，f(－x)＋f(x)＝0对x ∈R 恒成立，m ＝2；(2) 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，知f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，得1＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]． 12. 点拨：本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力．解：(1)∵ f(x)＝sin(π－ωx)cosωx ＋cos 2ωx ，∴ f(x)＝sinωxcosωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12，由ω＞0得2π2ω＝π，∴ ω＝1. (2) 由(1)知f(x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， ∴ g(x)＝f(2x)＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12，当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，∴ 22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g(x)≤1＋22，故x ＝0时，g(x)在此区间内取最小值为1.13. 点拨：本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力．解：由cosA ＝1213，得sinA ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bcsinA ＝30，∴ bc ＝156. (1) AB →·AC →＝bccosA ＝156×1213＝144.(2) a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝(c －b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴ a ＝5. 14. 点拨：应用题是高考必考题型，解决应用题的关键要学会审题，根据条件，选择合适的变量，建立数学模型，选择适当的方法解题，结论要符合题意．解：∵ △ABC 是直角三角形，AB ＝2，BC ＝1，∴ ∠A ＝30°.设∠FEC ＝α，则α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∠EFC ＝90°－α，∠AFD ＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α，∴ ∠ADF ＝180°－30°－(30°＋α)＝120°－α，再设CF ＝x ，则AF ＝3－x ，在△ADF 中有DFsin30°＝3－x sin (120°－α)，由于x ＝EF·sinα＝DF·sinα， ∴DF sin30°＝3－DF·sinαsin (120°－α)，化简得DF ＝32sinα＋3cosα≥37＝217， ∴ △DEF 边长的最小值为217.专题三数列第10讲等差数列与等比数列1. 13 解析：a 3＝7，a 5＝a 2＋6，∴ 3d ＝6，∴ a 6＝a 3＋3d ＝13.2. 13 解析：6S 5－5S 3＝5，∴ 6(5a 1＋10d)－5(3a 1＋3d)＝5，得a 1＋3d ＝13. 3. 20 解析：a n ＝41－2n ，a 20＞0，a 21＜0.4.152 解析：a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴ q 2＋q ＝6(q ＞0)，∴ q ＝2，则S 4＝152. 5. 15 解析：S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝15.6. 4 解析：设公差为d ，则⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，由线性规划可知a 1＝1，d ＝1时，a 4取最大值4.7.212解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝33＋2(1＋2＋…＋(n －1))＝n 2－n ＋33，a n n ＝n ＋33n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 在1≤n ≤6，n ∈N *时单调减，在n ≥7，n ∈N *时单调增，∴ n ＝6时，a nn取最小值．8. 4 解析：⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，10≤k ≤1＋10，k ∈N *，∴ k ＝4.9. 解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，2a 1＋7d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.(舍去) ∴ a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2) n ＝1时，a 1＝b 12，a 1＝1，∴ b 1＝2，n ≥2时，a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1，2＝a n －a n －1＝b n 2n (n ≥2)，b n ＝2n ＋1(n ≥2)，∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)． 10. (解法1)(1)证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q ，∴ a n ＋2＝a n q 2(n ∈N *)． (2)证明：∵ a n ＝a n －2q 2(n ≥3，n ∈N *)，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2＝…＝a 1q 2n －2，a 2n ＝a 2n －2q 2＝…＝a 2q 2n －2，∴ c n ＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2. ∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2q 2－2n ，于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2. 当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.当q ≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n 1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1). 故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n＝⎩⎨⎧32n ，q ＝1，32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n －1q 2n －2(q 2－1)，q ≠1.(解法2)(1) 证明：同解法1(1)．(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2a 2n －1＋2q 2a 2na 2n －1＋2a 2n＝q 2(n ∈N *)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }是首项为5，以q 2为公比的等比数列．(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －22q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n.∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q 2＋…＋q －2n ＋2)．下同解法1.第11讲数列求和及其综合应用1. 2n ＋1－n －2 解析：a n ＝2n －1,1＋(1＋2)＋(1＋2＋4)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(2n －1)－n ＝2n ＋1－n －22. 2＋lnn 解析：累加可得．3. T 8T 4 T 12T 84. －p －q 解析：由求和公式知q ＝pa 1＋p (p －1)2d ，p ＝qa 1＋q (q －1)2d ，因为p ≠q ，两式相减得到－1＝a 1＋p ＋q －12d ，两边同时乘以p ＋q ，则－(p ＋q)＝(p ＋q)a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ，即S p ＋q ＝－(p ＋q)．5. 2n ＋1 解析：由条件得b n ＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1－1＝2a n ＋1＋22a n ＋1－1＝2a n ＋2a n －1＝2b n 且b 1＝4，所以数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6. 11 解析：(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴ a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.7. [24,36] 解析：a n ＝6n －(9＋a)，由题知5.5≤9＋a6≤7.5，∴ 24≤a ≤36.8. 470 解析：由于⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos 2nπ3－sin 2nπ3以3 为周期，故S 30＝⎝⎛⎭⎫－12＋222＋32＋⎝⎛⎭⎫－42＋522＋62＋…＋⎝⎛⎭⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2＝∑k ＝110 ⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，分组求和是解决本题的关键．9. 解：(1) 由S n ＝(1＋λ)－λa n S n －1＝(1＋λ)－λa n －1(n ≥2)．相减得：a n ＝－λa n ＋λa n －1，∴ a n a n －1＝λ1＋λ(n ≥2)，∴ 数列{a n }是等比数列．(2) f(λ)＝λ1＋λ，∴ b n ＝b n －11＋b n －11b n ＝1b n －1＋1，∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1b 1＝2，公差为1的等差数列，∴ 1b n ＝2＋(n －1)＝n ＋1.∴ b n ＝1n ＋1.(n ∈N *) (3) λ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ c n ＝a n⎝⎛⎭⎫1b n－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1n ， ∴ T n ＝1＋2⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n －1， ①12T n ＝⎝⎛⎭⎫12＋2⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ⎝⎛⎭⎫12n ， ② ①－②得：12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ∴ 12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ⎝⎛⎭⎫12n ＝ 2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ，所以：T n ＝4－⎝⎛⎭⎫12n －2－2n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4－n ＋22n －1. 10. 解：(1) n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a ，解得a 2＝at ，当n ≥2时，S n ＝tS n －1＋a ，所以S n ＋1－S n ＝t(S n －S n －1)，即a n ＋1＝a n t ，当n ＝1时，由S 2＝tS 1＋a 得a 2＝ta 1，又因为a 1＝a ≠0，综上，有a n ＋1a n＝t(n ∈N *)，所以{a n }是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以a n ＝at n －1.(2) 当t ＝1时，S n ＝na ，b n ＝na ＋1，b n ＋1－b n ＝[(n ＋1)a ＋1]－[na ＋1]＝a ，此时{b n }为等差数列；当a ＞0时，{b n }为单调递增数列，且对任意n ∈N *，a n ＞0恒成立，不合题意；当a ＜0时，{b n }为单调递减数列，由题意知b 4＞0，b 6＜0，且有⎩⎪⎨⎪⎧b 4≥|b 5|，－b 6≥|b 5|，即⎩⎪⎨⎪⎧|5a ＋1|≤4a ＋1，|5a ＋1|≤－6a －1，解得－29≤a ≤－211.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－29，－211. (3) 因为t ≠1，b n ＝1＋a 1－t －at n 1－t ，所以c n ＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a 1－t (t ＋t 2＋…＋t n)＝2＋⎝⎛⎭⎫1＋a 1－t n －a (t －t n ＋1)(1－t )2＝2－at (1－t )2＋1－t ＋a 1－t ·n ＋at n ＋1(1－t )2，由题设知{c n }是等比数列，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2－at (1－t )2＝0，1－t ＋a 1－t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，t ＝2，即满足条件的数对是(1,2)．(或通过{c n }的前3项成等比数列先求出数对(a ，t)，再进行证明)滚动练习(三)1. {4,5} 解析：A ∪B ＝{1,2,3}．2. π4 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，∴ sinA ＝cosA ，∴ tanA ＝1，∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π4.3. 12 解析：由a 1＋3a 8＋a 15＝60得5a 1＋35d ＝60，a 8＝12,2a 9－a 10＝a 8＝12.4. 12 解析：周期是4π，∴ ω＝2π4π＝12. 5. [0,4) 解析：mx 2＋mx ＋1≠0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，成立；当m ≠0时，Δ＝m 2－4m ＜0，∴ 0＜m ＜4.综上，0≤m ＜4.6. 6 解析：本题考查线性规划内容．7. ⎝⎛⎭⎫7π6，11π6 解析：y ′＝1＋2sinx ＜0，∴ sinx ＜－12，∴ 7π6＜x ＜11π6. 8. π3 解析：∵ m ⊥n ，∴ (a ＋c)(a －c)＋b(b －a)＝0，∴ a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∴ cosC ＝12，∴ C ＝π3.9. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：画出符合题意的草图，则x －2＜－3或x －2＞0.10. 4 解析：本题其实是关于最小正周期问题．a 2＝a 1－t ，a 3＝t ＋2－a 1＋t ＝2t ＋2－a 1，a 4＝a 3－t ＝t ＋2－a 1，a 5＝t ＋2－a 4＝a 1，故实数k 的最小值是4.11. 解：(1) f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32，∴ f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2) 依题意得g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，∴ －12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤32，∴ 23－12≤g(x)≤332，∴ g(x)在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为332. 12. 解：(1) 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n－6，因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，n ∈N *，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7，n ∈N *. (2) 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ＞80；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n－6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M进行更新．13. 解：(1) f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m(m>0)，由原点到切线l 的距离为1010，有|m|32＋1＝1010，解得m ＝1.∵ 切线l 不过第四象限，∴ m ＝1，m ＝－1(舍)，∴ 切线l 的方程为y ＝3x ＋1，由于切点的横坐标为x ＝1，∴ 切点坐标为(1,4)，∵ f(1)＝1＋a ＋b ＋c ＝4，∴ c ＝5.(2) 由(1)知f(x)＝x 3＋2x 2－4x ＋5，所以f ′(x)＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)，令f ′(x)＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.x －4 (－4，－2)－2 ⎝⎛⎭⎫－2，2323 ⎝⎛⎭⎫23，1 1 f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)极大值极小值函数值－11139527414. 解：(1) ∵ －1，S n ，a n ＋1成等差数列，∴ 2S n ＝a n ＋1－1， ① 当n ≥2时，2S n －1＝a n －1， ②①－②得：2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ，∴ 3a n ＝a n ＋1，∵ a 1＝1≠0，∴ a n ≠0， ∴ a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，由①得∴ 2S 1＝2a 1＝a 2－1，又a 1＝1，∴ a 2＝3， ∴a 2a 1＝3，∴ {a n }是以3为公比的等比数列，∴ a n ＝3n －1. (2) ∵ f(x)＝log 3x ，∴ f(a n )＝log 33n －1＝n －1，b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋3，∴ T n ＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝1212＋13－1n ＋2－1n ＋3＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3)，比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．又2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156)＝2(n 2＋5n －150)＝2(n ＋15)(n －10)，∵ n ∈N *，∴ 当1≤n ≤9时n ∈N *,2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；∴ 当n＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n>10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)>312，即T n >512－2n ＋5312.。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练解答题(60)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（60）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1、已知向量()sin ,cos 2sin αθθθ=-，()1,2b =. （1）若α与b 是共线向量，求tan θ的值；（2）若αb =，0θπ<<，求θ的值. 2、（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =；（1）求常数c 的值；（2）解不等式()2f x <．3.（本小题满分15分）如图，B A ,是海面上位于东西方向相距(533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距3C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 4．已知函数()sin cos ,f x x x x =-∈R ．（1）求函数()f x 在[0,2]π内的单调递增区间；（2）若函数()f x 在0x x =处取到最大值，求000()(2)(3)f x f x f x ++的值；（3）若()()x g x e x =∈R ，求证：方程()()f x g x =在[)0,+∞内没有实数解．（参考数据：ln 20.69, 3.14π=≈）5、等差数列{}n a 中12,73213=++=a a a a ，记n S 为{}n a 的前n 项和,令1+=n n n a a b ，数列}1{nb 的前n 项和为n T . (1)求n a 和n S ；(2)求证：n T 31<；(3)是否存在正整数n m ,，且n m <<1，使得n m T T T ,,1成等比数列？若存在，求出n m ,的值，若不存在，说明理由. 6.已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. （1）1=a 时，求函数)(x f 的极大值。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练解答题(52)'

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（52）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．（本小题14分）已知函数f(x)＝2log (x ＋3x－a)的定义域为A ，值域为B ．（1）当a ＝4时，求集合A ；（2）当B ＝R 时，求实数a 的取值范围． 2．（本小题14分）某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如左图， B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如右图 (注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?3．（本小题14分）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围（3）求f (x )的最小值4．（本小题16分）如图所示，数列{}n a 的前n 项的和1n n S a b +=+，n T 为数列{}n b 的前n项的和，且22,11062,2n n T n n n =⎧=⎨--+≥⎩. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）找出所有满足：80n n a b ++=的自然数n 的值（不必证明）；（3）若不等式0n n S b k ++≥对于任意的*n N ∈，2n ≥恒成立，求实数k 的最小值，并求出此时相应的n 的值.5. （本小题16分）函数2*()(2,)x a f x b n n N bx c +==∈-且1(2)2f -<-．（1）试求函数()f x 的单调减区间；（2）已知各项均为负数的数列{}n a 前n 项和为n S ，满足14()1nnS f a =，求证：1111ln n nn a na ++-<<-；6．（本题满分16分）已知k R ∈,函数()(01,01)x x f x m k n m n =+⋅<≠<≠.(1) 如果实数,m n 满足1,1m mn >=,函数()f x 是否具有奇偶性？如果有,求出相应的k 值,如果没有，说明为什么?(2) 如果10,m n >>>判断函数()f x 的单调性； (3) 如果2m =，12n =，且0k ≠，求函数()y f x =的对称轴或对称中心.1. 解：（1）当a ＝4时，由x ＋3x －4＝x 2－4x ＋3x ＝(x －1)(x －3)x ＞0，解得0＜x ＜1或x ＞3，故A ＝{x|0＜x ＜1或x ＞3} 。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(33)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（33）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1．(本题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC 且12AC BC ⋅=-．求：（Ⅰ)sin cos αα+的值；(Ⅱ)()()sin 4cos 21sin 42παπαπα-⋅-⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值。

2．(本题满分14分）已知圆O ：522=+y x和点A （1,2），求过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

3．（本题满分14分）如图，矩形2==BC EB ，AC 与BD 交于G ，F 为CE （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥; （Ⅱ）求证：BFD AE 平面//；（Ⅲ)求三棱锥BCF G -的体积.4．（本题满分16分）已知函数2()1f x ax bx =-+,（Ⅰ）是否存在实数,a b 使()0f x >的解集是(3,4)，若存在，求实数,a b 的值,若不存在请说明理由．(Ⅱ）若2a =，且对任意()1,x ∈-+∞，()1f x b >+恒成立，求b 的取值范围．（Ⅲ）若a 为整数，2b a =+,且函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，求a 的值．5．（本题满分16分）。

已知数列{}n a 满足：11,a =11,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，（Ⅰ）求23,;a a(Ⅱ)设*22,nn ba n N =-∈，求证：数列{}nb 是等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）求数列{}na 前100项中所有奇数项的和.6.=32sin cos 4αα⋅=-………………12分16．(本题满分14分）解：由题意可直接求出切线方程为y -2=21-（x -1），即x +2y -5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为42552521=⨯⨯。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题(6)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（6)本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．(本小题满分14分）已知函数235cos 35cos sin 5)(.2+-=x x x x f 。

（1）确定函数f(x)的单调增区间；(2）将函数y=f(x ）的图象向左平移)20(πϕφ<<个单位长度，所得图象关于y 轴对称,求φ的值。

2。

（本题满分14分)如图：四棱锥P-ABCD 的底面为矩形，且AB=2BC ，E 、F 分别为棱AB 、PC 的中点。

（1）求证:EF//平面PAD ；（2)若点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上,求证：平面PAC ⊥平面PDE 。

3. （本题满分14分) 已知函数21(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩，，， ≤满足29()8f c =． (1)求常数c 的值；（2）解不等式()1f x >．4．（本题满分16分)已知△ABC的面积为()18AC AB CB ⋅-=,向量(1cos cos )A B =，n 和(tan tan sin 2)A B C =+，m 是共线向量。

(1）求角C 的大小；（2）求△ABC 的三边长.5．（本题满分16分）已知二次函数()y f x =的图象经过点（0，1)，其导函数()62f x x '=-，数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）*()n ∈N 均在函数()y f x =的图象上.（1）求数列{a n }的通项公式a n 和nS ；（2）设13n n n b a a +=,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，求使得21nm T <对所有都成立的最小正整数m 。

6．（本小题满分16分)已知函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数）.(1）求证:函数f(x ）在（0，a+b]内至少有一个零点; （2）设函数在3x π=处有极值。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：填空题(68)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练:填空题（68）本大题共14小题,请把答案直接填写在答题位置上。

1.函数)1lg(11)(x x x f -+-=的定义域是_____________。

2。

设函数2312211)(,)(,)(x x f x x f x x f ===-，则=)))2012(((21f f f _____________. 3。

函数x x x y +-=)1(的定义域是________________。

4。

已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1212)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为___________.5.设集合}|,sin cos ||{22R x x x y y M ∈-==,},21|{R x i i x x N ∈<-=，（i 为虚数单位），则=N M ____________。

6。

已知M 、N 为集合I 的非空真子集,且M 、N 不相等，若=⎰IM N ____________. 7.设函数)(13)(3R x x ax x f ∈+-=，若对于任意]1,1[-∈x ，都有0)(≥x f 恒成立，则实数a 的值为_________. 8。

已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是定义在实数集R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________。

9。

对于使M x x≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1-叫做x x 22+-的“上确界”，若),0(,+∞∈b a ,且1=+b a ,则b a 221--的“上确界"为__________。

10。

若1x 满足522=+x x ,2x 满足5)1(log 22=-+x x ,则______21=+x x 。

11.设][x 表示不超过x 的最大整数（如:2]2[,2]5.1[,2]1.2[=-=-=），对于给定的*N n ∈,定义)1][()2)(1()1][()2)(1(+-⋯⋯--+-⋯⋯--=x x x x x x n n n n C x n ，),1[+∞∈x ，则当)3,23[∈x 时，函数xC 8的值域是_____________.12.正整数集合kA 中的最小元素为1，最大元素为2010，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集417A A 中的元素个数为__________。

江苏省2012届高三数学二轮专题训练解答题(20)

江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（20）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. (本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点,sin ,cos ),0,56(）（ααP A 其中20πα<<．（1）若,65cos =α求证：;PQ PA ⊥ （2=求)42sin(πα+的值．2. (本题满分14分)设集合{}32|≤≤-=x x A ,函数)34(log )(26+++=k x kx x f(1)当1-=k 时, 求函数)(x f 的值域.(2)若 B 为函数)(x f 的定义域,当A B ⊆时,求实数k 的取值范围.3. (本题满分14分)已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域；（2）在△ABC 中，若()2f C =,2sin cos()cos()B A C A C =--+,求tan A 的值.BP4. (本题满分14分)已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若b a 3-=，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围．5. (本题满分16分)如图△ABC 为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为圆A 的任意一条直径．⑴若12CD DB =，求||AD ； ⑵求⋅的最小值．⑶判断⋅＋⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由．6. (本题满分18分)已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-．（1）若2m =，写出函数)(x f 的对称轴方程、并求函数()g x 的单调区间；（2）若对任意1(,4]x ∈-∞，均存在2[4,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．1. 解：（1）（方法一）由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56(a a PO a a PA --=--= 所以2sin ()cos )(cos 56(）a a a PO PA -+--=⋅.1cos 56sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………6分因为,65cos =a 所以.0=⋅PO PA 故.PO PA ⊥……………………7分（方法二）因为,65cos =a ,20π<<a 所以611sin =a ，故.611,65(）P因此).611,65(),611,3011(--=-=PO PA 因为.0)611()65(30112=-+-⨯=⋅PO PA所以.PO PA ⊥（2）因为，PO PA ⊥所以,22PO PA = 即.sin cos sin )56cos 2222a a a a +=+-（解得.53cos =a ……………………9分因为,20π<<a 所以.54sin =a 因此.2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-===a a a a a ……………………12分从而.50217)257(222524222cos 222sin 2242sin(=-⨯+⨯=+=+a a a ）π ……………14分2. 解:(1) 当1-=k 时, 66)2(3422≤+--=+++x k x kx ……………2分 ∴26log)(6=≤x f ……………4分∴函数)(x f 的值域为]2,(-∞……………5分(2)设g(x)=kx 2+4x+k+3,则B={x|g(x)>0}.①当k=0时,B=(-,+∞)⊈A,不合题意,故舍去. ……………7分②当k>0时,注意到g(x)的图象开口向上,显然B ⊈A,故舍去. ……………9分③当k<0时,由A B ⊆知解得-4<k ≤-.综上知k ∈(-4,-]. ……………14分3. 解：（1）f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1． (3)分因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6．……………………………………………5分所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1．所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2所以f (x )∈[0，3]．即函数f (x )在[－π6，π3]上的值域为[0，3]．………………………7分（2）由f (C )＝3得，2sin(2C ＋π6)＋1＝2，所以sin(2C ＋π6)＝12．在△ABC 中，因为0＜C ＜π，所以π6＜2C ＋π6＜13π6．所以2C ＋π6＝5π6．所以C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3． ………………………………………9分因为2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )．所以2sin B ＝2sin A sin C ． …………………11分因为B ＝2π3－A ，C ＝π3．所以2sin(2π3－A )＝3sin A ．即3cos A ＋sin A ＝3sin A ．即(3－1)sin A ＝3cos A ．所以tan A ＝sin A cos A ＝33－1＝3＋32．………………14分4. 解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)xxxxf x f x a b -=-+-∵ 121222,0(22)0xxxxa a <>⇒-<，121233,0(33)0xxxxb b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数……………6分当0,0a b <<时，同理函数()f x 在R 上是减函数。