初中常见定理证明

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(完整版)初中几何几个著名定理及证明

① AC(BP+DP)=AD ・ BC+AB ・ DC ・即 AC ・ BD=AB ・ CD+AD ・ BC.2.托勒密定理的逆定理若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形內接于一圆。

己知：在凸四边形ABCD 中，AB • CD+AD • BC 二 BD • AC 。

求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。

证明：分别以E 、A 为顶点，在四边形ABCD初屮见何甩个著名炙龌及证明识玻堵泗阳展療口屮曇蒐疋屮一.托勒密定理 1.托勒密定理圆內接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。

己知：圆內接四边形AECD,求证：AC ・BD 二AB • CD+AD ・BC 。

证明：如图所示，过C 作CP 交BD 于P, 使Z1=Z2,又Z3=Z4, AACD^ABCP. 冴 BP BC EP • AC 二 AD • BC 又 ZACB=ZDCP, Z5= Z6,,即 •：A ACB S A DCP . 得需=舘，即DP ・AC =AB ・DC内，作ZABF= ZDBC> ZBAF=ZBDC,—=—=> AB CD^BD-AF则厶ABF^ADBC 〜Ar CDAH _Bn亦—斎又•，• ZABD = Z ABF +ZEBF= ZEBF + ZDBC = ZFBC•'•△ABD S A FB C =x> —=—=>JD-/R-=Hzrc/--HC CF•••AB ・ CD+AD ・ BC=BD* （AF+CF）又VAB・CD+AD ・BC=BD・AC （己知〉,•••AC=AF + CF；「.A、F、C三点共线；ZBAC=ZBAF = ZBDC；：4、B、C、D 四点共圆。

3.托勒密不等式在任意凸四边形中，两组对边乘积的和不小于其两条对角线的乘积。

〈托勒密定理可视作托勒密不等式的特殊情况。

）即在任意凸四边形ABCD中，必有AC ・BDWAB • CD+AD * BC,当且仅当A、B、C、D四点共圆（托勒密定理）或共线（欧扌立几何定理）时取等号。

初中几何证明方法

初中几何证明方法
1. 直角三角形定理证明：利用勾股定理证明直角三角形的特征。

2. 等边三角形定理证明：通过三条边全等证明三角形的三个角都是60度。

3. 同位角证明：沿着一组平行线切割两条平行线，证明同位角相等。

4. 对顶角证明：利用两组平行线切割一条横线，证明对顶角相等。

5. 三角形内角和定理证明：通过将三角形分解成三个直角三角形，证明三角形的内角和为180度。

6. 圆的面积公式证明：通过四个等腰直角三角形的组合和排列得出圆的面积公式。

7. 相似三角形定理证明：通过两个三角形的对应角相等，证明两个三角形相似。

8. 等腰三角形定理证明：通过证明两个底角相等，证明等腰三角形的另外两条边相等。

9. 正方形定理证明：通过证明正方形的四个角都是直角且四条边相等，证明正方形的特征。

10. 角平分线定理证明：利用角平分线将一个角分成两个相等的角，证明相邻的角互补且对顶角相等。

初中十大著名数学定理

初中十大著名数学定理初中数学是我们学习数学的基础，其中有许多著名的数学定理，今天我们就来一一了解一下。

一、勾股定理勾股定理是初中数学中最为著名的定理之一，它是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方和。

这个定理的应用非常广泛，可以用来求解各种三角形的边长和角度。

二、平行四边形对角线定理平行四边形对角线定理是指平行四边形的对角线互相平分，即对角线相交于一点，且这个点到四个顶点的距离相等。

这个定理可以用来证明平行四边形的各种性质。

三、相似三角形定理相似三角形定理是指两个三角形的对应角度相等，对应边成比例。

这个定理可以用来求解各种三角形的边长和角度，也可以用来证明各种三角形的性质。

四、圆的面积公式圆的面积公式是指圆的面积等于半径的平方乘以π。

这个公式可以用来求解各种圆形的面积，也可以用来证明各种圆形的性质。

五、三角形内角和定理三角形内角和定理是指三角形的三个内角之和等于180度。

这个定理可以用来证明各种三角形的性质，也可以用来求解各种三角形的角度。

六、正方形对角线定理正方形对角线定理是指正方形的对角线相等，且对角线互相垂直。

这个定理可以用来证明正方形的各种性质，也可以用来求解正方形的对角线长度。

七、等腰三角形定理等腰三角形定理是指等腰三角形的两个底角相等。

这个定理可以用来证明等腰三角形的各种性质，也可以用来求解等腰三角形的角度。

八、正比例定理正比例定理是指两个量成正比例，即一个量增加或减少，另一个量也相应地增加或减少。

这个定理可以用来求解各种比例问题。

九、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边平方和减去这两边的积与这条边对应的角的余弦的积的两倍。

这个定理可以用来求解各种三角形的边长和角度。

十、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意一条边的长度与这条边对应的角的正弦成比例。

这个定理可以用来求解各种三角形的边长和角度。

初中几何证明的所有公理和定理

初中几何证明的所有公理和定理几何学是数学的一个分支，研究平面和空间中的图形、形状、大小以及它们之间的关系。

在几何学中，有一些基本的公理和定理被广泛应用于证明其他几何结论。

以下是初中几何中常用的公理和定理。

一、公理1.尺规公理：任意两点可以用直尺连接，任意一点可以用剪刀间距来复原。

2.同位角公理：同位角互等。

3.平行公理：通过点外一条直线的直线，与这条直线平行的直线只有唯一一条。

4.直线偏转公理：过直线和不在直线上的一点，有且只有一条直线与该直线相交。

二、定理1.垂直平分线定理：平分一条线段的直线必垂直于该线段。

2.三角形内角和定理：三角形内角的和为180°。

3.直角三角形定理：在直角三角形中，两个直角三角形的边长和斜边相等。

4.点到直线的距离定理：点到直线的距离等于点到该直线上垂线的距离。

5.等腰三角形定理：等腰三角形的底边中点到顶点的距离等于底边的一半。

6.等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。

7.三角形外角定理：三角形外角等于其对应内角的和。

8.直角三角形的勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

9.海伦公式：已知三角形的三边长，可以通过海伦公式求解其面积。

10.等周定理：等周的两角相等，反之亦成立。

11.三角形中位线定理：三角形两边中点连线中位线，且平分第三边。

12.周长定理：四边形周长等于各边长的和。

13.三角形周长定理：三角形的周长等于三边长的和。

14.三角形中线定理：三角形中线等分中位线，且平分第三边。

15.三角形终边定理：一个角的终边上的点，到另一个角所在的直线的距离永远相等。

16.五边形内角和定理：五边形的内角和是540°。

17.钝角三角形的边长关系：钝角三角形两边长的平方和小于斜边长的平方。

18.三角形的相似性定理：对应角等价、对应边成比例的两个三角形为相似三角形。

19.平行线的性质定理：平行条边分别过枚角且长度成正比，则连线为平行线。

20.重叠三角形定理：如果两个角和一个边分别相等，则两个三角形相等。

初中数学定理及推论的证明

初中数学定理及推论的证明证明一：等腰三角形的定理定理：如果一个三角形的两条边等长，那么这个三角形是等腰三角形。

证明：假设三角形ABC的两条边AB和AC等长，即AB=AC。

由等量减法原理，我们可以得到：AB-AC=0。

再根据减法交换律，我们可以得到：AC-AB=0。

根据减法结合律，上述两式可以合并为：AC-AB+AB-AC=0。

通过合并同类项，我们可以得到：AC-AC+AB-AB=0。

根据零元素的性质，我们可以得到：0+0=0。

根据加法恒等性质，上述两式可以合并为：0=0。

根据等式传递律，我们可以得到：AC-AB=AB-AC。

根据相反数的性质，上式可以变为：AC+(-AB)=AB+(-AC)。

根据加法逆元的定义，我们可以将上式简化为：AC-AB=AB-AC=0。

由于AC-AB=0，所以AC=AB。

这就证明了三角形ABC是等腰三角形。

证明二：三角形内角和定理定理：三角形的内角和等于180度。

证明：假设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。

我们可以通过以下步骤来证明内角和定理：1.根据直角三角形的性质，直角三角形的内角和等于90度。

所以∠A+∠B+∠C=90度。

2.将三角形ABC划分为两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个内角分别为∠A和∠B。

3.根据直角三角形内角和定理，我们可以得到∠A+∠B=90度。

4.将上述结果代入第一步的等式中，我们可以得到90度+∠C=90度。

5.根据加法逆元的定义，我们可以将上述结果简化为∠C=0度。

6.根据零元素的性质，0度+0度+0度=0度。

结合第一步的等式，我们可以得到∠A+∠B+∠C=0度。

因此，三角形ABC的内角和等于180度。

证明三：略以上是初中数学中的两个重要定理及其证明。

这些证明基于基本的数学概念和运算法则，通过逻辑推理和数学运算的方法，从已知条件推导出结论。

这些证明过程旨在培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力，加深对数学定理的理解和应用。

同时，这些定理的证明也为后续数学知识的学习和应用奠定了基础。

初中数学证明题定理

初中数学证明题定理线1.过两点有且只有一条直线（简：两点决定一条直线）2.两点之间线段最短3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直5.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短（简：垂线段最短）平行公理1.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：平行于同一直线的两直线平行）三角形1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边.2. 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.全等三角形的性质、判定1.边角边(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.2.角边角(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.3.角角边(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.4.边边边(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等.5. 斜边、直角边(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.角的平分线的性质、判定1.性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)2.等腰三角形顶角的平分线平分底边,并且垂直于底边3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合4.等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°5.等腰三角形判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）等边三角形1.三个角都相等的三角形是等边三角形2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形线段垂直平分线1.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合直角三角形1.直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半2.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半多边形1.四边形的外角和等于360°2.多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）180°3. 任意多边的外角和等于360°平行四边形1.平行四边形的对角相等2.平行四边形的对边相等3.夹在两条平行线间的平行线段相等4.平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形4.一组对边平行相等的四边形是平行四边形5.对角线互相平分的四边形是平行四边形矩形性质1. 矩形的四个角都是直角.2. 矩形的对角线相等.矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形是矩形2.有三个角是直角的四边形是矩形.3. 对角线相等的平行四边形是矩形.菱形性质1.菱形的四条边都相等.2.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形面积=对角线乘积的一半，菱形判定1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.四边都相等的四边形是菱形3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形性质1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.正方形判定1.四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.等腰梯形性质1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.2.等腰梯形的两条对角线相等.等腰梯形1.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形.3.经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰4.经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.中位线1.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.2.梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半相似三角形判定1.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三角形的内心,外心1.三角形的内心是三角形内切圆的圆心，它是三个内角的平分线的交点，到三边的距离相等2.三角形的外心是三角形外接圆的圆心,外心是三角形三边垂直平分线的交点外心到三角形三个顶点的距离相等.正多边形和圆1.依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形n(n≥3):2.经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

初中数学所有几何证明定理

初中数学所有几何证明定理初中数学中的几何证明定理有很多，下面列举一些较为常见和重要的：1.垂线定理：如果两条直线相交，且其中一条直线垂直于另一条直线，那么相交的两条直线分成的两对相邻角互为互补角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，且直线AB垂直于直线CD，那么∠AOC和∠BOD构成一对互补角，同时∠AOD和∠BOC构成一对互补角。

2.同位角定理：如果两条平行线被一条横截线相交，那么相交的各对同位角相等。

证明：假设平行线AB与CD被平行于它们的条横截线EF相交于点O，那么∠AEO和∠COF，∠FEO和∠DOF互相等。

3.对顶角定理：如果两条直线AB和CD相交，那么由相交而分成的四个角中的相邻角互为对顶角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，那么∠AOB和∠COD、∠BOC和∠AOD互为对顶角。

4.垂直角定理：如果两条直线AB和CD相交，那么由相交而分成的四个角中的互为相对角的两对角中，有一对互为垂直角。

证明：假设直线AB与直线CD相交于点O，那么∠AOC和∠BOC互为相对角，如果直线AB与直线CD垂直，那么∠AOC和∠BOC互为垂直角。

5.三角形的内角和定理：一个三角形的内角的和等于180°。

证明：假设三角形的三个顶点为A、B、C，以AB为边作一个封闭的三角形ABC，再以BC为边作一个封闭的三角形ACB。

根据同位角定理，∠BAC+∠BCE=∠ACB+∠ACD，即∠BAC+∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD+∠BCE，因此∠BAC+∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACB，即∠BAC+∠ACB+∠ACB=180°。

6.线段的三等分定理：对于线段AB上的任意一点C，如果AC与CB 的长度相等，那么AC与CB将线段AB分为三个相等的部分。

证明：利用数学归纳法，首先取一点D在线段AB上，并且AD的长度为BD的两倍，那么根据线段的加法性质，我们有AB=AD+BD=AD+AD=2AD。

初中数学定理最全整理归纳

初中数学定理大全初中数学点、线、角的定理点的定理：过两点有且只有一条直线点的定理：两点之间线段最短角的定理：同角或等角的补角相等角的定理：同角或等角的余角相等直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短几何平行定理平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等初中数学定理：三角形内角定理定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形判定定理定理：全等三角形的对应边、对应角相等边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形初中数学公式定理对称定理定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称直角三角形定理定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半判定定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形多边形内角和定理定理：四边形的内角和等于360°四边形的外角和等于360°多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）×180°推论：任意多边的外角和等于360°平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h相似三角形定理相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方三角函数定理任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值初中数学圆的定理1.2不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。

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初中常有定理的证明一、三角形1、运用你所学过的三角形全等的知识去证明定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．（用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依照）2、证明定理：等腰三角形的两个底角相等．（画出图形、写出已知、求证并证明）3、表达并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程4、我们知道，证明三角形内角和定理的一种思路是力求将三角形的三个内角转变到同一个极点的三个相邻的角，从而利用平角定义来得到结论，你能想出多少种不同样的方法呢？同学之间可相互交流．5、三角形中位线定理，是我们特别熟悉的定理．① 请你在下面的横线上，完满地表达出这个定理：② 依照这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．6、定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是，这个命题正确吗？若正确，请你证明这个命题，若不正确请说明原由．7、用所学定理、定义证明命题证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．8、同学们，这学期我们学过很多定理，你还记得“在直角三角形中，若是一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请你写出它的抗命题，并证明它的真假．解：原命题的抗命题为：在直角三角形中，若是一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 30°．9、利用图（ 1）或图（ 2 ）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分出名的定理，这个定理称为是，该定理的结论其数学表达式．10、利用图中图形的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分出名的定理，此证明方法就是美国第二十任总统伽菲尔德最先完成的，人们为了纪念他，把这一证法称为“ 总统” 证法．这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．11 、 [ 定理表述 ]请你根据图 1 中的直角三角形，写出勾股定理内容；[ 试一试证明 ]以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、 b 为底，以 a+b 为高的直角梯形（如图 2），请你利用图 2，验证勾股定理．定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．ab c2证明：∵ S 四边形ABCD =S△ABE +S△AED +S△CDE= 22 212 、如图，△ ABC 中，① AB=AC，② ∠ BAD=∠ CAD，③ BD=CD，④AD⊥BC．请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“ 三线合一” 性质定理．13、课本指出：公认的真命题称为公义，除了公义外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要经过推理的方法证实．（ 1）表达三角形全等的判断方法中的推论 AAS；（ 2）证明推论 AAS．要求：表达推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依照．14 、在数学课外活动中，某学习小组在谈论“导学案”上的一个作业题：已知：如图， OA均分∠ BAC，∠1=∠2．求证： AO⊥ BC．同学甲说：要作辅助线；同学乙说：要应用角均分线性质定理来解决：同学丙说：要应用等腰三角形“ 三线合一” 的性质定理来解决．若是你是这个学习小组的成员，请你结合同学们的谈论写出证明过程．15、证明：勾股定理逆定理已知：在 ABC中， AB=c,AC=b,BC=a ,若 c2 =a 2 + b 2求证：∠ C = 90 度证明：作 RT DEF，使∠ E=RT∠， DE=b ,EF=a在 RT2 2 2= a2 2 DEF中， DF = ED + EF +b因为 c2 =a 2 + b 2所以 DF =c所以 DF=AB，DE=AC，EF=BC所以 RT DFE≌Δ ABC(SSS)所以∠ C=∠E = RT∠二、四边形（一）梯形1、定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等” ．2、用两种方法证明等腰梯形判判定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（要求：画出图形，写出已知、求证、证明）．3、在梯形 ABCD中，如图所示， AD∥ BC，点 E、 F 分别是 AB、 CD的中点，连接 EF，EF 叫做梯形的中位线．观察 EF 的地址，联想三角形的中位线定理，请你猜想： EF 与 AD、 BC 有怎样的地址和数量关系并证明你的猜想．4、采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM（图中EF， FN， EM 为折痕），使得点 A 与 B、 C 与 D 分别重合于一点．请问，线段 EF 的位置如何确定；经过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式（至少三个）？证明你的所有结论．解：可以看出梯形的中位线定理、面积公式、平行线的性质定理等．（二）平行四边形1、定理证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2、定理求证：对角线互相均分的四边形是平行四边形．3、我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判判定理之间有着一定的联系．例如：菱形的性质定理“ 菱形的对角线互相垂直” 和菱形的判判定理“ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 就是这样．但是课本中对菱形的别的一个性质“ 菱形的对角线平分一组对角” 却没有给出近似的判判定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题．要求：若是有近似的判判定理，请写出已知、求证并证明．若是没有，请举出反例．（三）圆证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

初中几何证明常用定理

初中几何证明常用定理几何学是一门关于空间形状、大小、位置、变换等的数学学科。

在几何学中，证明常用定理是解决几何问题的关键步骤。

常用定理是几何学中的基本原理，它们通过逻辑推理和几何推理来证明，并且在解决各种几何问题中具有广泛的应用。

下面是几个常用的几何学定理及其证明。

1.直线的性质：定理1：两条垂直直线之间的夹角是90度。

证明：设直线AB和CD相交于点O，要证明∠AOB=90度。

首先，连接OC和OD，由于OC⊥AB且OD⊥AB，所以OC和OD是两条垂直直线。

其次，由∠COD=90度可知OC⊥OD。

因此，由垂直线与直线的性质可知∠AOB=90度。

定理2：两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率的乘积为-1证明：设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2、若直线AB与直线CD垂直，则k1*k2=-1、反之，若k1*k2=-1，则可由直线的斜率公式得知，直线AB和CD的斜率互为相反数，即两条直线垂直。

2.三角形的性质：定理3：三角形内角和等于180度。

证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C。

在边AC上延长一条线段AD，使AD=AB。

则∠ADB=∠ABC。

同时，在边AB上延长一条线段AE，使AE=AC。

则∠AEC=∠ACB。

由于平行线之间的对应角相等，可得∠BAC=∠BDA和∠ABC=∠CAE。

因此，∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠BDA+∠ABC+∠CAE=180度。

定理4：三角形的外角等于其不相邻内角之和。

证明：设三角形ABC的外角ACD的度数为x，内角A的度数为∠A，内角B的度数为∠B，内角C的度数为∠C。

由三角形内角和等于180度的性质可知∠A+∠B+∠C=180度。

又由平行线之间的对应角相等可得∠C=∠ACD。

因此，∠A+∠B+∠C+x=180度。

3.圆的性质：定理5：在一个圆上，圆心到圆上任意一点的距离都相等。

证明：设圆O的圆心为O，圆上一点为A。

连接OA，并假设圆上还有另一点B。

(完整版)初中常见定理证明

初中数学定理

初中数学定理初中数学定理是初中数学教学中的重中之重，它是经过验证和推演的数学规律和关系的总结。

初中数学定理广泛应用于代数、几何和数论等各个数学分支中，是学习数学的基石。

下面将介绍一些常见的初中数学定理。

1.勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于斜边的平方和另外两条边的平方之和。

即a² + b² = c²。

勾股定理是数学中最重要的定理之一，是解决直角三角形问题的基础。

2.平行线定理平行线定理是指如果两条直线与第三条直线相交，使得同侧内角之和为180度，则这两条直线是平行线。

平行线定理在几何学中应用广泛，是研究平行线性质和构造平行线的基础。

3.数列的通项公式数列的通项公式是指根据数列中各项之间的规律，找出能计算每一项的公式。

通项公式在数列求和、递推等问题中起到关键作用，帮助我们简化计算和分析数列性质。

4.同余定理同余定理是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。

同余定理在数论中应用广泛，可以用来研究整数的性质和关系，解决同余方程和同余关系等问题。

5.二元一次方程组二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，它的解,表示为一个有序对。

二元一次方程组理论乃至方程组理论是代数学的核心内容之一，它用于解决两个未知数之间的关系和约束条件。

6.直角三角形的正弦定理和余弦定理直角三角形的正弦定理和余弦定理是在三角函数中应用广泛的定理。

正弦定理是指在任意三角形中，三角形的任意一边与其对角的正弦比是相等的。

余弦定理则是指在任意三角形中，三角形的一条边的平方等于其他两条边平方和减去这两条边的积与这两条边与这条边夹角的余弦的乘积。

7.圆的面积和周长公式圆的面积公式是指一个圆的面积等于半径的平方乘以π，即S=πr²。

而周长公式是指一个圆的周长等于直径乘以π，即C=2πr。

这两个公式是研究圆的性质和计算它的面积和周长的关键。

8.二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式是指二次函数的图像的顶点坐标可以用公式(Vx, Vy) = (-b/2a, -D/4a)计算得到。

初中数学所有几何证明定理精编版

初中数学所有几何证明定理精编版一、直线垂直定理定理：如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率乘积为-1证明：设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2、由于两条直线互相垂直，则L1与L2的斜率乘积为-1，即k1×k2=-1二、垂直平分线定理定理：如果一条直线垂直平分一条线段，那么它必过这条线段的中点。

证明：设直线L垂直平分线段AB，即将线段AB分成等长的线段AC和CB。

假设直线L不过线段AB的中点D，那么必然存在一点E在线段AB的另一侧，使得直线LE与线段AB垂直，这与直线L垂直平分线段AB的前提相矛盾，所以直线L必过线段AB的中点D。

三、三角形角平分线定理定理：三角形中，角的平分线上的点到边的距离成比例。

证明：设三角形ABC的角A的平分线交边BC于点D，AD是直线BC的角A平分线。

利用三角形相似性可以得到以下等式：AD/BD=AC/BCAD/CD=AB/BC将两个等式相加得到(AD/BD)+(AD/CD)=(AC/BC)+(AB/BC)，化简后可得到AD/BD+CD=AC/BC+AB/BC，再进一步整理得到AD/(BD+CD)=AC/BC，即AD和BC上的点到边的距离成比例。

四、三角形相似条件定理定理：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

证明：设△ABC和△DEF是两个具有对应相等角A,B,C和D,E,F的三角形。

根据角度相等和三角形内角和为180°的性质，可知∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°。

再根据第三个内角为180°的三角形内角和为180°的性质，得知∠C=∠F。

因此，这两个三角形具有两对相等角，所以根据三角形相似的定义，△ABC和△DEF相似。

五、等腰三角形性质定理定理：等腰三角形的两个底角相等。

证明：设△ABC是一个等腰三角形，AB=AC。

假设∠A≠∠B，那么根据三角形内角和为180°的性质，必存在一个角∠C使得∠A+∠B+∠C=180°。

初中常见定理证明

初中常见定理证明论证数轴中的异号数相乘的性质：命题：两个不相等的实数a和b，其中a>0, b<0，则ab<0。

证明：设a>0,b<0。

由于a>0，根据数轴上两个数的相对大小可知，a的右侧必然有正数区间，记为区间A；由于b<0，根据数轴上两个数的相对大小可知，b的右侧必然有负数区间，记为区间B。

如果区间A与区间B没有交集，那么ab<0成立。

因为a和b的右侧分别有正数和负数区间，所以它们相乘的结果为负数，即ab<0。

如果区间A与区间B有交集，由于a和b不相等，所以交集必然为一个单点，记为交点C。

在交点C左侧的数是负数，右侧的数是正数。

在交点C处的点可以看作是0，所以在C左侧的点可以看作在负数区间上，而在C右侧的点可以看作在正数区间上。

在这种情况下，ab>0。

因为a和b分别在正数区间和负数区间上，所以它们相乘的结果为正数，即ab>0。

综上所述，无论区间A与区间B是否有交集，结论ab<0都成立。

-论证数a的倒数的平方与a的平方的倒数相等：命题：对于任意非零实数a，(1/a)²=1/(a²)。

证明：要证明(1/a)²=1/(a²)，即证明两边的值相等。

首先，根据从零阶幂到任意整数阶幂的幂运算法则，对于任意非零实数a，有a⁰=1，其中⁰代表零阶幂。

利用这个法则，我们可以写出(1/a)²的展开式：(1/a)²=(a⁰/a)²=a⁰²/a²=1/a²同样，根据从零阶幂到任意整数阶幂的幂运算法则，对于任意非零实数a，有a²⁻²=1，其中⁻²代表负二阶幂。

利用这个法则，我们可以写出1/(a²)的展开式：1/(a²)=a²⁻²=1/a²从上述展开式可以看出，(1/a)²和1/(a²)的值相等。

初中常见定理证明

初中常见定理证明三角形的内角和定理：三角形的内角和定理是指一个三角形的三个内角的和等于180度。

证明：设三角形的三个内角分别为A,B,C，按照定义，A,B,C都是小于180度的角。

将B、C两边的角分别绕端点A逆时针旋转，使得B覆盖在AC上，C 覆盖在AB上。

绕端点A逆时针旋转角是运动角A，按照定义，运动角A是小于360度的角。

∠BA'C=A+∠A'C=A+B<180度∠CA'B=A+∠A'B=A+C<180度注意到三角形A'BC是一条直线，所以∠BA'C+∠CA'B=180度即A+B+A+C=180度A+B+C=180度证毕。

三角形内切圆的性质：三角形内切圆的圆心与三角形的垂心、重心、外心和内心共线，且所在的直线叫做欧拉线。

证明：设三角形ABC的内切圆的圆心为I，垂心为H，重心为G，外心为O，内心为M。

首先，由内切圆的性质可知，圆心I与三角形三条边的切点处相切。

设切点分别为D，E，F，即ID，IE，IF分别垂直于AB，BC，CA由于内切圆可以看作三角形的一个切线，所以ID，IE，IF都是垂直于三角形的一条边。

由垂心的定义可知，垂心H是三条高线的交点，也就是说，HD，HE，HF都是垂直于三条边的直线。

所以，ID，IE，IF与HD，HE，HF都垂直于AB，BC，CA，两组垂直线交于同一个点，即I，H重合。

所以圆心I与垂心H重合。

接下来，证明圆心I与重心G共线。

设三角形ABC的边长分别为a，b，c，重心G的坐标为(xg, yg)根据G的定义，三角形的重心G坐标满足：xg = (xa + xb + xc)/3yg = (ya + yb + yc)/3设三角形的内角平分线与内切圆的切点分别为A'，B'，C'由于内角平分线等分相应的内角，所以∠A'IB'=∠B'IC'=∠C'IA'=90度根据直角三角形的性质，A'I与IB'垂直且等长，B'I与IC'垂直且等长，C'I与IA'垂直且等长所以A'I，B'I，C'I是垂直于A'B'，B'C'，C'A'的直线。

初中几何证明常用定理

初中几何证明常用定理初中几何常用定理有很多，下面我将介绍一些常用的定理及其证明。

一、射影定理射影定理是初中数学中的基本定理之一，它是勾股定理的推广。

定理：在直角三角形中，斜边的垂直平分线过直角。

即若直角三角形ABC中，AC为斜边，D为AC上一点，垂直AD于BC，则BD=DC。

证明：由题意可知，直角三角形ABC中∠B=90°，由于AD⊥BC，所以∠ADB=90°，而直角三角形ADB中∠A=90°，所以线段AD的延长线AB与直角三角形BCD的直角边BD相交于点C。

我们要证明BD=DC。

由BD是CD的延长线，所以∠CDB是CDB的外角，根据三角形外角定理可知∠CDB=∠ADB=90°-∠BAC。

因为∠ACB是直角三角形ABC的一个内角，所以它的补角是90°，即∠ACB=90°-∠BAC。

综上所述，∠CDB=∠ACB，根据等角定理可知△CDB≌△ACB，因此BD=DC。

二、等腰三角形顶角定理定理：等腰三角形的顶角是其底角的两倍。

即若三角形ABC中∠B=∠C，则∠A=2∠B。

证明：由题意可知三角形ABC中∠B=∠C，假设∠A=2∠B需要证明。

根据等角定理，若两个角相等，则它们的对边也相等。

设点D为边BC上一点，使得∠ABD=∠ACD，满足BD=CD。

因为∠B=∠C，所以∠ABD=∠ACD，根据等角定理可知∠AB=∠AC。

因为BD=CD，所以线段AB与线段AC等长，即AB=AC。

综上所述，根据等边定理，得证∠A=2∠B。

三、相似三角形的基本定理相似三角形的基本定理是相似三角形的理论基础，它在几何证明中有着非常广泛的应用。

定理：在两个三角形中，如果三个角分别相等，则这两个三角形相似。

即若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∼△DEF。

证明：我们要证明△ABC∼△DEF。

根据题意，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，我们假设三角形ABC与三角形DEF不相似，即不满足△ABC∼△DEF。

初中数学常见的146条定理和公式

初中数学常见的146条定理和公式
1、几何定理：
（1）直角三角形斜边长的平方等于两直角边长的乘积：a2=b2+c2（2）梯形面积=底边*高/2
（3）三角形面积=底边*高/2
（4）正方形的面积=边长的平方
（5）长方形的面积=长*宽
（6）圆形的面积=πr2
（7）椭圆的面积=πa*b
（8）任意多边形的面积=1/2*a*h
（9）平行四边形面积=对边乘积/2
（10）三角形的周长=a+b+c
（11）正多边形的周长=边数×边长
（12）圆的周长=2πr
（13）椭圆的周长=2π（a+b）/2
（14）正方体的表面积=6a2
（15）正方体的体积=a3
（16）长方体的表面积=2（a+b）h
（17）长方体的体积=a*b*h
（18）圆柱的表面积=2πr（r+h）
（19）圆柱的体积=πr2h
（20）圆锥的表面积=πrl+πr2
（21）圆锥的体积=πr2h/3
（22）球的表面积=4πr2
（23）球的体积=4/3πr3
2、数列定理：
（1）等差数列之和Sn=n(a1+an)/2
（2）等比数列之和Sn=a1(1-qn)/(1-q)
（3）调和数列之和Sn=n2/2（a1+an）
（4）加绝对值的调和数列之和Σ，a，=n(2a1+n-1da/2 ) 3、代数定理：
（1）多项式乘积与乘积分配律：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （2）二次多项式求根公式：X1,2=[-b±√(b2-4ac)]/2a。

初中数学146个常见定理和公式大全

初中数学146个常见定理和公式大全1.定理1：两点之间的距离公式两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离公式为d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

2.定理2：两点之间的中点公式两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的中点公式为M[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。

3.定理3：两条平行线之间的距离公式平行于x轴的直线l1和l2之间的距离公式为d=，y1-y2；平行于y 轴的直线l1和l2之间的距离公式为d=，x1-x24.定理4：勾股定理直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和，即a²+b²=c²。

5.定理5：勾股定理的逆定理若三边长度满足a²+b²=c²，则该三边构成一个直角三角形。

6.定理6：正方形的性质正方形每条边的长都相等，且每个角的大小为90°。

7.定理7：矩形的性质矩形相对的边相等，且每个角的大小为90°。

8.定理8：平行四边形的性质平行四边形相对的边平行且相等，相邻角互补（和为180°）。

9.定理9：三角形内角和定理三角形内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°。

10.定理10：等腰三角形的性质等腰三角形的两边相等，两底角也相等。

11.定理11：等边三角形的性质等边三角形的三边相等，且每个角的大小为60°。

12.定理12：圆的周长公式圆的周长公式为C=2πr，其中r为圆的半径。

13.定理13：圆的面积公式圆的面积公式为A=πr²，其中r为圆的半径。

14.定理14：同心圆的面积公式半径分别为r1和r2的两个同心圆的面积之比为(r1/r2)²。

15.定理15：棱台的体积公式棱台的体积公式为V=(1/3)Ah，其中A为底面积，h为高。

16.定理16：平行四边形的面积公式平行四边形的面积公式为A = bh，其中b为底边长，h为高。

初中几何证明口诀

初中几何证明口诀在初中几何中，证明是学习的重要内容之一、通过证明，可以巩固和提高自己对几何知识的理解和应用能力。

以下是一些常用的初中几何证明口诀：1.三角形的内角和定理：三角形内角和为180度。

可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。

2.外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。

可以通过绘制平行线等方法证明。

3.垂直角定理：垂直角相等。

可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。

4.同位角定理：同位角相等。

可以通过平行线等方法证明。

5.三角形的相似性定理：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

可以通过AA、SSS、SAS等方法证明。

6.圆周角定理：圆周角是圆心角的两倍。

可以通过绘制弧、使用同位角等方法证明。

7.弦切角定理：弦切角等于其对应的弧的一半。

可以通过绘制切线、弧等方法证明。

8.正方形的特性：正方形的四条边相等，四个角为直角。

可以通过对角线等方法证明。

9.等腰三角形的特性：等腰三角形的两边相等，两个底角相等。

可以通过绘制高线等方法证明。

10.平行四边形的特性：平行四边形的对边相互平行，对角线相互平分。

可以通过角平分线等方法证明。

11.三角形的中线定理：三角形的三个中线交于一点，且这点距离三个顶点的距离是各边长的一半。

可以通过线段等方法证明。

12.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

可以通过平行四边形等方法证明。

13.外切圆定理：三角形的外接圆的圆心是三个顶点的垂直平分线的交点。

可以通过角平分线、圆心角等方法证明。

14.圆的切线定理：切线与半径垂直。

可以通过绘制切线、使用垂直角等方法证明。

15.纵横切割定理：两条平行线被一条截线切割，那么两个内角和为180度。

可以通过平行线等方法证明。

这些口诀可以帮助初中生记住一些重要的初中几何证明定理，并引导他们学习如何使用特定的几何性质进行证明。

同时，更重要的是理解定理的证明过程，培养逻辑思维能力和几何推理能力。