2019-2020学年高考数学一轮复习《平面解析几何初步》教案.doc

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(全国版)高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2讲两直线的位置关系学案-人教版高三全册数学学

第2讲两直线的位置关系板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 两条直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2.两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．考点2 三种距离公式1.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 2.点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3.两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[必会结论]1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2.与对称问题相关的两个结论：(1)点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y2＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.[考点自测]1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.[课本改编]过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A.x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C.2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又经过点(1,0)，故c ＝－1，所求方程为x －2y －1＝0.3.[2018·重庆模拟]若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A.1 B ．－13 C ．－23D ．－2答案 D解析由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2，故选D.4.[课本改编]已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1答案 C解析由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.5.[课本改编]平行线3x ＋4y －9＝0和6x ＋8y ＋2＝0的距离是( ) A.85 B ．2 C.115 D.75 答案 B解析依题意得，所求的距离等于|－18－2|62＋82＝2. 6.[2018·南宁模拟]直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A.x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C.2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 答案 D解析设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.板块二典例探究·考向突破考向平行与垂直问题例1 (1)直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B ．垂直 C.相交但不垂直 D ．不能确定答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直.(2)[2018·金华十校模拟]“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行，得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件.触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.【变式训练1】 (1)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.(2)[2018·宁夏模拟]若直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________．答案 0或16解析因为直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－12m ＝3m －1m 或者m ＝0，∴m ＝16或0.考向距离公式的应用例2 [2018·潍坊模拟]已知点P (2，－1)． (1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.触类旁通与距离有关问题的常见类型及解题策略(1)求距离．利用距离公式求解法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离． (2)已知距离求参数值．列方程求出参数．(3)求距离的最值．可利用距离公式得出距离关于某个点的函数，利用函数知识求最值. 【变式训练2】 (1)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A.0 B ．1 C ．－1 D ．2 答案 A解析 ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)，∴m ＋n ＝0.(2)已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．答案－13或－79解析由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 考向对称问题命题角度1 点关于点的对称例3 过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.命题角度2 点关于线的对称例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案345解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.命题角度3 直线关于直线的对称例5 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A.x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C.x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，则2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 命题角度4 对称问题的应用例6 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10).触类旁通解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.核心规律1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．满分策略1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若直线无斜率，要单独考虑．2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式，同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适用；使用两平行线间的距离公式时，一定要注意先把两直线方程中的x ，y 的系数化成相等．板块三启智培优·破译高考题型技法系列 13——物理光学中对称思想的应用[2018·湖南模拟]在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A.2 B ．1 C.83 D.43解题视点依入射光线与反射光线的对称性知，点P 关于直线BC 的对称点P 2在直线RQ上，点P 关于直线AC 的对称点P 1也在直线RQ 上，所以点P 1，D ，P 2三点共线(D 为△ABC 的重心)，利用kP 1D ＝kP 2D 即可破解．解析以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴kP 1D ＝kP 2D ，即4343＋m ＝43－4＋m 43－4，解得m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴m ＝43.答案 D答题启示许多问题都隐含着对称性，要注意深刻挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.跟踪训练光线从A (－4，－2)点射出，射到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1.[2018·四川模拟]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若两直线平行，则a (a ＋1)＝2，即a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或－2，故a ＝1是两直线平行的充分不必要条件.2.若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为( )A.－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A解析由2m －20＝0得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0，∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12.3.[2018·启东模拟]不论m 为何值时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C.(2,3) D ．(9，－4)答案 D解析由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9，－4)，故选D.4.P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A.(1,2)B ．(2,1)C.(1,2)或(2，－1) D ．(2,1)或(－1,2)答案 C解析设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故点P 的坐标为(1,2)或(2，－1).5.[2018·绵阳模拟]若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案 C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ | 的最小值为2910. 6.[2018·合肥模拟]已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A.x －2y ＋1＝0 B ．x －2y －1＝0 C.x ＋y －1＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 B解析因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0.7.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A.3 2 B ．2 2 C ．3 3 D ．4 2 答案 A解析 ∵l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0是平行直线，∴可判断AB 所在直线过原点且与直线l 1，l 2垂直时，中点M 到原点的距离最小．∵直线l 1：x ＋y －7＝0，l 2：x ＋y －5＝0，∴两直线的距离为|7－5|12＋12＝2，又原点到直线l 2的距离为522，∴AB 的中点M 到原点的距离的最小值为522＋22＝3 2.故选A.8.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2].9.已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则实数a 的值是________．答案 0或1解析因为直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，故有a (2a －1)＋a (－1)＝0，可知a 的值为0或1.10.[2018·银川模拟]点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝ (2－0)2＋(1＋3)2＝25，所以点P (2，1)到直线l 的最大距离为2 5.[B 级知能提升]1.[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A.x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C.x －y －1＝0 D ．x ＋y －1＝0答案 A解析因为直线AB 的斜率为a ＋1－aa －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝⎛⎭⎪⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.故选A.2.[2018·宜春统考]已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A.2x ＋3y －18＝0B.2x －y －2＝0C.3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D.2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D解析依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.3.[2018·淮安调研]已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．答案 6x －y －6＝0解析设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.4.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.5.[2018·合肥模拟]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上，易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9， ∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )．∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.。

高三数一轮复习课件：第九章平面解析几何. .ppt..

解：如图，因为 kAP＝12－－01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3，所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
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类型二求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
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类型一直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞，－2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，

y＝
.
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2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．

(完整word版)平面解析几何初步复习课教学设计.doc

平面解析几何初步复习课教学设计（一）教材分析解析几何的主要内容为直线与圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程。

根据课程标准要求，在必修 2 解析几何初步中，学生学习的最基本内容为直线与直线方程，圆与圆的方程，并初步建立空间坐标系的概念。

这一内容是对全体学生设计的，大部分学生在选修中还将进一步学习圆锥曲线，坐标系与参数方程等有关内容。

因此，本章要求学生掌握解析几何最基本的思想方法--------用代数的方法研究曲线的几何性质，并学习最基本的直线，圆的方程，并通过方程研究他们的图形性质。

这样的安排，一方面降低了解析几何的难度，多次反复又逐步提高学生对解析几何的认识，另一方面对部分在解析几何学习上有较高要求的学生，可以在选修部分拓广加强。

因此教学中，要体会必修 2 的 4 个特点①是学习立体几何与解析几何的初级阶段②仅仅是初步③是螺旋式上升的开始④ . 感性认识到理性认识的过渡期。

( 二 )课程内容标准（教学大纲与课程标准比较）《教学大纲》《课程标准》主要变化点直线和圆的方程 (22 课时 ) 平面解析几何初步 ( 约 18 课时 ) 1．平面解析几何分直线的倾斜角和斜率。

直线(1) 直线与方程层为三块：初步（必方程的点斜式和两点式。

直①在平面直角坐标系中，结合具体修）、圆锥曲线（必线方程的一般式。

图形，探索确定直线位置的几何要选）和坐标系与参数两条直线平行与垂直的条素。

方程（自选）。

件。

两条直线的交角。

点到②理解直线的倾斜角和斜率的概2．线性规划问题移直线的距离。

念，经历用代数方法刻画直线斜率到《数学 5》“不等用二元一次不等式表示平面的过程，掌握过两点的直线斜率的式”部分；原立几 B区域。

简单线性规划问题。

计算公式。

教材“空间直角坐实习作业。

③能根据斜率判定两条直线平行标系”移至解几初曲线与方程的概念。

由已知或垂直。

步。

条件列出曲线方程。

④根据确定直线位置的几何要素，3．注重过程教学，圆的标准方程和一般方程。

2019-2020学年高中数学第2章平面解析几何初步复习与小结教案苏教版必修2.doc

2019-2020学年高中数学第2章平面解析几何初步复习与小结教案
苏教版必修2
教学目标：
1．复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用；
2．掌握典型题型及其处理方法．
教材分析及教材内容的定位：
本章研究平面直角坐标系中直线与圆的有关知识以及空间直角坐标系，是高中知识的重点内容，也是高考的高频考点；充分体现了高中数学的坐标法方程法的解题思想．
教学重点：
《平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类．
教学难点：
《平面解析几何初步》的重点题型的处理方法．
教学方法：
导学点拨法．
教学过程：
一、问题情境
1．情境；
2．问题：本章我们学了哪些内容？
二、学生活动
1．回顾本章所学内容；
2．在教师引导下归纳本章知识结构；
3．在教师引导下做例题和习题．
三、建构数学
1．知识分析；
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．全章知识总结；
2．题型与方法总结；
3．数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等思想总结．。

2019-2020年高考数学一轮复习 9.13 立体几何的综合问题教案

2019-2020年高考数学一轮复习 9.13 立体几何的综合问题教案●知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折，空间向量的应用.●点击双基1.若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC⊥α时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C3.设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°，则长方体的体积是A.27B.8C.8D.16解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42x=2，∴V=2×2×2=8.答案：B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_____________.解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3= a3.答案：a35.已知△ABC的顶点坐标为A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则△ABC的面积是_____________.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos〈，〉==，∴sin A=.∴S=||||sin A=··= .答案：●典例剖析【例1】在直角坐标系O—xyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0）， =（0，0，1）.（1）求与的夹角α的大小；（2）设n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；（3）求OA与平面SBC的夹角；（4）求点O到平面SBC的距离；（5）求异面直线SC与OB间的距离.解：（1）如图，= －=（2，0，－1），= + =（1，1，0），则||==，||==.cos α=cos 〈，〉===，α=arccos. n ·=0，n ·=0.∵=（2，0，－1），= －=（1，－1，0）， 2－q =0， p =1， 1－p =0. q =2，（3）OA 与平面SBC 所成的角θ和OA 与平面SBC 的法线所夹角互余，故可先求与n 所成的角.=（0，1，0），||=1，|n |==.∴cos 〈，n 〉===，即〈，n 〉=arccos.∴θ=－arccos. （4）点O 到平面SBC 的距离即为在n 上的投影的绝对值， ∴d =|·|== .（5）在异面直线SC 、OB 的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC 、OB 均垂直的向量m .设m =（x ，y ，1），m ⊥且m ⊥，则m ·=0，且m ·=0. 2x －1=0， x =，x +y =0， y =－. ∴m =（，－，1），d ′=|·|= =. 特别提示借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离.【例2】如图，已知一个等腰三角形ABC 的顶角B =120°，过AC 的一个平面α与顶点B 的距离为1，根据已知条件，你能求出AB 在平面α上的射影AB 1的长吗?如果不能，那么需要增加什么条件，可以使AB 1=2?解：在条件“等腰△ABC 的顶角B =120°”下，△ABC 是不能唯一确定的，这样线段AB 1也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使AB 1=2：①CB 1=2；②CB =或AB =；③直线AB 与平面α所成的角∠BAB 1=arcsin ；④∠ABB 1=arctan2；⑤∠B 1AC =arccos ；⑥∠AB 1C =π－arccos ；⑦AC =；⑧B 1到AC 的距离为；⑨B 到AC 的距离为；⑩二面角B —AC —B 1为arctan2等等.思考讨论本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若AB 1=2，那么能够推出什么结果，∴ （2）∵n ⊥平面SBC ，∴n ⊥且n ⊥，即∴ 即n =（1，1，2）.∴ 即再回过来考虑根据这一结果能否推出AB1=2.【例3】（xx年春季北京）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求证：BC⊥SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.（1）证法一：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂线定理得BC⊥SC.证法二：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC.又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC.∴BC⊥SC.（2）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴可以把四棱锥S—ABCD补形为长方体A1B1C1S—ABCD，如上图，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，∵SC⊥BC，BC∥A1S，∴SC⊥A1S.又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.∴∠CSD=45°，即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.解法二：如下图，过点S作直线l∥AD，∴l在面ASD上.∵底面ABCD为正方形，∴l∥AD∥BC.∴l在面BSC上.∴l为面ASD与面BSC的交线.∵SD⊥AD，BC⊥SC，∴l⊥SD，l⊥SC.∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法一）.（3）解法一：如上图，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点，∴DM⊥SA.∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DM⊥SB.∴异面直线DM与SB所成的角为90°.解法二：如下图，取AB的中点P，连结MP、DP.在△ABS中，由中位线定理得PM∥BS.∴DM与SB所成的角即为∠DMP.又PM2=，DP2=，DM2=.∴DP2=PM2+DM2.∴∠DMP=90°.∴异面直线DM与SB所成的角为90°.●闯关训练夯实基础1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为A.180°B.120°C.60°D.45°答案：C2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为A.arccosB.arccosC.arccosD.arccos解法一：∵=+，= +，∴·=而== = .同理，||=.如令α为所求之角，则cos α==4521=，∴α=arccos.应选D.解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，把D 点视作原点O ，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则A （1，0，0）、M （1，，1）、C （0，1，0）、N （1，1，）.∴=（0，，1），=（1，0，）.故·=0×1+×0+1×=， ||==， ||==. ∴cos α==252521⋅=.∴α=arccos. 答案：D3.图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a ，内装水若干.现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为_____________.解析：设正三棱柱的底面积为S ，将图乙竖起得图丙，则V 水=V 柱－V =S ·2a －（S ）·2a =aS .设图甲中水面的高度为x ，则S ·x =aS ，得x =a .答案：4.在三棱锥P —ABC 中，底面是边长为2 cm 的正三角形，PA =PB =3 cm ，转动点P 时，三棱锥的最大体积为.解析：点P到面ABC距离最大时体积最大，此时面PAB⊥面ABC，高PD=2.V=××4×2= .答案： cm35.把长、宽各为4、3的长方形ABCD，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和顶点D的距离.解：如图，作BE⊥AC于E，∵二面角B—AC—D为直二面角，BE⊥AC，∴BE⊥平面ADC，DE平面ADC，BE⊥DE.在Rt△ABC中，可得BE=，AE=，在△ADE中，DE2=AE2＋AD2－2AD·AE·cos∠EAD=＋16－2··4·=.在Rt△BDE中，BD=BE2＋ED2=.培养能力6.已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF；（3）求异面直线PA和EF的距离.（1）证明：如下图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.（2）证明：∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.（3）解：在面PEF中，作PG⊥EF，垂足为G，∵AP与面PEF垂直，PG平面PEF，∴AP⊥PG，PG⊥EF，PG是AP与EF的公垂线.在等腰Rt△PEF中，PE=PF=，∠EPF=90°，∴PG=EG=.7.（文）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角.（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成的角.（1）证明：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），D（0，2a，0），P（0，0，a），· =（a，0，0）·（0，2a，－a）=0，又· =0，∴⊥，⊥.∴PD⊥BE.（2）解：∵PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，∴∠PDA=30°.过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=a，∠EAF=60°，AF=a，EF=a，∴E（0，a，a）.于是=（0，a，a）.又C（a，a，0），D（0，2a，0），∴CD=（－a，a，0）.cos〈，〉===，∴异面直线AE与CD所成的角是arccos.（理）四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30°角，（1）求证：CM∥面PAD；（2）求证：面PAB⊥面PAD；（3）求点C到平面PAD的距离.分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法.如下图，建立空间直角坐标系O—xyz，C为坐标原点O，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标.（1）证明：如图，建立空间直角坐标系.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°.∵|PC|=2，∴|BC|=2，|PB|=4.得D（1，0，0）、B（0，2，0）、A（4，2，0）、P（0，0，2）.∵|MB|=3|PM|，∴|PM|=1，M（0，，），=（0，，），=（－1，0，2），=（3，2，0）.设=x+y（x、y∈R），则（0，，）=x（－1，0，2）+y（3，2，0）x=且y=，∴= + .∴、、共面.又∵C平面PAD，故CM∥平面PAD.（2）证明：过B作BE⊥PA，E为垂足.∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点.∴E（2，，1），=（2，－，1）.又∵·=（2，－，1）·（3，2，0）=0，∴⊥，即BE⊥DA.而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD.∵BE面PAB，∴面PAB⊥面PAD.（3）解：由BE⊥面PAD知，平面PAD的单位向量n0==（2，－，1）.∴CD=（1，0，0）的点C到平面PAD的距离d=|n0·|=|（2，－，1）·（1，0，0）|=.探究创新8.（xx年北京宣武区二模题）如图，AB为圆柱OO1的母线，BD为圆柱OO1下底面直径，AB=BD=2，点C为下底面圆周⊙O上的一点，CD=1.（1）求三棱锥C—ABD的体积；（2）求面BAD与面CAD所成二面角的大小；（3）求BC与AD所成角的大小.分析：本题主要考查直线、平面的位置关系，考查圆柱的有关概念，考查直线、平面所成角的概念及求法，考查空间想象能力和推理能力.解：（1）∵AB为圆柱OO1的母线，∴AB⊥下底面.∴AB为棱锥A—BCD的高.而点C在⊙O上，∴△BCD为直角三角形，∠BCD=90°.∵BD=2，CD=1，∴BC=.∴V三棱锥C—ABD=V三棱锥A—BCD=××1××2=.（2）过B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F，连结EF.由BD为底面圆的直径，得BC⊥CD.∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∴AC⊥CD.而AC∩BC=C，∴CD⊥平面ABC.而CD 平面ADC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，且它们的交线为AC . ∵BF 平面ABC ，BF ⊥AC ，垂足为点F ， ∴BF ⊥平面ACD .而BE ⊥AD ，AD 平面ACD ，∴EF ⊥AD .平面ABD ∩平面ACD =AD ，∴∠BEF 是面ABD 与面ACD 所成的二面角的平面角. 由BE =AD =，AC =，AB =2，可求出BF =.∴sin ∠BEF ==27212=.∵∠BEF 为锐角，∴∠BEF =arcsin. 故所求二面角的大小为arcsin.（3）过点D 在下底面作DG ∥BC 交⊙O 于点G ，则∠GDA 为BC 与AD 所成的角.连结BG 、AG ，由BD 是⊙O 的直径，得GD ⊥BG ，则AG ⊥DG ，BC =GD .∴cos ∠GDA ===. ∴∠GDA =arccos.∴所求BC 与AD 所成的角的大小为arccos. ●思悟小结1.利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形.这种方法可减少复杂的空间结构分析，使得思路简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准确地解决问题.2.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标.正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系.3.在综合问题中，首先要注意是否构建直角坐标系，能较易建立直角坐标系的，尽量建立直角坐标系.其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合，向量方法与传统方法各有千秋，相得益彰.必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出如下几点：（1）怎样选择应用基底（不设直角坐标系）和建立直角坐标系及坐标系建立技巧；（2）法向量的应用对处理角和距离的重要性；（3）怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型；（4）准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺点；（5）空间向量是怎样由平面向量拓展而来的. ●教师下载中心教学点睛要给学生归纳、总结，使学生系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质，通过对照，深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角，理解点到面的距离、异面直线的距离.通过解题总结证明立体几何问题的常见方法，注意培养学生的空间想象能力.拓展题例【例1】已知直线a∥α，且a与α间的距离为d，a在α内的射影为a′，l为平面α内与a′平行的任一直线，则a与l之间的距离的取值范围是A.［d，+∞）B.（d，+∞）C.（0，d］D.{d}解析：如图，在a上任取一点P作PO⊥a′，垂足为O，过O作OA⊥l，垂足为A，连结PA.则PA⊥l，PA⊥a，故PA就是a与l之间的距离.在Rt△POA中，PA>PO=d，选B.答案：B【例2】如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是__________.解析：两个相同的几何体倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体.答案：πr2（a+b）【例3】（xx年北京西城区一模题）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA1上任意一点.（1）求证：B1P不可能与平面ACC1A1垂直；（2）当BC1⊥B1P时，求线段AP的长；（3）在（2）的条件下，求二面角C—B1P—C1的大小.（1）证明：连结B1P，假设B1P⊥平面ACC1A1，则B1P⊥A1C1.由于三棱柱ABC—A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥A1C1.∴A1C1⊥侧面ABB1A1.∴A1C1⊥A1B1，即∠B1A1C1=90°.这与△A1B1C1是等边三角形矛盾.∴B1P不可能与平面ACC1A1垂直.（2）解：取A1B1的中点D，连结C1D、BD、BC1，则C1D⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D.∴C1D⊥平面ABB1A1.∴BD是BC1在平面ABB1A1上的射影.∵BC1⊥B1P，∴BD⊥B1P.∴∠B1BD=90°－∠BB1P=∠A1B1P.又A1B1=B1B=2，∴△BB1D≌△B1A1P，A1P=B1D=1.∴AP=1.（3）解：连结B1C，交BC1于点O，则BC1⊥B1C.又BC1⊥B1P，∴BC1⊥平面B1CP. 过O在平面CPB1上作OE⊥B1P，交B1P于点E，连结C1E，则B1P⊥C1E，∴∠OEC1是二面角C—B1P—C1的平面角.由于CP=B1P=，O为B1C的中点，连结OP，∴PO⊥B1C，OP·OB1=OE·B1P.∴OE=.∴tan∠OEC1==.∴∠OEC1=arctan.故二面角C—B1P—C1的大小为arctan.。

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(I)

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(I)【教学目标】掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题.【知识梳理】1．定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．重要提示1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β α=l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α．2．三种垂直关系的证明(1)线线垂直的证明①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”；②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直⇒线线垂直”；③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．(2)线面垂直的证明①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直⇒线面垂直”；②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”；③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直⇒线面垂直”；④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”.(3)面面垂直的证明①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直⇒面面垂直”.【点击双基】1、在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD,⊿BCD是锐角三角形，那么必有……（）A、平面ABD⊥平面ADCB、平面ABD⊥平面ABCC、平面ADC⊥平面BCDD、平面ABC⊥平面BCDCB E H ASm AP n B α a γ β 2、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,AC=AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是（）A 、aB 、 2 aC 、22a D 、 3 a 3、设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l ∥β;③α⊥β,若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数是（）A 、3B 、2C 、 1D 、 04、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1-BD-A 的正切值为。

2020版高考数学(文)大一轮复习导学案：第八章平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[基础梳理]1．直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．2．直线的斜率3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系4.直线方程的五种形式续表5.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图象为：(2)当倾斜角为时，直线垂直于x 轴，斜率不存在．2．直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0. [四基自测]1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3 D ．－33 答案：A2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝0答案：A3．已知直线斜率的绝对值为1，其倾斜角为________．答案：π4或34π4．过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝0考点一直线的倾斜角与斜率◄考基础——练透 [例1] (1)(2019·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．(2)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，求a 的取值范围．解析：(1)k PQ ＝－1b －00－1a＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(2)当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1.则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：(1)(π2，π) (2)见解析1．三个不同的点A (2,3)，B (－1,5)，C (x ，x 2＋2x ＋6)共线，则实数x 的值为________．解析：因为三个不同的点A (2,3)，B (－1,5)，C (x ，x 2＋2x ＋6)共线，所以由斜率公式得5－3－1－2＝x 2＋2x ＋6－3x －2，解得x ＝－1或－53，当x ＝－1时，点C ，B 重合，舍去．所以x ＝－53.答案：－53 2．(2019·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．解析：如图所示，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34.要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞考点二求直线方程◄考能力——知法 [例2] 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)求过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程． (3)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解析：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和P (3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)法一：由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.法二：设直线方程为y ＝kx ＋b ，则在x 轴上的截距为－b k ，所以b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ＝6，①又直线过点(2,1)，则2k ＋b ＝1.② 由①②得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. (3)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，综上可知，所求直线方程为 x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.1．求直线方程的方法2.考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．1．在本例(1)中，过点(3,2)，且在两轴上截距互为相反数的直线方程是什么？解析：(1)若直线过原点，适合题意，其方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.(2)若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y－a＝1，∴3a －2a ＝1，∴a ＝1，方程为x －y －1＝0.综上，直线方程为2x －3y ＝0或x －y －1＝0.2．在本例(3)中，改为“过点A (－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为92”，求直线方程．解析：设所求直线在x 轴的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋2b ＝112|ab |＝92，∴⎩⎨⎧a ＝－3b ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝152b ＝65.∴方程为x ＋y ＋3＝0或4x ＋25y －30＝0. 考点三两条直线的位置关系◄考基础——练透[例3] (1)“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，故l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，若l 1与l 2斜率不存在，则a ＝0；若l 1与l 2斜率都存在，则a ≠0，有－a ＋1a 2＝－2a 且3a 2≠2a ＋1a ，解得a ∈，故当l 1∥l 2时，有a ＝0.故选C. 答案：C(2)已知直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0，则“a ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：l 1⊥l 2的充要条件是(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，即a 2－1＝0，故有(a －1)(a ＋1)＝0，解得a ＝±1.显然“a ＝1”是“a ＝±1”的充分不必要条件，故选A. 答案：A两直线位置关系的判断方法1．如果直线ax ＋(1－b )y ＋5＝0和(1＋a )x －y －b ＝0同时平行于直线x －2y ＋3＝0，求ab .解析：法一：由题意，得⎩⎨⎧a ·(－2)－(1－b )·1＝0，(1＋a )·(－2)－(－1)×1＝0.解得a ＝－12，b ＝0.易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.法二：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，则另两条直线的斜率一定存在且等于12，所以12＝－a 1－b ＝－1＋a －1，解得a ＝－12，b ＝0，易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.2．若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－8逻辑推理、直观想象_求直线方程的易错问题(一)直线方程是解析几何的入门内容，基本概念、公式较多，由于学生对直线的构成要素理解不清或方程形式认识欠缺，而导致错误. 1.对倾斜的概念与范围理解有误[例1] 已知直线l 过点(2,1)，且与x 轴的夹角为45，求直线l 的方程．解析：由直线l 与x 轴的夹角为45知，直线l 的倾斜角为45或135．当直线l 的倾斜角为45时，其斜率为k ＝tan 45＝1，而直线l 过点(2,1)，故其方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1；当直线l 的倾斜角为135时，其斜率为k ＝tan 135＝－1，而直线l 过点(2,1)，故其方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3.综上所述，所求直线方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋3.2.忽略两直线平行与重合的区别例2已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0与l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0平行，则实数m ＝________.解析：(1)若两直线的斜率都存在，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则k 1＝－1m 2，k 2＝－m －23m ，b 1＝－6m 2，b 2＝－23.因为l 1∥l 2，故k 1＝k 2且b 1≠b 2，即－1m 2＝－m －23m 且－6m 2≠－23，解得m ＝－1. (2)若两直线的斜率都不存在，则m ＝0. 综上所述，m ＝－1或0. 答案：－1或0课时规范练 A 组基础对点练1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：因为sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k ＝－1. 而直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率k ＝－ab ，所以－ab ＝－1，即a －b ＝0. 答案：D2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是( ) A ．[－3，1]B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：B3．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．3x ＋4y ＋6＝0 C ．3x ＋y ＋6＝0 D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－34，又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.答案：A4．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A．－1＜k＜1 5B．k＞1或k＜1 2C．k＞1或k＜1 5D．k＞12或k＜－1解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－2 k，则－3＜1－2k＜3，解得k＞12或k＜－1.答案：D5．(2019·张家口模拟)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3 x－y＝33的倾斜角的2倍，则( )A．m＝－3，n＝1B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3D．m＝3，n＝1解析：对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－3n，即－3n＝－3，n＝1.因为3x－y＝33的倾斜角为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线3x－y＝33的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m＝ 3.答案：D6．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为( )A ．5x ＋2y ＝0或x ＋2y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0D ．2x ＋5y ＝0解析：当截距为零时，直线方程为y ＝－25x ；当截距不为零时，设直线方程为x 2b ＋y b ＝1，因为直线过点A (－5,2)，所以－52b ＋2b ＝1，计算得b ＝－12，所以直线方程为x －1＋y－12＝1，即x ＋2y ＋1＝0，所以所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x＋2y ＋1＝0. 答案：C7．若直线y ＝kx ＋1与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________．解析：由题可知直线y ＝kx ＋1过定点P (0,1)，且k PB ＝3－12－0＝1，k P A ＝2－13－0＝13，结合图象可知，当直线y ＝kx ＋1与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，18．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．解析：由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°，角变为60°，所以所求直线的斜率为 3.又因为直线过点(1，3)，所以直线方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .答案：y ＝3x9．已知点A (－1，t )，B (t,4)，若直线AB 的斜率为2，则实数t 的值为________．解析：由题意知，k AB ＝2，即4－t t ＋1＝2，解得t ＝23.答案：2310．已知直线l 1：mx ＋y ＋4＝0和直线l 2：(m ＋2)x －ny ＋1＝0(m ，n ＞0)互相垂直，则mn 的取值范围为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以m (m ＋2)＋1×(－n )＝0，得n ＝m 2＋2m ，因为m ＞0，所以mn ＝m m 2＋2m ＝1m ＋2，则0＜1m ＋2＜12，故m n 的取值范围为(0，12)．答案：(0，12)B 组能力提升练11．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R )交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x －2y ＋8＝0 C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4kk ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12(2＋4k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ＋4k ＋16≥12×(2×8＋16)＝16.当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时，等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0. 答案：B12．设直线l 的方程为x ＋y cosθ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) .⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ. 因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案：C 13．(2019·西安临潼区模拟)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D 14．(2019·北京二十四中模拟)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12， ∴k MN ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5. 答案：5 16．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sinx －b cosx (ab ≠0)图象的一条对称轴，则直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z .所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π4＝－1＝b a ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－a b ＝1，故倾斜角为π4.答案：π4第二节直线的交点与距离公式[基础梳理] 三种距离1．点到直线的距离公式 (1)直线方程为一般式． (2)公式中分母与点无关． (3)分子与点及直线方程都有关． 2．两平行直线间的距离(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离． [四基自测]1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12B.32C.22D.322答案：D2．直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．答案：233．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．答案：－4或124．已知两平行线l 1：2x ＋3y ＝6，l 2：2x ＋3y －1＝0，则l 1与l 2间距离为________．答案：51313考点一直线的交点及应用◄考基础——练透 [例1] 求满足下列条件的直线方程：(1)经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋2 019＝0.(2)经过两条直线2x ＋y －8＝0和x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y ＋2 018＝0.(3)已知直线l 经过点P (3,1)，且被两条平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解析：(1)解方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0得两条直线的交点坐标为(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋2 019＝0，所以所求直线的斜率为k ＝－23，所以所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －8＝0，x －2y ＋1＝0得两条直线的交点坐标为(3,2)，因为所求直线平行于直线4x －3y ＋2 018＝0，所以所求直线的斜率为k ＝43，所以所求直线方程为y －2＝43(x －3)，即4x －3y －6＝0. (3)法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别为A ′(3，－4)，B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1. 解方程组⎩⎨⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1.由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋12＝52.解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求直线l 的方程为x ＝3或y ＝1. 法二：如图所示，作直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0.l 1与x 、y 轴的交点A (－1,0)、B (0，－1)， l 2与x 、y 轴交点C (－6,0)、D (0，－6)． ∴|BD |＝5，|AC |＝5.过点(3,1)与l 1、l 2截得的线段长为5. 即平行x 轴或y 轴．∴所求直线方程为x ＝3或y ＝1.1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．2．求过两直线交点的直线方程的方法(1)直接法：①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式．(2)直线系法：①设过两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0. ②利用题设条件，求λ的值，得出直线方程．③验证A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否符合题意． (3)数形结合法，求直线截得的线段长．1．将(1)中的条件改为“经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且与坐标轴围成的三角形的面积为1”．解析：解方程组⎩⎨⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0得两条直线的交点坐标为(－2,2)，设所求直线的斜率为k (k ≠0)，直线方程为y －2＝k (x ＋2)，所以两个截距分别为2k ＋2，－2k ＋2k ，所以直线与坐标轴围成三角形的面积为S ＝12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋2k ＝1，解方程得k ＝－2或－12，所以所求直线方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 2．本例(3)改为过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为________．解析：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，其图象与直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则有①⎩⎨⎧y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎨⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0. 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2. 因为点M 平分线段AB ，所以x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. ∴所求直线为y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0考点二距离问题◄考能力——知法[例2] (1)已知两条平行直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5，则直线l 1的方程为________．解析：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n－1，所以⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，所以|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或18. 故所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，把l 2的方程写成4x －8y －2＝0，所以|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或22. 故所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0. 答案：2x ±4y ＋9＝0或2x ±4y －11＝0 (2)(2019·昆明模拟)点P 到点A ′(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且P 到直线y ＝x 的距离等于22，这样的点P 共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：设点P (x ，y )，由题意知(x －1)2＋y 2＝|x ＋1|，且22＝|x －y |2，所以⎩⎨⎧ y 2＝4x ，|x －y |＝1，即⎩⎨⎧y 2＝4x ，x －y ＝1， ①或⎩⎨⎧y 2＝4x ，x －y ＝－1，② 解①得⎩⎨⎧ x ＝3－22，y ＝2－22或⎩⎨⎧x ＝3＋22，y ＝2＋22，解②得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，因此，这样的点P 共有3个．答案：C (3)(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[4,8] C ．[2，32]D ．[22，32]解析：设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12AB ·d min ＝2. 综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．故选A. 答案：A1．用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；2．两平行线间的距离公式，两直线方程中x ，y 的系数分别相同； 3．两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化．1．(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－62．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________．解析：当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.答案：y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0 考点三对称问题◄考基础——练透角度1 对称问题的求法[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．解析：(1)设对称点A ′的坐标为(m ，n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2m ＋1·23＝－1，2·m －12－3·n －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3313，n ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如B (2,0)，则B 关于l 的对称点必在m ′上，设对称点为B ′(a ，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2·a ＋22－3·b ＋02＋1＝0，b －0a －2·23＝－1，得B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．设直线m ′上任意一点的坐标为(x ，y )，由两点式得直线m ′的方程为y －33013－3＝x －4613－4，即9x －46y ＋102＝0. (3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)．则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设直线l 关于点A 的对称直线l ′上的任意一点P (x ，y )，则点P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )． ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 角度2 对称问题的应用 [例4] (1)(2019·淮安模拟)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．(2)已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小．解析：(1)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)．所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. (2)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解方程组⎩⎨⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)．答案：(1)6x －y －6＝0 (2)见解析有关对称问题的规律方法续表1．(2019·岳阳模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：法一：设所求直线上任一点为(x，y)，则它关于x＝1的对称点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.法二：根据直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x＝1上知选D.答案：D2．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为_________________ _________________________________________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)．所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案：2x －y ＋3＝直观想象、逻辑推理——求直线方程易错问题(二) 一、混淆截距与距离[例1] 求过点(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程．解析：利用直线的截距式方程求解可得4a ＋5b ＝－ab .又直线与两坐标轴围成的三角形的面积为5，则12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10. 联立方程组⎩⎨⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2. 所以，所求直线的方程为x－52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1，即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.二、对位置情形考虑不全[例2]求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)距离相等的直线方程．解析：(1)若A，B两点位于所求直线的同一侧，则所求直线与直线AB平行，故其斜率与直线AB的斜率相等，即k＝k AB＝－4.又所求直线过点P(1,2)，故其方程为y－2＝－4(x－1)，即y＝－4x＋6.(2)若A，B两点位于所求直线的两侧，则所求直线经过线段AB的中点(3，－1)．又所求直线过点P(1,2)，故其方程为y－(－1)2－(－1)＝x－31－3，即y＝－32x＋72.综上所述，所求直线方程为y＝－4x＋6或y＝－32x＋72.3.忽略平行线间距离公式的应用条件[例3]已知两平行直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋8y－15＝0，求与l1，l2等距离的直线l的方程．解析：l2：6x＋8y－15＝0的方程等价变形为l2：3x＋4y－152＝0.由题意，直线l与两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0、l2：3x＋4y－152＝0平行，故可设其方程为3x＋4y＋C＝0.因为l与l1，l2的距离相等，即|5－C|32＋42＝|－152－C|32＋42，解得C＝－54.所以，直线l的方程为3x＋4y－54＝0，即12x＋16y－5＝0.课时规范练A组基础对点练1．若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行，则m的值为( )A.83 B ．－83 C ．－6D ．6解析：由题设可得，m 3＝42≠11－1，则m ＝6.答案：D 2．(2019·长沙模拟)已知M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )}|ax ＋2y ＋a ＝0}且M ∩N ＝，则a ＝( ) A ．－2 B ．－6 C ．2D ．－2或－6解析：由题意可知，集合M 表示过点(2,3)且斜率为3的直线，但除去点(2,3)，而集合N 表示一条直线，该直线的斜率为－a2，且过点(－1,0)，若M ∩N ＝，则有两种情况：①集合M 表示的直线与集合N 表示的直线平行，即－a2＝3，解得a ＝－6；②集合N 表示的直线过点(2,3)，即2a ＋2×3＋a ＝0，解得a ＝－2.综上，a ＝－2或－6. 答案：D 3．(2019·石家庄模拟)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为( ) A ．－24 B ．24 C ．6D ．±6解析：直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，可设交点坐标为(a,0)，则⎩⎨⎧ 2a －k ＝0，a ＋12＝0即⎩⎨⎧a ＝－12，k ＝－24.答案：A 4．(2019·郑州模拟)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )A.85 B.32C．4 D．8解析：因为直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋12＝0，所以直线l1与l2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.答案：B5．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0解析：由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第一象限，所以m>0且d＝|m|2＝1，故m＝2，所以切线方程为x＋y－2＝0，故选A.答案：A6．(2019·哈尔滨模拟)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B.13 2C.21313 D.71326解析：由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0.它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72＋332＋22＝132，故选B.答案：B7．若在平面直角坐标系内过点P(1，3)且与原点的距离为d的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：|OP|＝2，当直线l过点P(1，3)且与直线OP垂直时，有d＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条．答案：0<d <28．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2，解得k ＝2或k ＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝09．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段A B 上，则ab 的最大值为________．解析：由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12.由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：1210．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×(－1)＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0. 答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0B 组能力提升练11．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( ) A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27解析：设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C. 答案：C12．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．－12B ．－14C ．10D ．8解析：由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，解得n ＝－12.故选A. 答案：A13．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：如图所示，以C 为原点，CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b 4，a4)，由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b 216＝10.答案：D14．已知直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，则直线l 的一般式方程为( ) A ．3x －y ＋5＝0 B ．3x ＋y ＋1＝0 C ．x －3y ＋7＝0D ．x ＋3y －5＝0解析：设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足 ⎩⎨⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0，即⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝5.因此直线l 的方程为y －2＝5－2－2＋1(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.答案：B15．光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的点B 后被直线y ＝x 反射到y 轴上的点C ，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程为________．解析：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得 A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由反射角等于入射角可得 A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6＝－4－6－2－1(x －1)，即10x －3y ＋8＝0.答案：10x －3y ＋8＝016．△ABC 的边AB ，AC 所在直线方程分别为2x －y ＋1＝0，x ＋3y －9＝0，边BC的中点为D (2，－1)，则这个三角形的面积是________．解析：设点B (x ，y )，则C (4－x ，－2－y )，所以⎩⎨⎧ 2x －y ＋1＝0，4－x ＋3(－2－y )－9＝0，解这个方程组得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－3，，所以B (－2，－3)，C (6,1)．所以边BC 所在直线方程为y ＋1－3＋1＝x －2－2－2，即x －2y －4＝0，由方程组⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，x ＋3y －9＝0，解得顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫67，197，所以高为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪67－2×197－45＝6075，|BC |＝82＋42＝45，所以三角形的面积为S ＝12|BC |d ＝12×45×6075＝1207.答案：1207第三节圆的方程[基础梳理] 1．圆的定义、方程2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)点M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：A ＝C ≠0，B ＝0，且D 2＋E 2－4F ＞0.2．以A (x 1，y 1)，B (x 1，y 2)为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. [四基自测]1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)答案：D2．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C3．△AOB 中，A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，则△AOB 外接圆的方程为________．答案：x 2＋y 2－4x －3y ＝04．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0的圆心到直线y ＝x ＋1的距离为________．答案：2考点一求圆的方程◄考基础——练透[例1] (1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)(2019·长沙模拟)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213 C.253D.43(3)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：(1)由题意可得圆的半径为r ＝2，则圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心在直线BC 的垂直平分线，即x ＝1上，设圆心D (1，b )，由|DA |＝|DB |得|b |＝1＋(b －3)2，解得b ＝233，所以圆心到原点的距离为 d ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.(3)因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m 2＝|m ＋1|1＋m 2＝(1＋m )21＋m 2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m 2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(1)D (2)B (3)见解析求圆的方程的方法续表1．将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B. 答案：B2．本小题(3)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1,0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2，所以所求半径最大的圆的标准方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12，化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0考点二与圆有关的最值问题◄考能力——知法[例2] (1)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．35 B ．6 5 C ．415D ．215解析：圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦AC 为圆的直径为25，BD 为最短弦，则AC 与BD 互相垂直，ME ＝2，BD ＝2BE ＝2×5－2＝23，四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △BDC＝12×BD ×EA ＋12×BD ×EC ＝12×BD ×AC ＝12×23×2 5 ＝215，选D. 答案：D(2)已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. ①求yx 的最大值与最小值； ②求y －x 的最大值、最小值； ③求x 2＋y 2的最大值、最小值．解析：①原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.1．(2019·广西南宁联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知(x 1－2)2＋y 21＝5，x 2－2y 2＋4＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.55 B.15 C.1215D.1155解析：由已知得点(x 1，y 1)在圆(x －2)2＋y 2＝5上，点(x 2，y 2)在直线x －2y ＋4＝0上，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示圆(x －2)2＋y 2＝5上的点和直线x －2y ＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为15.故选B. 答案：B2．(2019·聊城模拟)已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点， (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．解析：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|1×2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得：16－210≤t ≤16＋210，所以，所求的最大值为16＋210.(2)记点Q (－2,3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有公共点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.数学运算、直观想象——利用圆求最值的学科素养在数学中，涉及的代数式或者线段长度最值时，如果动点在圆上运动，可借助圆求解.[例1] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋c ＝2b ，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 的长度的最大值是________．解析：由已知a ＋c ＝2b ，可知动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点Q (1，－2)，所以点M 在以PQ 为直径的圆x 2＋(y ＋1)2＝2上，因为圆心(0，－1)到点N 的距离为5，故可得MN 的长度的最大值是5＋ 2. 答案：5＋ 2[例2] 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c |的最大值为________．解析：记a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则可得x 2＋y 2－x －3y －1＝0，即(x －。

2019-2020年高考数学平面解析几何复习学案

2019-2020年高考数学平面解析几何复习学案【知识特点】1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一；2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性；3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。

【重点关注】1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点；2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。

既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力；3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高；4、注重数学思想方法的应用解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。

【地位和作用】解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。

体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

高三一轮复习备考教学设计《平面解析几何》

平面解析几何核心问题
深度探索
圆锥曲线
轨位弦中焦焦平最对定存圆
圆迹置长点点点行值称点在锥方关问弦三弦弦问性、性曲
程系题问角问中题问定问线
问的题判
题形题点
问
的
题值题综
问
合
定
题
轨
题
问
迹
题
抛物线
几何性质：焦点、顶点、长（短）轴、焦半径、离心率、对称性、取值范围
2017
全国1卷
√（10）
√（4）
全国2卷
√（11，20）
√（5）
全国3卷
√（11）
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点 F1,F2 构成的三角形问题，常用圆锥曲线的定义联合正、余弦定理来解决。
考题重现
【2019 年高考全国 1 卷文数 12】已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若| AF2 | 2 | F2B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为
解
掌握基本问题的通性通法是考试能否取得好成绩的关
读
键。
平面解析几何知识体系
直线的倾斜角与斜率
直线的方程（五种）
两直线的位置关系直线的交点坐标与距离公式
圆的定义标准方程、一般方程
直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系
用代数方法解决几何问题
椭圆的定义、标准方程
核心方法
椭
直
圆
线
初步研究
程为y＝x+7。
将

高考数学一轮复习第八章平面解析几何第二节两条直线的位置关系教案(含解析)-高三全册数学教案

第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3. 2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0 221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172 C ．14 D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172. 考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4 D.2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－ab ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6a b＋6b a ≥13＋2 6a b ·6b a＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.(3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823. 2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q(2，－2)的连线的最小值是________．解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值，∴|P Q|min ＝|3×2＋4×－2－3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13， ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝a ＋12＋b －12，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)．法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上．所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0，解得a ＝－2或－32. 法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32. 答案：－2或－32考点三对称问题题点多变型考点——多角探明[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x －3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝02．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．解析：法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－－4(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0. 又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0 3．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)， ∴△ABC 周长的最小值为 ||A 1A 2＝4－02＋－5－72＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a a －2＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0. 4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0，又两平行直线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋－22＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q|2的值为( )A.102B.10 C ．5 D ．10 解析：选D 由题意知P (0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以P Q 为直径的圆上，∵|P Q|＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|M Q|2＝|P Q|2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q|的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|P Q|的最小值为2910. 4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n＝345. 5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)．所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝4＋22＋2－02＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q|＝[2－－1]2＋－1－32＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65， ∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________．解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.。

高考数学一轮总复习教学课件第八章平面解析几何第1节直线的方程

(2) 倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴.( × )
(3)若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θ.( × )
(4)若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ.( × )
(5)所有直线的方程都可以写成一次函数y=kx+b的形式.( × )
2. 一条直线 l 与 x 轴相交 , 其向上方向与 y 轴正方向所成的角为

√
解析:(3)由-1≤k< ,即-1≤tan α< ,而α∈[0,π),如图,结合

正切函数图象得α∈[0,)∪[ ,π).故选 D.
(1)斜率的两种求法
①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据
k=tan α求斜率;
②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式
又直线l在y轴上的截距为-1,
所以直线l的方程为 y= x-1 .
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
直线的倾斜角与斜率
[例1] (1)直线l向上的方向与x轴负半轴的夹角为120°,则直线l
的斜率是(

A.
)

B.-
C.
√
D.-
解析:(1)由题意,直线l向上的方向与x轴正半轴的夹角为60°,
点 A(- ,3),所以所求直线方程为 y-3= (x+ ),即 x-y+6=0.
(3)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的
2倍.
解:(3)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,

将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k=- ,此时,直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0.

书稿：高考数学一轮复习教案word文档(文)第九章平面解析几何

综上可知，所求直线的方程为 x＝ 1 或 3x＋ 4y＋1＝ 0. 探究提高在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
综上可知，直线 l 的方程为 2x－ 3y＝ 0 或 x＋ y－ 5＝0. 方法二由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0，
设直线方程为 y－2＝ k(x－ 3)，
2 令 y＝ 0，得 x＝ 3－ k，令 x＝0，得 y＝2－ 3k，
2
2
由已知 3－ k＝ 2－ 3k，解得 k＝－ 1 或 k＝ 3，
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之
间所成的角 α叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为
0°. ②倾斜角的范围为 [0 °，180°)．
(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，
出当 α∈ 0，π2 时，斜率
k∈ [0，＋ ∞ )；当 α＝ π时，斜率不存在；当 2
α∈ π， π时，斜 2
率 k∈ (－ ∞， 0)．
已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(－ 1,1)和 Q(2,2) ，若直线 l ：x＋my＋m ＝ 0 与线段 PQ 有交点，求实数 m 的取值范围．解如图所示，直线 l ： x＋ my＋ m＝ 0 过定点 A(0，－ 1)，

高考数学一轮总复习教学课件第八章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

则直线与圆相切.( √ )
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r

+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.

B.
C.2
)
D.
√

解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,

解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.

【推荐下载】高考数学一轮复习《平面解析几何初步》教案(2)

又∵ AB 与 BC 有公共点 B，∴ A、 B、 C 三点共线
变式训练 2. 设 a， b， c 是互不相等的三个实数，如果同一直线上，求证：证明 ∵A、 B、 C 三点共线，∴ｋ AB=kAC， ∴ a 3 b 3 a3 c3 ，化简得 a 2+ab+b2=a2+ac+c2 ，
ab ac
∴ｂ2-c 2+ab-ac=0 ，（ b-c ）（ a+b+c） =0， ∵a、 b、 c 互不相等，∴ｂ - c≠0，∴ a+b+c=0. 例 3. 已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2 (- 1≤x≤1).
2 ( 4k) (
1 )
＝4
2
k
当且仅当－ 4k ＝－ 1 ，即 k＝－ 1 时等号成立
k
2
∴△ AOB的面积最小值为 4
此时 l 的方程是 x＋ 2y－ 4＝ 0
②∵ |MA| ·|MB| ＝
1
2
2 1 4 4k
k
＝ 2(1
k 2) ＝2 (
1 )
( k1 即 k ＝－ 1 时等号成立
（ 2）设直线的斜率 k=2，P1（ 3， 5）， P2（ x2， 7），P（－ 1，y3 ) 是直线上的三点，则
次是
（）
A．－ 3， 4 B ． 2，－ 3 C ． 4，－ 3 D ． 4， 3
（ 3）直线 l 1 与 l 2 关于 x 轴对称， l 1 的斜率是－ 7 ，则 l 2 的斜率是（）
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简单的线性规划
直线的倾斜角和斜率
直线
直线方程的四种形式
直
两条直线的位置关系
曲线

2019-2020学年高考数学一轮复习平面与平面的位置关系教案 .doc

2019-2020学年高考数学一轮复习平面与平面的位置关系教案考点解说了解空间面面平行、垂直的有关概念;能正确地判断面面位置关系.理解两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理;能用图形语言和符号语言表述这些定理;能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.了解二面角及其平面角的概念;了解两个平行平面间的距离的概念.一、基础自测1.若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是 .2.已知平面//α平面β,P 是,αβ外一点,过P 点的直线分别交α于,A B ,交β于,C D ,且6,9,8PA AC AB ===,则CD 的长为 .3.设,αβ为两个不同的平面,,,l m n 是三条不同的直线,给出下列命题:(1)若//,l αβα⊂,则//l β; (2)若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂,则//αβ; (3)若//,l l αβ⊥,则αβ⊥; (4)若,m n 是异面直线,//,//m n αα且,l m l n ⊥⊥,则l α⊥.其中真命题的序号是 .4.下列命题正确的是 .(1)平面α内的两条相交直线分别平行于平面β内的两条相交直线,则α平行于β;(2)两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行;(3)若平面α平行于平面β,平面β平行于平面γ,则平面α平行于平面γ; (4)若,αγβγ⊥⊥,则//αβ; (5)若,αββγ⊥⊥,则αγ⊥.5.已知二面角l αβ--成60︒,直线,a b 满足,a b αβ⊥⊥,则,a b 所成角为 .6.已知两平行平面,αβ之间的距离为点,A D α∈且3AD =,点C 是点D 在面β上的射影,点B β∈,直线AB 和平面β所成角为60︒,则BC 长度最大值为 ,最小值为 .7.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行,则l 和α平行;(3)设α和β相交于直线l ,若α内有一条直线垂直于l ,则α和β垂直;(4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号是 .8.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是 .二、例题讲解例1.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ,,,M N P 分别是11111,,C C B C C D 的中点.(1)求证:平面//MNP 平面1A BD ; (2)求证:AP MN ⊥.例 2.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ,2,45PA PDA ︒=∠=,点,E F 分别为,AB PD 的中点.(1)求证://AF 平面PCE ; (2)平面PCE ⊥平面PCD .例3.如图,在四面体ABCD 中,,CB CD AD BD =⊥,点,E F 分别是,AB BD 的中点. 求证:(1)直线//EF 平面ACD ; (2)平面EFC ⊥平面BCD .例4.如图,在梯形ABCD 中//,,AB CD AD DC CB a ===60ABC ︒∠=, 平面ACFE ⊥平面ABCD .四边形ACEF 是矩形,AE a =,点M 在线段EF 上.(1)求证:BC ⊥平面ACFE ; (2)当EM 为何值时,//AM 平面BDF ?证明你的结论.板书设计教后感三、课后作业班级姓名学号等第1.若平面α内有三个不共线的点到平面β的距离相等,则,αβ的位置关系是 .2.设,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确的命题的序号是 .(1)若,//m n αα⊥,则m n ⊥; (2)若//,//,m αββγα⊥,则m γ⊥; (3)若//,//m n αα,则//m n ; (4)若,αγβγ⊥⊥,则//αβ.3.已知两个平面垂直,下列命题(1)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;(2)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;(3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面;(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是 .4.设P 是60︒二面角l αβ--内一点,PA ⊥平面α,PB ⊥平面β,,A B 为垂足,4PA =, 2PB =,则AB 的长为 .5.如图所示,点P 是平面ABC 外一点,且满足,,PA PB PC 两两垂直,PE BC ⊥,则该图中两两垂直的平面共有对.6.已知,l m αβ⊥⊂,有下列命题:(1)//l m αβ⇒⊥; (2)//l m αβ⊥⇒; (3)//l m αβ⇒⊥; (4)//l m αβ⊥⇒.其中真命题的序号是 .7.已知平面α⊥平面β,l αβ=,点A α∈,A l ∉,直线AB l ∥,直线AC l ⊥,直线,m m αβ∥∥,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .(1)AB m ∥; (2)AC m ⊥; (3)AB β∥; (4)AC β⊥8.已知平面,,αβγ及直线,l m 满足,,,l m m l αγγαγβ⊥⊥==,则由此可推出(1)βγ⊥,(2)l α⊥,(3)m β⊥,(4)βα⊥中的 .9. 如图,直三棱柱111ABC A B C -中,90,,ACB M N ︒∠=分别为111,A B B C 的中点. (1)求证://BC 平面1MNB ; (2)求证:平面1ACB ⊥平面11ACC A .10.如图,在四棱锥V ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD .证明AB ⊥平面VAD .11.在棱长为的正方体1111ABCD A BC D -中,P 为侧面11ADD A 的中心,F 为底面ABCD 的中心,E 为PC 的中点.(1)求证://EF 平面11ADD A ; (2)求证:平面PDC ⊥平面PAC .12.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且PA PD =,若,E F 分别为,PC BD 的中点.求证:(1)//EF 平面PAD ; (2)平面PDC ⊥平面PAD .13.（选做题）如图,在直四棱柱111A B C D A B C D-中,,DB BC DB AC =⊥,点M 是棱1BB 上一点. (1)求证:11//B D 面1A BD ; (2)求证:MD AC ⊥;(3)试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面11CC D D .。

2019-2020年高考数学一轮复习第九篇解析几何专题五高考解析几何命题动向教案理新人教版

2019-2020年高考数学一轮复习第九篇解析几何专题五高考解析几何命题动向教案理新人教版解析几何是高中数学的又一重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此可以以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及所成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及所成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材，这类问题涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样，求解此类问题对能力要求较高．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，且常考常新．高考命题特点(1)直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是求圆锥曲线的标准方程；有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是对直线与圆锥曲线的位置关系进行考查等．(2)试题在考查相应基础知识的同时，着重考查基本数学思想和方法，如分类讨论思想、数形结合思想．除此之外，许多试卷都非常重视对考生思维能力和思维品质的考查．(3)解析几何是高中数学的重点内容，它的特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，解题对能力要求较高．高考动向透视直线与圆的方程对于直线方程，要理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是求直线方程的三种形式．而对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法．如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等．这些方法是解决与圆有关问题的常用方法，必须认真领会，熟练运用．【示例1】►(xx·杭州模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q 满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程．解 (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称，∴圆心(－1,3)在直线x ＋my ＋4＝0上，代入得m ＝－1.(2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直．∴可设直线PQ 的方程为y ＝－x ＋b .将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0.由Δ＝4(4－b )2－4×2×(b 2－6b ＋1)＞0，得2－32＜b ＜2＋3 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(4－b )， x 1x 2＝b 2－6b ＋12. ∴y 1y 2＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－6b ＋12＋4b .∵OP →·OQ →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＋1＝0，解得b ＝1∈(2－32，2＋32)．∴所求的直线方程为x ＋y －1＝0.本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系，对于直线与圆的位置关系，可联立方程，转化为交点坐标，结合条件，求出参数值．【训练】 (xx·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0.解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆锥曲线的定义、标准方程(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一．对于圆锥曲线定义的考查，一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系，属于基础知识、基本运算的考查，解题时要注意恒等变形，进行合理转化与化归．(2)圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小问的，这一问至关重要，因为只有求出了曲线方程，才能进行下一步的运算．求曲线方程的方法很多，其中“待定系数法”最为常见．【示例2】►(xx·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b a 2＋b2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1，故选A. 答案 A本小题考查双曲线的几何性质(渐近线方程、焦点坐标)以及对直线与圆位置关系的理解与应用，求解本题时应注意将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解，本题难度适中．圆锥曲线的离心率离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点．求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题，求解时，可根据题意列出关于a 、b 、c 的相应等式，并把等式中的a 、b 、c 转化为只含有a 、c 的齐次式，再转化为含e 的等式，最后求出e .该类题型较为基础、简单，一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现，是送分题，只要我们熟练掌握圆锥曲线的几何性质，就可以顺利解题．【示例3】►(xx·新课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与双曲线C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3解析设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝ 3. 答案 B本小题考查对双曲线的几何性质的理解与应用，考查运算求解能力及逻辑思维能力．直线与圆锥曲线的位置关系此类试题一般为高考的压轴题，主要考查圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系．高考经常设计探究是否存在的问题，也经常考查与平面向量知识的综合运用．处理此类问题，主要是在“算”上下工夫．即利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数的关系解决问题．解题时，也要特别注意特殊情况(如斜率不存在的情况)的处理．【示例4】►(xx·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解(1)如图，设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2 k 2·1k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.本题综合考查了直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率以及平面向量知识，考查了数形结合思想和化归转化思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求，并借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．考查圆锥曲线的综合性问题高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合应用．【示例5】►(xx·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解 (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2＋4k 22－k 2m 2－1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、两点间距离公式、基本不等式等基础知识，考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力．直线与圆锥曲线的问题，一般方法是联立方程，利用“设而不求”思想解题.。

北师版高考总复习一轮数学精品课件第9章平面解析几何第2节两条直线的位置关系

(3)直线外一点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离.(
|k0 + |
(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为
.( × )
2
1+k
)
2.已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是
解析利用两平行线间的距离公式得 d=
|-1-1|
22 +12
= -4.
4-2 + = 0,
考向2由两条直线位置关系求直线方程
例2过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直
线的方程为 4x-3y+9=0
.
=
2 + 3 + 1 = 0,
解析 (方法一)由
解得
-3 + 4 = 0,
=
为所求直线与直线 3x+4y-7=0
4
5
为
5
.
解析由双曲线方程可得 c= 4 + 5=3,即双曲线的右焦点为 F(3,0).则点 F 到
|3+2×0-8|
直线 x+2y-8=0 的距离 d=
12 +22
= 5.
2 研考点精准突破
考点一两条直线的平行与垂直(多考向探究预测)
考向1两条直线平行与垂直的判断及应用
例1(1)(2024·安徽黄山模拟)“a=4”是“直线ax+y+a=0和直线4x+(a-3)y
的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2.

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