高二数学(人教B版)选修2-2课件：2.2.1综合法与分析法(共15张PPT)
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法
综合法是中学数学证明中最常用的方法． 综合法是 从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法． 综合法是一种由因导果的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
栏 目 链 接
栏 目 链 接
πL2 L2 πL2 L2 4 式成立， 只需证明 2 ＞ 成立， 即证明 2 ＞ ， 两边同乘以 2， 4π 16 4π 16 L
L 2 L2 1 1 得 ＞ ，因为上式成立，所以 π2π ＞ 4 . π 4
所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这 个圆的面积比这个正方形的面积大． 点评：分析法．
栏 目 链 接
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步
结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公
理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．
分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理 方法． 分析法是一种执果索因的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：
跟 踪 训 练
1 2 3 1．证明： ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
1 证明： 因为 logab＝ ， 所以左式＝log195＋2log193 logba ＋3log192＝ log19(5×32×23)＝log19360. 因为 log19360＜log19361＝2， 1 2 3 所以 ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
2015年秋新人教B版高中数学选修2-2：2.2.1《综合法与分析法》ppt课件
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至 归结为已知条件、定义、公理、定理等． 3．分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为： “要证„„， 只需证„„， 只需证„„， „ 由于„显然成立(已知，已证„)， 所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．
求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面 积比正方形的面积大．
3．综合法格式 从己知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由 “推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的 格式，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
如图，四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在
四边形 ABCD 中，∠ B ＝∠ C ＝ 90°， AB ＝ 4 ， CD ＝ 1 ，点 M 在
1.合情推理所得到的结论是否一定正确？ 2．演绎推理中经常使用的是哪种形式的推理？
答案：1.合情推理所得到的结论不一定正确．
2 ．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提和结论组成 的三段论推理.
一、直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有 综合法与分析法． 二、综合法 综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待 证结论，它是一种由因导果的思维方法．
PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角． (1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：面PAB⊥面PAD.
[证明] (1)以 C 为原点，CD、CB、CP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系． 由∠ PBC ＝ 30° ， PC ＝ 2 ， BC ＝ 2 3 ， AB ＝ 4 ，不难得到 3 3 D(1,0,0)，B(0,2 3，0)，A(4,2 3，0)，P(0,0,2)，M(0， 2 ，2)． 3 1 → → → 设CM＝xDP＋yDA⇒x＝4，y＝4. → → → ∴CM，DP，DA共面． ∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
2019版数学人教B版选修2-2课件：2.2.1综合法与分析法
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为等差数列.
分析：本题要求证明数列为等差、等比数列,思路是用定义证明,
所以恰当的处理递推关系是关键.
-12-
2.2.1 综合法与分析 法
目标导航
题型一 题型二 题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析 随堂演练
证明：(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得
(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,
+
������ 1+������
>
������ 1+������+������
+
������ 1+������+������
=
1+������+������+������ ������.
答案：C
-6-
2.2.1 综合法与分析 法
目标导航
12
知识梳理
重难聚焦
典例透析 随堂演练
2.分析法 一般地,从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,直 至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条 件、定理、定义、公理等),这种证明的方法叫做分析法. 用分析法证明的逻辑关系是:B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知). 在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结 论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此,从最 后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.
-8-
2.2.1 综合法与分析 法
目标导航
12
知识梳理
重难聚焦
典例透析 随堂演练
【做一做2】 分析法是( ) A.执果索因的逆推法 B.由因导果的顺推法 C.因果分别互推的两头凑法 D.逆命题的证明方法 答案：A
(教师用书)高中数学 2.2.1 综合法与分析法课件 新人教B版选修2-2
a b 若本例改为“已知 a>0，b>0，求证 ＋ ≥ a＋ b” b a 如何证明？
a b 【证明】 要证 ＋ ≥ a＋ b， b a 只需证 a a＋b b≥a b＋b a， 即证(a－b)( a－ b)≥0， 因为 a>0，b>0，所以 a－b 与 a－ b符号相同， 不等式(a－b)( a－ b)≥0 成立，所以原不等式成立.
1 1 b b 3 ＝ (a＋c)＋ b≥ ac＋ ＝b＋ ＝ b＝右边， 2 2 2 2 2 3 ∴acos 2 ＋ccos 2 ≥2b.
2C 2A
1．用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式 的结构， 利用正弦定理、 余弦定理将角化为边或边化为角． 通 过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以 从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化 繁为简”的原则． 2．用综合法证明不等式时常用的结论： a＋b 2 a2＋b2 (1)ab≤( 2 ) ≤ 2 (a，b∈R)； (2)a＋b≥2 ab(a≥0，b≥0)．
已知 a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
【证明】 b2c2)＋b2d2
∵左边＝ a2c2 ＋ 2abcd ＋ b2d2≤a2c2 ＋(a2d2 ＋
＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2).
分析法
2 设 a，b 为实数，求证： a ＋b ≥ 2 (a＋b)．
பைடு நூலகம்
●重点难点 重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点． 难点：分析法和综合法的思考过程、特点．
●教学建议 1．用综合法证明题时的注意事项 关于综合法证明注意事项的教学，建议教师通过实例引 导学生总结，用综合法证明题时，要先作语言的转换，如把 文字语言转化为符号语言，或把符号语言转化为图形语言 等．还要通过细致的分析，把题中隐含的条件明确表示出来．
高中数学选修2-2精品课件2：2.2.1 综合法和分析法
[证明] ∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2 ab， ∴ ab≤12.∴a1b≥4. ∴1a＋1b＋a1b＝(a＋b)(1a＋1b)＋a1b≥2 ab·2 a1b＋4＝8. ∴1a＋1b＋a1b≥8.
考点2： 分析法的应用
用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2. 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1，∴当x≥0时，f′(x)≤0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减． ∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，∴sinx－x≤0成立． ∴原不等式成立． 【方法规律总结】在实际解决问题中,分析法与综合法往 往结合起来使用,先分析由条件能产生什么结论,再分析要产生 需要的结论需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解答 突破口,确定解题步骤,然后用综合法写出解题的过程．
得到一个明显 Q⇐P1 P1⇐P2 P2⇐P3 … 成立的条件
知识辨析
1. 综合法在逻辑推理过程中有何特点？ 提示：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知 到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，是一种由因导果的证明 方法．
知识辨析
2. 分析法在逻辑推理过程中有何特点？ 提示：分析法也是数学证明中的常用方法，它是由命题的结 论出发，逐步推出保证此结论成立的条件的判断，而当这些判断 恰都是已知的命题(或定义、公理、定理、法则、公式等)时，命 题得证，是一种执果索因的证明方法．
第二章 推理与证明
2.2.1 综合法和分析法
考点2： 分析法的应用
用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2. 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1，∴当x≥0时，f′(x)≤0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减． ∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，∴sinx－x≤0成立． ∴原不等式成立． 【方法规律总结】在实际解决问题中,分析法与综合法往 往结合起来使用,先分析由条件能产生什么结论,再分析要产生 需要的结论需要什么条件,逐步探求两者之间的联系,寻找解答 突破口,确定解题步骤,然后用综合法写出解题的过程．
得到一个明显 Q⇐P1 P1⇐P2 P2⇐P3 … 成立的条件
知识辨析
1. 综合法在逻辑推理过程中有何特点？ 提示：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知 到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，是一种由因导果的证明 方法．
知识辨析
2. 分析法在逻辑推理过程中有何特点？ 提示：分析法也是数学证明中的常用方法，它是由命题的结 论出发，逐步推出保证此结论成立的条件的判断，而当这些判断 恰都是已知的命题(或定义、公理、定理、法则、公式等)时，命 题得证，是一种执果索因的证明方法．
第二章 推理与证明
2.2.1 综合法和分析法
最新人教版高中数学选修2.2.1-综合法和分析法ppt课件
综合法 P⇒ Q1 → Q1⇒ Q2 → Q2⇒ Q3 框图 表示 Q⇐ P1 →
分析法
特点
→„→ Qn⇒ Q P1⇐ P2 → (P 表示已知条件、已 P2⇐ P3 →„ 有的定义、公理、定 → 得到一个明显成立的条件 理等， Q 表示所要证 明的结论) 由因导果法 执果索因法
想一想 1.综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得 到的结论是正确的． 2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？
新知初探思维启动
综合法和分析法 综合法 分析法 已知条件 利用________ 和某些数学______、 从______ 的结论出发，逐步寻求使它 要证明 定义 公理 充分条件 ______ 、 成立的_________,直至最后，把要证 定理 等，经过一系列的 定 ______ 明的结论归结为判定一个明显成立的 推理论证 ，最后推导出所要证 条件(已知条件、______、 义 _________ 定理 明的结论成立,这种证明方法叫 ______、_______等)，这种证明方法 定义 公理 做综合法 叫做分析法
提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理,而是寻求使结论成立
的充分条件．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 综合法的应用 1 1 1 (1)设 a＞ 0， b＞ 0， a＋ b＝ 1，求证 ＋ ＋ ≥ 8. 例1 a b ab (2) 如图所示，设四面体 P - ABC 中，∠ ABC＝ 90° ，PA＝ PB ＝ PC， D 是 AC 的中点． 求证： PD 垂直于△ ABC 所在的平面．
1 ＋ 4＝ 8. ab
(2) 连接 BD. ∵ BD 是 Rt△ ABC 斜边上的中线， ∴ DA＝ DB＝ DC.又 PA＝PB＝PC， 而 PD 为△PAD， △ PBD， △ PCD 的公共边， ∴△ PAD≌△ PBD≌△ PCD.于是∠ PDA＝ ∠ PDB＝∠ PDC， 而∠ PDA＝∠ PDC＝ 90° ，∴∠ PDB＝ 90° . 可见 PD⊥ AC， PD⊥ BD. ∵ AC∩ BD＝ D， ∴ PD⊥平面 ABC.
最新人教版高中数学选修2.2.1综合法和分析法(2)ppt课件
2
2
综合法和分析法的综合应用 【例】 若 a，b，c 为不全相等的正数，求证： a＋ b b＋c c＋a lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2
a＋b b＋c c ＋a 证明：要证 lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c， 2 2 2 a＋b b＋c c＋a 只需证 lg( · · )>lg(a· b· c)， 2 2 2 a＋b b＋c c＋a 即证 · · >abc. 2 2 2 因为 a，b，c 为不全相等的正数， a＋b b＋c c＋a 所以 ≥ ab>0， ≥ bc>0， ≥ ac>0， 2 2 2 且上述三式中等号不能同时成立． a＋b b＋c c＋a 所以 · · >abc 成立， 2 2 2 a＋b b＋c c＋ a 所以 lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c 成立． 2 2 2
特点： 即：
执果索因
要证结果Q，只需证条件P
Q P1
P1 P2
P2 P3也可以是经过证明 的结论
例1 求证
解:要证 只需证 展开,只需证 只需证 21<25
3
( 3
3
72 5
72 5
7 ) 2 (2 5 ) 2
21 5
因为 21<25成立,所以
法二：据已知可得 b ＝mc，c ＝bn 2 2 b c ∴m＝ ，n＝ ，又由 m＞0，n＞0 c b ∴b＞0，c＞0. 又由 m、a、n 成等差数列，可得 2a＝m＋n， 3 3 2 2 b ＋c b c ∴2a＝ ＋ ＝ c b bc 2 2 b＋cb －bc＋c b＋c2bc－bc ＝ ≥ ＝b＋c. bc bc
高中数学选修2-2精品课件3：2.2.1 综合法和分析法
(2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示 为：
题型一 综合法的应用 【例 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man
＝m＋3(n∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn ＝23f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列.
(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
3．分析法 (1)定义：一般地，从要证明的 结论出发 ，逐步寻求使它成立 的 充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件 、 定理 、 定义、 公理 等)为止，这种 证明方法叫做分析法．
自学导引
1．直接证明 从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等， 通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接 证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．
2．综合法 (1)定义：一般地，利用 已知条件 和某些数学定义、定理 、公理 等，
经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法．
【变式 2】
已知 a，b 是正实数，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋ b.
证明
要证 a ＋ b ≥ ba
a＋
b，
只要证 a a＋b b≥ ab·( a＋ b)．
即证(a＋b－ ab)( a＋ b)≥ ab( a＋ b)，
因为 a，b 是正实数，
即证 a＋b－ ab≥ ab，
也就是要证 a＋b≥2 ab，
题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
题型一 综合法的应用 【例 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man
＝m＋3(n∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn ＝23f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列.
(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
3．分析法 (1)定义：一般地，从要证明的 结论出发 ，逐步寻求使它成立 的 充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件 、 定理 、 定义、 公理 等)为止，这种 证明方法叫做分析法．
自学导引
1．直接证明 从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等， 通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接 证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．
2．综合法 (1)定义：一般地，利用 已知条件 和某些数学定义、定理 、公理 等，
经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法．
【变式 2】
已知 a，b 是正实数，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋ b.
证明
要证 a ＋ b ≥ ba
a＋
b，
只要证 a a＋b b≥ ab·( a＋ b)．
即证(a＋b－ ab)( a＋ b)≥ ab( a＋ b)，
因为 a，b 是正实数，
即证 a＋b－ ab≥ ab，
也就是要证 a＋b≥2 ab，
题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
《2.2.1 综合法与分析法》课件4-优质公开课-人教B版选修2-2精品
故要从 A 推理到 D,由 A 推理出的中间结论未必唯一,如 B、B1、B2 等,可由 B、B1、B2 能推理出的进一步的中间结论则可能更多,如 C、C1、 C2、C3、C4 等.最终,能有一个(或多个)可推理出结论 D 即可.
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2.2.1 综合法与分析法
3
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
思路分析:考虑到要证明的等式中含有边和角,可用正弦和余弦定理进 行转化,再结合相关的三角公式证明.
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2.2.1 综合法与分析法
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究一Leabharlann 探究二探究三证明:由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccos A, 所以 a2-b2=c2-2bccos A,
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2.2.1 综合法与分析法
3
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
1
2
点拨综合法证题的特点:
(1)从“已知”看“需知”,逐步推向“未知”,由因导果,其逐步推理实际上是 要寻找它的必要条件. (2)用综合法证明数学问题,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清 晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.并且综合法的推理过程属于演绎推 理,它的每一步推理得出的结论都是正确的,不同于合情推理. (3)由于综合法证明命题“若 A 则 D”的思考过程可表示为:
学习脉络
-2-
2.2.1 综合法与分析法
高中数学PPT课件-综合法和分析法
•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是 b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形 的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
新知探究
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
新知探究
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证 明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因. 注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结
新知探究
知识要点 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
新知探究
你能用框图 表示综合法
吗？
用P表示已知条件、已有的定义、 公理、定理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用框图表示如下：
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为
cos2α
-
sin2α
=
1 2
(cos2β
-
sin2β)
再与
4sin2α - 2sin2β = 1 比较，发现只要把
cos2α - sin2α = 1 (cos2β - sin2β)的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
2
新知探究
=
1
-
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形 的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
新知探究
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
新知探究
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证 明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因. 注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结
新知探究
知识要点 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
新知探究
你能用框图 表示综合法
吗？
用P表示已知条件、已有的定义、 公理、定理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用框图表示如下：
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为
cos2α
-
sin2α
=
1 2
(cos2β
-
sin2β)
再与
4sin2α - 2sin2β = 1 比较，发现只要把
cos2α - sin2α = 1 (cos2β - sin2β)的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
2
新知探究
=
1
-
最新人教B版选修12高中数学2.2.1《综合法与分析法》1课件ppt.ppt
又c2 a2 2ac,b 0,所以b c2 a2 2abc.
因此 a b2 c2 b c2 a2 4abc.
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4
一 般 地, 利 用 已 知 条 件 和 某 些 数学 定 义 、 公 理 、 定 理 等, 经 过 一 系 列 的 推 理 论 证,最 后 推 导 出 所 要 证 明 的 结 论 成 立,这 种 证 明 方 法 叫 做综合法
平面ABC,AB BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的
F E
垂线,垂足为F.求证 AF SC. A
C
分析 本例所给的已知条件 中,垂直条件较多,我们不容易
B 图2.2 1
确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比
较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使
当前命题成立的充分条件.
7
2.分析法
证明数学命题时,还经常从要证明的结论Q出发, 反推回去,寻求保证Q成立的条件,即使Q成立的 充 分 条 件P1,为 了 证 明P1成 立, 再 去 寻 求P1成 立 的 充 分 条 件P2 ;为 了 证 明P2成 立, 再 去 寻 求P2成 立 的 充分条件P3 直到找到一个明显成立的条件
synthetical method.
综合法,又叫顺推证法或由因导果法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图 表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q
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method).
分析法,又叫逆推证法或执果索因法.
用Q表 示 要 证 明 的 结 论,则 分 析 法 可 用 框 图 表 示为 :
因此 a b2 c2 b c2 a2 4abc.
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4
一 般 地, 利 用 已 知 条 件 和 某 些 数学 定 义 、 公 理 、 定 理 等, 经 过 一 系 列 的 推 理 论 证,最 后 推 导 出 所 要 证 明 的 结 论 成 立,这 种 证 明 方 法 叫 做综合法
平面ABC,AB BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的
F E
垂线,垂足为F.求证 AF SC. A
C
分析 本例所给的已知条件 中,垂直条件较多,我们不容易
B 图2.2 1
确定如何在证明中使用它们,因而用综合法比
较困难.这时,可以从结论出发,逐步反推,寻求使
当前命题成立的充分条件.
7
2.分析法
证明数学命题时,还经常从要证明的结论Q出发, 反推回去,寻求保证Q成立的条件,即使Q成立的 充 分 条 件P1,为 了 证 明P1成 立, 再 去 寻 求P1成 立 的 充 分 条 件P2 ;为 了 证 明P2成 立, 再 去 寻 求P2成 立 的 充分条件P3 直到找到一个明显成立的条件
synthetical method.
综合法,又叫顺推证法或由因导果法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图 表示为:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q
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method).
分析法,又叫逆推证法或执果索因法.
用Q表 示 要 证 明 的 结 论,则 分 析 法 可 用 框 图 表 示为 :
人教B版高中数学选修(2-2)-2.2《综合法与分析法》教学课件2
2.2.1
小结 综合法的证明步骤如下：
本
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，
课 时
合理选择相关定义、定理等；
栏 目
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的
开 证明过程．
关
2.2.1
跟踪训练 1 在△ABC 中，AACB＝ccooss BC，证明：B＝C.
证明
在△ABC栏目Fra bibliotek开 关
小结 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中
需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，
结合已知条件，用结论反推的方法．
2.2.1
跟踪训练 2 求证： a－ a－1< a－2－ a－3(a≥3)．
证明 方法一 要证 a－ a－1< a－2－ a－3 (a≥3)
只需证 a＋ a－3< a－2＋ a－1，
2.2.1
1．综合法 和 分析法 是直接证明中最基本的两种证明方
本
法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
课 时
2．综合法是从 已知条件 出发，经过 逐步的推理 ，最后达
栏
到待证结论．
目
开 3．分析法是从 待证结论 出发，一步一步寻求结论成立的
关
_充__分__条__件_，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.
本 课 时 栏 目 开 关
2.2.1
2.2.1 综合法与分析法
【学习要求】
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
本 课
2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和
时
分析法证明数学问题．
栏
目
【学法指导】
人教版高二数学选修2-2(B版)全册PPT课件
3.1.1 实数系
3.1.3 复数的几何意义
3.2.2 复数的乘法
பைடு நூலகம்
本章小节
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 导数及其应用
人教版高二数学选修2－2(B版)全册 PPT课件
1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与冥函数的导
1.2.3 导数的四则运算法则
1.3.2 利用导数研究函数的极值
1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形
本章小结
第二章 推理与证明
2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
2.3.2 数学归纳法应用举例
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
3.1 数系的扩充与复数的概念
人教版高二数学选修2－2(B版)全 册PPT课件目录
0002页 0036页 0087页 0156页 0219页 0238页 0254页 0282页 0336页 0371页 0418页 0458页 0460页 0495页 0555页 0598页 0600页
第一章 导数及其应用
1.1.2 瞬时速度与导数
高二数学(人教B版)选修2-2课件：2.2.1综合法与分析法(共15张PPT)
普 从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的
通 结论是否正确的过程，叫做证明。
高 中 课 程
要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所 有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需 举出一个反例说明命题不能成立。
标 证明一个命题，一般步骤如下：
准 (1)按照题意画出图形；
(2)分清命题的条件的结论，结合图形，在“已知”一项中
书少成天勤什怀 劳才功山么小才的就天=有艰孩是也不在苦子百下路不展分学于的勤之望问，劳习勤一为未动的，的来求径奋+老灵,正人，感确真学来努什但，的懒百海么知徒力方惰分无法也的之伤才，+孩崖九学少悲能子十苦学谈享不九成空作受的到做话现汗舟功!在水!！! 人!！!!
普通高中课程标准数学2-2(选修)
第二章 推理与证明
三、概念形成
普 概念2.分析法
通
高
中 分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果
课 程 标
索因法”。它是要证明结论成立，逐步寻求推证过 程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要
准 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知
条件、定理、定义、公理等）为止。下面举例说明：
Liangxiangzhongxue
普 通 高 中 课 程 标 准
概念1.综合法
例子2．如图，设四面体PABC中, ∠ABC=90°， PA=PB=PC，D是AC的中点，求证：PD垂直于△ABC所 在的平面。
例子2.如图,设四面体PABC中, ∠ABC=90°,PA=PB=PC,D 是AC的中点，求证：PD垂直于△ABC所在的平面。
证明：连接PD，BD，因为BD是Rt△ABC斜
程 标 准
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结 论成立，这种证明方法叫做综合法。
2015年高二数学课件2.2.1《综合法与分析法》(新人教B版选修2-2)
• ∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列．∴B ＝60°. • 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac. • ∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．
• 设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
1．若 a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是( A．a2＞ab 1 1 C. ＞ a b B．ab＞b2 D．a2＞b2
)
• 【解析】 由不等式的性质知a＞b＞0显然 推出A、B、D正确． • 【答案】 C
2．欲证 2－ 3< 6－ 7成立，只需证( A．( 2－ 3)2<( 6－ 7)2 B．( 2－ 6)2<( 3－ 7)2 C．( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2 D．( 2－ 3－ 6)2<(－ 7)2
【错解】 ∵a∥b， 且 a＝(4cos α， sin α)， b＝(sin
β，4cos β)；
∴(4cos α)· (4cos β)＝sin αsin β， 即 sin αsin β＝16cos αcos β， sin α sin β ∴ · ＝16， cos α cos β
• ∴tan αtan β＝16，即结论正确． • 【错因分析】 本题证明过程混淆了已知与 结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程， 导致解答错误． • 【防范措施】 (1)分析法证明数学命题时， 是从结论出发，寻找使结论成立的充分条件， 一定要恰当地用好“要证明”、“只需证 明”，“即证”等词语． • (2)综合法的优点是易于表达，条理清晰，形 式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思想， 用综合法书写解题过程．
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)， 2 即证 a2＋b2≥2ab.
人教B版选修2-2高中数学2.2.1《综合法与分析法》ppt课件(1)
例2．如图，设四面体PABC中,
∠ABC=90°，PA=PB=PC，D
是AC的中点，求证：PD垂直于 A
D C
△ABC所在的平面。
B
证明：连接PD，BD，因为BD是Rt△ABC 斜边上的中线， 所以 DA=DB=DC，又因为 PA=PB=PC， 而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边, 所以△PDA≌△PBD≌△PCD，
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
2.2.1 综合法与分析法
1．综合法 综合法是从原因推导到结果的思维方法， 而分析法是一种从结果追溯到产生这一结 果的原因的思维方法。具体地说，综合法 是从已知条件出法，经过逐步的推理，最 后达到待证结论。分析法则是从待证结论 出法，一步一步寻求结论成立的充分条件， 最后达到题设的已知条件或已被证明的事 实。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
周长相等，那么这个圆的面积比这个正方
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三、概念形成
普 概念2.分析法
通
高
中 分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果
课 程 标
索因法”。它是要证明结论成立，逐步寻求推证过 程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要
准 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知
条件、定理、定义、公理等）为止。下面举例说明：
Liangxiangzhongxue
因为log19360<log19361=2，
1
2
3
所以
2
log5 19 log3 19 log2 19
Liangxiangzhongxue
1.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
2.已知a,b,c是不全相等的正数,求证：b+c-a+c+a-b+a+b-c>3
a
b
c
三、概念形成
书少成天勤什怀 劳才功山么小才的就天=有艰孩是也不在苦子百下路不展分学于的勤之望问，劳习勤一为未动的，的来求径奋+老灵,正人，感确真学来努什但，的懒百海么知徒力方惰分无法也的之伤才，+孩崖九学少悲能子十苦学谈享不九成空作受的到做话现汗舟功!在水!！! 人!！!!
普通高中课程标准数学2-2(选修)
第二章 推理与证明
Liangxiangzhongxue
P0(已知)P1P2P3P4(结论)。
三、概念形成
普 通
概念2.分析法
高
中
课 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条
程 标 准
件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等） 为止，这iangzhongxue
得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归
结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回
去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。
Liangxiangzhongxue
五、课堂练习
普 课本第65页，练习A，1，2
通
高
中
课
程
标 准
1.若a，b，c都是不小于0的实数，求证
a3b3c33abc
Liangxiangzhongxue
普 通 高 中 课 程 标 准
三、概念形成
概念1.综合法 例子1.求证： 1 2 3 2
log519 log319 log219
练习：
例子1.求证： 1 2 3 2 log5 19 log3 19 log2 19
证明：因为
loga
b
1 logb
a
所以
左式=log195+2log193+3log192 =log19(5×32×23)=log19360。
例子2．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时， 这个圆的面积比正方形的面积大。
证明：设圆和正方形的周长为L， 依题意，圆的面积为 ( L )2
2 正方形的面积为 ( L )2
4 因此本题只需证明 ( L )2 ( L)2
2 4 为了证明上式成立，只需证明 L2 L2
4 2 16
论出发的每一个步骤所
程 标 准
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结 论成立，这种证明方法叫做综合法。
Liangxiangzhongxue
综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因 导果法”。它是从已知条件和某些学过的定义、公 理、公式、定理等出发，通过推导得出结论。下面 举例说明：
写出题设，在“求证”一项中写出结论；
(3)在“证明”一项中，写出全部推理过程。
Liangxiangzhongxue
证明一个命题可分为直接证明和间接证明。
三、概念形成
普 概念1.综合法
通 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知定
高 中 课
义、公理、定理，直接推证结论的真实性。常用的 直接证明方法有“综合法”和“分析法”。
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
概念2.分析法
例子1．求证： 3 72 5
例子1．求证： 3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5 都是正数， 所以为了证明 3 7 2 5 只需证明 ( 3 7 )2 (2 5)2 展开得 10 2 21 20 即 21 5
只需证明21<25，因为21<25成立，
2.若a≥b＞0，求 a 4
的最小值。
(2a b)b
六、课堂总结
普
通 高 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
中 在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需 课
所以不等式 3 7 2 5 成立。
Liangxiangzhongxue
分析法证明的逻辑关系是：
B(结论) B1 B2 … Bn A(已知)。
三、概念形成
普 概念2.分析法
通 高 中
例子2．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等 时，这个圆的面积比正方形的面积大。
课 程 标 准
在分析法证明中，从结
普 通 高 中 课 程 标 准
概念1.综合法
例子2．如图，设四面体PABC中, ∠ABC=90°， PA=PB=PC，D是AC的中点，求证：PD垂直于△ABC所 在的平面。
例子2.如图,设四面体PABC中, ∠ABC=90°,PA=PB=PC,D 是AC的中点，求证：PD垂直于△ABC所在的平面。
证明：连接PD，BD，因为BD是Rt△ABC斜
普 从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的
通 结论是否正确的过程，叫做证明。
高 中 课 程
要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所 有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需 举出一个反例说明命题不能成立。
标 证明一个命题，一般步骤如下：
准 (1)按照题意画出图形；
(2)分清命题的条件的结论，结合图形，在“已知”一项中
2.2.1 综合法与分析法
2020年6月26日
一、复习引入
普
推理
通
高
中 课
合情推理(或然性推理)
演绎推理(必然性推理)
程
标
准 归纳推理 类比推理
三段论推理
Liangxiangzhongxue
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思 维过程。
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理。
二、提出问题
P
边上的中线，
所以 DA=DB=DC，又因为 PA=PB=PC，
A
而PD是△PDA、△PBD、△PCD的公共边,
D C
所以△PDA≌△PBD≌△PCD，
B
于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，
而∠PDA=∠PDC=90°，
可见PD⊥AC，PD⊥BD，
由此可知，PD垂直于△ABC所在的平面。
P
A
D
C
B
综合法证明步骤用符号表示就是：