勾股定理
勾股定理的内容
勾股定理的内容勾股定理,又称勾股定理,是古代数学中的一个重要定理。
在直角三角形中,直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
其数学表达形式为:a^2 + b^2 = c^2其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。
起源与发展勾股定理虽然现在被称为勾股定理,但最早是在《周髀算经》中发现的,成为世界上最早的几何著作之一。
据传,勾股定理是周公提出的,故得名“周公定理”。
后来被《算经》作者张丘建列入《增衍之术》中,并首次用文字表达了这一定理。
在中国古代,勾股定理的应用非常广泛,不仅用于地测和农业,还被运用在建筑和军事领域。
随着数学的发展,勾股定理也在世界各地广泛传播,并成为数学中的重要定理之一。
数学证明勾股定理的证明有多种方法,其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯定理利用几何形状和平行移动来证明直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方。
这一证明方法被后人发扬光大,成为数学学科中的一个经典证明。
应用场景勾股定理在现代生活中的应用也非常广泛。
例如,在建筑领域中,利用勾股定理可以计算建筑物的结构稳定性;在工程设计中,可以测量距离和角度;在电子领域中,可以应用于信号传输和数据处理等方面。
总的来说,勾股定理是数学中的一个重要定理,不仅对几何学有重要意义,还在现代科学技术中有着广泛的应用。
结语通过对勾股定理的介绍,我们可以看到它在数学史上的重要地位和广泛应用。
了解勾股定理不仅有助于我们理解数学知识的深层含义,还可以帮助我们应用数学知识解决现实生活中的问题。
在学习数学的过程中,我们应该对勾股定理有更多的了解和探索,进一步探索数学世界的奥秘。
勾股定理
板块一 勾股定理1.勾股定理的内容:如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注:勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
CAB cba勾股定理3.勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4.勾股数:满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。
板块一、勾股定理【例1】 下列说法正确的是( )A. 若a b c ,,是ABC ∆的三边,则222a b c +=B. 若a b c ,,是Rt ABC ∆的三边,则222a b c +=C. 若 a b c ,,是Rt ABC ∆的三边,90A ∠=︒,则222a b c +=D. 若 a b c ,,是Rt ABC ∆的三边,90C ∠=︒,则222a b c +=【例2】 在Rt ABC ∆中, 90C ∠=︒,(1)如果34a b ==,,则c = ; (2)如果68a b ==,,则c = ; (3)如果512a b ==,,则c = ; (4)如果1520a b ==,,则c = .【例3】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为【例4】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 .【例5】 已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.【例6】 已知直角三角形两边x ,y 的长满足240x -,则第三边长为______________.【例7】 一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )A .斜边长为25B .三角形周长为25C .斜边长为5D .三角形面积为20【例8】 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ,那么15m 长的梯子可以达到的高度为【例9】 如图,梯子AB 斜靠在墙面上,AC BC AC BC ⊥=,,当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时,梯足B 沿CB 方向滑动y 米,则x 与y 的大小关系是( ) A .x y = B .x y > C .x y < D .不确定CA【例10】 如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙上,梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么,梯子底端的滑动距离 米(填“大于”、“等于”、“小于”)68【例11】 三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【例12】 若ABC ∆的三边a b c ,,满足条件:222338102426a b c a b c +++=++,则这个三角形最长边上的高为【例13】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例14】 如图,一根高8米的旗杆被风吹断倒地,旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米,则折断点C到旗杆底部B 的距离为CBA【例15】 已知,如图所示,折叠长方形的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,•如果8cm AB =,10cm BC =,求EC 的长.【例16】 如图,有一个直角三角形纸片,两直角边6cm 8cm AC BC ==,,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,那么CD 的长为多少?EDCBA【例17】 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例18】 如图所示,在ABC ∆中,三边a b c ,,的大小关系是( )cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例19】 设,,,a b c d 都是正数。
勾股定理
勾股定理勾股定理,又称商高定理,西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理(英文:Pythagorean theorem或Pythagoras's theorem)是一个基本的几何定理,相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。
在中国,相传于商代就由商高发现,记载在一本名为《周髀算经》的古书中。
而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。
法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形。
直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理指出:直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。
也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么A2+ b2= c2勾股定理现发现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
一种证明方法的图示:左右两正方形面积相等,各扣除四块蓝色三角形后面积仍相等勾股定理勾股定理的美妙证明证明[广西梁卷明的证法]:如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR,则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q 必在SR上,又把梯形ABNM沿BR方向平移,使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2,再把⊿RSB沿BA方向平移,使点B与点A重合,则⊿RSB必与⊿PTA重合!故有:正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积,即得: a的平方 + b的平方 = c的平方.勾股定理【梁卷明证法】勾股定理 - 勾股数组勾股数组是满足勾股定理a2+ b2= c2的正整数组(a,b,c),其中的a,b,c称为勾股数。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式:a = m−n,b = 2mn,c = m + n,其中勾股定理。
勾股定理公元前500-200年,《周髀算经》的图解《勾股圆方图》勾股定理 - 参考资料勾股定理 - 历史上的勾股定理定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2;即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
十种方法证明勾股定理
十种方法证明勾股定理勾股定理是中学数学中最基本的定理之一,解决了数学中的许多问题。
它是一个既基础且实用的定理,有许多方法可以证明它,下面介绍十种方法:1.欧拉定理证明法:构造出一个直角三角形,把它的两条直角边对应的两个正方形放在直角三角形外面,另一条边对应的正方形放在直角三角形内部,再利用欧拉定理计算出三个正方形的面积,可以证明勾股定理。
2.代数证明法:利用代数的平方公式,把直角三角形的两条直角边平方相加,再把斜边平方,然后再将两者相减,得到一个等式,即可证明勾股定理。
3.数学归纳法证明:用数学归纳法证明勾股定理,证明当n为正整数时,定理成立。
4.相似三角形证明法:构造出相似的三角形,利用相似三角形的性质,可以推导出勾股定理。
5.向量证明法:用向量的几何意义证明勾股定理,首先利用向量的长度和夹角的公式计算出向量的长度和夹角,再利用向量的点积公式计算出勾股定理中的各个变量,最后推导出勾股定理。
6.割圆术证明法:利用割圆术将直角三角形对角线作为半径画圆,利用圆上弧角定理,可以得到勾股定理。
7.平面几何证明法:用平面几何证明勾股定理,利用平面几何图形的形状和大小关系,推导出勾股定理。
8.解析几何证明法:用解析几何证明勾股定理,利用平面直角坐标系,将三角形的三个点用坐标表示出来,推导出勾股定理。
9.三角函数证明法:用三角函数证明勾股定理,利用三角函数的性质,将三角形分离出直角三角形和非直角三角形,再用三角函数计算出各个变量,推导出勾股定理。
10.古希腊证明法:古希腊人对勾股定理有自己的证明方法,即利用几何图形的形状和大小,通过构造几何图形推导出勾股定理。
这些证明方法都可以证明勾股定理的正确性,它们有不同的适用范围和难度级别,可以根据自己的水平和兴趣选择合适的证明方法。
勾股定理
一、勾股定理基础知识点:1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形,化简得证3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在A B C ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+,22b c a =-,22a cb =-②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c为三边的三角形是锐角三角形;cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
勾股定理详解
勾股定理详解勾股定理定义及公式勾股定理是一个基本几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组程a²+ b²= c²的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那a²+b²=c²。
勾股定理逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边,且a²+b²=c²,则△ABC是直角三角形。
如果a²+b²>c²,则△ABC是锐角三角形。
如果a²+b²<c²,则△ABC是钝角三角形。
勾股定理的证明据不完全统计,勾股定理的证明方法已经多达400多种了。
下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。
【证法1】赵爽“勾股圆方图”第一种方法:边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边为c的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式,化简得。
第二种方法:边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b,斜边为c的角三角形拼接形成的(虚线表示),不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。
因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积,所以可以列出等式,化简得。
这种证明方法很简明,很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。
【证法2】课本的证明做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab,整理得a²+b²=c²【证法3】1876年美国总统Garfield证明以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于1/2c².又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c².∴a²+b²=c².【趣闻】:在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理的公式
勾股定理的公式
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理公式是a的平方加上b的平方等于c的平方。
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为C,那么公式就是:a^2+b^2=c^2。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
勾股定理
勾股定理勾股定理又叫商高定理、毕氏定理,或称毕达哥拉斯定理(Pythagor as Theorem).在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a²+b²=c²据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过 4000 年!中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的第一章,就有这条定理的相关内容:周公问:“窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度。
夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高答:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出九九八十一,故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。
既方其外,半之一矩,环而共盘。
得成三、四、五,两矩共长二十有五,是谓积矩。
故禹之所以治天下者,此数之所由生也。
”就是说,矩形以其对角相折所称的直角三角形,如果勾(短直角边)为3,股(长直角边)为4,那么弦(斜边)必定是5。
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。
在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。
据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺。
故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。
遗憾的是,毕达哥拉斯的证明方法早已失传,我们无从知道他的证法。
实际上,在更早期的人类活动中,人们就已经认识到这一定理的某些特例。
除上述两个例子外,据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。
但是,这一传说引起过许多数学史家的怀疑。
比如说,美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出:“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。
我们知道他们有拉绳人(测量员),但所传他们在绳上打结,把全长分成长度为3、4、5的三段,然后用来形成直角三角形之说,则从未在任何文件上得证实。
”不过,考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书,据专家们考证,其中一块上面刻有如下问题:“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上,当其上端滑下6个单位时,请问其下端离开墙角有多远?”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子;专家们还发现,在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表,表中共刻有四列十五行数字,这是一个勾股数表:最右边一列为从1到15的序号,而左边三列则分别是股、勾、弦的数值,一共记载着15组勾股数。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理,也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系,并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是:“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为:a² + b² = c²其中,a、b代表直角三角形的两条直角边,c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法,在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明:通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形,然后计算正方形的面积,从而证明等式成立。
代数证明:通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算,然后将其相加和化简,最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理,还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题:通过勾股定理,我们可以已知两条边长来求解第三条边长,或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状:我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形,从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题:勾股定理还可以应用于解决一些几何问题,例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形,勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理:平方和定理是勾股定理的推广,它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线:在多边形中,通过某个顶点可以连接其他顶点,形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理:在空间几何中,勾股定理可以推广到三维空间,描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
超全勾股定理公式大全
超全勾股定理公式大全我们知道,如果∠C=90°,a 、b 、c 是直角三角形的三边,则由勾股定理,得a 2+b 2=c 2;反之,若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,则该三角形是直角三角形,c 为斜边.与此相类似,如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,则称a 、b 、c 为勾股数,记为(a ,b ,c ).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍几种:一、三数为连续整数的勾股数(3,4,5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢? 设三数为连续整数的勾股数组为(x -1,x ,x +1),则由勾股数的定义,得(x+1)2+x 2=(x+1)2,解得x =4或x =0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数易知:(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢? a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1(其特点是斜边与其中一股的差为1).分别取n =1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),…三、前两数为连续整数的勾股数你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…,这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为:(x ,x +1,1222++x x )(x 为正整数)。
设前两数为连续整数的勾股数组为(x ,x +1,y ),y=1222++x x 则()2221y x x =++(*)整理,得1222++x x =2y ,化为()121222-=-+y x ,即()y x 212++()y x 212-+=-1,又()()2121-+=-1,∴()1221++n ()1221+-n =-1(n∈N),故取()y x 212++=()1221++n ,()y x 212-+=()1221+-n ,解之,得x =41〔()1221++n +()1221+-n -2〕,y =42〔()1221++n -()1221+-n 〕,故前两数为连续整数的勾股数组是(41〔()1221++n +()1221+-n -2〕,41〔()1221++n +()1221+-n -2〕+1,42〔()1221++n -()1221+-n 〕).四、后两数为连续奇数的勾股数如(8,15,17),(12,35,37)…其公式为:4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数). 五、其它的勾股数组公式:1.a=2m,b=m 2-1,c=m 2+1(m 大于1的整数).2.a=21(m 2-n 2),b=mn,c=21(m 2+n 2)(其中m>n 且是互质的奇数).3.a=2m,b=m 2-n 2,c=m 2+n 2(m>n,互质且一奇一偶的任意正整数).下面我们把100以内的勾股数组列出来,供同学们参考:34 5;512 13;6810;72425;81517;9 1215;940 41;102426;116061;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15112 113;16 30 34;1663 6517144 145;18 24 30;18 80 82;19 180 181;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 3521 72 75;21 220 221;22 120 122;23 264 265;24 32 40;24 45 51;24 70 74;24143 14525 60 65;25 312 313;26 168 170;27 36 45;27120 123;27 364 365;28 45 53;2896 10028 195 197;29 420 421;30 40 50;30 72 78;30 224 226;31 480 481;32 60 68;32126 13032 255 257;33 44 55;33 56 65;33 180 183;33 544 545;34 288 290;35 84 91;35120 12535 612 613;36 48 60;36 77 85;36 105 111;36 160 164;36 323 325;37 684 685;38 360 36239 52 65;39 80 89;39 252 255;39 760 761;40 42 58;40 75 85;40 96 104;40 198 20240 399 401;41 840 841;42 56 70;42 144 150;42 440 442;43 924 925;44 117 125;44 240 24444 483 485;45 60 75;45 108 117;45 200 205;45 336 339;46 528 530;48 55 73;4864 8048 90 102;48 140 148;48 189 195;48 286 290;48 575 577;49 168 175;50 120 130;50 624 62651 68 85;51 140 149;51 432 435;52 165 173;52 336 340;52 675 677;54 72 90;54240 24654 728 730;55 132 143;55 300 305;56 90 106;56 105 119;56 192 200;56 390 394;56 783 78557 76 95;57176 185;57 540 543;58 840 842;60 63 87;60 80 100;60 91 109;60 144 15660 175 185;60 221 229;60 297 303;60 448 452;60 899 901;62 960 962;63 84 105;63 216 22563 280 287;63 660 663;64 120 136;64 252 260;64 510 514;65 72 97;65 156 169;65 420 42566 88 110;66 112 130;66 360 366;68 285 293;68 576 580;69 92 115;69 260 269;69 792 79570 168 182;70 240 250;72 96 120;72 135 153;72 154 170;72 210 222;72 320 328;72 429 43572 646 650;75 100 125;75 180 195;75 308 317;75 560 565;75 936 939;76 357 365;76 720 72477 264 275;77 420 427;78 104 130;78 160 178;78 504 510;80 84 116;80 150 170;80 192 20880 315 325;80 396 404;80 798 802;81 108 135;81 360 369;84 112 140;84 135 159;84 187 20584 245 259;84 288 300;84 437 445;84 585 591;84 880 884;85 132 157;85 204 221;85 720 72587 116 145;87 416 425;88 105 137;88 165 187;88 234 250;88 480 488;88 966 970;90 120 15090 216 234;90 400 410;90 672 678;91 312 325;91 588 595;92 525 533;93 124 155;93 476 48595 168 193;95 228 247;95 900 905;96 110 146;96 128 160;96 180 204;96 247 265;96 280 29696 378 390;96 572 580;96 765 771;98 336 350;99 132 165;99 168 195;99 440 451;99 540 549100 105 145;100240260;100 495 505;100621629.以下是大于100的勾股数:第223组:102 136 170第224组:102 280 298第225组:102 864 870第226组:104 153 185第227组:104 195 221第228组:104 330 346第229组:104 672 680第230组:105 140 175第231组:105 208 233第232组:105 252 273第233组:105 360 375第234组:105 608 617第235组:105 784 791第236组:108 144 180第237组:108 231 255第238组:108 315 333第239组:108 480 492第240组:108 725 733第241组:108 969 975第242组:110 264 286第243组:110 600 610第244组:111 148 185第245组:111 680 689第246组:112 180 212第247组:112 210 238第248组:112 384 400第249组:112 441 455第250组:112 780 788第251组:114 152 190第252组:114 352 370第253组:115 252 277第254组:115 276 299第256组:117 156 195 第257组:117 240 267 第258组:117 520 533 第259组:117 756 765 第260组:119 120 169 第261组:119 408 425 第262组:120 126 174 第263组:120 160 200 第264组:120 182 218 第265组:120 209 241 第266组:120 225 255 第267组:120 288 312 第268组:120 350 370 第269组:120 391 409 第270组:120 442 458 第271组:120 594 606 第272组:120 715 725 第273组:120 896 904 第274组:121 660 671 第275组:123 164 205 第276组:123 836 845 第277组:124 957 965 第278组:125 300 325 第279组:126 168 210 第280组:126 432 450 第281组:126 560 574 第282组:128 240 272 第283组:128 504 520 第284组:129 172 215 第285组:129 920 929 第286组:130 144 194 第287组:130 312 338 第288组:130 840 850 第289组:132 176 220 第290组:132 224 260 第291组:132 351 375 第292组:132 385 407 第293组:132 475 493 第294组:132 720 732 第295组:133 156 205 第296组:133 456 475 第297组:135 180 225 第298组:135 324 351第300组:135 600 615 第301组:136 255 289 第302组:136 273 305 第303组:136 570 586 第304组:138 184 230 第305组:138 520 538 第306组:140 147 203 第307组:140 171 221 第308组:140 225 265 第309组:140 336 364 第310组:140 480 500 第311组:140 693 707 第312组:140 975 985 第313组:141 188 235 第314组:143 780 793 第315组:143 924 935 第316组:144 165 219 第317组:144 192 240 第318组:144 270 306 第319组:144 308 340 第320组:144 420 444 第321组:144 567 585 第322组:144 640 656 第323组:144 858 870 第324组:145 348 377 第325组:145 408 433 第326组:147 196 245 第327组:147 504 525 第328组:150 200 250 第329组:150 360 390 第330组:150 616 634 第331组:152 285 323 第332组:152 345 377 第333组:152 714 730 第334组:153 204 255 第335组:153 420 447 第336组:153 680 697 第337组:154 528 550 第338组:154 840 854 第339组:155 372 403 第340组:155 468 493 第341组:156 208 260 第342组:156 320 356第343组:156 455 481 第344组:156 495 519 第345组:156 667 685 第346组:159 212 265 第347组:160 168 232 第348组:160 231 281 第349组:160 300 340 第350组:160 384 416 第351组:160 630 650 第352组:160 792 808 第353组:161 240 289 第354组:161 552 575 第355组:162 216 270 第356组:162 720 738 第357组:165 220 275 第358组:165 280 325 第359组:165 396 429 第360组:165 532 557 第361组:165 900 915 第362组:168 224 280 第363组:168 270 318 第364组:168 315 357 第365组:168 374 410 第366组:168 425 457 第367组:168 490 518 第368组:168 576 600 第369组:168 775 793 第370组:168 874 890 第371组:170 264 314 第372组:170 408 442 第373组:171 228 285 第374组:171 528 555 第375组:171 760 779 第376组:174 232 290 第377组:174 832 850 第378组:175 288 337 第379组:175 420 455 第380组:175 600 625 第381组:176 210 274 第382组:176 330 374 第383组:176 468 500 第384组:176 693 715 第385组:176 960 976 第386组:177 236 295第388组:180 240 300 第389组:180 273 327 第390组:180 299 349 第391组:180 385 425 第392组:180 432 468 第393组:180 525 555 第394组:180 663 687 第395组:180 800 820 第396组:180 891 909 第397组:182 624 650 第398组:183 244 305 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勾股定理概念及其性质
勾股定理概念及其性质
勾股定理(又称Pythagorean theorem)是古希腊数学家勾股提出的一个定理,它指出:在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边的平方之和。
即:
a2 + b2 = c2
其中,a和b分别为直角边,c为斜边。
勾股定理的性质:
(1)勾股定理是一个双调定理,即它不仅适用于直角三角形,也适用于任何等腰三角形;
(2)勾股定理的三条边的关系不受三角形的位置、大小或形状的变化而改变;
(3)勾股定理可以用来求解不等腰三角形的斜边长度;
(4)勾股定理可以用来求解等腰三角形的其他两边长度;
(5)勾股定理可以用来求解任何直角三角形的外接圆半径;
(6)勾股定理可以用来求解任何等腰三角形的内接圆半径。
勾股定理
OA2
OA3
OA4
OA5
OA6
OA7
OA8
例6:2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,那么 的值为()
2.一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )
A.斜边长为25 B.三角形周长为25
C.斜边长为5 D.三角形面积为20
3.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是( )
A.0B.1
C.2D.3
4.如图,数轴上的点A所表示的数为x,则x2—10的立方根为( )
它取材于我国三国时期(公元3世纪)赵爽所著的《勾股圆方图注》.
类型之四:勾股定理的应用
(一)求边长
例1:已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,求CD的长.
.
(二)求面积
例2:(1)观察图形思考并回答问题(图中每个小方格代表一个单位面积)
①观察图1-1.
(2)写出各数都大于30的两组商高数.
10、2002年8月20~28日在北京召开了第24届国际数学家大会.大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形拼成的(直角边长分别为2和3),则大正方形的面积是.
11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1,以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形,又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形,以此类推,第13个等腰直角三角形的面积是.
勾股定理
勾股定理一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
公式的变形:a2=c2-b2,b2=c2-a2。
勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理,也叫百牛定理。
它是直角三角形的一条重要性质,揭示的是三边之间的数量关系。
它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。
勾股定理是一个基本的几何定理,它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,是数形结合的纽带之一。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2+b2=c2,那么三角形ABC是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
4、最短距离问题:主要运用的依据是。
二、知识结构:直角三角形勾股定理应用判定直角三角形的一种方法三、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积求:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.2.如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边例(09年山东滨州)如图2,已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高,AD=8,则边BC的长为()A.21B.15C.6D.以上答案都不对【强化训练】:1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm,2cm,则斜边长为.2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,求斜边上的高.(结论:直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积,ab=ch)考点三:应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、(09年湖南长沙)如图1所示,等腰中,,是底边上的高,若,求①AD的长;②ΔABC的面积.考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、(09年滨州)某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为.分析:如何利用所学知识,把折线问题转化成直线问题,是问题解决的关键。
勾股定理
勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
[1]中文名勾股定理外文名Pythagoras theorem 别称商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理表达式a²+b²=c²提出者毕达哥拉斯赵爽商高提出时间公元前551年应用学科几何学适用领域范围数学,几何学适用领域范围数学,几何学中国记载著作《周髀算经》《九章算术》外国记载著作《几何原本》限制条件直角三角形在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和,斜边长度是,那么可以用数学语言表达:勾股定理是余弦定理中的一个特例。
推导赵爽弦图《九章算术》中,赵爽描述此图:“勾股各自乘,并之为玄实。
开方除之,即玄。
案玄图有可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四。
以勾股之差自相乘为中黄实。
加差实亦成玄实。
以差实减玄实,半其余。
以差为从法,开方除之,复得勾矣。
加差于勾即股。
凡并勾股之实,即成玄实。
或矩于内,或方于外。
形诡而量均,体殊而数齐。
勾实之矩以股玄差为广,股玄并为袤。
而股实方其里。
减矩勾之实于玄实,开其余即股。
倍股在两边为从法,开矩勾之角即股玄差。
加股为玄。
以差除勾实得股玄并。
以并除勾实亦得股玄差。
令并自乘与勾实为实。
倍并为法。
所得亦玄。
勾实减并自乘,如法为股。
勾股定理内容
勾股定理内容
所谓“勾股定理”,是指用于求三角形的两边长度的定理,其源自古希腊数学家“勾
股(Pythagoras)”提出的数学定理,也被称为“勾股定律”或“勾股等式”。
严格来说,勾股定理是“任意一个直角三角形的两个直角边的平方和,等于另一条斜
边的平方”的定理。
它的表述为:
a的平方 + b的平方 = c的平方
其中,a和b是直角三角形的两个直角边,而c是两个直角边之间的斜边。
古希腊数学家勾股并不是第一个提出勾股定理的人,至少在2500年前,古埃及人就
已经知道这个数学定理。
但是,他们并没有使用文字记录下来,而只是将这种定理用石头、沙子或地上画出来,然后在学生中传播这一定理。
经过数百年的历史演变,在公元前6世纪,勾股出生于希腊的托勒密的尤金山上,受
到“古希腊学派”的教育和影响,他提出了最早的勾股定理:a的平方 + b的平方 = c的平方。
那时,勾股定理已经被普遍采用,并因此而广为传播。
在数学文化发展中,勾股定理扮演了重要的角色,它不仅作为三角形三边长度求解的
基础性定理,而且也被广泛用于圆周率、球面上的极点和多面体的计算,对现代数学的发
展也起着一定的作用。
而且,由于它的思想简单,容易理解,因而随着公元前的数学知识
的发展,勾股定理迅速受到人们的崇拜和推崇。
今天,勾股定理被认为是最为明显、伟大、早、属于人类认识水平最顶尖的可追溯的
数学定理。
根据这一定理,可以对任何两条斜边相等的三角形进行有效的求解,甚至可以
求解圆等边三角形的三边的长度,并获得完美的答案,这无疑为拓展数学的应用场景提供
了重要的基础。
勾股定理
勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述:在任何一个的直角三角形中,两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等)。
数学表达:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。
[1]推广定理:勾股定理的逆定理。
如果 (a,b,c) 是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即∀n∈Z*,(na,nb,nc) 也是勾股数。
若a,b,c三者互质(它们的最大公约数是 1),它们就称为素勾股数。
2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。
埃及称为埃及三角形。
早在毕达哥拉斯之前,许多民族已经发现了这个事实,而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据,有案可查。
相反,毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来,关于他的种种传说都是后人辗转传播的。
可以说真伪难辨。
这个现象的确不太公平,之所以这样,是因为现代的数学和科学来源于西方,而西方的数学及科学又来源于古希腊,古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》,而其中许多定理再往前追溯,自然就落在毕达哥拉斯的头上。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理,也称毕达哥拉斯定理,是初中数学中一个重要的几何定理。
它是描述直角三角形边长关系的定理,可以用来计算直角三角形的边长和判断是否为直角三角形。
下面将对勾股定理的定义、性质和应用进行总结。
一、定义:勾股定理可以用如下数学表达式进行定义:在一个直角三角形中,直角边(即与直角相邻的两条边)的平方和等于斜边的平方。
具体表达为:a² + b² = c²,其中a、b、c分别表示直角三角形的两直角边和斜边。
二、性质:1. 勾股定理适用范围广泛,不仅适用于直角三角形,也适用于一些非直角三角形的特殊情况,如钝角三角形。
2. 勾股定理在平面坐标系中也适用,可以用来求两点之间的距离。
3. 勾股定理的逆定理也成立,即若在一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,则该三角形为直角三角形。
三、应用:1. 判断直角三角形:根据勾股定理,当a² + b² = c²成立时,可判定为直角三角形。
2. 计算缺失边长:已知直角三角形的两个边长,可利用勾股定理求解第三边长。
例如,已知a = 3,b = 4,求解c。
根据勾股定理,可得c = √(3² + 4²) = 5。
3. 解决实际问题:勾股定理不仅仅是一种抽象的数学定理,还广泛应用于实际问题的解决。
例如,在建筑设计中,可以利用勾股定理计算房间对角线的长度;在测量领域,可以利用勾股定理测量两点之间的距离等。
总结:勾股定理是直角三角形中的重要数学定理,具有重要的应用价值。
它不仅可以判断直角三角形,还可以计算三角形的边长和解决与距离有关的实际问题。
掌握勾股定理的定义、性质和应用,对于初中数学的学习和实际应用都具有重要意义。
通过以上对勾股定理的知识点总结,相信能够对这一定理有更加深入的理解。
在解决三角形相关问题时,勾股定理将成为你的得力工具。
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运用勾股定理计算长度
在直角三角形ABC中、a=8、b=10、B=90°,求第三边c
在直角三角形ABC中,已知两边为3、4,求第三边长
如图,已知AB=12;AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10.点E是CD的中点,求AE的长.
运用勾股定理解决折叠问题
一张直角三角形的纸片,像如图所示那样折叠,使两个锐角顶点A、B重合.若∠
B=30°,则折痕DE的长等于
如图,把矩形纸条ABCD沿EF、GH同时折叠,B、C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD的边BC长为
如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD 交于点E.
(1)求证:△AEC是等腰三角形;
(2)若P为线段AC上一动点,作PG⊥AB′于G、PH⊥DC于H,求证:PG+PH=AD.
运用勾股定理求面积
直角三角形的周长为12,斜边长为5,其面积为
如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是
公园里有一块形如四边形ABCD的草地,测得BC=CD=10米,∠B=∠C=120°,∠
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运用勾股定理解决最值问题
底面半径为2,高为8的圆柱,有A点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?
某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=4米,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为
运用勾股定理判定三角形为直角三角形
如图所示,设P为等边△ABC内的一点,且PB=2 2,PA=1,PC=3,则∠APB=。