(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《变化率与导数、导数的运算》理 新人教B版

[第13讲 变化率与导数、导数的运算](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·江西卷] 若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0) 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x －23．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－14．y ＝cos x 1－x的导数是( )A ．y ′＝cos x ＋sin x ＋x sin x（1－x ）2B ．y ′＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2C ．y ′＝cos x －sin x ＋x sin x1－xD ．y ′＝cos x ＋sin x －x sin x（1－x ）2能力提升5．[2013·沈阳模拟] 若函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.π4B.π6C.5π6D.3π46．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 7．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．2158．若曲线y ＝x －12在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．89．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π10．[2013·深圳模拟] 已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为________．11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________．12．[2013·豫北六校联考] 已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．13．已知f (x )＝e x －e－x e x ＋e－x ，则f ′(0)＝________．14．(10分)求下列函数的导数：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ； (2)y ＝e 1－2x＋ln(3－x )；(3)y ＝ln 1－x1＋x.15．(13分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．难点突破16．(12分)用导数方法求和：1＋2x＋3x2＋…＋nx n－1(x≠0，1，n∈N*)．课时作业(十三)【基础热身】1．C [解析] f ′(x )＝2x －2－4x >0，即x 2－x －2x>0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2.2．A [解析] ∵y ′＝⎪⎪⎪2（x ＋2）2x ＝－1＝2，∴切线方程为y ＝2x ＋1. 3．A [解析] ∵y ′＝2x ＋a⎪⎪⎪)x ＝0＝a ，∴a ＝1，(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.4．B [解析] y ′＝－（1－x ）sin x －（－1）cos x （1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2. 【能力提升】5．D [解析] y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0，故3π4≤α<π，α的最小值为3π4.6．D [解析] f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，即函数f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线的斜率是1，直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×1＝－1，解得a ＝2.7．C [解析] f ′(x )＝[x ·(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.8．A [解析] y ′＝－12x －32，所以k ＝－12a －32，切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0，得x ＝3a .所以三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，解得a ＝64.9．D [解析] 由于y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4e x ＋1′＝－4e x（e x ＋1）2，而α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则k ＝tan α＝－4e x （e ＋1）<0.又(e x ＋1)2≥(2e x )2＝4e x ，当且仅当e x＝1，即x ＝0时，取等号，那么k ＝tan α＝－4e x （e x ＋1）2≥－1，即－1≤k <0，那么对应的α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 10．0或－23 [解析] 由题意2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23.11．ln2－1 [解析] y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点(2，l n2)，代入直线方程，得ln2＝12×2＋b ，所以b ＝ln2－1.12．2 [解析] 函数y ＝ln(x ＋a )的导数为y ′＝1x ＋a ，设切点(x 0，y 0)，则切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，ln （x 0＋a ）－x 0x 0＋a＝1，解得a ＝2.13．1 [解析] ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －e －x e x ＋e －x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x －1e 2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e 2x ＋1′＝2(e 2x ＋1)－2·e 2x·2＝4e 2x（e 2x ＋1）2，∴f ′(0)＝44＝1. 14．解：(1)y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ′－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ′＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . (2)y ′＝e 1－2x ·(1－2x )′＋13－x ·(3－x )′＝－2e 1－2x＋1x －3.(3)∵y ＝ln(1－x )－ln(1＋x )，∴y ′＝11－x ·(1－x )′＋11＋x (1＋x )′＝1x －1＋1x ＋1＝2xx 2－1.15．解：(1)f ′(x )＝a －1（x ＋b ）2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1（2＋b ）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.(2)证明：已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数．所以函数g (x )＝x ＋1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x－1＋1x －1＋1，可知函数g (x )的图象按向量a ＝(1，1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1. 由f ′(x 0)＝1－1（x 0－1）2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（x 0－1）2(x －x 0)．令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1.令y ＝x 得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 交点为(2x 0－1，2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1，1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2. 【难点突破】16．解：逆用导数公式，把1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1转化为等比数列{x n}的前n 项和的导数，求解和式的导数即可．1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝x ′＋(x 2)′＋(x 3)′＋…＋(x n )′＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n)′ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x （1－x n ）1－x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x n ＋11－x ′ ＝[1－（n ＋1）x n ]（1－x ）＋（x －x n ＋1）（1－x ）21－（n＋1）x n＋nx n＋1＝（1－x）2。