201809上 一类三角最值问题的多解与多变——以2018年北京卷三角题为例
一类三角最值问题的多解与多变——以2018年北京卷三角题为例
一类三角最值问题的多解与多变——以2018年北京卷三角
题为例
余智敏;何春玲
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2018(000)017
【摘要】一个三角形有三条边、三个角，给出其中的三个量且有一个量为边，则可确定其他的边和角．若只给出其中的两个条件，则可得出其他边和角的关系，进而可求相关关系的范围或最值．本文以2018年北京卷三角题为例说明这类问题的解法．
【总页数】2页(P14-15)
【作者】余智敏;何春玲
【作者单位】湖北省武汉市第十二中学;湖北省武汉市钢城四中
【正文语种】中文
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2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)一、选择题1. ( 2018北京文)在平面坐标系中， A B , C D , ?F , G H 是圆x 2 y^ 1上的四段弧(如图) 点P 在其中一段上，角:-以Ox 为始边，OP 为终边, 若tan ， cos 〉：：：sin ,则P 所在的圆弧是()A . AB B .C DC . ?FD . G H1. 【答案】C【解析】由下图可得，有向线段 线段MP 为正弦线，有向线段 JI2. (2018天津文)将函数y =sin(2x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数510( )则函数的单调递增区间满足： 2k 2x 乞2k k Z , 2 2 f即kx 乞k k Z ,4 4令k=0可得函数的一个单调递增区间为 ，二，选项A 正确，B 错误;IL 4 4函数的单调递减区间满足： 2k 2x_2k 「「3 k Z ,223 —即kx 乞kk Z ，令k =0可得函数的一个单调递减区间为44(A) 在区间［-二，二］上单调递增4 4z、 JI H(C )在区间［―,—］上单调递增4 2兀(B) 在区间［一,0］上单调递减4(D )在区间［一，上单调递减2 .【答案】A【解析】由函数-sin 2x 匸I 5丿的图象平移变换的性质可知 将yd 2x -的图象向右平移-个单位长度之后的解析式为:10in 2 l x sin2x . d n c y 二sin ~IL 乙 10 5OM 为余弦线，有向 AT 为正切线.选项C, D错误；故选A .3-(2018天津理)将函数心心茅的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函3 .【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知:则函数的单调递增区间满足： 2k n-n < 2x^2k n n k Z ,2 2v ; 即 k n x _kn k Z ,44f令k =1可得一个单调递增区间为',］4 4」函数的单调递减区间满足： 2k n n _ 2x_2k n 匕Z ，即k n — _ x_k n k 三Z2 2 4 4令k =1可得一个单调递减区间为 ,|5n ,7n 〔故选A .IL 4 42 24. (2018全国新课标i 文) 已知函数f x =2cos x-sin x 2，则()A . f(x )的最小正周期为 n 最大值为3B . f (x )的最小正周期为 n 最大值为4C . f(x )的最小正周期为2n 最大值为3D . f (x )的最小正周期为2冗，最大值为44、答案：B解答：f (x)二 2cos 2 x 「(1「cos 2 x) 2 二 3cos 2 x 1 -最小正周期为兀，最大值为45. (2018全国新课标n 文) 若f(x)二cosx-si nx 在［0, a ］是减函数，则a 的最大值是()" n _ n3 nA .B .C .D . n4 2 45•【答案】C L f 咒 \ n 【解析】因为 f x 二 cosx —si nx 二 2 cos I x ，所以由 0 • 2k ： x^-~ 2^: , k - ZI 4丿 4 得二 2^<^1- 2^：, k ，Z ，因此［0,a ：-,- , 0：：：a •，从而a 的最大值为 止，数( )(A)在区间［聖，竺］上单调递增4 4 (C) 在区间［5，—］上单调递增4 2(B)在区间［——，二］上单调递减4 3兀(D) 在区间［一，2二］上单f y =sin2xn 的图象向右平移丄个单位长度之后的解析式为: 10y =sin2x喘 n -in2x ，4 4144」 4 4故选C.8.答案：Csin x.故选C.二、填空1. （ 2018北京理）设函数f （x ）冗= cos( x )『> 0)，若 f (x)乞6 n f （）对任意的实数x 都成立，则 43的最小值为 ___________ .21.【答案】-3 【解析】 Qu n 对任意的实数x 都成立，所以f n 取最大值,226. (2018全国新课标n 理) nB .-2nA.-46 .【答案】A 若f （x ）=cosx -sinx 在［-a, a ］是减函数，则 a 的最大值是（ ）3n C.—4【解析】因为 所以由0・2k- f Ji) f x =cosx_sinx= .2cosix _ ,I 4丿 3 x 才 _ 2k 二，k 三 Z 得一才 2k 二 x 2k 二 k 三 Z ,因此 Iv,a ]u i-n,-3n"'4 4」,.-a :::a,—a _ -n ,4a±, 4n.0 ::: a ，从而a的最大值为4n，故选A . 47. （2018全国新课标川文、理）若 sin :-= 则 cos2> 二()7.答案：B解答: 7 B.-922cos2： =1-2s in冷故选B.8. （2018全国新课标川文） 函数f （x ）坦吟的最小正周期为（1 ta n x31B.—2C .二解答: f(x) tanx cosx1 tan2 x.21cos xsinxcosx =5^ xcosx =」sin 2x ，二 f (x)的周期2 — 2 2sin x cos x• ' ■ =8k k Z , Q门-0 ,-当k =0时，■■取最小值为一•3 32. （2018江苏）已知函数y=sin （2x 「）（）的图象关于直线 x 对称，则「的值是 22 3▲. 2.【答案】-n6【解析】由题意可得sini 2 n 二1，所以—nk n ,（3丿32k n k Z ，因为，所以k=0，二6 2 2 63.（2018全国新课标I 文） 已知角的顶点为坐标原点，始边与,B 2, b , 且 cos 2:B-T3. 答案：B4.(2018全国新课标I 理)已知函数f(x)=2sinx 十sin2x ，则f(x )的最小值是 _______________________ 4. 答案： (3)2解答:f(x) =2sinx sin2x ，•. f(x)最小正周期为 T =2二，•.f '(x) = 2(cosx cos2x) =2(2cos 2 x cosx T)，令 f '(x) = 0，即 2cos 2 x cosx -1 = 0，1 、cosx = ~ j 或 cos x = -1.r 1n 5•••当cos 二一，为函数的极小值点，即X 二一或X 二一二，2 3 3当 cosx = T, x = _：53厂 兀 3厂，• f (3 ')一2f (一)= 2， f (0) = f (一：)= 0， f (二)=o • f (x)最小值为- 一 V 一 .x 轴的非负半轴重合，终边上2、5解答：由cos2 : 2二 2cos :- -1 3可得2cos :- 1 ，化简可2tan 二■ 1得 tan5; 5 时 a -b =—;当 tana 5当 tan二5吕时，仍有此结果.三，即a=三,b 二注，此 5 5 5 已知tan （5 •【答案】32【解析】「 5兀tan :I 丿 1 +tana tan =4tan 「- tan4ta n* —1丄，解方程得 55 二 1 tan 二3tan 、； 2 6 • （2018全国新课标n 理） 16 •【答案】-―2【解析】Qsin 二亠cos ： =1 , 已知 sin a ■ cos 3 二1, cos a sin 3 = 0 ,贝U sin( a B)=2 2 1「sin ：「亠［cos 1 , 因此 sin (a + P )=sin a cos B +coso (sin11 2 1 2 111cos 1 sin1 •2 244 427• (2018全国新课标川理) 函数f (x ) = cos.”3x+ n 在〔0 ,冗］的零点个数为 _____________ •' * I 6丿 7 •答案：3ii k解答：由 f(x) =cos(3x • —) =0，有 3x k 「「一(k ・Z)，解得 x，由6623 9k 兀ji得 k 可取 0,1,2 ,••• f(x)=cos(3x —)在［0,二］上有 3 个零点•三、解答题1 • （2018北京文）已知函数f x 二sin2 x3 sin xcosx •n1 •!答案】(1) n ；( 2) n3【解析】(1) f x」—cos2x3sin 2x 二 3sin 2x 211 :: \cos2x sin 2x —— 2 2 所以f x 的最小正周期为(2)由(1 )知 f x 二sin 2x 「■n,I 6)2 ，所以 2x —n -5n ,2m —6 ］ 6因为 X E J-n , mIL 3要使得f（x ）在上的最大值为I ，即昭%〕在匸討上的最大值为1 •所以2m十n ，即m _n 所以m的最小值为n2. (2018上海)设常数 R ，函数 f(x )二 asin2x • 2cos?(1 )若f(x )为偶函数，求a 的值；(2)若〔匚〕、、3 1，求方程f(x ) = 1- .2在区间［「，门上的解。
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2018北京市高三期末数学分类汇编之三角函数、解三角形（文）（一）试题细目表1.（2018·丰台期末·11）已知4sin 5α=，2παπ<<，则cos 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭ ．2.（2018·石景山期末·6）函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2πϕ<的部分图 象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．23π−，B ．26π−，C ．46π−，D ．43π，3.（2018·昌平期末·11）已知函数()sin cos f x x x =,那么()f x 的最小正周期是 ．4.（2018·西城期末·15）已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =−+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x −≥．5.（2018·东城期末·16）已知函数2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+−(01)a <≤.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]122ππ上的最大值与最小值；（Ⅱ）当()f x 的图像经过点(,2)3π时，求a 的值及函数()f x 的最小正周期.6.（2018·朝阳期末·15）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =+−． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥．7.（2018·海淀期末·16）已知函数()cos 2tan()4f x x x π=⋅−.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的值域.8.（2018·通州期末·15）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．9.（2018·房山期末·15）已知函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间上的值域．解三角形（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·西城期末·12）在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为33，则b =____；c =____． 2.（2018·东城期末·12）在△ABC 中，5,7a c ==，cos 5C 1=，则c = ，△ABC 的面积为 . 3.（2018·海淀期末·11）在△ABC 中，1,7a b ==，且△ABC 的面积为3，则c = . 4.（2018·通州期末·11）在△ABC 中，已知4AB =，6AC =，60A =︒， 那么BC = _______.5.（2018·房山期末·9）在△ABC 中，三个内角C B A ，，所对的边分别是c b a ，，．若,64π=∠=B b ，31sin =A 则a = ．6.（2018·朝阳期末·14）如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α−. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有和的式子表示）7.（2018·丰台期末·15）在ABC ∆中，23sin 22sin B B =． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若4a =，27b =，求c 的值.8.（2018·石景山期末·16）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =．（Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小； （Ⅱ）若23ADB π∠=，求ABC V 的面积．l α9.（2018·昌平期末·16）在sin cosC c A=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若ABCS∆=2b c+=+a的值．ABC∆图1B DACAB D C图2数学试题答案（二）试题解析 1.【答案】102. 【答案】A3. 【答案】π4.【答案】解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =−+ππ1cos 2(cos 2cos sin 2sin )33x x x =−−⋅−⋅ [ 4分]32cos212x x =−+[ 5分]π)13x =−+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x −−≤≤． [10分]所以 ππsin(2)sin()332x −−=≥， [12分]所以 1()2f x −≥． [13分] 5.【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+−2cos 2cos 1x x x =⋅+−2cos 2x x =+2sin(2)6x π=+.因为[,]122x ππ∈， 所以72366x πππ≤+≤． 所以，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值为-1. ………6分（Ⅱ）因为2()cos 2cos 1f x ax ax ax =⋅+−(01)a <≤，所以()f x 2cos 2ax ax =+2sin(2)6ax π=+．因为()f x 的图象经过点(,2)3π，所以2sin(2)26ax π+=，即sin(2)16ax π+=． 所以22362a k ππππ+=+． 所以132a k =+k z ∈． 因为01a <<，所以12a =． 所以()f x 的最小正周期221T ππ==． ……13分 6.【答案】解：（Ⅰ）因为22()sin cos sin 2f x x x x =++cos2x −1sin 2cos 2)14x x x π=+−=−+.所以函数)(x f 的最小正周期为π. …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，)(x f )14x π=−+．当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，2[,]444x ππ3π−∈−，sin(2)[42x π−∈−，)11]4x π−+∈.当2,44x ππ−=−即0x =时，)(x f 取得最小值0． 所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥. …………………………13分7.【答案】解：（Ⅰ）24π+π≠π−k x ，Z k ∈------------------------2分 解得：43π+π≠k x ，Z k ∈------------------------3分 所以，函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≠Z k k x x ,|43------------------------4分 （Ⅱ）)tan(cos )(42π−⋅=x x x f xx x x tan tan )sin (cos +−⋅−=1122------------------------6分xx xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos +−⋅+−=------------------------8分2)sin (cos x x −−=12−=x x cos sin12−=x sin ------------------------9分因为3,4x k k Z ππ≠+∈，所以32,2x k k Z ππ≠+∈， 所以sin 21x ≠−，------------------------11分所以，函数()f x 的值域为],(02−.------------------------13分 8.【答案】解：（Ⅰ）因为()f x sin 2cos2x x =+2+4x π⎛⎫= ⎪⎝⎭．……………………4分所以()f x 的最小正周期2.2T ππ==……………………5分 由222242k x k πππππ−+<+<+，得3.88k x k ππππ−+<<+ 所以()f x 的单调递增区间是3,.88k k k Z ππππ⎛⎫−++∈ ⎪⎝⎭，……………………7分（Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数.当5244x ππ+=，即2x π=时，函数5 1.4π=−．所以()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1−．……………………13分9.【答案】解：（Ⅰ）()x x x x f cos sin 3sin 2+=x x x cos sin 2322cos -1+=x x 2sin 2322cos -1+=212cos 21-2sin 23+=x x 212cos 6sin -2sin 6c +=x x osππ 216-2sin +=）（πx22T ππ∴== …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得．因为，所以，所以，因此，所以的值域为． …………………13分解三角形（二）试题解析 1.【答案】1 2.【答案】6,3.【答案】 2或4.【答案】 5. 【答案】38 6.【答案】sin l α;cos 2sin l αα7.222sin B B =，所以2cos 2sin B B B =. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以tan B =所以3B π=.（Ⅱ）由余弦定理可得(222424cos3c c π=+−⋅⋅⋅，所以24120c c −−=， 解得6c =或2c =−（舍）. 解得6c =. 8.【答案】解：（Ⅰ）设BAD α∠=，CAD β∠=，则1tan 2BD AD α==，1tan 3CD AD β== …………2分 所以tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==−…………5分因为(0,)αβπ+∈，所以4παβ+=，即4BAC π∠=． …………7分（Ⅱ）过点A 作AH BC ⊥交BC的延长线于点H ， 因为23ADB π∠=， 所以3ADC π∠=，所以sin3AH AD π=⋅= …………11分所以12ABC S BC AH ∆=⋅=． …………13分 9.【答案】解：（I sin cos C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理，sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，所以 tan 3A =． AB DC H11 / 11 又因为 (0,)A ∈π，所以 6A π=． …………… 6分 （II）由11sin 24ABC S bc A bc ∆===bc = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+−， 得2222cos 6a b c bc π=+−，即222()2()12a b c bc b c =+−=+−−，因为2b c +=+解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =. ……………13分 word 下载地址。
近年高考数学复习 第3章 三角函数、解三角形 热点探究训练2 三角函数与解三角形中的高考热点问题
2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形热点探究训练2 三角函数与解三角形中的高考热点问题文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形热点探究训练2 三角函数与解三角形中的高考热点问题文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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热点探究训练(二）三角函数与解三角形中的高考热点问题1．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝错误!，C＝错误!.（1）求AB的长；(2）求cos错误!的值．［解］（1)因为cos B＝错误!，0<B〈π，所以sin B＝错误!＝错误!＝错误!. 2分由正弦定理知错误!＝错误!，所以AB＝AC·sin Csin B＝错误!＝5错误!。
5分（2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－（B＋C）,于是cos A＝－cos（B＋C）＝－cos错误!＝－cos B cos 错误!＋sin B sin 错误!。
7分又cos B＝错误!，sin B＝错误!,故cos A＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!。
9分因为0<A<π，所以sin A＝错误!＝错误!。
因此，cos错误!＝cos A cos 错误!＋sin A sin 错误!＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!. 12分2．（2016·山东高考）设f (x)＝2错误!sin（π－x)sin x－（sin x－cos x）2。
(北京卷)2018年数学一题多解(含17年试题)
（北京卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题）1、【2017年高考数学北京理1】若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则AB =（ )。
A.}12|{-<<-x xB.{}–2<3x x < C 。
{}–1<1x x < D 。
{}1<3x x < 【答案】A【知识点】集合的交运算【试题分析】本题考查考生的运算能力．属于基础题．解析三（特殊值法）从选择支入手，令0=x ，得B A B A ⋂∉∉∈0,0,0则排除B 和C.再令23-=x ，得：B A B A ⋂∈-∈-∈-23,23,23则，排除D ，故选A.2、【2017年高考数学北京文11】已知0x ，0y ，且1x y +=，则22xy +的取值范围是__________． 【答案】]1,21[ 【知识点】直线与圆的综合，不等式的范围问题【试题分析】本题考查数形结合思想,转化与化归思想的应用，考查考生的运算求解能力．属于中档题．【解析】解析一:由已知得:122)1(,,12222222+-=-+=++-=x x x x y x y xx y 得代入，时，取得最小值，当时，取得最大值或，当2121110]1,0[,21)21(22===∈+-=x x x x x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析二：为与两坐标轴的交点分别设直线1=+y x ),0,1(),1,0(B A 上一点，为线段点AB y x P ),(，到原点的距离为则22111002222=+-+≥+=y x PO P ,1=≤AO PO 又，所以12222≤+≤y x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析三：,220,022y x yx xy y x +≤+≤>>时，由基本不等式得：当,1,20,0222=++≤+>>y x y x y x y x 根据条件）（时，可得：当；得：2122≥+y x .0,时，结果显然成立有一个为当y x .1)(20,022222=+=++≤+≥≥y x xy y x y x y x 时，另一方面，当].1,21[22的取值范围是所以y x +解法四:θθ22cos ,sin==y x 则由已知条件得：设，].1,21[2sin 21-1cos sin 2)cos (sin cos sin 2222224422∈=-+=+=+θθθθθθθy x].1,21[22的取值范围是所以y x +].1,21[],1,22[],1,22[)4sin(2∈∈∈+r r 所以：即：πθ].1,21[22的取值范围是所以y x + 3、【2017年高考数学北京理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P的坐标为()1,0，则AP的最小值为___________. 【答案】1【知识点】点与圆的位置关系，圆的极坐标方程【试题分析】本题主要考查圆的极坐标方程，点与圆的位置关系，意在考查化归与转化、运算求解能力．属于中档题． 【解析】解析一：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：,044222=+--+y x y x.1),2,1(,1)2()1(22==-+-r y x 半径圆心为即：,12)20()11(),0,1(22>=-+-=d P P 到圆心的距离点的直角坐标为点.112min =-=-=r d AP P 点在圆外，所以所以：.1的最小值为所以AP解析三：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：,044222=+--+y x y x.31,1)2(.1),2,1(,1)2()1(222≤≤≤-==-+-y y r y x 即：可得：半径圆心为即：].3,1[34)2(1)1(),31)(,(2222∈-=+--=+-=≤≤y y y y x AP y y x A 则：设.1的最小值为所以AP4、【2017年高考数学北京理15】在ABC △中，60A ∠=，37c a=.(1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.【答案】36)2(1433)1( 【知识点】正弦定理,余弦定理【试题分析】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式．考查考生的运算求解能力与解决问题的能力.属于基础题． 【解析】(1),73,60a c A ABC =︒=∆中，因为在.14332373sin sin =⨯==a A c C 由正弦定理得：（2）解析一：.3,7==c a 所以因为A bc c b a cos 2222-+=由余弦定理,721323222=⨯⨯-+b b 得： ).(58舍或解得：-==b b.36233821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC 的面积所以解析二：当7a =时，3c =，sin C 3=3，14＜c a 13cos sin 14C C ∴-2=1=. △ABC 中sin =sin[π-(+)]=sin(+)B A C A Csin cos cos sin ⨯⨯=A C +A C313133=+214214⨯⨯ 43=7.367343721sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC 的面积所以 解析三:如图所示:.点，垂足为作过点G AC BG B ⊥.23233==AG BG ，解得：,21322=-=∆BG BC CG BCG Rt 中，在.8=+==CG AG AC b 即：.36233821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC 的面积所以攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神,也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(三角函数 三角恒等变换)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （三角函数 三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边， 若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ） A ．AB B ．CD C ．EF D ．GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向 线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增 （B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ， 即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z 得()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，因此[]π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，π,4a a a ∴-<-≥-，3π4a ≤，π04a ∴<≤，从而a 的最大值为π4，故选A ．7．（2018全国新课标Ⅲ文、理）若1sin 3α=，则cos2α=（ ） A ．89B ．79C ．79-D ．89-7.答案：B解答：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B.8．（2018全国新课标Ⅲ文）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π8.答案：C解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C.二、填空1．（2018北京理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．1．【答案】23【解析】()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，()ππ2π46k k ω∴-=∈Z ，()283k k ω∴=+∈Z ，0ω>，∴当0k =时，ω取最小值为23．2．（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．2．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππ32k ϕ+=+，()ππ6k k ϕ=-+∈Z ，因为ππ22ϕ-<<，所以0k =，π6ϕ=-．3．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．13．答案：B解答：由22cos22cos 13αα=-=可得222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++，化简可得tan 5α=±；当tan 5α=时，可得15a =，25b =，即5a =，5b =，此时5a b -=；当tan 5α=-时，仍有此结果.4．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．4.答案： 解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-.∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π=∴5()3f π=.()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π=∴()f x 最小值为5．（2018全国新课标Ⅱ文）已知5π1tan()45α-=，则tan α=__________．5．【答案】32【解析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=．6．（2018全国新课标Ⅱ理）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．6．【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，()()221sin cos 1αα∴-+-=，1sin 2α∴=，1cos 2β=，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-．7．（2018全国新课标Ⅲ理）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．7．答案：3解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.三、解答题1．（2018北京文）已知函数()2sin cos f x x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．1．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+（1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=，求方程12f x =（）ππ-［，］上的解。
2018届高考数学(文)大一轮复习教师用书第3章热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题Word版含答案
热点探究课(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图象与性质(答题模板)要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间上的最大值和最小值．(1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期．(2)先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值．(1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)3分 ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，5分 于是T ＝2π1＝2π.6分 (2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.8分 ∵x ∈，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，10分 ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈.11分 故函数g (x )在区间上的最大值为2，最小值为－1.12分解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式．第二步(用辅助角公式)：构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2. 第三步(求性质)：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 sin (α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．(2016·石家庄模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2. (1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由． (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.2分又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，φ＝2k π＋π6(k ∈Z)，4分所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z)． 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.5分 (2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k ＋13(k ∈Z).7分 由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，9分 又k ∈Z ，知k ＝5，10分由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.12分 热点2 解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.5分 (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.7分在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .9分故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.12分解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值． (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B， 可得a sin B ＝b sin A ．2分又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6.5分(2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则 sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.12分 热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2017·东北三省四市一联)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A 2a －b ＝cos C c. (1)求a b 的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．(1)由题意及正弦定理得sin C cos B －2sin C cos A ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2(sin C cos A ＋sin A cos C )．∴sin(B ＋C )＝2sin(A ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin B ，∴ab＝2.5分 (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋9－a 22b ·3＝b 2＋9－4b 26b ＝9－3b 26b<0， ∴b > 3. ①7分∵b ＋c >a ，即b ＋3>2b ，∴b <3， ②由①②得b 的范围是(3，3).12分1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. 【导学号：31222140】(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积． (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13， 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.5分 (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得 sin A ＝1010，cos A ＝31010.7分 由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5.9分 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.12分 热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4. (1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值． (1)因为cos B ＝45，0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.2分 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C， 所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝6×2235＝5 2.5分 (2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.7分 又cos B ＝45，sin B ＝35， 故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.9分 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－620.12分 2．(2016·山东高考)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值． (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，3分 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈.6分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，8分 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.12分 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值．在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63，2分 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69，4分 又sin C <sin B ，所以C <B ，可知C 为锐角，所以cos C ＝539， 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝63×539＋33×69＝223.8分 由a sin A ＝csin C ， 得a ＝c sin A sin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.12分4．(2017·郑州二次质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ，3分化简得sin A ＝32，故A ＝π3或A ＝2π3.5分 (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝a sin A＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，7分 故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.9分 因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2， 所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23).12分。
精品解析：2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷)(解析版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下： 第一次：不成立； 第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.6. 设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1. 详解：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8. 设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2，1）C. 当且仅当a<0时，（2，1）D. 当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (6)三角恒等变换与解三角形
2018年高考理科数学考纲解读与题型示例 (6) 三角恒等变换与解三角形【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .4．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.5．三角形面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .6．三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos 2θ＋sin 2θ＝tan 45°等．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β等．7．解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果. 【题型示例】题型1、三角变换及应用【例1】【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【变式探究】(1)(2016²高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0解析：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C 正确；α取π3时，cos 2α＝2cos 2α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12＜0，D 错．故选C.速解法：∵tan α＝sin αcos α＞0，即sin αcos α＞0，∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案：C【举一反三】 (2015²新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 D【变式探究】(2015²四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案62【举一反三】(2015²江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.答案 3【变式探究】(1)(2014²新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(2)(2014²山西)若锐角α满足2sin α＋23cos α＝3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3的值是( )A ．－37B ．－377C ．37D.377【解析】(1)解法一：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2，故选B.解法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z .∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z .当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．【变式探究】(2015²广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________．解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1. 答案 1考点2、正、余弦定理的应用【例2】【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。
三角函数的图象和性质-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍含解析
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象,了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在［0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性热点题型一三角函数的定义域及简单的三角不等式例1、(1)函数f（x)＝－2tan错误!的定义域是（）A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!（2)不等式错误!＋2cos x≥0的解集是________.（3）函数f(x)＝错误!＋log2(2sin x－1）的定义域是________。
【答案】（1）D （2)错误!（3）错误!∪错误!∪错误!【解析】（1）由正切函数的定义域，得2x＋错误!≠kπ＋错误!,即x≠错误!＋错误!（k∈Z)，故选D.（2)由错误!＋2cos x≥0，得cos x≥－错误!，由余弦函数的图象,得在一个周期[－π，π］上,不等式cos x≥－错误!的解集为错误!，故原不等式的解集为错误!。
【提分秘籍】1．三角函数定义域的求法（1)应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝A tan（ωx＋φ）的定义域。
（2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域。
2．简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解。
(2）利用三角函数的图象求解.【举一反三】函数y＝错误!的定义域为________。
【答案】错误!【解析】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0。
利用图象，在同一坐标系中画出［0，2π]上y＝sin x和y＝cos x 的图象，如图所示。
在［0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为错误!，错误!，再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为错误!。
热点题型二三角函数的值域与最值例2、(1）函数y＝－2sin x－1,x∈错误!的值域是（) A．[－3，1] B．[－2，1］C．（－3，1] D．(－2，1](2）函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( ）A．3，－1 B．3，－2C．2，－1 D．2,－2【答案】(1）D（2）D【提分秘籍】三角函数最值或值域的三种求法（1）直接法：利用sin x,cos x的值域。
专题09三角恒等变换与求值文含解析00
专题09 三角恒等变换与求值文2018年高考全景展示1.【2018年文北京卷】在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O y始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（）A. B. C. D.2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3.【2018年新课标I 卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（）A. B. C. D.4．【2018年全国卷II 文】已知，则__________．5．【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．6．【2018年文北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 7．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．2017年高考全景展示1.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x=++-的最大值为（）A．65B．1 C．35D．15 2.【2017课标3，文4】已知4sin cos3αα-=，则sin2α=（）A．79- B．29-C．29D．793. 【2017山东，文4】已知3cos4x=,则cos2x=（）A.14- B.14C.18- D.184.【2017江苏，5】若π1tan(),46α-=则tanα= .5.【2017课标1，文15】已知π(0)2a∈，，tan α=2，则πcos()4α-=__________．6.【2017北京，文16】已知函数())2sin cos3f x x-x xπ=-.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当[,]44xππ∈-时，()12f x≥-．2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2文数】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）72.[2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）453.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 4.【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______．5.【2016高考四川文科】0750sin = .6.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求)(x f 的单调递增区间.。
2018高考数学小题精练+B卷及解析：专题(09)解三角形及解析 含答案
2018高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（09）解三角形及解析专题（09）解三角形1．已知△ABC 的内角A 满足sin2A ＝，则sin A ＋cos A ＝（ ）A ．B ． －C ．D ． －【答案】A2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcos C+ccos B=2acos A ，则A=（ ）A ． 6πB ． 3πC ． 4πD ． 3π或23π 【答案】B【解析】∵bcos C+ccos B=2acos A ，∴由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos A ， 可得：sin （B+C ）=sin A=2sin A cos A ，∵A ∈（0，π），sin A≠0，∴cos A=12， ∴可得A=3π． 故选：B ．3．在ABC ∆中,角A B C 、、 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．C ． 12D ． 12- 【答案】C 【解析】()22212c a b =+，由余弦定理得，222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”， cos C ∴的最小值为12，选C ．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．C ． 12D ． 12- 【答案】C【解析】试题分析：因为2222a b c +=，所以由余弦定理可知，．故选C ．考点：余弦定理．5．在△ABC 中，其面积，则BC 长为（ ）A ．B ． 75C ． 51D ． 49【答案】D6．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（ ）A ． 直角三角形B ． 锐角三角形C ． 等腰三角形D ． 等边三角形【答案】C 【解析】， ，则，则，三角形为等腰三角形，选C ．7．在△ABC 中，，则等于（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 3 【答案】B。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(09 解三角形)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题1．（2018全国新课标Ⅰ理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（ ）A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 31. 答案：A解答：取2AB AC ==,则BC =∴区域Ⅰ的面积为112222S =⨯⨯=，区域Ⅲ的面积为231222S ππ=⋅-=-，区域Ⅱ的面积为22312S S π=⋅-=，故12p p =.2．（2018全国新课标Ⅱ文、理）在ABC △中，cos2C 1BC =，5AC =，则AB =（ ）A ．BCD ．2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-⎝⎭，所以22232cos 125215325c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，c ∴=A ．3．（2018全国新课标Ⅲ文、理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π63．答案：C解答：2222cos 1cos 442ABCa b c ab C S ab C ∆+-===，又1s i n 2ABC S ab C ∆=，故t a n 1C =，∴4C π=.故选C.二、填空1．（2018北京文）若ABC △)222a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠=_________；c a的取值范围是_________．1．【答案】60o ；()2+∞,．【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B +-=V Q，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos B B ∴3B π∠=，则21sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，3B π∠=，06A π∴<∠<，)1tan 0tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，， 故()2,ca ∈+∞．2．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．2．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=，因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．3．（2018浙江）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若ab =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．3．.答案：73 解答：由正弦定理sin sin a bA B =2sin B=，所以sin 7B =. 由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-=，得214724c c+-=，所以3c =.4．（2018全国新课标Ⅰ文）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．4.解答：根据正弦定理有：sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，∴2sin sin 4sin sin sin B C A B C =，∴1sin 2A =.∵2228b c a +-=，∴2224cos 2b c a A bc bc +-===，∴bc =，∴1sin 2S bc A ==.三、解答题1．（2018北京理）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．1．【答案】（1）π3A ∠=；(2) AC． 【解析】（1）在ABC △中，17cosB =-Q ，π,2B ⎛⎫∴∈π ⎪⎝⎭，sin B ∴=由正弦定理得7sin sin sin a b A B A =⇒=，sin A ∴． π,2B ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭Q ，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴∠=．（2）在ABC △中，()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+Q 1172⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．如图所示，在ABC △中，sin hC BC=Q，sin 7h BC C =⋅=， AC ∴．2．（2018天津理）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.2．【答案】（1）π3；（2）b =，()sin 2A B -=【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由sin cos 6πb A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得sin cos 6πa B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin co πs 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tan B =．又因为()0,πB ∈，可得π3B =．（2）在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．所以，()11sin 2sin 2cos cos2sin 27A B A B A B -=-=-=3．（2018全国新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .3.答案：（1；（2）5. 解答：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：52sin 45sin ADB =∠,∴sin 5ADB ∠=,∵90ADB ∠<,∴cos 5ADB ∠==.（2）2ADB BDC π∠+∠=,∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠， ∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠,∴222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅,2=∴5BC =. 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。