高考数学选择题提升训练

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第25讲三角函数与解三角形-2021届高考数学(理)培优专题提升训练(解析版)

第25讲三角函数与解三角形A 组题一、选择题 1.在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 2. ABC ∆中，2,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =（）C.【解析】由正弦定理得sin sinB AB AC C =即23sin sin 60C =，解得sin C =．因为AB AC <所以C B ∠<∠，所以cos C ==D ． 3.在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是( ) A ．3 B. 932 C. 332D ．3 3【解析】由22()6c a b =-+得22226a b c ab +-=- ①.由余弦定理及3C π=得222a b c ab +-= ②.所以由① ②得26ab ab -=，即6ab =.所以1sin 232ABC S ab π∆==，故选C . 4.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =( ) A.23π B. 3π C. 34π D. 56π【解析】因为3sin 5sin A B =，所以由正弦定理可得35a b =.因为2b c a +=，所以75ac =.令5,3,7a b c ===，则由余弦定理得1cos 2C =-，所以2.3C π=故选.A 5.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ︒∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=( )A.10 B.10 C.55【解析】由已知条件可得图形，如图，设CD a =，在ACD ∆中，2222cos CD AD AC AD AC DAC =+-⨯⨯∠，∴222(2)(5)225cos a a a a a DAC =+-⨯∠∴310cos DAC ∠=，故选B .6.在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若22()S a b c +=+，则cos A 等于（）A. 45B. 45-C. 1517D. 1517-【解析】22()S a b c +=+22212(sin 1)4a b c bc A ⇒=+--，由余弦定理可得 1sinA 1cos 4A -=，联立22sin cos 1A A +=，可得15cos 17A =-．7.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角，,,a b c 是三角形中各角的对应边，若221sin cos 2A A -=，则下列各式正确的是( )A ．2b c a +=B ．2b c a +<C ．2b c a +≤D ．2b c a +≥ 【解析】由 221sin cos 2A A -=得1cos 22A =- ∵02A π<< ∴3A π=，由余弦定理得，222222231()3()()()44a b c bc b c bc b c b c b c =+-=+-≥+-+=+ ∴ 2a b c ≥+，故选.C二、填空题8.（2019全国Ⅱ卷理）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.【解析】：由余弦定理有，因为，，，所以，所以，9．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，12,cos ,4b c A -==-则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=，又115sin 31528ABC S bc A bc ∆===，则 24bc =，又2b c -=，得6,4b c ==，故2222cos 64a b c bc A =+-=，8a =. 10．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30︒的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒的方向上，仰角为30︒，则此山ABC △,,A B C ,,a b c π6,2,3b ac B ===ABC △2222cos b a c ac B =+-6b =2a c =π3B =222π36(2)4cos 3c c c =+-212c =21sin sin 632ABC S ac B c B ===△的高度CD = m.【解析】依题意，30BAC ︒∠=，105ABC ︒∠=，在ABC ∆中，可得45ACB ︒∠=，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin 30BC ︒︒=，即BC =，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ︒∠=，BC =所以tan 30CD BC ︒==，所以CD =. 三、解答题11.（2019北京卷）在中，，，．（Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求的值.【解析】：（I ）由余弦定理，得. 因为，所以.解得，所以. （II ）由得.由正弦定理得.在中，是钝角，所以为锐角.所以. 所以.12.(2019全国Ⅰ卷理)的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设．（1）求A ；（2，求sin C ．【解析】：（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得． ABC △a =3b -c =21cos 2B =-sin(B -C )2222cos b a c ac B =+-22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭2b c =+()222123232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭5c =7b =1cos 2B =-sin 2B =sin sin 14c C B b ==ABC △B ∠C ∠11cos 14C ==()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=ABC △22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-2b c +=222sin sin sin sin sin B C A B C +-=222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以．（2）由（1）知，，可得．由于，所以，故． 13.（2019天津卷理）在中，内角所对的边分别为.已知，. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而，，故.14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cosC =1,a =3,求△ABC 的周长【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =. 0180A ︒︒<<60A ︒=120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=1sin 2sin 2C C C +=()cos 602C ︒+=-0120C ︒︒<<()sin 60C ︒+=()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=ABC△,,A B C,,a b c 2b ca +=3sin 4sin c B a C =cos B sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC △sin sin b cB C=sin sin b C c B =3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =2b c a +=43b a =23c a =222222416199cos 22423a a a a cb B a a +-+-===-⋅⋅sin 4B ==sin 22sin cos 8B B B ==-227cos 2cos sin 8B B B =-=-πππ71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A =，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故ABC △的周长为3+15.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且满足2cos cos a b Bc C-=．（1）求角C 的大小；（2）设函数()2sin cos cos f x x x C=22sin sin x C +，求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域．【解析】（1）在ABC ∆中，∵2cos cos a b Bc C-=，∴(2)cos cos a b C c B -=， ∴2sin cos sin cos cos sin A C B C B C =+，∴2sin cos sin()sin A C B C A =+=． ∵A ∠是ABC ∆的内角，∴sin 0A ≠，∴2cos 1C =，∴3C π∠=．（2）由（1）可知3C π∠=，∴21()sin 22sin )22f x x x =--1sin 2222x x =-sin(2)3x π=- 由[0,]2x π∈，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin(2)13x π≤-≤，∴函数()f x的值域为[． 12.已知,,a b c 分别是ABC ∆的角,,A B C 所对的边，且2c =，3C π=.（1）若ABC ∆,a b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值. 【解析】（1）2,3c C π==由余弦定理得2242cos3a b ab π=+-22a b ab =+-，ABC ∆，1sin 2ab C ∴=，4ab ∴=，联立2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩（2）sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin B A B A A ∴++-=，sin cos 2sin cos B A A A ∴=，当cos 0A =时，2A π=；当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =，b =，222b ac ∴=+，即2B π=，又3C π=，6A π∴=，综上所述，2A π=或6π.B 组题一、选择题1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为0x >，原来三边长为,,a b c ，不妨设a b c ≤≤，a b c +>由锐三角形，222a b c +>，新的三角形的三边长为,,a x b x c x +++，有a x b x c x +≤+≤+，又2222222()()()()2()0a x b x c x a b c x a b c x +++-+=+-++-+> 故得到新三角形为锐角三角形，故选C.2.【2016高考新课标3】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （）C.10D.310【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC =，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 3.在不等边三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中a 为最大边，如果 222sin ()sin sin B C B C +<+，则角A 的取值范围为( ) A.(0,)2πB.(,)42ππC.(,)63ππD.(,)32ππ【解析】由题意得222sin sin sin A B C <+，再由正弦定理得222a b c <+，即cos 0A > ∵0A π<<，∴02A π<<.又a 为最大边，∴3A π>.因此得角A 的取值范围是(,)32ππ.故选.D4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B +=，1a c +=，则b 的取值范围为（） A ．114b ≤< B. 112b ≤< C ．112b <≤ D. 12b <≤【解析】由已知得cos(A B)cosAcosB cos 0A B -++=，解得3B π=.由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-.又1a c +=，1cos 2B =，故22113()24b a =-+.又01a <<，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<.故选.B 二、填空题5.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，且b c a222=-，3tan tan =CA，则=b . 【解析】由3tan tan =CA知，,A C 为锐角，作BD AC ⊥交AC 于D ，设BD h =，AD x =，则3CD x =，则b c a 222=-即22222(9)()88h x h x x x +-+==，1x =，则 4.b =6.在ABC ∆中，cos cos cos cos 2b C c B a C c A +=+=，且cos sin a C C b c =+，则ABC ∆的面积为________．【解析】∵cos cos cos cos b C c B a C c A +=+，∴sin cos sin cos B C C B +sin cos sin cos A C C A =+，即sin()sin()B C A C +=+，sin sin A B =，所以A B =．cos cos a C c A +22222222a b c b c a b b+-+-=+2b ==，所以2a =．由cos sin a C C b c=+得4sin()26C c π+=+，当3πC =时，2c =符合题意．所以11sin 22sin 223πS ab C ==⨯⨯⨯= 7.在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 . 【解析】sin sin()2sin sin A B C B C =+=tan tan 2tan tan B C B C ⇒+=，因此 tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan A B C A B C A B C =++=+tan tan tan 8A B C ≥≥，故所求的最小值为8. 三、解答题8.（2019全国Ⅲ卷理）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．解析（1）由题设及正弦定理得．因为，所以．由，可得，故．因为，故，因此．（2）由题设及（1）知△ABC 的面积．由正弦定理得．由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故． sin sin2A Ca b A +=sin sinsin sin 2A CA B A +=sin 0A ≠sinsin 2A CB +=180A BC ︒++=sincos 22A C B +=cos 2sin cos 222B B B=cos02B ≠1sin 22B =60B =︒4ABCS a =△()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+ABC △090A ︒<<︒090C ︒<<︒120A C +=︒3090C ︒<<︒122a <<ABC S <<△因此，面积的取值范围是．9.在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a .（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.【解析】Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （Ⅱ）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：2a b c +=；（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【解析】()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C π++=, 所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 11.已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c 且满足cos sin b a C c A =+．（1）求A 的大小；（2）若21cos ,5,57B BC BD BA ===，求CD 的长．【解析】（1）在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，因为()sin sin B A C π=-+⎡⎤⎣⎦()sin A C =+ 所以()sin sin cos sin sin A C A C C A +=+ 即sin cos sin cos sin cos sin sin A C C A A C C A +=+ 整理得sin cos sin sin C A C A =，由sin 0C ≠，可得cos sin A A = 所以/4A π=. （2）在三角形ABC 中，54cos 1sin 2=-=B B ，由sin sin AC BCB A=45AC ⇒=，解得AC =ABC△⎝⎭又因为cos cos()C A B =-+cos cos sin sin A B A B =-+=所以2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅3225254910=+-⨯⨯=， 7=AB ，于是由17BD BA =可得1=BD ， 2222cos CD BD BC BD BC B =+-⋅⋅20102512251=⨯⨯⨯-+=，所以CD =. 12.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围. 【解析】（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a A A b B ==，sin cos B A ∴=，即sin()2sinB A π=+ 又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-=. （2）由（1）知，()(2)02C A B A πππ=-+=-+>，得(0,)4A π∈，于是 2sin sin sin sin(2)sin cos 22sin sin 12A C A A A A A A π+=+-=+=-++，由(0,)4A π∈得sin (0,2A ∈，9sin sin ].28A C +∈C 组题一、选择题1.如图，在ABC ∆中，3sin 2ABC ∠=，2AB =，点D 在线段AC 上，且432,AD DC BD ==，则cos C 的值为（） A ．79-B.72 C ．79 D.13【解析】由条件得1cos 3ABC ∠=，2sin 3ABC ∠=.在ABC ∆中，设,3BC a AC b ==，则由余弦定理得224943ab a =+-① 因为cos cos ADB CDB ∠=-∠2221616443316383b b a b b +-+-=，所以2236b a -=- ②联立①②解得3,1a b ==，所以3,3AC BC ==.在ABC ∆中，7cos .9C =故选.C 2.已知ABC ∆的内角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，sin 22sin A B C =，3b =，当内角C 最大时，ABC ∆的面积等于( ) 933+632+3262-3632- 【解析】根据正弦定理及sin 22sin A B C +=得22a b c =，32a c +=， 226218932624cos 684a a a a C a a +++--==+≥，当且仅当384a a =，即6a =62sin C +=1162933sin 6322ABC S ab C ∆++===故选.A 3.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+的值是（） A ．2 B.32 C ．4 D.43【解析】取1a b ==，则1cos 3C =，由余弦定理得33c =，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan tan 2A B ==，又23sin 3C =，tan 22C =tan tan 4tan tan C CA B+=. 另解：由6cos b a C a b +=得，2222262a b a b c ab ab ++-=，即22232a b c +=，∴22222tan tan sin 2 4.tan tan cos sin sin C C C c A B C A B a b c +===+- 故选.C 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222,0b c a bc AB BC →→+-=⋅>，2a =，则bc +的取值范围是( )A. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭ D. 31,2⎛⎤⎥⎦⎝【解析】由222b c a bc +-=得：2221cos 22b c a A bc +-==，则3A π=，由0AB BC →→>可知：B 为钝角，21sin aR A== 则sin ,b B =sin ,sin sin c C b c B C =+=+2sin sin 3B B π=+-（）3sin cos 22B B =+)6B π=+，由于223B ππ<<，25366B πππ<+<，所以13sin 262B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1322b c <+<，故选B. 二、填空题5.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若15,25,30AB m AC m BCM ︒==∠=,则tan θ的最大值 .【解析】由勾股定理可得，20BC =，过P 作'PP BC ⊥，交BC 于'P ，连结'AP ，则'tan 'PP AP θ=，设'BP x =，则'20CP x =-，由30BCM ∠=︒得，)''tan 3020PP CP x =︒=-，在直角'ABP ∆中，'AP =，故)22020tan 225x x xθ--==+，令20x y -=，()()21225202'x x xy -+--⋅⋅===，令'0y =得，454x =-，代入220tan 3225x x θ-=+得，220tan 39225x x θ-==+，故tan θ6. 的内角,,A B C 的对边分别为，已知22ac b a =-，则B = .【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A +=-，将已知代入，化简可得c a -=，再由正弦定理，可得sin sin6B C π-=，再结合条件及B 的范围求得B的值.由余弦定理得2222cos a b c bc A-=-，将已知条件代入上式22ac b a =-，化简可得2ac c =-，c a -=，再由正弦定理，可得3sin sin sin6B C π-=，51sin sin()cos sin 622C B B B π∴=-=+，，11-cos 222B B =，1sin()62B π∴-=. 5666B πππ∴-<-<，,.663B B πππ-=∴=7.已知ABC ∆满足3A π=，()0AB AC BC +⋅=，点M 在ABC ∆外，且22MB MC ==，则MA 的取值范围是________．【解析】由ABC ∆满足3A π=，()0AB AC BC +⋅=，可得ABC ∆为等边三角形．又点M 在ABC ∆外，且22MB MC ==，设等边ABC ∆边长为a ，如图1，若M 与A 在BC 同侧，设BMC β∠=，BCM α∠=，在BCM ∆中，21sin sin sin()a βααβ==+，则2sin sin aβα=①，由sin 2sin()ααβ=+2sin cos 2cos sin αβαβ=+，得sin (12cos )2cos sin αβαβ-=②，①②联立可得12cos cos a βα-=⋅，又23cos 2a aα-=，∴2sin 64cos 12cos a βββ=--+⋅254cos a β=-，∴2212cos()3MA a a πα=+-- 54cos 1cos sin a βαα=-+-52cos ββ=--54cos()3πβ=--[1,7)∈，则MA ∈；ABC ∆,,a b c如图2，若M 与A 在BC 异侧，设BMC β∠=，BCM α∠=，在BCM ∆中，则21sin sin sin()a βααβ==+，可得12cos cos a βα-=⋅，又23cos 2a a α-=，∴2212cos()3MA a a πα=+-+54sin()6πβ=+-(3,9]∈，则MA ∈．综上，MA 的最小值为1，最大值为3，故答案为：[1,3]．三、解答题8.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；（II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【解析】（1）据正弦定理，可设(0)sin sin sinCa b ck k A B ===>，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===故cos cos sin A B C a b c +=，有cos cos cos sin sin sin A B Ck A k B k C+=，变形得 sin sin sin cos cos sin sin()sin A B A B A B A B C =+=+=（2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有222cos 2b c a A bc +-=35=.所以4sin 5A ==由（1）sin sin sin cos cos sin A B A B A B =+所以443sin cos sin 555B B B =+，故tan 4.B = 9. 在ABC ∆中，若AC →=cos cos sin AB C BC A AC B →→→⋅+⋅=⋅. （1）求角B 的大小；（2）求ABC ∆的面积S .【解析】（1）由题可知：在ABC ∆中，23AC =cos cos sin AB C BC A AC B ⋅+⋅=⋅，因为AC AB BC =+，所以cos cos AB C BC A ⋅+⋅()sin AB BC B =+⋅，即(cos sin )(cos sin )0C B AB A B BC -+-=，而向量AB ，BC 是两个不共线向量，所以cos sin cos sin C BA B =⎧⎨=⎩，所以cos cos C A =，因为,(0,)A C π∈，所以A C =，在等腰ABC∆中，A B C π++=，所以2A B π+=，22B A π=-；由上知：cos cos()sin sin 222B BA B π=-==，所以sin 2sin cos 222B B B =，所以1cos 22B =，结合022B π<<，所以23B π=，23B π=.（2）由（1）知，则6A C π==，由正弦定理得：2sinsin36AC BC =，所以2BC =，1sin 26ABC S AC BCπ∆=11222=⨯⨯=10. 如图，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan;2sin A A A-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【解析】（1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C +=，得180,180C A D B =-=-. 由（1），有tantan tan tan 2222A B C D+++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ------=+++--22sin sin A B=+ 连结BD ，在ABD ∆中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，在BCD ∆中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以 222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，则2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CDA AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin A ===. 连结AC ，同理可得 2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC ADCD B AB BC ADCD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是sin 19B ===.所以tan tan tan tan 2222A B C D +++ 22sinsin A B =+=+=.A。

平面向量选择填空压轴题专练-2021届高考数学(理)培优专题提升训练(解析版)

第23讲平面向量选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒，所以(0,0)A ，(1,0)B，1(,22D -，设(1,)C m ,(,)E x y ，所以3(,22DC m =-，1(,)22AD =-，因为AD CD ⊥，所以31(,(022m ⋅-=，即31()022m ⨯--=，解得m =，即(1C ，因为E 在CD上，所以2y ≤，由CE CD k k =，得21112y x =-+，即2x -，因为(,)AE x y =，(1,)BE x y =-，所以2222(,)(1,)2)2AE BE x y x y x x y y ⋅=⋅-=-+=-++246y =-+，令2()46f y y =-+，[2y ∈． E DCB因为函数2()46f y y =-+在上单调递减，在上单调递增，所以2min 21()4616f y =⨯-+=．所以⋅AE BE 的最小值为2116，故选A ．2．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.2- B.32- C. 43- D.1- 【答案】B【解析】以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--所以(2,2)PB PC x y +=--，22233()22)22(22PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-≥-当P 时，所求的最小值为32-，故选B 。

新高考数学复习考点知识提升专题训练1--- 集合的概念

新高考数学复习考点知识提升专题训练（一）集合的概念(一)基础落实1．下列判断正确的个数为( ) (1)所有的等腰三角形构成一个集合； (2)倒数等于它自身的实数构成一个集合； (3)质数的全体构成一个集合；(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合； (5)平面上到点O 的距离等于1的点的全体． A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C 在(1)中，所有的等腰三角形构成一个集合，故(1)正确；在(2)中，若1a ＝a ，则a 2＝1，∴a ＝±1，构成的集合为{1，－1}，故(2)正确；在(3)中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故(3)正确；在(4)中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故(4)错误；在(5)中，“平面上到点O 的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，故(5)正确．2．下列说法不正确的是( ) A ．0∈N * B ．0∈N C ．0.1∉ZD ．2∈Q解析：选A N *为正整数集，则0∉N *，故A 不正确；N 为自然数集，则0∈N ，故B 正确；Z 为整数集，则0.1∉Z ，故C 正确；Q 为有理数集，则2∈Q ，故D 正确．3．(多选)表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集，下面正确的是( )A ．(－1,2) B.⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2C.{}－1，2D.{}(－1，2)解析：选BD ∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴列举法表示为{}(－1，2)，故D 正确．描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0，故B 正确．∴选B 、D.4．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a 等于( ) A ．－1 B ．－32C ．－23D ．－32或－1解析：选B 因为集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，所以当a －2＝－3即a ＝－1时，A ＝{－3，－3,12}，不满足集合中元素的互异性；当2a 2＋5a ＝－3时，解得a ＝－32或a ＝－1(舍去)，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－72，－3，12，满足题意．综上，a ＝－32.5．(多选)设所有被4除余数为k (k ＝0,1,2,3)的整数组成的集合为A k ，即A k ＝{x |x ＝4n ＋k ，n ∈Z }，则下列结论中正确的是( )A ．2 020∈A 0B ．a ＋b ∈A 3，则a ∈A 1，b ∈A 2C ．－1∈A 3D ．a ∈A k ，b ∈A k ，则a －b ∈A 0解析：选ACD 2 020＝4×505＋0，所以2 020∈A 0，故A 正确；若a ＋b ∈A 3，则a ∈A 1，b ∈A 2，或a ∈A 2，b ∈A 1或a ∈A 0，b ∈A 3或a ∈A 3，b ∈A 0，故B 不正确；－1＝4×(－1)＋3，所以－1∈A 3，故C 正确；a ＝4n ＋k ，b ＝4m ＋k ，m ，n ∈Z ，则a －b ＝4(n －m )＋0，(n －m )∈Z ，故a －b ∈A 0，故D 正确．6．集合{x ∈N |x －3<2}用列举法表示是________．解析：由x －3<2得x <5，又x ∈N ，所以集合表示为{0,1,2,3,4}．答案：{0,1,2,3,4}7．已知集合A ＝{－1,0,1}，则集合B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________．解析：集合B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈A }＝{－2，－1,0,1,2}，则集合B 中元素的个数是5. 答案：58．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝______.解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解方程组可得a ＝1，经检验此时A ＝{1，－2,0}， B ＝{1，－2,0}，满足A ＝B ，所以a ＝1. 答案：19．设集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，且A ，B 中有唯一的公共元素9，求实数a 的值．解：∵A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴2a －1＝9或a 2＝9.当2a －1＝9时，a ＝5，此时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，A ，B 中还有公共元素－4，不符合题意；当a 2＝9时，a ＝±3，若a ＝3，B ＝{9，－2，－2}，集合B 不满足元素的互异性．若a ＝－3，A ＝{－4，－7,9}， B ＝{9，－8,4}，A ∩B ＝{9}，∴a ＝－3. 综上可知，实数a 的值为－3. 10．根据要求写出下列集合．(1)已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，用列举法表示集合{x |x 2－4x －a ＝0}；(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫168－x ∈N x ∈N ，用列举法表示集合A ；(3)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，分别用描述法、列举法表示该集合；(4)已知集合B ＝{(x ，y )|2x ＋y －5＝0，x ∈N ，y ∈N }，用列举法表示该集合； (5)用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集．解：(1)∵－5∈{x |x 2－ax －5＝0}， ∴(－5)2－a ×(－5)－5＝0，解得a ＝－4，∵x 2－4x ＋4＝0的解为x ＝2，∴用列举法表示集合{x |x 2－4x －a ＝0}为{2}． (2)∵168－x ∈N ，则8－x 可取的值有1,2,4,8,16，∴x 的可能值有7,6,4,0，－8，∵x ∈N ，∴x 的取值为7,6,4,0， ∴168－x的值分别为2,4,8,16， ∴A ＝{2,4,8,16}．(3)∵方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴用描述法表示该集合为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}，列举法表示该集合为{(1,2)}． (4)∵当x ＝0时，y ＝5；当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝1，∴用列举法表示该集合为{(0,5)，(1,3)，(2,1)}． (5)坐标轴上的点满足x ＝0或y ＝0，即xy ＝0，则该集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．(二)综合应用1．已知集合A ＝{a 2,0，－1}，B ＝{a ，b,0}，若A ＝B ，则(ab )2 021的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．±1解析：选B 根据集合中元素的互异性可知a ≠0，b ≠0，因为A ＝B ，所以－1＝a 或－1＝b ，当a ＝－1时，b ＝a 2＝1，此时(ab )2 021＝(－1)2 021＝－1；当b ＝－1时，则a 2＝a ，因为a ≠0，所以a ＝1，此时(ab )2 021＝(－1)2 021＝－1.综上可知，(ab )2 021＝－1.2．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－bb ＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b＝0.∴|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素共有3个．答案：33．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B ＝{1,2,3,6}，则A 中的元素与B 中的元素组成的集合为________．解析：由题意可知－2x ＝x 2＋x ，解得x ＝0或x ＝－3. 而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A 中的元素与B 中的元素组成的集合为{－6,0,1,2,3,6}．答案：{－6,0,1,2,3,6}4．若集合P ＝{x |ax 2＋4x ＋4＝0，x ∈R }中只含有1个元素，则实数a 的取值是________．解析：当a ＝0时，方程为4x ＋4＝0，解得x ＝－1，此时P ＝{－1}，满足题意；当a ≠0时，则Δ＝42－4a ×4＝0，解得a ＝1，此时P ＝{－2}，满足题意，∴a ＝0或1. 答案：0或15．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋1>0}． (1)若1∉A,2∈A ，求实数a 的取值范围；(2)已知a ≠0，判断a ＋1a能否属于集合A ，并说明你的理由．解：(1)因为1∉A,2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋1≤0，4－2a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a <52，所以实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 2≤a <52.(2)假设a ＋1a 属于集合A ，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－a ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋1>0，整理得1a 2＋2>0恒成立，所以a ＋1a 属于集合A .(三)创新发展已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }． (1)若m ∈M ，则是否存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立？(2)对任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ？证明你的结论．解：(1)设m ＝6k ＋3＝3k ＋1＋3k ＋2(k ∈Z )，令a ＝3k ＋1(k ∈Z )，b ＝3k ＋2(k ∈Z )，则m ＝a ＋b . 故若m ∈M ，则存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立． (2)设a ＝3k ＋1，b ＝3l ＋2，k ，l ∈Z ，则a ＋b ＝3(k ＋l )＋3，k ，l ∈Z .当k ＋l ＝2p (p ∈Z )时，a ＋b ＝6p ＋3∈M ，此时存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立；当k ＋l ＝2p ＋1(p ∈Z )时，a ＋b ＝6p ＋6∉M ，此时不存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立．故对任意a ∈A ，b ∈B ，不一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m .。

2020届高考数学(理)一轮复习考点综合提升训练：考点21数列的概念与简单表示法

高三一轮综合提升考点21数列的概念与简单表示法一、选择题1．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( ) A.56B.65C.130 D ．302．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3) D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 3．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 019a 2 017等于( ) A ．4×2 0192－1B ．4×2 0182－1C ．4×2 0172－1D ．4×2 01724．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n ＝( )A.15n 2－25n ＋65B ．n 3－5n 2＋9n －4C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋45．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 0246．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15二、填空题 7．已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.10．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，则此数列的最大项是第________项．11．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1，a 1＝35，则数列{a n }的第2 019项为________．三、解答题12．[与函数零点交汇]已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R)有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．13．设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．14．已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a2n}的前n项和为T n，且3T n＝S2n＋2S n，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．参考答案1. 答案：D解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30. 2. 答案：C解析：因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b ＞0(n ∈N *)，所以b ＜2n ＋1(n ∈N *)，所以b ＜(2n ＋1)min ＝3，即b ＜3.3. 答案：C解析：由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1，所以a 2 019a 2 017＝a 2 019a 2 018·a 2 018a 2 017＝(2×2 018－1)(2×2 017－1) ＝(2×2 017＋1)(2×2 017－1)＝4×2 0172－1.4. 答案：C解析：由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2.5. 答案：C解析：在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.6. 答案：A解析：由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.n ＋2解析：∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，∴两边同除以a n ·a n ＋1，得2(1－a n ＋1)a n ＋1－2(1－a n )a n ＝1a n ＋1－1a n ＋1，整理，得1a n ＋1－1a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以3为首项，1为公差的等差数列，∴1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2. 8. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2. 9. 答案：3×2n －1－2 解析：由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1， ∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(n ≥2)，经检验，当n ＝1时，a n ＝1，符合上式．∴a n ＝3×2n －1－2. 10. 答案：9或10解析：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．5解析：由已知可得，a 2＝2×35－1＝15， a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35， ∴{a n }为周期数列且T ＝4，∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25. 12. 解析：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4.又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4.所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2. (2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0，所以数列{c n }的变号数为3.13. 解析：(1)令n＝1，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，T n－1＝2S n－1－(n－1)2，则S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－[2S n－1－(n－1)2]＝2(S n－S n－1)－2n＋1＝2a n－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以S n＝2a n－2n＋1(n∈N*)，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2(n－1)＋1，两式相减得a n＝2a n－2a n－1－2，所以a n＝2a n－1＋2(n≥2)，所以a n＋2＝2(a n－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{a n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．所以a n＋2＝3×2n－1，所以a n＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以a n＝3×2n－1－2.14. 解析：(1)由3T1＝S21＋2S1，得3a21＝a21＋2a1，即a21－a1＝0.因为a1＞0，所以a1＝1.(2)因为3T n＝S2n＋2S n，①所以3T n＋1＝S2n＋1＋2S n＋1，②②－①，得3a2n＋1＝S2n＋1－S2n＋2a n＋1.因为a n＋1＞0，所以3a n＋1＝S n＋1＋S n＋2，③所以3a n＋2＝S n＋2＋S n＋1＋2，④④－③，得3a n＋2－3a n＋1＝a n＋2＋a n＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.。

新高考数学复习考点知识提升专题训练30---对数函数的性质及应用

新高考数学复习考点知识提升专题训练(三十) 对数函数的性质及应用(一)基础落实1．(多选)若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A ．0<b <1 B ．0<a <1 C ．a >b D ．b >a >1解析：选ABC 因为log a 2<0，log b 2<0，所以0<a <1,0<b <1，又log a 2<log b 2，所以a >b . 2．若集合A ＝{}x |3x 2＋x －2≤0，则A ∩B ＝( )A.⎣⎡⎦⎤－1，23B.⎣⎡⎦⎤23，1 C.⎝⎛⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，23解析：选D A ＝{}x |3x 2＋x －2≤0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤23， B ＝{x |log 2(2x －1)≤0}＝{x |0＜2x －1≤1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ≤1， ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ≤23. 3．已知函数y ＝log a (2－ax )在(－1,1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．[2，＋∞)解析：选C4．已知a ＝log 23，b ＝log 2e ，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞b ＞c解析：选D 因为函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 在定义域上单调递增，又3＞e ＞2，所以log 23＞log 2e ＞log 22＝1，所以a ＞b ＞1，ln e ＞ln 2，所以c ＜1，所以a ＞b ＞c .5．(多选)对于函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x －2|＋1，下列说法正确的有( )A ．f (x ＋2)是偶函数B ．f (x ＋2)是奇函数C ．f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数D ．f (x )没有最小值解析：选AD 对A 、B ，因为f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1|x －2|＋1，所以f (x ＋2)＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x |＋1，又f (－x ＋2)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1|－x |＋1＝lg ⎝⎛⎭⎫1|x |＋1，故f (x ＋2)为偶函数，故A 正确，B 错误．对C ，因为f (x )＝当x ∈(2，＋∞)时，因为y ＝1x －2在x ∈(2，＋∞)为减函数，故y ＝1x －2＋1为减函数，所以y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2＋1在区间(2，＋∞)为减函数．故C 错误．对D ，因为当x ∈(2，＋∞)时，y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2＋1为减函数．故当x →＋∞时，y →0.故f (x )没有最小值．故D 正确． 6．已知a ＝e－0.3，b ＝log 20.6，c ＝log 3π，则a ，b ，c 从大到小的顺序是________．解析：因为0＜e －0.3＜e 0＝1，log 20.6＜log 21＝0，log 3π＞log 33＝1，所以c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b7．设0<a <1，函数f (x )＝log a (2a x －2)，则使得f (x )<0的x 的取值范围为________．解析：由于y ＝log a x (0<a <1)在(0，＋∞)上为减函数，则2a x －2>1，即a x >32.由于0<a <1，可得x <log a 32.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，log a 32 8．函数f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )的单调递减区间是________．解析：由得－2＜x ＜4，因此函数f (x )的定义域为(－2,4)．f (x )＝ln(x ＋2)＋ln(4－x )＝ln(－x 2＋2x ＋8) ＝ln[－(x －1)2＋9]，设u ＝－(x －1)2＋9，又y ＝ln u 是增函数，u ＝－(x －1)2＋9在(1,4)上是减函数，因此f (x )的单调递减区间是(1,4)．答案：(1,4)9．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log 230.6；(2)log 1.51.6，log 1.51.4； (3)log 0.57，log 0.67；(4)log 31.25，log 20.8.解：(1)因为函数y ＝log 23x 是(0，＋∞)上的减函数，且0.5<0.6，所以log 230.5>log 230.6.(2)因为函数y ＝log 1.5x 是(0，＋∞)上的增函数，且1.6>1.4，所以log 1.51.6>log 1.51.4.(3)因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57.(4)因为log 31.25>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 31.25>log 20.8. 10．已知函数f (x )＝log a (ax 2－x )． (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎫12x 2－x ，由12x 2－x ＞0，得x 2－2x ＞0，解得x ＜0或x ＞2，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，利用复合函数单调性可得函数的增区间为(－∞，0)，减区间为(2，＋∞)．(2)令g (x )＝ax 2－x ，则函数g (x )的图象为开口向上，对称轴为x ＝12a的抛物线，①当0＜a ＜1时，要使函数f (x )在区间[2,4]上是增函数，则g (x )＝ax 2－x 在[2,4]上单调递减，且g (x )min ＝ax 2－x ＞0，②当a ＞1时，要使函数f (x )在区间[2,4]上是增函数，则g (x )＝ax 2－x 在[2,4]上单调递增，且g (x )min ＝ax 2－x ＞0，综上可得，a ＞1.所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)．(二)综合应用1．设函数则满足不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －14＞2的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－23＋2578，＋∞B.⎝⎛⎦⎤78，1C.⎝⎛⎦⎤1，54D.⎝⎛⎭⎫78，＋∞ 解析：选D 由已知f (x )是R 上的增函数，当x ＞1时，f (x )＞2，当x －14＞1，即x ＞54，不等式显然成立，当x ≤1时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －14＝4x －2＋4⎝⎛⎭⎫x －14－2＞2，x ＞78，所以78＜x ≤1，当1＜x ≤54时，f (x )＝log 2(x ＋3)＞2，f ⎝⎛⎭⎫x －14＝4⎝⎛⎭⎫x －14－2＝4x －3＞0，不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －14＞2成立，综上，满足不等式的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫78，＋∞. 2．(多选)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a ＞0，且a ≠1)，则( ) A ．函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1,1) B ．函数f (x )＋g (x )的图象关于y 轴对称 C ．函数f (x )＋g (x )在定义域上有最小值0 D ．函数f (x )－g (x )在区间(0,1)上是减函数解析：选AB ∵f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a ＞0，且a ≠1)， ∴f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )，由x ＋1＞0且1－x ＞0得－1＜x ＜1，故A 对；由f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )＝f (x )＋g (x )得函数f (x )＋g (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 对；∵－1＜x ＜1，∴f (x )＋g (x )＝log a (1－x 2)，∵y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0＜a ＜1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递增，有最小值f (0)＋g (0)＝log a (1－0)＝0；当a ＞1时，函数f (x )＋g (x )在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错；∵f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递增，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递减；当a ＞1时，f (x )＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增， g (x )＝log a (1－x )在(0,1)上单调递减，函数f (x )－g (x )在(0,1)上单调递增，D 错．故选A 、B.3．已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．解析：因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，又b ＞a ＞0，所以lg a ＜0，即a ＜1，lg b ＞0，即b ＞1，所以0＜a ＜1＜b ，|lg a |＝－lg a ，|lg b |＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝0，所以b ＝1a ，则a ＋2b ＝a ＋2a.令g (x )＝x ＋2x ，由对勾函数的性质知函数g (x )在(0,1)上单调递减，所以g (a )＞1＋21＝3，即a ＋2b的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)4．已知f (x )＝log 12(x 2－ax －a )．(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝log 12(x 2＋x ＋1)． ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴log 12 (x 2＋x ＋1)≤log 1234＝2－log 23，∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23]． ∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上递增，y ＝log 12x 在(0，＋∞)上递减，∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.(2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数，又y ＝log 12u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立．解得－1≤a ≤12.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 5．已知函数f (x 2－1)＝log mx 22－x 2(m ＞0，且m ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)解关于x 的不等式f (x )≥log m (3x ＋1)．解：(1)x ＋11－x ＞0⇒(x ＋1)(1－x )＞0⇒－1＜x ＜1.f (x 2－1)＝log mx 22－x 2(m ＞0，且m ≠1)，设x 2－1＝t ，则f (t )＝log mt ＋11－t(－1＜t ＜1)，所以f (x )＝log m x ＋11－x (－1＜x ＜1)，f (－x )＝log m －x ＋11＋x ＝log m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11－x －1＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． (2)3x ＋1＞0⇒x ＞－13.不等式f (x )≥log m (3x ＋1)，即f (x )＝log m x ＋11－x≥log m (3x ＋1)⎝⎛⎭⎫－13＜x ＜1.当m ＞1时：x ＋11－x ≥3x ＋1且－13＜x ＜1，解得x ∈⎝⎛⎦⎤－13，0∪⎣⎡⎭⎫13，1. 当0＜m ＜1时：x ＋11－x ≤3x ＋1且－13＜x ＜1，解得x ∈⎣⎡⎦⎤0，13. 综上所述：当m ＞1时，解集为⎝⎛⎦⎤－13，0∪⎣⎡⎭⎫13，1；当0＜m ＜1时，解集为⎣⎡⎦⎤0，13.(三)创新发展(多选)某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f (x )＝lg1－x1＋x为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：其中研究成果正确的是( ) A ．同学甲发现：函数的定义域为(－1,1)，且f (x )是偶函数 B ．同学乙发现：对于任意的x ∈(－1,1)，都有f ⎝⎛⎭⎫2xx 2＋1＝2f (x )C ．同学丙发现：对于任意的a ，b ∈(－1,1)，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋abD ．同学丁发现：对于函数定义域内任意两个不同的实数x 1，x 2，总满足解析：选BC 对A ，f (x )＝lg 1－x 1＋x 定义域为1－x1＋x ＞0⇒(1－x )(1＋x )＞0，解得x ∈(－1,1)．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，故f (x )＝lg 1－x1＋x为奇函数．故A 错误．对 B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1＝lg 1－2x x 2＋11＋2x x 2＋1＝lg x 2－2x ＋1x 2＋2x ＋1＝＝2lg 1－x 1＋x＝2f (x )，又x ∈(－1,1)．故B 正确．对C ，f (a )＋f (b )＝lg 1－a 1＋a ＋lg 1－b1＋b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝lg 1－a ＋b1＋ab 1＋a ＋b 1＋ab＝＝故f (a )＋f (b )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab 成立．故C 正确．对D ，f (0)＝lg 1－01＋0＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝lg 1－121＋12＝lg 13＜0，。

高考专题12 方程组的解集(原卷版) (2)

提升训练2.3 方程组的解集一、选择题1．解方程组32133x y x y -=⎧⎨+=⎩加减消元法消元后，正确的方程为（）A ．6x -y =4B ．3y =2C ．-3y =2D ．-y =2【答案】B 【解析】32133x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ②-①得3y=2，故选B.2．方程组221{ x y x== 的解有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】B【解析】由2x 1=，得x=±1, 当x=1时， 2y 1=，得y=±1, 当x=-1时， 2y 1=-，无解，故方程组22x 1{ y x==的解为1{ 1x y ==,1{ 1x y ==-, 故选：B ．3．已知22x y =⎧⎨=⎩是方程2x+ky=6的一个解，那么k 的值是( )A ．1B ．3C ．1-D ．3-【答案】A 【解析】将22x y =⎧⎨=⎩代入方程2x+ky=6，得4+2k=6，解得k=1，故选：A ．4．若关于x ，y 的二元一次方程组 33224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ＞﹣32，满足条件的m 的所有正整数值为（） A ．1，2，3，4，5 B ．0，1，2，3，4 C ．1，2，3，4 D ．1，2，3 【答案】A 【解析】33224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩①②， ①×2-②得，65x m =-，将65x m =-代入②得，y=2+35m,∵x +y ＞﹣32，∴6332552m m -++>-，解得，m<356,∴满足条件的m 的所有正整数为：1，2，3，4，5. 故选：A.5．下列方程组是二元一次方程组的有（）①3021x yy x-=⎧⎨=+⎩；②26021x yx y+=⎧⎨+=⎩；③34521x yx z+=⎧⎨+=⎩；④21xy=⎧⎨=⎩．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，②中x2+2y=1是二次方程，故不是二元一次方程组，③含有三个未知数，故不是二元一次方程组，④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，∴是二元一次方程组的有①④，共两个，故选C.6．方程组34212x yx y-=⎧⎨=-⎩用代入法消去x，所得关于y的一元一次方程为( )A．3－2y－1－4y＝2 B．3(1－2y)－4y＝2 C．3(2y－1)－4y＝2 D．3－2y－4y＝2 【答案】B【解析】方程组34212x yx y-=⎧⎨=-⎩①②用代入法消去x，把②代入①得关于y的一元一次方程为3（1-2y）-4y=2，故选B.7．已知32xy=⎧⎨=-⎩是方程组23ax bybx ay+=⎧⎨+=-⎩的解，则+a b的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【解析】将32xy=⎧⎨=-⎩代入23ax bybx ay+=⎧⎨+=-⎩，可得：322 323a bb a-=⎧⎨-=-⎩，两式相加：1a b+=-，故选A．8．方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把①化为x＝1+y，代入②得：（1+y）2+2y+3＝0，即y2+4y+4＝0，解得：y＝﹣2，代入①得x＝﹣1，∴原方程组的解为 .故选B．9．下列各组数是二元一次方程组125x yx y+=⎧⎨+=⎩的解的是( )A．12xy=-⎧⎨=⎩B．23xy=-⎧⎨=⎩C．21xy=⎧⎨=⎩D．43xy=⎧⎨=-⎩【答案】D125x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②-①得：x=4，把x=4代入①得：y=-3，∴方程组的解为43x y =⎧⎨=-⎩，故选D.10．关于x 、y 的方程组222x y mx y m +=⎧⎨+=+⎩的解为整数，则满足这个条件的整数m 的个数有（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．无数个【答案】A 【解析】解方程组222x y mx y m +=⎧⎨+=+⎩得到242m x m y m ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩因为方程组的解为整数，所以m 可以为0、1、3、4，所以满足条件的m 的整数有4个，选A11．温州某中学2015学年七年级一班40名同学为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表：表格中捐款40元和50元的人数不小心被墨水污染已看不清楚,若设捐款40元的有x名同学，捐款50元的有y名同学，根据题意，可得方程组（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题等量关系为：①某中学七年级一班有40名同学；②共捐款2000元. 因此，根据七年级一班有40名同学，得方程x+y=40-10-8，即x+y=22；根据共捐款2000元，得方程40x+50y=2000-20×10-100×80,40x+50y=1000.列方程组为.故选C.12．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一根竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子再量竿，却比竿子短一托，问索和竿子各几何？”“其大意为：“现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，问绳索和竿子各多少尺？”设绳索长x尺，竿子长y尺，下列所列方程组正确的是（）A．5,15.2x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B．5,15.2y xx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩C．5,2 5.x yy x-=⎧⎨-=⎩D．5,2 5.y xx y-=⎧⎨-=⎩【答案】A【解析】设绳索长x尺，竿子长y尺，由题意得到5,15.2x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，故选A二、填空题13．方程组的解是______．【答案】或【解析】，解：由①得，x=-3-y③，把③代入②得，（-3-y）y=2，解得：y1=-1，y2=-2，把y1=-1，y2=-2分别代入③得，x1=-2，x2=-1，∴原方程组的解为或故答案为：或14．方程组的解是_____．【答案】，【解析】，②+①得：x2+x=2，解得：x=﹣2或1，把x=﹣2代入①得：y=﹣2，把x=1代入①得：y=1，所以原方程组的解为，，故答案为，．15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为____.【答案】911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩【解析】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得911x y =，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得(10)(8)13y x x y +-+=.因此911(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+-+=⎩所以答案为911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩16．已知方程组5x y 3ax 5y 4+=⎧⎨+=⎩和x 2y 55x by 1-=⎧⎨+=⎩有相同的解，则a ＋b ＝_____【答案】16 【解析】∵方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩和2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，∴方程组5x y 3x 2y 5+=⎧⎨-=⎩的解也它们的解，解得：12x y =⎧⎨=-⎩，代入其他两个方程得104521a b -=⎧⎨-=⎩，解得：142a b =⎧⎨=⎩，∴a+b=16．三、解答题17．己知关于x ，y 的二元一次方程组2352x y x y k -=⎧⎨-=⎩的解满足x y >，求k 的取值范围．【答案】5k <．【解析】2352x y x y k -=⎧⎨-=⎩①②， ①﹣②得：5x y k -=-， ∵x y >， ∴0x y ->． ∴50k ->．解得：5k <．18．已知关于x ，y 二元一次方程组326x y n x y +=⎧⎨-=⎩.（1）如果该方程组的解互为相反数，求n 的值及方程组的解；（2）若方程组解的解为正数，求n 的取值范围. 【答案】n>1 【解析】（1）依题意得0x y +=，所以n=0026x y x y +=⎧⎨-=⎩解得2-2x y =⎧⎨=⎩ 由326x y n x y +=⎧⎨-=⎩解得222x n y n =+⎧⎨=-⎩∴20220n n +>⎧⎨->⎩ ∴n>1 19．已知方程组有两组相等的实数解，求的值，并求出此时方程组的解.【答案】,当时 ;当时【解析】把②代入①后计算得，∵方程组有两组相等的实数解， ∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：，当时，解得当时，解得20．有A 、B 两种型号台灯，若购买2台A 型台灯和6台B 型台灯共需610元．若购买6台A 型台灯和2台B 型台灯共需470元．（1）求A 、B 两种型号台灯每台分别多少元？（2）采购员小红想采购A 、B 两种型号台灯共30台，且总费用不超过2200元，则最多能采购B 型台灯多少台？【答案】（1） A、B两种型号台灯每台分别50、85元;（2）最多能采购B型台灯20台.【解析】（1）解：设A、B两种型号台灯每台分别x、y元，依题意可得：，解得：，答：A、B两种型号台灯每台分别50、85元.（2）解：设能采购B型台灯a台，依题意可得：，解得：.答：最多能采购B型台灯20台.21．已知是方程组的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】【解析】将代入方程组中得：，则方程组变形为：，由x+y=1得：x=1-y，将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为： .22．“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【答案】A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．【解析】设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；由题意得：572060 2420601020x yx y+=⎧⎨+=-⎩，解得：160180xy=⎧⎨=⎩；答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．。

高考数学基础知识专题提升训练27---充要条件

高考数学基础知识专题提升训练充要条件1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2x-1)x=0⇔x=0或x=1,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分条件.22.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x+1|≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2-x≥0,得x≤2;由|x+1|≤1,得-1≤x+1≤1,得-2≤x≤0.则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件.3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的() A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件,意思是“能至”一定“有志”,但“有志”也不一定“能至”,故“有志”是“能至”的必要不充分条件.4.一次函数y=-m n x+1n 的图象同时经过第一、第三、第四象限的充要条件是()A.m>1,且n<1B.mn<0C.m>0,且n<0D.m<0,且n<0y=-m n x+1n 经过第一、第三、第四象限,所以-m n >0,1n <0,所以m>0,n<0,此为充要条件.5.有下述说法:①a>b>0是a 2>b 2的充要条件;②a>b>0是1a <1b 的充要条件;③a>b>0是a 3>b 3的充要条件.其中正确的说法有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:a>b>0⇒a 2>b 2,a 2>b 2⇒|a|>|b|a>b>0,故①错.a>b>0⇒1a <1b ,但1a <1b a>b>0,故②错.a>b>0⇒a 3>b 3,但a 3>b 3a>b>0,故③错.答案:A6.在平面直角坐标系中,点(x+5,1-x )在第一象限的充要条件是.(x+5,1-x )在第一象限⇔{x +5>0,1-x >0,解得-5<x<1.5<x<17.已知p :x>a 是q :2<x<3的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是.,可得{x|2<x<3}⫋{x|x>a },故a ≤2.a|a ≤2}8.设n ∈N *,一元二次方程x 2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=.Δ=16-4n ≥0,得n ≤4,又n ∈N *,则n=1,2,3,4.当n=1,2时,方程没有整数根;当n=3时,方程有整数根1,3,当n=4时,方程有整数根2.综上可知,n=3或4.或49.已知集合P={x|-2≤x ≤10},非空集合S={x|1-m ≤x ≤1+m }.(1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,求实数m 的取值范围;(2)是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ⊆P.则{1-m ≤1+m ,1-m ≥-2,1+m ≤10,解得0≤m ≤3.故当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件,即所求m 的取值范围是{m|0≤m ≤3}.(2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P=S ,得{1-m =-2,1+m =10,方程组无解, 即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.10.设x ,y ∈R ,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.:若xy ≥0,则有xy=0和xy>0两种情况.当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,等式成立.当xy>0时,即x>0,y>0或x<0,y<0,又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y ,|x|+|y|=x+y ,等式成立.当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,等式成立.总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.②必要性:若|x+y|=|x|+|y|,且x,y∈R,则|x+y|2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,则|xy|=xy,所以xy≥0.综上可知,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.。

高考数学二轮复习第二篇专题通关攻略专题2 三角函数及解三角形专题能力提升练七 2.2.2 三

专题能力提升练七三角恒等变换与解三角形(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.cos15°-4sin215°cos15°=()A. B. C.1D.【解析】选D.cos 15°-4sin215°cos 15°=cos 15°-2sin 15°×2sin 15°cos 15°=cos 15°-2sin 15°sin 30°=cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=.2.(2018·永州二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选 C.因为+=2a,所以由正弦定理可得,+=2sinA≥2=2,所以sin A=1,当=时,“=”成立,所以A=,b=c,所以△ABC是等腰直角三角形.3.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( )A.4B.C.D.2【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,得AB2=25+1-2×1×5×=32,所以AB=4.4.若向量a=,向量b=(1,sin22.5°),则a·b=( )A.2B.-2C.D.-【解析】选A.由题得a·b=tan67.5°+=tan 67.5°+=tan 67.5°-tan 22.5°=tan 67.5°-==2×=2×=2.【加固训练】(2018·会宁一中一模)已知x为锐角,=,则a的取值X围为( ) A.[-2,2] B.(1,)C.(1,2]D.(1,2)【解析】选C.由=,可得:a=sin x+cos x=2sin,又x∈,所以x+∈,所以a的取值X围为(1,2].5.在锐角△ABC中,A=2B,则的取值X围是( )A.(-1,3)B.(1,3)C.(,)D.(1,2)【解析】选D.====3-4sin2B.因为△ABC是锐角三角形,所以得<B<⇒sin2B∈.所以=3-4sin2B∈(1,2).6.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C= ()A. B. C. D.【解析】选C.由题意S△ABC=absin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.【加固训练】(2018·某某一模) 已知△ABC中,sinA,sinB,sinC成等比数列,则的取值X围是( )A. B.C.(-1,]D.【解析】选 B.由已知可知sin2B=sin A·sin C,即b2=ac,cos B==≥=,即0<B≤,sin B+cos B=sin∈(1,],原式==,设t=sin B+cos B,即原式==t-(1<t≤),函数是增函数,当t=1时,函数等于0,当t=时,函数等于,所以原式的取值X围是.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:【加固训练】(2018·某某市一模) 已知cos=,则sin2α=________.【解析】sin 2α=sin=-cos2=1-2cos2=1-2×=-.答案:-8.为了竖起一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC 比AB长0.5米,为了稳定广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为________.【解题指南】首先根据余弦定理找出边BC与AC之间的关系,用边BC表示出边AC,结合函数知识即可求解.【解析】由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t=(x>1),即t=x-1++2,因为x>1,故t=x-1++2≥2+,当且仅当x=1+时取等号,此时取最小值2+. 答案:2+三、解答题(每小题10分,共40分)9.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5.10.如图,在△ABC中,AB=2,cosB=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=,求AD的长.(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.【解题指南】(1)首先利用同角三角函数间的基本关系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的长.(2)首先利用三角形面积间的关系求得S△ABC,然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值.【解析】(1)在三角形中,因为cos B=,所以sin B=,在△ABD中,由正弦定理得=,又AB=2,∠ADB=,sin B=.所以AD=.(2)因为BD=2DC,所以S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,所以S△ABC=4,因为S△ABC=AB·BCsin∠ABC,所以BC=6,因为S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,所以=2·,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC.所以AC=4,所以=2·=4.11.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为π;因为x∈,所以2x+∈,sin∈,所以函数f(x)=2sin在区间上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin,又因为f(x0)=,所以sin=,由x0∈,得2x0+∈,从而cos=-=-,所以cos 2x0=cos=cos cos +sin sin =12.在△ABC中,D是边BC上的点,AB=AD=,cos∠BAD=.(1)求sinB.(2)若AC=4,求△ADC的面积.【解题指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出结果.(2)利用(1)的结论和余弦定理求出三角形的面积.【解析】(1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=7+7-2×××=12,得BD=2.由cos∠BAD=,得sin∠BAD=,在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin B=×=.(2)因为sin B=,B是锐角,所以cos B=,设BC=x,在△ABC中,AB2+BC2-2AB·BC·cos B=AC2,即7+x2-2·x··=16,化简得:x2-2x-9=0,解得x=3或x=-(舍去),则CD=BC-BD=3-2=,由∠ADC和∠ADB互补,得sin∠ADC=sin∠ADB=sin B=,所以△ADC的面积S=·AD·DC·sin∠ADC=×××=.【加固训练】(2018·某某二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为acsin2B.(1)求sinB的值.(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中点为D,求△ABD的周长.【解析】(1)由S△ABC=acsinB=acsin2B,得sin B=2sin B·cos B,因为0<B<π,所以sin B>0,故cos B=,又sin2B+cos2B=1,所以sin B=.(2)由(1)和3sin2C=5sin2B·sin2A得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,因为c=5,所以a=4,BD=a=2,在△ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2c·BD·cos B=52+22-2×5×2×=24,所以AD=2.所以△ABD的周长为c+BD+AD=7+2.(建议用时:50分钟)1.(2018·某某一模)南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S=,c>b>a),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为( )A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【解析】选C.由题意可得:a=13,b=14,c=15代入:S===84,则该三角形田面积为84平方里.2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin=1,且a=2,则△ABC 的面积的最大值为( )A. B. C. D.2【解析】选B.sin=,-=,A=,由于a=2为定值,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos ,即4=b2+c2+bc.根据基本不等式得4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤,当且仅当b=c时,等号成立.S△=bcsin A≤··=.3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,sinAcosB-(c-cosA)·sinB=0,则边b=________.【解析】由sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0,得sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以sin C=csin B,即=sin B,由正弦定理=,故b==1.答案:14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若3a2=2b2+c2,则的最大值为________.【解析】因为3a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以==tan A.由题得a2=,所以 cos A===≥=,所以tan A=≤=,当且仅当b=c时取等号.所以的最大值为.答案:【加固训练】(2018·某某中学模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,(b2+c2-3)tanA=bc,2cos2=(-1)cosC,则△ABC的面积等于________.【解析】条件(b2+c2-3)tan A=bc即为(b2+c2-a2)tan A=bc,由余弦定理得2bccos Atan A=bc,所以得sin A=,又A为锐角,所以A=.又2cos2=1+cos(A+B)=1-cos C=(-1)cos C,所以cos C=,得C=,故B=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以c===.故△ABC的面积S=acsin B=×××sin =.答案:5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)2=a2-bc.(1)求sinA.(2)若a=2,且sinB,sinA,sinC成等差数列,求△ABC的面积.【解析】(1)由(b-c)2=a2-bc,得b2+c2-a2=bc,即=,由余弦定理得cos A=,因为0<A<π,所以sin A=.(2)由sin B,sin A,sin C成等差数列,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理得b+c=2a=4,所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc.由(1)得16=a2+bc,所以16=4+bc,解得bc=,所以S△ABC=bcsin A=××=.6.(2018·某某一模)△ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=+.(1)求sin(A+B)+sinAcosA+cos(A-B)的最大值.(2)若b=,当△ABC的面积最大时,求△ABC的周长.【解题指南】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角公式转化为二次函数求解.(2)根据余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由=+得:=,a=bcos C+csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=;由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=(sin A+cos A)+sin Acos A,令t=sin A+cos A,原式=t2+t-,当且仅当A=时,上式取最大值,最大值为.(2)S=acsin B=ac,b2=a2+c2-2accos B,即2=a2+c2-ac≥(2-)ac,ac≤2+,当且仅当a=c=等号成立;S max=,周长L=a+b+c=2+.7.(2018·某某二模) 如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC= ∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD 的长度;(2)若∠ADB=30°,求tanθ.【解题指南】(1)在△ABD中,利用余弦定理直接求出BD.(2)在△ABD中,写出正弦定理再化简即得解.【解析】(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(2)2+12-2×2×1×=19,BD=.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ,在△ABD中,由正弦定理可知,=,所以=4,所以tan θ=.。

新高考数学复习考点知识提升专题训练2---集合间的基本关系

新高考数学复习考点知识提升专题训练（二）集合间的基本关系(一)基础落实1．下列说法正确的是( ) A ．Q ⊆Z B ．N ∈R C ．N ⊆QD ．Z ⊆N *解析：选C N 表示自然数集，N *表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为Z ⊆Q ，N ⊆R ，N ⊆Q ，N *⊆Z ，所以A 、B 、D 错误，C 正确，故选C.2．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪yx＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：选B ∵B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y x ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴BA .3．下列集合中，是集合{1,2}的真子集的是( ) A ．{1,2} B ．∅ C ．{∅}D ．{1,2,3}解析：选B 由题意得：集合{1,2}的真子集为∅，{1}，{2}，故选B. 4．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，则有( ) A ．∅⊆A B ．－2∈A C ．{0,2}⊆AD ．A ⊆{y |y <3}解析：选ACD 由于空集是任何集合的子集，故A 正确，因为A ＝{0,2}，所以C 、D 正确，B 错误．故选A 、C 、D.5．已知集合M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．6个解析：选D ∵M {4,7,8}，且M 中至多有一个偶数，∴M 可能为∅，{4}，{7}，{8}，{4,7}，{7,8}，共6个，故选D.6．集合A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集的个数是________．解析：∵A ＝{x ∈N |1≤x <4}＝{1,2,3}，∴A ＝{x ∈N |1≤x <4}的真子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．答案：77．已知∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，解得a ≤14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤148．若集合A ＝{x ∈N |x 2<24}，B ＝{a }，B ⊆A ，则a 的最大值为________．解析：因为自然数集中只有x ＝0,1,2,3,4满足x 2<24，所以A ＝{x ∈N |x 2<24}＝{0,1,2,3,4}，又因为B ＝{a }⊆A ，所以a ∈{0,1,2,3,4}，a 的最大值为4. 答案：49．写出下列每对集合之间的关系： (1)A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5}； (2)C ＝{x |x 2＝1}，D ＝{x ||x |＝1}； (3)E ＝{x |x <3}，F ＝{x |－1<x ≤2}；(4)G ＝{x |x 是对角线相等且互相平分的四边形}，H ＝{x |x 是有一个内角为直角的平行四边形}．解：(1)因为B 的每个元素都属于A ，而4∈A 且4∉B ，所以B A .(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C＝D.(3)在数轴上表示出集合E和F，如图所示：由图可知F E.(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G＝H.10．集合A＝{x|x－4＝0}，集合B＝{x|x2－2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A⊆B，求实数a的值．解：A＝{4}，因为A⊆B，故4∈B，所以16－8(a＋1)＋a2－1＝0，整理得a2－8a＋7＝0，解得a＝1或a＝7.(二)综合应用1．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．{m|m＞3} B．{m|m≥3}C．{m|m＜3} D．{m|m≤3}解析：选B因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.2．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A BD ．A B解析：选D 对于集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，当k ＝2m (m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ，m ∈Z }，当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，A ＝{x |x ＝6m ＋3，m ∈Z }，又B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，即A B .3．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z 的真子集个数是________．解析：因为当x ＝－3时，2x ＋1＝－1∈Z ；当x ＝－2时，2x ＋1＝－2∈Z ；当x ＝0时，2x ＋1＝2∈Z ；当x ＝1时，2x ＋1＝1∈Z ，所以满足集合A ＝{－3，－2,0,1}，真子集个数为24－1＝15. 答案：154．已知集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，若B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A 的各个元素之和为________．解析：∵集合A ，B ，C ，且A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{1,2,3,4}，C ＝{0,1,2,3}， ∴集合A 是两个集合的子集，集合B ，C 的公共元素是1,2,3，∴满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24.答案：245．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，存在非空集合C，使C中每个元素加上2就变成了A的一个子集且C中每个元素减去2就变成了B的一个子集，你能确定出集合C的个数是多少吗？解：假设存在满足条件的集合C，则C≠∅，将A中元素都减2，B中元素都加2，则C⊆{0,2,4,6,7}且C⊆{3,4,5,7,10}，由于两个集合的共同元素构成的集合为{4,7}，故非空集合C是{4,7}的子集，即C＝{4,7}或{4}或{7}．故这样的集合有3个．(三)创新发展1．设A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2}，请写出一个满足B⊆C⊆A的集合C＝________.解析：∵A＝{1,2,3,4}，若B⊆C⊆A，∴C＝{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2}或{1,2,3,4}，答案：{1,2,3}(答案不唯一)2．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B，若存在，求出对应的a的值；若不存在，说明理由．(2)若A⊆B成立，列举出对应的实数对(a，b)构成的集合．解：(1)不存在满足题意的实数a .理由如下： ∵A ＝{a －4，a ＋4}，若对于任意实数b 都有A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝1，方程组均无解．∴不存在实数a ，使得对于任意实数b 都有A ⊆B . (2)由(1)知，若A ⊆B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝2，a ＋4＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.∴(a ，b )构成的集合为{(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)}．。

高考数学基础知识专题提升训练101---对数函数及其性质的应用

高考数学基础知识专题提升训练对数函数及其性质的应用[微体验]1．下列不等关系中，正确的是( ) A ．1.3－0.1>1.3－0.2 B ．0.7－0.3<0.70.2 C ．2－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5 D ．0.21.8>0.20.8A [因为y ＝1.3x 是增函数，－0.1>－0.2, 所以1.3－0.1>1.3－0.2.] 2．函数y ＝log 12(2x ＋1)的值域为________.解析 ∵2x ＋1>1，函数y ＝log 12 x 是(0，＋∞)上的减函数，∴log 12 (2x ＋1)<log 12 1＝0，即所求函数的值域为(－∞，0)．答案 (－∞，0)3．若函数f (x )＝log 2(ax ＋1)在[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析由题意得⎩⎨⎧a >0，a ×0＋1>0，解得a >0.答案 (0，＋∞)4．函数f (x )＝log 2(1＋2x )的单调增区间是________．解析易知函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，又因为函数y ＝log 2x 和y ＝1＋2x 都是增函数，所以f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．已知函数f (x )＝lg(x －1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域； (2)证明f (x )是增函数． (1)解由x －1>0，得x >1.所以函数f (x )的定义域是(1，＋∞)，值域为R . (2)证明设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(x 1－1)－lg(x 2－1)＝lg x 1－1x 2－1. 因为1<x 1<x 2，所以0<x 1－1<x 2－1.所以0<x 1－1x 2－1<1.所以lg x 1－1x 2－1<0，从而f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数．[对应学生用书P 67]探究一利用单调性比较大小比较下列各组数的大小．(1)log1245与log1267；(2)log123与log153；(3)log a2与log a3.解(1)y＝log12x在(0，＋∞)上单调递减，又因为45＜67，所以log1245＞log1267.(2)因为在x∈(1，＋∞)上，y＝log15x的图象在y＝log12x图象的上方，所以log12 3＜log153.(3)当a＞1时，y＝log a x为增函数，所以log a2＜log a3；当0＜a＜1时，y＝log a x为减函数，所以log a2＞log a3.[方法总结]对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量．(3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．(5)如果底数为字母，那么要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏．[跟踪训练1]比较下列各组数的大小：(1)log a2.7，log a2.8；(2)log34，log65；(3)log0.37，log97.解(1)当a＞1时，由函数y＝log a x的单调性可知log a2.7＜log a2.8；当0＜a＜1时，同理可得log a2.7＞log a2.8.(2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1，∴log34＞log65.(3)log 0.37＜log 0.31＝0，log 97＞log 91＝0， ∴log 0.37＜log 97.探究二利用单调性解简单的对数不等式问题(1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．解(1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解；②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)得⎩⎨⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)． [方法总结]常见的对数不等式有三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解． [跟踪训练2]解不等式：log a (x －4)＞log a (x －2)．解当a ＞1时，由⎩⎨⎧ x －4＞x －2，x －4＞0，x －2＞0，无解．当0＜a ＜1时，由⎩⎨⎧x －4＜x －2，x －4＞0，x －2＞0，得x ＞4.∴综上可知，当a ＞1时，不等式的解集为∅；当0＜a ＜1时，不等式的解集为(4，＋∞)．探究三对数函数性质的综合应用(1)下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝3|x | C ．y ＝lo g 3xD ．y ＝log 23x(2)已知f (x )＝log a (a －a x )(a >1)． ①求f (x )的定义域和值域； ②判断并证明f (x )的单调性．(1)D [y ＝x －1在定义域内不是单调函数；y ＝3|x |为偶函数；y ＝log 3x 既不是奇函数也不是偶函数，故A ，B ，C 均不正确．又∵log 23－x ＝log 2(3x )－1＝－log 23x ，log 23x 的定义域为R ，∴函数y ＝log 23x 为奇函数．令3x ＝t ，则y ＝log 2t .∵y ＝log 2t 与y ＝3x 在R 上都是增函数， ∴y ＝log 23x 在R 上为增函数．](2)解①由a >1，a －a x >0，即a >a x ，得x <1.故f(x)的定义域为(－∞，1)．由0<a－a x<a，可知log a(a－a x)<log a a＝1.故函数f(x)的值域为(－∞，1)．②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1>x1>x2，又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2，∴log a(a－ax1)<log a(a－ax2)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，1)上为减函数．[方法总结]解决对数函数综合问题的方法对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．[跟踪训练3]已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，其中(a＞0，且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．解∵f(x)＝log a(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，g(x)＝log(1－x)的定义域为{x|x＜1}，a∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝log a(1＋x)－log a(1－x)，∴h(－x)＝log a(1－x)－log a(1＋x)＝－[log a(1＋x)－log a(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．[对应学生用书P68]1．比较两个对数式大小的方法有以下几种(1)单调性法； (2)中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助中间值0进行比较．利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号．对于对数log a x，a和x均与1比较大小，当a和x都同大于(小于)1时，loga x大于0，否则logax小于0.(3)分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．2．两类对数不等式的解法(1)形如log a f(x)＜log a g(x)的不等式．①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．(2)形如log a f(x)＜b的不等式可变形为log a f(x)＜b＝log a a b.①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞a b；②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜a b.若a>1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0<a<1，则y＝log a f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．3．形如y＝log a f(x)的函数的单调性首先要确保f(x)>0，当a>1时，y＝log a f(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．当0<a <1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )>0的前提下与y ＝ f (x )的单调性相反． 4．(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f (x )±f (－x )＝0来判断，运算相对简单．课时作业(二十七) 对数函数及其性质的应用[见课时作业(二十七)P 169]1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)B [ ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7.] 2．函数f (x )＝|log 12 x |的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)D [f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．]3．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aD [由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a .]4．若log a 35<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，35∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)B [当a >1时，log a 35<0，满足题意，当0<a <1时，log a 35<1⇔log a 35<log a a ⇔0<a <35.]5．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜aC [ ∵f (x )为偶函数，∴2|x －m |－1＝2|－x －m |－1.∴|x －m |＝|－x －m |. ∴－x －m ＝m －x .∴m ＝0.∴f (x )＝2|x |－1. ∴f (x )的图象关于y 轴对称且在[0，＋∞)上是增函数．又∵0＞log 0.53＞log 0.54＝－2，log 25＞log 24＝2,2m ＝0，∴c ＜a ＜b .]6．已知log 0.72m ＜log 0.7(m －1)，则m 的取值范围是________．解析 ∵log 0.72m ＜log 0.7(m －1)， ∴2m ＞m －1＞0. 解得m ＞1. 答案 (1，＋∞)7．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 ∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增，∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12 ＝2，a ＝4.答案 48．解不等式2log a (x －4)＞log a (x －2)．解原不等式等价于⎩⎨⎧log a (x －4)2＞log a (x －2)，x －2＞0，x －4＞0.①当a ＞1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＞x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得x ＞6.②当0＜a ＜1时，又等价于⎩⎨⎧(x －4)2＜x －2，x －2＞0，x －4＞0，解得4＜x ＜6.综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为(6，＋∞)；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为(4,6)．9．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取得最大值时的x 的值．解由f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，得f (x 2)＝2＋log 3x 2，x 2∈[1,9]，得函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]，y ＝(2＋log 3x )2＋2＋l og 3x 2，即y ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.令log3x＝t，则0≤t≤1，则y＝(t＋3)2－3，当t＝log3x＝1，即x＝3时，y max＝13.1．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>cD[a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，在同一坐标系内分别画出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，当x＝2时，由图易知log32>log52>log72，∴a>b>c.]2．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．解析∵－1≤log3x≤1，∴log313≤log3x≤log33，∴13≤x≤3.∴f(x)＝log3x的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3，∴f(x)＝log3x的反函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 33．已知函数f(x)＝lg(3x－3)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)>t无解，求实数t的取值范围．解(1)由3x－3>0，得x>1，所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x＋3)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且h (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h (x )的值域为(－∞，0)．若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值范围为t ≥0.4．(拓广探索)已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)，g (x )＝log 12(x 2－4x －5)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)求函数g (x )的递减区间．解 (1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，所以⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，所以a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，所以a ＝0或⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，所以0≤a ≤1.(3)函数g (x )的定义域为{x ︱x <－1或x >5}，由复合函数单调性的“同增异减”法则，可知函数g (x )的单调递减区间为(5，＋∞)．。

高中数学必修一第一章集合与函数概念1-1集合课时提升作业及解析

综上可知 k=0 或 1. 【误区警示】解答本题时易不考虑二次项系数 k 是否为 0 而直接利用根与系数的关系求解致错. 6.某研究性学习小组共有 8 位同学,记他们的学号分别为 1,2,3,„,8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据,分派的原则为:若 x 号同学去,则 8-x 号同学也去.请你根据老师的要求回答下列问题: (1)若只有一个名额,请问应该派谁去? (2)若有两个名额,则有多少种分派方法? 【解析】本题实质是考查集合中元素的特性,只有一个名额等价于 x=8-x,有两个名额则为 x 和 8-x. 分派去图书馆查数据的所有同学组成一个集合,记作 M,则有 x∈M,8-x∈M. (1)若只有一个名额,即 M 中只有一个元素,必须满足 x=8-x,故 x=4,所以应该派学号为 4 的同学去. (2)若有两个名额,即 M 中有且仅有两个不同的元素 x 和 8-x,从而全部含有两个元素的集合 M 含有元素的情况为:1,7 或 2,6 或 3,5,也就是有两个名额的分派方法有 3 种.
高中数学必修一 1-1 集合课时提升作业(一) 集合
的含义
(25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列指定的对象,不能组成集合的是 ( ) A.一年中有 31 天的月份 B.平面上到点 O 距离是 1 的点 C.满足方程 x2-2x-3=0 的 x D.某校高一(1)班性格开朗的女生【解析】选 D.因为 A,B,C 所给的对象都是确定的,从而可以组成集合,而 D 中所给的对象没有具体的标准来衡量一名女生怎样才能算性格开朗,故不能组成集合. 【补偿训练】(2015·昆明高一检测)下列对象能组成集合的是 ( ) A.中国大的城市 B.方程 x2-9=0 在实数范围内的解 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D. 的近似值的全体【解析】选 B.A 中的城市大到什么程度不明确,所以不能组成集合;B 能组成集合;C 中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能组成集合;D 中“ 的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能组成集合. 2.(2015·黄山高一检测)若 a 是 R 中的元素,但不是 Q 中的元素,则 a 可以

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

高考数学基础知识专题提升训练32---指数幂的运算性质

√
2 2
1 1
3 3
7
1
= 6 6.
答案:B
5.已知实数 x 满足 5x-1103x=8x,则 x=.
x-1
3x
x
解析:根据题意,5 10 =8 ,
即 5x-1×(2×5)3x=23x,
1
4x-1
则有 5 =1,即 4x-1=0,解得 x=4.
1
答案: 4
6.若 a>1,b>0,且 ab+a-b=2√2,求 ab-a-b 的值.

2
解:因为 a +a =( 2 + -2 ) -2,
b

-b

所以( 2 + -2 )2=ab+a-b+2=2(√2+1).

又 2 + -2 >0,所以 2 + -2 = √2(√2 + 1);

①

由于 a>1,b>0,则 2 > -2 ,即 2 − -2 >0,同理可得 2 − -2 = √2(√2-1),
1.下列各式成立的是()
7
1
A.( ) =m77 (m,n>0)

12
4
3
B. √(-3) = √-3
3
4
C. √ 3 + 3 =(x+y)4 (x,y>0)
D.√ √9 = √3
3
3
7
解析:( ) =
1 12
7
4
12
3
7 -7
7
7 ; √(-3) = √34 = √3 ≠

高考数学(理)三轮冲刺课时训练：基本初等函数(6)(含答案)

基本初等函数课时提升训练（6）一、选择题（每空？分，共？分）1、定义函数，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为，已知，则函数在上的均值为。

A . B. C. D.2、定义在上的函数满足，若关于x 的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．3、设函数为偶函数，且当时，，又函数，则函数在上的零点的个数为( )个。

A. B. C. D.4、定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为………（）.．．．．5、对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( ) wA． B． C． D．6、如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，则（）A．208 B.216 C.212 D.2207、对于函数，若存在区间，使得，则称区间M为函数的一个“稳定区间”，现有四个函数：①②③④其中存在“稳定区间”的函数为（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④8、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（）A. B. C . D.9、若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）A． B. C. D.10、已知且,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（）11、下列说法：①命题“存在”的否定是“对任意的”；②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；③函数为奇函数的充要条件是；其中正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．012、函数的定义域为D，若对任意且，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（）A. B. C. 1 D.13、函数的图象是( )14、已知的定义域为，值域为，则的取值范围是A ．B ．C．{１} D ．二、简答题（每空？分，共？分）15、对于定义域为D 的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．（1）求证：函数不存在“和谐区间”．（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）16、已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围。

2014高考数学专题提升训练数学思想方法和常用的解题技巧

《数学思想方法和常用的解题技巧》巩固训练一、选择题1．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则 ( )．A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析取a ＝100，b ＝10，此时P ＝ 2，Q ＝32＝lg 1 000，R ＝lg 55＝lg 3 025，比较可知P <Q <R . 答案 B2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )．A ．8B ．10C ．12D ．2＋log 35解析用特殊法．由条件，联想到构造一等比数列3，3，…，3，…，可知B 正确．答案 B3．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x >02x ＋1，x ≤0的零点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析当x >0时，可作出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图所示．由图示可得函数f (x )＝ln x －x 2＋2x (x >0)有两个零点．当x <0时，f (x )＝2x ＋1有零点x ＝－12.综上，可得f (x )有3个零点．答案 D4．设0<x<π2，则“x sin2x<1”是“x sin x<1”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由0<x<π2，得0<sin x<1，故由x sin x<1，可得x sin2x<x sin x<1，即“x sin2x<1”是“x sin x<1”的必要条件；而若x sin2x<1，则x sin x<1sin x，但1sin x>1，故不能得到x sin x<1，所以“x sin2x<1”是“x sin x<1”的必要而不充分条件．答案 B5．函数y＝e x＋e－xe x－e－x的图象大致为()．解析函数有意义，需使e x－e－x≠0，故得其定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故排除C，D；又因为y＝e x＋e－xe x－e－x＝e2x＋1e2x－1＝1＋2e2x－1，所以，当x>0时，函数为减函数，故选A. 答案 A6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝512πD ．x ＝π3解析由2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，代入验证可知使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝±1，只有x ＝512π，选C. 答案 C7．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析令m ＝0，由f (x )＝0，得x ＝13，适合，排除A ，B.令m ＝1，由f (x )＝0，得x ＝1；适合，排除C. 答案 D8．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，且直线m ，n 不重合，由下列三个条件：①m ∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③m ⊂γ，n ∥β.能推得m ∥n 的条件是( )．A ．①或②B ．①或③C ．只有②D ．②或③解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②；取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．因此，可排除A ，C ，D ，选B.答案 B9．若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于( )．A.203B.234C.125D.415解析选一个特殊位置(如图)，令OP ，OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9，得OP ＝4，OQ ＝3，则OH ＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C 正确．答案 C10．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )．A ．－5B ．1C ．2D ．3 解析如图阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域．而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域；当a ＝1时，封闭区域的面积是1；当a ＝2时，封闭区域的面积是32；当a ＝3时，封闭区域的面积恰好为2.答案 D11．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的周期是4π，所以排除A ；对于函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，而cos （2×π3＋π3）＝－1，故x ＝π3是此函数的对称轴，但此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，所以排除B ；对于函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期为π，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，故x ＝π3是此函数的对称轴，又由2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，知此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数，故选C. 答案 C12．设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )．A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析取a ＝±12，代入原不等式得3x 2－8bx ＋4b 2>0，解得x <23b 或x >2b ，不符合条件，从而排除A ，B.取a ＝4代入原不等式得15x 2＋2bx －b 2<0，解得－b 3<x <b5，0<b <5，解集中的整数解少于3个，从而排除D ，故选C. 答案 C 二、填空题13．已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确的序号)．解析用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．答案①②④14．已知函数f(x)＝ln x－ax.若f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．解析∵f(x)<x2，∴ln x－ax<x2，又x>1，∴a>x ln x－x3，令g(x)＝x ln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，h′(x)＝1x－6x＝1－6x2x，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0恒成立，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴h(x)<h(1)＝－2<0.∴即g′(x)<0∴g(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴g(x)<g(1)＝－1.∴a>－1.答案(－1，＋∞)15．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则1p＋1q为________．解析若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ∥x轴，则p＝q＝12a，∴1p＋1q＝4a.答案4a16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确命题的序号是________．解析由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝－f (x ＋1)＝－(－f (x ))＝f (x )，所以函数f (x )是周期函数，它的一个周期为2，所以命题①正确；由f (x ＋1)＝－f (x )，令x ＝－12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，而函数f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，解得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.根据函数f (x )在[－1,0]上为增函数及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，作出函数f (x )在[－1,0]上的图象，然后根据f (x )为偶函数作出其在[0,1]上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示 .由函数的图象显然可判断出命题②⑤正确，而函数f (x )在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，所以命题③④是错误的．综上，命题①②⑤是正确的．答案 ①②⑤ 三、解答题17．设函数f (x )＝x －2x －a ln x (a ∈R ) (1)当a ＝3时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝3时，f ′(x )＝1＋2x 2－3x ＝x 2－3x ＋2x 2＝(x －1)(x －2)x 2.令f ′(x )＝0，解得x＝1或2.f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8，①当|a |≤22时，Δ≤0，f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a <－22时，Δ>0，g (x )＝0的两根都小于0，所以在(0，＋∞) 上，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当a >22时，Δ>0，g (x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，且都大于0，f ′(x )与f (x )随x 的变化如下表：在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减．综上，当a ≤22时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减． 18．已知各项均为正数的等差数列{a n }的公差d 不等于0. a 1＝2，设a 1，a 3，a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n b n }的前n 项和T n ；(2)将数列{a n }中与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1(n ≥2，n ∈N *)的值．解因为a 1，a 3，a 7成等比数列，{a n }是公差d ≠0的等差数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，整理得a 1＝2d .又a 1＝2，所以d ＝1，b 1＝a 1＝2，q ＝b 2b 1＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1，b n ＝b 1·q n －1＝2n ，所以a n b n ＝(n ＋1)·2n . (1)用错位相减法，可求得{a n b n }的前n 项和T n ＝n ·2n ＋1.(2)新的数列{c n }的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n －1项和减去数列{b n }的前n 项和，所以S 2n －n －1＝(2n －1)(2＋2n )2－2(1－2n )1－2＝(2n －1)(2n －1－1)，所以S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1＝1.19．已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x (a ∈R )．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求正数a 的值，并求出f (x )在[0,4]上的最值； (2)若f (x )在区间(0,2)上不单调，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，由题意，f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝2.当a ＝2时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，解得x <1或x >3；令f ′(x )<0，解得1<x <3.f (x )的增区间为(－∞，1)，(3，＋∞)，减区间为(1,3)．于是f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；在[3,4]上单调递增，因此f (x )在[0,4]上的最大值为max{f (1)，f (4)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，43＝43；f (x )在[0,4]上的最小值为min{f (0)，f (3)}＝min {}0，0＝0.(2)函数f (x )在区间(0,2)上不单调⇔函数f ′(x )在(0,2)内存在零点，而f ′(x )＝0的两根为a －1，a ＋1，所以0<a －1<2，或0<a ＋1<2，即1<a <3或－1<a <1，所以实数a 的取值范围是(1,3)∪(－1,1)．20．如图所示，已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线x ＝a 2上的射影依次为点D ，K ，E .(1)若抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程； (2)连接AE ，BD ，证明：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于一定点．解 (1)由题意，易知b ＝3，椭圆C 的右焦点F (1,0)，则c ＝1，所以a ＝2.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意，知F (1,0)，K (a 2,0)．先探索：当m ＝0时，直线l ⊥x 轴，此时四边形ABED 为矩形，由对称性，知AE ，BD 相交于FK 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.猜想：当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0. 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (a 2，y 1)，E (a 2，y 2)．首先证明当m 变化时，直线AE 过定点N .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消掉x ，得(a 2＋b 2m 2)y 2＋2mb 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.则Δ＝4a 2b 2(a 2＋m 2b 2－1)>0(a >1)，且y 1＋y 2＝－2mb 2a 2＋b 2m 2，y 1y 2＝b 2(1－a 2)a 2＋b 2m 2.又k AN ＝－y 1a 2－12－my 1，k EN＝－y 21－a 22，所以k AN －k EN ＝－y 1a 2－12－my 1－－y 21－a 22＝a 2－12(y 1＋y 2)－my 1y 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝a 2－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2mb 2a 2＋b 2m 2－m ·b 2(1－a 2)a 2＋b 2m 21－a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1 ＝2m (1－a 2)b 2－2m (1－a 2)b 2(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－my 1(a 2＋b 2m 2)＝0. 所以k AN ＝k EN .所以A ，E ，N 三点共线．同理可证B ，D ，N 三点共线．所以当m 变化时，直线AE ，BD 相交于定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22，0.。

高考数学总复习提素能高效题组训练6-4

[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年潍坊模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ≠y ，则下列四个式子中值最小的是( )A.1x ＋yB.14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1yC.12(x 2＋y 2)D.12xy解析：取特殊值检验易得出结果．如取x ＝12，y ＝1代入可得，C 选项的结果最小．答案：C2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案：B3．(2013年保定模拟)若a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为()A.3－1B.3＋1C．23＋2 D．23－2解析：∵a(a＋b＋c)＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4－23，且a＋b＞0，a＋c＞0，∴2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2(a＋b)(a＋c)＝24－23＝2(3－1)2＝2(3－1)(当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立)，∴2a＋b＋c的最小值为23－2，故选D.答案：D4．(2013年银川模拟)已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值是2；又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案：B5．(2013年皖北四市联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则a＋1c＋c＋1a的最小值为()A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：∵f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，∴a＞0且Δ＝4－4ac＝0.∴c＝1 a，∴a＋1c＋c＋1a＝a＋11a＋1a＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a≥4(当且仅当a＝1时取等号)，∴a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为4.故选A. 答案：A 二、填空题6．(2013年青岛模拟)已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －2＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________．解析：∵2m ＋4n ≥22m ·4n ＝22m ＋2n ，又m ＋2n ＝2， ∴2m ＋4n ≥222＝4，当且仅当m ＝2n 时“＝”成立．答案：47．(2013年天水模拟)若正实数a ，b ，c 满足：3a －2b ＋c ＝0，则acb 的最大值为________．解析：∵3a ＋c ＝2b ，a ，b ，c 为正实数， ∴2b ＝3a ＋c ≥23ac ，∴ac b ≤13＝33.答案：338．(2013年西安质检)已知a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由已知条件ln(a ＋b )＝0得a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋ b a ＋ab ≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝ab ，即a ＝b ＝12时取“＝”号，所以1a ＋1b 的最小值是4.答案：49．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析：由题意知：P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m ＞0，n ＞0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋4m 2≥16，⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 2＝4m 2，即m ＝2时，取等号，故线段PQ 长的最小值是4. 答案：4 三、解答题10．已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b .证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a b 2＋ba 2≥2ab 2·b a 2＝21ab ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21ab ·2ab ＝4. ∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b .当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a b 2＝b a2，a ＝b ，时，即a ＝b 时，不等式等号成立．11．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解析：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0， (1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ， ∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1，又x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18. 故x ＋y 的最小值为18.12．(能力提升)(2013年福州模拟)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？并求出此时商品的每件定价．解析：(1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解． ∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2.当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．[因材施教·学生备选练习]1．(2013年北京海淀模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析：由f (x )＞0得32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立， ∴k ＋1＜22，k ＜22－1.答案：B2．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P ＜QC ．P ≤QD ．P ＞Q解析：P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7) ＝12log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 6，Q ＝log 0.5a 3＋a 92＜log 0.5a 3a 9＝log 0.5a 6，所以P ＞Q . 答案：D3．(2013年北京西城模拟)在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线y ＝33x (x ≥0)和y ＝－3x (x ≥0)上运动，且△OAB 的面积为1，则点A ，B 的横坐标之积为________；△OAB 周长的最小值是________．解析：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，33x 1，B (x 2，－3x 2)．又∵k OA ·k OB ＝－1， ∴OA ⊥OB . ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12x 21＋13x 21·x 22＋3x 22＝1，化简得233x 1x 2＝1⇒x 1x 2＝32.设|OA |＝m ，|OB |＝n ，由题意可知mn ＝2，mn ≤(m ＋n )24. 当且仅当m ＝n ＝2时，(m ＋n )24＝2，∴m＋n＝2 2.|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝2，∴△OAB周长的最小值为2(1＋2)．答案：322(1＋2)。

人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(八) 1.4.3 含有一个量词的命题的否定探究导学课型 Word版含答案

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课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·安徽高考)命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是( )A.∀x∈R，|x|+x2<0B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+<0D.∃x0∈R，|x0|+≥0【解析】选C.命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|+<0”.2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为( )A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【解析】选C.p：∀n∈N，n2≤2n.【补偿训练】命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则p是( )A.有些三角形不是等腰三角形B.所有三角形是等边三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形【解析】选C. p是“所有三角形不是等腰三角形”.3.(2015·中山高二检测)已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+<0，命题q：∃x0∈R，sinx0-cosx0=，则下列判断中正确的是( )A.p是真命题B.q是假命题C.p是假命题D. q是假命题【解题指南】先判断p，q的真假，再得p，q真假，进而得结论.【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0，所以p是假命题，p为真命题.又sinx0-cosx0=sin≤，故q是真命题，q为假命题.所以选D.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015·烟台高二检测)已知命题p：∀x>2，x3-8>0，那么p是________.【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【解析】命题p为全称命题，其否定为特称命题，则p：∃x0>2，-8≤0.答案：∃x0>2，-8≤05.(2015·资阳高二检测)已知命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0.若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是________.【解析】因为若命题p：∃x0∈R，+ax0+a<0是假命题，则p是真命题，说明x2+ax+a ≥0恒成立，所以Δ=a2-4a≤0，解得0≤a≤4.答案：【补偿训练】(2014·烟台高二检测)已知命题p：任意x∈R，ax2-2x+3≥0，如果命题p 是真命题，求实数a的取值范围.【解析】因为命题p是真命题，所以p是假命题.又当p是真命题，即ax2-2x+3≥0恒成立时，应有解得a≥，所以当p是假命题时，a<.所以实数a的取值范围是.三、解答题6.(10分)写出下列命题的否定，并判断真假.(1)p：一切分数都是有理数.(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′.(3)r：若a n=-2n+10，则存在n∈N，使S n<0(S n是{a n}的前n项和).(4)s：∀x∈Q，使得x2+x+1是有理数.【解析】(1)p：存在一个分数不是有理数，假命题.(2)q：直线l垂直于平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直，假命题.(3)r：若a n=-2n+10，则∀n∈N，有S n≥0，假命题.(4)s：∃x0∈Q，使+x0+1不是有理数，假命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·天津高二检测)已知命题p：∀b∈.答案：(-∞，1]三、解答题5.(10分)已知函数f(x)=x2，g(x)=-m.(1)x∈，求f(x)的值域.(2)若对∀x∈，g(x)≥1成立，求实数m的取值范围.(3)若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，求实数m的取值范围.【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质，确定函数的单调性，从而可得函数的最值，即可求得函数的值域.(2)根据对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1，而g(x)在上单调递减，利用其单调性建立关于m的不等关系，即可求得实数m的取值范围.(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，从而建立关于m的不等式，由此可求结论.【解析】(1)当x∈时，函数f(x)=x2∈，所以f(x)的值域为.(2)对∀x∈，g(x)≥1成立，等价于g(x)在上的最小值大于或等于1.而g(x)在上单调递减，所以-m≥1，即m≤-.(3)对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)≤f(x2)成立，等价于g(x)在上的最大值小于或等于f(x)在上的最大值9，由1-m≤9，所以m≥-8.关闭Word文档返回原板块。

高考数学二轮1题型练2 选择题、填空题综合练(二)

题型练2选择题、填空题综合练(二)能力突破训练1.若全集为实数集R,集合M={x|x>1},N={x∈Z|0≤x≤4},则(∁R M)∩N=()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{2,3,4}2.(2021广西玉林高三模拟)已知z i+1=2i,则|z|=()A.√3B.√5C.1D.23.(2021广西河池高三期末)某几何体的三视图如图所示,记底面的中心为E,则PE与底面所成的角为()A.π3B.π4C.π6D.π24.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分为85,乙班学生成绩的中位数为83,则x+y的值为()A.9B.7C.8D.65.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2021河北邯郸高三三模)已知点P在直线x+y=4上,过点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则点M(3,2)到直线AB的距离的最大值为()A.√2B.√3C.2D.√57.已知实数x,y满足{x-2≥0,y-2≥0,x+y-8≤0,z=ax+by(a>b>0)的最大值为2,则直线ax+by-1=0过定点()A.(3,1)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-3,1)8.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是()A.17B.27C.37D.479.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列{S nn}的前11项和为() A.-45 B.-50C.-55D.-6610.已知P为椭圆x 225+y216=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.1511.已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π12.已知a>0,a≠1,函数f(x)=4a x+2a x+1+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=613.设α,β表示平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列说法:①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α;②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;③若l⊄α,A∈l,则A∉α;④若A,B,C∈α,A,B,C∈β,则α与β重合.其中,正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个14.a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,已知a (sin A+9sin B )=12sin A ,sin C=13,则△ABC 的面积的最大值为( ) A.1B.12C.43D.2315.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a 的值为 .16.已知直线y=mx 与函数f (x )={2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m 的取值范围是 .思维提升训练17.设集合A={x|x+2>0},B={x |y =√3-x },则A ∩B=( )A .{x|x>-2}B .{x|x<3}C .{x|x<-2或x>3}D .{x|-2<x<3}18.(2021广西河池高三期末)已知复数z=1+(a-1)i,a ∈R ,i 为虚数单位,则“a>0”是“复数z 在复平面内对应的点位于第一象限”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 19.(2021全国乙,文6)cos 2π12-cos 25π12=( ) A.12 B.√33C.√22D.√3220.(2021广西南宁高三一模)若实数x ,y 满足约束条件{x -y +2≥0,x -3≤0,x +y -3≥0,则z=x+y 的最大值为( ) A.3 B.5C.6D.821.若实数x ,y 满足|x-1|-ln 1y =0,则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )22.若函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象的一个对称中心为(π3,0),其相邻一条对称轴方程为x=7π12,该对称轴处所对应的函数值为-1,为了得到g (x )=cos 2x 的图象,则只需将f (x )的图象( ) A.向右平移π6个单位长度 B.向左平移π12个单位长度 C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π12个单位长度23.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A .2116 B .32 C .2516D .324.在△ABC 中,AC=√7,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( ) A .√32 B .3√32 C .√3+√62 D .√3+√39425.已知圆(x-1)2+y 2=34的一条切线y=kx 与双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)有两个交点,则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.(1,√3)B.(1,2)C.(√3,+∞)D.(2,+∞)26.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1=1,S 2=2,且S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,n ≥2),则此数列为( ) A .等差数列 B .等比数列C .从第二项起为等差数列D .从第二项起为等比数列27.一名警察在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁28.关于函数f (x )=sin |x|+|sin x|有下述四个结论:①f (x )是偶函数;②f (x )在区间(π2,π)内单调递增;③f (x )在区间[-π,π]上有4个零点;④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③29.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m 3.30.设F 是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的一个焦点.若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为 .31.已知曲线f(x)=ax e x在点(0,f(0))处的切线与抛物线y=x2-2x+4相切,则a=.32.在(2x2+x-1)5的展开式中,x3的系数为.答案：能力突破训练1.B解析:∵N={x∈Z|0≤x≤4},M={x|x>1},∴N={0,1,2,3,4},∁R M={x|x≤1}.∴(∁R M)∩N={0,1}.2.B解析:因为z i+1=2i,所以z=-1+2ii=2+i,所以|z|=√22+12=√5.3.A解析:由三视图可知该几何体的直观图如图所示﹐∠PEA为PE与底面所成的角.∵PA=√6,AE=√2,∴tan∠PEA=PAAE=√3,∴∠PEA=π3.4.C解析:由茎叶图可知甲班学生的总分为70×2+80×3+90×2+(8+9+5+x+0+6+2)=590+x,又甲班学生的平均分为85,所以总分为85×7=595,所以x=5.乙班学生成绩的中位数为80+y=83,所以y=3.所以x+y=8.5.A解析:关于p:不等式化为22x-2·2x+2-a<0,令t=2x,∵x∈[-1,2],∴t∈[12,4],则不等式转化为t2-2t+2-a<0,即a>t2-2t+2对任意t∈[12,4]恒成立.令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t∈[12,4]时,y max=10,所以a>10.关于q:只需a-2>1,即a>3.故p是q的充分不必要条件.6.D解析:设P(a,b),则a+b=4,以OP为直径的圆的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=14(a2+b2),与圆O的方程x2+y2=4相减,得直线AB的方程为ax+by-4=0.因为a+b=4,所以b=4-a ,代入直线AB 的方程,得ax+(4-a )y-4=0,即a (x-y )+4y-4=0,由x-y=0,且4y-4=0,解得x=1,y=1,所以直线AB 过定点N (1,1).所以点M 到直线AB 的距离的最大值即为点M ,N 之间的距离.又|MN|=√5,所以点M 到直线AB 的距离的最大值为√5. 7.A 解析:作出不等式组表示的可行域如图所示.将z=ax+by 化为y=-ab x+1b z. 因为a>b>0,所以-ab <-1.由图可知当直线y=-ab x+1b z 过点A 时,z 取最大值. 由{x +y -8=0,y -2=0,得A (6,2).所以z max =6a+2b=2,即3a+b=1. 所以直线ax+by-1=0恒过定点(3,1). 8.B 解析:由1≤f (x )≤2,得1≤log 2x ≤2, 解得2≤x ≤4.由几何概型可知P=27,故选B . 9.D 解析:因为a n =1-2n ,S n =n (-1+1-2n )2=-n 2,Snn =-n ,所以数列{S nn }的前11项和为11(-1-11)2=-66.故选D .10.B 解析:由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|+|PF 2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF 1|+|PF 2|-1-2=7.11.A 解析:由题意知☉O 1的半径r=2.由正弦定理知ABsinC =2r , ∴OO 1=AB=2r sin60°=2√3, ∴球O 的半径R=√r 2+|OO 1|2=4. ∴球O 的表面积为4πR 2=64π.12.B 解析:f (x )=4a x +2a x +1+x cos x=3+a x -1a x +1+x cos x ,设g (x )=a x -1a x +1+x cos x ,则g (-x )=-g (x ),函数g (x )是奇函数,则g (x )的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x ≤1时,设-m ≤g (x )≤m ,则3-m ≤f (x )≤3+m ,∴函数f (x )的最大值M=3-m ,最小值N=3+m ,得M+N=6,故选B . 13.A 解析:①正确;②α,β可能重合,故②错误;③当l ∩α=A 时,A ∈l ,A ∈α,故③错误;④当A ,B ,C 共线时,α,β可能相交,故④错误.故选A .14.D 解析:因为a (sin A+9sin B )=12sin A ,所以a (a+9b )=12a.又a>0,所以a+9b=12≥2√9ab 当且仅当a=9b ,即a=6,b=23时,等号成立,所以ab ≤4,所以△ABC 的面积的最大值为12×4×13=23.15.32 解析:第一次循环,输入a=1,b=2,判断a ≤31,则a=1×2=2; 第二次循环,a=2,b=2,判断a ≤31,则a=2×2=4; 第三次循环,a=4,b=2,判断a ≤31,则a=4×2=8; 第四次循环,a=8,b=2,判断a ≤31,则a=8×2=16; 第四次循环,a=16,b=2,判断a ≤31,则a=16×2=32; 第五次循环,a=32,b=2,不满足a ≤31,输出a=32. 16.(√2,+∞) 解析:作出函数f (x )={2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0的图象,如图.直线y=mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m ≤0时,直线y=mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx 始终与函数y=2-(13)x(x ≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx 与函数f (x )的图象有三个公共点,必须使直线y=mx 与函数y=12x 2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=12x 2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x 2-2mx+2=0的判别式Δ=4m 2-4×2>0,解得m>√2.故所求实数m 的取值范围是(√2,+∞).思维提升训练17.D 解析:由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A ∩B={x|-2<x<3},故选D . 18.B 解析:若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限,则a-1>0,即a>1.因为“a>0”是“a>1”的必要不充分条件,所以“a>0”是“复数z 在复平面内对应的点位于第一象限”的必要不充分条件.19.D 解析:原式=cos 2π12-cos 2(π2−π12)=cos 2π12-sin 2π12=cos π6=√32. 20.D 解析:作出不等式组{x -y +2≥0,x -3≤0,x +y -3≥0表示的可行域如图所示.由{x -3=0,x -y +2=0,解得{x =3,y =5,即点A (3,5).平移直线z=x+y ,当直线z=x+y 经过点A 时,z 取得最大值,所以z max =3+5=8. 21.B 解析:已知等式可化为y=(1e )|x -1|={(1e )x -1,x ≥1,(1e )-(x -1),x <1,根据指数函数的图象可知选项B 正确,故选B .22.B 解析:依题意,函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点(π3,0),(7π12,−1), 则A=1,14·2πω=7π12−π3,解得ω=2.所以f (π3)=sin (2π3+φ)=0, 所以φ=-2π3+k π(k ∈Z). 又|φ|<π2,所以φ=π3.所以f (x )=sin (2x +π3).所以把f (x )=sin (2x +π3)的图象向左平移π12个单位长度,可得y=sin (2x +π3+π6)=cos2x 的图象,即得到g (x )=cos2x 的图象.23.A 解析:如图,取AB 的中点F ,连接EF.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2-(AE ⃗⃗⃗⃗⃗-BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )24=(2FE⃗⃗⃗⃗⃗ )2-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 24=|FE⃗⃗⃗⃗⃗ |2-14. 当EF ⊥CD 时,|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值.过点A 作AH ⊥EF 于点H ,由AD ⊥CD ,EF ⊥CD ,可得EH=AD=1,∠DAH=90°. 因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°. 在Rt △AFH 中,易知AF=12,HF=14, 所以EF=EH+HF=1+14=54.所以(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =(54)2−14=2116.24.B 解析:设AB=a ,则由AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC cos B 知7=a 2+4-2a ,即a 2-2a-3=0, ∴a=3(负值舍去).∴BC 边上的高为AB·sin B=3×√32=3√32. 25.D 解析:由已知得√k 2+1=√32,解得k 2=3. 由{y =kx ,x 2a 2-y 2b 2=1,消去y ,得(b 2-a 2k 2)x 2-a 2b 2=0,则4(b 2-a 2k 2)a 2b 2>0,即b 2>a 2k 2. 因为c 2=a 2+b 2,所以c 2>(k 2+1)a 2. 所以e 2>k 2+1=4,即e>2.故选D .26.D 解析:由S 1=1得a 1=1,又由S 2=2可知a 2=1.因为S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2), 所以S n+1-S n -2S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2),即(S n+1-S n )-2(S n -S n-1)=0(n ∈N *,且n ≥2),所以a n+1=2a n(n∈N*,且n≥2),故数列{a n}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.27.B解析:因为乙、丁两人的观点一致,所以乙、丁两人的供词应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话,由乙说真话推出丙是罪犯;由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,矛盾.所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙的供词内容可以断定乙是罪犯.28.C解析:因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确;当π2<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确.综上可知①④正确,故选C.29.2解析:由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的底为2,高为1,因此该四棱锥的体积为V=13×(2×1)×3=2.故答案为2.30.√5解析:不妨设F(c,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B(0,b),依题意得点P为(-c,2b),又点P在双曲线上,所以(-c)2a2−(2b)2b2=1,得c2a2=5,即e2=5,因为e>1,所以e=√5.31.2或-6解析:∵f(x)=ax e x,∴f'(x)=a e x+ax e x,∴曲线f(x)=ax e x在点(0,f(0))处的切线的斜率为k=f'(0)=a.又切点为(0,0),∴切线方程为y=ax.由{y=ax,y=x2-2x+4,得x2-(2+a)x+4=0,∴Δ=(2+a)2-16=0,解得a=2或a=-6.32.-30解析:(2x2+x-1)5=[2x2+(x-1)]5,故T r+1=C5r(2x2)5-r(x-1)r,因为要求x3的系数,所以r=4或5.当r=4时,x3的系数为C54·2·C43·(-1)3;当r=5时,x3的系数为C55·C52·(-1)2.所以x3的系数为C54·2·C43·(-1)3+C55·C52·(-1)2=-40+10=-30.。