2 质心 质心运动定理
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物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
高中二物理竞赛质心,质心运动定理课件
质点系的动量
v p
=
v m1v1v+
v m2v 2
+ v
L
+
v mnv n
v
= =
m1 d dt
dr1 + dt v (m1r1
m2
dr2 dvt
+ m2r2
+L+ +L+
mnvddrtn mnrn )
y
m1
m2
mi
质点系的总质量
O
x
m = m1 + m2 + L + mn
z
3
设想质点系的全部质量和动量都集中在一个点C
m'vC = mivi = pi
nv
再对时间
t
i =1
i =1
求一阶导数，得
v m'aC
=
d( pi )
i =1
dt
14
根据质点系动量定理
nv
n
v dpi
i=1 dt
=
nv Fi e x
i =1
（因质点系内 Fiin = 0 ）
v F ex
i =1v = m' dvC
dt
v = m'aC
n
mi xi
xC
=
i =1
m'
n
mi yi
yC
=
i =1
m'
n
mizi
zC
=
i =1
m'
➢对质量连续分布的物体：
xC
=
1 m'
xdm，yC
=
1 m'
高二物理竞赛课件：质心与质心运动定理
解：根据题意可知，油灰球m的黏附M过程，系统动量守恒, 设黏附后，二者的速度为v
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
Mv0＝(M+m)v
若要在A处使物体脱离球面，则必须满足
M mv2 / R M mg
因此，油灰的速度至少应为
v0 M m Rg / m
质心的计算：
rC
mi ri
i
m
mi xi
mi yi
mi zi
xC
方向: 沿r p方向
L
Or
v
d m
质点的角动量定理与角动量守恒定律
F
dp
r
dt F
r
dp
d (r
p)
dr
p
dr
p
v
dt
mv
0
dt
dt
dt
M
dL
——角动量定理的微分形式
dt
t
t0 Mdt L L0 ——角动量定理的积分形式
若M 0
L L0 ——角动量守恒定律
➢ 动量守恒与角动量守恒：角动量守恒，动量未必守恒。
质心与质心运动定理
质心
质心的定义：由下式决定的位置矢量
rC
所对应的
点 C，称为质点系的质心： z
rC
mi ri
i
m
C
rC
O
y
x
例，在地面上固定一个半径为R的光滑球面，球面正上方A处放 一个质量为M的滑块，一个质量为m的油灰球以水平速度v0 射向
滑块，并黏附在滑块上，问欲使二者在A处脱离球面，问油灰球 的入射速率至少为多少？
y M
ms M (s l / 2)
xC2
mM
l
由 xC1 xC2 得：
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
质心与质心运动定律
质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。
《理论力学》第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
26
3、求质心加速度
aC
aB
aCt B
aCnB
4、质心运动定理求约束力，受力分析
ma Cx FixE FA sin450 maCy FiyE FB mg FA cos 450
O
450
1m
A
C
vB
aB
450
B
FA
A
mg
x
FB
C
450
B
★理论力学电子教案
0
px const
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
18
例题 图示机构，均质杆OA长l，质量为m1，滑块A的质量为m2， 滑道CD的质量为m3。OA杆在一力偶（图中未画出）作用下作 匀角度ω转动。试求O处的水平约束反力（机构位于铅直平面
内，各处摩擦不计）。 C
A
O
E
D
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
第10章 质心运动定理
27
ma A
第10章 质心运动定理
14
M
C aC mg
FN
F
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
§2 质点系动量、冲量
质点动量： 质点系动量：
p mv
P mivi mvC
问：刚体系动量？
元冲量：
dI F dt
冲量：
t2 t2
I dI F dt
t1
t1
15
p mv
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
1
第十章 质心运动定理&动量定理
★理论力学电子教案
第10章 质心运动定理
高二物理竞赛质心与质心运动定理课件
5003
x 1.5103 N
§4-1 动量守恒定律
[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小
车质量为M、长为 l ，求人和车各移动了多
少距离?(不计摩擦)
解： 水平方向上车和人系统动量守恒
设分车别和为人V和相对v 地 面速度
MV mv 0
m v
V
M
即
V
m
v
M
X x
§4-1 动量守恒定律
mi ri
i
m
x
mi zi
zc
i
m
zc
zdm m
§4-1 动量守恒定律
[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点
解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为
建立如图的坐标系
取线元dx
l 2
质量 dm dx m dx
dm l 2
O x dx x
l
xC
1 m
xdm 1
l
m
l2 m
xdx 0
R sinRd
yC 0 R 2R
m R
y
dl
R d
O
x
质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确
定的
yC
ydl
m
§4-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t v dt M m x
v
0
M0
M
x M l M m
V
M
X
l
x
m M
m
x 1.5103 N
§4-1 动量守恒定律
[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小
车质量为M、长为 l ，求人和车各移动了多
少距离?(不计摩擦)
解： 水平方向上车和人系统动量守恒
设分车别和为人V和相对v 地 面速度
MV mv 0
m v
V
M
即
V
m
v
M
X x
§4-1 动量守恒定律
mi ri
i
m
x
mi zi
zc
i
m
zc
zdm m
§4-1 动量守恒定律
[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点
解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为
建立如图的坐标系
取线元dx
l 2
质量 dm dx m dx
dm l 2
O x dx x
l
xC
1 m
xdm 1
l
m
l2 m
xdx 0
R sinRd
yC 0 R 2R
m R
y
dl
R d
O
x
质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确
定的
yC
ydl
m
§4-1 动量守恒定律
人相对于车的速度为
v'
v
V
M
m
v
M
V
m
v
M
设人在时间 t 内走到另一端
l t v'dt M m t v dt M m x
v
0
M0
M
x M l M m
V
M
X
l
x
m M
m
质心与质心运动定理
xc
mi xi
i 1
N
m
同理对 y 和 z 分量
m1
l1
r1
rc
l2
m2
r2
m1 (rc r1 ) m2 (r2 rc )
m1l1= m2l2
m1 r1 m2 r2 rc m1 m 2
O
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
质心运动定理
一 、质心(center of mass)
N个粒子系统，可定义质量中心
z
mi
rc
ri
y
rc
m i ri
N i 1 N
mi
i 1
m i ri
N i 1
x
m
1.质心位置与坐标系的选择有关，但质 心相对质点系是一个特定的位置。 2.外力作用在质心上，质点系内各质点 的运动状态相同
dt
dt
1.内力不改变质心的运动状态，但可以改变各质点的运动状态 如炮弹爆炸时，质心轨迹为抛物线
2.质点系所受合外力为零，则动量守恒，此时质心的速度不变
i
质心的运动只与系统所受的合外力相关
drc d ri 质点系的总动量 m m i v i dt dt dv c dP总 mv c mi v i m P总
m ac F
F外 mac
rc
xc
r dm m xdm
m
Z
Y
r
O
X
dm
例： 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心
解：1、建立坐标系 2、取微元dx dm=dx, 坐标为x
0
§2-4质心 质心的运动定律
m1v1x m2v2 x mn vnx =常量
m1v1 y m2v2 y mn vny =常量
m1v1z m2v2 z mn vnz
=常量
太原理工大学物理系
例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面 上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们 将在何处相遇？
y
o
解：
l
x
人和船组成系统，水平方向上不受外力。原来质 心静止，在人走动过程中质心始终静止，因而质 心的坐标值不变。 太原理工大学物理系
m1 x1 m2 x2 当人站在船的左端时 xc m1 m2 m1 x'1 m2 x'2 当人站在船的右端时 x'c m1 m2
m1x1 m2 x2 m2 x2 xc xc y x 1 x l d x x
m2 O m1
x
解 把两个小孩和绳看作一个系统，系统在水平 方向不受外力作用，水平方向质心速度不变。开 始时质心静止，两个孩子在运动过程中质心的位 置始终不变，所以在质心处相遇。
太原理工大学物理系
m2 O
C
m1
x20
xC
x10
x
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
在初始位置时，取 x20 0
F Mac 质心运动定理
质心的运动只由合外力决定，内力不能改变质 心的运动情况。
太原理工大学物理系
质心处的质点（质点系总质量）代替质点系 整体的平动.
4.合外力为零时质心的运动 如果系统所受的外力之和为零
由质心运动定理 F Ma c 得到 ac 0
Fi 0
太原理工大学物理系
2_2_2质心质心运动定理
2-2-2 质心和质心运动定理 3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律 第二章 对称性与守恒定律
对于N个质点组成的质点系： 对于 个质点组成的质点系： 个质点组成的质点系
m , m2 ,L, mi ,LmN 1
r r r r r , r2 ,L, ri ,LrN 1
直角坐标系中
R
Y
X
O
d m = ρπ R − y d y
2 2
(
)
yc
∫ ydm =
m
2-2-2 质心和质心运动定理 3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律 第二章 对称性与守恒定律
yc
∫ ydm =
∫ =
R
m
0
yρπ R2 − y2 ) d y ( ρ2π R /3
3
∫ (R =
L L
2-2-2 质心和质心运动定理 3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律 第二章 对称性与守恒定律
r r r r 对于内力 f12 + f21 = 0,L fin + fni = 0,L , r r r r ∴∑mi ai = ∑Fi r ∑Fi = ∑Fi r ac = r ∑mi ai M ∑mi ac = 质心运 ∑mi 动定理 r r ∑F = Mac i
2-2-2 质心和质心运动定理 3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律 第二章 对称性与守恒定律
例题3 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 例题3-7求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称， 解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称， 所以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐 所以质心位于此分角线上。以此分角线为x 标轴如所示。 在离原点处取宽度为dx的面积元， dx的面积元 标轴如所示。 在离原点处取宽度为dx的面积元，由 于面积元的高度为2y 所以其面积为2ydx=2xdx 2y， 2ydx=2xdx。 于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设 薄板每单位面积的质量为 σ ，则此面积元的质量
__3.3 质心 质心运动定理
同理， 同理，
例1 已知一半圆环半径为 R，质量为 。 ，质量为M。 它的质心位置。 质心位置 求 它的质心位置。 解 建坐标系如图 取 dl
y
dθ
M dl = Rdθ dm= Rdθ dm = λdl πR x = Rcosθ y = Rsinθ
yc
dm
θ
∫ ydm = ∫ =
M
π
0
M Rsinθ dθ 2R π = (< R) M π
1. 质心速度与质点系的总动量 质心速度与质点系的总动量
r rc = r ∑ mi ri
i
∑m
i
i
v v dr v υ c = c = ∑ miυ i dt i
v ∑ mi = P m
i
r v P = mυc
v
r v P = ∑ miυi
i
mυ c
C
m
2. 质心运动定理 质心运动定理 运动定理——质点系的动量定理 质点系的动量定理 v v v dυ c v v F外 ac = = ∑ mi ai ∑ mi = F外 m dt i i
dυc r =m ＝mac dt
v
r r dP F外 = dt
∫
t2
t1
r r P r F外 dt = ∫ r dP P0
讨论
r F外
1）质心运动定理（质点系动量定理） ）质心运动定理（质点系动量定理） 微分形式和积分形式： 微分形式和积分形式： r r r dP r r t2 r = mac （F外 = ） ∫ F外dt = P P0
(1)
( 2)
m X = l (1 cosθ ) M +m
课后问题： 课后问题： 选一个参考系， 选一个参考系，使得质心在此参考系中 那么质点系的总动量恒为零， 静 止，那么质点系的总动量恒为零， 这说法正确吗？ 这说法正确吗？
质心 质心运动定理
求: 它的质心位置。
y
d
C 0.64R
dm
x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R
x R cos y R sin
M d 0.
R sin 0 M
xc
x dm
M
R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc
rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c
y
d
C 0.64R
dm
x
解: 建坐标系如图
取 dl
o
M M Rd d dm dl R
x R cos y R sin
M d 0.
R sin 0 M
xc
x dm
M
R cos 0 M
说明: 质点系动量等于总质量与质心速度的积
dP 质点系动量定理 F外 d t
2. 质心的加速度及其动力学规律
质点系动量 P mv c 说明: (1)质心运动状态只取决于外力，与内力无关 (2)若 F外 0 则 ac 0 vc 常矢量
dvc F外 m mac dt
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass) 质心位矢 坐标
xc
rc
mi r i m
i i
z
mi
mx
ri
rc
r1
m1
m2
yc
m mi y i
o
y
m
i i
zc
mz m
x
对于质量连续分布的系统 rc
rdm m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
M
d 0
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass) 1. 质心的速度 dri m dr i miv i d mi ri c d t ( ) vc m dt m m dt mv c mi v i P 质点系动量 P mv c
2_9质心与质心运动定理
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x
a
0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i
质心质心运动定理
第五章质心刚体质心运动定理ca m F v v =合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。
牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体m1l5.1.2 质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。
在质心系中质心静止==c c v r v v常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。
质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
质点系的动量质点系的动量等于质心的动量c p p v v =质点系相对质心的动量总是为零0=′=′∑ii i v m p vv 质点系中各质点m i 相对质心的运动),(i i v r ′′v v m iO Ci r ′v ir v Cr v 在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系核反应中的资用能质点系的角动量i c i i c i v v v r r r ′+=′+=v v v v v v ,∑×=iii i v m r L v v v ∑∑∑∑′×′+×⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+⎟⎠⎞⎜⎝⎛′×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=i i i i c i i i i i i c c i i c v m r v r m v m r v m r L v v v v v v v v v ∑′×′=′×=′+=ii i i c c c c v m r L v m r L L L L vv v v v v v v v , ,质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点m iOCi r ′v ir v Cr v 其中5.1.3 质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ci a m v −在质心系中质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。
质心-质心运动定理
质心 质心运动定理
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
一、 质心(the center of mass)
质心位矢
rc
mir i m
坐标
xc
mi
x i
m
yc
mi
y i
m
z
ri
o x
mi
rc
m2
m1 r1
y
zc
mi zi m
对于质量连续分布的系统
rc
rdm
m
例: 已知一半圆环半径为 R，质量为m ，
y
d
求: 它的质心位置。 解: 建坐标系如图 取 dl
dm
dl
M
R
Rd
M
d
C dm
0.64R
o
x
x Rcos y Rsin
yc
ydm
Rsin M d
0
0.64R
M
M
xc
xdm
R cos M d
0
0
M
M
二、质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)
1. 质心的速度
vc drc d (
解:炮弹炸裂前后所受外力始终是重力,所以炮弹炸裂
对质心运动没有影响, m1和m2落地时, 炮弹的质心坐标
为 xc= 2R0
y
由 xc
mi xi 得
mi
o
m1x1 m2 x2 m1 m2
2R0
m1 m2 炮弹质心轨迹
x1=R0 xc=2R0
x x2=?
将 x1 = R0
代入得 x2 = 5R0
miri )
mi
dri dt
03-4质心和质心运动定理
3-2 质心和质心运动定理 ——基于整体运动的视角 基于整体运动的视角—— 基于整体运动的视角
牛顿定律只适用于质点
v v F = ma
由于质点系中各质点的运动情况各不相同， 由于质点系中各质点的运动情况各不相同，加速度也 不尽相同， 不尽相同，所以质点系的运动情况不能简单地等效成
v v F外 = mac
但对质点系而言， 但对质点系而言，确 实存在一个特殊的点， 实存在一个特殊的点， 能够使上式成立
当球棒从手中抛出后， 当球棒从手中抛出后，球棒在做上抛运动的同时还在 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂， 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂，但球棒上有 一点的运动却简单得象一个质点一样， 一点的运动却简单得象一个质点一样，沿抛物线的轨 迹运动
v d v v v (m1r1 + m2r2 + L + mn rn ) = ∑ Fi外 dt 2
质点化” 如何使质点系的运动规律 “质点化”呢？
2
v v v v d m1r1 + m2r2 + L + mn rn (m1 + m2 + L + mn ) 2 ( ) = ∑ Fi外 m1 + m2 + L + mn dt
跳水者不管在空 中作多复杂的动 作，其质心仍然 是沿抛物线运动
例1 一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个 一炮弹在轨道最高点炸成质量比 的两个 碎片。其中m 自由下落， 碎片。其中 1自由下落，落地点与发射点的水平距离 继续向前飞行， 同时落地。 为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻 的落地点。 力，求m2的落地点。
这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？ 这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？
牛顿定律只适用于质点
v v F = ma
由于质点系中各质点的运动情况各不相同， 由于质点系中各质点的运动情况各不相同，加速度也 不尽相同， 不尽相同，所以质点系的运动情况不能简单地等效成
v v F外 = mac
但对质点系而言， 但对质点系而言，确 实存在一个特殊的点， 实存在一个特殊的点， 能够使上式成立
当球棒从手中抛出后， 当球棒从手中抛出后，球棒在做上抛运动的同时还在 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂， 旋转，这时球棒上各点的运动比较复杂，但球棒上有 一点的运动却简单得象一个质点一样， 一点的运动却简单得象一个质点一样，沿抛物线的轨 迹运动
v d v v v (m1r1 + m2r2 + L + mn rn ) = ∑ Fi外 dt 2
质点化” 如何使质点系的运动规律 “质点化”呢？
2
v v v v d m1r1 + m2r2 + L + mn rn (m1 + m2 + L + mn ) 2 ( ) = ∑ Fi外 m1 + m2 + L + mn dt
跳水者不管在空 中作多复杂的动 作，其质心仍然 是沿抛物线运动
例1 一炮弹在轨道最高点炸成质量比m1:m2=3:1的两个 一炮弹在轨道最高点炸成质量比 的两个 碎片。其中m 自由下落， 碎片。其中 1自由下落，落地点与发射点的水平距离 继续向前飞行， 同时落地。 为R0，m2继续向前飞行，与m1同时落地。不计空气阻 的落地点。 力，求m2的落地点。
这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？ 这个在质点系上的特殊点是什么，它又在哪里？
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将质心的位置矢量 rC 对时间t求导，可得出
质心运动的速度为
dri m drC i dt vC dt m
mi v i m
由此可得
mvC mi vi
上式等号右边就是质点系的总动量
p mv C
即：质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动 速度的乘积。
质心、质心运动定理
质心 质心运动定理
一．质心
当我们把一匀质薄三角板斜 向抛出时，它的空间运动很 复杂，但实际观测表明，在 薄板上有一点C仍然在作抛 物线运动。C点的运动规律 就象把薄板的质量都集中在 C点，全部的外力也象时作 用在C点一样。这个特殊点C 就是质点系统的质心。
2
质心运动定理 证明： 质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的动速度的乘积。
根据牛顿第二定律的微分形式
dp dv C F m ma C dt dt
上式表明无论质点怎样运动，质点系的总质量与质心加速 度的乘积总等于质点系所受全部外力的矢量和，这就是质 心运动定理。它对刚体同样适用。
4