函数性质综合应用专题

函数及其性质专题

A 组题

1. 已知函数()133x

x f x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

，则()f x （ ）

A. 是奇函数，且在R 上是增函数

B. 是偶函数，且在R 上是增函数

C. 是奇函数，且在R 上是减函数

D. 是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A

【解析】()()113333x

x x x f x f x --⎛⎫

⎛⎫-=-=-=- ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13x

y ⎛⎫= ⎪⎝⎭

是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.

2.函数33()11f x x x =++-，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ）

A ．(,())a f a --

B ．(,())a f a -

C ．(,())a f a -

D ．(,())a f a --- 【解析】可验证函数()f x 满足()()f x f x -=，()f x 是偶函数，故选B . 3.已知函数21,0

()cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩

≤，则下列结论正确的是（ ）

A ．()f x 是偶函数

B ．()f x 是增函数

C ．()f x 是周期函数

D ．()f x 的值域为[)1,-+∞

【解析】当0x ≤时，()cos [1,1]f x x =∈-，当0x >时，),1(1)(2

+∞∈+=x x f ，故选.D 4.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是（ ）

A ．增函数且最小值是-5

B ．增函数且最大值是-5

C ．减函数且最大值是-5

D ．减函数且最小值是-5

【解析】奇函数图像关于原点对称，故由题()f x 在[7,3]--上递增，故在[7,3]--上， min ()(7)(7)5f x f f =-=-=-，故选.A

5.若函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1,(2)2f f ==，则(3)(4)f f -=( ) A.1- B.1 C. 2- D. 2

【解析】因为函数()f x 是R 上周期为5的奇函数，所以(3)(4)(2)(1)(1)f(2) 1.f f f f f -=---=-=-故选.A 6.函数f (x )＝lg|sin x |是( )

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为2π的奇函数

C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为2π的偶函数

【解析】当,x k k Z π≠∈时，()()f x f x -=且()lg |sin()|lg |sin |()f x x x f x ππ+=+==，故选.C

7. 已知函数f (x )恒满足()(2)f x f x =-，且当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f 1

()2

- ，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系( )

A ．c >a >b

B ．c >b >a

C ．a >c >b

D ．b >a >c

【解析】()(2)f x f x =-()f x ⇒图象关于直线1x =对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立说明()f x 在(1,)+∞上单减，故5

1()()()(2)22

f e f f f <=-<，故选.D

8. 设函数()10{ 20x x x f x x +≤=>，，，，则满足()112f x f x ⎛

⎫+-> ⎪⎝

⎭的x 的取值范围是__________。

【答案】(-

1

4

， ∞+ ) 【解析】由题意得： 当12x >时， 1

2221x x

-+>恒成立，即12x >；当102x <≤时， 12112

x x +-+> 恒成立，

即102x <≤；当0x ≤时， 1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤.综上，x 的取值范围是1,4⎛⎫

-+∞ ⎪⎝⎭

.

9.若函数2

()(36)log

a

f x ax a x =

-+-在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 .

【解析】设236u x ax a =-+-，因为外函数log a y u =是单调函数，故内函数236u x ax a =-+-在[2,)+∞

上单增，应有1

22(2)20

a a u a >⎧⎪⎪

≤⎨⎪=->⎪⎩，解得24a <≤.空填24a <≤.

10.设函数))((R x x f ∈满足x x f x f sin )()(+=+π，当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)6

23(

π

f . 【解析】由题(2)()sin()()sin sin()()f x f x x f x x x f x ππππ+=+++=+++=，故 =)623(

πf 23(4)6f ππ-511

()()sin()0.66622f f πππ=-=--=+=

11.二次函数()y f x =的图象与函数2

1y x =-的图象关于点(1,0)成中心对称. （1）求函数()f x 的解析式；

（2）是否存在实数,m n ，满足()f x 定义域为[,]m n 时，值域亦为[,]m n ，若存在，求出,m n 的值；若不存在， 说明理由.

【解析】（1）设(,())A x f x ，则点A 关于点(1,0)的对称点(2,())x f x --在函数2

1y x =-图象上， 故2

()(2)1f x x -=--，得2

()43f x x x =-+-.

（2）2

()(2)11f x x =--+≤，假设存在满足条件的,m n ，则1n ≤，则()f x 在[,]m n 上单调递增，