曹培英老师 数学 跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之一(数感)
新课标体会《深度解读,走出误区
深度解读走出误区正月十七日下午由来自上海市静安区教育学院的曹培英教授进行《跨越断层，走出误区：数学课程标准若干核心词的实践研究》的数学专题讲座。
他分析了数学教学理论与实践出现脱节、断层的原因，提出了教学结果与教学过程并重的观点，并就数学的运算能力、应用意识、核心词的演变、数感以及符号意识进行了认真的剖析，对教师在日常教学中容易犯的错误进行纠正，对数学新课程标准的变化进行讲解。
在对“数感”的解读中，曹教授指出：纵观我们的数学教学，数感培养从来存在，提出来是为了让我们在工作中，做到从自发走向自觉。
在以往的教学策略中，我们在数概念教学、计算教学、解决实际问题等相关教学中都能做到很好的培养孩子的数感。
也就是说：数感首先是数出来的；并且，读数可以读出数感，写数可以写出数感，数感还应该是算出来的、估出来的、用出来的。
曹教授尤其指出：作为教师，我们自己首先要务必理清数感与量感的联系与区别，虽然数总以特殊的量为载体，但是，一定要排除量的负面干扰，关注最直接的数感的培养。
这一点，让我们深思。
只有认识了数感的本来面目，就不难跨越理论与实践的断层，数感的建立、发展与练习巩固，就显的十分平常，相应的教学措施也就不必煞费苦心，另辟蹊径了。
在对“符号意识”的解读中，曹教授要求我们：首先应该让孩子亲近符号，理解、接受符号。
在这一板块中，曹教授对于“+”、“-”、“×”、“÷”四种运算符号的形象性教学建议，对于“=”、“＞”、“＜”、“≈”、“≠”等关系符合的联系性教学建议，都令我们很自觉的进行反思：教学时，我们应怎样把数学的科学性，符号的“形象性、简缩性、约定性”，和教学的生动性、有效性，三者之间有机的结合起来呢？在“数据分析观念”中，曹教授指出统计活动的统计味亟待增强，应重视统计数据的分析过程，也就是说，数据分析是统计的核心，数据中蕴含着很多信息，但图的直观性也可能产生误导。
我想：时代在前进，教材在更新，学生在成长，唯一不变的，是我们教师要有一颗不断探索的心，我们要不断的去探索，我们可以用怎样的形式和方式，让我们的孩子快乐的学习数学、爱上数学、会用数学，进而用数学收获成长，用成长去幸福他们的人生。
读《跨越断层,走出误区》
读《跨越断层，走出误区》近段时间，认真研读了曹培英老师编著的《跨越断层，走出误区》一书。
这本书分十二个章节，结合教学实践和课堂观察研究，对数学课程标准中的十个核心词进行了实践性的解读。
曹老师说：十多年来，小学数学课程教学改革取得了长足的进步，但由于一些方面的理论指导和实践操作的脱节，误区也绝非个别。
因此，直面问题，澄清模糊意识，扭转偏颇取向，十分必要。
边读边思中发现，自己对是的核心词原本就是只知皮毛而已，比如若问我：什么是数感？怎样培养学生的数感？我会一片空白，不可置否。
细细研读《跨越断层，走出误区》中的每一段阐述，分析“陷入误区的实践案例”，琢磨数感的培养：“数、读、看、推、算、估、用”，真是茅塞顿开，大有裨益。
正如作者所说：一旦认识了数感的本来面目，就不难跨越理论与实践的断层，数感的建立、发展与联系巩固，就显得十分平常，相应的教学措施也就不必煞费苦心，另辟蹊径了。
由此我想：在教学中要培养学生的数感、符号意识等等，教师首先要真正的理解这些核心词，也就是认识它们的本来面目。
于是我认真阅读每一章节，在拨云见日豁然开朗的同时，也引起了一些新的思考，发现了教学中的一些新的问题。
就以“数据分析观念”为例来说说自己的一些收获。
课程标准2011版将“统计观念”修改为“数据分析观念”，就这一改变意味着什么？多少老师注意到了这样的改变？我们的教学实践跟得上这个改变了吗？回顾自己的课堂教学与课堂观察，觉得欠缺的还是很多。
首先对数据分析观念的几层含义就没有真正的理解掌握。
课程标准（2011版）这样描述：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》
读书交流近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》。
曹老师这本书非常适合专业知识不足的数学教师细读，作为一名青年数学教师，读起曹老师的这本书感觉有些吃力，里面的有些内容有所不理解，但是读书如用餐，细嚼慢咽后方觉其中的美妙滋味。
以下是我读完曹老师这本书后的一点感悟：一、什么是十大“核心词”作为初入教育行业的我而言，刚刚知道数学课标里居然有十个核心词时真的特别惊讶，核心词居然有这么多？教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的十大核心词分别是：“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
”核心词确实是有点多，但仔细看来，每个核心词都是不可或缺的。
任意拿出一个核心词，脑海中联想其相关知识或是教学案例后，我深感自己专业知识的匮乏。
反复学习、领会课标中的十大核心词对教师的专业成长有着十分重要的意义。
二、十大“核心词”的解读1.数感。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
”教师想要培养学生的数感，自己必须真正地、深入地解读数感。
但有关“数感”过于学术性的阐述又让人读起来吃力。
因此当看到曹老师在书中提到的：“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境，解释数和应用数的意识与能力。
”，我的内心好像被什么东西触动了一下，现在也无法用文字表达出自己的感受，只觉得头脑关于数感的认知中突然明朗了。
读到曹老师关于数感的介绍后，回想自己教授《千以内数的认识》这节数学课时，真的是掉入了误区--将“数感”与“量感”相混淆。
那到底该如何培养学生的数感呢？曹老师在书中为我们介绍了这几种方法：“数”出数感、“读”出数感、“看”出数感与“推”出数感、“算”出数感与“估”出数感、“用”出数感。
《跨越断层-走出误区》学习心得 -
小结
“常 识”
落实课标，有效教学的“秘诀”：
两个解读（“吃透”）与教学经验、智慧有机融合，
厚积薄发。
“吃透教材”＝学科知识＋解读文本的智慧
“吃透学生”＝学生知识＋解读学生的智慧
智慧是由经验凝聚而成的。
在纷繁复杂的教育术语面前， 在眼花缭乱的教学口号面前， 我们要始终敢说： 不要以为你穿了马甲
我就不认识你了！
数学就是研究数量关系与空间形式的科学。 数量关系就是加减乘除的各种关系演变，比如除法、 分数、比、百分数之间 着非常紧密的联系与关系，都 是除法的拓展延伸，相互都可以转化。对于这些东西 有些自己深刻地理解以后，对于学生的学习才会有更 好的方法与解释。所以首先老师对教材对内容和思想 清晰了，才可以走出误区，把学生教得更灵活透彻。 不管核心词怎么发展与演变，我们只要把握住核心， 就不必在乎名称的不同而已。
书中对于数学的实例举证让我印象深刻， 从千字文的教学中让我们明白怎么走出误区， 怎样才是真正地数感培养，怎样去展开教学才 是实际有效的，让我们少走弯路。
通读全书，每一个章节都是站在课程标准的高度， 结合教学的实践进行剖析和阐述，很多鲜活的例子确 实让我眼前一亮，收获颇多，也对数学的本质有了更 深刻的认识。对整个小学数学有了更系统的认识和思 考。
读
《跨越断层，走出误区》心得
•
暑假时间，我认真研读了曹培英老师编著的《跨越断层，走
出误区》一书。这本书分十二个章节，结合教学实践和课堂观察研
究，对数学课程标准的发展及其中的十个核心词进行了实践性的解
读。曹老师说：十多年来，小学数学课程教学改革取得了长足的进
步，但由于一些方面的理论指导和实践操作的脱节，误区也绝非个
别。因此，直面问题，澄清模糊意识，扭转偏颇取向，十分必要。
学习笔记读《跨越断层,走出误区》心得
学习笔记读《跨越断层，走出误区》心得读曹培英老师《跨越断层，走出误区》一书，最大的感悟是描述清晰、分析透彻、解读到位。
描述清楚、分析透彻、解读到位的背后，是曹老师渊博的专业知识、严谨的专业精神、踏实的工作态度……而这又是我读此书的最大收获，它指引我叩问自省，走出盲区。
十个核心词，深入浅出，浅入深出，汇成厚厚的一本书。
捧着书一页页翻看时，脑中时不时会浮现出曹老师伏案查阅资料的情景：专注、投入、乐在其中。
十个核心词，“数感”作为核心词之首，受到众多学者的关注，曹老师也不例外。
就数感概念的解读，曹老师做了以下四方面的分析：“课标实验稿”的诠释、“课标2016年版”的表述、通俗的解释、学术的阐述，使我知道了“数感”虽是一种个人的感悟，但它是可培养的。
“数感”是可以“数”出来的，“数感”是可以“读”出来的，“数感”是可以“看”出来和“推”出来的，“数感”是可以“算”出来和“估”出来的，当“数感”还可以是“用”出来的。
关于“数感”，理论的研究态度值得我效仿，实践的探索精神值得我发扬。
“课标2016年版”书中的十个核心词，曹老师文章中的十一个章节，专家学者教师眼中不同的核心素养，都指向同一个目标：数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，培养的终极目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
史宁中教授认为义务阶段的符号意识、数感甚至把几何直观和空间想象都归到数学抽象，逻辑推理及小学核心词中提到的运算能力和推理能力，数学模型及模型思想、数据分析观念。
在曹老师的书中，从第一章开始，每一张一个核心词，与“课标2016年版”中描述的核心词一一对应的，但在第六章运算能力、第七章推理能力之后，第八章是合情推理，这是增加的。
然根据“课标2016年版”关于推理能力的阐述：推理一般包括合情推理和演绎推理……，也就是说它是推理能力中的一种，隶属于推理能力，曹老师为何还要就合情推理单独写一章呢？带着这样的疑惑，我边看边琢磨，在似懂非懂之间徘徊了很久。
跨越断层 走出误区数学课程标准 核心词的解读与实践研究
上述三个核心词之间的关系可以概括为：数学素养是目标，情境教学是实现这一目标的有效手段， 而核心素养则是实现这一目标的具体体现。
在核心词解读部分，这本书详细阐述了数学课程标准中的三个核心词：数学思想、数学活动和数 学文化。数学思想是指通过对数学知识的理解和应用，形成的一种分析和解决问题的思维方式； 数学活动是指通过参与和实践，将数学知识转化为实际应用的一种学习方式；数学文化则是指数 学在历史、社会、艺术等领域的应用和影响。
精彩摘录
在总结部分，这本书强调了数学课程标准的重要性和必要性。正确解读数学课程标准，有助于我 们更好地理解数学教育的本质和价值，更好地实施数学教育。通过实践研究，我们可以不断优化 教学方式，提高教学质量，培养出更多具有创新精神和实践能力的人才。
《跨越断层，走出误区：数学课程标准“核心词”的解读与实践研究》这本书为我们提供了全面 而深入的数学课程标准解读与实践研究。通过跨越断层，走出误区，我们将更好地理解和实施数 学教育，为培养更多优秀的人才贡献自己的力量。
阅读感受
同时，曹培英老师对于核心词的实践研究也给予了我很大的启示。他强调，理解核心词不仅需要 理论上的研究，更需要将这些理念应用到实际教学中。只有通过实践的检验，才能真正理解和掌 握这些核心词的内涵和价值。 在书中，曹培英老师结合自己的丰富教学经验，对如何将这十个核心词融入到课堂教学中给出了 具体的建议。这些建议既有理论的高度，又具有很强的操作性，对于一线教师来说具有极高的参 考价值。 《跨越断层，走出误区数学课程标准”核心词的解读与实践研究》是一本理论与实践相结合的书 籍，对于我们理解数学教育的核心价值，提高教学质量具有重要的指导作用。通过阅读这本书， 我深深感受到，只有深入理解并贯彻落实这些核心词，才能真正实现数学教育的目标，帮助学生 跨越断层，走出误区，成为具有数学素养的新时代公民。
近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》
近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》读书交流近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》。
曹老师这本书非常适合专业知识不足的数学教师细读，作为一名青年数学教师，读起曹老师的这本书感觉有些吃力，里面的有些内容有所不理解，但是读书如用餐，细嚼慢咽后方觉其中的美妙滋味。
以下是我读完曹老师这本书后的一点感悟：一、什么是十大“核心词”作为初入教育行业的我而言，刚刚知道数学课标里居然有十个核心词时真的特别惊讶，核心词居然有这么多？教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的十大核心词分别是：“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
”核心词确实是有点多，但仔细看来，每个核心词都是不可或缺的。
任意拿出一个核心词，脑海中联想其相关知识或是教学案例后，我深感自己专业知识的匮乏。
反复学习、领会课标中的十大核心词对教师的专业成长有着十分重要的意义。
二、十大“核心词”的解读1.数感。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
”教师想要培养学生的数感，自己必须真正地、深入地解读数感。
但有关“数感”过于学术性的阐述又让人读起来吃力。
因此当看到曹老师在书中提到的：“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境，解释数和应用数的意识与能力。
”，我的内心好像被什么东西触动了一下，现在也无法用文字表达出自己的感受，只觉得头脑关于数感的认知中突然明朗了。
读到曹老师关于数感的介绍后，回想自己教授《千以内数的认识》这节数学课时，真的是掉入了误区--将“数感”与“量感”相混淆。
那到底该如何培养学生的数感呢？曹老师在书中为我们介绍了这几种方法：“数”出数感、“读”出数感、“看”出数感与“推”出数感、“算”出数感与“估”出数感、“用”出数感。
近期有幸拜读了曹培英老师的著作《跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》
教师读书交流近期有幸拜读了数学教育家曹培英老师的著作《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》。
曹老师的这本书具有很强的专业性，初读会觉得很乏味、很吃力，但是越是细读越能体味书中的数学魅力。
曹老师的这本书中结合数学教学案例分析介绍数学的十大“核心词”，引导教师能够发现学生的“最近发展区”，进行深入浅出的教学。
一、什么是十大“核心词”作为初入教育行业的我而言，刚刚知道数学课标里居然有十个核心词时真的特别惊讶，核心词居然有这么多？教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的十大核心词分别是：“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
”核心词确实是有点多，但仔细看来，每个核心词都是不可或缺的。
任意拿出一个核心词，脑海中联想其相关知识或是教学案例后，我深感自己专业知识的匮乏。
反复学习、领会课标中的十大核心词对教师的专业成长有着十分重要的意义。
二、十大“核心词”的解读1.数感。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
”教师想要培养学生的数感，自己必须真正地、深入地解读数感。
但有关“数感”过于学术性的阐述又让人读起来吃力。
因此当看到曹老师在书中提到的：“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境，解释数和应用数的意识与能力。
”，我的内心好像被什么东西触动了一下，现在也无法用文字表达出自己的感受，只觉得头脑关于数感的认知中突然明朗了。
读到曹老师关于数感的介绍后，回想自己教授《千以内数的认识》这节数学课时，真的是掉入了误区--将“数感”与“量感”相混淆。
那到底该如何培养学生的数感呢？曹老师在书中为我们介绍了这几种方法：“数”出数感、“读”出数感、“看”出数感与“推”出数感、“算”出数感与“估”出数感、“用”出数感。
读《跨越断层,走出误区》心得体会
读《跨越断层，走出误区》心得体会读了曹培英老师编著的《跨越断层，走出误区》一书，颇有收获，此书是对《小学数学课程标准（2011年版）》中十个核心词的“实践解读”，一个核心词一章。
其中谈及到了十个数学核心关键词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。
这本书结合大量的实践经验，对这十个核心词进行了较为细致的剖析。
不仅让我能够重新全面、正确地理解这些核心词，也对这些核心词的教学落实，提供了操作的可行性建议，为我以后的教学工作提供了较高的参考价值。
下面就谈一谈这次学习的几点体会：1、《小学数学新课程标准》以全新的观点将小学数学内容归纳为“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域，特别突出地强调了6个学习内容的核心概念：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力。
2、教师在平常课堂教学中应大力培养学生的应用意识。
教会学生学会综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题。
让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
3、教师在教学中应注重发展学生的推理能力。
使学生达到能根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。
能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出实例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合理逻辑地进行讨论与质疑。
下面我就学习中的一点体会结合自己的教学经验谈谈对小学生数感的感悟。
数感并不是一个新的词语，早在1954年美国数学家就提出了数感，而我国随着新课程的改革，对学生数感的培养也越来越重视了。
1.跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究之数感
跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究（摘录）曹培英上海教育出版社第一章数感第一节数感,“你”是什么1.“课标”的描述教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》有关“数感”的表述是:“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表达具体情境中的数量关系。
”2.倾向“通俗”或“学术”的刻画“数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一,是一种自觉地基于数学的或现实的问题情境,解释数和应用数的意识与能力。
”数感的确是两种意义的统一,也确实是解释数、应用数的意识与能力。
第二节数感,想说“爱你”不容易1.陷于“误区”的案例例:100以内数的认识。
“估一估,有多少颗,看谁估的准”。
例:1000以内数的认识。
“估计1000张纸有多厚”。
两位教师为了培养学生的数感,课前花费大量精力,充分准备,令人肃然起劲。
但又不能不反思,这是在培养数感吗?在教学数的概念前,上述活动充其量是在制造一种“悬念”,吸引学生的注意。
2.联想到“张秉贵”后的反思在小学数学中,数与量却是两个既有联系又有区别,并且常常不能不加以区分的概念。
在现实世界里,没有抽象的数,有的都是数与量的混合体。
因此,培养数感难免牵扯到量。
而且,在实际生活中,数感又常常表现为观察事物时的数量意识,或者反映为自觉的联系量,将数与具体事物联系起来。
培养数感,不宜过于依赖量,尤其是不宜选择特殊的量。
第三节数感,可以怎样培养1.“数”出数感小学数学教学只是在此基础上引导学生逐步扩大数数、认数的范围,相应地逐步丰富、发展学生的数感。
其间每一步进展的有效性,很大程度上取决于教学设计与实施的科学性、艺术性。
2.读出数感只要让学生在理解的基础上读数,自己知道读的是什么,就能读出数感,而且是脱离了“量”的抽象的数感。
我国的小学数学历来重视数的感悟,虽说没有“数感”这一名词,但名词背后的实在之物,还是有所把握的。
数感--跨越断层,走出误区： 《数学课程标准》核心词的实践解读之二——数感
作为课程标准，尽可能地给出学习行为的表现性评价标准，是可取的。然而，一线教师又希望看到浅显、通俗的解释。这一要求并不过分。
既然数感是一种感悟，而“感悟”的本意是“有所感触而领悟”，那么，简单地说，数感就是关于数的感觉和理解。
“新版课标”的表述是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”
这一表述由两句话组成。前一句侧重数感的界定，“数感主要是??感悟”；后一句侧重数感的作用，“数感有助于??”。两句话的共同点，都描述了数感的表现。
跨越断层，走出误区：
《数学课程标准》核心词的实践解读之一 ——数感
上海市静安区教育学院 曹培英
教育部《数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新版课标”
坊间有人调侃，核心词居然有十个之多，还有“核心”吗？
但若细细研读，不难发现，十个核心词所指称的，确实都是构成数学素养的重要因素，值得反复学习、领会。
对于义务教育阶段的数学教师来说，最感兴趣的也是最为重要的是基于实践的解读。 笔者愿意结合自身多年的教学实践、多年的课堂观察与研究，细述个人的学习心得，尝试跨越理论与实践的断层，走出认知与教学的误区，以供同仁借鉴。
一、数感，“你”是什么
教育部《数学课程标准（实验稿）》的诠释是：“数感主要表现在：理解数的意义，并能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算结果，并对结果的合理性作出解释。”
9.跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究之模型思想
跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究（摘录）曹培英上海教育出版社第九章模型思想第一节相关概念辨析1.原型与模型、数学模型数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系,采用形式化数学语言,概括地或近似地表达出来的一种数学结构。
数学模型使模型概念得到了突破性的升华。
广义、狭义的数学模型,都是人类进化和社会发展的产物。
区别在于:前者是“无心插柳”,当初并没有意识到它是“模型”,后者是“有心栽花”,有意识的构建“模型”。
2.问题解决与数学建模一般认为,问题解决是一个更广泛的概念,数学建模是一种特殊的数学问题解决形式。
原因在于,虽然建模是解决问题的途径、方式之一,但还是有不少问题的解决并不需要建模。
其一,不同的假设会得到不同的模型,模型假设是建立模型的关键。
其二,建模想要获得令人满意的结果,往往要经过多次循环往复的摸索,其中还包括许多数学以外的准备工作（如调研）,并需要团队合作。
其三,数学模型对于客观原型来说,常常是近似的。
第二节模型思想的内涵1.课标的阐述“课标2011年出版”关于模型思想的阐述是:“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。
建立和求解模型的过程包括:从现实生活中或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识。
”这段话包含三层内容:模型思想的主要功能；数学建模的简要过程与表现形态；形成模型思想的其他作用。
2.基于数学教学改革实际的阐述实践中处于主流地位的诠释是：“建模是数学学习的一种新的方式,它为学生提供了自主学习的空间,有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用,体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用知识和方法解决问题的过程,增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣,发展学生的创新意识和实践能力”。
3.跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究之空间观念
跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究（摘录）曹培英上海教育出版社第三章空间观念第一节还原空间观念的本来面目1.“空间观念”一词的由来最早出现“空间观念”一词的是1956年印发的《小学算术教学大纲（修订草案）》。
原文是:“在小学里学习几何教材,除了可以使儿童获得几何方面的一些初步知识和应用这些知识的技能之外,还可以发展他们的空间观念。
”2.相关概念的梳理(1)空间知觉、空间表象与空间想象空间知觉是指关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉。
空间表象是在大量空间知觉的基础上,形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象。
在认知心理学中,表象既是信息加工的成果,又是信息加工的过程。
空间想象是指在事物或图形的影响下,在言语的调节下,头脑中已有空间表象经过加工、改造、结合,产生新表象的心理过程。
(2)空间能力按照能力的通常定义推演,空间能力应该是指人们顺利完成空间问题解决活动所必备的个性心理特征。
就认知活动来说,空间能力是以空间形式为主要对象,以空间知觉、表象和幻想为主要心理活动过程,在头脑中进行几何抽象、分析与综合（包括图形的分解与重组）、判断与推理（包括图形的运动及二维、三维间的转换）的思维能力。
(3)空间观念所谓“空间观念”是一个具有中国特色的数学教育术语,它的内涵只能靠我们自己基于实践研究,借鉴相关理论来给予界定或描述。
在小学,空间观念以空间表象为主要表征形态,也包括一定的命题表征,并涉及空间知觉与初步的空间想象。
第二节怎样把握空间观念1.教学文件中关于“空间观念”的阐述修订后的“课标2011年版”,关于空间观念的语段是:“主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
”很明显,比“课标实验稿”更为精炼、概括。
揣摩意图,可能意在突出重点、削枝强干。
(完整版)读《跨越断层,走出误区》
读《跨越断层，走出误区》近段时间，认真研读了曹培英老师编著的《跨越断层，走出误区》一书。
这本书分十二个章节，结合教学实践和课堂观察研究，对数学课程标准中的十个核心词进行了实践性的解读。
曹老师说：十多年来，小学数学课程教学改革取得了长足的进步，但由于一些方面的理论指导和实践操作的脱节，误区也绝非个别。
因此，直面问题，澄清模糊意识，扭转偏颇取向，十分必要。
边读边思中发现，自己对是的核心词原本就是只知皮毛而已，比如若问我：什么是数感？怎样培养学生的数感？我会一片空白，不可置否。
细细研读《跨越断层，走出误区》中的每一段阐述，分析“陷入误区的实践案例”，琢磨数感的培养：“数、读、看、推、算、估、用”，真是茅塞顿开，大有裨益。
正如作者所说：一旦认识了数感的本来面目，就不难跨越理论与实践的断层，数感的建立、发展与联系巩固，就显得十分平常，相应的教学措施也就不必煞费苦心，另辟蹊径了。
由此我想：在教学中要培养学生的数感、符号意识等等，教师首先要真正的理解这些核心词，也就是认识它们的本来面目。
于是我认真阅读每一章节，在拨云见日豁然开朗的同时，也引起了一些新的思考，发现了教学中的一些新的问题。
就以“数据分析观念”为例来说说自己的一些收获。
课程标准2011版将“统计观念”修改为“数据分析观念”，就这一改变意味着什么？多少老师注意到了这样的改变？我们的教学实践跟得上这个改变了吗？回顾自己的课堂教学与课堂观察，觉得欠缺的还是很多。
首先对数据分析观念的几层含义就没有真正的理解掌握。
课程标准（2011版）这样描述：“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
《跨越断层,走出误区》学习心得- 1
新版课标的表述是："数感主要是指关于数与数量、
"新新
数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有 助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体 情境中的数量关系。" 这一表述由两句话组成。前一句侧重数感的界定，" 数感主要是„„感悟"；后一句侧重数感的作用，"数感 有助于”。两句话的共同点，都描述了数感的表现。 既然数感是一种感悟，而"感悟"的本意是"有所感触而 领悟"，那么，简单地说，数感就是关于数的感觉和 理解。
理解了什么空间观念，那么如何培养呢？曹 老师也给出了方法。针对小学生面对的简单 空间想象，提升培养空间观念的教学手段主 要落脚于“视”与“触”，也就是借助于直 观教学。除了运用PPT可以很好的做到空间演 示，还要加强学具操作实验活动、画图与课 外实践
3. "用"出数感 小学数学的实际问题，大多涉及数。因此， 在应用所学数学知识解决实际问题的过程中， 数感常常会自然而然地得以表现。 从书中我能得到一些具体的示例，也能从中 得到一些启发和思考，在今后的教学实践中 我不断地去实践，应用。
4、估出数感来 新《课标》指出：“估算在日常生活与数学学习
中有着十分广泛的应用,培养学生的估算意识,发展 学生的估算能力,让学生拥有良好的数感,具有重要 的价值。”曹培英老师在《跨越断层，走出误区》 中指出“培养数感，不宜过于依赖量，尤其是不 能选择特殊的量。”比如，估一估抓一把有多少 粒豆，估一估一叠纸有几张，小小的豆，薄薄的 纸都是特殊的量。
怎样培养学生的数感呢？我觉得曹老师说的非 常到位： 1."数"出数感 ：学龄儿童通过日常生活中有意、 无意的数数活动，已经自主地实现了物体个数 的数量守恒。 在这过程中他们还掌握了被数物体与数的一一 对应，如五个手指与1～5的依次匹配，并且知 道从左、从右数，都是五个手指，即数数的结 果与数的顺序无关，特别是知道了数到最后的 "5"表示一共五个手指，即数到最后一个数的值 就是这个集合的基数。
8.跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究之合情推理
跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究（摘录）曹培英上海教育出版社第八章合情推理第一节问题的提出小学数学如何让学生感悟合情推理的局限性?在小学,要让学生感知合情推理可能导致错误,机会确实比中学少,但也不是没有。
只要教师做个有心人,在平时的教学中也能有所发现。
进一步,仅仅让学生发现或看到合情推理可能出错是不够的,还应当引导他们认识错误、走出错误,从而使学生在感悟合理推理具有或然性的同时,获得跳出陷阱、找到正确结论的经历与体验。
再进一步,找到正确结论之后,怎样启发学生确认结论的正确性?这同样是我们应当予以重视、加以研究的问题。
第二节怎样引导学生感悟合情推理的或然性1.类比推理的实例【例1】由2、5的倍数的特征类比3的倍数的特征。
【例2】由乘法、减法运算性质类比除法运算性质。
【例3】骰子点数可能性的类比。
2.不完全归纳推理的实例【例4】“找规律”——从不完全归纳到整体分析。
【例5】“分数大小的变化”,从不完全归纳到分类讨论。
3.同时存在类比、归纳可能的实例【例6】长方形周长与面积的关系。
第三节怎样启发学生确认合情推理的结论最简单的方式是:告诉学生,数学家已经证明了这一结论；或者指出,以后进一步学习数学,你们自己就能证明。
这种以不变应万变的策略,其实是实事求是的科学态度。
除此之外,还可以酌情运用科学归纳推理加以说明。
从这些例子容易看出,科学归纳推理在小学数学教学中可以有比较广泛的运用。
它对因果关系的揭示、解释,因内容而异,比较灵活。
无论选用任何种方法,都应当从教学实际出发,抓住契机,基于学生的认知水平,尽可能的启发他们在知其然的基础上,知其所以然。
《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》简介
《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实
践研究》简介
佚名
【摘要】《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书由著名特级教师曹培英所著。
他结合自身多年的教学实践研究经验．对“数学课程标准”核心词进行了深入解读与实践研究。
【期刊名称】《小学教学：数学版》
【年(卷),期】2017(000)009
【总页数】1页(P41-41)
【关键词】教学实践研究;数学课程标准;核心词;解读;断层;误区;简介;特级教师【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
《跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书由著名特级教师曹培英所著。
他结合自身多年的教学实践研究经验，对“数学课程标准”核心词进行了深入解读与实践研究。
该书分别以核心词数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、合情推理、模型思想、应用意识、创新意识为章节，对其概念进行解读，剖析误区之所在，并探讨如何培养学生的这些数学素养。
书中用大量的教学案例，打破了小学数学的理论与实践的断层，直面问题，澄清现实中的模糊认识。
曹老师还以历史发展为线索，对“数学课程标准”核心词的演变进行了反思与展望。
曹老师相信，数学核心素养研究的推进与核心素养体系的建构，将有助于克服学科本位与教学中的短期行为，有助于不同学科、不同学段育人目标的彼此衔接和上下贯通，进而使小学数学教学真正为学生的终身发展奠基。
6.跨越断层,走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究之运算能力
跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究（摘录）曹培英上海教育出版社第六章运算能力第一节运算能力的“前世今生”上面的简要回顾,总体上大致勾勒了计算（运算）能力的提出、演变历程,它在小学数学中的地位,从与应用交融到单列,首要与次要,潮起潮落至今,最终还是一个“不倒翁”。
第二节运算能力“不倒翁”的原因首先是因为以往的教学,为达成“计算准确、迅速,方法合理、灵活”的要求,常常导致大量的程式化机械训练,熟能生巧与熟能生厌、生笨并存。
其次是因为数学自身与计算机科学的发展,使得数学研究依赖单纯计算的可能性越来越小,即便是在日常生活中,计算也已被归为机械操作由计算机来完成了。
从小学数学课程的实际来看,整数、小数、分数的计算始终是学习的主线,其他数学知识都必须跟随这种主线的进程穿插、展开。
运算能力,在小学之所以成为“不倒翁”,还有非常现实的、无法回避的两大原因：首先,人们在社会活动中几乎天天遇到各种各样与计算面貌出现的实际问题。
其次,整数、分数四则运算是进一步学习整式、分式运算的基础,也是学习其他理科知识不可或缺的基础。
第三节运算能力的“众说纷纭”一是认为运算能力是一种综合能力。
二是指出运算能力的主要表现。
“课标2011年版”中指出:“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。
培养运算能力,有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题。
”运算能力的三个主要表现特征:正确运算、理解算理、方法合理（运算途径简洁,是方法合理的自然结果）。
也可以就字面意思解读为:运算能力主要是有根有据地正确运算的能力,它的作用是促进理解与应用。
言下之意:运算能力的培养,主要依靠根据法则和运算律提高正确性,通过理解算理与灵活运用运算解决问题,发展能力。
此外,运算能力具有一定的层次性、发展性。
由非负数运算到有理数运算,再到实数运算；由整式运算,到分式、根式运算；由具体运算到抽象运算。
运算能力随着知识面的逐步拓展、抽象程度的渐次提高而不断发展。
听《跨越断层走出误区课程标准若干核心词的实践》讲座
听《跨越断层走出误区课程标准若干核心词的实践》讲座有感
开张中心小学——刘桂芳
我有幸去运城参加为期半天的学习，听了曹培英老师关于《跨越断层走出误区课程标准若干核心词的实践》的讲座，他对小学数学课程标准的解读，从核心词展开，风趣生动的向我们诠释了新课标课堂教学改革是一种变改性实践，听后，收获颇多。
一、数出数感来
小学一年级数学的教学是从数数开始的，在学习10以内数的认识中,在认识“1”时，学生可以说出：1本书、1 只小鸟、1棵树、1根小棒、1捆小棒、一个萝卜、一筐萝卜……随后引导学生数出几根小棒是一捆？数出几个萝卜是一筐？帮助学生理解“1”可以表示1个个体，也可以表示这类个体的1个集合；可以表示很大的物体，也可以表示很小的物体。这样，学生容易理解和接受就体会了数的含义，就数出数感来了。
三、估出数感来
新《课标》指出：“估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用,培养学生的估算意识,发展学生的估算能力,让学生拥有良好的数感,具有重要的价值。”曹培英老师在《跨越断层，走出误区》中指出“培养数感，不宜过于依赖量，尤其是不能选择特殊的量。”比如，估一估抓一把有多少粒豆，估一估一叠纸有几张，小小的豆，薄薄的纸都是特殊的量。对于这些方法，教师都应该加以鼓励但不过分依赖，并为学生提供机会，在相互交流中，比较各种算法的特点，不断完善自己的估算方法，逐步发展估算使学生在不断地估算中发展自己的数感。
总之，数感的培养是个长期系统的工作，在备课中要考虑对学生数感的培养，制定教学目标，选择适当方法，使学生在日常学习中发展数感。