2018一轮北师大版(理)数学第4章平面向量数系的扩充与复数的引入

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高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入理北师大版

第1课时平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念及表示方法2.3.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． (2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . [基础自测]1．设a 0，b 0分别是与a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2D ．|a 0＋b 0|＝2解析：因为a 0，b 0是单位向量，所以|a 0|＝|b 0|＝1. 答案：C2．下列命题中正确的是( )A.OA →－OB →＝AB →B.AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D.AB →＋BC →＋CD →＝AD →解析：OA →－OB →＝BA →；AB →、BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；零向量与任意向量的数量积都为0，故选D. 答案：D3．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |. 正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：只有④正确．答案：A4．(教材改编题)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示) 解析：∵AC →＝a ＋b ， ∴CN →＝－14(a ＋b )，∴MN →＝MC →＋CN →＝12b －14(a ＋b )＝14(b －a )．答案：14(b －a )5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 解析：由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案：－12考点一平面向量的概念[例1] 给出下列六个命题①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5审题视点理解向量基本概念的内涵，按照定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可．解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案 C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足；(1)模相等；(2)方向相同．1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时， λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．答案：C2．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确命题的序号是________．解析：①②正确，③④错误．答案：①②考点二平面向量的线性运算[例2] (1) 如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( ) A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b(2)(2016·烟台模拟)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →审题视点 (1)用平行四边形法则求解． (2)利用三角形性质及向量的运算法则求解．解析 (1)连接OC 、OD 、CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，有∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且OA ＝OC ＝OD ，则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .(2) 如图，OB →＋OC →＝2OD →，又∵2OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OB →＋OC →＝－2OA →. ∴2OD →＝－2OA →，∴OD →＝AO →.答案 (1)D (2)A1．平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则． 2．两个重要结论(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 中点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．(2)向量加法的多边形法则 A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.1．(2016·衡水中学质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|3 AM →－AB →－AC →|＝0，G 为BC 的中点，则△ABM 与△ABC 的面积之比等于( )A.34B.14C.13D.12解析：如图，G 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2 AG →， ∵|3 AM →－AB →－AC →|＝0，∴3 AM →－AB →－AC →＝0， ∴3 AM →＝AB →＋AC →＝2 AG →，∴|AM →||AG →|＝23，∴S △ABM S △ABG ＝23，又S △ABG ＝12S △ABC ， ∴△ABM 与△ABC 的面积之比等于12×23＝13，故选C.答案：C2．(2016·大连高三检测)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.答案：23考点三共线向量定理及其应用[例3] 已知a 、b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．审题视点先假设存在，再利用a ，b 表示目标向量，最后判断是否有CE →＝kCD →成立即可．解由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决．但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且存在公共点时，才能得出三点共线．1．(2016·四川资阳模拟)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．故选B. 答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝__________. 解析：依据共线向量定理列方程组求解. ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行， ∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：12以向量为背景的新定义问题[典例] 设A 1、A 2、A 3、A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解题指南本题为信息题，由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：A 1，A 2，A 3，A 4四点共线，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d＝2，然后逐项代入验证．解析由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1d ＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0<c <1,0<d <1，1c ＋1d>2，也不正确，故选D.答案 D阅卷点评本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点C 在线段AB 上，则当AC →＝λAB →时，0<λ<1，而当点C 在线段AB 的延长线上时，若AC →＝λAB →，则有λ>1，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用．难度适中．创新点评本题有以下创新点：(1)命题背景新颖，本题为新定义题目，用新定义考查阅读能力与知识迁移能力；(2)考查内容创新：以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查化归与转化的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．备考建议 (1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题；(2)化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决； (3)“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．◆一条规律一般地，首尾顺次连接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． ◆向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．课时规范训练 [A 级基础演练]1．(2016·吉林省实验中学一模)已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12解析：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则有2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1，解得λ＝－12，故选C.答案：C2．(2016·四川泸州检测)已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA →＝PB →＋PC →，则|PD →||AD →|的值为( )A ．1 B.13 C.12D ．2解析：因为PA →＝PB →＋PC →，所以PA 必为以PB ，PC 为邻边的平行四边形的对角线，因为D 为边BC 的中点，所以D 为边PA 的中点，|PD →||AD →|的值为1，故选A.答案：A3．(2016·贵阳检测)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．cD ．0解析：依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.答案：D4．(2016·郑州模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．解析：由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案：15．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，故A 、B 、C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形6．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. 解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →. 又O 是AC 的中点， ∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. 答案：27．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a 、t b 、13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？解：设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )，化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a 、t b 、13(a ＋b )的终点在一条直线上．8．如图所示，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取一点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取一点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →， ∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12(BC →－BM →)＝12MC →∴λ＝12.[B 级能力突破]1．(2016·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－PA →＝2 AP →，所以点P 在线段AC 上．答案：C2．(2016·威海模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ， AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得：AB →＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋t μb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝t μ，所以λμ＝1.故选D.答案：D3．(2016·孝感模拟)如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，则( )A ．c ＝－12a ＋32bB ．c ＝32a －12bC ．c ＝－a ＋2bD ．c ＝a ＋2b解析：∵OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC →＝OA →＋3(OC →－OB →)＝3OC →＋OA →－3OB → ∴2OC →＝－OA →＋3OB → ∴c ＝OC →＝－12a ＋32b .答案：A4．设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为__________．解析：设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝0，即2OM →＋4ON →＝0，所以OM →＝－2ON →，说明M ，O ，N 三点共线，即O 为中位线MN 上的一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23·12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABCS △AOC＝3.答案：35．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析：过点D 作DF ⊥AB 的延长线于点F ，设AB ＝1，则AC ＝1，BC ＝2，ED ＝2，BD ＝62，∴DF ＝32，BF ＝32. ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →.∴x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 326．(2016·山西四校第三次联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是________．解析：∵AO →＝xAB →＋AC →－xAC →，∴AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，即CO →＝xCB →＝－3xCD →， ∵O 在线段CD 上(不含C 、D 两点)运动， ∴0<－3x <1，∴－13<x <0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，07．如图，过△OAB 的重心G 的直线与OA 、OB 分别交于P 、Q ，设OP →＝hOA →，OQ →＝kOB →，求证：1h ＋1k是常数．证明：OG →＝λ1OP →＋(1－λ1)OQ →(λ1∈R )，OM →＝12OA →＋12OB →，且O 、G 、M 三点共线，G 为重心，故OG →＝23OM →，即λ1OP →＋(1－λ1)OQ →＝23×12(OA →＋OB →)．又∵OP →＝hOA →，OQ →＝kOB →，∴λ1(hOA →)＋(1－λ1)(kOB →)＝13(OA →＋OB →)．而OA →与OB →为三角形两邻边，∴OA →、OB →不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1h ＝13，－λ1k ＝13.消去λ1得13h ＝3k －13k ，即1h ＋1k＝3.第2课时平面向量基本定理及其坐标表示1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O 为起点作OP →＝a .由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得OP →＝x i ＋y j .因此a ＝x i ＋y j .我们把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y )．(2)设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是点A 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 为坐标原点) 3．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [基础自测]1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③解析：②③中e 1与e 2均共线．答案：A2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．答案：C3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2解析：a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行得3×(4x －2)－6×(1＋x )＝0解得x ＝2. 答案：D4．(教材改编题)若点O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________，点B ′的坐标为__________，向量A ′B ′→的坐标为________．解析：∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)． ∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．答案：(2,4) (－3,9) (－5,5)5．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 1，若b ，c 为一组基底，则a ＝________. 解析：设a ＝λ1b ＋λ2c ，则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2) 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－12λ1＋12λ2＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727∴a ＝－118b ＋727c .答案：－118b ＋727c考点一平面向量基本定理的应用[例1] (1)如图(1)所示，P 点是其阴影部分任意一点(其中OM ∥AB )，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 、y 应满足的条件是________．(1) (2)(2)如图(2)所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. 审题视点 (1)先由平面向量基本定理设出OP →＝mOB →＋nAB →，再由向量共线的条件列方程求解． (2)由B ，H ，C 三点共线，可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析 (1)设OP →＝mOB →＋nAB →，由图可知，OP →＝OB ′→＋OM ′→，∴OB ′→＝mOB →，OM ′→＝nAB →，∴0≤m ≤1且n ≥0.又OP →＝mOB →＋n (OB →－OA →)＝(m ＋n )OB →－nOA →＝xOA →＋yOB →，而OA →与OB →不共线，∴x ＝－n ≤0，y ＝m ＋n ，即m ＝x ＋y .故应填：x ≤0且0≤x ＋y ≤1.(2)由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 (1)x ≤0且0≤x ＋y ≤1 (2)121．以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同． 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案：A2．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 解析：∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 答案：12 －16考点二平面向量的坐标运算[例2] 若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(6，－10)审题视点利用向量加法的坐标运算．解析 ∵CA →＝(4,7)， ∴AC →＝(－4，－7) ∵BC →＝BA →＋AC →∴BC →＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4) 答案 A向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A. 答案：A2．已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( ) A.1027B.52或2 2 C.52D ．2 2解析：因为a 与b 反向，所以a 与b 共线，所以m (2m ＋1)－2×3＝0，解得m ＝－2或m ＝32.当m ＝－2时，a ＝(－3,3)，b ＝(2，－2)，a与b 反向，此时|b |＝22；当m ＝32时，a ＝(4,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，a 与b 同向，应舍去，故选D. 答案：D考点三平面向量共线的坐标运算[例3] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 审题视点利用平行关系，建立含字母参数的实数方程求解．解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(3)设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)．(1)一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．1．(2015·高考四川卷)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 答案：B2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)．a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)方法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →.即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ，解得m ＝32.方法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.忽视向量平行的充要条件致误[典例] 设向量a ，b 满足|a |＝2 5，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解题指南设a ＝λb (λ<0)，利用|a |＝25列出关于λ的方程求解即可．解析 ∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ<0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2＝25，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a ＝(－4，－2)．答案 (－4，－2)易错分析易误认为“a 与b 的方向相反⇔a ∥b ”致使设a ＝λb 出现增解(4,2)．失分警示 (1)向量共线的条件掌握不准导致错解或无法解题． (2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件．备考建议 (1)熟记向量共线的表示方法，同时要强化理解零向量与任意向量都共线这一特殊情况．(2)将已知向量分解的关键是如何确定基底，然后可根据平面几何中的有关知识来确定待定系数．◆一个区别向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化． ◆两点防范(1)平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量不共线．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．课时规范训练 [A 级基础演练]1．(2014·高考福建卷)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)解析：由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．答案：B2．e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：对于A ，∵e 1，e 2不共线，故λ1＝λ2＝0正确；对于B ，空间向量a 应改为与e 1，e 2共面的向量才可以；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定与e 1，e 2共面；D 中，根据平面向量基本定理，λ1，λ2应是惟一一对．答案：A3．(2016·郑州质检)已知△ABC 中，平面内一点P 满足CP →＝23CA →＋13CB →，若|PB →|＝t |PA →|，则t 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：由题意可知PB →＝CB →－CP →＝CB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →＝23(CB →－CA →)＝23AB →，同理可得PA →＝－13AB →，∴|PB →|＝2|PA →|，即t ＝2.答案：C4．(2015·高考江苏卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－35．(2016·荆州模拟)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 解析：AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴－2(4－k )－14k ＝0，解得k ＝－23.答案：－236．(2016·江西南昌模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为__________．解析：由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎨⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.答案：167．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，B －*4/5)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →， ∴2(B －*4/5)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，B －*4/5)＝2(2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，B －*4/5＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)， ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A ，B ，M 三点共线．[B 级能力突破]1．(2015·高考湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：法一：AC 为Rt △ABC 的斜边，则AC 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，故AC 必经过原点，如图，则PA →＋PC →＝2PO →，|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|≤2 |PO →|＋|PB →|，当P ，O ，B 三点共线时取等号，即当B 落在点(－1,0)处时|PA →＋PB →＋PC →|取得最大值，此时，PO →＝(－2,0)，PB →＝(－3,0)，2 |PO →|＋|PB →|＝2×2＋3＝7，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7.法二：同解法一，得|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|. 又PB →＝OB →－OP →，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋OB →－OP →|＝|OB →－3 OP →| ＝OB →2＋9 OP →2－6 OB →·OP →＝ 12＋9×22－6×1×2cos∠POB ＝37－12cos ∠POB ≤37＋12＝7，当且仅当∠POB ＝180°时取“等号”，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 法三：同法一，得|PA →＋PB →＋PC →|＝|2 PO →＋PB →|.设B (cos α，sin α)，则|2 PO →＋PB →|＝|2(－2,0)＋(cos α－2，sin α)|＝|(－6＋cos α，sin α)|＝－6＋cos α2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7(当cos α＝－1，即B 落在点(－1,0)处时取等号)．故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7. 答案：B2．(2016·保定模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由p ∥q 得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.答案：B3．(2016·河北邯郸一模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C.答案：C4．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.答案：125．如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰好为P ，则AP →＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →①AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →② ①＋②得，2AP →＝a ＋b －RB →③ 又RB →＝12QB →＝12(AB →－AQ →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP →④ 将④代入③得， 2AP →＝a ＋b －12(a －12AP →)，解得AP →＝27a ＋47b .答案：27a ＋47b .6．(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．解析：设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)．∴|OA →＋OB →＋OC →|＝x －2＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.答案：7＋17．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立．解：(1)∵a ＝(1,1)，∴f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)．又∵b ＝(1,0)，∴f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p ，2y －x ＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p －q ，y ＝p ，∴c ＝(2p －q ，p )．(3)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b)成立．第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角(1)夹角的定义(2)射影的定义设θ是a与b的夹角，则|b|cos θ叫作b在a方向上的射影．|a|cos θ叫作a在b方向上的射影．射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量．当θ∈[0°，90°)时，它是正值；当θ∈(90°，180°]时，它是负值；当θ＝90°时，它是0.2．平面向量的数量积(1)向量的数量积的定义已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)向量数量积的性质①若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.②若a ⊥b ，则a ·b ＝0；反之，若a ·b ＝0，则a ⊥b ，记作a ⊥b ⇔a ·b ＝0. ③|a |＝a ·a .④cos θ＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)．⑤对任意两个向量a 、b ，有|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立． (3)向量数量积的运算律给定向量a ，b ，c 和实数λ，有 ①a ·b ＝b ·a ；(交换律)②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(数乘结合律) ③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．平面向量数量积的坐标运算 (1)平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． (2)向量模的坐标表示若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12(两点间距离公式)．若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2，|a |＝x 2＋y 2. (3)两向量夹角的余弦公式设a 、b 是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则有cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两个向量垂直的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)直线的方向向量把与直线l 共线的向量m 称为直线l 的方向向量，设直线方程为y ＝kx ＋b ，则其方向向量为m ＝(1，k )．设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则其方向向量为m ＝(－B ，A )，利用直线的方向向量可以表示过定点的直线方程、求两直线的夹角等，这给我们处理解析几何问题增加了一条新途径．[基础自测]1．(教材改编题)已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，－1)，则(a ＋b )·(a －b )的值为( ) A ．0 B ．10 C ．－10 D ．5解析：∵a ＋b ＝(1,1)，a －b ＝(－3,3)，∴(a ＋b )·(a －b )＝1×(－3)＋1×3＝0. 答案：A2．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π4 C.2π3D.3π4解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12， ∴θ＝2π3.答案：C3．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的射影为( ) A ．2 B.32 C ．－2D ．－32解析：∵|b |cos 120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，∴b 在a 方向上的射影为－32. 答案：D4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(x,2)互相垂直，则x ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴x ＋2＝0，∴x ＝－2. 答案：－25．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为____．解析：∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0即x ＝4.∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(2＋x )×(x －3)＋(－3)×(－y －2)＝0，解得y ＝－4. ∴|MN →|＝＋2＋－4－2＝8 2.答案：8 2考点一求两平面向量的数量积[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，若点P 为△ABC 的外心，则AP →·BC →的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________．审题视点 (1)因AB 、AC 已知，故把BC →写为BC →＝AC →－AB →，利用AP ＝BP ＝CP 和数量积定义化简． (2)建立坐标系，设F (x ，y )，用坐标计算AE →·AF →. 解析 (1)∵BC →＝AC →－AB →， ∴AP →·BC →＝AP →·AC →－AP →·AB →.又cos ∠BAP ＝AB 2＋AP 2－BP 22·AB ·AP ＝AB 22·AB ·AP，∴AB →·AP →＝AB 22，同理AC →·AP →＝AC 22，∴AP →·BC →＝AC 22－AB 22＝162－42＝6.(2)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，设F (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤1，AE →·AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2,1)时，AE →·AF →取最大值92.答案 (1)C (2)92(1)已知向量a 、b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)已知向量a 、b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．1．(2016·南昌市高三模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________. 解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2. 答案：22．(2016·河北邢台模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( ) A ．－94B.94C.274D ．－274解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则有CD ＝AC ·sin 30°＝32.∴CD →·CB →＝|CD →|·|CB →|·cos ∠BCD ＝CD→2＝94.故选B.考点二利用数量积求向量夹角和模[例2] (1)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6(2)已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝πB ．θ＝π2C ．θ＝π3D ．θ＝2π3审题视点 (1)BC →＝AC →－AB →，先求|BC →|2的最小值． (2)利用m 2＝1，求e 1·e 2便得θ. 解析 (1)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥ 2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.(2)由|m |＝1，得m 2＝1，即(2e 1＋3e 2)2＝1.展开得，4e 21＋9e 22＋12e 1·e 2＝1，即4＋9＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.答案 (1)C (2)A(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，是求模常用的公式． (2)利用向量数量积的定义，知cos θ＝a·b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．1．(2015·高考重庆卷)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π。

高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入课件文北师大版

＝
(2)复数加法的运算定律
Байду номын сангаас
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝__z_2_＋__z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z_1＋___(z_2_＋__z_3)_．
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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
1．辨明三个易误点 (1)两个虚数不能比较大小． (2)利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若 z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出 z1＝z2＝0；z2<0 在复数范围内有可能成立．
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___(a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)i_；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a_－__c_)_＋__(_b_－__d_)i__；
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
实虚数数（（bb______≠__＝________00）），纯非虚纯数虚（数a（__a＝≠ ___0_，0，b≠b_0_）_≠_. __0），
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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入(共13张PPT) 2

[点评] 本题条件 OA ＋2 OB ＋3 OC ＝0 与三角形的重心性质GA ＋GB ＋GC ＝0 十分类似，因此我们通过添加辅助线，构
造一个三角形，使点 O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比．
(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则( OA ＋ OB )· ＝ BA ( OB ＋ OC )· ＝( OC ＋ OA)· ＝0或| OA |＝| OB |＝| OC |.反之， CB AC 若| OA|＝| OB |＝| OC |，则点O是△ABC的外心．
2．关于“四心”的典型例题
已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 OP ＝ OA＋λ( AB ＋ AC )，λ∈(0，＋∞)， [例 1] 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． [解析] 由原等式， OP － OA ＝λ( AB ＋ AC )， AP ＝λ( AB 得即＋ AC )，根据平行四边形法则， AB ＋ AC 是△ABC 的中线所对知
＝0，试求 S△BOC∶S△COA∶S△AOB 之值．
[解]
延长 OB 至 B1，使 BB1＝OB，
延长 OC 至 C1，使 CC1＝2OC，连接 AB1，AC1，B1C1，如图所示，则 OB1 ＝2 OB ， OC1 ＝3 OC ，由条件，得 OA ＋ OB1 ＋ OC1 ＝0，所 1 以点 O 是△AB1C1 的重心．从而 S△B1OC1＝S△C1OA＝S△AOB1＝3S，其中 S 表示△AB1C1 的面积， 1 1 1 1 1 1 所以 S△COA＝9S，S△AOB＝6S，S△BOC＝2S△B1OC＝2×3S△B1OC1＝18 S. 1 1 1 于是 S△BOC∶S△COA∶S△AOB＝18∶9∶6＝1∶2∶3.

[推荐学习]2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练文[A 级基础达标](时间：40分钟)1．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 B解析解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.∴1＋a 2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3.解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝ 3. 2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i答案 A 解析 1＋2i 2－i＝＋＋2－i2＋i＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A. 3．[2016·全国卷Ⅲ]若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C.4．[2015·湖南高考]已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D 解析由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－1＋i 1－i＝－1－i. 5．[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 ∵z ＝21＋i＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－2＝ 5.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数是________．答案 12－i2解析由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ，即z ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－i2. 9．[2017·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝b i －－1＋i 1－i＝b －＋b ＋2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．复数z 为实数的充分不必要条件是( ) A ．z ＝z B ．|z |＝z C ．z 2为实数 D ．z ＋z 为实数答案 B解析 z ＝z ⇔z ∈R .|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2.z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i.对于任何z ，z ＋z 都是实数．故选B.12．复数m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，设在复平面内对应的点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －2，y ＝m －1，消去m 得x －3y －1＝0，因为直线x －3y －1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝ 3∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3. 14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入课件文北师大版

编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小． 2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用． 3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．

高考一轮第四章第四节数系的扩充与复数ppt

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3＋i 5．若复数z满足z＋i＝ i ，则|z|＝________.
3＋i 解析：因为z＝ i －i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝ 17.
答案： 17
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1．复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z|＝|z－0|＝a(a>0)表示复数z对应的点到原点的距离为a；
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
－λ＋μ＝3， ∴ 2λ－μ＝－4， λ＝－1，解得 μ＝2.
∴λ＋μ＝1.
答案：1
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[冲关锦囊] 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减
法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边
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[精析考题] [例1] 数a为 A．2 1 C．－2 B．－2 1 D.2 (2011· 安徽高考)设i是虚数单位，复数 1＋ai 为纯虚数，则实 2－i ( )
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[自主解答]
法一：因为
1＋ai 1＋ai2＋i ＝ 2－i 2－i2＋i
2－a＋2a＋1i ＝为纯虚数， 5 所以2－a＝0，a＝2； 1＋ai ia－i 法二：因为＝为虚数，所以a＝2. 2－i 2－i
2 2i3－4i 8 6 z2 1＋i 2i 2 2 解析：∵z2＝z·1，∴z＝z ＝ z ＝＝＝5＋5i. 5 3＋4i 3＋4i 1
答案：C
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[冲关锦囊]
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度 1＋i 1－i a＋bi (1)(1± ＝± i) 2i；(2) ＝i；(3) ＝－i；(4) i ＝b－ai； 1－i 1＋i

高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及线性运算课件理北师大版

解析：
→ → → → → → → → 如图，DC＝ AB ＝OB－OA＝ b－ a，BC ＝OC－OB＝－ OA → －OB＝－ a－ b.
考点一
平面向量的有关概念
给出下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； → → ③向量AB 与向量CD共线，则 A、 B、 C、 D 四点共线； ④如果 a∥ b， b∥ c，那么 a∥ c. 其中正确命题的个数为( D ) A． 1 C． 3 B． 2 D． 0
1．判断下列四个命题： ①若 a∥ b，则 a＝ b；②若 |a|＝ |b|，则 a＝ b；③若 |a|＝ |b|，则 a∥ b；④若 a＝ b，则 |a|＝ |b|. 其中正确的个数是 ( A ) A． 1 C． 3 B． 2 D． 4
→ 2．如图所示， D 是△ ABC 的边 AB 的中点，则向量CD＝ ( A )
减法
求a与b的相反向量－b a－b＝a＋(－b)
的和的运算
向量运算
定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
法则(或几何意义)
运算律
数乘
|λ a|＝ λ ( μ a) ＝ | λ || a | ____________，当 (λμ)a _________________ ；求实数λ与 λ>0时，λa与a的方 (λ＋μ)a＝相同向量a的积向________；当λ<0 λa＋ μ a ； _______________ 的运算时，λa与 a的方向 λ(a＋b)＝相反 ________；当λ＝0 λa＋λb ______________ 0 时，λ a＝______
应用
实际问题．
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

2018届高考数学一轮复习第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.4数系的扩充与复数的引入课件文北师大版

i i
关闭
2
2i
C
解析答案
5.已知(1+2i) �� =4+3i,则z=
.
关闭
∵�� =
2+i
4+3i 1+2i
=
(4+3i)(1-2i) (1+2i)(1-2i)
=
10-5i =2-i,∴z=2+i. 5
关闭
解析
答案
1.在复数范围内实数的一些性质不一定成立,无解的一元二次方程在复数范围内都有解,且方程的根成对出现. 2.在复数中,两个虚数或一个为实数,一个为虚数不能比较大小. 3.利用复数相等,如a+bi=c+di列方程时,a,b,c,d∈R是前提条件.
(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1 ,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) .
(3)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义:若复数 z1,z2 对应的向量��1 , ��2 不共线,
向量�� 的模叫复数复数的模 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z| 或|a+bi|
2.复数的几何意义
3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ;

高三数学理北师大版一轮课件：第4章第1节平面向量、数系的扩充与复数的引入

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定： 0 与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则 (或几何意义)
运算律
(1)交换律：
求两个向量加法
和的运算三角形法则
③正确． ∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝ |b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选 A.]
λP→D，则实数 λ 的值为________．
(1)A (2)－2 [(1)A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)＝43A→C－13A→B ＝－13A→B＋43A→C.故选 A.
(2)因为 D 为边 BC 的中点，所以P→B＋P→C＝2P→D，
又P→A＋B→P＋C→P＝0，所以P→A＝P→B＋P→C＝2P→D，所以A→P＝－2P→D，与A→P＝λP→D比较，得 λ＝－2.]
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( ) (2)B→A＝O→A－O→B.( ) (3)向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．( ) (4)已知 a，b 是两个非零向量，当 a，b 共线时，一定有 b＝λa(λ 为常数)，反之也成立．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√

【优化方案】高三数学一轮复习第4章4.4数系的扩充与复数的引入课件文北师大版

③乘法：z1· z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋ _______________________ bc)i
z1 a＋bi a＋bi c－ di ④除法：＝＝ z2 c＋ di c＋ dic－ di ac＋bd bc－ad 2 2＋ 2 2i c ＋d c ＋d ＝ ___________________ (c＋di≠ 0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3 z2＋ z1 ， ∈ C，都有 z1＋ z2＝ ___________ z 1＋ ( z 2＋ z 3) (z1＋ z2)＋ z3＝ _________________ ．
a＝ c (a，b， c，d∈ R) d＝－ b ⇔________________________
复平面
建立平面直角坐标系来表示复实轴上的点都表示实数；数的平面，叫作复平面，x轴除了原点外，虚轴上的点叫________ ，y轴叫实轴都表示纯虚数虚轴 ________
复数的模
→ 向量 OZ 的模r叫作复数z＝a ＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝ a ＋b ___________
2
2
思考感悟任意两个复数都能比较大小吗？
提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能
比较大小．
2．复数的几何意义 Z(a，b) 与平面向量复数 z＝a＋bi 与复平面内的点_________ → OZ(a，b∈R)是一一对应的关系．
【答案】
(1)－20
(2)D
(3)A
【规律小结】
(1)复数的分类：实数b＝0
复数 a＋bi(a，b∈R) 纯虚数a＝ 0 虚数b≠0 非纯虚数a≠0

2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1

答案：D
第十九页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
考向二平面向量的线性运算[自主练透型] [例 2] (2017·武汉市武昌区调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( ) A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b 是不共线的两个非零向量，
k－λ＝0， λk－1＝0，
解得λk＝＝11，
或kλ＝＝－－11，，
又∵λ>0，∴k＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
第二十九页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
所以A→M＝12(A→B＋A→C)＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12(A→B＋A→D＋12A→B)＝34 A→B＋12A→D.
答案：B
第二十二页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
考向三共线向量定理及其应用[互动讲练型] [例 3] 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， A→E＝23A→D，A→B＝a，A→C＝b.
第十四页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
第十五页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 068 页] 考向一平面向量的有关概念[自主练透型] [例 1] 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

高考一轮第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节课下作业我来演练

一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝ ( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．答案：B2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，又a ＋b 与4b －2a 平行， ∴3(4x －2)＝6(1＋x )，解得x ＝2. 答案：D3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于 ( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ.解得⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32.∴c ＝12a －32b .答案：B4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AD ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：∵a ，b 不共线，∴AC≠0，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在实数t ，满足AB＝t AC ，即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，得λμ＝1. 答案：D5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ，又△DEF ∽△BEA ， ∴DF ＝13AB .即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD ，∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC)＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .答案：B 二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：设e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB＝(3,6)， DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA＝(－3，－6)．因为AC ＝13AB ，DA ＝－13DA ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝12－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP－b ，又3AP ＋4BP＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP－b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP(t ∈R)，则AD ＝13ta ＋512tb .①又设BD ＝k BC (k ∈R)，由BC ＝AC －AB＝b －a ，得 BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①，有AD ＝49a ＋59b .。

高考一轮第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课下作业第三节我来演练

一、选择题1．(2011·广东高考)若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D2．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为 ( )A.58B ．－316C ．－38D.38解析：由已知得|m |＝34，|n |＝5，m·n ＝11，∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n ＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38.答案：C3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( )A ．42，0B ．4,2 2C ．16,0D ．4,0解析：由于|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋π6)，易知0≤8－8cos(θ＋π6)≤16，故|2a －b |的最大值和最小值分别为4和0.答案：D4．(2012·珠海模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM ·ON＝0(O 为坐标原点)，则A ＝( ) A.π6B.712πC.76πD.73π 解析：由题图知OM ＝⎝⎛⎭⎫π12，A ，ON ＝⎝⎛⎭⎫7π12，－A ，∵OM ·ON ＝7π2144－A 2＝0，A >0，∴A ＝712π.答案：B5．(2012·杭州质检)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得：a·b ＝0；将|a －b |＝233|a |两边同时平方得：b 2＝13a 2.所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 243a 2＝12.所以〈a ＋b ，a －b 〉＝60°. 答案：B 二、填空题6．(2011·江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2)＝0，即ke 12＋e 1e 2－2ke 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案：547．(2012·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB ＋AC )·AD的值为________．解析：|BC |2＝|AB |2＋|AC |2＝8，|AD |＝12|BC |，AB ＋AC ＝2AD ，(AB＋AC )·AD ＝2AD ·AD ＝12|BC |2＝4.答案：4 三、解答题8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的射影．解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0.∴(b ·c )a ＝0a ＝0. (2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直， ∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0.∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的射影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22. 9．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得 3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0. 而|a |＝|b |，所以a·b ＝0.则⎝⎛⎭⎫－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.10．已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点(1) AC ·BC ＝－13，求sin 2θ的值． (2)若|OA ＋OC |＝7，且θ∈(－π，0)，求OB 与OC的夹角．解：(1) AC＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)． OC ·BC ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－13.∴sin θ＋cos θ＝23.∴1＋2sin θcos θ＝49.∴sin 2θ＝49－1＝－59.(2)∵OA ＝(2,0)，OC＝(cos θ，sin θ)． ∴OA ＋OC＝(2＋cos θ，sin θ)， ∴|OA ＋OC|＝(2＋cos θ)2＋sin 2θ＝7.即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7. ∴4cos θ＝2，即cos θ＝12.∵－π<θ<0，∴θ＝－π3.又∵OB ＝(0,2)，OC ＝⎝⎛⎭⎫12，－32，∴cos OB ，OC 〉＝OB ·OC|OB |·|OC |＝0－32＝－32.∴〈OB ，OC 〉＝5π6.。

高考数学专题平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点； 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP OP ＝12(OA ＋OB)． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA＋CD ＋EF＝( )A ．0B ． BEC ．ADD ． CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF，BF ＝CE，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE＋EF ＝CF.(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA ) ＝23CA＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC＋CB＝AD ＋CE ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1. [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD.[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b . [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC－AB＝(1－k )AB ＋k 4AC，且AP ＝m AB ＋211AC，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5，得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos a ，b ＝0，可得cos a ，b ＝12，又因为0≤ a ，b ≤π，所以 a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |＝12×5×20＝5.1.(2014·11＝(x 2，y 2)，若|＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B ．－23 C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2 B ．2C. 6D ．6 解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC|＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC|min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．平面向量数量积的性质是高考的重点．归纳起来常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE＝1 , 则AB 的长为________．解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB|2＝1，∴|AB |＝12.答案：12角度二平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126 B ．－126 C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a－b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________．解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC＝0.∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC，又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0，解得k ＝113.③当C ＝90°时， ∵AC ⊥BC，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例)，b ＝(cos β，，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C. 2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i ＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D [类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA＝(－1,2)， OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i. (2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC．5＋i D．5－i解析：选D由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋52－i＝3＋5(2＋i)(2－i)(2＋i)＝3＋2＋i＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。

2018一轮北师大版(理)数学第4章平面向量数系的扩充与复数的引入

高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 理 北师大版

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