2021届新高考数学(文)二轮复习课件：2.1 基本初等函数、函数的图象和性质
(江苏专用)2021高考数学二轮复习专题五第1讲基本初等函数、函数的图象与性质课件理
【训练2】 (1)f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).假设当x∈[－3，0]时， f(x)＝6－x，那么f(919)＝________. (2)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，假设存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，那 么实数a的取值范围是________. 解析 (1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即 f(x＋6)＝f(x)，∴f(919) ＝f(153×6＋1)＝f(1)，又 f(x)在 R 上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即 f(919)＝ 6.
图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x D 部分，且 x＝
1 处(lg x)′＝xln110，因ln110<1，则在 x＝1 附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数 为 8 个.
答案 8
4.(2015·江苏卷)已知函数 f(x)＝|ln x|，g(x)＝0|x，2－04＜|－x≤2，1，x＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1 实
解析 (1)法一 ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0， ∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)＝f(2－x)，f(－x)＝f(2＋x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝ －f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1＋1)＝ f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝－f(1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋ f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.
热点二 函数图象与性质的应用
2021高考数学二轮专题复习7.1函数的图象与性质ppt课件
【解析】 (1)根据题意可得，f(x)＝l－n lxn，xx，≥01<，x<1， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
根据题意可知，a2>－0a>0 ⇒0<a<2； ①当 0<a<1 时，2－a>1， ∵f(a)>f(2－a)，∴－ln a>ln(2－a)⇒a(2－a)<1， 解得 a≠1；∴0<a<1； ②当 a＝1 时，f(a)＝f(2－a)不符合题意(舍)； ③当 1<a<2 时，0<2－a<1， ∵f(a)>f(2－a)，∴ln a>－ln(2－a)，∴a(2－a)>1，解得 a∈∅， 综上，a 的取值范围为(0,1)，故选 A. 【答案】 (1)A
【解析】(2)∵函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，由题 意可得 f(1)＝－f(0)＝0，
当 x≥0 时，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(2 019)＋f(－2 020) ＝f(2 019)－f(2 020)＝f(1)－f(0)＝0，A 选项正确；当 x≥0 时，f(x
或x2＋x<10≥，0， 所以 x<0.故选 D.
3．(多选题)若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1，y1)， B(x2，y2)，其坐标满足条件：|x1x2＋y1y2|－ x21＋y21· x22＋y22的最大 值为 0，则称 f(x)为“柯西函数”，则下列函数中为“柯西函数”
的是( )
(2)[2020·山东德州质量检测]已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 当 x≥0 时，有 f(x＋1)＝－f(x)，且当 x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)， 下列命题正确的是( )
2021版高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第3节函数的奇偶性及周期性课件理新人教A版
2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都 有 5 ____f(_x_＋__T_)＝__f_(_x_) ____，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如 果 在 周 期 函 数 f(x) 的 所 有 周 期 中 6 _存__在__一__个__最__小______ 的 正 数 ， 那 么 这 个 7 _最__小__正__数__就叫做 f(x)的最小正周期．
解析：选 D 由题意，得 f(－x)＝－f(x)，∵x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又 f(1)＝0， ∴f(－1)＝0.奇函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
从而函数 f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)的大致图象如图所示：
则不等式 x[f(x)－f(－x)]<0 的解集为{x|－1<x<0 或 0<x<1}，故选 D．பைடு நூலகம்
►常用结论 定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数 f(x)的 周期为 T＝|a－b|；若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝f（1x），f(x＋a)＝－f（1x） (a>0)，则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期．
5．已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且 f(1)＝0，则不等式 f(x －2)≥0 的解集是__________．
解析：由已知可得 x－2≥1 或 x－2≤－1，解得 x≥3 或 x≤1，∴所求解集是(－∞， 1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
专题05 函数、基本初等函数I的图像与性质-2021年高考数学(文)总复习知识点总结
专题05 函数、基本初等函数I的图像与性质（1）对定义域内一个区间是增函数是减函数（2）是增（减）函数的恒成立。
（3）恒成立。
对定义域内任意，是偶函数是奇函数，偶函数图象关于轴对称，奇函数图象关于坐标原点对称。
对定义域内任意，存在非零常数（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（2）对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为.（3）若。
则函数的一个周期为。
两个函数的图象对称性（1）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（2）与关于轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（3）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
（4）与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于点对称。
（5）与关于点对称。
换种说法：与若满足，即他们关于点对称（6）与关于直线对称。
单个函数的对称性（1）函数满足时，函数的图象关于直线对称。
（2）函数满足时，函数的图象关于点对称。
（3）函数的图象与的图象关于直线对称。
对称性与周期性的关系（1）函数满足，则函数是周期函数，则是一个周期。
（2）函数满足时，函数是周期函数。
（函数图象有两个对称中心时，函数是周期函数，且对称中心距离两倍，是函数的一个周期），函数是以为周期的函数。
（3）函数有一个对称中心和一个对称轴时，该函数也是周期函数，且一个周期是。
（4）若定义上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期。
（5 ）若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期。
（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别）。
（6）已知函数对任意实数，都有，则是以为周期的函数1.正数的正分数指数幂：；2.正数的负分数指幂：；3.0的正分数指数幂等于0:0的负分数指数幂没有意义。
4.幂的运算性质：，其中.5.对数的概念如果，那么数叫作以作为底的对数，记作，其中叫作对数的底数，叫作真数。
6.对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则如果且，，那么①；②；③；④（2）对数的性质①；②（3）对数的重要公式①换底公式：②，推广R高考真题1.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷一（文科，8）设，则（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由可得，所以，图象性 质 定义域：(0，＋∞)值域：R性 质 过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数对勾函数所以有，故选：B【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.2.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷二（1）（文科，10）设函数则（）A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．（2）（文科，12）若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.3.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷三（文科4，10，12）(1)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.(2) .设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.【详解】因为，，所以.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题..（3）已知函数f(x)=sin x+，则（）A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图像关于y轴对称C. f(x)的图像关于直线对称D. f(x)的图像关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C D.【详解】可以为负，所以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.4.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷，4）函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．（2）（浙江卷，9）已知a，b R且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（）A. a<0B. a>0C. b<0D. b>0【答案】C【解析】【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为，所以且，设，则的零点为当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.5.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（海南，7,8,9）（1）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.（2）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.（3）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.6.2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷7,）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.【答案】【解析】【分析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为为奇函数，所以故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.7.2020年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷，8）.若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.8. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，3）（1）函数的图象大致为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．（2）（天津卷，6）设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.。
2021新高考数学 专题 精讲16 基本初等函数、函数与方程
基本初等函数、函数与方程命题点1基本初等函数的图象与性质基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[高考题型全通关]1．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)设a＝log318，b＝log424，c＝234，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜aD[c＝234＜2，a＝log318＝1＋log36＝1＋1log63，b＝log424＝1＋log46＝1＋1 log64.因为0＜log63＜log64＜1，所以1log63＞1log64＞1，所以1＋1log63＞1＋1log64＞2，即a＞b＞c，选D．]2．(2020·惠州第一次调研)已知函数f (x)＝|ln(x2＋1－x)|，设a＝f (log30.2)，b＝f (3－0.2)，c＝f (－31.1)，则()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞aC [法一：f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 1x 2＋1＋x ＝|ln(x 2＋1＋x )|＝f (－x )，所以函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|是偶函数．当x ＞0时，f (x )＝ln(x 2＋1＋x )，此时函数f (x )单调递增，a ＝f (log 30.2)＝f (log 35)，b ＝f (3－0.2)，c ＝f (－31.1)＝f (31.1)，因为31.1＞log 35＞3－0.2＞0，所以c ＞a ＞b .选C ．法二：令g (x )＝ln(x 2＋1－x )，则g (－x )＋g (x )＝ln(x 2＋1＋x )＋ln(x 2＋1－x )＝ln 1＝0，所以g (x )为奇函数，y ＝f (x )＝|g (x )|为偶函数．当x ＞0时，函数f (x )＝|ln(x 2＋1－x )|＝ln(x 2＋1＋x )单调递增，又f (0)＝ln 1＝0，所以函数f (x )的大致图象如图所示．－2＜log 30.2＝log 315＝－log 35＜－1，0＜3－0.2＝130.2＜1，－31.1＜－3，结合图象可知f (－31.1)＞f (log 30.2)＞f (3－0.2)，即c ＞a ＞b ，故选C ．]3．[教材改编]已知log 2a ＞log 2b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．1a ＞1bB ．ln(a －b )＞0C ．2a －b ＜1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D [由log 2a ＞log 2b 可得a ＞b ＞0，故a －b ＞0，逐一考查所给的选项：A 项，1a ＜1b ；B 项，a －b ＞0，ln(a －b )的符号不能确定；C 项，2a －b ＞1；D 项，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .] 4．(2020·合肥调研)函数f (x )＝ln x ·(e x －1)e x ＋1的图象大致为( )B [法一：因为f (－x )＝ln (－x )(e －x －1)e －x ＋1＝ln (－x )(1－e x )e x ＋1＝ln x (e x －1)e x ＋1＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故排除A ，D ；又f (1)＝ln e －1e ＋1＜0，f (2)＝ln 2e 2－2e 2＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4e 2＋1＞0，所以f (2)＞f (1)，故排除C ．故选B ．法二：因为f (x )＝ln x (e x －1)e x ＋1＝ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1，所以当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除A ，C ；当x →－∞时，1－2e x ＋1→－1，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1→＋∞，则f (x )→＋∞，排除D ．故选B ．]5．已知函数f (x )＝e x ＋2(x ＜0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e B [由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点．函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到，当a ＜0时，向右平移，两函数总有交点，当a ＝0时，两函数总有交点，当a ＞0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0，1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0，1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a ＜e.]6．[多选](2020·济南模拟)已知函数f (x )＝2x 2－a |x |，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．当a ＝－1时，函数f (x )的值域为[4，＋∞)C ．若方程f (x )＝14没有实数根，则a ＜－1D ．若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则a ≥0BD [由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2(－x )2－a |－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误．当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1|x |＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B选项正确．由f (x)＝14，得x2－a|x|＝－2，得x2＋2|x|－a＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x2＋2|x|－a＝0没有实数根．令|x|＝t(t＞0)，则方程t2＋2t－a＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－2≤0，－a≥0，即4＋4a＜0或⎩⎪⎨⎪⎧4＋4a≥0，－2≤0，－a≥0，解得a＜－1或－1≤a≤0，综上，a≤0.故C选项错误．要使函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，需g(x)＝x2－a|x|在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x)＝x2－ax＝x－ax在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x)＝1＋ax2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a≥0，故D选项正确．]命题点2函数的零点1．判断函数零点的方法(1)解方程法，即解方程f (x)＝0，方程有几个解，函数f (x)有几个零点；(2)图象法，画出函数f (x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f (x)的零点个数；(3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数；(4)利用零点存在性定理判断．2．解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．[高考题型全通关]1．(2020·四川五校联考)已知函数f (x)＝13x3＋a⎝⎛⎭⎪⎫12x2＋x＋2，则f (x)的零点个数可能为()A．1个B．1个或2个C．1个或2个或3个D．2个或3个A[当a＝0时，函数f(x)＝13x3，只有1个零点；当a≠0时，令f (x)＝13x3＋a⎝⎛⎭⎪⎫12x2＋x＋2＝0，显然x≠0，故－1a＝12x2＋x＋213x3＝6x3＋3x2＋32x，设t＝1x(t≠0)，则－1a＝g(t)＝6t3＋3t2＋32t(t≠0)，g′(t)＝18t2＋6t＋32，Δ＝36－4×32×18＝－72＜0，g′(t)＞0恒成立，故g(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且g(t)可取遍除0外的所有实数，所以－1a＝g(t)只有一个解，即函数f (x)只有1个零点．故选A．]2．(2020·凉山质检)已知函数f (x)＝⎩⎨⎧e x，x＜0，4x3－6x2＋1，x≥0，其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f (x)]2－10f (x)＋3的零点个数为() A．4B．5 C．6D．3A[当x≥0时，f (x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f (x)单调递减，x＞1时，f (x)单调递增，可得f (x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x)的图象，如图所示．g(x)＝3[f (x)]2－10f (x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f (x)，可得3t2－10t＋3＝0，解得t ＝3或13，当t ＝13，即f (x )＝13时，g (x )有三个零点；当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，综上，g (x )共有四个零点．]3．(2020·大同调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞03x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1] B [h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，即方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．在同一坐标系中作出函数f (x )的图象和直线y ＝－x ＋a ，如图所示，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点，则有a ＞1，故选B ．]4．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则在区间(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点．]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e D [当x ≤0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－∞，－1)上为减函数，当－1＜x ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，0]上为增函数，所以当x ≤0时，f (x )的最小值为f (－1)＝－1e .又当x ≥1时，f (x )＝3－x ，当0＜x ＜1时，f (x )＝x ＋1，作出f (x )的图象，如图所示，因为g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点，所以方程f (x )＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f (x )的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，由图可知1＜m ＜2或m ＝0或m ＝－1e .若1＜m ＜2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e .故选D ．]6．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有3个互异的实数根，则实数a 的取值集合为________．{1，9} [法一：依题意得，关于x 的方程|x 2＋3x |＝a |x －1|有3个互不相等的实根，注意到x ＝1不是方程|x 2＋3x |＝a |x －1|的根，于是有a ＝|x 2＋3x ||x －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1. 令x －1＝t ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5. 记g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5，则函数g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，作出函数g (t )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t ＋4t ＋5的图象如图所示，结合图象可知，a ＝1或a ＝9.因此，实数a 的取值集合是{1，9}．法二：依题意得，关于x 的方程|x 2＋3x |＝a |x －1|有3个互不相等的实根，因此a ＞0，所以|x 2＋3x |＝|ax －a |有3个互不相等的实根，即方程x 2＋3x ＝ax －a 与x 2＋3x ＝a －ax 共有3个互不相等的实根，即方程x 2＋(3－a )x ＋a ＝0与x 2＋(3＋a )x －a ＝0共有3个互不相等的实根．注意到当a ＞0时，方程x 2＋(3＋a )x －a ＝0的判别式大于0，所以方程x 2＋(3＋a )x －a ＝0必有2个不相等的实根．假设方程x2＋3x＝ax－a与x2＋3x＝a－ax有相同的根，可得相同的根为x ＝1，但当x＝1时，x2＋3x＝ax－a与x2＋3x＝a－ax均不成立，所以方程x2＋3x ＝ax－a与x2＋3x＝a－ax没有相同的根，所以方程x2＋(3－a)x＋a＝0有2个相等的实根，故其判别式Δ＝(3－a)2－4a＝0(a＞0)，解得a＝1或a＝9.所以实数a 的取值集合是{1，9}．]命题点3函数建模与信息题1．构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义．2．解决新概念信息题的关键(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题．[高考题型全通关]1．我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：“每车坐3人，有2辆车空出来；每车坐2人，多出9人步行．问人数和车辆数各是多少？”该问题中的车辆数为()A．12B．14C．15D．18C[设车有x辆，则3(x－2)＝2x＋9，解得x＝15.]2．对于函数f (x)，若存在实数m，使得g(x)＝f (x＋m)－f (m)为R上的奇函数，则称f (x)是位差值为m的“位差奇函数”．给出下列三个函数：①f (x)＝2x＋1；②f (x)＝x2－2x＋1；③f (x)＝2x.其中是“位差奇函数”的有()A．0个B．1个C．2个D．3个B[对于①，f (x)＝2x＋1，则g(x)＝f (x＋m)－f (m)＝2(x＋m)＋1－(2m＋1)＝2x，则对任意实数m，g(x)＝f (x＋m)－f (m)均是R上的奇函数，即f (x)＝2x＋1是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f (x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，则g(x)＝f (x＋m)－f (m)＝x2＋2(m－1)x，无论m取何值，g(x)都不是R上的奇函数，则f(x)＝x2－2x＋1不是“位差奇函数”；对于③，f(x)＝2x，则g(x)＝f(x ＋m)－f (m)＝2x＋m－2m＝2m(2x－1)，无论m取何值，g(x)＝f (x＋m)－f (m)都不是R上的奇函数，则g(x)不是“位差奇函数”．故选B．]3．[多选](2020·烟台模拟)我们定义这样一种运算“⊗”：①对任意a∈R，a ⊗0＝0⊗a＝a；②对任意a，b∈R，(a⊗b)⊗c＝c⊗(ab)＋(a⊗c)＋(b⊗c)．若f(x)＝e x－1⊗e1－x，则以下结论正确的是()A．f (x)的图象关于直线x＝1对称B．f (x)在R上单调递减C．f (x)的最小值为3D．f (223)＞f (232)＞f (log319)AC[对任意a，b∈R，(a⊗b)⊗c＝c⊗(ab)＋(a⊗c)＋(b⊗c)，令c＝0，得(a⊗b)⊗0＝0⊗(ab)＋(a⊗0)＋(b⊗0)，得(a⊗b)⊗0＝a⊗b＝ab＋a＋b，所以f (x)＝e x－1⊗e1－x＝e x －1＋e1－x＋1.f (1－x)＝e－x＋e x＋1，f (1＋x)＝e－x＋e x＋1，所以f (1－x)＝f (1＋x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，A项正确；f′(x)＝e x－1－e1－x，当x＞1时，f′(x)＞0，当x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B项不正确；f (x)＝e x－1＋e1－x＋1≥2e x－1·e1－x＋1＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，C项正确；根据f (x)的图象关于直线x＝1对称，得f (log319)＝f (log381)，又f (x)在(1，＋∞)上单调递增，log 381＝4，1＜223＜232＜4，所以f (223)＜f (232)＜f (log 381)，所以f (223)＜f (232)＜f (log 319)，故D 项错误．]4．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|＜n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4eB ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3，2e 2 B [由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|＜1，得1＜β＜3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1，3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，所以h (x )在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3＞1e ，要使函数g (x )在区间(1，3)上存在零点，只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2，故选B ．] 5．[一题两空]某种物质在经过时间t (单位：min)后的浓度为M (单位：mg/L)，M 与t 满足函数关系M ＝ar t ＋24(a ，r 为常数)．当t ＝0 min 和t ＝1 min 时测得该物质的浓度分别为124 mg/L 和64 mg/L ，当t ＝4 min 时，该物质的浓度为________mg/L ；若该物质的浓度小于24.001 mg/L ，则最小的整数t 的值为________．(参考数据：lg 2≈0.3.)26．56 13 [由题意得ar 0＋24＝124且ar ＋24＝64，解得a ＝100，r ＝0.4，∴M ＝100×0.4t ＋24，当t ＝4时，M ＝100×0.44＋24＝26.56.由100×0.4t ＋24＜24.001得0.4t ＜0.15，∴lg 0.4t ＜lg 0.15，∴t lg 0.4＜－5，∴t[lg 2－(1－lg 2)]＜－5，∴t(2lg 2－1)＜－5，∴t＞51－2lg 2≈12.5，∴最小的整数t的值是13.]。
(新人教A)高三数学第二轮复习第二讲函数的图像与性质
第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
高考复习课件高考二轮·理科数学专题7第21讲基本初等函数的图象、性质及应用
1，x>0， 考题 3(2015 湖北)已知符号函数 sgn x＝0，x＝0， －1，x<0， f(x)是 R 上的增函数， g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)， 则( ) A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] C．sgn[g(x)]＝－sgn x D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
函数、导数与不等式的问题是新课标高考的命题热点 之一，出现频率较高的题型是极值、最值、范围问题 ，以 及函数单调性的讨论与不等式的证明等综合问题． 从考查题型来看，往年高考中既有 1～3 道小题，又有 1～2 道解答题．且绝大多数试题处在把关题，压轴题的位 置．涉及的内容大多是函数与不等式、导数知识交汇 ，主 要考查求函数的最值和值域，函数单调性的讨论，解不等 式，求参数取值范围及函数零点个数探讨等．
【命题立意】本题考查函数的图象与性质及推理论证 能力与识图能力．
π
考题 2(2015 湖南)设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－ x)，则 f(x)是( ) A．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D．偶函数，且在(0，1)上是减函数
பைடு நூலகம்
【解析】选 C 分类比较 x 与 ax 的大小，根据 f(x)的单调性确定 g(x) 的符号，从而确定 sgn[g(x)]，再结合选项判断． 因为 a＞1，所以当 x>0 时，x＜ax，因为 f(x)是 R 上 的增函数 ， 所以 f(x)<f(ax)， 所以 g(x)＝f(x)－f(ax)＜0， sgn[g(x)]＝－1＝－sgn x； 同理可得当 x＜0 时， x＞ax， g(x) ＝f(x)－f(ax)>0，sgn[g(x)]＝1＝－sgn x；当 x＝0 时，g(x) ＝0，sgn[g(x)]＝0＝－sgn x 也成立．故 C 正确．
2021年高考数学二轮复习2.2基本初等函数、函数与方程及函数的应用课件理
6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝
1 8
，即两函数的图
象刚好有1个交点，且当x∈(8，＋∞)时，y＝
1 x
的图象都在y＝f(x)
的图象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.选A.
答案：A
考点 3 函数的实际应用
1．应用函数模型解决实际问题的一般程序
读题
建模
求解
由yy＝＝ax2x＋，2ax＋a， 消去y，整理得x2＋ax＋a＝0. 由Δ＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上，得4<a<8. 答案：(4,8)
4．[2018·惠州高三调研]函数f(x)是定义在R上的奇函数，当
2|x－1|－1，0<x≤2， x>0时，f(x)＝ 12fx－2，x>2，
则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，
[解析] ∵ f(x)＋f(－x)＝ln( 1＋x2－x)＋1＋ln( 1＋x2＋x)＋1 ＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴ f(a)＋f(－a)＝2，∴ f(－a)＝－2. [答案] －2
(2)[2018·天津12 卷]已知a＝log 2 e，b＝ln
2，c＝log 1 2
13，则a，b，
c的大小关系为( ＝lo)g
若g(x)存在2个零点，则 h(x)的图象，可知 当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不 符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合 题意．
反馈
文字语言⇒数学语言⇒数学应用⇒检验作答.
2．函数实际应用题的常见类型及解题关键
高三数学二轮复习讲义专题一函数性质与图象
专题一 集合，常用逻辑用语，不等式，函数与导数（讲案）第二讲 函数的基本性质与图象【最新考纲透析】预计时间：3.13---3.18函数与基本初等函数的主要考点是：函数的表示方法、分段函数、函数的定义域和值域、函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数与对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质。
本部分一般以选择题或填空题的形式出现，考查的重点是函数的性质和图象的应用，重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度。
复习该部分以基础知识为主，注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力。
【考点精析】题型一 函数的概念与表示例1 (1)函数21sin()(10)()0x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩，若(1)()2f f a +=，则的所有可能值为( ) A ．1，2- B．2- C ．1，2- D ．1，2（2）根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16（3）已知集合A 到集合{}0,1,2,3B =的映射1:1f x x →-，则集合A 中的元素最多有 个。
解析：1:1f x x →-是集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有象。
令101x =-，该方程无解，所以0无原象，分别令11,2,3,1x =-解得：342,,23x x x =±=±=±。
故集合A 中的元素最多为6个。
（4）如图，已知底角为450的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm，腰长为cm ，当一条垂直于底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =，试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式。
最新-2021届高三数学文二轮新课标专题复习课件：1.2.1函数的图象与性质 精品
(2)奇偶性: 对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)+f(-x)=0 ⇔y=f(x)是_奇__函__数__; 对于定义域(关于原点对称)内的任意x,f(x)-f(-x)=0 ⇔y=f(x)是_偶__函__数__.
2.函数图象的变换规则 ①平移变换: 将y=f(x)的图象向_左__(a>0)或向_右__(a<0)平移_|_a_|_个 单位得到y=f(x+a)的图象, 将y=f(x)的图象向_上__(a>0)或向_下__(a<0)平移_|_a_|_个 单位得到y=f(x)+a的图象.
0,
则
f (f (1)) 的值是________.
4
【解析】f
(
1 4
)＝log
2
1＝ 4
2，f
(f
(
1 ))＝f 4
2 ＝32＝ 1
9
.
答案: 1
9
热点考向二 函数的图象及应用 命题解读:主要考查利用函数的解析式选择图象,利用 函数的图象选择解析式、利用函数的图象来研究函数 的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题 以及解不等式、比较大小等,以选择题、填空题为主.
【典例2】(1)(2016·浙江高考)函数y=sinx2的图象是 ()
(2)(2016·合肥一模)函数y=2|x|的定义域为[a,b],值 域为[1,16],当a变动时,函数b=g(a)的图象可以是
()
【解题导引】(1)根据函数奇偶性的性质和最值进行判 断排除即可. (2)根据a变动时,以及函数的值域可知b为定值4,结合 选项即可得到答案.
1.(2016·湖州一模)已知函数f(x)=|x-1|,则下列函数
与f(x)相等的函数是 ( )
【2021新高考数学二轮复习】第2讲 基本初等函数、函数与方程
【2021新高考数学二轮复习】第2讲 基本初等函数、函数与方程考点一 基本初等函数的图象与性质[学生用书P87][典型例题](1)(2020·贵阳市四校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若a ＝f (20.3)，b ＝f (2)，c ＝(log 25)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a(2)(多选)若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( )A ．f (x )＝e x ＋e －x 2B ．g (x )＝e x －e －x 2C ．f (－2)＜g (－1)D ．g (－1)＜f (－3)【解析】 (1)因为20＜20.3＜21，即1＜20.3＜2，log 25＞log 24＝2，所以20.3＜2＜log 25.因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，所以f (20.3)＞f (2)＞f (log 25)，即a ＞b ＞c ，故选B.(2)因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②，联立①②得⎩⎨⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x ，f （x ）－2g （x ）＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x 2，g （x ）＝e x －e －x 4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e 4＜0，所以g (－1)＜f (－2)，g (－1)＜f (－3)，故选AD.【答案】 (1)B (2)AD基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(2020·高考天津卷)设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 解析：选D.由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝(13)－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－3x 2，若f (2a －1)＞f (3)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)解析：选B.易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －3x 2，故函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，故f (2a －1)＞f (3)等价于|2a －1|＜3，解得－1＜a ＜2，故实数a 的取值范围为(－1，2)．3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x ＞1，e x －2，x ≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋2，x ＞1，e x －2，x ≤1.当x ＞1时，y ＝ln x ＋2＞2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞)考点二 函数与方程[学生用书P88][典型例题]命题角度1 确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0＜x ≤2，f （x －2）＋1，x ＞2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)因为x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x ＞2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 (1)B (2)C(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；②利用零点存在性定理进行判断；③画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(2)判断函数零点个数的方法①直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．②利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度2 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)(2)(2020·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，|x |≤1，|x |，|x |＞1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a ＞1C ．0≤a ＜1D ．a ＜0【解析】 (1)因为f (x )在(1，2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )·(3－a )＜0，所以0＜a ＜3.(2)方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.【答案】 (1)C (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x ＞1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x ＞1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．(2020·济南模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1，x →－∞时，f(x)→0.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x) 的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0，1]，故选D.考点三函数的实际应用[学生用书P89][典型例题](1)(2020·高考全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)() A．60B．63C．66 D．69(2)已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝x4，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝a2x(a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为()A. 5 B．5C. 2 D．2【解析】(1)由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，K1＋e－0.23（t*－53）＝0.95K，即10.95＝1＋e－0.23(t *－53)，e－0.23(t*－53)＝119，e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.故选C.(2)设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元．利润分别为Q ＝a 2x (a ＞0)，P ＝20－x 4.又因为0≤x ≤20时，P ＋Q ≥5恒成立，所以a x ≥x 2.①当x ＝0时，符合题意；②当0＜x ≤20时，a ≥x 2.要使a ≥x 2在x ∈(0，20]内恒成立，只需使a 不小于x 2的最大值．因为x 2的最大值为5，所以a ≥5，即a 的最小值为 5.故选A.【答案】 (1)C (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答. (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练](2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1解析：选A.由题意可设太阳的星等为m 2，太阳的亮度为E 2，天狼星的星等为m 1，天狼星的亮度为E 1，则由m 2－m 1＝52lg E 1E 2，得－26.7＋1.45＝52lg E 1E 2，52lgE 1E 2＝－25.25，所以lg E 1E 2＝－10.1，lg E 2E 1＝10.1，E 2E 1＝1010.1.故选A.[学生用书(单独成册)P156]一、单项选择题1．函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A ，则下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析：选A.令x －1＝0，可得x ＝1，此时y ＝1，所以函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A (1，1)．把x ＝1，y ＝1代入各选项验证，只有A 选项中函数的图象没有经过A 点．故选A.2．设f (x )是区间[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，则方程f (x )＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根 解析：选C.因为f (x )在区间[－1，1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一的零点．所以方程f (x )＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．3．若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1解析：选B.因为函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域为[a ，＋∞)，所以函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，所以当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.4．若函数y ＝a －a x (a ＞0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为当a ＞1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递减，所以a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0＜a ＜1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递增，所以a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．所以a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 5．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A ，B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，故选D.6．2018年9月，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于给定数值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10 000以内的素数个数为(素数即质数，lg e ≈0.434 29，计算结果按四舍五入取整数)( )A ．1 089B ．1 086C ．434D ．145解析：选B.由题可知，小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x ，则10 000以内的素数的个数为π(10 000)≈10 000ln 10 000＝10 0004ln 10＝10 000lg e 4＝2 500lg e ≈0.434 29×2 500≈1 086，故选B.7．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a <b )，则( )A ．a ＋b >0B ．a ＋b >1C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1解析：选A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a <b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0，所以0＝ab ＋a ＋b <（a ＋b ）24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b ＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.8．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ＜0，－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选C.由“优美点”的定义可知，若(x 0，f (x 0))为“优美点”，则点(－x 0，－f (－x 0))也在曲线f (x )上，且(－x 0，－f (－x 0))也是“优美点”．如图所示，作出函数y ＝x 2＋2x (x ＜0)的图象，再作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)关于原点对称的图象，即曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)，直线y ＝－x ＋2过点(2，0)，故与曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)交于两点，所以曲线f (x )有4个优美点．故选C.二、多项选择题9．(2020·山东枣庄滕州一中月考)已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( )A ．函数f (x )为增函数B ．函数f (x )为偶函数C ．若x ＞1，则f (x )＞0D ．若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 解析：选ACD.由题意得2＝log a 4，所以a ＝2，故函数f (x )＝log 2x .对于A 项，函数f (x )＝log 2x 为增函数，故A 项正确；对于B 项，函数f (x )＝log 2x 不是偶函数，故B 项错误；对于C 项，当x ＞1时，f (x )＝log 2x ＞log 21＝0成立，故C 项正确；对于D 项，因为f (x )＝log 2x 往上凸，所以若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立，故D 项正确．故选ACD. 10．若函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |，其中a ＞0且a ≠1，则函数f (x )，g (x )在同一坐标系中的大致图象可能是( )解析：选AD.由题意知f (x )＝a x －2是指数函数，g (x )＝log a |x |是对数函数，且是一个偶函数．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －2单调递减，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上递减，此时A 选项符合题意，当a ＞1时，f (x )＝a x －2单调递增，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，此时D 选项符合题意，故选AD.11．设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e ＋1解析：选BCD.f (x )＝x e |x |＋1，f (－x )＝1－x e |x |，不满足f (x )＝－f (－x )，故A 错误．令g (x )＝x e |x |，则g (－x )＝－x e|－x |＝－x e |x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0，1)对称，B 正确．设f (x )＝x e |x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝x e |x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1.当x ＞0时，g (x )＝x e x ，所以g ′(x )＝1－x e x .当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，所以当x ∈(0，1)时，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x＝1处取得最大值，最大值g (1)＝1e ，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e ＋1，最小值为N＝－1e ＋1，故C ，D 正确，故选BCD.12．(2020·辽宁省实验中学东戴河分校月考)设函数f (x )＝x |x |－bx ＋c ，则下列命题正确的是( )A ．当b ＞0时，函数f (x )在R 上有最小值B ．当b ＜0时，函数f (x )在R 上是单调递增函数C ．若f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，则c ＝1 010D ．方程f (x )＝0可能有三个实数根解析：选BCD.对于A 项，当b ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，可知函数f (x )在R 上无最小值，故A 项错误；对于B 项，当b ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22＋b (x 2－x 1)，由x 21－x 22＜0，x 2－x 1＞0，b ＜0可知，f (x 1)－f (x 2)＜0，故函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增．同理可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，且(x 2－bx ＋c )min ＝f (0)＝c ＞(－x 2－bx ＋c )max ，所以函数f (x )在R 上是单调递增函数，故B项正确；对于C 项，由f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，将x ＝2 019，x ＝－2 019分别代入f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，解得c ＝1 010，故C 项正确；对于D 项，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝x |x |－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2，故D 项正确．故选BCD.三、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (log 2 16)＝________． 解析：由题可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝8. 答案：814．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________． 解析：因为f (x )＝|log 3 x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，且函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2是最大值，得m ＝13，n ＝3，此时log 3n ＝1<2，满足题意，则n m ＝9；若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得m ＝13，n ＝3，故n m＝9. 答案：915．已知函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[a ，b ]上同时递增或同时递减时，[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”．若[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围为________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x ＋t |.因为[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，所以函数y ＝|2x ＋t |和函数g (x )＝|2－x ＋t |在区间[1，2]上的单调性相同．又因为y ＝2x ＋t 和y ＝2－x ＋t 的单调性相反，所以(2x ＋t )·(2－x ＋t )≤0在[1，2]上恒成立，即2－x ≤－t ≤2x 在[1，2]上恒成立，得－2≤t ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 16．(2020·开封市模拟考试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (x )＋f (2－x )＝0，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2，则f (1)＝________，g (x )＝f (x )－lg x ，则函数g (x )的零点共有________个．解析：依题意得f (－x )＋f (x )＝0，f (x )＋f (2－x )＝0，因此f (2－x )＝f (－x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数，于是f (1)＝f (－1)＝－f (1)，2f (1)＝0，即f (1)＝0.由此可得函数f (x )的值域为(－1，1)，由g (x )＝0得f (x )＝lg x ＜1，0＜x ＜10，且函数g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象在区间(0，10)内的公共点个数．在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝lg x 的大致图象，如图所示，结合图象可得，它们的图象共有5个公共点，因此函数g (x )的零点共有5个．答案：0 5。
2021届高考数学【新课改版】二轮专题六函数与导数函数的图象与性质PPT全文课件
2021届高考数学【新课改版】二轮专 题六函 数与导 数函数 的图象 与性质P PT全文 课件【 完美课 件】
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2. [分段函数求函数值] 已知函数f(x)＝ sinπx＋π6 ，x≤0， 2x＋1，x＞0，
则f(－2)＋f(1)＝
()
6＋ 3 A. 2
6－ 3 B. 2
7
5
C.2
D.2
解析：
f(－2)＋f(1)＝sin－2π＋π6 ＋(21＋1)＝sin
π 6 ＋3
＝12＋3＝72，故选C.
答案：C
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3.[分段函数解不等式]已知函数f(x)＝11＋ ，xx2＞，0x，≤0，若f(x－4)
＞f(2x－3)，则实数x的取值范围是
()
A．(－1，＋∞)
4.[分段函数求参数值或范围]已知函数f(x)＝
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l2oxg－2（1，3－x＞x）0，，x≤0，若f(a－1)＝12，则实数
a＝________．
解析：当a－1≤0，即a≤1时，log2(4－a)＝
1 2
，4－a＝
1
1
22，故a＝4－22，不满足a≤1，舍去．
当a－1＞0，即a＞1时，2a－1－1＝
(2)法一：因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，又
f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图 ①所示，则函数f(x－1)的大致图象如图②所示．
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当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0， 得－1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0， 得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]． 法二：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且 f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2， ∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－ 1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综 上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D. [答案] (1)D (2)D
高中总复习二轮理科数学精品课件 第二部分 2.1 基本初等函数、函数的图象和性质
3.特别注意“若奇函数在x=0处有定义,则一定有f(0)=0”“偶函数一定有
f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.
4.函数的周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合,常涉及求解函
数的周期,常见形式主要有以下几种:
(1)如果f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=|ab|.
间[0,+∞)上单调递增,所以 a>b>c.
4
1
1
1
3 <3 = ,f(x)在区
,0<3
3
3
命题热点三 函数的图象及其应用
【思考】 如何识别已知函数的图象?如何根据函数的性质判断函数的图
象?
例3(2022全国甲,理5)函数y=(3x-3-x)cos
( A )
π π
x在区间 - , 上的图象大致为
2 2
- ,
2 2
C.是偶函数,且在区间
1
-∞,- 2
上单调递增
D.是奇函数,且在区间
1
-∞,2
上单调递减
∞ 上单调递增
上单调递减
)
(2)(2022新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),
22
f(1)=1,则 ∑ f(k)=(
=1
A.-3
B.-2 C.0
因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,
f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,
所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0.
2021届高考新课改数学一轮复习课件：2.1 函数及其表示
x
1,
且f(a)=-3,则
f(6-a)= ( )
A. 7 4
B. 5 4
C. 3 4
D. 1 4
【解析】选A.若a≤1,则2a-1-2=-3, 整理得2a-1=-1, 由于2x>0,所以2a-1=-1无解,
若a>1,则-log2(a+1)=-3, 解得a=7, 所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2= 7 .
【技法感悟】 1.分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间, 然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时, 应从内到外依次求值.
(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区 间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检 验. 2.分段函数的方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果 并起来.
4.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐 标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)=( )
A.3 B.0 C.1 D.2
【解析】选A.由题中函数f(x)的图象可得,f(1)=2,f(3)=1, 故f(1)+f(3)=3,故选A.
5.函数y= 3 2x x2 的定义域是________. 【解析】由3-2x-x2≥0得x2+2x-3≤0,即(x-1)(x+ 3)≤0,解得-3≤x≤1. 答案:[-3,1]
x
【规范解答】(1)设t= x+1, 则x=(t-1)2(t≥1),代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故f(x)=x2-1(x≥1). 答案:x2-1(x≥1)