向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实际背景及基本概念
例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心, 在图中所标出的向量中: E D (1)试找出与FE共线的向量;
F
O C
热 热 身
解: (1) OA BC, (2) FE BC
若不相等,则之间有什么关系?
A
B
(3)虽然OA // BC,且|OA|=|BC|,
立
BACK
练习:
1.已知a、b为不共线的非零向量,且
存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
c =____ 0
BACK
练习:
1.与非零向量 a (非单位向量)平行的 2 向量中,不相等的单位向量有_____ 个.
BACK
练习:如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出
三维目标 1.通过实例,利用平面向量的物理背景以及研 究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以 及确定平面向量的两个要素,分清数量与向量 的区别。 2.理解自由向量、平行向量、相等向量、相反 向量等概念,并能判断它们之间的关系,并会 辨认图形中的相等向量或作出与某一向量相等 的向量。 3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个 要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移 这一特性。培养学生数形结合的思想。
教学反思:
位移和距离 这两个量
香港
上海 台北
想一想:
观察下述三个量,哪个与另两个有区别?
m=5kg
(1)
F=20N
(2)
v =20km/h
(3)
(2)(3)都是有大小和方向的量
授课教师:高 波
一、向量的定义
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一:向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解,向量是可以自由移动的,平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小,它们的模可比较大小。
考点二:向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算,会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算,理解两个向量共线的含义,会推断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算,体会平面向量的数量积与向量投影的关系,并理解其几何意义,掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。
命题形式重要以选择、填空题型显现,难度不大,考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。
考点三:定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能娴熟应用,求点分有向线段所成比时,可借助图形来帮忙理解。
重点考查定义和公式,重要以选择题或填空题型显现,难度一般。
由于向量应用的广泛性,常常也会与三角函数,解析几何一并考查,若显现在解答题中,难度以中档题为主,偶然也以难度略高的题目。
考点四:向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题,考查了向量的知识,三角函数的知识,实现了高考中试题的掩盖面的要求。
命题以三角函数作为坐标,以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合,也有向量与三角函数图象平移结合的问题,属中档偏易题。
考点五:平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题,重要是向量与二次函数结合的问题为主,要注意自变量的取值范围。
命题多以解答题为主,属中档题。
考点六:平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,使向量之间的运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此,很多平面几何问题中较难解决的问题,都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中,给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标,这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.命题多以解答题为主,属中等偏难的试题。
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律,即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时,向量减法不满 足结合律。
• 意义:数乘向量在实际问题中具有重要意义,如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义:两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数,记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质:向量加法满足交换律和结合律,即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$,$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质:点乘满足交换律和分配律,即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$, $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外, 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;
(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
(3)通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课,概念与知识点较多,在对学生进行适当的引导之后,应让学生清清楚楚得明白其概念,这是学生进一步获取向量知识的前提;通过学生主动地参与到课堂教学中,提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下,学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较,培养学生认识客观事物的数学本质的能力,并且意识到数学与现实生活是密不可分的,是源于生活,用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点:向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示等
2难点:向量的概念和共线向量的概念。
平面向量的基本概念
平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2.数量的概念:只有大小没有方向的量叫做矢量。
矢量与向量的区别:矢量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 3.有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。
4.有向线段的三要素:起点,大小,方向5.有向线段与向量的区别; (1)相同点:都有大小和方向(2)不同点:①有向线段有起点,方向和长度,只要起点不同就是不同的有向线段比如:上面两个有向线段是不同的有向线段。
②向量只有大小和方向,并且是可以平移的,比如:在①中的两个有向线 段表示相同(等)的向量。
③向量是用有向线段来表示的,可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法: ①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:AB ;7.向量的模:向量AB 的大小(长度)称为向量的模,记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念:长度为零的向量称为零向量,记为:0。
长度为1的向量称为单位向量。
9.平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行.即:0 ∥a。
说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 10.相等向量A(起点)B(终点)a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有.. 向线段的起点无关......... 11.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)........... 说明:(1)平行向量是可以在同一直线上的。
(2)共线向量是可以相互平行的。
例1.判断下列说法是否正确,为什么? (1)平行向量是否一定方向相同? (2)不相等的向量是否一定不平行? (3)与零向量相等的向量必定是什么向量? (4)与任意向量都平行的向量是什么向量?(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? (6)两个非零向量相等当且仅当什么? (7)共线向量一定在同一直线上吗?解析:(1)不是,方向可以相反,可有定义得出。
平面向量的实际背景及基本概念
一点P,那么它们的终点的集合组成什么图形?
提示:圆
P
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等,记作:
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中,我们有:若
=
b
A4, =
,则 B=1
B2
B3
,在向量中,你能提出类似的问题吗?结论怎样?
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作:AB 或 a .
注:向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”,“1”,向量中有
没有类似的特殊向量?
零向量——长度为0的向量叫做零向量,记作 0.
零向量的方向是任意的!
单位向量——长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解:
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个?
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量?
3.与向量OA 共线的向量有哪些?
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量:既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素:大小、方向.
数量:只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接:物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
平面向量的实际背景及基本概念
数乘向量
• 数乘向量:一个实数与一个向量的乘积是一个向量,其模 等于该实数乘以原向量模,其方向与原向量方向相同或相 反(当实数为负时)。
03
平面向量的性质与运 算
向量的模
向量的模的性质
• 齐次性:对于任意实数λ和向量 a,有|λa|=|λ||a|。
向量的模定义:向量的大小或长 度称为向量的模。记作|a|,其中a 为向量。
速度与加速度的合成
总结词
平面向量在速度和加速度的计算中有着重要的应用, 通过速度和加速度的合成可以更好地分析物体的运动 状态。
详细描述
在物理学中,速度和加速度是描述物体运动状态的重 要物理量,可以用向量表示其大小和方向。通过将速 度和加速度进行合成,可以更好地分析物体的运动状 态,例如,在曲线运动中,可以将速度分解为多个分 量,然后分别对每个分量进行分析,以确定物体在曲 线上的位置、速度和加速度。此外,在航天工程中, 也需要利用平面向量来计算卫星轨道和航天器姿态等 参数。
VS
向量的积分
向量的积分可以表示向量在某个区间内的 累积效果,其计算方法与函数的积分类似 。
THANK YOU
05
平面向量的扩展与延 伸
向量的空间几何意义
向量的长度
表示向量的大小,可以通过模长来衡 量。
向量的夹角
表示两个向量之间的角度,可以通过 向量的点积来计算。
向量的平行
当两个向量共线时,它们是平行的。
向量的垂直
当两个向量正交时,它们是垂直的。
向量的函数表示
向量的线性函数
向量的线性函数是指与向量成正比的函数, 可以表示为y=mx+b的形式。
向量的二次函数
向量的二次函数是指与向量平方成正比的函数,可 以表示为y=mx²+bx+c的形式。
平面向量的实际背景和基本概念
变式一:与向量OA长度相等旳向量 有多少个?
11个 变式二:是否存在与向量OA长度相等,方向
相反旳向量?( 相反向量)
存在,为 FE 变式三:与向量OA长度相等旳共线向量有哪些?
CB、DO、FE
例2.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后 变化方向按东北方向走了 10 2 米到达C点,到 达C点后又变化方向向西走了10米到达D点.
下列结论正确旳是:
(1)假如两向量相等,那么它们旳 起点和终点分别重叠;
(2)两个相等向量旳模相等;
(3)任历来量与它旳相反向量 (长度相同,方向相反旳向量)不相等.
(1)若两个向量在同一条直线上, 那么这两个向量是什么向量?
(2)共线向量一定在一条直线上吗?
(3)
若a
//
b,b
//
c,
则a
F
M
(2)DB、MC、AD
B
E
C
C D
D
C
方向和大小
向量
定义 表达
几何表达法:有向线段
符号表达法: a, b , AB
长度(模)
零向量
特殊向量
向量旳有关概念
单位向量
向量间 旳关系
平行(共线)向量 相等向量
拓广延伸
对于下列多种情况,各向量旳终点旳集合 分别是什么图形?
(1)把全部单位向量旳起点平行移动到同一点P;
是以P点为圆心,以1个单位长为半径旳圆; (2) 把平行于直线l 旳全部单位向量旳起点 平移到直线 l 上旳点P;
是直线 l 上与点P旳距离为1旳两个点;
(3) 把平行于直线l 旳全部向量旳起点平移 到直线 l 上旳点P;
第二章 平面向量的实际背景及基本概念
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知识预览
1.向量的概念与几何表示 (1)我们把既有大小又有方向的量叫做向量. (2)具有方向的线段叫做有向线段,A 为起点,B 为终点 → → 的有向线段记作AB, 线段 AB 的长度叫做有向线段AB的长度, → 记作|AB|,有向线段包括三个要素:起点、方向、长度.
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→ 解:(1)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形,知DC, → → → ED与AB长度相等且方向相同,所以与向量AB相等的向量为 → → DC和ED. → → → → → → (2)依据图形可知DC,ED,EC与AB方向相同,BA,CD, → → → → → → DE, 与AB方向相反, CE CD 所以与向量AB共线的向量有BA, , → → → → → DC,ED,DE,EC,CE.
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自测自评
1.下列各物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤ 加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析:②③④⑤是向量. 答案:D
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2.下列结论中错误的是( ..
)
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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目标定位
目 标 要 求 1.了解向量的实际背景,以位移、力等物理背景抽象出 向量. 2. 理解向量的概念, 相等向量的概念及向量的几何表示. 3.掌握向量的概念及共线向量的概念. 热 点 提 示 1.对向量概念以及共线向量的考查是本节的热点. 2.本节内容常与三角函数、解析几何结合命题. 3.多以选择题、填空题的形式考查.
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移,且
280km .
25
平行向量:
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
(三)情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程,提高自主探究能力,进
一步提高学习数学的乐趣,由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
(四)学科核心素养 a. 数学抽象:平面向量的概念 b. 逻辑推理:共线向量的判断 c. 数学运算:向量相等 d. 直观想象:向量的几何表示 e.数学建模:向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量:长度相等,方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 (1)相等向量一定是平行向量?
考
a
:
是
b
(2)平行向量一定是相等向量?
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度,记作: AB
有向线段的三要素:起点、,它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法:
(1)几何表示法:用有向线段表示
必修四2-1-1~3平面向量的实际背景及概念
→ 的长度,记作 |AB →| . 向、长度.线段 AB 的长度叫做有向线段AB (2)向量的几何表示法 以A为
起点
,以 B 为
→. 终点 的有向线段记作AB
→ 表示一个向量,通常我们就说向量AB →. 如果有向线段AB
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(3)用字母表示向量 通常在印刷时,用黑体小写字母 a,b,c„表示向量,在手写 时用带箭头的小写字母 a,b,c,„表示向量. →, →. 也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示, 如AB CD
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自学导引 1.向量 即有
大小 ,又有 方向 的量叫向量.
想一想:两个向量能否比较大小? 提示 不能.虽然长度可以比较,但方向不能比较大小.
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2.向量的几何表示 (1)有向线段 带有 方向 的线段,叫做有向线段, A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小, ∴B 不正确;C 中向量的大小即向量的模,指的是有向线段的 长度,与方向无关,∴C 不正确;D 中向量的模是一个数量, 可以比较大小,∴D 正确. 答案 D
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题型二 向量的表示 【例 2】 在如图的方格纸上,已知向量 a, 每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b,使 b=a; (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c,使 |c|= 5,并说出向量 c 的终点的轨迹是什么? [思路探索] 用有向线段表示向量时,要注意有向线段的起点和 终点位置.
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3.与向量有关的概念 (1)零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0 . (2)单位向量:长度为 1 的向量叫做单位向量. (3)相等向量: 长度相等 且 (4)平行向量(共线向量): 方向 平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量 a 平行于 b,记作 a∥b. ②规定:零向量与 任一向量 平行.
2.1向量的实际背景及基本概念
在相等向量的定义下,任意两个相等的非 零向量,都可用同一条有向线段表示,并 且与有向线段的起点无关,在平面上,两 个长度相等且指向一致的有向线段表示同 一个向量,因为向量完全由它的方向和模 确定
用表示向量的有向线段的长度表示.
A(起点)
向量 AB 的大小,也就是向量 AB的长度(或称模)
5/31/2013
记作 AB , 如图所示:
思考5:向量的模可以为0吗?可以为1吗?可以为 负数吗? 向量的模可以为0,也可以为1,不可以为负数. 为了研究的需要,我们引入以下概念. 【零向量】长度为0的向量叫零向量; 0 记作0. (书写体用 ) 规定:零向量0的方向是任意的. 注意:零向量0与实数0的含义、书写区别. 【单位向量】长度为1个单位长度的向量,叫单 位向量. 〖说明〗零向量、单位向量的定义都只是 限制了大小.
AB
B 有向线段的图示与代数记法:在有向线段的终点 (起点)
A(起点)
5/31/2013
处画上箭头表示它的方向,以A为起点、B为终点 起点写在终点的前面. 的有向线段,记作 AB, 线段AB的长度叫做有向线段 AB的长度. 记作 AB 有向线段包含三个要素:起点、方向、长度. 知道了有向线段的三要素,它的终点就唯一确定
5/31/2013
A
B
D
探究(一):向量的物理背景与概念 思考1:在物理中,怎样区分作用于同一 点的两个力?
力的大小和力的方向
思考2:物体受到的重力、物体在液体中 受到的浮力的方向分别如何? 受力的大小分别与哪些因素有关?
F G
5/31/2013
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度,所以温度是向量( 2.向量的模是一个正实数。( 3.若|a|>|b| ,则a > b ) )
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 23
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC , 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中 , 一 定 有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
12
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。向量 a 与 b 相等,记作:a b
a b V4 c a=b=c
注:1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
向量复习
3 2 3
4a 3b
1b 1 34
rr
使b a. rr
即a与b共线
r r rr
b a (a 0)
b
1长度:
a
方向:当b与a同向时,b a;当b与a反向时,b a
(2)a 0
(3)实数有且唯一
向量共线定理应用
1. 定理:向量 b与非零向量
且只有一个实数 ,使得.b
a共a线的充要条件是有
2. 定理的应用:
1).证明 向量共线
D→C=14A→B,B→E=2E→C,且A→E=rA→B+sA→D,则
2r+3s=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
思考: (1)若b a(a 0),则a,b位置关系如何?
rr b // a
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立? 成立
向量共线定理:
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
2).证明 三点共线: AB=λBC
AB ∥ BC
又B为公共点 A,B,C三点共线
3).证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
利用向量共线定理,能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注 意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线 重合,而两向量平行则含两向量重合.
引入1: 香港
上海 台北
O上海
A香港
台北
B
O OA+AB=OB
B A
1、向量加法的三角形法则
A
B
a
a
a
a b
aa b
平面向量的实际背景及基本概念全
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗?为什么? 不是,方向不同
说明2: 有向线段与向量的区别:
7 2024/10/14
有向线段:有固定起点、大小、方向
向量:可选任意点作为向量的起点、
有大小、有方向。
B
D
B
D
AC
有向线段AB、CD是 不同的。
A
C
向量 AB、CD 是同一个向量。
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量?
零向量
BACK
16 2024/10/14
练习 1、若两个向量在同一直线上,则 这两个向量是什么向量?
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗? 不一定
BACK
练习:
17 2024/10/14
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、 体积这些量中,哪些是数量?哪些是向量?
1 2024/10/14
2 2024/10/14
请问:金钱豹 能追上小狗吗?为什么?
3 2024/10/14
O
B
湖面上有三个景点O,A,
B,如图所示。一游艇将
游客从景点O送至景点A,
半小时后,游艇再将游客
从A送至景点B。从景点O
到景点A有一个位移,从
景点A送至景点B也有一
A
个位移。
位移和距离这两个量有什么不同?
说明3: 两个特殊向量
8 2024/10/14
1、零向量 :长度为 0 的向量。记作 0
2、单位向量 :长度为 1 个单位长度的向量。
.
所以0向量只
有一个,而
单位向量可
以有无数个
0向量大小为0, 方向不确定的。可 以是任意方向
人教a版必修4学案:2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)
回顾归纳 对于命题判断正误题, 应熟记有关概念, 看清、 理解各命题, 逐一进行判断, 有时对错误命题的判断只需举一反例即可. 变式训练 1 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; (2)若向量|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意|a|=|b|,且 a 与 b 的方向相同,则 a=b; (4)向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 方向相同或相反.
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1.向量的概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量,如速度、位移、力等. (2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量,如面积、体积、质量等. 注意:数量可以比较大小,而向量无法比较大小. 2.向量的几何表示 (1)有向线段:带有________的线段叫做有向线段,其方向是由________指向________, → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它 的终点就唯一确定. → → → (2)向量的有关概念:向量AB的________,也就是向量AB的长度(或称模),记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量,记作 0.长度等于______个单位的向量,叫做单位向量. (3)向量的表示法: ①几何表示:用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向; ②字母表示:用一个小写的英文字母表示,或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示. (4)平行向量:方向________或________的非零向量叫做平行向量.向量 a 与 b 平行, 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________,即对于任意向量 a,都有 0∥a. 3.相等向量与共线向量 (1)相等向量:________相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量 a 与 b 相等,通常 记为 a=b.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起 点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量. (2)共线向量:任意一组平行向量都可以移动到同一________上,因此,平行向量也叫 共线向量. 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识.
高中数学_平面向量的实际背景及基本概念教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的实际背景及基本概念教学设计本节课的内容是数学必修4,第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分,所需课时为1课时。
一教材分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量集数与形于一身,有着极其丰富的实际背景,在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景,有向线段是它的几何背景。
向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念,经过研究,建立起完整的知识体系之后,向量又作为数学模型,广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题,因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。
本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用。
本节概念课,重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路,进而提高提出问题,解决问题的能二学情分析在学生的已有经验中,与本课内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。
三目标定位根据以上的分析,本节课的教学目标定位:1)、知识目标⑴通过对位移、速度、力等实例的分析,形成平面向量的概念;⑵学会平面向量的表示方法,理解向量集形与数于一身的基本特征;⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
2)、能力目标培养用联系的观点,类比的方法研究向量;获得研究数学新问题的基本思路,学会概念思维;3)、情感目标使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”;让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中,享受寓教于乐。
重点:向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念;难点:让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程;四、教学过程概述:4.1 向量概念的形成4.1.1 让学生感受引入概念的必要性引子:章节引言意图:向量概念不是凭空产生的。
用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在,自然引出学习内容,学生会有亲切感,有助于激发学习兴趣。
人教版数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念 说课
• 4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识,充分揭示向量的两个要素 (方向、大小)及向量可以平移的特点.
• 学习新课之前,我先介绍两个预备知识。
• 预备知识1:如果由你来简略介绍实数,你准备介绍什么?按 照什么顺序介绍?
• 请看投影.同学们思考的基本线索可能是:什么是实数→几何 表示→特殊的实数→简单的相互关系等.)
• 反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的 重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性 质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.
• 如果采用全新的思维视角,恰当的教与学,可以使得向量不仅 生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
• 建议教学时,可以渗透在具体内容中,不必作抽象讲解, 以避免空洞说教.
• §2.1是《平面向量》的最基本内容,教材首先从学生熟知的力、位 移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了 平面向量的有关知识.
• 这节课将直接影响到我们对向量的进一步研究和学习,如向量间 关系、向量的加法、减法以及乘法等运算,还有向量的坐标运算 等.
• 基于以上分析,具体教学时,需要设计一个能让学生开展概括活 动的过程,引导他们经历从具体事例(位移、力、速度等)中领 悟向量概念的本质特征,类比数的概念获得向量概念的定义及表 示,类比数的集合认识“向量的集合”,类比直线(段)的基本关 系认识向量的基本关系.
• 要使学生从中体会到学情分析】从§2.1内容上看,“平面向量的实际背景及基本概念”概 念多但不难理解,但从“概念的形成”的角度看,本节内容,重要的 不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是获得数学研究对象、 认识数学新对象的基本方法,蕴含了用数学的观点刻画和研究现实 事物的方法和途径,这是一个带有“本源”性质的过程.
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5.若 a =b, b =c
B ,那么 a =c 成立
A
一. 描述向量的两个指标:模和方向 二. 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比 三. 向量的图示,要标上箭头和始点、终点
2015年9月8日星期二
§ 2.1 向量的实际背景 及基本概念
2015年9月8日星期二
学习目标
1. 掌握向量的定义,向量和数量的区别。 2. 通过力和力的分析实例,了解向量的实际背景。 3. 掌握向量表示,零向量和单位向量。 4. 平行向量、共线向量、相等向量的定义。
引入 向量的物理背景与概念
问题1:在物理中,怎样区分作用于同一点的两个力?
// a
2.任一组平行向量都可以平移到同一直线上
3.若 a ∥ b , b ∥ c ,那么 a
∥ c 不成立
b 相等,则记为 a =b 注:1.若向量 a,
6、相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 2.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向 线段来表示,并且与有向线段的起点无关。 3.两个向量不能比较大小,只有“相等”与 “不相等”的区别 4.用有向线段表示非零向量 AB 和 CD , 如果 AB CD ,那么A、B、C、D四点的位置关系有
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小结
1、向量:即有大小又有方向的量
向量的模
向量A B
A
B
数量:只有大小,没有方向的量
模相等,方向相同; 模相等,方向不相同; 模不相等,方向相同; 模不相等,方向不相同;
2、向量的表示 AB
向量的模
AB
a, b, c,
a、 b、 c
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× (7)共线平行;
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4:
5:
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6.(1)与零向量相等的向量是什么向量? 零向量 (2)存在与任何向量都平行的向量吗? 零向量
(3)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定 是什么向量? 平行向量(共线向量) (4)若把平行于直线l 的所有向量的起点平行移动到 直线l上的点P处,则这些向量的终点构成的几何 图形是什么? 直线l (5)若把所有相等的向量的起点平移到同一起点后, 则这些向量的终点构成的几何图形是什么?
有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向
F G
向量A B
A
B
注: 向量记为 AB ,线段AB的长度记作 AB (读为模)
②也可以表示: a, b, c, 大小记作:
a、 b、 c
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零向量:长度为0的向量,记为 0
同一个点上
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7:某人从A点出发向西走10米到 达B点,然后改变方向按北偏西600 走了15米到达C点,最后又向东走了10米到达D点: (1)作出向量AB、BC、CD; (2)求D相对于 A的位置 。 B A
8、设O是正六边形ABCDEF的中心, C 分别写出图中与OA,OB,OC相等的向量 解: OA CB DO D OB DC EO OC AB ED FO
3、零向量:长度为0的向量,记为 0
注:零向量:只限制大小,方向是任意的. 零向量与任一向量平行,即对任意向量 a 都有0
4、单位向量:长度为1的向量 注:单位向量只限制大小,方向是任意的 5、平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 注: 1.若是两个平行向量,则记为 a // b
练习.判断下列各组向量是否平行?
a
①
b
a
B
A
b
②
.A
C
B C
③
④
向量的平行与线段的平行有什么区别?
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新课 相等向量和共线向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
a b A4 B4 A3A2
A1 B2
B1
c
a=b=c
B3
注:1.若向量 a, b 相等,则记为 a b
D.5
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3.判断下列命题是否正确: (1)若两个单位向量共线,则这两个向量相等( ×) (2)不相等的两个向量一定不共线; (× ) (3)在四边形ABCD中,若向量 AB与CD 共线, 则该四边形是梯形; ( ×) (4)对于不同三点O、A、B,向量 OA与OB 一定不共线; (× ) (5)平行向量的方向一定相同; ×
A1B1=A2B2=A3B3=A4B4
; 2.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向 线段来表示,并且与有向线段的起点无关。
知识运用:
1.下 列 说 法 是 否 正 确 A.若 | a || b |, 则a b B .若 | a | 0, 则a 0 C .若 | a || b |, 则a b或a b D .若 a // b, 则a b E .若 a b, 则 | a || b | F .若 a b, 则a与b不 是 共 线 向 量 G .若 a 0, 则 a 0
单位向量:长度为1的向量
注:零向量,单位向量都是只限制大小,不确定方向的
新课 零向量和单位向量
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量
注: 1.若是两个平行向量,则记为 a // b 2.我们规定,零向量与任一向量平行, 即对任意向量 a ,都有 0 // a
平行向量也叫共线向量
注:任一组平行向量都可以平移到同一直线上
力的大小和力的方向
问题2:物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的 方向分别如何?受力的大小分别与哪些因素有关? F G 力既有大小,又有方向,在物理学中称为矢量
引入
向量: 数学中,既有大小,又有方向的量
数学: 向量 数量 物理 : 矢量 标量
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新课
向量的表示
①几何表示——向量常用有向线段表示:
O
F
E
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9:如图,D、E、F分别是△ABC各边 上的中点,四边形BCMF是平行 四边形,请分别写出: (1)与ED共线的向量; F (2)与ED相等的向量; (3)与FE相等的向量。
B
A
E
M
D
C
解:(1) DE、BF、FB、FA、AF、CM、MC、AB、BA (2) FB、AF、MC
(3) BD、DC、EM
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10:如图,EF是△ABC的中位线,AD是 BC边的中线,在以A、B、C、D、E、F为端点的 A 有向线段表示的向量中请分别写出 7 个, (1)与向量CD共线的向量有___ DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC 分别是______________________ ; F E (2)与向量DF的模一定相等的向量有 FD,EB,BE,EA,AE ; __ 5 个,分别是_______________ 2 个, B (3)与向量DE相等的向量有__ C D CF, FA 分别是___________ 。
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练习 是正 确 2 : 判 断 下 列 命 题否 (1)两 个 向 量 相 等 , 则 它 的 们 起 点 相 同 , 终 点 相; 同 ( 2)若 | a || b |, 则a b; ( 3)若 AB DC, 则 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ; (4)平 行 四 边 形 ABCD中 , 一 定 有 AB DC; (5)若 m n, n k , 则m k; (6)若 a // b, b // c , 则a // c 其 中 不 正 确 命 题 的 个是 数 B.3 C .4 A.2