九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件第3课时相似三角形的判定定理作业课件新版北师大版

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九年级数学上册第四章图形的相似4 探索三角形相似的条件第3课时相似三角形的判定(3)课件

解： AB BC AC , AD DE AE
ABC∽ ADE (三边成比例的两个三角形相似)
BAC DAE.
BAC DAC DAE DAC,
即BAD CAE.
BAD 20, CAE 20.：
AB AD
BC DE
A AC E，求证(qiúzhèng)：∠BAD=∠CAE.
几何(jǐ hé)语言：
A′
∵
AB BC CA. AB BC CA
B
∴△A´B´C´∽△ABC
B′第四页，共十页。
C′
A C
例 1如图 4 -1 6 ，在 A B C 和 A D E 中， A BB C A C , A DD E A E
B A D 2 0 ，求 C A E 的度数 .
Image
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第十页，共十页。
B'
又 AB BC AC ,A 'DAB A 'B ' B 'C ' A 'C '
E
C'
∴ A'EAC DEBC
∴ A'DE AB∴C ABC∽A'B'C'
第三页，共十页。
新课推进
相似三角形判定定理3：
如果两个三角形的三组对应边的比相等(xiāngděng)，那么这两个三角形相似.
简记为三边对应成比例，两三角形相似.
4 探索(tàn suǒ)三角形相似的条件
第3课时相似三角形的判定（3）
第一页，共十页。
新课导入
探究
边边
S S
边S
已知：A A'BB ' B B'C C ' A A'CC ',

九年级数学上册第四章图形的相似 4 探索三角形相似的条件教学课件上册数学课件

还能用其它方法来说明其正
A
B
确性吗?
C
解法2: 如图,设小正方形
A′
B′
的边长为1,由勾股定理可
C′
得:
AB 8,AC 2 2;
且∠A=∠A′=450,
AB4,AC 2;
AB AC2. AB AC
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∴△ABC∽△A′B′C′ (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)
•问题四:在Rt△ABC与
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黄金螺线
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蜗牛的外壳呈黄金螺线形。
树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金比例
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在现在生活中，黄金比例也一直被使用着，例如国旗、明信片、报纸、邮票等等，其长宽之比均接近黃金比，据统计黄金比也是被使用最多的比例.
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•我们重新来看问题三: •如果△ ABC与△ DEF有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗? •(2).如果这个角是这两边中一条边的对角,那么它们一定相似吗? •小明和小颖分别画出了下面
的△ ABC与△ DEF:
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C
4cm 500 A
F 3.2cm
2cm
1.6cm
判定三角形相似的方法
判定两个三角形相似的方法: 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. •类比三角形全等的判定方法: •边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边 (SSS);斜边直角边(HL). •你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?
12/11/2021教学课件Biblioteka 数学九年级上册北师大版

北师大版九年级数学上册探索三角形相似的条件

BC B1C1
∴ △ ABC ∽ △A1B1C1
B
C
A1
B1
C1
总结归纳
判定三角形相似的方法：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别
算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应（注意：大对大，小对小，中对中）
练一练
1.如图,小方格的边长为1 ，△ ABC与△ A′B′C′相似吗?
A．∠BAD=∠C
B．∠B DA =∠B A C
C． BA BC BD BA
D． BA AC BD AD
【答案】D
【详解】解：A.∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
B.∵∠BDA=∠BAC，∠B＝∠B，
∴△ BAD∽△BCA，故本选项正确，不符合题意；
AB AD
BC DE
AC AE
.
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
A
解：∵
AB AD
BC DE
AC AE
,
B
∴△ABC∽△ADE ∴∠BAC=∠DAE.
D
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
C E
知识点四黄金分割
A
C
B
AB AC
设AB = 1，AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×（1 - x）.
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得：x1=
-1 2
5,
黄金比
AC BC =
AB AC
x2=

九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件相似三角形的判定定理3

A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组
第十五页，共二十七页。
3．[2016·浦东新区期中]下列各组条件中一定能推出△ABC 与△DEF 相似的是( C )
A．DABF＝DACE＝BECF B．BACB＝DDEF，且∠A＝∠E C．DABF＝DACE，且∠A＝∠D D．DABF＝DACE，且∠A＝∠D
第十六页，共二十七页。
4．如图，点 D，E，F 分别是△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点．求证： △DEF∽△ABC．
证明：∵点 D，E，F 分别是△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点， ∴EF，FD，DE 为△ABC 的中位线， ∴EF∥BC，FD∥AC，DE∥AB，
∴BECF＝12，FADC＝12，DABE＝12，
第四章图形(túxíng)的相似
4 探索(tàn suǒ)三角形相似的条件
第3课时相似(xiānɡ sì)三角形的判定定理3
学习指南知识管理归类探究当堂测评分层作业
第一页，共二十七页。
学习指南
★教学目标★ 掌握利用三边对应成比例判定三角形相似的方法，并能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似．
第七页，共二十七页。
解：(2)△ABC∽△DEF.证明如下： ∵AB＝2，BC＝2 2，FE＝2，DE＝ 2，
∴DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，
∴DABE＝BECF.
又∵∠ABC＝∠DEF＝135°， ∴△ABC∽△DEF. 【点悟】充分利用网格特点构造直角三角形，利用勾股定理求三边长．
∵
BC AB
＝
x＝ 2x
2 2
，
AB BD
＝
2x 2x

九年级数学上册第四章图形的相似 4 探索三角形相似的条件第3课时利用三边判定三角形相似教学

证明：∵△ABC中，点D，E，F分别(fēnbié)是AB，BC，
CA的中点，
∴ D E1A C ， D F1B C ， E F =1A B ，
2
2
2
∴ DEDF=EF=1， AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
第二十页，共二十四页。
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米(qiān mǐ)，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路(gōnglù) AB 与 CD 平行.
∴ ABAD=BD=2，
28
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
第二十一页，共二十四页。
课堂(kètáng)小结
三边成比例 (bǐlì)的两个三角形相似
利用三边判定(pàndìng)两个三角形相似
DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6， EF 2.1 0.6， FD 1.8 0.6，
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴
DE
EF
FD .
AB BC CA
∴ △ABC ∽ △DEF.
第十页，共二十四页。
归纳总结
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否(shì fǒu)相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
第十一页，共二十四页。
练一练

九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件教案(新版)北师大版

4.4.1探索三角形相似的条件（1）教学目的1.使学生理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件．2.使学生掌握相似三角形判定定理1．3.使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用．重点：准确找出相似三角形的对应边和对应角度．难点：掌握相似三角形判定定理1及其应用．教学过程一、讨论相似三角形的定义请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们之间的关系，再与教师手中的木制三角板比较，观察这些三角形的关系，这是有全等的关系也有相似的关系．从全等与相似的类比，不难得到相似三角形的定义．二、给出定义1. 从∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ 可知△ABC∽ △A’B’C’.2. 板书定义．叫学生写在笔记本上．三、合作学习合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A 和∠A ′都等于∠α，∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？三边的比C B BCC A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试. 四、导入定理判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．例：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，DE ∥BC ,AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。

解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C. ∴△ADE ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴AD AB =DE BC. ∴BC =AB ×DE AD = 7×105=14.五、学生练习1. 讨论教材随堂练习第1题有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？ 2.自己独立完成教材随堂练习第2题六、小结本节主要学习了相似三角形的定义及相似三角形的判定定理1，一定要掌握好这个定理．4.2探索三角形相似的条件（2）教学目的使学生掌握三角形相似的判定定理2，3，和它们的应用．教学重点判定定理2和3 教学难点判定定理的应用教学过程一、复习：1.判定三角形相似目前有哪些方法？2.回忆三角形相似判定定理1的证明的方法．二、新授（一）导入新课三角形全等的判定中AAS 和ASA 对应于相似三角形的判定的判定定理1，那么SAS 和SSS 对应的三角形相似的判定命题是否正确，这就是本节研究的内容．（板书）（二）做一做1. （1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''和CA AC''都等于给定的值k .设法比较 ∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小）、△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？（2）改变k 值的大小，再试一试.判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 2. 画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由. 改变k 值的大小，再试一试.判定定理3：三边:成比例的两个三角形相似．（三）例题学习例1：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且AD AB =34，求DE 的长.C解：∵AE =1.5， AC =2，∴AE AC =34，∵AD AB =34，∴AD AB =AE AC. 又∵∠EAD=∠CAB ，∴△ADE ∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴DE BC =AD AB =34. ∵BC =3，∴DE =34 BC =34×3=94.例2：如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =ACAE，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.解：∵AB AD =BC DE =ACAE，∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ，即∠BAD=∠CAE . ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°. 三、巩固练习四、小结本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件．4.4.3 探索三角形相似的条件——黄金分割教学目标（一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用. 教学重点了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点找黄金分割点和画黄金矩形. 教学方法讲解法教具准备投影片一张教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. Ⅱ.讲授新课［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、ACBC,它们的值相等吗？［生］相等. ［师］所以ACBCAB AC =. 1.黄金分割的定义一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中ABAC≈0.618. 2. 计算黄金比.解：由AC AB =BC AC，得∴AC 2=AB ·BC. 设AB =1,AC =x ,则BC =1- x. ∴x 2=1×（1－x ） ∴x 2+ x－1=03.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接DA ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC 、BC 间须满足ACBCAB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1. 证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21 ∴AD =x +21在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x +21）2=12+（21）2∴x 2+x +41=1+41∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x ） ∴AC 2=AB ·BC 即ACBCAB AC =即点C 是线段AB 的一个黄金分割点，由x 2=1－x 整理，得x 2+x －1=0 ∴x =2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正，∴AC =215-≈0.618 ∴ABAC≈0.618，∴黄金比约为0.618. 3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BCABBE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？［师］请大家互相交流.［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AEABBE AE =,即AEBEAB AE =,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比. ［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？ Ⅲ.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比. 2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形. 3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. Ⅳ.课后作业 Ⅴ.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金分割点C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC 的黄金分割点D ，D 的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料. 板书设计。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》探索三角形相似的条件教案

4.4 探索三角形相似的条件教案第1课时利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝80°，∠B ＝70°，∠C ′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由：由三角形的内角和是180°，得∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－80°－70°＝30°，所以∠A ＝∠A ′，∠C ＝∠C ′.故△ABC ∽△A ′B ′C ′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：相似三角形的判定定理1的应用已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ，求证：AF BF ＝EFDF .解析：要证明AF BF ＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE 与△BFD 是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AEF ＝∠BDF ＝90°. 又∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴△AFE ∽△BFD ，∴AF BF ＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求线段BF 的长.解：方法一：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AD AB ＝DE BC ，即44＋8＝5BC ，所以BC ＝15cm.又因为DF ∥AC ，所以四边形DFCE 是平行四边形，所以FC ＝DE ＝5cm ，所以BF ＝BC －FC ＝15－5＝10（cm ）. 方法二：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B . 又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ，所以△ADE ∽△DBF ，所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；（2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.第2课时利用两边及夹角判定三角形相似1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2.（难点）一、情景导入画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，ABA′B′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？二、合作探究探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（）A.AB·CD＝BD·BCB.AC·CB＝CA·CDC.BC2＝AC·DCD.BD2＝CD·DA解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即CDCB＝CBAC或BC2＝AC·DC.故选C.方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.探究点二：相似三角形的判定定理2的应用如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.解析：欲求厚度x，而x＝a－AB2，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB 的比例式，解之即可.解：因为OA ：OC ＝OB ：OD ，∠AOB ＝∠COD ，所以△AOB ∽△COD ，故AB CD ＝OAOC＝n ，可得AB ＝bn ，所以x ＝a －bn2.方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P ，Q 同时出发，经过多长时间后△PBQ 与△ABC 相似？解析：要证明△PBQ 与△ABC 相似，很显然∠B 为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.解：设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似.（1）当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC . 此时8－t 8＝2t 16，解得t ＝4.即经过4s 后△PBQ 与△ABC 相似；（2）当BP BC ＝BQBA 时，△PBQ ∽△CBA .此时8－t 16＝2t 8，解得t ＝1.6.即经过1.6s 后△PBQ 与△ABC 相似.综上可知，点P ，Q 同时出发，经过1.6s 或4s 后△PBQ 与△ABC 相似.易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ 的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ ∽△ABC 的情况，还要考虑△PBQ ∽△CBA 的情况.三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关.第3课时利用三边判定三角形相似教案1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理3.（难点）一、情景导入如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？二、合作探究探究点一：三边成比例的两个三角形相似已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.解：因为12＝22＝510，所以△ABC与△DEF相似.方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.探究点二：相似三角形的判定定理3的应用如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.解析：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.解：∠B＝∠AED.理由如下：由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，AC AD＝93＝3，ABAE＝186＝3，CBDE＝155＝3，所以ACAD＝ABAE＝CBDE，故△ABC∽△AED，所以∠B＝∠AED.方法总结：证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到，给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“三边成比例”的判定条件.如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似.解：由甲图可知AC＝12＋12＝2，BC＝2，AB＝12＋33＝10.同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22；同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5；同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2，∴图②中的三角形与△ABC相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.。

北师大版九年级数学上册《图形的相似——探索三角形相似的条件》教学PPT课件(4篇)

定理应注意两个方面： (1)找等角，应注意图形中的公共角、对顶角及有公共部分的角；(2)等角的两边对应成比例．
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下，夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种，而忽视了另一种．
第四章图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ，则 △ ADC∽△ACB ，若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ，则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？为什么？
知识点 2 相似三角形的应用例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第四节探索三角形相似的条件

=
AD AC
C．ABCB
=
CD AB
B．DABB
=
BC AB
D．AACB
=
DB CD
感悟新知
知识点 2 两角分别相等的两个三角形相似
知2－讲
1. 定理两角分别相等的两个三角形相似. 2. 数学表达式如图4-4-3，
在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，且∠B = ∠E， ∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知5－练
6-1.已知P是线段AB的黄金分割点，且AB= 5+1，则AP的
长为( C )
A．2
B． 5－1
C．2 或 5－1
D．3－ 5
课堂小结
探索三角形相似的条件
定义
相似三角形
判定方法
应用
黄金分割
角角边角边边边边
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题作业2 补充:
解：设涂到 x m 高时，才使人感到最舒适．利用黄金比，得x3＝ 52－1，解得 x≈1.85. 所以涂料大约应涂到高为 1.85 m 处．
感悟新知
知5－练
例6 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，求
AC－BC和AC·BC的值.
解题秘方：紧扣黄金分割点在线段中的两个不同位置解决问题.
知5－练
当AC＜BC时，∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴BACB = 5 2－1.又∵ AB=6，∴ BC=3 5－3. ∴ AC=AB－BC=9－3 5. ∴ AC－BC=12－6 5， AC·BC=36 5－72. 综上所述，AC－BC=6 5－12 或12－6 5， AC·BC=36 5－72.
AB A′B′

九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件相似三角形课标解读北师大版

九年级数学上册第四章图形的相似4探索三角形相似的条件相似三角形课标解读北师大版相似三角形课标解读一、课标要求内容包括相似三角形的判定、性质和应用，是全章的重点内容．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本节相关内容提出的教学要求如下：1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；*了解相似三角形判定定理的证明；3．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．二、课标解读1．对于“基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的要求是掌握，即要求学生在探索理解的基础上能把它应用于新的对象，如将其应用于三角形中即可得到推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．在此基础上，通过平移的方法，利用定义得到三角形相似的一个判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．对于该基本事实，教学中应注意把握难度，不强调基本事实在判定线段成比例的应用．2．对于“相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似” 《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的要求是了解，所以教学中应该结合具体实例，类比全等三角形的判定方法，让学生根据两个三角形的特征，能够进行识别即可．教学中可以重点讲解三边对应成比例的两个三角形相似的判定方法，使学生再次经历几何结论的发现、验证和证明过程．而对于其他判定方法可以用类似的方法进行研究．对于相似三角形判定定理的证明为选学内容，课标要求为了解，但对其证明不做考试要求．3．对于“相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．” 《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的要求是了解．这里所说的对应线段通常是指对应边上的高、对应边上的中线和对应角平分线，三角形的周长是三边的和，因而相似三角形的周长比也等于相似比．教学中可以重点讲解对应高的比等于相似比，其他性质可由学生发现并证明；对于面积比和相似比之间关系的理解，一些学生容易出现错误，教学中要指导学生进行相似三角形面积比的代数推导，明确三角形的边及边上的高是同时进行放大或缩小的，因而面积比等于相似比的平方．。

北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时三课程设计

北师大版九年级上册4探索三角形相似的条件第四章：探索三角形相似的条件课时三课程设计课程背景在前面的课程中，我们已经学习了三角形的基础知识，如三角形的定义、分类、全等定理等。

在这节课中，我们将学习与全等定理相关的概念——相似三角形。

相似三角形的概念在实际生活中非常有用，比如在建筑设计、地图制作等领域都有应用。

本节课程将介绍如何判断两个三角形是否相似以及相似三角形的性质。

教学目标•理解相似三角形的概念与特点；•掌握判断两个三角形是否相似的方法；•掌握相似三角形的性质。

教学重点•判断两个三角形是否相似的方法；•相似三角形的性质。

教学难点•应用相似三角形的知识解决实际问题。

教学内容与步骤第一步：导入新课1.教师出示一张地图，并让学生讨论地图的制作过程中是否用到了相似三角形的概念。

2.引导学生思考为什么要引入相似三角形的概念。

第二步：引入新概念1.教师出示两个三角形，并让学生比较它们的形状与大小。

2.引入“相似”的概念，让学生理解两个相似的三角形是指它们的形状相同，但大小可以不同。

3.引入两个相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。

第三步：判断两个三角形是否相似1.教师出示两个三角形，引导学生思考如何判断它们是否相似。

2.引入相似三角形的判断方法：对应角相等，对应边成比例。

3.教师出示一些实例，让学生运用判断方法判断是否相似。

第四步：相似三角形的性质1.教师出示一些相似三角形的实例，并让学生对它们进行比较。

2.引入相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应线段成比例。

3.通过实例让学生掌握相似三角形的性质。

第五步：练习与巩固1.出示一些练习题，让学生巩固所学知识。

2.让学生在小组内进行讨论和解答，教师巡视指导。

教学评估1.学生课后完成一道题目，并在下节课时进行上台展示；2.教师结合教学过程及学生表现进行评价。

教学资源•地图；•相似三角形的实例；•相关练习题。

相似三角形的判定数学北师大版九年级上册

初中数学北师大版九年级上册
第四章图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时相似三角形的判定（1）
类比引入
可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？类比全等三角形
相似多边形
各角分别相等、各边成比例
相似三角形
三角分别相等、三边成比例
复习回顾
[——北师版七年级数学下册教材P93、P98、P101、P103]
A
C B A'
C' B'
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. A
平行
角相等
△相似
解：∵ DE∥BC，
D
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
B
∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.
∴ AD DE .
AB BC
CP AC
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为1:2.
A
E
B
F
C
①取AB、BC的中点 E、F，连接EF. 则△ABC∽△EBF，且相似比为1:2
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相
似比为1:2.
E
A
则△ABC∽△EBF，
且相似比为1:2
B
C
F
②分别延长AB、BC，使EB=2AB，FB=2CB.
AB AC
∴△ABC∽△A′B′C′
B′
A
C A′
C′
例如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，
AC＝2，BC＝3，且 AD ，3 求DE的长 .
AB 4

九年级数学上册第四章图形的相似 4 探索三角形相似的条件你会判定两个三角形相似吗素材 (新版)

你会判定两个三角形相似吗相似三角形的判定方法可由全等三角形的判定方法类推，但比判定全等三角形更灵活，图形的变换也更复杂，为了帮助同学们更好地学好三角形相似的判定方法，现归纳如下.三角形相似的判定方法一：两角对应相等的两个三角形相似.说明：这种方法在运用时只需求出两个角对应相等，就可判定这两个三角形相似，推理时，关键是寻找对应角.一般地，在判定过程中要特别注意“公共角”、“对顶角”、“同角（或等角）、同角（或等角）的余角（或补角）”都是相等的.例1 下列各组图形可能不相似的是（）A.各有一个角是45°的等腰三角形B.各有一个角是60°的等腰三角形C.有一个锐角相等的两个直角三角形D.各有一个角是95°的两个等腰三角形分析：两个三角形是否相似，关键是看是否有两个角对应相等.A 中的45°角可能为顶角，也可能为底角，故A 中的两个等腰三角形可能不相似；B 中是有一个角为60°的等腰三角形，则该三角形为等边三角形，显然等边三角形都是相似三角形；C 中有一个锐角相等，则这样的直角三角形中的三个角就都相等，故C 中的两个三角形相似；D 中的95°只能为顶角，故这样的两个等腰三角形显然相似.解：应选A.点评：有两个角相等，那么这两个三角形相似，这是判定两个三角形相似最常用的方法.事实上，依据三角形的内角和是180°，第三个角也相等，故此判定条件是三个角对应相等，从而与相似三角形的定义衔接起来.三角形相似的判定方法二：三边对应成比例的两个三角形相似.说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SSS”定理.例2 已知△ABC 的三边长分别为1，2，5，△DEF 的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC 是否与△DEF 相似.分析：因为已知两个三角形的三边长，所以可考虑根据三边间的关系来判定是否相似. 解：因为1052221==，所以△ABC∽△DEF. 点评：已知两个三角形的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边对应2 成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边；所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SAS”，要特别注意“夹角”的含义.例3 如图1，已知△ABC 的边AC 上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC 的是（）A.AB·CD=BD·BCB.AC·CB=CA·CDC.BC 2=AC·DCD.BD 2=CD·DA分析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C 是△ABC 与△BDC 的公共角，关键是找出角∠C 的两边对应成比例，即ACCB CB CD =. 点评：此判定中的角必须是成比例两边的夹角，否则两个三角形不一定相似.如图2，易判定△ABC∽△A 1B 1C 1，而在△ABC 和△A 2B 2C 2中，虽然有2222C B BC B A AC =，∠C=∠C 2=90°，但是△ABC 和△A 2B 2C 2并不相似.小结：判定三角形相似，通常按下列思路分析：（1）若有一组角相等，可再找一组角相等或再找这组角的邻边对应成比例.（2）若已有两组边对应成比例，可再找其夹角相等或第三组边对应成比例.但要注意找准对应关系.AC B 8 6 4 3 43 A 1B 1C 1A 2B 2C 2 图2。

九年级数学上册第四章图形的相似 4 探索三角形相似的条件相约“相似三角形”和探索“相似的条件”

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相约“相似三角形”和探索“相似的条件”我们已经认识了形状相同的图形，结识了相似多边形，下面让我们一起来研究最简单的相似图形――相似三角形,来探索两个三角形相似的条件吧。

一．相似三角形的概念三角对应相等，三边对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.温馨提示:全等三角形是相似三角形的特例,两者之间有如下关系:（1）全等三角形是相似比为1的相似三角形；相似三角形不一定全等；（2）全等三角形要求对应边相等；相似三角形要求对应边成比例。

因此，我们可以通过将全等三角形与相似三角形进行类比，来学习和掌握相似三角形的相关知识。

现将三角形全等的判别方法与三角形相似的条件列表比较如下：二．探索“三角形相似的条件”1．条件比拼判定两个三角形相似，除了运用相似三角形的定义外,常用的方法还有以下三种：（1）两角对应相等的两个三角形相似．(2）三边对应成比例的两个三角形相似．（3)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．2．指点迷津在利用相似三角形解决问题时，常用到以下几个基本图形：（1）平行型:条件中若有平行线，可直接得两三角型相似,如没有平行线,可添加平行线，构造平行型相似三角形．如：如图1，DE//BC,则△ABC∽△ADE.（2)斜交型：条件中若有一对角相等,可考虑在找一对角相等,应用相似三角形方法1(两角对应相等的两个三角形相似），或找等角的夹边对应成比例，应用相似三角形的方法3（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．如：如图2，若∠1=∠B或∠2=∠ACB，则△ABC∽△ACD （或△ABC∽△ADE).(3）垂直型：若有一对直角出现在条件中，可考虑再找一对等角,使用方法1；或者证明斜边、直角边对应成比例．如：如图3（1），AB⊥AC，AD⊥BC,则△ABD∽△CBA∽△CAD；如图3（2），AB⊥AC,ED⊥BC，则△ABC∽△DEC.温馨提示：在解与相似三角形有关的问题时，可以通过寻找基本图形来确定相似三角形，也可以通过添加辅助线构造基本图形得到相似三角形,从而使问题得到解决。

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.4探索三角形相似的条件第3课时相似三角形的判定3

第3课时相似三角形的判定3知识点由三边成比例判定两三角形相似图4－4－231．教材习题4.7第2题变式题如图4－4－23，每个小正方形的边长均为1，则下列图形(每个小正方形的边长均为1)中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )图4－4－242．已知AB＝12 cm，AC＝15 cm，BC＝21 cm，A1B1＝16 cm，B1C1＝28 cm，当A1C1＝________ cm时，△ABC∽△A1B1C1.3．已知△ABC的三边长分别为AB＝6 cm，BC＝7.5 cm，AC＝9 cm，△DEF的三边长分别为DE＝4 cm，EF＝5 cm，DF＝6 cm.求证：∠A＝∠D.4．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm图4－4－255．如图4－4－25，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，若以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)6．如图4－4－26，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE，点B ，D ，E 在一条直线上．求证：△ABD ∽△ACE .图4－4－267．如图4－4－27，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：(1)求证：△ABC 为直角三角形；(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似(要求：不写作法与证明)．图4－4－271．B [解析] 因为每个小正方形的边长均为1，所以已知的三角形的各边长分别为2，2，10，B 选项中的三角形三边长分别为1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似．2．203．证明：∵AB DE ＝64＝32，BC EF ＝7.55＝32，AC DF ＝96＝32，∴AB DE ＝BC EF ＝ACDF，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠A ＝∠D .4．C [解析] 设△DEF 的另两边的长分别为x cm ，y cm ，若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为6 cm ，则46＝x 7.5＝y9，解得x ＝5，y ＝6；若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为7.5 cm ，则47.5＝x 6＝y9，解得x ＝3.2，y ＝4.8；若△DEF 中为4 cm 长的边的对应边为9 cm ，则49＝x 6＝y 7.5，解得x ＝83，y ＝103.故选C.5．B6．证明：∵在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝AC AE， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAD ＝∠CAE . 又∵AB AD ＝AC AE，∴AB AC ＝AD AE， ∴△ABD ∽△ACE .7．解：(1)证明：∵AB 2＝20，AC 2＝5，BC 2＝25，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.(2)△ABC和△DEF相似．理由：由(1)中数据得AB＝2 5，AC＝5，BC＝5.由题意易知DE＝4 2，DF＝2 2，EF＝210，∴ABDE＝ACDF＝BCEF＝104，∴△ABC∽△DEF.(3)如图，连接P2P5，P2P4，P4P5.∵P2P5＝10，P2P4＝2，P4P5＝2 2，AB＝2 5，AC＝5，BC＝5，∴P2P5BC＝P4P5AB＝P2P4AC＝105，∴△ABC∽△P4P5P2.。