组合数学第二节Ramsey问题与Ramsey数

第二节：Ramsey 问题与Ramsey 数

1958年6~7月号美国《数学月刊》上登载着这样一个有趣的问题：“任何6个人的聚会，其中总会有3个互相认识或3人互相不认识。”这就是著名的Ramsey 问题。

以6个顶点分别代表6个人，如果两人相识，则在相应的两顶间连一红边，否则在相应的两顶点间连一蓝边，则上述的Ramsey 问题等价于下面的命题：

命题1.3.1 对6个顶点的完全图6K 任意进行红、蓝两边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。 证明 设123456,,,,,υυυυυυ是6K 的6个顶点，1υ与23456,,,,υυυυυ所连的5条边着红色或蓝色。由鸽巢原理知，其中至少有532⎡⎤=⎢⎥⎢⎥

条边同色，不妨设1υ与234,,υυυ所连的3条边均为红色，如图1.3.1所示。

若234,,υυυ间有一条红边，不妨设为23υυ，则123υυυ∆是一红色三角形。否则，234,,υυυ间均为蓝边，即

234υυυ∆是一蓝色三角形。

类似于命题1.3.1，还有如下的命题1.3.2~命题1.3.4：

命题1.3.2 对6个顶点的完全图6K 任意进行红、蓝两边着色，都至少有两个同色三角形。

证明 设123456,,,,,υυυυυυ是6K 的6个顶点，由命题1.3.1知，对6K 任意进行红、蓝两边着色都有一个同色三角形，不妨设123υυυ∆是红色三角形，以下分各种情况来讨论：

（1）若123456,,,,,υυυυυυ均为蓝边，如图1.3.2所示，则若456,,υυυ之间有一蓝边，不妨设为45,υυ，则

145υυυ∆为蓝色三角形；否则，456υυυ∆为红色三角形。

（2）若123456,,,,,υυυυυυ中有一红边，不妨设14,υυ为红边，此时若边2434,υυυυ中有一条红边，不妨设

34υυ是红边，则134υυυ∆是一红色三角形，见图1.3.3。

以下就2434,υυυυ均为蓝边的情况对与4υ相关联的边的颜色进行讨论：

（i ）若4546,υυυυ中有一蓝边，不妨设45,υυ为蓝边，如图1.3.4所示。此时，若2535,υυυυ均为红边，则

235υυυ∆是红色三角形；否则，245υυυ∆或345υυυ∆是蓝色三角形。

（ii ）若4546,υυυυ均为红边，见图1.3.5。此时，若156,,υυυ之间有一条红边，不妨设15,υυ为红边，则145υυυ∆为红色三角形；否则，156υυυ∆为蓝色三角形。

由以上对各种情况的讨率知，对6K 的任意红、蓝两边着色均有两个同色三角形。

命题1.3.3 对10个顶点的完全图10K 任意进行红、蓝两边着色，都或者有一红色4K ，或者有一蓝色3K 。 证明 设a 是10K 的一个顶点，与a 相关联的9条边用红、蓝两色着色，由鸽巢原理知，这9条边中要么有6条红边，要么有4条蓝边。类似于前面两个命题的分析证明过程可以得出结论，具体分析过程见图1.3.6。

命题1.3.4 对9个顶点的完全图9K 任意进行红、蓝两边着色，都或者有一个红色4K ，或者有一蓝色3K 。 证明 在9K 中，如果与每个顶点关联的红边均为5条，因为一条红边连着两个顶点，所以9K 中应有

5945

22

⨯=

条边，它不是整数，所以不成立。故必有一个顶点关联的红边数不为5，设此顶点为a ，则与a 关联的红边数至少为6或至多为4。 1.3.2 Ramsey 数

从1..3.1小节的讨论中可以归纳出如下的一般性定义：对于任意给定的两个正整数a 与b ，如果存在最小的正整数(,)r a b ，使得当(,)N r a b ≥时，对N K 中均有红色a K 或蓝色b K ，则(,)r a b 称为Ramsey 数。 由命题1.3.1知(3,3)6r ≤；在5K 中按图1.3.7的方式进行红、蓝两边着色（实线为红边，虚线为蓝边），则既无红色3K 也无蓝色3K ，所以(3,3)5r >。从而得知(3,3)6r =。

由命题1.3.4(4,3)9r ≤；在8K 中按图1.3.8的方式进行红、蓝两边着色，则既无红色4K 也无蓝色3K ，所以(4,3)8r >。从而得知(4,3)9r =

Ramsey 于1930年证明了对于任给的整数a 和b ，Ramsey 数(,)r a b 的存在性。但是，Ramsey 数的确定却是一个非常难的问题，以至于至今(5,5)r 尚不为世人所知。表1.3.1中列出了目前所知的一些Ramsey 数。

易证（留作习题） （1）(,)(,);r a b r b a = （1.3.1） （2）(,2)r a a =

（1.3.2）

定理1.3.1 对任意的正整数3,3a b ≥≥，有()()(),1,,1r a b r a b r a b ≤-+-

证明 令()()1,,1N r a b r a b =-+-，对N K 任意进行红、蓝两边着色。设x 是N K 的一个顶点，在N K 中与x 相关联的边共有()()1,,11r a b r a b -+--条，这些边要么为红色，要么为蓝色。由鸽巢原理知，与x 相关联的这些边中，要么至少有()1,r a b -条红边，要么至少有(),1r a b -条蓝边。

（1）这些边中有()1,r a b -条红边。在以这些红边与x 相关联的()1,r a b -个顶点构成的完全图()1,r a b K -中，必有一个红色1a K -或有一个蓝色b K ，若有红色1a K -，则该红色1a K -加上顶点x 以及x 与1a K -之间的红边，即构成一个红色a K ；否则，就有一个蓝色b K 。

（2）这些边中有()1,r a b -条蓝边。在以这些蓝边与x 相关联的(),1r a b -个顶点构成的完全图(),1r a b K -中，必有一个红色a K 或有一个蓝色1b K -。若有一个蓝色1b K -，则该1b K -加上顶点x 以及x 与1b K -之间的蓝边，即构成一个蓝色b K ；否则，就有一个红色a K 。 综合（1）和（2），知(),r a b N ≤。

由定理1.3.1及等式（1.3.2）容易归纳出对于任意的正整数a 和,(,)b r a b 的存在性。关于(,)r a b 还有定理1.3.2所述的不等式成立。

定理1.3.2 对任意的正整数2,2a b ≥≥，有

()()()()22!,11!1!a b a b r a b a a b +-+-⎛⎫≤=

⎪---⎝⎭

证明 对a b +作归纳。

当5a b +≤时，2a =或2b =，由等式（1.3.2）知定理成立。

假设对一切满足5a b m n ≤+<+的,a b 定理成立，由定理1.3.1及归纳假设，有

()()()

,,11,33122r m n r m n r m n m n m n m m m n ≤-+-+-+-⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫=