【优化课堂】高中数学人教A版必修1练习：2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用(含答案详析)

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数学新课标人教A版必修1教学课件：2.1.2.2 第2课时指数函数及其性质的应用

必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
利用复合函数的单调规律求之.
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
[解题过程] (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3. 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－∞，－ 1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．根据y＝au的单调性，当a>1时，y关于u为增函
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
解答本题可以看成关于2x的一个二次函数，故可令t＝2x，利用换元法求值域.
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
[解题过程] 函数定义域为R. 令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝ (t＋1)2. ∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1， ∴值域为{y|y>1，y∈R}．
栏目导引
如图所示： (1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1 个单位得f(x－1)的图象，如下图
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如图(1)
(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如图(2)
第2课时指数函数及其性质的应用
必修1 第二章基本初等函数（I）
栏目导引
1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题 .
1.指数函数单调性在比较大小，解不等式及求最值中的应用．(重点)

人教A版高中数学必修一：第2章指,对,幂函数2.1.2指数函数及其性质

年份 1999 2000 2001 2002 „ 1999+x 经过年数 0 1 2 3 „ x
• x y=13(1+1%)
人口数（亿）
练习
1设y1=a3x+1，y2=a-2x，其中a>0且a1, 确定x为何值时,有（1）y1=y2（2）y1>y2
1 2 求函数y 2
x2 2x 1
的单调递增区间。
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1、指数函数的定义。 2、指数函数简图的作法以及应注意的地方。 3、指数函数的图像和性质。

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2.1.2指数函数及其性质
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材料1:某种细胞分裂时,由1个分
裂成2个,2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么?
材料2:当生物死后,它机体内原有
的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为‘‘半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?
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4 2 练习：将 பைடு நூலகம்2 , 3 3
1 2
1 3
2 3
3
3 , 用“”号连接起来。 4
1 3
1 2
2 3 4 2 3 4 3
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3
2 3
例8、截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

人教新课标版数学高一-必修一 2.1.2指数函数及其性质1(第2课时)

数学人教A必修1第二章2．1.2 指数函数及其性质第2课时1．能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值．2．掌握指数函数在实际生活中的简单应用．指数函数的图象和性质定义域：______值域：______【做一做1－1】已知a＝31.03，b＝31.04，则()．A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≥b【做一做1－2】已知指数函数f(x)＝a x，且f(3)＜f(2)，则a的取值范围是__________．答案：R(0，＋∞)减函数增函数【做一做1－1】 C【做一做1－2】(0,1)∵函数f(x)＝a x是指数函数，且f(3)＜f(2)，∴f(x)在R上是减函数．∴0＜a＜1.底数对指数函数变化的影响剖析：(1)对函数增长快慢的影响①当底数a＞1时，指数函数y＝a x是R上的增函数，且当x＞0时，底数a的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快，如图1所示．图1 图2②当底数0＜a＜1时，指数函数y＝a x是R上的减函数，且当x＜0时，底数a的值越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快，如图2所示．(2)对函数值变化的影响①若a＞b＞1，当x＜0时，总有0＜a x＜b x＜1；当x＝0时，总有a x＝b x＝1；当x＞0时，总有a x＞b x＞1.②若0＜b＜a＜1，当x＜0时，总有b x＞a x＞1；当x＝0时，总有a x＝b x＝1；当x＞0时，总有0＜b x＜a x＜1.综上所得，当x＞0，a＞b＞0时，a x＞b x；当x＜0，a＞b＞0时，a x＜b x.题型一比较大小【例1】比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)2.3－0.28,0.67－3.1.分析：(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间值1比较大小．反思：比较指数式大小的方法：(1)单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的单调性来判断．如本题(1)．(2)中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．如本题(2)．题型二解简单的指数不等式【例2】如果a 2x ＋1≤a x －5(a ＞0，且a ≠1)，求x 的取值范围．分析：讨论a 的取值→得关于x 的不等式→解不等式得x 的范围．反思：解关于x 的不等式a f (x )＞a g (x )(a ＞0，且a ≠1)时，主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为题型三最值问题【例3】函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．分析：由题目可获取以下主要信息：①f (x )＝a x 中a 是参数；②给定区间为[1,2]；③在给定区间上最大值比最小值大a 2. 可结合指数函数f (x )的单调性，对a 分类讨论求值．反思：指数函数y ＝a x (a ＞1)在R 上是增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大值、最小值，当x ＝s 时，函数取得最小值a s ；当x ＝t 时，函数取得最大值a t .指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大值、最小值，当x ＝s 时，函数取得最大值a s ；当x ＝t 时，函数取得最小值a t .题型四应用问题【例4】某林区2010年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y＝f(x)的图象，并应用图象求至少经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？反思：解指数函数的应用问题时，通常利用归纳法得出函数解析式．答案：【例1】解：(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，故构造函数y＝1.7x，则函数y＝1.7x在R上是增函数．又2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.(2)(中间量法)由指数函数的性质，知2．3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，所以2.3－0.28＜0.67－3.1.【例2】解：当0＜a＜1时，∵a2x＋1≤a x－5，∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.当a＞1时，∵a2x＋1≤a x－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，当0＜a＜1时，x的取值范围是[－6，＋∞)；当a＞1时，x的取值范围是(－∞，－6]．【例3】解：当a＞1时，f(x)在[1,2]上是增函数，∴a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上是减函数，∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，a 的值为12或32. 【例4】解：(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2万立方米；…经过x 年后木材蓄积量为200(1＋5%)x 万m 3.故y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ∈N *)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象，如图所示，函数y ＝200(1＋5%)x (x ∈N *)的图象为y ＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象上当x 取正整数时的一系列孤立的点．作直线y ＝300与函数y ＝200(1＋5%)x (x ≥0)的图象交于点A ，设A 为(x 0,300)，由图象可知，8＜x 0＜9，故至少经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．1已知2x ＞21－x ，则x 的取值范围是( )．A ．RB ．x ＜12C ．x ＞12D ． 2设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ 1.512-⎛⎫⎪⎝⎭，则( )． A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 23函数f (x )＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在区间[－1,2]上的最大值是__________． 4函数y ＝21x -的定义域是__________．5已知镭经过1百年后的质量为原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x 百年后的质量为y 克(其中x N *)，求y 与x 之间的函数关系式，并求出经过1 000年后镭的质量(精确到0.001克)．答案：1． C ∵2x ＞21－x ，∴x ＞1－x ，即x ＞12. 2． B y 1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y 3＝ 1.512-⎛⎫⎪⎝⎭＝(2－1)－1.5＝21.5，由于函数y ＝2x 在R 上是增函数，又1.44＜1.5＜1.8，则21.44＜21.5＜21.8，即y 1＞y 3＞y 2.3． 2 f (x )＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在[－1,2]上是减函数，则最大值为f (－1)＝112-⎛⎫⎪⎝⎭＝2. 4． [0，＋) 要使函数有意义，自变量x 的取值需满足2x －1≥0，即2x ≥1＝20，所以x ≥0. 5．解：把1百年看成一个基数，然后看每经过1百年镭的质量的变化．镭原来的质量为20克；1百年后镭的质量为20×95.76%克；2百年后镭的质量为20×(95.76%)2克；3百年后镭的质量为20×(95.76%)3克；…x 百年后镭的质量为20× (95.76%)x 克．∴y 与x 之间的函数关系式为y＝20×(95.76%)x(x N*)．∴经过1 000年后镭的质量为y＝20×(95.76%)10≈12.968(克)．。

高中数学人教A版必修一练习：2.1.2 指数函数及其性质第二课时指数函数图象及性质的应用(习题课).doc

第二课时指数函数图象及性质的应用(习题课)【选题明细表】1.(2018·信阳高一期末)设x>0,且1<b x<a x,则( C )(A)0<b<a<1 (B)0<a<b<1(C)1<b<a (D)1<a<b解析:因为1<b x,所以b0<b x.因为x>0,所以b>1.因为b x<a x,所以()x>1.因为x>0,所以>1,所以a>b,所以1<b<a.故选C.2.下列判断正确的是( D )(A)2.52.5>2.53(B)0.82<0.83(C)π2< (D)0.90.3>0.90.5解析:函数y=0.9x在R上为减函数,所以0.90.3>0.90.5.3.设f(x)=()|x|,x∈R,那么f(x)是( D )(A)奇函数且在(0,+∞)上是增函数 (B)偶函数且在(0,+∞)上是增函数 (C)奇函数且在(0,+∞)上是减函数 (D)偶函数且在(0,+∞)上是减函数解析:因为f(-x)=()|-x|=()|x|=f(x), 所以f(x)为偶函数.又当x>0时,f(x)=()x 在(0,+∞)上是减函数, 故选D.4.(2018·衡阳高一期末)若偶函数f(x)满足f(x)=2x -4(x ≥0),则不等式f(x-2)>0的解集是( D ) (A){x|-1<x<2} (B){x|0<x<4} (C){x|x<-2或x>2} (D){x|x<0或x>4} 解析:由偶函数f(x)满足f(x)=2x -4(x ≥0), 可得f(x)=f(|x|)=-4,则f(x-2)=f(|x-2|)=-4,要使f(|x-2|)>0,只需-4>0,|x-2|>2,解得x<0或x>4.故选D.5.三个数(),(),()中,最大的是 ,最小的是 .解析:因为函数y=()x 在R 上是减函数,所以()>(),又在y轴右侧函数y=()x的图象始终在函数y=()x的图象的下方,所以()>(),即()>()>().答案()()6.方程9x+3x-2=0的解是.解析:因为9x+3x-2=0,即(3x)2+3x-2=0,所以(3x+2)(3x-1)=0⇒3x=-2(舍去),3x=1.解得x=0.答案:07.设f(x)=|3x-1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是( D )(A)3c>3b (B)3b>3a(C)3c+3a>2 (D)3c+3a<2解析:f(x)=|3x-1|=故可作出f(x)=|3x-1|的图象如图所示,由图可知,要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0且a>0,故必有3c<1且3a>1,又f(c)-f(a)>0,即为1-3c-(3a-1)>0,所以3c+3a<2.故选D.8.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( A )(A)f(-4)>f(1) (B)f(-4)=f(1)(C)f(-4)<f(1) (D)不能确定解析:因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞), 所以a>1.由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1),故选A.9.若函数f(x)=a x-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.解析:令a x-x-a=0,即a x=x+a,若0<a<1,显然y=a x与y=x+a的图象只有一个公共点;若a>1,y=a x与y=x+a的图象如图所示有两个公共点. 答案:(1,+∞)10.(2017·虹口区高一期末)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-+,则此函数的值域为.解析:设t=,当x≥0时,2x≥1,所以0<t≤1,f(t)=-t2+t=-(t-)2+,所以0≤f(t)≤,故当x≥0时,f(x)∈[0,];因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x≤0时,f(x)∈[-,0];故函数的值域是[-,].答案:[-,]11.已知物体初始温度是T0,经过t分钟后物体温度是T,且满足T=T a+(T0-T a)·2-kt(T a为室温,k是正常数).某浴场热水是由附近发电厂供应,已知从发电厂出来的95 ℃的热水,在15 ℃室温下,经过100分钟后降至25 ℃.(1)求k的值;(2)该浴场先用冷水将供应的热水从95 ℃迅速降至55 ℃,然后在室温15 ℃下缓慢降温供顾客使用.当水温在33 ℃至43 ℃之间,称之为“洗浴温区”.问:某人在“洗浴温区”内洗浴时,最多可洗浴多长时间?(结果保留整数)(参考数据:2-0.5=0.70,2-1.2=0.45).解:(1)将T a=15,T0=95,t=100代入关系式T=T a+(T0-T a)·2-kt,得25=15+(95-15)·2-100k,2-100k==2-3,解得k=.(2)由(1),将T0=55代入关系式T=T a+(T0-T a)·2-kt,得T=15+(55-15)·=15+40·,令33≤15+40·≤43,即0.45≤≤0.7,因为2-0.5=0.70,2-1.2=0.45,所以2-1.2≤≤2-0.5,解得≤t≤40,所以某人在“洗浴温区”内洗浴时,最多可洗浴40-≈23分钟.12.已知f(x)=x(+).(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)求证:f(x)>0.(1)解:由于2x-1≠0,2x≠20,故x≠0,所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.(2)解:函数f(x)是偶函数.理由如下:由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称, 因为f(x)=x(+)=·,所以f(-x)=-·=-·=-·=·=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)证明:由(2)知f(x)=·.对于任意x∈R,都有2x+1>0,若x>0,则2x>20,所以2x-1>0,于是·>0,即f(x)>0,若x<0,则2x<20,所以2x-1<0,于是·>0,即f(x)>0,综上知f(x)>0.。

高一数学人教版必修1课时作业2.1.2.2 指数函数及其性质的应用 Word版含解析

基础过关.若＝，＝，＝，则，，的大小关系是( )>>>>>>>>解析由＝在上是增函数，知<<<，＝＝，故>>.答案.已知函数()＝(<<)，对于下列命题：①若>，则<()<；②若<，则()>；③若()>()，则<，其中正确命题的个数为( )解析根据指数函数的性质知①②③都正确.答案.已知()＝－(＞，且≠)，且(－)＞(－)，则的取值范围是( ).(，＋∞) .(，＋∞).(－∞，) .(，)解析∵－＞－，(－)＞(－)，又()＝－＝，∴＞，∴＞，∴＜＜.答案.若函数()＝则不等式()≥的解集为.解析()当≥时，由()≥得≥，∴≤≤.()当＜时，不等式≥明显不成立，综上可知不等式()≥的解集是{≤≤}.答案{≤≤}.定义运算：⊙＝则函数()＝⊙－的值域是.解析根据新定义，有()＝作出函数()的图象，如图所示，由图可知()∈(，].答案(，].求不等式＋>－(>，且≠)中的取值范围.解对于＋>－(>，且≠)，当>时，有＋>－，解得>－；当<<时，有＋<－，解得<－.故当>时，的取值范围为{>－}；当<<时，的取值范围为{<－}..求函数＝－－的单调区间.解令＝－＋＝(－)－，则＝.()当∈[，＋∞)时，＝－＋是关于的增函数，又＝是的增函数，故＝－－的单调递增区间是[，＋∞).()当∈(－∞，]时，＝－＋是关于的减函数，且＝是的增函数，故＝－－的单调递减区间是(－∞，]..一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到小时)解小时后驾驶员血液中的酒精含量为(－)，…，小时后其酒精含量为(－)，由题意知(－)≤，≤.采用估算法，＝时，＝＞.＝时，＝＝＜.由于＝是减函数，所以满足要求的的最小整数为.故至少要过小时驾驶员才能驾驶.能力提升.(·南京金陵中学分校期中改编)若()＝－＋与()＝(＋)－在区间[，]上都是减函数，则的取值范围是( ).[，] .(，]解析依题意－≤且＋>，解得<≤.答案.(·福建泉州一中期中)函数()＝－＋的值域是( ).(－∞，) .(－∞，].(，) .(，]解析因为()＝－＋＝－(－)＋≤，所以<－＋≤＝，()＝－＋的值域是(，]. 答案。

【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第二章 2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用

第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小，解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)(1)(2014·泰安高一检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 (2)比较下列各组数的大小：①1.52.5和1.53.2；②0.6－1.2和0.6－1.5；③1.50.3和0.81.2.【解析】 (1)因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为(－∞，＋∞)上的减函数，且⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，所以2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12. 【答案】 B(2)①∵函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.②∵函数y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.③由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，而0.81.2＜0.80＝1，∴1.50.3＞0.81.2.1．比较幂大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式a f(x)＞a g(x)(a＞0，且a≠1)的解法：当a＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．a2，则a的值为________．(2)已知定义域R的函数f(x)＝b－2xa＋2x是奇函数．①求a，b的值；②用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；③若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)恒成立，求k的取值范围．【思路点拨】(1)分a＞1，0＜a＜1两种情况求解．(2)①可利用f(x)为R上的奇函数，则有f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)，求出a，b 再进行检验．③可结合②，由于该函数在定义域上是减函数，故可得t2－2t＞k－2t2，转化为恒成立问题．【解析】(1)若a＞1，则函数f(x)＝a x在[1，2]上单调递增，∴a2－a＝a 2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．若0＜a ＜1，则函数f (x )＝a x 在[1，2]上单调递减，∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)．综上，所求a 的值是12或32. 【答案】 12或32(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a ＝1，b ＝1符合题意．②任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝（1－2x 1）（2x 2＋1）－（1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）＝2（2x 2－2x 1）（2x 1＋1）（2x 2＋1），因为x 1＜x 2，所以2x 2－2x 1＞0，又(2x 2＋1)(2x 1＋1)＞0，故f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x )为R 上的减函数．③因为t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，由f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，所以k ＜－13.1．指数函数y ＝a x (a ＞1)为单调递增函数，在闭区间[m ，n ]上存在最大值和最小值，并且当x ＝m 时有最小值a m ，当x ＝n 时有最大值a n .2．指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)为单调递减函数，在闭区间[m ，n ]上存在最大值和最小值，并且当x ＝n 时有最小值a n ，当x ＝m 时有最大值a m .3．对于函数y ＝a f (x )，x ∈D ，其最值由底数a 和f (x )的值域确定．求指数函数的最值时要注意函数定义域．题(2)③中的“若对于任意t ∈R ”改为“若对于t ∈[1，2]”，其他条件不变，又如何求解？【解】对于t ∈[1，2]，不等式f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )恒成立，由f (x )为减函数，所以t 2－2t ＞k －2t 2，即k ＜3t 2－2t 恒成立，即问题转化为当t ∈[1，2]求3t 2－2t 的最小值，令M (t )＝3t 2－2t ，而M (t )＝3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13在t ∈[1，2]内是增函数，故M (t )＝3t 2－2t 的最小值为M (t )min ＝M (1)＝1.故k ＜1.所以k 的范围为k ＜1.，试解答下列问题．(1)试写出该市人口总数y (万人)与经过时间x (年)的函数关系式；(2)计算10年以后该市人口总数(精确到1万人)；(3)计算多少年以后该市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.01210≈1.127，1.01211≈1.140，1.01212≈1.154，1.01213≈1.168，1.01214≈1.182，1.01215≈1.196，1.01216≈1.210)【思路探究】本题考查有关增长问题，即设原有人口为N ，年平均增长率为p ，则对于经过x 年后的总人口y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．【解】 (1)1年后该市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，2年后该市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，3年后该市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3，…x年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该市人口总数为y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127＝112.7≈113(万人)．∴10年后该市人口总数约为113万人．(3)依题意，得100(1＋1.2%)x＝120，即1.012x＝1.2，解得x≈15.∴约15年以后，该市人口将达到120万人．此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N 是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x 为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．【答案】191．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m ＜c 且c ＜b n ，则a m ＜b n ；若a m ＞c 且c ＞b n ，则a m ＞b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x ＞a y 的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0＜a ＜1和a ＞1两种情况进行讨论．(2)形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助图象求解．换元时忽视中间变量的范围致误求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的值域．【易错分析】用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误．【防范措施】用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．【解】令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34. 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．——[类题尝试]—————————————————求函数y ＝9x ＋2·3x －2的值域．【解】设3x ＝t ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －2＝(t ＋1)2－3.∵上式中当t ＝0时，y ＝－2，又t ＝3x ＞0，∴y ＝9x ＋2·3x －2的值域为(－2，＋∞)．。

高一数学人教版必修1课时作业2.1.2.1 指数函数的图象及性质 Word版含解析

基础过关.函数＝＋的图象是( )解析当＝时，＝，且函数单调递增，故选.答案.若函数()＝(－)在上是指数函数，那么实数的取值范围是( ).(，)∪(，＋∞) .(，).(，)∪(，＋∞) .(，＋∞)解析由题意得－>且－≠，所以>且≠.答案.(·浙江求实高中期中)函数＝＋(>且≠)的图象必经过点( ).(，) .(，).(，) .(，)解析因为＝的图象一定经过点(，)，将＝的图象向上平移个单位得到函数＝＋的图象，所以，函数＝＋的图象经过点(，).答案.函数＝＋的值域是.解析因为对于任意∈，都有>，所以＋>，即函数＝＋的值域是(，＋∞).答案(，＋∞).已知函数＝(－)是指数函数，且当<时，>，则实数的取值范围是.解析由题知函数＝(－)是减函数，所以<－<，即<<.答案(，).求函数＝的定义域.解要使函数有意义，则－－≥，即－≥－.∵函数＝是增函数，∴－≥－，即≥－.故所求函数的定义域为..已知函数()＝－(≥)的图象经过点，其中＞且≠.()求的值；()求函数＝()(≥)的值域.解()∵()的图象过点，∴－＝，则＝.()由()知，()＝，≥.由≥，得－≥－，于是＜≤＝，所以函数＝()(≥)的值域为(，]..若＝(－)(－)是指数函数，求函数()＝的定义域与值域.解因为＝(－)(－)是指数函数，所以解得＝.所以()＝由＋≠，知()的定义域是{∈且≠－}.令＝，则≠，所以>且≠，故()的值域为{>且≠}.能力提升.已知函数()＝则＝( ).－ .－解析因为＝－＝－，所以＝(－)＝－＝.答案.函数＝－的图象( ).与＝的图象关于轴对称.与＝的图象关于坐标原点对称.与＝－的图象关于轴对称.与＝－的图象关于坐标原点对称解析＝的图象与＝－的图象关于轴对称，＝－的图象与＝－的图象关于原点对称.答案.(·浙江杭州西湖高中月考)已知集合＝{≤<}，＝{≤<，∈}，则∩＝.解析由≤<得≤<，即＝{≤<}，又＝{≤<，∈}，所以∩＝{，，}.答案{，，}.方程－＝有唯一实数解，则的取值范围是.。

高一数学人教A版必修1优化训练2-1-2指数函数及其性质

2.1.2 指数函数及其性质5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( ) A.y=（-4）x B.y=πxC.y=-4xD.y=a x+2（a ＞0且a ≠1）思路解析：从指数函数的定义出发解决此题. 由指数函数的定义知，选B. 答案：B2.右图是指数函数①y=a x ；②y=b x ；③y=c x ；④y=d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是()A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c思路解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a ）、（1，b ）、（1，c ）、（1，d ），由图象可知纵坐标的大小关系. 答案：B3.函数y=a x-3+3（a>0且a ≠1）恒过定点_________. 思路解析：a 3-3+3=a 0+3=4. 答案：（3，4）4.某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f （t ），（1）写出函数y=f （t ）的定义域和值域；（2）在所给坐标系中画出y=f （t ）（0≤t ＜6=的图象；（3）写出研究进行到n 小时（n ≥0，n ∈Z ）时，细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）? 解：（1）y=f （t ）定义域为t ∈［0，+∞］，值域为{y|y=2n ，n ∈N *}. （2）0≤t ＜6时，为一分段函数y=.64,42,20,8,4,2<≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧t t t 图象如下图.（3）n 为偶数时，y=122+n ；n 为奇数时，y=1212+-n .∴y=⎪⎩⎪⎨⎧+-+.,2,,212112为奇数为偶数n n n n10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957 6，设质量为1的镭经过x 年后，剩留量是y ，则y 关于x 的函数关系是( ) A.y=100957.0x B.y=（1009576.0）xC.y=0.957 6100xD.y=1-1000424.0x思路解析：首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据x 、y 的函数应该是指数函数，就可得正确答案.设镭一年放射掉其质量的t%，则有0.957 6=1·（1-t%）100.∴t%=1-（0.957 61001).∴y=（1-t%）x =（0.957 6100)x .选A.答案：A2.当x ＞0时，函数f （x ）=（a 2-1）x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A.1＜|a|＜2 B.|a|＜1 C.|a|＞1 D.|a|＞2思路解析：由指数函数的性质，可知f （x ）在（0，+∞）上是递增函数，所以a 2-1＞1，a 2＞2，|a|＞2.答案：D3.已知函数f （x ）=a x +a -x （a>0且a ≠1），f （1）=3，则f （0）+f （1）+f （2）的值为_________. 思路解析：f （0）=a 0+a 0=2，f （1）=a+a -1=3，f （2）=a 2+a -2=（a+a -1）2-2=9-2=7, ∴f （0）+f （1）+f （2）=12. 答案：124.函数y=（2m-1）x 是指数函数，则m 的取值是_________.思路解析：考查指数函数的概念.据指数函数的定义，y=a x 中的底数a 约定a ＞0且a ≠1.故此2m-1＞0且2m-1≠1，所以m ＞21且m ≠1. 答案：m ＞21且m ≠1 5.已知21a +21-a =3，求a 2+a -2的值.思路解析：本题考查指数的运算.从已知条件中解出a 的值，再代入求值的方法不可取，应该设法从整体寻求结果与条件21a +21-a =3的联系进而整体代入求值.解：将21a +21-a=3两边平方得a 1+a -1+2=9，即a 1+a -1=7.再将其平方，有a 2+a -2+2=49，从而得到a 2+a -2=47. 6.已知f （x ）=131-x +a 为奇函数. （1）求a 的值；（2）求函数的单调区间.思路解析：本题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力.主要是利用和巩固奇偶函数的定义、单调函数的定义.解：（1）∵f （-x ）=131--x +a=xx313-+a=-1+a-131-x =-1+2a-f （x ），由f （-x ）=-f （x ），得-1+2a=0.∴a=21. （2）对于任意x 1≠0，x 2≠0，且x 1<x2.f （x 1）-f （x 2）=)13)(13(33131131211221---=---x x x x x x . 当x 1<x 2<0时，23x>13x，13x<1，23x<1.∴f （x 1）-f （x 2）>0；当0<x 1<x 2时，23x>13x，13x>1，23x>1.∴f （x 1）-f （x 2）>0.∴函数的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）.7.如果函数y=a 2x +2a x -1（a ＞0，a ≠1）在区间［-1，1］上的最大值是14，求a 的值. 思路解析：利用换元法、配方法及等价转化思想. 解：设t=a x ，则y=f （t ）=t 2+2t-1=（t+1）2-2.当a ＞1时，0＜a -1≤t ≤a ，此时y max =a 2+2a-1，由题设a 2+2a-1=14，得a=3，满足a ＞1. 当0＜a ＜1，t ∈［a ，a -1］，此时y max =（a -1）2+2a -1-1. 由题设a -2+2a -1-1=41，得a=31，满足0＜a ＜1.故所求的a 的值为3或31.快乐时光传话Ａ对Ｂ说：“听说老王家的鸡刚生出的蛋落地便破壳，马上变出了小鸡.”Ｂ告诉Ｃ：“新鲜事，老王家的鸡生出的蛋，壳还没破，就变成了小鸡.”Ｃ又对Ｄ说：“真怪，老王家的鸡直接生出了小鸡！”Ｄ又对Ｅ说，Ｅ告诉了Ｆ，Ｆ告诉了Ｇ……恰好Ｇ巧遇Ａ，告诉Ａ：“奇迹，老王家的鸡生出一只小乌龟！” 30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.若函数y=a x +b-1（a>0且a ≠1）的图象经过一、三、四象限，则一定有( ) A.a>1且b<1 B.0<a<1且b<0 C.0<a<1且b>0 D.a>1且b<0 思路解析：本题考查指数函数的图象.函数y=a x +b-1（a>0且a ≠1）的图象经过一、三、四象限，则必有a>1；进而可知⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧-<>⇒⎩⎨⎧<>.0,1110)0(1b a a b a f a答案：D2.如果函数y=（a 2-4）x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是( ) A.|a|>2 B.|a|>5 C.|a|<5 D.2<|a|<5 思路解析：∵0<a 2-4<1，∴4<a 2<5. ∴2<|a|<5.答案：D3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A.10天B.15天C.19天D.2天思路解析：荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y=2x ，当x=20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半.故选C. 答案：C4.函数y=2|x|的值域是( )A.（0，1]B.［1，+∞)C.（0，1）D.（0，+∞）解法一：y=2|x|=,0,0,2,2<≥⎪⎩⎪⎨⎧-x x x x 作出图象观察得函数的值域为［1，+∞）.解法二：令u=|x|≥0，则y=2u ≥20=1.答案：B5.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元），预计该地区自2004年起的2年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2005年该地区农民人均收入介于( )A.3 200元～3 400元B.3 400元～3 600元C.3 600元～3 800元D.3 800元～4 000元思路解析：本题考查指数函数的应用.设2005年该地区农民人均收入为y 元，则y=1 800×（1+6%）2+1 350+160×2≈3 686（元）. 答案：C6.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y （m 2）与时间t （月）的关系：y=a t ，有以下叙述，其中正确的是()①这个指数函数的底数为2②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月 ④浮萍每月增加的面积都相等⑤若浮萍蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1+t 2=t 3 A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤ 思路解析：本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质. 由图形得函数解析式应为y=2x （x ≥0）. 答案：D观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数；当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是_________.思路解析：此题考查学生的观察能力、归纳总结能力.通过观察图表：二进制为1位数时，十进制的最大数为1=21-1；二进制为2位数时，十进制的最大数为3=22-1；二进制为3位数时，十进制的最大数为7=23-1.依次类推，二进制为6位数时，十进制的最大数为26-1. 答案：26-18.求函数y=f （x ）=（41）x -（21）x+1，x ∈［-3，2］的值域. 思路解析：将（21）x看作一个未知量t ，把原函数转化为关于t 的二次函数求解. 解：∵f （x ）=［（21）x ］2-（21）x +1，x ∈［-3，2］，∴（21）2≤（21）x ≤（21）-3，即41≤（21）x ≤8. 设t=（21）x ，则41≤t ≤8.将函数化为f （t ）=t 2-t+1，t ∈［41，8］.∵f （t ）=（t-21）2+43，∴f （21）≤f （t ）≤f （8）.∴43≤f （t ）≤57.∴函数的值域为［43，57］.9.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化.如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间t 后的温度T 将满足T-T α=（T 0-T α）·（21h t)，其中T α是环境温度.使上式成立所需要的时间h 称为半衰期.现有一杯用195°热水冲的速溶咖啡放置在75°的房间中，如果咖啡降温到105°需20 min ，问欲降温到95°需多少时间？思路解析：由所给公式知它是时间t 与温度T 的指数函数关系，将题中有关数据代入求得h 值.再将T=95代入已求得的T=f （t ）中求得t.解：由题意，知T=T α+（T 0-T α）h t )21(.将有关数据代入，得T=75+（195-75）·h t)21(.这里h是以分钟为单位的半衰期，为了确定它的值，将t=20时，T=105代入，此时，105=75+（195-75）·h 20)21(，解得h=10.∴T=75+（195-75）·10)21(t. （*）欲使T=95，代入（*）式，得95=75+（195-75）·10)21(t，即10)21(t=61.两边取对数，查表得10t=2.6，即t=26（ min ）.因此，在咖啡冲好26 min 之后降温至95°. 10.已知f （x ）=x （121-x +21）.（1）判断函数的奇偶性；（2）证明f （x ）>0.思路解析：本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式. （1）解：函数的定义域为{x|x ≠0}.f （-x ）=-x ·)12(212-+--x x =-x ·)21(221x x -+=x ·)12(221-+xx=f （x ）， ∴函数为偶函数.（2）证明：由函数解析式，当x>0时，f （x ）>0.又f （x ）是偶函数，当x<0时，-x>0. ∴当x<0时，f （x ）=f （-x ）>0，即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）>0.11.设函数f （x ）是定义在R 上的增函数，且f （x ）≠0，对于任意x 1、x 2∈R ，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2）. （1）求证：f （x 1-x 2）=)()(21x f x f ；（2）若f （1）=2，解不等式f （3x ）>4f （x ）.思路解析：由于函数y=a x 具有本题中f （x ）的条件与结构，因而在解题时可以用指数函数y=a x （a>0且a ≠1）为模型类比. 本题考查抽象函数的性质.（1）证明：∵f （x 1）=f （x 1-x 2+x 2）=f （x 1-x 2）·f （x 2），又f （x ）≠0，∴f （x 1-x 2）=)()(21x f x f . （2）解：∵f （1）=2，∴2f （x ）=f （1）·f （x ）=f （1+x ），4f （x ）=2·2f （x ）=f （1）·f （1+x ）=f （2+x ）.那么f （3x ）>4f （x ）可化为f （3x ）>f （2+x ）. 又∵函数f （x ）是定义在R 上的增函数，由f （3x ）>f （2+x ）得3x>2+x ，即x>1. 故不等式f （3x ）>4f （x ）的解集是{x|x>1}. 12.定义在R 上的函数y=f （x ），f （0）≠0，当x>0时，f （x ）>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a+b ）=f （a ）·f （b ）. （1）证明f （0）=1；（2）证明对任意的x ∈R ，恒有f （x ）>0；（3）证明函数y=f （x ）是R 上的增函数.思路解析：本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x 理清解答的思路和方法. 证明：（1）取a=b=0，则f （0）=f 2（0）. ∵f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）当x ≥0时，f （x ）≥1>0成立，当x<0时，-x>0，f （0）=f （x-x ）=f （x ）f （-x ）=1，∴f （x ）=)(1x f ->0. ∴x ∈R 时，恒有f （x ）>0.（3）法一：设x 1<x 2，则x 2-x 1>0. ∴f （x 2）=f （x 2-x 1+x 1）=f （x 2-x 1）·f （x 1）. ∵x 2-x 1>0，∴f （x 2-x 1）>1. 又f （x 1）>0，∴f （x 2-x 1）·f （x 1）>f （x 1）. ∴f （x ）是R 上的增函数. 法二：设x 2=x 1+t （t>0），f （x 2）=f （x 1+t ）=f （x 1）·f （t ）>f （x 1）.或者设x 1<x 2，则)0()()()()()()()(12111212f x x f x f x f x f x f x f x f -=-∙-∙=>1. 又f （x 1）>0，f （x 2）>0， ∴f （x 2）>f （x 1）.。

高一数学人教A版必修1课后训练：2-1-2 指数函数及其性

课后训练1．已知11>a b ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b 的大小关系是( ) A ．1＞a ＞b ＞0 B ．a ＜bC ．a ＞bD ．1＞b ＞a ＞02．下列各关系中，正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．已知指数函数y ＝b ·a x 在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．12－4．已知指数函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( )5．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大2a ，则a ＝( ) A ．12 B ．32C ．12或32D ．12或236．若函数f (x )的定义域是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数f (2x )的定义域是______． 7．已知函数f (x )＝a x 在x ∈[－1,1]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为__________．8．定义运算,,a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩则函数f (x )＝1]． 9．已知函数y ＝9x －2·3x ＋2，x ∈[1,2]，求函数的值域． 10．已知函数21()21x x f x -+=+. (1)判断并证明函数f (x )的单调性；(2)若4211(3)<3a a f f -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数a 的取值范围．参考答案1答案：B2答案：D3答案：A4答案：A5答案：C6答案：(－1,0)7答案：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(1,2) 8答案：19答案：解：y ＝9x －2·3x ＋2＝(3x )2－2·3x ＋2，设t ＝3x ，x ∈[1,2]，则t ∈[3,9]，则原函数化为y ＝t 2－2t ＋2(t ∈[3,9])，∵y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，∴函数y ＝t 2－2t ＋2在[3,9]上为增函数，∴5≤y ≤65.∴所求函数的值域为{y |5≤y ≤65}．10答案：解：(1)函数f (x )在定义域R 上是减函数，证明如下：2121(21)22()121212121x x x x x x x f x -+-+-==-=-=-+++++. 设x 1，x 2是定义域内任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－1＋1221x +－(－1＋2221x +) ＝1221x +－2221x +＝212112122[21(21)]2(22)(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x +-+-=++++ ∵x 1＜x 2，且2＞1，∴22x ＞12x ，即22x －12x ＞0.又12x ＋1＞0, 22x ＋1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．所以函数f (x )在R 上是减函数．(2)由(1)知，函数f (x )在R 上是减函数． ∵4211(3)<3a a f f -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴32a ＋1＞413a-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即32a ＋1＞3a －4. ∴2a ＋1＞a －4，即a ＞－5.所以实数a 的取值范围是(－5，＋∞)．。

优化课堂2016秋数学人教A版必修1课件：2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用

由于底数 1.5＞1，所以函数 y＝1.5x 在 R 上是增函数，
因为 2.5＜3.2，
所以 1.52.5＜1.53.2.
栏目导引
第二页，编辑于星期日：六点三十分。
第二章基本初等函数（I）
(2)0.6－1.2，0.6－1.5 可看作函数 y＝0.6x 的两个函数值，因为 0＜0.6＜1，所以函数 y＝0.6x 在 R 上是减函数，因为－1.2＞－1.5，所以 0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1，所以 1.70.2＞0.92.1.
栏目导引
第十七页，编辑于星期日：六点三十分。
第二章基本初等函数（I）
1．比较两个指数式值的大小的主要方法 (1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数函数 y＝ax 的单调性． (2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”，若 am＜c 且 c＜bn，则 am＜bn；若 am＞c 且 c＞bn，则 am＞bn.
第二章基本初等函数（I）
第 2 课时指数函数及其性质的应用
第一页，编辑于星期日：六点三十分。
第二章基本初等函数（I）
探究点一利用指数函数的单调性比较大小
比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5 和 1.53.2；
(2)0.6－1.2 和 0.6－1.5；
(3)1.70.2 和 0.92.1. [解] (1)1.52.5，1.53.2 可看作函数 y＝1.5x 的两个函数值，
第二章基本初等函数（I）
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栏目导引
第二十六页，编辑于星期日：六点三十分。

人教A版数学必修一2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用.pptx

本例中，若将0<a<1变为a>0，且a≠1，则不等式的解集是什么？
解：当0<a<1时，解法见例2；当a>1时，函数y＝ax在R上为增函数． ∵a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3， ∴2x2－3x＋2>2x2＋2x－3，解得x<1.∴不等式的解集为(－∞，1)．
2．(1)解不等式12x2－2≤2； (2)已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，求 x 的取值范围．
【正确解答】设 t＝ax，若 a>1，则 t∈1a，a，若 0<a<1，则 t∈a，1a， ∵y＝(t＋1)2－1，它关于 t 在(－1，＋∞)上单调递增． ∴当 a>1 时，y 在 t＝a 处取得最大值， ∴a2＋2a－1＝14，∴a＝3. 当 0<a<1 时，y 在 t＝1a处取得最大值， ∴1a2＋2a－1＝14，∴a＝13.∴a＝3，或 a＝13.
2分
(1)设 u＝x2－6x＋17，由于函数 y＝12u 及 u＝x2－6x＋17
的定义域为(－∞，＋∞)，故函数 y＝12x2－6x＋17 的定义域为 R. 4分
因为 u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
所以12u≤128.
6分
又12u＞0，故函数的值域为0，2156.
8分
(2)函数 u＝x2－6x＋17 在[3，＋∞)上是增函数，即对任意 x1、x2∈[3，＋∞)且 x1＜x2，有 u1＜u2，从而12u1＞12u2，即 y1 ＞y2，所以函数 y＝12x2－6x＋17 在[3，＋∞)上是减函数.10 分
指数函数的综合问题
(12 分)已知函数 y＝12x2－6x＋17， (1)求函数的定义域及值域； (2)确定函数的单调区间．

人教A版数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》课件ppt新课标人教版必修1.pptx

分别在同一坐标系中作出下列各组函数
的图象,并说明它们之间有什么关系？
(4) y 2x 与 y 2|x|
y
o
x
由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|)的图象：保留 y=f(x)中y轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称的图形.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 1
(10x 10 x
1) 1
2
1
1
2 10x
.
10x 0,1 10x 1.
0
1 1 10x
1.
2
1
2 10x
0.
1
1
2 1 10x
1.
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
y
y 2x
y 2x1
y 2x2
y1
o
x
①将指数函数y=2x的图象向左平行移动1个单位
长度,就得到函数y=2x+1的图象;
f
(
x)
10 10
x x
1 1
10 x 10 x
(10 (10
x x
1) 1)
1 1
10 x 10 x
f ( x).
所以f(x)在R上是奇函数.
1.指数形式的复合函数的单调性(奇偶性)
例2.求证函数值域.
f (x)
10 x 10 x
1 1
是奇函数,并求其
解：
f
(
x)
10 x 10 x
2 2x 1
2 2x 2 1 2x
2.
∴ a = 1.
利用 f(0)= 0
【1】已知定义域为R的函数
为奇函数,则a=_2_, b=__1___.
f
(x)

数学人教版A必修1同步训练：2.1.2指数函数及其性质第2课时(附答案)

∴k＝ 10，即 y＝ 10t.
同理，当
t ≥0.1
时，可得
1＝
(
1 16)
0.1
－ a?
0.1 － a＝ 0?
1 a＝10，即
1 y＝ ( 16)t
1 － 10.
5
(2) 由题意可得
1 y≤0.25 ＝ 4，即得
1 10t ≤ 4， 0≤t ≤0.1
1
11
或
( )t 16
－10≤ 4
t>0.1
1 ? 0≤t ≤ 40或
9．解： (1) 设 2008 年每台电脑的生产成本为 x 元，
依题意，得 x(1 ＋ 50%)＝5 000 ×(1 ＋20%)×80%，
解得 x＝ 3 200( 元 ) ．
(2) 设 2004～ 2008 年生产成本平均每年降低的百分数为 5 000(1 － y) 4＝ 3 200 ，
y，依题意，得
2 综合反比例函数 f(t) ＝ t 的图象可知 f(t) ∈( －∞，－ 1) ∪(0 ，＋∞ ) ．
10t ，
10． (1)y ＝ 1
1
( 16)t － 10，
0≤t ≤0.1 ， t>0.1
(2)0.6
(1) 由题意知，当 0≤t ≤0.1 时，可设 y＝ kt(k 为待定系数 ) ，由于点 (0.1,1) 在直线上，
式为 ________；
(2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那
么从药物释放开始，至少需要经过 ________小时后，学生才能回到教室．
11．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快 .2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670

高中数学人教A版必修一优化练习第二章2.12.1.1第2课时指数幂及运算含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．化简[3(－5)2]34的结果是( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析：[3(－5)2]34＝(352)34＝52334⨯＝512＝ 5.答案：B 2．设a 12－a 12-＝m ，则a 2＋1a 等于( )A ．m 2－2 B.2－m 2 C ．m 2＋2 D ．m 2解析：对a 12－a12-＝m 平方得：a ＋1a －2＝m 2，∴a 2＋1a ＝a ＋1a ＝m 2＋2. 答案：C3.222的值是( ) A ．278B.258C ．234D ．232解析：222278. 答案：A4． (112)0－(1－0.5－2)÷(278)23的值为( )A ．－13 B.13 C.43D ．73解析：原式＝1－(1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫32233⨯＝1－(－3)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1＋3×49＝1＋43＝73. 答案：D5．若102x ＝25，则10－x ＝( ) A ．－15 B.15 C.150D ．1625解析：102x ＝(10x )2＝25，∵10x >0，∴10x ＝5,10－x ＝110x ＝15. 答案：B6．已知102m ＝2,10n ＝3，则10－2m －10－n ＝________. 解析：由102m ＝2，得10－2m＝1102m ＝12；由10n ＝3，得10－n ＝110n ＝13； ∴10－2m －10－n ＝12－13＝16. 答案：167．已知2x ＝(2)y ＋2，且9y ＝3x －1，则x ＋y ＝________. 解析：2x＝(2)y ＋2＝222y +，9y ＝32y ＝3x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋22，2y ＝x －1，解得{ x ＝1y ＝0，∴x ＋y ＝1.答案：18．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x ＜y ，则11221122x y x y-+的值是________．解析：∵11221122x y x y-+=()122()x y xy x y+--又∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝108.又x ＜y ，∴x －y ＝－108＝－6 3. 代入化简后可得结果为－33. 答案：－33 9．化简求值：(1)(279)0.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2102723-－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338 23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫642723-－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝(－1)23-×(338)23-＋(1500)12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823-＋(500) 12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 10．完成下列式子的化简： (1)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (2)23a ÷46a ·b ×3b 3.解析：(1)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c . (2)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 1136-b 16-·3b 32＝32a 16b 43.[B 组能力提升]1．若S ＝(1＋2132-)(1＋2116-)(1＋218-)(1＋214-)(1＋212-)，则S 等于( )A.12(1－2132-)－1B.(1－2132-)－1C ．1－2132-D ．12(1－2132-)解析：令2132-＝a ，则S ＝(1＋a )(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16)．因为1－a ≠0，所以(1－a )S ＝(1－a )(1＋a )(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16) ＝(1－a 2)(1＋a 2)(1＋a 4)(1＋a 8)(1＋a 16) ＝…＝1－a 32＝1－2－1＝12.所以S ＝12(1－a )－1＝12(1－2132-)－1.故选A.答案：A2．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D ．x x －1解析：∵x ＝1＋2b ，∴2b ＝x －1，∴2－b ＝12b ＝1x －1，∴y ＝1＋2－b ＝1＋1x －1＝x x －1. 答案：D 3．已知10a＝212-，10b＝332，则1 032+4a b＝________.解析：1032+4a b＝(10a )2·(10b )34＝(212-)2·(3213)34＝2－1·254＝214. 答案：2144．若x 1，x 2为方程2x ＝(12)1+1x -的两个实数根，则x 1＋x 2＝________. 解析：∵2x＝(12)1+1x-＝21-1x ，∴x ＝11x-，∴x 2＋x －1＝0. ∵x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 5．已知a ＝3，求11144211241111aaaa+++++-+ 的值解析：11144211241111aaa a+++++-+ 1114422241(1)(1)1aa a a++++-+ 1122224111a aa+++-+ 1122441(1)(1)aa a +++-+ ＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1. 6．已知x ＝12(51n－51n-)，n ∈N ＋，求(x ＋1＋x 2)n 的值．解析：∵1＋x 2＝1＋14(51n－51n -)2＝1＋14(52n－2＋52n -) ＝14(52n＋2＋52n-)＝[12(51n＋51n -)]2， ∴1＋x 2＝12(51n ＋51n -)，∴x ＋1＋x 2＝12(51n －51n -)＋12(51n ＋51n -)＝51n.1∴(x＋1＋x2)n＝(5n)n＝5.。

高中数学人教A版必修一优化练习：第二章 2.1 2.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：y ＝(1＋11.3%)x ＝1.113x .答案：D2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ， x <0，g (x )， x >0.若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( ) A ．－14B ．－4 C.14 D ．4解析：由题设知g (2)＝f (2)＝－f (－2)＝－2－2＝－122＝－14.答案：A3．函数y ＝2－x ＋1＋2的图象可以由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象经过怎样的平移得到( ) A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位解析：y ＝2－x ＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2，设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (x －1)＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2，要想得到y ＝2－x ＋1＋2的图象，只需将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位．答案：C4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧ a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是( ) A ．(0,1]B.[1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，＋∞)解析：解法一：当x >0时，3x >3－x ，f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1；当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上，f (x )的值域是(0,1]．解法二：作出f (x )＝3x ⊙3－x 的图象，如图．可知值域为(0,1]．答案：A5．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：依对称性有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，又f (x )在x ≥1时为增函数，43＜32＜53，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 答案：B6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|，则f (x )的单调递增区间是________．解析：解法一：由指数函数的性质可知f (x )＝(12)x 在定义域上为减函数，故要求f (x )的单调递增区间，只需求y ＝|x －1|的单调递减区间．又y ＝|x －1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1]．解法二：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥1，2x －1，x <1.可画出f (x )的图象求其单调递增区间．答案：(－∞，1]7．函数f (x )＝a 2x －3a x ＋2(a >0，且a ≠1)的最小值为________．解析：设a x ＝t (t >0)，则有f (t )＝t 2－3t ＋2＝(t －32)2－14，∴t ＝32时，f (t )取得最小值－ 14.答案：－148．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜2a ＜2，即12＜a ＜1，与a ＞1矛盾．当0＜a ＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜2a ＜2，即12＜a ＜1，即为所求．故填12＜a ＜1.答案：12＜a ＜19．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12232x x －－的单调区间和值域．解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12232x x －－的定义域为R. 令t ＝x 2－3x －2，对称轴为x ＝32，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是增函数，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上为减函数．所以由复合函数的单调性可知，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－3x －2在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上为减函数．又∵t ＝x 2－3x －2在x ＝32时，t min ＝－174，∴y ＝(12)t 在t ＝－174时，取得最大值y max ＝2174.∴所求函数的值域为(0,2174)10．已知函数f (x )＝a 2－2x2x ＋1(a 为常数)． (1)证明：函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数；(2)若f (x )为奇函数，求a 的值．解析：(1)在(－∞，＋∞)上任取两个值x 1，x 2且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2x 12x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2x 22x 2＋1 ＝2x 22x 2＋1－2x 12x 1＋1＝2x 2－2x 1(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵2＞1且x 1＜x 2，∴2x 2－2x 1＞0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．(2)∵f (x )为奇函数且在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，即a 2－2020＋1＝0. ∴a ＝1.[B 组能力提升]1．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154C.174 D ．a 2解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154.答案：B2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ f (x ＋2)，x ＜2，2－x ， x ≥2，则f (－3)的值为( )A.18 B.12C ．2D ．8解析：f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18. 答案：A3．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ． (－1，＋∞)解析：∵2x (x －a )<1，∴x －a <12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x∴a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∵y ＝x 在(0，＋∞)是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)是减函数，∴y ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)是增函数，要使a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)有解，需使a >0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1.答案：D4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )＜－12的解集是______．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.由2x －1＜－12，2x ＜2－1，得x ＜－1.当x ＞0时，由1－2－x ＜－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0＜－12不成立；综上可知x ∈(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)5．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0＜f (x －2)＜1517.解析：(1)∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则2x 2＞2x 1＞0,2x 2－2x 1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝2(2x 2－2x 1)(2x 2＋1)(2x 1＋1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)由0＜f (x －2)＜1517得f (0)＜f (x －2)＜f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0＜x －2＜4，即2＜x ＜6，所以不等式的解集是{x |2＜x ＜6}．6．关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＝3a ＋25－a 有负根，求a 的取值范围．解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x 的定义域为x ∈R.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＝3a ＋25－a 有负根，∴x <0.又∵0<35<1，∴3a ＋25－a >1，∴3a ＋25－a －1>0.∴4a －35－a >0.即⎩⎨⎧ 4a －3>0，5－a >0或⎩⎨⎧ 4a －3<0，5－a <0.解得34<a <5.。