争分夺秒小题训练10(解析版)

小题训练10（限时45分种）一、单选题（每题5分，共60分） 1．若集合{|12}A x x =-<≤，则A =R（ ）A ．{|1x x <-或2}x >B ．{|1x x ≤-或2}x >C ．{|1x x <-或2}x ≥D ．{|1x x ≤-或2}x ≥【答案】B【解析】∵{|12}A x x =-<≤，∴A =R {|1x x ≤-或2}x >，故选：B2．设x ∈R ，则“ln 0x <”是“12x +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题得ln 001x x <⇔<<，1231x x +<⇔-<<， 而区间()()0,13,1⊆-， 故“ln 0x <”是“12x +<”的充分不必要条件．故选：A3．已知复数Z 满足()12Z i i +=+（i 为虚数单位），则复数Z 的虚部为（ ）. A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i 【答案】A 【解析】231122i i i Z +=-+=，虚部为12-.故选：A. 4．已知向量()1,2AB =-，(),5BC x =-，若7AB BC ⋅=-，则AC =（ ）A ．5B ．C ．6D ．【答案】A【解析】向量()1,2AB =-，(),5BC x =-，若7AB BC ⋅=-，可得107x --=-，解得3x =-，所以()4,3AC AB BC =+=--，则(5AC =-=．故选：A ．5．设,,a b c ∈R ，且a b <，则 A ．ac bc < B ．11a b> C ．22a b < D ．33a b <【答案】D【解析】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误； 对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D6．函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-【答案】A【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m <故选：A7．若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A ．3B C ．3-D ．【答案】B【解析】将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后,得到函数sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-,因为其图像关于y 轴对称,所以262k ππϕπ-=+,k Z ∈,即23k ππϕ=+,k Z ∈,因为0ϕ>,所以0k =时,ϕ取得最小值3π,此时tan tan 3πϕ==故选B .8．设数列{}n a 满足()121n n a a n +-=+，12a =，则数列(){}1nn a -⋅的前200项和是（ ）A ．20100B ．20200C ．40200D ．40400【答案】B【解析】设200S 为数列(){}1nna -⋅的前200项的和，则2002143200199()()()S a a a a a a =-+-++-.因为()121n na a n +-=+，所以2122a a -=⨯，4324a a -=⨯， 6526a a -=⨯2001992200a a -=⨯各式相加得：2002143200199()()()S a a a a a a =-+-++-100(2200)2202002⋅+=⨯=.故选：B9．已知4n xdx =⎰，则二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0)x >展开式中的常数项为（ ） A ．8 B ．28C ．56D ．120【答案】B【解析】42041802n xdx x ===⎰，二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为382441881()()r r r r r r T C x C x x --+==, 令2440r -=可得6r =，所以所求常数项为628828C C ==.故选B.10．设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B【解析】由题意可知221,m m mm Ca Cb +==,137a b =,221137m mmm CC+∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+,211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确． 11．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23ABC π∠=，4PA =，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为32π，则直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ） A．7B．6C．7D ．27【答案】C【解析】如图所示，设1O 为ABC ∆的外心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心， 由PA ⊥平面ABC ，1OO ⊥平面ABC ，知1PA OO ∥， 取PA 的中点D ，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为32π，得OP OA ==，知四边形1DAO O 为矩形， 又4PA =，所以12DA O O ==，ABC ∆外接圆的半径为12r AO ===，在ABC ∆中，由2sin =∠ACr ABC，得22sin120AC ︒=⨯⨯=PC =由PA ⊥平面ABC ，所以PCA ∠是直线PC 与平面ABC 所成的角，sin 7PA PCA PC ∠==. 故选：C.12．已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（ ） A ．1- B ．2-C ．3-D ．随m 的变化而变化【答案】A【解析】联立222214411x y m y x m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩消去y，得24,0,x x x m =>∴= 设00(,)P x y ，直线l 方程为00144x xy y m①设三角形12FPF 内切圆半径为r ，则由等面积可得00(4,M r r y =+∴== ②直线1F M的方程为y x =③联立①②③，化简可得2N x =∴=，在12F PF ∆中，内切圆圆心M ，各边的切点分别为,,A D E ， 由圆的切线性质可得1122||||,||||,||||F A F DEF AF PD PE ===，121212||||||||||||2F P F P F D F E F A F A ∴-=-=-=，. 121||||||1M F A F A F A x +===1,1M M N x x x =∴-=-.故选:A二、填空题（每题5分，共20分）13．已知α是第四象限角，且满足29cos sin 217αα+=，则tan α=___________ 【答案】29-【解析】由已知得222222sin cos cos 2tan 19sin 2cos sin cos 1tan 17ααααααααα+++===++， 解得tan 4α=或2tan 9α=-， 因为α是第四象限角，故2tan 9α=-， 故答案为：29-. 14．若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______. 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =，∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<．故答案为：4[,2)3．15．若函数()2ln f x ax x x =+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】102a -<< 【解析】2012f x xlnx ax x f x lnx ax （）（＞），（）．=+'=++ 令12g x lnx ax =++（）， 由于函数函数()2ln f x ax x x =+有两个极值点点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axgx a x x+'=+=（）， 当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去．当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a=- ， 令0gx '（）＞ ，解得102x a＜＜- ，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a＞- ，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a=-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根， 则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<． ∴实数a 的取值范围是（102a -<<. 16．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组()22224011x y x x y ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪++≥⎪⎩或()2211x y +-≤来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则z x y =+的最大值为______.【答案】1+【解析】根据线性规划的知识，将目标函数z x y =+对应的基准直线y x =-向上平移到阴影部分的边界位置，即直线0x y z +-=与圆()2211x y +-=在第一象限部分相切时，z 取得最大值. 根据圆心()0,1到直线0x y z +-=的距离等于1()10z =>，解得1z =+。