高中数学人教A版选修4-1 (29)

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菜 单
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选修4-5
2．你能给出定理2的几何解释吗？
【提示】 在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A，
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B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B 不在点A，C之间时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.
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【自主解答】 又|x|>m，
依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1，
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∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，从而|x| >|b|. a b a b 因此|x＋x2|≤|x|＋|x2| |a| |b| |x| |x|2 ＝ |x|＋|x2|<|x|＋|x2|＝2， a b 即|x＋x2|<2.
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条件不变，试求： ||a|－|b|| (1) ＜1成立的充要条件； |a－b| |a|＋|b| (2) ＞1成立的充要条件． |a＋b| 【解】 |a|－|b| (1)因为ab＜0⇔||a|－|b||＜|a－b|⇔ ＜1， |a－b|
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当堂双基
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||a|－|b|| 所以 ＜1成立的充要条件是ab＜0. |a－b|
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绝对值不等式的理解与应用 已知a，b∈R，则有 |a|－|b| (1) ≤1成立的充要条件是________； |a－b| |a|＋|b| (2) ≥1成立的充要条件是________． |a＋b| 【思路探究】 利用绝对值三角不等式定理分别求解．
前自主导学双基
(2013·福建高考)设不等式|x－2|＜a(a∈N*)的解 3 1 集为A，且2∈A，2∉A. (1)求a的值； (2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
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【命题意图】
本题考查绝对值不等式的性质以及函数
最值等相关知识，考查表达式的变形能力及推理论证的能 力． 【解】 3 1 3 1 (1)因为2∈A，且2∉A，所以|2－2|＜a，且|2－
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【自主解答】
(1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a
|a|－|b| －b|＞0⇔a≠b⇔ ≤1 |a－b| |a|－|b| 因此 ≤1成立的充要条件是a≠b. |a－b| (2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立， |a|＋|b| 所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔ ≥1. |a＋b| |a|＋|b| 因此 ≥1成立的充要条件是a≠－b. |a＋b|
对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒
成立的m的取值范围． 前自主导学 【思路探究】 令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.
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【自主解答】
法一
对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|
≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1， 当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时， 即－2≤x≤－1时取等号． ∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. ∴实数m的取值范围是(－∞，1]．
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当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x＜3时，f(x)≥3无解； 当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4. 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}．
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(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[－3,0].
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法二
－2x＋3 x<－2， t＝|x＋1|＋|x＋2|＝ 1 －2≤x≤－1， 2x＋3 x>－1.
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∴t≥1.则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1. 因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
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∴|a|＋|b|>1， 但|a|＋|b|>1⇒/ b<－1(如a＝2，b＝0)， ∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件． 【答案】
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D
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3．已知4个命题：①a>b⇒|a|>b；②a>b⇒a2>b2； ③|a|>b⇒a>b；④a>|b|⇒a>b.其中正确的命题是 ________． 【解析】 确． 又当a>|b|时， 有a>|b|≥b，④正确． 【答案】
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1．本题也可利用绝对值的几何意义求解，请读者完
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成． 2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分 段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求 函数最值．
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(2012·课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围． 【解】 －2x＋5，x≤2， (1)当a＝－3时，f(x)＝1，2＜x＜3， 2x－5，x≥3.
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|a|＋|b| (2)因为 ＞1⇔|a|＋|b|＞|a＋b|且a＋b≠0⇔ab＜0且 |a＋b|
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a≠－b， |a|＋|b| 所以 ＞1成立的充要条件是ab＜0且a≠－b. |a＋b|
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运用绝对值不等式求最值与范围
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2．绝对值三角不等式 (1)定理1 如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当 时，等号成立．
0 且仅当 ab≥
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(2)若定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b 不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意 义是 三角形的两边之和大于第三边． 3．三个实数的绝对值不等式 定理2 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤ |a－b| ＋|b－ 时，等号成立．
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1．绝对值的几何意义
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(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点A到 原点的 当堂双基
距离． (2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分 别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间 的 距离 ，即线段AB的 长度 ．
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∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－
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2．(2013·安阳模拟)若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充 分不必要条件可以是( 1 1 A．|a|≥2且|b|≥2 C．|a|≥1 【解析】 ) B．|a＋b|≥1 D．b<－1 当b<－1时，|b|>1，
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二 1
绝对值不等式 绝对值三角不等式
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课标 解读
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1.理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的 几何意义证明绝对值不等式的性质定理． 2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单 的含绝对值的不等式；会求简单绝对值不等 式的最值.
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【答案】 (1)a≠b (2)a≠－b
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1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b| 的理解和应用． 2．解决此类问题应从两个方向看推出关系来进行求 解．
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2
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1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为 符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键． 2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放 缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．
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1 3 2|≥a，解得2＜a≤2. 又因为a∈N*，所以a＝1. (2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号， 所以f(x)的最小值为3.
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1．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是 ( A．|a＋b|＞|a－b| C．|a－b|＜||a|－|b|| 【解析】 |b||，故应选B. 【答案】 B B．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜|a|＋|b| )