第六讲-角平分线的性质
角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
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角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。
角的平分线的性质课件()
角平分线与三角形高的关系
总结词
角平分线与三角形的高之间存在密切的联系，主要表现在高与角的两边之间的关系上。
详细描述
在三角形中，如果一个角被角平分线分成两个相等的部分，那么这个角所对应的高也将被角平分线分成两个相等 的部分。这个性质在解决一些几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们更好地理解高与角的两边之间的关系。
角的平分线的性质课 件
目录
CONTENTS
• 角的平分线的定义 • 角平分线定理 • 角平分线的性质的应用 • 角平分线的性质与三角形的性质
的关系
01
角的平分线的定义
角的平分线的描述
01
角的平分线是一条射线，它将一 个角分为两个相等的部分。
02
角的平分线上的任意一点到这个 角的两边的距离相等。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，因此可以利用这一性质来证明角平分 线上的点到这个角的两边的距离相等。
02
角平分线定理
角平分线定理的描述
角平分线定理
从角的顶点出发，将角平分，则 该角的平分线上的任意一点到这 个角的两边的距离相等。
定理的数学表达式
假设O是角AOB的顶点，D和E分 别是角AOB两边OA和OB上的点 ，如果通过O作一条角平分线OC ，则有OD=OE。
在平行四边形中，角平分线可以用来证明对角线互相平分， 从而证明平行四边形是中心对称图形。此外，角平分线还可 以用来证明一些与角度和边长相关的几何定理，如塞瓦定理 和梅涅劳斯定理。
在三角形中的运用
在三角形中，角平分线可以将一个角分为两个相等的角， 从而将三角形分为两个相似的部分。这个性质可以用来证 明一些与三角形相关的定理和性质，如角的平分线定理和 三角形的面积公式。
角平分线性质定理
角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。
它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。
根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。
角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。
以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。
性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。
我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。
性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。
性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。
性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。
应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。
通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。
同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。
结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。
通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。
对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。
角平分线的性质
角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线具有一些重要的性质和应用。
本文将探讨角平分线的性质以及相关的几何问题。
一、角平分线的定义和性质在平面几何中，给定一个角，如果存在一条直线将这个角分成两个相等的部分，那么这条直线被称为这个角的平分线。
1. 角平分线等分角角平分线的主要性质是将一个角等分为两个相等的角。
设角AOB 为被平分的角，AC为其平分线，那么∠CAB = ∠CBO，∠CBA =∠CAO。
2. 角平分线垂直角当角的两边与平分线相交时，所形成的四个小角中，相邻的两个小角互为补角，即它们的和为90度。
这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而补角的度数总是相等的。
3. 角平分线等分周角在一个凸多边形中，如果有一个角的两边分别与相邻两边的平分线相交，那么该角被平分成两个相等的角。
这个性质可以用来证明角平分线的存在和角平分线的长度。
二、角平分线的应用角平分线的性质在几何学中有许多重要的应用。
下面介绍两个常见的应用场景：1. 证明角平分线的存在在一些几何问题中，需要证明角的平分线是否存在，以及如何构造这条平分线。
通常可以利用角平分线等分角的性质进行证明。
通过使用尺规作图或其他几何方法，可以找到这条平分线并证明其存在。
2. 角平分线的长度在一些几何问题中，需要求解角平分线的长度。
根据角平分线性质，可以设计出一些方法来计算角平分线的长度。
比如，可以利用三角函数或相似三角形的性质，通过已知条件求解平分线的长度。
三、小结角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
它具有等分角和垂直角的性质，在几何学中具有重要的应用。
通过证明角平分线的存在和求解角平分线的长度，可以解决一些与角平分线相关的几何问题。
在解题过程中，我们可以利用角平分线等分角、角平分线垂直角以及角平分线等分周角的性质来推导和计算。
熟练掌握角平分线的性质和应用，能够更好地解决几何学中与角平分线相关的问题。
角平分线性质的原理
角平分线性质的原理角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的线段。
角平分线有以下几个重要的性质：性质一：角平分线上的所有点到角的两边的距离相等。
这个性质可以通过几何推理证明。
假设有一个角ABC，角平分线AD将角分成两个大小相等的角∠BAD和∠DAC。
我们需要证明，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即AD = BD = CD。
证明如下：首先，连接AC。
假设∠BAD = ∠DAC = x。
由于∠BAD和∠DAC大小相等，因此四边形ABCD可以分成两个等腰三角形∆ABD和∆ACD。
根据等腰三角形的性质，AD = BD，AD = CD。
所以，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质二：角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
内切点是指和角的另一条边相切于一个点的线。
角的角平分线正好满足这个条件，因此角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
证明如下：仍以角ABC为例，设∠BAD和∠DAC是由角平分线AD分出的两个大小相等的角。
连接AC并延长到点D，假设角∠ADC是由角平分线AD分出的较大的角。
根据性质一，AD = CD。
又根据角度和定理，∠A + ∠BAD + ∠DAC + ∠ADC = 180。
由于∠BAD = ∠DAC，所以∠A + 2∠BAD + ∠ADC = 180。
进一步化简得到∠A + ∠BAD + ∠BAD + ∠ADC = 180。
由于∠BAD + ∠ADC = 180（补角关系），所以∠A + ∠BAD + ∠BAD + 180 - ∠BAD = 180。
整理得到∠A + ∠BAD = 180，即∠BAD + ∠DAC = 180。
这说明∠BAD和∠DAC 构成的直线与延长线AC重合于点D，所以角平分线和角的另一条边相交于角的内切点。
性质三：角的内切线平分角的大小。
内切线是指从角的内切点到角的顶点的线段，它平分了角的大小。
证明如下：再以角ABC为例，连接内切点D和角的顶点A，假设角∠BAC的内切线为AD。
角平分线性质与判定语言表述
02
利用角平分线的性质可 以证明某些结论或推导 出其他相关性质。
03
通过判定可以找到满足 特定条件的角平分线， 从而解决问题。
04
在解题过程中，需要根 据问题的具体情况选择 合适的性质或判定方法 。
04
CATALOGUE
角平分线的实际应用
几何图形中的角平分线
角平分线定义
从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分 ，这条线段被称为该角的 角平分线。
推论1
在三角形中，角的平分线与对边 相交，将相对边分为两段成比例
的线段。
推论2
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂线段与该点到角的顶
点的距离相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推论3
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂足是该垂足到角的顶
点的距离最短。
与角平分线相关的辅助线作法
作法1
01
在三角形中，为了证明某结论，可以过某点作角的平分线或平
手工制作
在制作手工艺品时，如剪纸、折纸等 ，角平分线可以帮助确定对称轴，从 而制作出精美的作品。
角平分线在数学竞赛中的应用
几何证明
在数学竞赛中，经常需要利用角 平分线的性质来证明几何定理或
推导新结论。
最值问题
通过构造角平分线，可以解决一些 几何中的最值问题，如求点到直线 的最短距离等。
组合几何
在组合几何问题中，角平分线可以 帮助确定图形的对称性，从而找到 解决问题的突破口。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两等分， 且与相对边上的交点到该角的顶 点的距离相等。
定理与推论
角平分线定理
角平分线上的任意一点到该角的两边 的距离相等。
推论
角平分线的性质 课件
05
角平分线的习题与解析
基础习题
1 3
基础习题1
已知角平分线AD，点E在AD上，若∠BAC=50°， ∠CAD=25°，求∠BCA的度数。
基础习题2
2
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠B=40°，∠C=70°，
求∠BAD的度数。
基础习题3
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=120°， ∠C=30°，求∠BAD的度数。
03
角平分线将一个多边形分成面积相等的两部分。
02
角平分线的性质证明
性质1的证明
总结词
角平分线将相对边分成两段相等 的线段
详细描述
根据角平分线的定义，我们知道 角平分线将一个角分为两个相等 的子角。因此，相对边被角平分 线分成两段相等的线段。
性质2的证明
总结词
角平分线上的点到角的两边距离相等
详细描述
总结词
基于角平分线定理，我们可以推导出 一些重要的推论，这些推论在解决几 何问题时非常有用。
详细描述
推论一，若AD为角BAC的角平分线，则有 AB/BD = AC/CD。这个推论可以直接从角平 分线定理得出。推论二，若AD为角BAC的角平 分线，且在点D上作线段DE平行于AB交AC于 点E，则有AE =EB。这个推论可以用于证明线 段的等分。
角平分线定理的应用
要点一
总结词
角平分线定理在实际问题中有着广泛的应用，它可以用于 解决各种与角度和线段比例相关的几何问题。
要点二
详细描述
应用一，在建筑设计时，可以利用角平分线定理来确定建 筑物的位置和角度，以确保建筑物的美观和功能性。应用 二，在地图绘制时，可以利用角平分线定理来确定道路、 河流等地理要素的走向和分布，以保证地图的准确性和实 用性。应用三，在土地测量时，可以利用角平分线定理来 确定土地的边界和面积，以确保土地测量的准确性和公正性。
角平分线的性质是什么
角平分线的性质是什么
角平分线的性质
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
扩展资料
基本结构
1、见角平分线上的一点向角的一边作的垂线，可过该点向另一边作垂线；
2、见角平分线上的一点向角平分线作的垂线，可延长该垂线段交于角的另一边；
3、在角平分线的两边截取等线段，构造全等。
三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的'内心到三角形三边的距离相等。
三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
《角平分线的性质》课件
在解决பைடு நூலகம்际问题中的应用
实际应用
在建筑设计、工程绘图等领域， 角平分线性质可以帮助确定物体 的位置和方向，从而保证设计的 准确性和施工的顺利进行。
案例分析
在设计桥梁、建筑或管道时，可 以利用角平分线性质来确定结构 的支撑点或固定点，以确保结构 的稳定性和安全性。
在数学竞赛中的应用
竞赛题特点
数学竞赛中常常出现与角平分线性质相关的题目，这类题目 通常涉及多个知识点，需要学生具备较高的逻辑思维和推理 能力。
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用符号“∟”表 示角平分线。
例如，若射线OA是∠AOB的角平分线 ，则标记为“OA∟∠AOB”。
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
角平分线定理：对于三角形中的角平分线 ，它所对的边与该角的对边之比等于其他 两边之比。即，在△ABC中，若AD是 ∠BAC的角平分线，则BD/DC=AB/AC。
在其他领域的应用
农业灌溉
在农田灌溉中，可以利用 角平分线性质优化灌溉管 道和水渠的布局，提高灌 溉效率。
航空导航
在航空导航中，可以利用 角平分线性质确定航向和 飞行高度，确保航行安全 。
军事战略部署
在军事战略部署中，可以 利用角平分线性质优化部 队的驻扎和部署，提高作 战效率。
THANKS
感谢观看
在道路规划中的应用
01
02
03
道路交叉口设计
利用角平分线性质，合理 规划道路交叉口的位置和 形状，提高交通流畅度和 安全性。
道路指示牌设置
根据角平分线性质，合理 设置道路指示牌的位置， 确保驾驶员能够清晰地获 取指示信息。
道路排水设计
在道路规划中，可以利用 角平分线性质优化排水系 统的布局，提高道路的排 水性能。
角平分线的性质 课件
角的平分线与等边三角形的关系
角的平分线与等边三角形的联系
在等边三角形中，角的平分线也是中垂线，因此，角的 平分线与等边三角形也有密切的联系。
角的平分线与等边三角形的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如证明等边三 角形、求角度等。
THANKS
谢谢
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用虚线表示角平 分线，并在角平分线上标注相应的字 母。
例如，若角平分线为AD，则可以表示 为AD平分∠BAC。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到该角的两边的距离相等。 这一性质是角平分线的基本性质，也是证明其他角平分线性质的基础。
02
CHAPTER
角平分线的性质
04
CHAPTER
角平分线的作法
通过角的顶点作角的平分线
总结词
角的顶点是角的两条边的交汇点，通过角的顶点作角的平分线的方法是常用的方法之一 。
详细描述
首先，确定角的顶点，然后使用直尺或圆规等工具，从角的顶点出发，作一条与角的一 边平行的线段，线段的长度可以根据需要自行确定。接着，将线段的中点与角的另一边
角的平分线与平行线相交形成的交点，到角的两边的距离 相等。
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如求距离、证明 角相等等。
角的平分线与等腰三角形的关系
角的平分线与等腰三角形 的联系
角的平分线是等腰三角形底边上的中垂线， 因此，角的平分线与等腰三角形有密切的联 系。
角的平分线与等腰三角形 的应用
利用这一性质，可以解决一些几何问题，如 证明等腰三角形、求角度等。
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
利用角平分线定理，可以证明线段的 比例关系。
证明三角形全等
角平分线的性质和判定(共张)课件
作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
角的平分线的性质
角的平分线的性质汇报人:2023-12-08目录CONTENCT •角的平分线定义与性质•构造方法与证明技巧•在三角形中应用•在四边形和多边形中应用•拓展：关于角平分线其他知识点01角的平分线定义与性质定义及基本性质定义角的平分线指的是将一个角平分为两个相等的小角的射线。
基本性质平分线将对应的角平分为两个相等的小角，且平分线上的每一点到该角两边的距离相等。
存在性与唯一性定理存在性定理对于任何一个角，都存在一条射线将其平分为两个相等的小角，即存在一条角的平分线。
唯一性定理对于任何一个角，它的平分线是唯一的，即不存在两条不同的射线都可以将该角平分为两个相等的小角。
几何意义角的平分线在几何学中有着非常重要的意义，它可以用于构造等边三角形、等腰三角形等图形，并且是解决一些几何问题的关键。
应用场景在实际问题中，角的平分线常常被用于设计、建筑、工程等领域。
例如，在建筑工程中，可以利用角的平分线来确定某些结构的位置和方向；在机械设计中，可以利用角的平分线来设计齿轮、联轴器等零部件的位置和尺寸。
几何意义及应用场景02构造方法与证明技巧首先利用尺规作图作出给定角的平分线，再通过该平分线构造等腰三角形或利用其他相关性质进行证明。
尺规作图法利用了角的平分线性质，即平分线上的点到角两边距离相等，从而实现了对给定角的精确平分。
尺规作图法原理分析作图步骤三角形内心与外心相关性质三角形的内心到三角形三边的距离相等，且与三角形三顶点连线将三角形划分为三个面积相等的部分。
内心与三角形任意两顶点连线的夹角等于与该顶点相对的角的一半。
外心性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，且与三角形三边的中垂线交于一点。
外心与三角形任意两顶点连线的夹角等于与该顶点相对的角的外角的一半。
例题一思路梳理例题二思路梳理典型例题解析及思路梳理已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，求证：AB/AC=BD/CD。
利用角的平分线性质，构造等腰三角形或利用相似三角形进行证明。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
初中数学角平分线的性质知识点
初中数学角平分线的性质知识点
初中数学中，角平分线是一个重要的概念。
下面我们来探讨一下角平分线的性质。
一、角平分线的定义
角平分线是指把一个角平分为两个相等的角的线段。
二、角平分线的性质
1.角平分线与角的两边相交于角的顶点，并把角分为两个相等的角。
2.角平分线所在的平面上，与角的两边的延长线交于一点，这个点称为角的外心。
3.角平分线上的每一个点到角的两边的距离相等。
4.角平分线上的每一个点到角的外心的距离相等。
5.对于同一个角，高度相等的两条角平分线相交于角的外心。
6.角平分线将一个角分为两个相等的角，但是并不一定把一个平面分为两个相等的部分。
三、角平分线的性质应用
1.根据角平分线的定义和性质，可以帮助我们判断一个线段是否为角的平分线。
2.通过利用角平分线的性质，可以求解一些几何问题。
比如，已知一个角的两边和这个角的外心，可以求出这个角的平分线。
3.利用角平分线的性质，可以证明一些角的关系。
比如，可以利用角平分线的性质来证明角平分线是角的垂直平分线。
四、角平分线的相关定理
1.角平分线定理：如果一条直线与一个角的两边相交且把这个角平分为两个相等的角，则这条直线是这个角的平分线。
2.角平分线的外角性质：角平分线所在直径上的角是180度的外角。
五、角平分线的证明方法
1.角平分线的证明方法一般采用反证法或者直接证明。
比如，先假设直线不是角的平分线，然后利用假设得出矛盾，从而得到直线是角的平分线。
2.对于一些特殊的角，可以直接利用三角形的辅助线去证明角平分线的存在性和性质。
角平分线的性质
角平分线的性质角平分线是几何学中常见的概念，指的是将一个角等分为两个相等的角的直线。
角平分线具有一些独特的性质，对于角的研究和应用有着重要的意义。
在本文中，我们将介绍角平分线的性质及其推论。
一、角平分线的定义角平分线是将一个角分成两个相等的角的直线。
在图形中，一条角平分线将角分为两个相等的角，其中每个角的度数为原角的一半。
二、角平分线的性质1. 角平分线的两个重要性质：a) 角平分线将角分为两个相等的角；b) 角平分线上的点到角的两边距离相等。
2. 角平分线与角的边的关系：a) 角平分线与角的边垂直；b) 角平分线上的点到角的边的距离相等。
3. 角平分线与三角形内角的关系：a) 若角的两边与三角形的两边相等，且角平分线经过这两边的交点，则该角平分线为三角形内角的角平分线；b) 若一条角平分线将一个三角形的一个内角平分为两个相等的角，则该角平分线也是该三角形另外两个内角的角平分线；4. 角平分线与三角形外角的关系：a) 若角的两边与三角形的一边相等，且角平分线经过该边的延长线上的点，则该角平分线为三角形外角的角平分线。
5. 角平分线的推论：a) 角平分线的两条相邻边与角的两边构成一组等腰三角形；b) 角平分线所分割出来的两个三角形是全等三角形；c) 角平分线将一个三角形的面积分成两个相等的部分。
三、角平分线的应用1. 角平分线可用于构造相等角：通过已知角的一条边上任意一点，作角的平分线，可得到相等的两个角。
2. 角平分线可用于三角形的相似判定：若一条角平分线将一个三角形的一个内角平分为两个相等的角，则该角平分线也是该三角形另外两个内角的平分线，由此可推知该三角形与另一个角相等的三角形相似。
3. 角平分线可用于定位测量：在地图制图或建筑测量中，通过角平分线可以准确确定一个点的位置，提高测量的精度。
总结：角平分线是将角分为两个相等的角的直线，具有多个重要性质，包括角的等分、垂直、等距离等。
角平分线在几何学和实际应用中有着重要的作用，可用于相等角的构造、三角形的相似判定和定位测量等方面。
角平分线的性质kejia
02
多边形一条边的两个端点与不相邻的顶点的连线，将多边形划分为n-2个三角形， 每个三角形的内角和为180°。
03
多边形一条边的两个端点与不相邻的两个顶点的连线，是多边形的两条角平分线， 它们将多边形划分为n-1个三角形，每个三角形的内角和为180°。因此，多边形的 内角和也可以表示为（n-1）×180°-2×角平分线的夹角。
在平行四边形中，相邻两角的角 平分线互相垂直。
角平分线所在的直线是平行四边 形的对称轴。
梯形中角平分线特点
梯形中的角平分线将梯形的一个角平分为两个相等的小角。 梯形两腰的角平分线长度相等。
梯形中一组对角的角平分线互相平行。
多边形内角和与角平分线关系
01
多边形的内角和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
证明垂直或平行问题
1 2
利用角平分线与垂线的性质
角平分线与垂线重合时，可证明两条直线垂直。
构造平行四边形
通过角平分线构造平行四边形，利用平行四边形 的性质证明直线平行。
3
应用同位角、内错角等性质
结合同位角、内错角等相关性质，可证明直线平 行或垂直。
05
角平分线在实际问题中应 用举例
测量问题中角平分线应用
之间的角度关系。
如机械臂的运动轨迹规划、机器人的路
径规划等。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
角平分线的定义：角平分线是从一个角 的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
角平分线的构造：通过角的顶点，使用 圆规和直尺可以构造出角的平分线。
角平分线将相对边分为两段，这两段与 角的两边所构成的三角形面积相等。
在测量角度时，如果无法直接测量或者测量难度较大，可以 利用角平分线的性质，将原角平分，然后分别测量两个较小 的角，再通过计算得到原角的度数。
角平分线的性质与判定
利用相似三角形的性质和角平分线的 性质进行证明。
角平分线在三角形中的性质
性质
在三角形中，角平分线与对边相交形成的线段之比等于相邻 两边之比。
应用
利用角平分线的性质定理和三角形中的其他性质，可以证明 三角形中的一些重要结论，如“直角三角形中，斜边上的中 线等于斜边的一半”。
02
CATALOGUE
判定方法
角平分线的判定方法一
利用角平分线的定义。在角的内部作一条射线，使得角的两边长度相等，则这 条射线是角的平分线。
角平分线的判定方法二
利用等腰三角形的性质。在角的内部作一条射线，使得与角的两边分别相交并 形成两个等腰三角形，则这条射线是角的平分线。
判定在三角形中的运用
在三角形中，角平分线将三角形分为两个面积相等的部分。这是因为角平分线将 三角形划分为两个等腰三角形，而等腰三角形的面积等于底乘高的一半，由于两 个等腰三角形的底相等且高相等，所以它们的面积相等。
04
CATALOGUE
角平分线的作法
作法步骤Biblioteka 010203第一步
在角的顶点上，以角的两 边为邻边，作一个等腰三 角形。
第二步
从等腰三角形的顶点向底 边作垂线，将底边分为两 等份。
第三步
连接角的顶点和垂足，这 条连线就是角平分线。
作法在三角形中的运用
在三角形中，可以利用角平分线作法 来找到角的平分线，从而进一步研究 三角形的性质和判定。
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角平分线的判定
判定定理
角平分线的判定定理
从角的顶点出发，将角平分线引到角的两边，使得角的两边长度相等，则这条射 线就是角的平分线。
证明角平分线判定定理
在角的内部作一条射线，并使角的两边长度相等。然后，通过角的顶点和射线的 端点作一条直线，这条直线将与角的两边相交于两点。由于角的两边长度相等， 所以这两点与射线端点的距离相等，从而证明了射线是角的平分线。
第六讲 角平分线的性质
DEHA BC内容基本要求略高要求较高要求角平分线角平分线的作法角平分线的性质及判定角平分线的性质及判定的综合运用角平分线辅助线 常用辅助线作法 角平分线与全等的综合运用1． 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 定义：带来角相等。
2.角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在教的平分线上【例1】 ．如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB求证：DH=EH中考要求例题精讲角平分线的判定与性质【例2】如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．（四种证明方法）举一反三：1、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，2、如图，已知∠B=∠C=90。
，DM 平分∠ADC ，AM 平分∠DAB ，探究线段BM 与CM 的关系，说明理由。
【例3】如图，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上一点，且∠EDF ＋∠BAF=180°，求证：DE=DF.BACDE 图1EBACDB CMAD举一反三：如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC ，交∠BAC 的平分线AE 于E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 交AC 的延长线于G ， 求证：BF=CG.【例4】 如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC【例5】已知：如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 的延长线于E.求证：BD=2CE.举一反三：如图，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求证：DE ∥BC ACBDACDEB角【例6】已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠.1、已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB ＝AC+CD 。
角平分线的性质
⾓平分线的性质
⾓平分线性质：⾓平分线分得的两个⾓相等，都等于该⾓的⼀半。
⾓平分线上的点到⾓的两边的距离相等。
性质
1.⾓平分线分得的两个⾓相等，都等于该⾓的⼀半。
（定义）
2.⾓平分线上的点到⾓的两边的距离相等。
判定
⾓的内部到⾓的两边距离相等的点，都在这个⾓的平分线上。
因此根据直线公理。
证明：如图，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，求证：OC平分∠AOB
证明：在Rt△OPD和Rt△OPE中：OP=OP，PD=PE
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）
∴∠1=∠2
∴ OC平分∠AOB
画⾓平分线
1、先在纸上画⼀个⾓∠AOB，这个⾓是作为要被平分的⾓。
2、以任意长度为半径，顶点为圆⼼画圆弧，交⾓两边于C、D。
3、然后以C为圆⼼，⼤于CD/2长度为半径⽤圆规画圆弧。
4、接着以D为圆⼼，同3步骤⼀样以长度为半径⽤圆规画圆弧。
5、最后两圆弧交于E点。
6、连接顶点O和E，OE即为⾓平分线。
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D
E
H
A B
C
内容 基本要求
略高要求
较高要求
角平分线
角平分线的作法
角平分线的性质及判定
角平分线的性质及判
定的综合运用
角平分线辅助线 常用辅助线作法 角平分线与全等的综合运用
1． 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 定义：带来角相等。
2.角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在教的平分线上
【例1】 ．如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB
求证：DH=EH
例题精讲
中考要求
角平分线的判定与性质
【例2】如图1，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，
求证：AD=DC．（四种证明方法）
举一反三：
1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、
AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想，
2、如图，已知∠B=∠C=90。
，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明
理由。
【例3】如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上一点，且∠EDF＋∠BAF=180°，
求证：DE=DF.
B
A
C
D
E
图1
E
B
A
C
D
M
A
举一反三：如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB
于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.
【例4】如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋
BD＝BC
【例5】已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD的延长线
于E.求证：BD=2CE.
举一反三：如图，已知△ABC中，CE平分∠ACB，且AE⊥CE，∠AED＋∠CAE＝180度，求证：
DE∥BC
A
C
B
D
A
C
D E
B
角【例6】已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE
于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠.
1、已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB ＝AC+CD 。
2、已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点， 且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ， 求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。
课后作业
A B
F
3
2
1
A B
C
D
B
P
A
3、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交
BC 的延长线于点D ，若∠CAD ＝2∠ADC ，求∠B 的度数。
4、如图7、已知在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边向外作 正△BCE 、正△ACD ，BD 与AE 交于M ， 求证：（1）AE ＝BD 。
（2）MC 平分∠DME 。
A
B
D
4
3
2
1
M
C
A
B。